精品 九年级数学上册 圆的基本性质讲义+同步练习题
人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案
人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1 圆的有关概念（1）圆：平面上到的距离等于的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O。
（2）弦与直径：连接任意两点的叫做弦过圆心的叫做直径直径是圆内最长的。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做小于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做。
（4）圆心角：顶点在的角叫做圆心角。
（5）圆周角：顶点在并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。
（6）弦心距：到弦的距离叫做弦心距。
（7）等圆：能够的两个圆叫做等圆。
（8）等弧：在同圆或等圆中能的弧叫等弧。
考点2垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径这条弦并且弦所对的两条弧。
（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径于弦并且弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过并且弦所对的两条弧。
（3）延伸：根据圆的对称性如图所示在以下五条结论中：①AC AD=③CE＝DE④AB⊥CD⑤AB是直径。
=②BC BD只要满足其中两个另外三个结论一定成立即推二知三。
考点3 弧弦圆心角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的相等所对的相等。
（2）推论：在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
考点4圆周角定理及其推论。
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半．如图a＝12图a图b图c（ 2 ）推论：①在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等．如图b ①A＝。
①直径所对的圆周角是直角．如图c＝90°。
①圆内接四边形的对角互补．如图a ①A＋＝180° ①ABC＋＝180°。
关键点:垂径定理及其运用（1）垂径定理及推论一条直线在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件就可以推出其他三条结论．称为知二得三（知二推三）。
①平分弦所对的优弧②平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）③平分弦④垂直于弦⑤过圆心（或是直径）（2）常用的辅助线作垂直于弦的直径或只画弦心距。
人教版九年级上册数学 圆的有关性质 同步练习
24.1圆的有关性质同步练习一.选择题（共8题）1.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠CAB=25∘，则∠D的度数为 A．85∘B．105∘C．115∘D．130∘2.如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为1，BC=3，则∠A的度数为 A．30∘B．45∘C．60∘D．75∘3.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35∘，则∠AOB的度数是 A．75∘B．70∘C．65∘D．35∘4.如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠AOC=140∘，则∠B的度数是 A．70∘B．80∘C．110∘D．140∘5.如图，⊙A过点O0,0，C3,0，D0,1，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是 A．15∘B．30∘C．45∘D．60∘6.如图，已知⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，若OD=3，OA=5，则AB的长为 A．2B．4C．6D．87.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M，N，BA，DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法中：=CD ；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO．正确的个数是 ①ABA．1B．2C．3D．48.如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为 A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸二.填空题（共5题）9.如图，AB为⊙O的直径，C，E在⊙O上，∠BOE=20∘，则∠ACE的度数为．10.如图，⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25∘，则∠AOB的度数为度．11.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO=120∘，AB=4，则圆心D的坐标是．的中点，OC交AB于点D．若AB=8 cm，CD=2 cm，则⊙O 12.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的半径为cm．13.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60∘，∠C=70∘，⊙O与边AC相交于点D，连接OD，则∠BOD=．三、解答题（共4题）14.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，联结BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD=8，AE=2．(1)求⊙O的半径；(2)求OF的长度．15.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE．求证：BD=DE．16.如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与点B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．的中点，点P是直径MN上一个动点，圆O的半径为1．17.如图，点A是圆上的一个三等分点，点B是AN(1)找出当AP+BP最小时，点P的位置；(2)求出AP+BP的最小值．。
人教版九年级数学上册 24.1圆的有关性质同步训练(含答案)
E ，满足 AEC 65 ，连接 AD ，则 BAD
度．
答案： 一、选择题
1．（2020•青岛）如图，BD 是⊙O 的直径，点 A，C 在⊙O 上， ＝ ，AC 交 BD 于点 G．若∠COD＝126°，则 ∠AGB 的度数为（ ）
A．99°
B．108°
解：∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠BAD＝90°，
度数是（ ）
A．130°
B．140°
C．150°
解：由题意得到 OA＝OB＝OC＝OD，作出圆 O，如图所示，
∴四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝140°，
故选：B．
D．160°
6．（2020•眉山）如图，四边形 ABCD 的外接圆为 O ， BC CD ， DAC 35 ， ACD 45 ，则 ADB 的度数 为( )
∴∠OEC＝∠OCE＝40°+ x，
∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，
∴∠OED＜20°+ x，
∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+ x）﹣（20°+ x）＝20°，
∵∠CED＜∠ABC＝40°， ∴20°＜∠CED＜40° 故选：C． 二、填空题
16．（2020•襄阳）在 O 中，若弦 BC 垂直平分半径 OA ，则弦 BC 所对的圆周角等于 60 或 120 ． 解：如图，
上任意一点．则
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
解：连接 OD、OE， ∵OC＝OA， ∴△OAC 是等腰三角形， ∵点 D 为弦 AC 的中点， ∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°， 设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°， ∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，
精品 2014年九年级数学圆的基本性质 圆周角圆心角讲义+同步练习题
）
A.16
0
B.32
0
C.48
0
D.64
0
4.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠AB0=50 ，则∠ACB 的大小为（ A.400 Ｂ.300 Ｃ.450
0
） Ｄ.500
5.在同圆中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等，它们所对的弦也相等； (3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 ）
19.如图, AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，∠BAC=30 ，点 P 在线段 OB 上运动.设∠ACP=x，则 x 的取值 范围是 20.如图,CD 是圆的直径,O 是圆心，E 是圆上一点且∠EOD=45 ，A 是 DC 延长线上一点,AE 交圆于 B,如果 AB=OC,则∠EAD=______ 21.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是__________
29.如图，AB 为⊙O 的弦，P 是 AB 上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O 的半径.
30.⊙O 的直径为 50 cm，弦 AB∥CD，且 AB=40 cm，CD=48 cm，求弦 AB 和 CD 之间的距离.
第 6 页 共 8 页
九年级数学上册同步讲义
圆周角 圆心角同步练习题
C D
C O
A
B
A
)
B
7.如图,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( A.100° B.80°
C.50°
D.40° )
8.如图,A、B、C 三点都在⊙O 上,点 D 是 AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( A.40° B.50° C.70° ) D.110°
人教版九年级数学上册24.1 圆的基本性质同步练习含答案【精】
第二十四章圆24.1 圆（第一课时）知识点1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫，线段OA 叫做。
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【特别注意】：1、在一个圆中，圆心决定圆的，半径决定圆的。
2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径。
2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦。
弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类。
3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴。
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是。
一、选择题1．下列命题正确的有（）①弦是圆上任意两点之间的部分②半径是弦③直径是最长的弦④弧是半圆，半圆是弧A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（）A.38°B.52°C.76°D.104°3.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C 的度数是（）A.25°B.40°C.30°D.50°4．一个点到圆上的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cm或6.5 cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm5．如图，已知在⊙O中，AB、CD为直径，则AD与BC的关系是（）.B.AD∥BCC.AD∥BC且AD=BCD.不能确定BCDO6．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C=15°,则∠BOC 的度数为( )A ．15°B ． 30°C ． 45°D ．60°二、填空题1.⊙O 的半径为2cm ，则它的弦长d cm 的取值范围是.2．⊙O 中若弦AB 等于⊙O 的半径，则△AOB 的形状是 .3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 是BC 的中点，若AC =10cm ，则OD = cm.4．如图4，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB=2DE ，∠E=18°，∠C=______,∠AOC=________；5． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最长弦长为_______，最短弦长为________；三、解答题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，以B 为圆心，BC 为半径作⊙B ，A 、C 、D 、E 与⊙B 的位置关系如何？DC BA2、如图， M,N 为线段AB 上的两个三等分点，点A 、B 在⊙O 上，BDO CAABCO求证：∠OMN=∠ONM。
精品 九年级数学上册 圆的基本性质讲义+同步练习题
圆的基本性质知识点圆的定义几何定义：线段OA，绕O点旋转一周得到的图形，叫做圆。
其中，O为圆心，OA为半径。
集合定义：到定点等于定长的所有点的集合。
其中，定点为圆心，定长为半径。
圆的书写格式：圆的对称性（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
与圆有关的线段半径：圆上一点与圆心的连线段。
确定一个圆的要素是圆心和半径。
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
劣弧：小于半圆周的圆弧叫做劣弧。
表示方法：优弧：大于半圆周的圆弧叫做优弧。
表示方法：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
注意：同弧或等弧对应的弦相等。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意: 定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.注意：(1)在圆中，与已知弦（非直径）相等的弦共有条；共端点且相等的弦共有条。
（2）在圆中，与已知弦（非直径）平行的弦共有条；平行且相等的弦共有条。
例1.如图：OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD=BC.例2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，如果AB=10cm，CD=8cm，求AE的长。
人教版九年级数学上册圆的基本性质同步练习题含答案
24.1 圆（第二课时 ）------ 垂径定理知识点1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。
2、推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 。
【特别注意：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线；3、垂径定理常用作计算，在半径r 、弦a 、弦心d 、和拱高h 中已知两个可求另外两个】 一、选择题1.如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB=4，OC=1，则OB 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．2.如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）． A.2 B.3 C.4 D.53.在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ,AB =6cm ，CD =8cm ，则AB 和CD 的距离是（ ）． A.7cm B.1cm C.7cm 或4cm D.7cm 或1cm4.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（ ）．B （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）53 BOA5.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ） A ．CM=DM B ． CB DB C ．∠ACD=∠ADC D ．OM =MD·AO MB6．如图，在半径为5的⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB=CD=8，则OP 的长为（ ） A ．3B ．4C ．32D ．427．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的直径为（ ） A ．8 B ．10 C ．16 D ．208、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 二、填空题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC ，垂足为D ，已知OD =5，则弦AC = ．2、如图AB 是⊙O 的直径，∠BAC=42°，点D 是弦AC 的中点，则∠DOC 的度数是 度．A·C OD3、如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为．4、如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．Θ与x轴交于O,A 5、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，PΘ的半径为13，则点P的坐标为____________.两点，点A的坐标为（6,0），P6．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=23，0C=1，则半径OB的长为．BAC ED OFBOEDCA8.如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是 ．OP9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是 m.D10.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 cm ．三、解答题1．如图，AB 和CD 是⊙O 的弦，且AB=CD ， E 、F 分别为弦AB 、CD 的中点， 证明：OE=OF 。
人教版九年级数学上册《24.1圆的有关性质》同步测试题及答案
人教版九年级数学上册《24.1圆的有关性质》同步测试题及答案一、选择题1．已知⊙O的半径是2cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若AE=2，则⊙O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．6⌢=CD⌢，∠COB=40°，则∠A的度数是（）3．如图，AB是⊙O的直径ADA．50°B．55°C．60°D．65°4．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠BOC=（）A．140°B．40°C．80°D．60°5．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，⊙O半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．2米B．4米C．(6−2√5)米D．(6+2√5)米6．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，连接BD．若CD=8，OE=3，则BD的长为（）A．√10B．2√3C．√17D．2√57．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点OC⊥AB，垂足为D，若∠A=20°，则∠ABC=（）A．20°B．30°C．35°D．55°8．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，已知∠ADC=60°，∠BDC=40°，则∠ACB=（）A．60°B．70°C．79°D．80°二、填空题9．如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=40°，点D在⊙O上，连接CD，AD，则∠ADC=.10．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为cm．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC=29°，则∠D=．12．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为.13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=130°，则∠BOD=．三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，点C，D均在⊙O上∠ACD=30°，弦AD=4cm，求⊙O的直径．⌢=BC⌢，求∠ABC的度数．15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，△OAB是等边三角形AB16．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据⌢，桥的跨度（弧所对的弦长）AB=30m，设AB⌢该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB所在圆的圆心为O，OB，OC为半径，半径OC⊥AB，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m．（1）直接写出AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径．̂的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．17．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是BF（1）求证：GE＝BE；（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长．参考答案1．D2．C3．B4．C5．C6．D7．C8．D9．20°10．1611．61°12．414．解：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°．∵同弧所对的圆周角相等∴∠ABD=∠ACD=30°．∵AD=4∴AB=8．∴⊙O的直径为8cm15．解：∵△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°∴∠ADB=12∠AOB=30°∵AB⌢=BC⌢∴∠CDB=∠ADB=30°，∠ADC=60°∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠ABC=180°−∠ADC=120°．16．（1）AD=BD（2）解：设主桥拱半径为R∵AB=30，CD=5，OC⊥AB∴BD=12AB=12×30=15，OD=OC−CD=R−5在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB2=BD2+OD2即R2=152+(R−5)2解得R=25因此，这座石拱桥主桥拱半径约为25m．17．（1）证明：∵D是BF̂的中点∴∠ECG＝∠ECB∵CD⊥AB∴∠CEG＝∠CEB＝90°∴∠CGE＝∠CBE∴CG＝CB∵CE⊥BG（2）解：∵AG＝6，BG＝4 ∴AB＝6+4＝10AB＝5∴OC＝OB＝12∴OG＝OB﹣BG＝5﹣4＝1BG＝2 由（1）知GE＝BE＝12∴OE＝OG+GE＝1+2＝3∴CE＝√OC2−OE2＝4∵直径AB⊥CD∴CD＝2CE＝2×4＝8．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆的基本性质知识点圆的定义几何定义：线段OA，绕O点旋转一周得到的图形，叫做圆。
其中，O为圆心，OA为半径。
集合定义：到定点等于定长的所有点的集合。
其中，定点为圆心，定长为半径。
圆的书写格式：圆的对称性（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
与圆有关的线段半径：圆上一点与圆心的连线段。
确定一个圆的要素是圆心和半径。
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
劣弧：小于半圆周的圆弧叫做劣弧。
表示方法：优弧：大于半圆周的圆弧叫做优弧。
表示方法：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
注意：同弧或等弧对应的弦相等。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意:定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.注意：(1)在圆中，与已知弦（非直径）相等的弦共有条；共端点且相等的弦共有条。
（2）在圆中，与已知弦（非直径）平行的弦共有条；平行且相等的弦共有条。
例1.如图：OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD=BC.例2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，如果AB=10cm，CD=8cm，求AE的长。
例3.如图，已知在圆O中，A、B、C三点在圆O上，已知弧BC=2弧AB，则弦BC与2AB之间的大小关系是什么？请证明你的结论。
例4.如图，在半径为5cm的圆O中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求弦AB和弦CD的距离。
例5.如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm,EB=5cm,∠DEB=600，求CD的长。
同步练习：1.已知P为⊙O内一点，且OP=2cm，如果⊙O的半径是3cm，那么过点P的最长的弦长为______；最短的弦长为_______。
2.已知AB是⊙O的弦，弦CD过圆心且平分弦AB于M，若OM=DM，则∠AOB＝_______3.在半径为2cm的圆中，垂直平分半径的弦长为______4.如图，半径为1cm的圆中，弦MN垂直平分弦AB，则MN=_______cm。
5.在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.6.如图,有一个圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为___________7.⊙O中的半径为5cm，AB为直径，CD为弦，CD⊥AB，垂足为E，若CD=6cm，则AE的长为________cm。
8.过⊙O内一点M的最长弦10cm，最短弦为8cm，则OM为________9.若圆中某弦长8cm，圆心到弦的距离为3cm，则此圆的半径为10.⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是_____________11.在⊙O中，OA为半径，CD垂直平分OA，且OA=4cm，则弦CD的长为_________2cm，则此弦中点到弦多对劣弧中点的距离是_________.12.若圆的半径为2cm，圆中一条弦长为313.在⊙O中,弦AB=24,弦CD=10,圆心到AB的距离为5,则圆心到CD的距离为__________14.已知⊙O的半径为3,OA=1,则过A点的最短的弦长为__________15.如图，扇形OAB中，∠AOB=900，半径OA=1,C是线段AB的中点，CD//OA，交弧AB于点D，则CD=.16.下列说法错误的是（）A．等弧所对圆周角相等B．同弧所对圆周角相等C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等．D．同圆中，等弦所对的圆周角相等17.点P是半径为5的⊙O内一点,且OP=3,在过点P的所有弦中,长度为整数的弦一共有（ ）A.2条 B.3条 C.4条 D.5条18.过⊙O内一点M的最长的弦长为6厘米，最短的弦长为4厘米，则OM的长为（ ） A.3厘米 B.5厘米 C.2厘米 D.5厘米19.如图,已知AB 是⊙O 直径,弦CD⊥AB 于点P,CD=10厘米,AP∶PB=1:5,那么⊙O 的半径是（ ）A.6厘米 B.53厘米 C.8厘米 D.35厘米20.如图所示,以O 为圆心的两个同心圆中,小圆的弦AB 的延长线交大圆于C,若AB=3,BC=1,则与圆环的面积最接近的整数是()A.9B.10C.15D.1321.如图,顺次连接圆内接矩形各边的中点,得到菱形ABCD,若BD=10,DF=4,则菱形ABCD 的边长为（）A.42B.52C.6D.922.如图,点O 是∠EPF 的平分线上一点,以O 为圆心的圆与角的两边分别相交于A、B 和C、D,角平分线PO 和⊙O 相交于G、H.下列结论：①AB=CD；②弧AB=弧CD；③PB=PD；④PA=PC,其中正确的有（）．A.1个B.2个C.3个D.4个23.已知:四边形ABCD的四个顶点在同一个圆上,对角线AC⊥BD,AB＞CD.若CD=4,则AB与圆的距离为() A.5 B.2 C.3 D.224.已知:如图,在⊙O 中,弦AB=CD.求证：⑴弧AC=弧BD；⑵∠AOC=∠BOD.25.如图,已知:⊙O 中,AB、CD 为弦,OC 交AB 于D,求证:(1)∠ODB>∠OBD;(2)∠ODB>∠OBC.26.已知如图,AB、AC 为弦，OD⊥AB 于D，OE⊥AC 于E，DE 是△ABC 的中位线吗？27.已知⊙O中,D、E分别是不平行的两条弦AB和CD的中点,且AB=AC,求证:∠ADE=∠CED.28.如图,⊙O中,弦AB=8,C为弧AB中点,CD⊥AB于D,若CD=2,求⊙O的半径.29.如图,已知在⊙O中,弦AB=CD,且AB⊥CD,垂足为H,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F.（1）求证：四边形OEHF是正方形.（2）若CH=3,DH=9,求圆心O到弦AB和CD的距离.30.如图：在⊙O中,OA=OB,OC,OD交AB于E,F,AE=FB,求证:OE=OF.31.在⊙O中,弦AB=3,半径为1,C为劣弧AB的中点,试判定四边形OACB的形状,并说明理由.32.如图,在直径为100mm 的半圆铁片上切去一块高为20mm 的弓形铁片,求弓形的弦AB 的长.33.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,CD⊥AB 于D,CE 平分∠DCO,交⊙O 于E,求证：弧AE=弧EB.34.如图,在RtΔABC 中,∠C=900，AC=3,BC=4,以点C 为圆心,CA 为半径的圆与AB、BC 分别交于点D、E,求AB、AD 的长．35.如图,F 是以O 为圆心,BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点,AD⊥BC 于D,求证：AD=21BF.36.已知：⊙O 的半径OA=1，弦AB、AC 的长分别是2、3.求BAC 的度数。
圆基本性质练习题满分：100分时间：20分钟姓名：得分：1.一条直线经过圆心，且平分弦所对的劣弧，那么这条直线（）A.只平分弦B.只平分弦所对的优弧C.只垂直于弦D.垂直于弦且平分弦所对的优弧2.下面四个判断中正确的是（）A.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦B.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦C.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，一条最短的弦D.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦3.下列命题中，正确的命题是（）A.平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦B.平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧C.在⊙O 中，AB、CD 是弦，若BD =AC，则AB∥CDD.圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径4.圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,AB=8m,∠CAD=300，则大棚高度CD 约为（）A.2.0m B.2.3m C.4.6m D.6.9m5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材,埋在壁中,不知大小．以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD,垂足为E，CE=1寸,AB=10寸,求直径CD 的长”．依题意，CD 长为（ ）A.225寸 B.13寸 C.25寸 D.26寸6.要确定一个圆，需要知道_________和___________.7.到定点O 的距离等于2cm 的点的集合是以_________为圆心，_________为半径的圆．8.已知⊙O 的直径为4cm，则⊙O 的面积为_________，周长为_________。
9.如果的周长为10π，那么它的半径为_________10.弧分为_________，_________，_________11.在同圆中，平行弦所夹的弧________12.一个圆的最长弦长为10m，则此圆的面积是_______13.A、B 是半径为2的⊙O 上不同两点，则AB 的取值范围是______14.已知⊙O 的直径AB=10cm，弦CD⊥AB 于M，且OM=3cm，则CD=_______15.半径是32cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为_______16.如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D.若AC=8cm，DE=2cm，则OD 的长为cmOD A B C PBAO 17.如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是___________米18.如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A、B 两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B 的坐标是19.如图，⊙O 的半径是5cm，P 是⊙O 外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB=cm20.判断：（1）直径是弦．（）（2）弦是直径．（）（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆．（）（4）半径相等的两个半圆是等弧．（）（5）长度相等的两条弧是等弧．（）（6）周长相等的圆是等圆．（）（7）面积相等的圆是等圆．（）。