直线与圆、圆与圆的基本性质最新版
高二数学直线圆椭圆知识点
高二数学直线圆椭圆知识点直线的基本性质：1. 直线的定义：直线是由无数个点组成，且沿着同一方向延伸。
2. 直线的方程：直线可以用一般式方程、点斜式方程或两点式方程表示。
其中，一般式方程为Ax + By + C = 0，点斜式方程为y - y₁ = k(x - x₁)，两点式方程为(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ -y₁)。
3. 直线的斜率：直线的斜率表示直线的倾斜程度，可以通过斜率公式求得。
斜率公式为k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)。
4. 直线的截距：直线与坐标轴的相交点称为直线的截距。
直线与x轴相交时的截距为x轴截距，直线与y轴相交时的截距为y轴截距。
圆的基本性质：1. 圆的定义：圆是由到一个固定点距离相等的所有点组成的集合，固定点称为圆心，距离称为半径。
2. 圆的方程：圆的标准方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
3. 圆的弧长：圆弧的长度称为圆的弧长。
圆的弧长可以通过弧度制或度数制来计算。
4. 圆的面积：圆的面积可以通过公式πr²来计算，其中π取近似值3.14。
椭圆的基本性质：1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
2. 椭圆的焦点：椭圆的定点称为焦点，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数。
3. 椭圆的长轴与短轴：椭圆的长轴是通过两个焦点并且垂直于焦点连线的线段，短轴是通过椭圆的圆心且垂直于长轴的线段。
4. 椭圆的离心率：离心率是椭圆焦点与长轴的距离之比，每个椭圆都有一个离心率，离心率大于1时，椭圆变成双曲线，离心率等于1时，椭圆变成抛物线。
总结：数学中直线、圆和椭圆是常见的几何图形，它们有着各自的定义和基本性质。
直线的方程可以用一般式方程、点斜式方程或两点式方程表示，而圆的方程为标准方程。
椭圆的定义是任意一点到两个定点的距离之和等于常数。
高二数学直线与圆知识点
高二数学直线与圆知识点直线与圆是高中数学中的基础知识，也是解析几何的重要内容之一。
掌握直线与圆的性质和关系，对于理解几何图形的性质、解题以及拓展数学思维都有重要意义。
本文将介绍高二数学中与直线与圆相关的知识点。
一、直线的基本性质1. 直线的定义：直线是由无限多个点构成，且任意两点都在这条直线上。
2. 直线的表示方式：直线可以用两个点表示，也可以用方程表示。
3. 直线的斜率：斜率是直线的重要性质之一，可以用来描述直线的倾斜程度。
直线的斜率可以通过两点的坐标计算得到。
二、圆的基本性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点距离固定的点的轨迹。
定点称为圆心，距离称为半径。
2. 圆的表示方式：圆可以用圆心和半径表示。
3. 弧长和扇形面积：圆上的弧长是圆心角所对的弧段的长度，扇形面积是圆心角所对的扇形的面积。
三、直线与圆的关系1. 直线和圆的位置关系：直线可以与圆相切、相离、相交。
相切时，直线只与圆相切于一点；相离时，直线与圆没有公共点；相交时，直线与圆相交于两个点。
2. 切线的性质：切线是与圆相切于一点的直线，切线与半径垂直。
3. 弦的性质：弦是圆上任意两点之间的线段，圆心角等于弦所对的弧的一半。
4. 弦切角的性质：弦切角是弦和切线的夹角，弦切角等于所对弧的圆心角。
四、直线与圆的方程1. 直线的方程：直线可以用点斜式、一般式、截距式等多种形式表示。
2. 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程是以圆心为原点，半径为r的圆的方程。
五、直线与圆的相关定理1. 切线定理：切线与半径垂直，且切点在切线上。
2. 弦切定理：切线与弦所夹角等于所对的弧的圆心角。
3. 弧切定理：切线与弦所夹的圆心角等于所对的弧的一半。
六、直线与圆的相关应用1. 直线与圆的位置关系的应用：可以根据直线与圆的位置关系求出点的坐标、判断线段的长度等。
2. 直线与圆的方程的应用：可以通过直线和圆的方程求解交点的坐标、判断直线与圆是否相交等。
平面几何中的直线与圆的性质
平面几何中的直线与圆的性质平面几何是研究二维空间中的几何性质和关系的学科，其中直线和圆是最基本也是最常见的几何形状。
直线和圆具有许多重要的性质和特点，在解决几何问题和证明几何定理时具有重要的应用。
本文将探讨平面几何中直线和圆的性质，并从不同角度分析它们的关系。
一、直线的性质直线是由无数个点连成的一条无宽度的曲线，它在平面上具有许多重要的性质。
1. 直线的长度直线是无限延伸的，因此其长度是无穷的。
不同于线段和射线有明确的起点和终点，直线没有起点和终点的限制，它可以沿着两个方向无限延伸。
2. 直线的方向直线有无数个不同的方向，在平面几何中通常用两个点来确定一条直线的方向。
给定两个不同的点，可以唯一确定一条直线，并且直线上的所有点都满足一条直线的性质。
3. 直线的平行性如果两条直线在平面上没有交点，那么它们是平行的。
平行线具有许多重要的性质，包括对于一直线上的点和角的关系，以及平行线与其他几何形状的交点特点。
4. 直线的垂直性如果两条直线相交成直角，那么它们是垂直的。
垂直线在平面几何中也具有许多重要的性质，例如垂直线与水平线的关系，垂直线与其他几何形状的交点特点等。
二、圆的性质圆是由平面上距离一个确定点相等的所有点组成的集合。
圆是平面几何中最基本的几何形状之一，其性质包括：1. 圆的半径和直径圆的半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，而直径是连接圆上任意两个点并经过圆心的线段。
直径是半径的两倍长度。
2. 圆的周长和面积圆的周长是圆周上的所有点组成的线段的长度，由于圆是由无限个点组成的曲线，所以其周长也是无限的。
圆的面积是圆内部的所有点所覆盖的平面区域的大小，面积公式为πr²，其中r为圆的半径，π是一个常数（π≈3.14159）。
3. 圆与直线的关系圆和直线之间有许多重要的关系，包括切线和弦。
切线是与圆相切且只与圆相交于一点的直线，切线与圆的切点处与切线垂直。
弦是圆上的两个点之间的线段，弦的中点同时也是圆的圆心到弦的垂直平分线的交点。
九年级数学直线与圆知识点
九年级数学直线与圆知识点九年级数学中，直线与圆是一个重要的知识点。
下面是关于直线与圆的一些基本概念和性质：1. 圆的定义：圆是由平面上与一个固定点的距离等于常数的所有点构成的图形。
2. 圆的性质：- 圆心：圆心是固定点，通常用字母O表示。
- 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。
- 直径：通过圆心的两个互相垂直的线段，且长度等于圆的直径，通常用字母d表示（d=2r）。
- 弦：圆上两点之间的线段称为弦。
- 弧：圆上两点之间的部分称为弧。
- 弧度制：角度的度量单位，用符号“rad”表示。
- 圆周长：圆的周长又称为周长，用符号C表示（C=2πr）。
- 圆面积：圆的面积用符号S表示（S=πr²）。
3. 直线与圆的性质：- 直线与圆的位置关系：直线可以与圆相切、相交、或者不相交。
- 直线与圆的判定：（1）切线的判定：直线与圆相切的条件是直线与圆只有一个公共点，即直线与圆只有一个交点。
（2）相交线的判定：直线与圆相交的条件是直线与圆有两个交点。
- 弦的性质：（1）直径是最长的弦。
（2）与同一圆相交的两个弦，如果它们的长度相等，则它们所对应的圆心角的度数也相等。
（3）圆内接弦所对圆心角的度数是圆上任意两点确定的圆心角的度数的一半。
（4）圆心角相等的两个弧所对应的弦的长度相等。
- 切线与半径的性质：（1）切线与半径相垂直。
（2）切线上的切点与圆心和切点的半径构成一个直角三角形。
（3）半径平分切线上的两个切点所夹的弧。
（4）从圆外一点引圆的切线，它的切点到该点的连线与切点到圆心的连线垂直。
这些是九年级数学中关于直线与圆的基本知识点和一些性质，希望对你有帮助。
高中数学直线与圆知识点总结
高中数学直线与圆知识点总结嘿，同学们！咱今儿就来好好唠唠高中数学里直线与圆的那些事儿。
直线啊，就像是我们在数学世界里的好朋友，直直地向前走，没啥弯弯绕绕。
它的表达式咱可得搞清楚，什么点斜式、斜截式，那都是认识它的重要途径。
就好比你认识一个新朋友，得知道他的名字、爱好啥的，这样才能更熟络嘛。
圆呢，圆滚滚的多可爱呀！它可是有自己的独特标志，圆心和半径。
圆心就是它的核心，半径决定了它的大小。
想象一下，圆就像是一个超级大的皮球，圆心就是球心，半径就是皮球的大小。
直线和圆碰到一起，那故事可就多了去了。
比如直线和圆相交，这不就像是两个朋友见面握了个手嘛，有交点呢！相切呢，就像是轻轻碰了一下，然后就各自走啦。
相离呢，那就是井水不犯河水咯。
咱来具体说说知识点哈。
直线的方程，什么一般式、两点式，那都得会用，不然咋在题目里和它打交道呀。
还有直线的斜率，这可是个重要玩意儿，能帮咱判断直线是上坡还是下坡呢。
再看圆，圆的方程咱得牢记于心，这样碰到题目才能一下子认出来呀。
然后就是直线和圆的位置关系，怎么判断呢？就看圆心到直线的距离和半径的大小关系呗。
这多简单明了呀！做题的时候，可别马虎。
有时候一个小细节没注意，那答案可就错啦。
就像走在路上，一不小心走错了方向，那可就走远咯。
咱再说说那些难题。
遇到难题别慌张呀，就像打怪兽一样，一步一步来。
先分析分析题目，看看它到底是考咱直线的哪个知识点，还是圆的。
然后对症下药，总能把它解决掉。
高中数学里的直线与圆，虽然不是最难的，但也不能小瞧它们呀。
它们可是基础中的基础，学好了它们，后面的圆锥曲线啥的才能更容易上手呀。
同学们，加油呀！把直线和圆的知识点都掌握得牢牢的，让它们成为我们在数学世界里的得力助手。
别害怕它们，要和它们成为好朋友，一起在数学的海洋里畅游。
相信自己，一定能行的！这直线与圆的知识点，咱肯定能拿下！。
高二《直线与圆》知识点总结
高二《直线与圆》知识点总结直线与圆是高中数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中具有广泛的应用。
掌握了直线与圆的相关知识，对于理解和解决几何和代数问题都有很大的帮助。
本文将对高二学生需要掌握的直线与圆的知识点进行总结。
一、直线与圆的基本概念和性质：1. 直线的定义和性质：直线是一条无限延伸的连续直线，具有无宽度和无端点的特点。
直线的特征是经过其中任意两点的直线上的所有点。
2. 圆的定义和性质：圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的集合。
圆由圆心和半径唯一确定，其中半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。
相离表示直线与圆没有任何交点；相切表示直线与圆有且仅有一个交点；相交表示直线与圆有两个交点。
4. 切线的定义和性质：切线是与圆相切且与圆的切点相同的直线，切线与半径垂直。
二、直线与圆的方程和解析几何：1. 直线的一般方程：直线的一般方程可以写为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
2. 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程可以写为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
3. 圆的方程：圆的方程可以写为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。
4. 直线与圆的位置关系的方程：要判断直线和圆的位置关系，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到判别式。
判别式小于0时，直线和圆相离；判别式等于0时，直线和圆相切；判别式大于0时，直线和圆相交。
三、直线与圆的交点和切线：1. 直线与圆的交点：若要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到交点的坐标。
2. 切线的判定和方程：若要确定直线是否为圆的切线，可以计算直线的斜率，然后计算圆心到直线的距离。
若斜率与圆心到直线的距离相等，则直线为圆的切线。
切线方程可以使用直线方程得出。
直线与圆知识点以及经典例题总结归纳
直线与圆知识点以及经典例题总结
归纳
直线与圆的知识点以及经典例题总结归纳
一、直线与圆的概念
1.直线：是一条无限长的抽象线段，它有一定的方向，并由两个端点构成。
2.圆：一种特殊的曲线，它的轨迹是一个闭合的曲线，它的圆心和半径是固定的，每一点到圆心的距离都是半径的长度。
二、直线与圆的性质
1.直线的性质：
(1)直线穿过的任意两点之间的距离相等。
(2)任意一点到直线的距离是不变的，且与直线上任意一点到此直线的距离相等。
2.圆的性质：
(1)圆的任意两点之间的距离都相等。
(2)任意一点到圆的距离都是固定的，且与圆心的距离相等，即为半径。
三、直线与圆的经典例题
1.已知圆O的半径为5，直线l与圆O相交于A、B两点，若∠BAO=60°，求直线l的斜率。
解：以O为原点，将坐标系原点平移至O，则AB 两点的坐标分别为(5,0),(-3.464,4.264)，∴直线l的斜率为：k=4.264/3.464=1.237
2.已知圆O的半径为1，点P在圆O外，且P到圆O的距离为2，求直线OP的斜率。
解：以O为原点，将坐标系原点平移至O，则点P 的坐标为(2,0)，∴直线OP的斜率为：k=0/2=0。
平面几何中的直线与圆的性质
平面几何中的直线与圆的性质直线和圆是平面几何中基本的几何元素，它们具有各自独特的性质和特点。
直线是由无数个连续的点组成的，而圆则由一个固定的中心点和等距离于中心点的无数个点组成的闭合曲线。
在平面几何中，直线和圆的性质对于解决各种几何问题起着重要的作用。
一、直线的性质1. 直线的唯一性：在平面上，任意两个点之间只存在一条直线。
这是直线在平面几何中的基本性质，也是直线作为最简单的几何元素之一的重要特点。
2. 直线的延伸性：直线是无限延伸的，可以通过两个已知点继续延伸下去。
无论在平面内还是平面外，直线都可以无限延伸。
3. 直线的平行关系：如果两条直线在同一平面上且没有任何交点，那么这两条直线是平行的。
平行直线的性质在几何证明和计算中具有重要的应用。
4. 直线的垂直关系：如果两条直线在同一平面上交于一个直角（即垂直于彼此），那么这两条直线是垂直的。
垂直直线的性质在解决垂直平分线、垂直二等分线等问题中起着关键作用。
二、圆的性质1. 圆的唯一性：在平面上，给定一个中心点和一个半径，只存在一个与之对应的圆。
这是圆作为平面几何中独特的几何元素之一的重要性质。
2. 圆的等分性：如果一个直径将圆分成两个相等的部分，那么该直径是圆的一个直径。
直径是圆的重要性质之一，在计算和证明中常常使用。
3. 圆的切线性：与圆相切的直线只有一条切线，并且与切点处的半径垂直。
切线和切点是圆的特殊性质，对于解决直线与圆的位置关系和求解问题具有重要意义。
4. 圆的内密切性：如果一个圆C1完全位于另一个圆C2的内部，且两个圆的中心和半径分别相等，那么圆C1是圆C2的内密切圆。
内密切圆的性质可用于构造相切圆或寻找密切圆的位置。
三、直线与圆的相交性质1. 直线与圆的相交关系：直线与圆的交点可能存在0个、1个或2个，具体取决于直线与圆的位置关系。
直线可能与圆相离，相切或相交，这种性质在定位直线与圆的位置关系时很有用。
2. 直线的切线与圆的切点：当直线是切线时，直线与圆相切于圆的一个点，且该点处的切线垂直于圆的半径。
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直线和圆的位置关系 有且仅有
位置关系 相交
相切
公共点个数 2个
1个
d与r的关系 公共点名称
d＜r 交点
d＝r 切点
直线名称 割线
切线
注意：“”， 即“等价于”
相离
无 d＞r
如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆
心，半径为1的圆， ∠AOB＝45°,点P
在数轴上运动，若过P点且OA与平行的
3 2
,
8 5
3,1
y
A
B1
C． 4 , 9
5 5
D． 1, 3
O1
x
在△ABC中，AB=10，AC=8,BC=6
经过点C且与边AB相切的动圆与
CB,CA分别相交于点E,F，则线段EF
长度的最小值是
.
B E
C
FABiblioteka 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，
以BC为直径的半圆O与边AB相交于点
三角形的内切圆
重点内容
如何在一个三角形中剪下一个圆O， 使得该圆的面积尽可能的大？
A
B
C
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心； 这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心是三角形内角平分线的交点。
三角形的内心是 A
否也有在三角形
内、三角形外或
三角形上三种不
同情况。
O
B
C
• 在△ABC中，∠ABC＝50°，
∠ACB＝75°，求∠BOC的度数。
（1）点O是三角形的内心
（2）点O是三角形的外心
A
B
A
O C
• △ABC中，E是内心，∠A的
E
平分线和△ABC的外接圆相 交于点D。求证：DE＝DB。
B
C
D
关于三角形内心的辅助线：
连结内心和三角形的顶点，
该线平分三角形的这一内角。
你能用一个定理把圆的切 线的性质及它的两个推论 概括出来吗？
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个， 就可以推出第三个：（1）垂直于切线；（2） 过切点；（3）过圆心。
如图，⊙O的半径为2，点A的坐标
为（2，2 3 ），直线AB为⊙O的切
线，B为切点．则B点的坐标为 (D)
BA．．
直线与⊙0有公共点, 设OP=X，则X的
取值范围是( A )
A
A．O≤x≤ 2
B． 2 ≤x≤ 2
O PB
C．－1≤x≤1
D． x ＞ 2
如图，在气象站台A的正西方向的B处有一
台风中心，该台风中心以每小时24km的速
度沿北偏东600的BD方向移动，在距离台
风中心130km内的地方都要受到其影响。
（2）若的半径为 3 ，DE=3，求AE．
A
E O
B
D
C
在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC 的平分线BD交AC与点D， DE⊥DB交AB 于点E．1）设⊙O是△BDE的外接圆， 求证:AC是⊙O的切线;
（．2）设⊙O交BC于点F，
连结EF，求的值
切线的性质
重点内容
• 切线判定：直线l：①过半径外端②垂直于半径
。
• 已知： OA＝OB＝5厘米，
O
AB＝8厘米，⊙O的直径6厘
米。求证：AB与⊙O相切。
A
C
B
以上两题辅助线的作法是否相
同？你分析出了什么结论？
• 证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线。 – 若直线过圆上某一点，则连结圆心和公共点， 再证明直线与半径垂直 – 若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心向直 线作垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径。
A C
相等，且AB与小圆相切于点 E
E，求证：CD与小圆相切。 B
OF
D
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以 AB为直径的⊙O交于点D，过点D作 DE⊥AC于点E．求证：DE是⊙O的切线
C D
B
E
O
A
如图所示， △ABC是直角三角形， ∠ABC ＝90° ，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点 D是BC边的中点，连结DE． （1）求证：DE与⊙O相切；
• 切线性质：切线l，A为切点：OA⊥l
切线的性质定理：圆的切线垂 直于经过切点的半径。
推论： 1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线性质定理的推广
• 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
• 推1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
• 推2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
A
M D
O B
N C
如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切 于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合） ，PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与 直线m相交于点D．1）求证：△APC∽△COD．
（2）设AP＝x，OD＝y， 试用含x的代数式表示y．
（3）试探索x为何值时 ，△ACD是一个等边三 角形．
任取一点A，连结OA， 方便应用呢？
过A点作直线l⊥OA
• 直线l是否与⊙O相切呢？
• 从作图过程看，这条切线l满足哪些条件？ l 经过半径外端 l垂直于这条半径
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线。
• 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝
OB，CA＝CB。求证：直线AB是⊙O的切线
三角形的各种"心" Hearts of Triangle
垂心 重心
外心 内心
交 点
三条高线 的交点
三条中线 的交点
三边垂直 三条角平
平分线的 分线的交
交点
点
性 质
D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
求证：
A
（1）△ABC是等边三角形； E
（2）AE
1
．
CE
D
3
B
O
C
如图，⊙O的直径是AB，过点B的直线MN
是⊙O的切线，D、C是⊙O上的两点，连接 BD、CD、和BC．1)求证：∠CBN=∠CDB
2)若DC是∠ADB的平 分线，且∠DAB=150， 求的DC长．
⑴台风中心在移动过程中，气象台A是否会
有影响？
北
⑵台风中心在移动过
D
程中，气象台将受台
C
风的影响，求台风影 60o
响气象台的时间会持 B
A
东
续多长？
• 判断一条直线是不是圆的切线
–使用定义：直线和圆有唯一的公共点
– 圆心到直线的距离d等于半径r时，直线
和圆相切
说说看：以上两
• 操作：画⊙O，在⊙O上 种判断办法是否
如图⊙，O的半径为8厘米 内， 弦圆 AB＝3厘 8 米 以O为圆心，4厘 半米 径为 作小圆，求圆 证与 直线AB相切。
O
A
B
切线判定与性质典型例题
• 已知：AB是⊙O的直径，
C
BC是⊙O的切线，切点为 D
B，OC平行于弦AD。 求证：DC是⊙O的切线。 A
O
B
• 如图，在以O为圆心的两个 同心圆中，大圆的弦AB和CD