一模分类(二次函数)

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2023年上海市各地区中考一模试题按题型难易度分层分类汇编-02填空题

上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试卷按题型难易度分层分类汇编-02填空题（提升题）1目录一．二次函数的性质（共1小题） (2)二．二次函数图象与系数的关系（共2小题） (2)三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） (2)四．三角形的重心（共1小题） (2)五．菱形的性质（共1小题） (2)六．*平面向量（共3小题） (2)七．相交两圆的性质（共1小题） (3)八．翻折变换（折叠问题）（共2小题） (3)九．旋转的性质（共1小题） (3)一十．比例的性质（共1小题） (3)一十一．相似三角形的判定与性质（共3小题） (3)一十二．相似三角形的应用（共1小题） (4)一．二次函数的性质（共1小题） (6)二．二次函数图象与系数的关系（共2小题） (6)三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） (6)四．三角形的重心（共1小题） (7)五．菱形的性质（共1小题） (7)六．*平面向量（共3小题） (9)七．相交两圆的性质（共1小题） (10)八．翻折变换（折叠问题）（共2小题） (11)九．旋转的性质（共1小题） (13)一十二．相似三角形的应用（共1小题） (16)一十三．解直角三角形（共1小题） (17)一十四．解直角三角形的应用（共1小题） (18)一．二次函数的性质（共1小题）1．（2023•虹口区一模）沿着x轴正方向看，抛物线y＝﹣x2+2x在其对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）二．二次函数图象与系数的关系（共2小题）2．（2023•宝山区一模）如果抛物线y＝ax2的开口方向向下，那么a的取值范围是．3．（2023•杨浦区一模）已知抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是．三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）4．（2023•崇明区一模）已知点A（2，y1），B（﹣3，y2）为二次函数y＝（x+1）2图象上的两点，那么y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．四．三角形的重心（共1小题）5．（2023•徐汇区一模）如图，已知G为△ABC的重心，过点G作BC的平行线交边AB和AC于点D、E．设＝，＝，试用x+y（x、y为实数）的形式表示向量＝．五．菱形的性质（共1小题）6．（2023•崇明区一模）如图，菱形ABCD的边长为8，E为BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，过点F作FG∥AD，交AE于点G，若cos B＝，则FG的长为．六．*平面向量（共3小题）7．（2023•徐汇区一模）计算：＝．8．（2023•杨浦区一模）计算：＝．9．（2023•虹口区一模）如图，在△ABC中，点D在边AC上，已知△ABD和△BCD的面积比是1：2，，，那么用向量、表示向量为．七．相交两圆的性质（共1小题）10．（2023•宝山区一模）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为．八．翻折变换（折叠问题）（共2小题）11．（2023•徐汇区一模）如图，点E是矩形ABCD纸片边CD上一点，如果沿着AE折叠矩形纸片，恰好使点D落在边BC上的点F处，已知BF＝6cm，tan∠BAF＝，那么折痕AE的长是．12．（2023•崇明区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在AC边上，点E在射线AB 上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′D⊥AC且CA′∥AB时，BE的长为．九．旋转的性质（共1小题）13．（2023•虹口区一模）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线l1∥l2，l1与l2之间的距离是3，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上（点B在点C的左侧），点A在直线l2上，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A1BC1，点A、C的对应点分别为点A1、C1，那么A1C的长为．一十．比例的性质（共1小题）14．（2023•崇明区一模）如果＝（x≠0），那么＝．一十一．相似三角形的判定与性质（共3小题）15．（2023•普陀区一模）如图，△ABC中的一边BC与双边平行且单位相同的刻度尺的一边重合，边AB、AC分别与刻度尺的另一边交于点D、E，点B、C、D、E在刻度尺上的读数分别为0、5、1、3，如果刻度尺的宽度为3，那么△ABC的面积是．16．（2023•虹口区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、CD上且EF∥AD，已知AE：EB＝1：2，AD＝3，EF＝4，那么BC的长是．17．（2023•崇明区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，∠D＝45°，则＝．一十二．相似三角形的应用（共1小题）18．（2023•徐汇区一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为米．一十三．解直角三角形（共1小题）19．（2023•杨浦区一模）已知在△ABC中，AB＝13，BC＝17，tan B＝，那么AC＝․一十四．解直角三角形的应用（共1小题）20．（2023•杨浦区一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为74°，那么小球在最高和最低位置时的高度差为厘米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试卷按题型难易度分层分类汇编（11套）-02填空题（提升题）1参考答案与试卷解析一．二次函数的性质（共1小题）1．（2023•虹口区一模）沿着x轴正方向看，抛物线y＝﹣x2+2x在其对称轴右侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降”）【答案】下降．【解答】解：因为a＝﹣1＜0，所以抛物线y＝﹣x2+2x在对称轴右侧部分是下降的，故答案为：下降．二．二次函数图象与系数的关系（共2小题）2．（2023•宝山区一模）如果抛物线y＝ax2的开口方向向下，那么a的取值范围是a＜0．【答案】a＜0．【解答】解：∵抛物线y＝ax2的开口方向向下，∴a＜0，故答案为：a＜0．3．（2023•杨浦区一模）已知抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是a＞0．【答案】a＞0．【解答】解：∵抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是下降的，∴抛物线开口向上，∴a＞0，故答案为：a＞0．三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）4．（2023•崇明区一模）已知点A（2，y1），B（﹣3，y2）为二次函数y＝（x+1）2图象上的两点，那么y1＞y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．【答案】＞．【解答】解：∵y＝（x+1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），∴y1＞y2．故答案为：＞．四．三角形的重心（共1小题）5．（2023•徐汇区一模）如图，已知G为△ABC的重心，过点G作BC的平行线交边AB和AC于点D、E．设＝，＝，试用x+y（x、y为实数）的形式表示向量＝﹣+．【答案】﹣+．【解答】解：连接AG并延长交BC于M，∵G为△ABC的重心，∴AG：AM＝2：3，∵DE∥BC，∴AD：AB＝AG：AM＝2：3，∵△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝AD：AB＝2：3，∴＝，∵＝﹣＝﹣，∴＝（﹣）＝﹣+．故答案为：﹣+．五．菱形的性质（共1小题）6．（2023•崇明区一模）如图，菱形ABCD的边长为8，E为BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，过点F作FG∥AD，交AE于点G，若cos B＝，则FG的长为．【答案】．【解答】解：作AM⊥BC于M，延长AE、DC交于点N，∵cos B＝，AB＝8，∴BM＝2，∵点E为BC的中点，∴BE＝4，∴ME＝BM＝2，∴AM垂直平分BE，∴AB＝AE＝8，∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠GAF，∵AD∥GF，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠GAF＝∠GFA，∴AG＝FG，设AG＝FG＝x，∴EG＝8﹣x，∵BE＝CE，∠AEB＝∠NEC，∠ABE＝∠NCE，∴△ABE≌△NCE（ASA），∴NE＝AE＝8，∵CE∥FG，∴△NCE∽△NFG，∴，解得x＝，∴FG＝，故答案为：．六．*平面向量（共3小题）7．（2023•徐汇区一模）计算：＝﹣．【答案】﹣．【解答】解：2（﹣）﹣（3﹣）＝2﹣2﹣+＝﹣．故答案为：﹣．8．（2023•杨浦区一模）计算：＝+．【答案】+．【解答】解：（﹣2）+＝﹣+＝+．故答案为：+．9．（2023•虹口区一模）如图，在△ABC中，点D在边AC上，已知△ABD和△BCD的面积比是1：2，，，那么用向量、表示向量为3﹣3．【答案】3﹣3，【解答】解：∵△ABD和△BCD的面积比是1：2，∴AD：DC＝1：2，∴AD＝AC，∴＝，∵＝+，，∵﹣＝﹣+，∴＝3﹣3，故答案为：3﹣3，七．相交两圆的性质（共1小题）10．（2023•宝山区一模）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为11或21．【答案】11或21．【解答】解：半径长分别为13和20的⊙A、⊙B相交于点E、点F，EF＝24，连接AE、BE，则AE＝13，BE＝20，如图1，点A、点B在直线EF的同侧，延长BA交EF于点C，∵AB垂直平分EF，∴∠BCE＝90°，CE＝CF＝EF＝×24＝12，∴BC＝＝＝16，AC＝＝＝5，∴AB＝BC﹣AC＝16﹣5＝11；如图2，点A、点B在直线EF的异侧，BA交EF于点D，∵∠BDE＝∠ADE＝90°，DE＝DF＝EF＝×24＝12，∴BD＝＝＝16，AD＝＝＝5，∴AB＝BD+AD＝16+5＝21，综上所述，这两个圆的圆心距为11或21，故答案为：11或21．八．翻折变换（折叠问题）（共2小题）11．（2023•徐汇区一模）如图，点E是矩形ABCD纸片边CD上一点，如果沿着AE折叠矩形纸片，恰好使点D落在边BC上的点F处，已知BF＝6cm，tan∠BAF＝，那么折痕AE的长是5cm．【答案】5cm．【解答】解：矩形ABCD中，∠B＝90°，∴tan∠BAF＝，∴AB＝＝＝8（cm），∴AF＝＝＝10（cm）由题意得：AD＝AF＝10（cm）DE＝EF，令DE＝xcm，则CE＝（8﹣x）cm，∵FC＝BC﹣BF，∴FC＝10﹣6＝4（cm），∵EF2＝EC2+FC2，∴x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∴DE＝5（cm），∴AE＝＝＝5（cm）．故答案为：5cm．12．（2023•崇明区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在AC边上，点E在射线AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′D⊥AC且CA′∥AB时，BE的长为．【答案】．【解答】解：如图，延长A′D交AB于点G，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝∠ADG＝∠ACB＝90°，∵CA′∥AB，∴∠A′CD＝∠A，∴A′D＝CD•tan∠A′CD＝CD•tan A＝CD，由翻折得AD＝A′D＝CD，∴AD＝（4﹣AD），解得AD＝，∴GD＝AD•tan A＝AD＝×＝，CD＝4﹣＝，∴AG＝＝＝，∴BG＝5﹣＝，∵∠A′DE＝∠ADE＝＝135°，∴∠CDF＝135°﹣90°＝45°，∴CF＝CD•tan∠CDF＝CD•tan45°＝CD×1＝CD＝，∴BF＝3﹣＝，∴BF∥GD，∴△EBF∽△EGD，∴＝，∴＝，解得BE＝，故答案为：．九．旋转的性质（共1小题）13．（2023•虹口区一模）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线l1∥l2，l1与l2之间的距离是3，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上（点B在点C的左侧），点A在直线l2上，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A1BC1，点A、C的对应点分别为点A1、C1，那么A1C的长为3﹣3或3+3．【答案】3﹣3或3+3．【解答】解：当BC边上是高在形内时，如下图：∵BC＝3，AC＝3，AB＝A1B＝3，∴A1C＝A1B﹣BC＝3﹣3，当BC边上是高在形外时：A1C＝3+3，故答案为：3﹣3或3+3．一十．比例的性质（共1小题）14．（2023•崇明区一模）如果＝（x≠0），那么＝．【答案】．【解答】解：∵＝（x≠0），∴＝，∴＝+1＝+1＝，故答案为：．一十一．相似三角形的判定与性质（共3小题）15．（2023•普陀区一模）如图，△ABC中的一边BC与双边平行且单位相同的刻度尺的一边重合，边AB、AC分别与刻度尺的另一边交于点D、E，点B、C、D、E在刻度尺上的读数分别为0、5、1、3，如果刻度尺的宽度为3，那么△ABC的面积是．【答案】．【解答】解：过点A作AF⊥DE，垂足为G，并延长AG交BC于点H，由题意得：DE＝2，BC＝5，GH＝3，DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：AH＝5，∴△ABC的面积＝BC•AH＝×5×5＝，故答案为：．16．（2023•虹口区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、CD上且EF∥AD，已知AE：EB＝1：2，AD＝3，EF＝4，那么BC的长是6．【答案】6．【解答】解：作AN∥DC，交EF于点M，交BC于点N，∵AD∥BC，EF∥AD，∴四边形AMFD是平行四边形、四边形MNCF是平行四边形，∴AD＝MF＝NC＝3，∵EM∥BN，EF＝4，∴△AEM∽△ABN，EM＝1，∴，∵AE：EB＝1：2，∴＝，∴＝，∴＝，解得BN＝3，∴BC＝BN+NC＝3+3＝6，故答案为：6．17．（2023•崇明区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，∠D＝45°，则＝．【答案】．【解答】解：∵∠ACD＝90°，∠D＝45°，∴∠DAC＝45°，∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC＝45°，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△DCA∽△ABC，∴＝（）2，∵∠B＝90°，∠BCA＝45°，∴∠CAB＝45°，∴sin∠CAB＝＝，∴＝（）2＝（）2＝，故答案为：．一十二．相似三角形的应用（共1小题）18．（2023•徐汇区一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为22.3米．【答案】22.3．【解答】解：作AM⊥EF于M，交DC于N，∵CD＝6.6米，AB＝1.6米，∴CN＝CD﹣AB＝5米，FM＝AB＝1.6米，∵CN∥EM，∴△ACN∽△AEM，∴CN：EM＝AN：AM，∴5：EM＝12：54，∴EM＝22.5（米），∴EF＝EM+FM＝22.5+1.6＝24.1（米），∴观景台的高度为24.1﹣1.8＝22.3米．故答案为：22.3．一十三．解直角三角形（共1小题）19．（2023•杨浦区一模）已知在△ABC中，AB＝13，BC＝17，tan B＝，那么AC＝5․【答案】5．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，∵tan B＝，AB＝13，BC＝17，∴设AD＝5x，则BD＝12x，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝132，解得x＝1（负值舍去），∴AD＝5x＝5，BD＝12x＝12，∴CD＝BC﹣BD＝17﹣12＝5，由勾股定理得：AC＝＝＝5．故答案为：5．一十四．解直角三角形的应用（共1小题）20．（2023•杨浦区一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为74°，那么小球在最高和最低位置时的高度差为10厘米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【答案】10．【解答】解：如图：过A作AB⊥OC于B．Rt△OAB中，OA＝50厘米，∠AOB＝74°÷2＝37°，∴OB＝OA•cos37°＝50×cos37°．∴BC＝OC﹣OB＝50﹣50×cos37°＝50（1﹣cos37°）≈50×0.2＝10（厘米）．故答案为：10．。

2018上海各区一模分类整理(二次函数)

2018年初三一模知识点分类整理——二次函数一、选择题1. （宝山）二次函数y ＝x 2＋2x ＋3的图像的开口方向为（）．A. 向上；B. 向下；C. 向左；D. 2. （宝山）如图1-2，如果把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x向上方平移其顶点在直线y ＝x 上的A 处，那么平移后的抛物线解析式是（）． A. y ＝(x＋2＋ B. y ＝(x ＋2)2＋2；C. y ＝(x－2＋ D. ) y ＝(x －2)2＋2． 3. （崇明）抛物线y ＝2(x ＋3)2－4的顶点坐标是（）．A. (3，4)；B. (3，－4)；C. (－3，4)；D. (－3，－4)．4. （奉贤）下列函数中是二次函数的是（）A. 2(1)y x =-B. 22(1)y x x =--C. 2(1)y a x =-D. 221y x =-5. （奉贤）已知二次函数2y ax bx c =++的图像上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：那么关于它的图像，下列判断正确的是（） A. 开口向上B. 与x 轴的另一个交点是(3,0)C. 与y 轴交于负半轴D. 在直线1x =左侧部分是下降的6. （虹口）抛物线224y x =-的顶点在（）A ．x 轴上；B ．y 轴上；C ．第三象限；D ．第四象限．7. （虹口）如果将抛物线22y x =--向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是（）A ．25y x =--；B ．21y x =-+；C ．2(3)2y x =---；D ．2(3)2y x =-+-．8. （黄浦）已知二次函数2y ax bx c =++的图像大致如图1-8，则下列关系式中成立的是（）A. 0a >；B. 0b <；C. 0c <；D. 20b a +>.9. （黄浦）若将抛物线向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为22y x =，则原来抛物线的表达式为（）A. 222y x =+；B. 222y x =-；C. ()222y x =+； D. ()222y x =-. 10. （嘉定）抛物线2)1(22-+=x y 与y 轴的交点的坐标是（）A )2,0(-； B. )0,2(-； C. )1,0(-； D. )0,0(．11. （金山）将抛物线()214y x =-++平移，使平移后所得抛物线经过原点，那么平移的过程为（）A. 向下平移3个单位；B. 向上平移3个单位；C. 向左平移4个单位；D. 向右平移4个单位．12. （静安）将抛物线2123y x x =--先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线22y ax bx c =++重合，现有一直线323y x =+与抛物线22y ax bx c =++相交，当23y y ≤时，利用图像写出此时x 的取值范围是（） A. 1x ≤-B. 3x ≥C. 13x -≤≤D. 0x ≥13. （闵行）已知抛物线c :322-+=x x y ，将抛物线c 平移得到抛物线,c ，如果两条抛物线，关于直线1=x 对称，那么下列说法正确的是（） A. 将抛物线c 沿x 轴向右平移25个单位得到抛物线,c ； B. 将抛物线c 沿x 轴向右平移4个单位得到抛物线,c ； C. 将抛物线c 沿x 轴向右平移27个单位得到抛物线,c ； D. 将抛物线c 沿x 轴向右平移6个单位得到抛物线,c ． 14. （浦东）下列函数中，二次函数是（）A. 54+-=x y ；B. )32(-=x x y ；C. 22)4(x x y -+=； D. 21x y =. 15. （浦东）如果二次函数2y ax bx c =++的图像全部在x 轴的下方，那么下列判断中正确的是（） A. 0<a ，0<b ； B. 0>a ，0<b ； C. 0<a ，0>c ； D. 0<a ，0<c ． 16. （普陀）下列函数中，y 关于x 的二次函数是（）．A. y =ax 2＋bx ＋c ；B. y =x (x －1)；C. 21y x =； D). y ＝(x －1)2－x 2．17. （松江）下列函数中，属于二次函数的是（）A. 3y x =-；B. 22(1)y x x =-+；C. (1)1y x x =--；D. 21y x =．18. （徐汇）对于抛物线2(2)3y x =-++，下列结论中正确结论的个数为（） ①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x =-2；③图像不经过第一象限； ④当x >2时，y 随x 的增大而减小．A. 4；B. 3；C. 2；D. 1．19. （杨浦）如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图1-19所示，那么下列不等式成立的是（）A. 0a >；B. 0b <；C. 0ac <；D. 0bc <．20. （长宁）将抛物线3)1(2++-=x y 向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A. 1)1(2++-=x y ；B. 3)1(2+--=x y ；C. 5)1(2++-=x y ；D. 3)3(2++-=x y ．二、填空题1. （宝山）抛物线y ＝5 (x －4)2＋3的顶点坐标是_________．2. （宝山）二次函数yx －1)2y 轴的交点坐标是_________． 3. （宝山）如果点A (0，2)和点B (4，2)都在二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像上，那么此抛物线在直线_________的部分是上升的．（填具体某直线的某侧） 4. （崇明）如果抛物线y ＝(a ＋1)x 2－4有最高点，那么a 的取值范围是_________． 5. （崇明）抛物线y ＝2x 2＋4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为________． 6. （崇明）已知点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2(x －3)2＋5上的两点，如果x 1＞x 2＞4，那么y 1________ y 2．（填“＞”、“＝”或“＜”）7. （奉贤）如果抛物线25y ax =+的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是____________． 8. （奉贤）如果抛物线22y x =与抛物线2y ax =关于x 轴对称，那么a 的值是____________．9. （奉贤）某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为(0)x x >，十二月份的快递件数为y 万件，那么y 关于x 的函数解析式是____________．10. （虹口）如果抛物线2(1)3y x m x =-+-+经过点（2,1），那么m 的值为． 11. （虹口）抛物线221y x x =-+-在对称轴（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的． 12. （虹口）如果将抛物线22y x =-平移，顶点移到点P （3，-2）的位置，那么所得新抛物线的表达式为．13. （虹口）如果点A （2，-4）与点B （6，-4）在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上，那么该抛物线的对称轴为直线．14. （黄浦）已知二次函数的图像开口向下，且其图像顶点位于第一象限，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式为（表示为()2y a x m k =++的形式）15. （黄浦）已知抛物线2y ax bx c =++开口向上，一条平行于x 轴的直线截此抛物线于M 、N 两点，那么线段MN 的长度随直线向上平移而变 .（填“大”或“小”）16. （嘉定）如果函数32)2(2++-=x x m y （m 为常数）是二次函数，那么m 取值范围是． 17. （嘉定）抛物线向下平移4个单位后所得的新抛物线的表达式是． 18. （嘉定）抛物线2322-++=k x x y 经过点)0,1(-，那么=k ． 19. （金山）抛物线221y x =-的顶点坐标是．20. （金山）点（-1，a ）、（-2，b ）是抛物线223y x x =+-上的两个点，那么a 和b 的大小关系是a b （填“>”或“<”或“=”）．21. （静安）如果抛物线2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）在对称轴左侧的部分是上升的，那么a ____________0．（填“<”或“>”）22. （静安）将抛物线2()y x m =+向右平移2个单位后，对称轴是y 轴，那么m 的值是__________． 23. （闵行）抛物线22(3)4y x =-+的在对称轴的侧的部分上升．（填“左”或“右”） 24. （闵行）如果二次函数281y x x m =-+-的顶点在x 轴上，那么m = ． 25. （闵行）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：容易看出，（－2，0）是它与x 轴的一个交点，那么它与x 轴的另一个交点的坐标为． 26. （浦东）抛物线432-=x y 的最低点坐标是．27. （浦东）将抛物线向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是．28. （浦东）如图2-28，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米）围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 则S 关于x 的函数解析式是．（不写定义域）．342++=x x y 22x y =2-2829. （普陀）在直角坐标平面内，抛物线y ＝3x 2＋2x 在对称轴的左侧部分是_______的．（填“上升”或“下降”）30. （普陀）二次函数y ＝(x －1)2－3的图像与y 轴的交点坐标是_________． 31. （普陀）将抛物线y ＝2x 2平移，使顶点移动到点P （－3,1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_________． 32. （青浦）抛物线24y x =+的对称轴是．33. （青浦）将抛物线2y x =-平移，使它的顶点移到点()23P -，，平移后新抛物线的表达式为． 34. （松江）如果抛物线2(2)1y a x x =++-的开口向下，那么a 的取值范围是．35. （松江）已知抛物线y =f (x )开口向下，对称轴是直线x =1，那么f (2) f (4)．（填“>”或“<”） 36. （松江）把抛物线2y x =向下平移，如果平移后的抛物线经过点A （2,3），那么平移后的抛物线的表达式是．37. （松江）我们定义：关于x 的函数22与y ax bx y bx ax =+=+（其中a ≠b ）叫做互为交换函数．如223443与y x x y x x =+=+是互为交换函数．如果函数22y x bx =+与它的交换函数图像顶点关于x 轴对称，那么b = ．38. （徐汇）已知抛物线C 的顶点坐标为（1,3），如果平移后能与抛物线21232y x x =++ 重合，那么抛物线C 的表达式是．39. （徐汇）如果抛物线22y ax ax c =-+与x 轴的一个交点为（5,0），那么与x 轴的另一个交点的坐标是． 40. （杨浦）抛物线23y x =-的顶点坐标是 .41. （杨浦）点A （-1，m ）和点B （-2，n ）都在抛物线2(3)2y x =-+上，则m 与n 的大小关系为m n （填“<”或“>”）．42. （杨浦）请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式 . 43. （杨浦）已知抛物线22y ax ax c =++，那么点P （-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 .44. （长宁）若抛物线2)2(x a y -=的开口向上，则a 的取值范围是． 45. （长宁）抛物线342+-=x x y 的顶点坐标是．46. （长宁）已知点A (-2,m )、B (2,n )都在抛物线t x x y -+=22上，则m 与n 的大小关系是m n ．（填“>”、“<”或“=”）三、简答题1. （宝山）如图，在直角坐标系中，已知直线y ＝12-x ＋4与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，C 点坐标为(－2，0)．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）如果M 为抛物线的顶点，联结AM 、BM ，求四边形AOBM 的面积．2. （奉贤）已知抛物线2 241y x x -=-＋．（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点 (2,0)P 的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．3. （虹口）小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图像，下表与下图是他所完成的部分表格与图像，求该二次函数的解析式，并补全表格与图像．4. （黄浦）用配方法把二次函数2264y x x =-++化为()2y a x m k =++的形式，再指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.5. （嘉定）已知二次函数c bx ax y ++=2的图像上部分点的坐标),(y x 满足下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴.6. （静安）已知：二次函数图像的顶点坐标是(3,5)，且抛物线经过点(1,3)A ．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A 关于该抛物线对称轴的对称点是B 点，且抛物线与y 轴的交点是C 点，求ABC 的面积．7. （闵行）如图在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－1，2），点B 在第一象限，且OB ⊥OA ，OB =2OA ，求经过A 、B 、O 三点的二次函数解析式．8. （浦东）将抛物线542+-=x x y 向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴．9. （普陀）已知一个二次函数的图像经过点A (0,－3)、B (1,0)、C (m ,2m +3)、D (－1,－2)四点，求这个函数的解析式及点C 的坐标．10. （松江）如图在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （3,0）、点B （0,3），顶点为M ．（1）求该二次函数的解析式；（2）求∠OBM 的正切值.11. （徐汇）已知一个二次函数的图像经过A （0，-6）、B （4，-6）、C （6，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）分别联结AC 、BC ，求tan ∠ACB ．12. （杨浦）甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.x。

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题14 二次函数(解答题24题压轴题)(学生版)

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题14 二次函数（解答题24题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知二次函数224(0)y ax ax a a =-++<的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点 D ．（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点D 的坐标；（2）设该函数图像与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴正半轴交于点B ，图像的对称轴与x 轴交于点A ，如果DC BC ⊥，1tan 3DBC ∠=，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点M 在第一象限该函数的图像上，且点M 的横坐标为(1)t t >，如果 ACM ∆的面积是258，求点M 的坐标．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +2经过点()3,6A --、()6,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 是抛物线上的点，且位于线段BC 上方，联结CD ．①如果点D 的横坐标为2．求cot∠DCB 的值；②如果∠DCB ＝2∠CBO ，求点D 的坐标．3．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -、()3,0B 、()0,3C ，抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 两点．（1）当该抛物线经过点C 时，求该抛物线的表达式；（2）在（1）题的条件下，点P 为该抛物线上一点，且位于第三象限，当PBC ACB ∠=∠时，求点P 的坐标；（3）如果抛物线2y ax bx c =++的顶点D 位于BOC 内，求a 的取值范围．4．（2021·上海金山区·九年级一模）在平面直角坐标系xoy 中，直线324y x =-+与直线132y x =-相交于点A ，抛物线21(0)y ax bx a =+-≠经过点A ．（1）求点A 的坐标；（2）若抛物线21y ax bx =+-向上平移两个单位后，经过点()1,2-，求抛物线21y ax bx =+-的表达式；（3）若抛物线2y a x b x c =+'+'()0a '<与21y ax bx =+-关于x 轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P '与点P ，当3OPP S ∆'=时，求抛物线21y ax bx =+-的表达式．5．（2021·上海青浦一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()4,0A -和点()2,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标：（2）如果点D 的坐标为()8,0-，联结AC 、DC ，求ACD ∠的正切值；（3）在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，当OCD CAP ∠=∠时，求点P 的坐标．6．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，平面直角坐标系内直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 是线段OB 的中点．（1）求直线AC 的表达式：（2）若抛物线2y ax bx c =++经过点C ，且其顶点位于线段OA 上（不含端点O 、A ）． ①用含b 的代数式表示a ，并写出1b的取值范围； ②设该抛物线与直线4y x =+在第一象限内的交点为点D ，试问：DBC △与DAC △能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由．7．（2021·上海浦东新区·九年级一模）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点A(2，4)、B(5，0)和O(0，0)．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO ，过点B 作BC∠AO 于点C ，与该二次函数图像的对称轴交于点P ，联结AP ，求∠BAP 的余切值；（3）在（2）的条件下，点M 在经过点A 且与x 轴垂直的直线上，当AMO 与ABP 相似时，求点M 的坐标．8．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1(0)2y x m m=-+>与x轴、y轴分别交于点A 、B ．抛物线24y ax bx =++（a ≠0）经过点A ，且与y 轴相交于点C ，∠OCA =∠OAB ．（1）求直线AB 的表达式；（2）如果点D 在线段AB 的延长线上，且AD =AC ．求经过点D 的抛物线24y ax bx =++的表达式；（3）如果抛物线24y ax bx =++的对称轴与线段AB 、AC 分别相交于点E 、F ，且EF =1，求此抛物线的顶点坐标．9．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过 ()4,0A ，()1,3B -两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点 D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，联结BC 、BD ．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E 在线段BC 上，当CED OBD =∠∠时，求点 E 的坐标；（3）点M 在对称轴上，点N 在抛物线上，当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．10．（2021·上海普陀区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线21y ax bx =++与y 轴交于点A ，顶点B 的坐标为(2,1)-．（1）直接写出点A 的坐标，并求抛物线的表达式；（2）设点C 在x 轴上，且90CAB ∠=︒，直线AC 与抛物线的另一个交点为点D ．①求点C 、D 的坐标；②将抛物线21y ax bx =++沿着射线BD 的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD 上；点A 的对应点为点P ．设线段AB 与x 轴的交点为点Q ，如果ADP △与CBQ △相似，求点P 的坐标．11．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =+-经过点()2,0A 和(1,1)B --与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的表达式；（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，23 PDDC=．①求P点坐标；②点Q在x轴上，如果QCA PCB∠=∠，求点Q的坐标．12. （2021崇明一模）如图，已知对称轴为直线1x =-的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()1,0．（1）求点B 的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P ，对称轴与线段BC 的交点为Q ，将线段PQ 绕点Q ，按顺时针方向旋转120︒，请判断旋转后点P 的对应点P '是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x 轴上是否存在点M ，使MOC △与BCP 相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点M 的坐标【不必书写求解过程】．13.（2021奉贤一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴正半轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点()0,2B ，点C 在该抛物线上且在第一象限．()1求该抛物线的表达式；()2将该抛物线向下平移m 个单位，使得点C 落在线段AB 上的点D 处，当13AD BD =时，求m 的值； ()3联结BC ，当2CBA BAO ∠=∠时，求点C 的坐标．14. （2021嘉定一模）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知点()1,2A -，点()1,6B ，点()1,4C ．如果抛物线()230y ax bx a =++≠恰好经过这三个点之中的两个点．（1）试推断抛物线23y ax bx =++经过点A 、B 、C 之中的哪两个点？简述理由；（2）求常数a 与b 的值：（3）将抛物线23y ax bx =++先沿与y 轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x 轴平行的方向向右平移0t t 个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点()1,4C ．设这个新抛物线的顶点是D ．试探究ABD △的形状．15.（2021闵行一模）在平面直角坐标系xOy 中，如果抛物线2y ax bx c =++上存在一点A ，使点A 关于坐标原点O 的对称点A '也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A 叫做这条抛物线的回归点．（1）已知点M 在抛物线224y x x =-++上，且点M 的横坐标为2，试判断抛物线224y x x =-++是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C 为回归抛物线22y x x c =--+的顶点，如果点C 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．连接CO 并延长，交该抛物线于点E ．点F 是射线CD 上一点，如果CFE DEC ∠=∠，求点F 的坐标．16.（2021杨浦一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()24y x m =--+与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （点C 在点D 左侧），顶点A 在第一象限，异于顶点A 的点()1,P n 在该抛物线上．（1）如果点P 与点C 重合，求线段AP 的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q 是抛物线上一点，tan 3OPQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）如果直线PB 与x 轴负半轴相交，求m 的取值范围．。

2023年上海市各地区中考一模试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题(较难题)

上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试卷按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）目录一．二次函数综合题（共10小题） (2)二．三角形综合题（共1小题） (6)三．直角梯形（共1小题） (7)四．相似三角形的判定与性质（共1小题） (7)五．相似形综合题（共6小题） (8)六．解直角三角形（共1小题） (10)一．二次函数综合题（共10小题） (11)二．三角形综合题（共1小题） (35)三．直角梯形（共1小题） (37)四．相似三角形的判定与性质（共1小题） (41)五．相似形综合题（共6小题） (45)六．解直角三角形（共1小题） (60)一．二次函数综合题（共10小题）1．（2023•宝山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（2，0），将该抛物线位于x轴上方的部分沿x轴翻折，得到的新图象记为“图象U”，“图象U”与y轴交于点C．（1）写出“图象U”对应的函数解析式及定义域；（2）求∠ACB的正切值；（3）点P在x轴正半轴上，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，交“图象U”于点F，如果△CEF与△ABC相似，求点P的坐标．2．（2023•徐汇区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（4，0），与y 轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴，垂足为点D，直线PD与直线BC相交于点E．①当CP＝CE时，求点P的坐标；②联结AC，过点P作直线AC的平行线，交x轴于点F，当∠BPF＝∠CBA时，求点P的坐标．3．（2023•虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2kx﹣4k（k＜0）的顶点为P，抛物线与y轴交于点A．（1）如果点A的坐标为（0，4），点B（﹣3，m）在抛物线上，联结AB．①求顶点P和点B的坐标；②过抛物线上点D作DM⊥x轴，垂足为M，DM交线段AB于点E，如果DE＝EM，求点D的坐标；（2）联结OP，如果OP与x轴负半轴的夹角等于∠APO与∠POA的和，求k的值．4．（2023•崇明区一模）如图，在直角坐标平面xOy中，对称轴为直线x＝的抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、点M（1，m），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点D的坐标；的面积；（2）联结AB、AM、BM，求S△ABM（3）过M作x轴的垂线与AB交于点P，Q是直线MP上点，当△BMQ与△AMP相似时，求点Q的坐标．5．（2023•金山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，0），B（﹣2，﹣3），顶点为点P，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标；（2）将抛物线向上平移m（m＞0）个单位后，点A的对应点为点M，若此时MB∥AC，求m的值；（3）设点D在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，且点D在直线BC上方，当∠DBC＝∠BAC时，求点D的坐标．6．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，顶点为A，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），与y轴交于点D，其中点C的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE．①如果DE∥AC，求四边形ACDE的面积；②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当∠DQE＝∠CDQ时，求点Q的坐标．7．（2023•松江区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B （﹣1，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为P（m，n）．①如果PO＝PA，且新抛物线的顶点在△AOB的内部，求m+n的取值范围；②如果新抛物线经过原点，且∠POA＝∠OBA，求点P的坐标．8．（2023•青浦区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）已知点P（1，m）与点Q都是抛物线上的点．①求tan∠PBC的值；②如果∠QBP＝45°，求点Q的坐标．9．（2023•杨浦区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与直线AC交于点H．如果PH ＝AH，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结AP，试问点B关于直线CD对称的点E是否恰好落在直线AP上？请说明理由．10．（2023•长宁区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，O为坐标原点，且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ．当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．二．三角形综合题（共1小题）11．（2023•长宁区一模）已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P、D分别在射线CB、射线AC上，且满足∠APD＝∠ABC．（1）当点P在线段BC上时，如图1．①如果CD＝4.8，求BP的长；②设B、P两点的距离为x，AP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（2）当BP＝1时，求△CPD的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程）三．直角梯形（共1小题）12．（2023•松江区一模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，E是线段CD上一点，联结BE．（1）如图1，如果AD＝1，且CE＝3DE，求∠ABE的正切值；（2）如图2，如果BE⊥CD，且CE＝2DE，求AD的长；（3）如果BE⊥CD，且△ABE是等腰三角形，求△ABE的面积．四．相似三角形的判定与性质（共1小题）13．（2023•杨浦区一模）已知在正方形ABCD中，对角线BD＝4，点E、F分别在边AD、CD上，DE＝DF．（1）如图，如果∠EBF＝60°，求线段DE的长；（2）过点E作EG⊥BF，垂足为点G，与BD交于点H．①求证：；②设BD的中点为点O，如果OH＝1，求的值．五．相似形综合题（共6小题）14．（2023•普陀区一模）如图，在矩形ABCD中，tan∠ABD＝，E是边DC上一动点，F是线段DE延长线上一点，且∠EAF＝∠ABD，AF与矩形对角线BD交于点G．（1）当点F与点C重合时，如果AD＝6，求DE的长；（2）当点F在线段DC的延长线上，①求的值；②如果DE＝3CF，求∠AED的余切值．15．（2023•徐汇区一模）如图1，已知菱形ABCD，点E在边BC上，∠BFE＝∠ABC，AE交对角线BD于点F．（1）求证：△ABF∽△DBA；（2）如图2，联结CF．①当△CEF为直角三角形时，求∠ABC的大小；②如图3，联结DE．当DE⊥FC时，求cos∠ABD的值．16．（2023•金山区一模）已知平行四边形ABCD中，AB＝3，cot∠ABC＝，BC＝5，点P是对角线BD上一动点，作∠EPD＝∠ABC，射线PE交射线BA于点E，联结AP．（1）如图1，当点E与点A重合时，证明：△ABP∽△BCD；（2）如图2，点E在BA的延长线上，当EP＝AD时，求AE的长；（3）当△APE是以AP为底的等腰三角形时，求AE的长．17．（2023•奉贤区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交对角线BD于点F，∠DCE＝∠ADB．（1）求证：AB•BC＝BF•CE；（2）如果AD＝3DE＝6．①求CF的长；②如果BD＝10，求cos∠ABC值．18．（2023•宝山区一模）如图1，在△ABC中，．点D、E分别在边AC、AB上（不与端点重合），BD和CE交于点F，满足∠ABD＝∠BCE．（1）求证：CD2＝DF•DB；（2）如图2，当CE⊥AB时，求CD的长；（3）当△CDF是等腰三角形时，求DF：FB的值．19．（2023•崇明区一模）已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，AD∥BC．点E为射线AD上的一个动点（不与A重合），过点E作EF⊥BE，交射线CA于点F，联结BF．（1）如图，当点F在线段AC上时，EF与AB交于点G，求证：△AEG∽△FBG；（2）在（1）的情况下，射线CA与BE的延长线交于点Q，设AE＝x，QF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当BE＝3时，求CF的长．六．解直角三角形（共1小题）20．（2023•虹口区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sin B＝，点D、E分别在边AB、BC上，满足∠CDE ＝∠B．点F是DE延长线上一点，且∠ECF＝∠ACD．（1）当点D是AB的中点时，求tan∠BCD的值；（2）如果AD＝3，求的值；（3）如果△BDE是等腰三角形，求CF的长．上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试卷按题型难易度分层分类汇编（11套）-03解答题（较难题）参考答案与试卷解析一．二次函数综合题（共10小题）1．（2023•宝山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（2，0），将该抛物线位于x轴上方的部分沿x轴翻折，得到的新图象记为“图象U”，“图象U”与y轴交于点C．（1）写出“图象U”对应的函数解析式及定义域；（2）求∠ACB的正切值；（3）点P在x轴正半轴上，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，交“图象U”于点F，如果△CEF与△ABC相似，求点P的坐标．【答案】（1）y＝；（2）tan∠ACB＝3；（3）点P的坐标为：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，则翻折后的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣2，即y＝；（2）过点B作BH⊥AC于点H，＝AB×CO＝×AC×BH，则S△ABC即3×2＝×BH，解得：BH＝，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝3；（3）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣2，设点P（m，0），在点E（m，m﹣2），点F（m，m2﹣m﹣2）或（m，﹣m2+m+2），则CE＝m，FE＝﹣m2+2m或m2﹣4，如下图∠E＝45°＝∠ABC，故当△CEF与△ABC相似时，∠ECF＝∠ACB或∠BCA，①当∠ECF＝∠ACB时，即tan∠ECF＝tan∠ACB＝3，在△CEF中，过点F作FH⊥CE于点H，设：CH＝t，则HF＝3t＝HE，则4t＝CE＝m且3t＝EF＝﹣m2+2m或m2﹣4，解得：m＝或（不合题意的值已舍去）；②当∠ECF＝∠CAO时，则tan∠ECF＝tan∠CAO＝2，同理可得：3t＝CE＝m且2t＝EF＝﹣m2+2m或m2﹣4，解得：m＝或（不合题意的值已舍去）；综上，点P的坐标为：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．2．（2023•徐汇区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（4，0），与y 轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴，垂足为点D，直线PD与直线BC相交于点E．①当CP＝CE时，求点P的坐标；②联结AC，过点P作直线AC的平行线，交x轴于点F，当∠BPF＝∠CBA时，求点P的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式：y＝﹣x2+x+3；（2）①P（2，），②P（3，3）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（4，0），∴，∴，∴抛物线的表达式：y＝﹣x2+x+3；（2）①过C作CH⊥PD于H，∵PC＝CE，∴PH＝EH，∵CH∥OB，∴∠HCE＝∠CBO，∴tan∠HCE＝tan∠CBO，∴＝＝，令EH＝3k，则CH＝4k，PH＝3k，PD＝3+3k，∴P的坐标是（4k，3+3k），∵P在抛物线上，∴﹣（4k）2+×（4k）+3＝3+3k，∴k＝或k＝0（舍），∴P的坐标是（2，）；②∵PG∥AC，∴∠CAB＝∠PFB，∵BC＝＝＝5，AB＝OA+OB＝5，∴AB＝CB，∴∠CAB＝∠BCA，∴∠PFB＝∠BCA，∵∠ABC＝∠BPF，∴∠CAB＝∠PBD，∵P在抛物线上，∴设P（a，﹣a2+a+3），∵∠CAB＝∠PBD，∴tan∠CAB＝tan∠PBD，∴＝＝3，∴＝3，∴a＝3或a＝4（舍），当a＝3时，﹣a2+a+3＝3，∴P的坐标是（3，3）3．（2023•虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2kx﹣4k（k＜0）的顶点为P，抛物线与y轴交于点A．（1）如果点A的坐标为（0，4），点B（﹣3，m）在抛物线上，联结AB．①求顶点P和点B的坐标；②过抛物线上点D作DM⊥x轴，垂足为M，DM交线段AB于点E，如果DE＝EM，求点D的坐标；（2）联结OP，如果OP与x轴负半轴的夹角等于∠APO与∠POA的和，求k的值．【答案】（1）①顶点P的坐标为（﹣1，5），点B的坐标为（﹣3，1）；②点D的坐标为（﹣2，4）；（2）k的值为2﹣．【解答】解：（1）①将点A的坐标为（0，4）代入y＝﹣x2+2kx﹣4k得，﹣4k＝4，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+5，∴顶点P的坐标为（﹣1，5），将x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+4得，y＝﹣9+6+4＝1，∴点B的坐标为（﹣3，1）；②∵A（0，4），B（﹣3，1），设直线AB的解析式为y＝ax+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+4，如图1，设点D（a，﹣a2﹣2a+4），则M（a，0），E（a，a+4），∴DE＝﹣a2﹣2a+4﹣a﹣4＝﹣a2﹣3a，EM＝a+4，∵DE＝EM，∴﹣a2﹣3a＝a+4，解得a＝﹣2，∴点D的坐标为（﹣2，4）；（2）如图2，过点P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，∵y＝﹣x2+2kx﹣4k＝﹣（x﹣k）2+k2﹣4k，∴顶点P的坐标为（k，k2﹣4k），A（0，﹣4k），∴PM＝ON＝﹣k，PN＝OM＝k2﹣4k，OA＝﹣4k，∴AM＝OM﹣OA＝k2，∵∠PON＝∠APO+∠POA，∠APO+∠POA＝∠PAM，∴∠PON＝∠PAM，∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，∴∠PNO＝∠PMA，∴△PNO∽△PMA，∴，∴，∴k＝2+或2﹣，∵k＜0，∴k的值为2﹣．4．（2023•崇明区一模）如图，在直角坐标平面xOy中，对称轴为直线x＝的抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、点M（1，m），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点D的坐标；的面积；（2）联结AB、AM、BM，求S△ABM（3）过M作x轴的垂线与AB交于点P，Q是直线MP上点，当△BMQ与△AMP相似时，求点Q的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2，抛物线顶点D的坐标为（，）；＝3；（2）S△ABM（3）Q的坐标为（1，）或（1，﹣1）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝，∴﹣＝①，∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0），∴16a+4b+2＝0②，由①②可得a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2，在y＝﹣x2+x+2中，令x＝得：y＝﹣×（）2+×+2＝，∴抛物线顶点D的坐标为（，）；（2）过M作MP∥y轴交AB于P，如图：在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，∴B（0，2），∵A（4，0），∴直线AB解析式为y＝﹣x+2，在y＝﹣x2+x+2中，令x＝1得y＝3，∴M（1，3），在y＝﹣x+2中，令x＝1得y＝，∴P（1，），∴PM＝3﹣＝，＝PM×|x A﹣x B|＝××4＝3；∴S△ABM（3）过B作BH⊥MP于H，如图：由（2）知，B（0，2），M（1，3），∴BH＝MH＝1，BM2＝2，∴△BMH是等腰直角三角形，∴∠BMQ＝45°，∵A（4，0），∴AB2＝20，AM2＝18，∴AM2+BM2＝AB2，∴∠AMB＝90°，∴∠AMP＝90°﹣∠BMQ＝45°＝∠BMQ，要使△BMQ与△AMP相似，只需＝或＝，设Q（1，t），则MQ＝3﹣t，当＝时，＝，解得t＝，∴Q（1，），当＝时，＝，解得t＝﹣1，∴Q（1，﹣1），综上所述，Q的坐标为（1，）或（1，﹣1）．5．（2023•金山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，0），B（﹣2，﹣3），顶点为点P，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标；（2）将抛物线向上平移m（m＞0）个单位后，点A的对应点为点M，若此时MB∥AC，求m的值；（3）设点D在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，且点D在直线BC上方，当∠DBC＝∠BAC时，求点D的坐标．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，顶点P的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）m的值为6；（3）点D的坐标为（，﹣）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，0），B（﹣2，﹣3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）如图1，y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线AC的解析式为y＝kx+c，，解得，∴直线AC的解析式为y＝3x﹣3，∵MB∥AC，∴设MB的解析式为y＝3x+d，∵B（﹣2，﹣3），∴﹣6+d＝﹣3，解得d＝3，∴MB的解析式为y＝3x+3，∵将抛物线向上平移m（m＞0）个单位后，点A的对应点为点M，A（1，0），∴点M为（1，m），代入MB的解析式为y＝3x+3得，m＝3+3＝6，∴m的值为6；（3）如图2，过点D作DH⊥BC于H，过点C作CK⊥AB于K，∵点A（1，0），B（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），∴∠ABC＝45°，BC＝2，AB＝＝3，∴sin∠ABC＝，∴CK＝BK＝，∵AB＝3，∴AK＝2，在Rt△ACK中，tan∠CAK＝，∵∠DBC＝∠BAC，∴tan∠DBC＝，在Rt△DCH中，设DH＝k，∴BH＝2k，∴CH＝2k﹣2，∴D（2k﹣2，k﹣3），∵点D在抛物线y＝x2+2x﹣3上，∴（2k﹣2）2+2（2k﹣2）﹣3＝k﹣3，解得k＝0（舍去）或，∴点D的坐标为（，﹣）．6．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，顶点为A，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），与y轴交于点D，其中点C的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE．①如果DE∥AC，求四边形ACDE的面积；②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当∠DQE＝∠CDQ时，求点Q的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①15；②（4，﹣4﹣1）或（4，4﹣1）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，经过点C（3，0），∴，解得：，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴A（2，﹣1）．设抛物线的对称轴交x轴于点G，∴AG＝1．令x＝0，则y＝3，∴D（0，3），∴OD＝3．令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B（1，0）．如果DE∥AC，需将抛物线向左平移，设DE交x轴于点F，平移后的抛物线对称轴交x轴于点H，如图，∵点C的坐标为（3，0），∴OC＝3．由题意：∠ACB＝45°，∵DE∥AC，∴∠DFC＝∠ACB＝45°．∴OF＝OD＝3，∴F（﹣3，0），由题意：EH＝1，∴FH＝EH＝1，∴E（﹣4，﹣1）．∵AE∥x轴，DE∥AC，∴四边形EFCA为平行四边形，∵AE＝2﹣（﹣4）＝6，＝6×1＝6．∴S平行四边形EFCA＝FC•OD＝6×3＝9，∵S△DFC+S△DFC＝6+9＝15；∴四边形ACDE的面积＝S平行四边形EFCA②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，∠DQE＝∠CDQ，如图，当点Q在x轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x轴于F，由题意：EF＝1．∵OD＝OC＝3，∴∠ODC＝∠OCD＝45°，∴∠FCE＝∠OCD＝45°，∴CF＝EF＝1，∴E（4，﹣1）．∵CD＝＝3，CE＝＝，∴DE＝CD+CE＝4．∵∠DQE＝∠CDQ，∴EQ＝DE＝4，∴QF＝EF+EQ＝4+1，∴Q（4，﹣4﹣1）；当点Q在x轴的下方时，此时为点Q′，∵∠DQ′E＝∠CDQ′，∴EQ′＝DE＝4，∴Q′F＝EQ′﹣EF＝4﹣1，∴Q′（4，4﹣1）．综上，当∠DQE＝∠CDQ时，点Q的坐标为（4，﹣4﹣1）或（4，4﹣1）．7．（2023•松江区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B （﹣1，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为P（m，n）．①如果PO＝PA，且新抛物线的顶点在△AOB的内部，求m+n的取值范围；②如果新抛物线经过原点，且∠POA＝∠OBA，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+4；（2）①1＜m+n＜2；②（，）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4；（2）①∵PO＝PA，∴点P在OA的垂直平分线上，∵点A（2，0），∴点P的横坐标m＝1，设直线AB为y＝kx+b，∵点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴，解得，∴直线AB为y＝﹣x+2，当x＝1时，y＝﹣x+2＝1，∴OA的垂直平分线与AB的交点坐标为（1，1），∵新抛物线的顶点P（m，n）在△AOB的内部，∴n的取值范围为0＜n＜1，∴1＜m+n＜2；②如图，设OP与AB交于Q，Q（x，﹣x+2），∵∠POA＝∠OBA，∠OAQ＝∠BAO，∴△AOQ∽△ABO，∴，∵点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴OA＝2，BO＝＝，BA＝3，∴，∴OQ＝，∴＝，解得x＝或，∴Q（，）或（，）（舍去），∴直线OQ为y＝x，∵P（m，n），∴n＝m，∴新抛物线为y＝﹣（x﹣m）2+m，∵新抛物线经过原点，∴﹣（﹣m）2+m＝0，解得m＝0或m＝，∴点P的坐标为（，）．8．（2023•青浦区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）已知点P（1，m）与点Q都是抛物线上的点．①求tan∠PBC的值；②如果∠QBP＝45°，求点Q的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2，点C的坐标为（0，2）；（2）①；②点Q的坐标为（﹣，）．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+2得，，解得，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2．当x＝0时，y＝2，∴点C的坐标为（0，2）；（2）①连接PC，过点P作PH⊥BC，垂足为点H．∵P（1，m）在y＝﹣x2+x+2上，∴m＝﹣1+1+2＝2，P（1，2），∵C（0，2），B（2，0），∴，PC⊥OC，∠BCO＝45°，∴∠PCH＝45°，∴．∴BH＝BC﹣CH＝，∴tan∠PBC＝；②由题意可知，点Q在第二象限．过点Q作QD⊥x轴，垂足为点D．∵∠QBP＝∠CBA＝45°，∴∠QBD＝∠CBP，∵tan∠PBC＝．∴tan∠QBD＝，设DQ＝n，则BD＝3n，OD＝3n﹣2．∴Q（2﹣3n，n），将Q（2﹣3n，n）代入y＝﹣x2+x+2，得﹣（2﹣3n）2+2﹣3n+2＝n，解得n＝或0（舍去），∴点Q的坐标为（﹣，）．9．（2023•杨浦区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与直线AC交于点H．如果PH ＝AH，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结AP，试问点B关于直线CD对称的点E是否恰好落在直线AP上？请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+3；（2）P（﹣，）；（3）B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上，理由见解答过程．【解答】解：（1）把A（﹣4，0），C（0，3）代入x2+bx+c得：，解得，∴y＝﹣x2﹣x+3；（2）如图：由A（﹣4，0），C（0，3）可得直线AC解析式为y＝x+3，AC＝＝5，设P（m，﹣m2﹣m+3），则H（m，m+3），∴PH＝（﹣m2﹣m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，HG＝m+3，∵∠HAG＝∠CAO，∠AGH＝90°＝∠AOC，∴△AHG∽△ACO，∴＝，即＝，∴AH＝m+5，∵PH＝AH，∴﹣m2﹣3m＝m+5，解得m＝﹣或m＝﹣4（与A重合，舍去），∴P（﹣，）；（3）点B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上，理由如下：作B关于直线CD的对称点E，过E作EW⊥x轴于W，设BE交CD于K，如图：由y＝﹣x2﹣x+3得抛物线对称轴为直线x＝﹣，B（1，0），∴D（﹣，0），BD＝，∵C（0，3），∴CD＝，∵B，E关于直线CD对称，∴∠BKD＝90°＝∠DOC，BK＝EK，∵∠CDO＝∠BDK，∴△BDK∽△CDO，∴＝＝，即＝＝，∴BK＝，DK＝，∴BE＝2BK＝2，∵∠EWB＝90°＝∠DKB，∠WBE＝∠DBK，∴△EWB∽△DKB，∴＝＝，即＝＝，∴EW＝2，BW＝4，∴OW＝BW﹣OB＝3，∴E（﹣3，2），由A（﹣4，0），P（﹣，）得直线AP解析式为y＝2x+8，在y＝2x+8中，令x＝﹣3得y＝2，∴E在直线直线AP上，即B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上．10．（2023•长宁区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，O为坐标原点，且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ．当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣5x+4；（2）Q（2，﹣2）；（3）在直线QE上存在点F，使得△BEF与△ADC相似，F的坐标为（4，2）或（1.6，﹣2.8）．【解答】解：（1）∵B（4，0），OB＝OC，∴C（0，4），把A（1，0），B（4，0），C（0，4）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：，∴y＝x2﹣5x+4；（2）由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m+4），则Q（m，m2﹣5m+4），∴PQ＝﹣m+4﹣（m2﹣5m+4）＝﹣m2+4m，∵OC∥PQ，要使四边形OCPQ恰好是平行四边形，只需OC＝PQ，∴﹣m2+4m＝4，解得m＝2，∴Q（2，﹣2）；（3）在直线QE上存在点F，使得△BEF与△ADC相似，理由如下：∵D是OC的中点，点C（0，4），∴点D（0，2），由（2）知Q（2，﹣2），∴直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，∵A（1，0），∴A在直线DQ上，AD＝，AC＝，过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，如图：∵QH∥CO，故∠AQH＝∠ODQ，∵∠DQE＝2∠ODQ，∴∠HQA＝∠HQE，∴直线AQ和直线QE关于直线QH对称，∴∠DAO＝∠QAH＝∠QGH＝∠EGB，GH＝AH＝1，∴G（3，0），由点Q（2，﹣2），G（3，0）可得直线QE的表达式为y＝2x﹣6，联立，解得或，∴点E的坐标为（5，4），∵B（4，0），∴BK＝1，EK＝4，BE＝，∴＝＝，∵∠EKB＝90°＝∠COA，∴△EKB∽△COA，∴∠EBK＝∠CAO，∴∠CAO﹣∠DAO＝∠EBK﹣∠EGB，即∠DAC＝∠GEB，∴△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点，设点F的坐标为（t，2t﹣6），则EF＝，当△BEF∽△CAD时，有＝，∴＝，解得t＝4或t＝6（在E右侧，舍去），∴F（4，2）；当△BEF∽△DAC时，＝，∴＝，解得t＝8.4（舍去）或t＝1.6，∴F（1.6，﹣2.8），综上所述，F的坐标为（4，2）或（1.6，﹣2.8）．二．三角形综合题（共1小题）11．（2023•长宁区一模）已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P、D分别在射线CB、射线AC上，且满足∠APD＝∠ABC．（1）当点P在线段BC上时，如图1．①如果CD＝4.8，求BP的长；②设B、P两点的距离为x，AP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（2）当BP＝1时，求△CPD的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程）【答案】（1）①BP的长为4或12；②y＝（0＜x＜16）；（2）△CPD的面积为或．【解答】解：（1）①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠APD+∠DPC＝∠B+∠BAP，且∠APD＝∠B，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∵CD＝4.8，AB＝10，∴＝，BC＝16，解得x＝4或x＝12，∴BP的长为4或12；②由（1）△ABP∽△PCD，∴＝，∵B、P两点的距离为x，∴＝，∴CD＝，∴AD＝AC﹣CD＝10﹣，∵∠B＝∠C，∠APD＝∠ABC，∴∠C＝∠APD，∵∠PAD＝∠CAP，∴△PAD∽△CAP，∴＝，∴PA2＝AC•AD，∴y2＝10×[10﹣]＝100﹣16x+x2，∴y＝，∵16﹣x＞0，∴x＜16，∴y＝（0＜x＜16）；（2）过A作AH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，当P在边BC上时，如图：∵AH⊥BC，AB＝AC，∴BH＝BC＝8＝CH，∴AH＝＝6，由（1）知当BP＝1，即x＝1时，CD＝＝，CP＝BC﹣BP＝15，∵AH⊥BC于H，DG⊥BC，∴∠AHC＝90°＝∠DGC，∠C＝∠C，∴△AHC∽△DGC，∴＝，∴＝，∴DG＝，∴△CPD的面积为×15×＝，当P在CB延长线上时，如图：由△ABP∽△PCD可得CD＝，由△AHC∽△DGC可得DG＝，∴△CPD的面积为×17×＝，综上所述，△CPD的面积为或．三．直角梯形（共1小题）12．（2023•松江区一模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，E是线段CD上一点，联结BE．（1）如图1，如果AD＝1，且CE＝3DE，求∠ABE的正切值；（2）如图2，如果BE⊥CD，且CE＝2DE，求AD的长；（3）如果BE⊥CD，且△ABE是等腰三角形，求△ABE的面积．【答案】（1）∠ABE的正切值为；（2）AD的长为；（3）△ABE的面积为或6+2或6﹣2或．【解答】解：（1）过D作DK⊥BC于K，过E作ET⊥BC于T，如图：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，DK⊥BC，∴四边形ABKD是矩形，∴BK＝AD＝1，DK＝AB＝4，∴CK＝BC﹣BK＝6﹣1＝5，∵CE＝3DE，∴＝，∵∠DKC＝90°＝∠ETC，∠C＝∠C，∴△DKC∽△ETC，∴＝＝＝，即＝＝，∴ET＝3，KT＝，∴BT＝BK+KT＝，∵AB∥ET，∴∠ABE＝∠BET，∴tan∠ABE＝tan∠BET＝＝＝，∴∠ABE的正切值为；（2）过D作DR⊥BC于R，过E作ES⊥BC于S，如图：∵CE＝2DE，∴＝，同（1）可得＝＝，DR＝4，∴＝＝，∴ES＝，CR＝CS，∵BE⊥CD，∴∠BES＝90°﹣∠CES＝∠C，∵∠BSE＝90°＝∠ESC，∴△BSE∽△ESC，∴＝，即＝，∴CS＝或CS＝，∴CR＝（大于6舍去）或CR＝，∴BR＝BC﹣CR＝，∴AD＝；∴AD的长为；（3）当AB＝BE＝4时，过E作EW⊥BC于W，如图：∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°＝∠BWE，∵∠EBW＝∠CBE，∴△EBW∽△CBE，∴＝，即＝，∴BW＝，＝AB•BW＝×4×＝；∴S△ABE当AE＝BE时，过E作EP⊥BC于P，过E作EM⊥AB于M，如图：∴BM＝AB＝2＝EP，同（2）可得＝，∴＝，解得BP＝3+或BP＝3﹣，＝AB•BP＝×4×（3+）＝6+2或S△ABE＝AB•BP＝6﹣2；∴S△ABE当AB＝AE＝4时，过E作EQ⊥AB于Q，过E作EI⊥BC于I，如图：设QE＝x＝BI，则AQ＝＝，CI＝6﹣x，∴BQ＝EI＝4﹣，∵∠CEI＝90°﹣∠BEI＝∠QEB，∠EQB＝90°＝∠EIC，∴△EQB∽△EIC，∴＝，即＝，解得x＝0（舍去）或x＝，＝AB•EQ＝×4×＝，∴S△ABE综上所述，△ABE的面积为或6+2或6﹣2或．四．相似三角形的判定与性质（共1小题）13．（2023•杨浦区一模）已知在正方形ABCD中，对角线BD＝4，点E、F分别在边AD、CD上，DE＝DF．（1）如图，如果∠EBF＝60°，求线段DE的长；（2）过点E作EG⊥BF，垂足为点G，与BD交于点H．①求证：；②设BD的中点为点O，如果OH＝1，求的值．【答案】（1）2﹣2；（2）①证明过程详见解答；（3）或．【解答】（1）解：如图1，连接EF，∵四边形ABCD是正方形，BD＝4，∴AB＝AD＝CD＝BC＝2，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，∵BE＝BF，∴△ABE≌△CBF（HL），∴BE＝BF，AE＝CF，∴DE＝DF，∵∠EBF＝60°，∴BE＝EF＝BF，设DE＝DF＝x，则AE＝2﹣x，EF＝x，∴BE2＝（2）2+（2﹣x）2＝x2+16﹣4x，∴（x）2＝x2+16﹣4x，∴x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），∴DE＝2﹣2；（2）①证明：如图2，延长EG，交BC于T，作CR∥ET，∵ET⊥BF，∴CR⊥BF，∴∠RCD+∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∴四边形CTER是平行四边形，∠DRC+∠RCD＝90°，∴CR＝ET，∠BFC＝∠DRC，∴△BCF≌△CDR（AAS），∴CR＝BF，∴ET＝BF，∵BE＝BF，∴BE＝ET，∵AD∥BC，∴，∴；②如图3，当时，延长EG交BC于Q，作ER⊥BC于R，作BE的垂直平分线，交AB于T，∴BT＝ET，设AE＝a，则DE＝AD﹣AE＝2，由上可知：BE＝EQ，∴RQ＝BR＝AE＝a，∵AD∥BC，∴△DEH∽△BQH，∴，∴，∴a＝，∴设AT＝x，则ET＝BT＝2，在Rt△AET中，由勾股定理得，（22﹣x2＝（2，∴x＝，∴tan∠AET＝，∴cos∠AET＝，∵∠ATE＝2∠ABE＝∠ABE+∠CBT，∴∠AET＝∠EBG∴cos∠EBG＝，∴，∴；如图4，当时，同理可得：∴∴∴a＝，∴设AT＝x，则ET＝BT＝2，在Rt△AET中，由勾股定理得，（22﹣x2＝（）2，∴x＝，∴cos∠EBG＝cos∠AET＝，∴，∴，综上所述：或．五．相似形综合题（共6小题）14．（2023•普陀区一模）如图，在矩形ABCD中，tan∠ABD＝，E是边DC上一动点，F是线段DE延长线上一点，且∠EAF＝∠ABD，AF与矩形对角线BD交于点G．（1）当点F与点C重合时，如果AD＝6，求DE的长；（2）当点F在线段DC的延长线上，①求的值；②如果DE＝3CF，求∠AED的余切值．【答案】（1）；（2）①；②．【解答】解：（1）如图，当点F与点C重合时，设DE＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AC＝BD，DG＝BD，CG＝AC，∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠ABD＝∠BDC，DG＝CG，CD＝AB＝＝＝8，∴∠ACD＝∠BDC，∵∠EAF＝∠ABD，∴∠EAF＝∠ACD，∴AE＝CE＝8﹣x，∵∠ADC＝90°，∴AD2+DE2＝AE2，即62+x2＝（8﹣x）2，∴x＝，∴DE＝；（2）①如图，AE交BD于点M，连接EG，由（1）得，∠EAF＝∠BDC，∵∠AMG＝∠DME，∴△AMG∽△DME，∴＝，又∵∠AMD＝∠GME，∴△AMD∽△GME，∴∠ADB＝∠GEA，∵∠ABD＝∠EAF，∴△ABD∽△GAE，∴＝，∵tan∠ABD＝＝，∴设AD＝3a，则AB＝4a，∴BD＝＝＝5a，∴＝＝＝；②如图，连接EG，∵tan∠ABD＝＝，∴设AD＝3a，则CD＝AB＝4a，设CF＝x，且a＞0，x＞0，则DF＝4a+x，∵DE＝3CF，∴DE＝3x，∴cot∠AED＝＝＝，AE＝＝＝，AF＝＝，∵AB∥CD，∴△DGF∽△BGA，∴＝，即＝，∴AG＝，由①得，＝，∴5AG＝4AE，∴5×＝4×，两边平方并整理得，（3x﹣a）（x+7a）（3x2+28ax+7a2）＝0，∵a＞0，x＞0，∴3x﹣a≥0，3x2+28ax+7a2＞0，∴3x﹣a＝0，∴＝，∴cot∠AED＝，即∠AED的余切值．15．（2023•徐汇区一模）如图1，已知菱形ABCD，点E在边BC上，∠BFE＝∠ABC，AE交对角线BD于点F．（1）求证：△ABF∽△DBA；（2）如图2，联结CF．①当△CEF为直角三角形时，求∠ABC的大小；②如图3，联结DE．当DE⊥FC时，求cos∠ABD的值．【答案】（1）证明见解析：（2）①∠ABC＝60°或∠ABC＝45°；②cos∠ABD＝．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABF＝∠EBF，∵∠BFE＝∠ABC，∴∠ABF+∠BAF＝∠ABF+∠EBF，∴∠BAF＝∠EBF，∵∠ADB＝∠EBF，∴∠ADB＝∠BAF，∵∠ABF＝∠ABD，∴△ABF∽△DBA；（2）①∵菱形是轴对称图形，∴∠FCB＝∠BAF，令∠ABD＝α，则∠CBF＝∠BAE＝∠FCB＝α，当∠CEF＝90°时，∠CEF＝∠ABE+∠BAE＝3α＝90°，∴α＝30°，∴∠ABC＝2α＝60°；当∠ECF＝90°时，α＝90°，∴∠ABC＝2α＝180°，不符合题意；当∠EFC＝90°时，∠EFC＝180°﹣∠CEF﹣∠FCE＝180°﹣4α＝90°，∴α＝22.5°，∴∠ABC＝2α＝45°，∴当△CEF为直角三角形时，∠ABC＝60°或∠ABC＝45°；②连接AC交BD于O，交DE于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DE⊥FC，∴∠GCH+∠DFC＝∠FDG+∠DFC＝90°，∴∠GCH＝∠FDG，∵∠HEC＝∠DBE+∠BDE，∠HCE＝∠FCE+∠HCG，∠FCE＝∠DBE ∴∠HEC＝∠HCE，∴HE＝HC，∵EH：HD＝CH：AH，∴AH＝HD，∴AC＝DE，∴四边形AECD是等腰梯形，∴∠FEG＝∠DCH，∵∠HCE＝∠DCH，∴∠FEG＝∠CEG，∵∠FGE＝∠CGE＝90°，EG＝EG，∴△EFG≌△ECG（ASA），∴FG＝CG，∴DE垂直平分FC，∴DF＝DC，∵△ABF∽△DBA，∴AB：BD＝BF：AB，∴AB2＝BD•BF＝BF•（BF+DF），设BF＝x，菱形边长是a，∴a2＝x（x+a），∴x＝，或x＝（舍），∴BD＝BF+FD＝+a＝，∴BO＝BD＝，∴cos∠ABD＝＝＝．∴cos∠ABD的值是．16．（2023•金山区一模）已知平行四边形ABCD中，AB＝3，cot∠ABC＝，BC＝5，点P是对角线BD上一动点，作∠EPD＝∠ABC，射线PE交射线BA于点E，联结AP．（1）如图1，当点E与点A重合时，证明：△ABP∽△BCD；（2）如图2，点E在BA的延长线上，当EP＝AD时，求AE的长；（3）当△APE是以AP为底的等腰三角形时，求AE的长．【答案】（1）证明见解答；（2）AE的长是10﹣3；（3）AE的长是3或．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABP＝∠BDC，∵点E与点A重合，∴∠APD＝∠EPD＝∠ABC，∴∠APD﹣∠ABP＝∠ABC﹣∠ABP，∵∠BAP＝∠APD﹣∠ABP，∠DBC＝∠ABC﹣∠ABP，∴∠BAP＝∠DBC，。

2024届上海初三一模数学各区24题二次函数综合题

上海市2024届初三一模数学分类汇编—24题二次函数综合题【2024届·宝山区·初三一模·第24题】1.（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）题满分4分，第（3）题满分4分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线212y x平移，使平移后的抛物线仍经过原点O ，新抛物线的顶点为M （点M 在第四象限），对称轴与抛物线212y x 交于点N ，且4MN ．（1）求平移后抛物线的表达式；（2）（3）是等腰第24题图备用图2.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）已知在直角坐标平面xOy 中，抛物线2y ax bx c （0a ）经过点 1,0A 、 3,0B 、 0,3C 三点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点D 是点C 关于抛物线对称轴对称的点，联结AD 、BD ，将抛物线向下平移m （0m ）个单位后，点D 落在点E 处，过B 、E 两点的直线与线段AD 交于点F （F 不与点A 、D 重合）．①如果2m ，求tan DBF 的值；②如果BDF 与ABD 相似，求m 的值．图113.（本题满分12分，第（1）小题①满分4分，第（1）小题②满分4分，第（2）小题满分4分）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线x m 对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线x m 的镜像抛物线．（1）如图11，已知抛物线22y x x ，顶点为A ．①求该抛物线关于y 轴的镜像抛物线的表达式；②已知该抛物线关于直线x m 的镜像抛物线的顶点为B ，如果1tan 4OBA （OBA 是锐角），求m 的值；（2）已知抛物线214y x bx c（0b ）的顶点为C ，它的一条镜像抛物线的顶点为D ，这两条抛物线的交点为 2,1E ．如果CDE 是直角三角形，求该抛物线的表达式．图134.（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）①题满分4分，第（2）②题满分4分）如图13，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x x m 经过点 3,0A ，与y 轴交于点C ，联结AC 交该抛物线的对称轴于点E ．（1）求m 的值和点E 的坐标；（2）点M 是抛物线的对称轴上一点且在直线AC 的上方．①联结AM 、CM ，如果AME MCA ，求点M 的坐标；②点N 是抛物线上一点，联结MN ，当直线AC 垂直平分MN 时，求点N 的坐标．第24题图（本题满分4分）5.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）如图，直线3y x 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．对称轴为直线1x 的抛物线2y ax bx c 经过点A 、B ，其与x 轴的另一交点为C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线平移，使其顶点在线段AB 上点P 处，得到新抛物线L ，其与直线3y x 的另一个交点为Q ．①如果抛物线L 经过点A ，且与x 轴的另一交点为D ，求线段CD 的长；②试问：CPQ 的面积是否随点P 在线段AB 上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出CPQ 面积．图106.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）定义：对于抛物线2y ax bx c （a 、b 、c 是常数，0a ），若2b ac ，则称该抛物线是黄金抛物线．已知平面直角坐标系xOy （图10），抛物线22y x x k 是黄金抛物线，与y 轴交于点A ，顶点为D ．（1）求此黄金抛物线的表达式及D 点坐标；（2）点 2,B b 在这个黄金抛物线上，①点1,2C c在这个黄金抛物线的对称轴上，求OBC 的正弦值；②在射线AB 上是否存在点P ，使以点P 、A 、D 所组成的三角形与AOD 相似，且相似比不为1？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第24题图7.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c 经过点 1,0A 、 3,0B 、 0,3C ．（1）求抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点D 在抛物线对称轴上，90PAD ，求点D 的坐标；（3）抛物线的对称轴和x 轴相交于点M ，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点Q ，QB QM ，QO 的延长线交原抛物线于点E ，QO OE ，求新抛物线的表达式．第24题图8.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知点 2,0A 、 6,0B 、 0,8C 、322,3D在同一个二次函数的图像上．（1）请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式；（2）如果射线BE 平分ABC ，交y 轴于点E ，①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段BE 的点F 处，求此时抛物线顶点F 的坐标；②如果点P 在射线BE 上，当PBC 与BOE 相似时，请求点P 的坐标．第24题图9.已知，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为 8,0，点B 的坐标为 0,6．抛物线21:2C y ax x上有一点P ，以点P 为顶点的抛物线2C 经过点B （点P 与点B 不重合），抛物线1C 和2C 形状相同，开口方向相反．（1）当抛物线1C 经过点A 时，求抛物线1C 的表达式；（2）求抛物线2C 的对称轴；（3）当0a 时，设抛物线1C 的顶点为Q ，抛物线2C 的对称轴与x 轴的交点为F ，联结PQ 、QO 、FQ ，求证：QO 平分PQF ．第24题图10.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）题4分，第（3）题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:M y x bx c 过点 2,2A 、点 0,2B ，顶点为点C ，抛物线M 的对称轴交x 轴于点D ．（1）求抛物线M 的表达式和点C 的坐标；（2）点P 在x 轴上，当AOP 与ACD 相似时，求点P 坐标；（3）将抛物线M 向下平移t （0t ）个单位，得到抛物线N ，抛物线N 的顶点为点E ，再把点C 绕点E 顺时针旋转135 得到点F ．当点F 在抛物线N 上时，求t 的值．图12图24311.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．在图243 中，四边形1A B 和四边形2222A B C D 都与四边形ABCD 形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．交于点M ，与①中的抛物线交于点N ，请判断1OA N 和OAM 是否为位似三角形，并根据新定义说明理由．第24题图12.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx 经过点 1,2A 和点 2,1B ，与y 轴交于点C ．（1）求a 、b 的值和点C 的坐标；（2）点P 为抛物线上一点（不与点A 重合），当PCB ACB 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线CA 上，设平移后的抛物线的顶点为点D ，当CDP 与CAP 相似时，求平移后的抛物线的表达式．第24题图13.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c （0a ）的图像经过原点 0,0O 、点 1,3A a ，此抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，顶点为B ．（1）求抛物线的对称轴；（2）如果该抛物线与x 轴负半轴的交点为D ，且ADC 的正切值为2，求a 的值；（3）将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A 、B 分别对应新抛物线上的点E 、P ．联结PA ，如果点P 在y 轴上，//PA x 轴，且EPA CBO ，求新抛物线的表达式．第24题图第24题备用图14.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，第二象限的点M 在抛物线2y ax （0a ）上，点M 到两坐标轴的距离都是2．（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线2y ax （0a ）先向右平移32个单位，再向下平移k （0k ）个单位后，所得新抛物线与x 轴交于点 ,0A m 和点 ,0B n ，已知m n ，且4mn ，与y 轴负半轴交于点C ．①求k 的值；②设直线444第24题图15.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y ax ax （0a ）与x 轴交于点A 、点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，且4AB ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是线段BC 上一点，如果45PAC ，求点P 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D 平移至点E 处，过点E 作EF 直线AP ，垂足为点F ，如果1tan 2PEF ，求平移后抛物线的表达式．第24题图备用图16.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）已知抛物线212y x bx c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线6y x 经过点A 与点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果C 、F 两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当DF CF 时，求PDF 的正切值；②如果:3:5PD DE ，求点P 的坐标．。

2024届上海初三一模数学各区填选题(二次函数及其他函数)

2b x a上海市2024届初三一模数学分类汇编—填选题（二次函数及其他函数）【2024届·宝山区·初三一模·第5题】（本题满分4分）1.二次函数2y ax bx 的图像如图2所示，则一次函数y ax b 的图像不．经过（）.A 第一象限；.B 第二象限；.C 第三象限；.D 第四象限．2.【2024届·宝山区·初三一模·第11题】（本题满分4分）3.直径是2的圆，当半径增加x 时，面积的增加值s 与x 之间的函数关系式是．（本题满分4分）4.如果二次函数 22y a x （0a ）的图像上有两点19,4y 和27,3y，那么1y 2y ．（填“ ”、“ ”或“ ”）【2024届·崇明区·初三一模·第3题】（本题满分4分）5.将抛物线2y x 向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为（）.A 23y x ；.B 23y x ；.C 23y x ；.D 23y x ．【2024届·崇明区·初三一模·第6题】（本题满分4分）6.在二次函数2y ax bx c 中，如果 0a ，0b ，0c ，那么它的图像一定不．．．经过（）.A 第一象限；.B 第二象限；.C 第三象限；.D 第四象限．【2024届·崇明区·初三一模·第11题】（本题满分4分）7.如果抛物线 21y m x m 经过原点，那么该抛物线的开口方向为．（填“向上”或“向下”）（本题满分4分）8.已知一条抛物线的对称轴是直线1x ，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以是.（只要写出一个符合条件的即可）【2024届·奉贤区·初三一模·第1题】9..A y ．【202410..A y 2．【2024届·奉贤区·初三一模·第9题】（本题满分4分）11.已知抛物线 22y a x x 开口向上，那么a 的取值范围是．（本题满分4分）12.已知抛物线221y x 在对称轴左侧部分是的．（填“上升”或“下降”）【2024届·虹口区·初三一模·第1题】13..A y ．【202414..A y .D 234y x ．【2024届·虹口区·初三一模·第9题】（本题满分4分）15.已知抛物线 213y a x 开口向下，那么a 的取值范围是．（本题满分4分）16.如果点 2,1A 在抛物线 21y x m 上，那么m 的值是．【2024届·虹口区·初三一模·第11题】（本题满分4分）17.如果将抛物线22y x 平移，使顶点移到点 3,1P 的位置，那么所得抛物线的表达式是．【2024届·虹口区·初三一模·第12题】（本题满分4分）18.已知点 13,A y 和 21,B y 都在抛物线 2212y x 上，那么1y 和2y 的大小关系为1y 2y ．（填“ ”或“ ”或“ ”）【2024届·虹口区·初三一模·第13题】（本题满分4分）19.已知抛物线2y x bx c 如图5所示，那么点 ,P b c 在第象限．图5第15题图（本题满分4分）20.将二次函数223y x x 和223y x x 的图像画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图像都是上升的部分，所对应自变量x 的取值范围是（）.A 1x ；.B 1x ；.C 11x ；.D 1x 或1x ．【2024届·黄浦区·初三一模·第9题】21.22. 22,y 在此抛物线23.在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC ，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形DEMN 的边MN 在AB 上，顶点D 、E 分别在边AC 、BC 上，设DE 的长为x 厘米，矩形DEMN 的面积为y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式是．（不必写定义域）（本题满分4分）24.为了研究抛物线21:L y ax bx c 与22:L y ax bx c 在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数a 、b 、c 的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现1L 与2L 的位置特征，你的发现是：；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是：．【2024届·嘉定区·初三一模·第1题】（本题满分4分）25.如果抛物线 212y k x 的开口向下，那么k 的取值范围是（）.A 0k ；.B 0k ；.C 1k ；.D 1k ．【2024届·嘉定区·初三一模·第2题】（本题满分4分）26.抛物线2y ax bx c （0a ）的对称轴是直线2x ，那么下列等式成立的是（）.A 2b a ；.B 2b a ；.C 4b a ；.D 4b a ．【2024届·嘉定区·初三一模·第7题】（本题满分4分）27.如果函数 211y k x kx （k 是常数）是二次函数，那么k 的取值范围是．（本题满分4分）28.将抛物线232y x x 向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是．【2024届·嘉定区·初三一模·第9题】29.【202430.【2024（本题满分4分）31.把抛物线22y x 向左平移1个单位后得到的新抛物线的表达式是（）.A 221y x ；.B 221y x ；.C 221y x ；.D 221y x ．（本题满分4分）32.抛物线2y ax bx c 的图像如图所示，下列判断中不正确的是（）.A 0a ；.B 0b ；.C 0c ；.D 0a b c ．【202433.抛物线【202434.如果点”或“ ”）【2024（本题满分4分）35.如果将抛物线 221y x 平移后得到抛物线 212y x ，那么它的平移过程可以是（）.A 向右平移3个单位，再向上平移3个单位；.B 向右平移3个单位，再向下平移3个单位；.C 向左平移3个单位，再向上平移3个单位；.D 向左平移3个单位，再向下平移3个单位．第6题图（本题满分4分）36.如果二次函数2y ax bx c 图像对称轴的右侧部分是上升的，那么它的开口方向是．（填“向上”或“向下）【2024届·静安区·初三一模·第11题】（本题满分4分）37.【202438..A .C 【202439.的图像经过 1,0、 3,0 ，如果实数P 表示93a b c 的值，实数Q 表示a b 的值，那么P 、Q 的大小关系为（）.A P Q ；.B P Q ；.C P Q ；.D 无法确定．（本题满分4分）40.将抛物线24y x x 向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是．【2024届·闵行区·初三一模·第13题】（本题满分4分）41.1y 42.（填“ ”或“ ”）【2024届·浦东新区·初三一模·第1题】（本题满分4分）43.下列函数中，是二次函数的是（）.A 21y x ；.B 21y x ；.C 221y x x ；.D 21y x．（本题满分4分）44.下列关于二次函数23y x 的图像与性质的描述，正确的是（）.A 该函数图像经过原点；.B 该函数图像在对称轴右侧部分是上升的；.C 该函数图像的开口向下；.D 该函数图像可由函数2y x 的图像平移得到．【202445.y ，那么y 【202446.已知点mn ．（填“【2024届·普陀区·初三一模·第1题】（本题满分4分）47.将抛物线23y x 沿着y 轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是（）.A 21y x ；.B 21y x ；.C 231y x ；.D 231y x ．（本题满分4分）48.下列关于抛物线22y x 和抛物线22y x 的说法中，不正确的是（）.A 对称轴都是y 轴；.B 在y 轴左侧的部分都是上升的；.C 开口方向相反；.D 顶点都是原点．【2024届·普陀区·初三一模·第8题】（本题满分4分）49.已知正比例函数y 的值随着自变量x 的值增大而增大，那么这个正比例函数的解析式可以是．（只需写一个）【2024届·普陀区·初三一模·第10题】（本题满分4分）50.已知二次函数232y x x m 的图像与y 轴的交点在正半轴上，那么m 的取值范围是．【2024届·普陀区·初三一模·第13题】（本题满分4分）51.已知点A 在抛物线 212y x 上，点'A 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，如果点A 的横坐标是1 ，那么点'A 的坐标是．（本题满分4分）52.如图5，抛物线24y x x 的顶点为P ，M 为对称轴上一点，如果PM OM ，那么点M 的坐标是．【202453.①1c ．其中正确结论的个数是（）.A 1个．【202454.【2024届·青浦区·初三一模·第12题】（本题满分4分）55.如果点 12,A y 和点 23,B y 是抛物线2y x m （m 是常数）上的两点，那么1y 2y ．（填“ ”、“ ”、“ ”）（本题满分4分）56.如果抛物线2y ax bx c （0a ）的顶点在x 轴的正半轴上，那么这条抛物线的表达式可以是．（只需写一个）【2024届·松江区·初三一模·第1题】（本题满分4分）57.下列函数中，属于二次函数的是（）.A 2y x ；.B 2y x ；.C 221y x x ；.D 22y x．【2024届·松江区·初三一模·第3题】（本题满分4分）58.关于二次函数 221y x 的图像，下列说法正确的是（）.A 开口向上；.B 经过原点；.C 对称轴右侧的部分是下降的；.D 顶点坐标是 1,0 ．【2024届·松江区·初三一模·第9题】（本题满分4分）59.某印刷厂一月份印书50万册，如果第一季度从2月份起，每月印书量的增长率都为x ，三月份的印书量为y 万册，那么y 关于x 的函数解析式是．第14题图（本题满分4分）60.在直角坐标平面中，将抛物线 212y x ，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是．【2024届·松江区·初三一模·第12题】61.62..A 2x ．（本题满分4分）63.将抛物线2y x 向右平移后，所得新抛物线的顶点是B ，新抛物线与原抛物线交于点A （如图所示），联结OA 、AB ，如果AOB 是等边三角形，那么点B 的坐标是．（本题满分4分）64.将抛物线22y x 向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是（）.A 223y x ；.B 223y x ；.C 223y x ；.D 223y x ．【202465.【202466.【2024届·杨浦区·初三一模·第11题】（本题满分4分）67.如果点 15,A y 和点 25,B y 是抛物线2y x m （m 是常数）上的两点，那么1y 2y ．（填“ ”、“ ”或“ ”）（本题满分4分）68.写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是．【2024届·杨浦区·初三一模·第16题】（本题满分4分）69.有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面AB 宽20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离是4米，如【202470..A .C 【2024届·长宁区·初三一模·第12题】（本题满分4分）71.二次函数 2f x ax bx c 图像上部分点的坐标满足下表：那么 5f．。

专题二次函数性质综合-学易金卷：2023年中考数学一模试题分项汇编(山东专用)

专题13 二次函数性质综合一.选择题（共14小题）（2023•新泰市一模）1. 抛物线的函数表达式为()2321y x =-+，若将x 轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）A. ()2313y x =++ B. ()2353y x =-+C. ()2351y x =-- D. ()2311y x =+-（2023•泰山区校级一模）2. 抛物线y ＝x 2+1经过平移得到抛物线y ＝（x ﹣6）2+4，平移过程正确的是（）A. 先向左平移6个单位，再向上平移3个单位B. 先向左平移6个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位D. 先向右平移6个单位，再向下平移3个单位（2023•岱岳区校级一模）3. 函数y =ax 2+bx +a +b （a ≠0）的图象可能是（）A. B.C. D.（2023•宁阳县校级一模）4. 在二次函数2y ax bx c =++，x 与y 的部分对应值如下表：x …2-023…y…8003…则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③当1x >时，y 随x 的增大而增大；④图象经过点()13-，；⑤方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根．其中正确的是（）A. ①②③④B. ①②③⑤C. ①②④⑤D. ①③④⑤5. 如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（）A. ﹣1B. ﹣3C. ﹣5D. ﹣7（2023•新泰市一模）6. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax b =+与反比例函数c y x=在同一平面直角坐标系中的大致图象为【】A. B. C.D.（2023•惠民县一模）7. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax b =-的图象和反比例函数a b c y x-+=的图象在同一平面直角坐标系中大致为（）A. B. C.D.（2023•东明县一模）8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（）A. B. C.D.（2023•东平县校级一模）9. 如图，抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标A （﹣1，3），与x 轴的一个交点B （﹣4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点，下列结论：①2a ﹣b ＝0；②抛物线与x 轴的另一个交点坐标是（2，0）；③7a +c ＞0；④方程ax 2+bx +c ﹣2＝0有两个不相等的实数根；⑤当﹣4＜x ＜﹣1时，则y 2＜y 1．其中正确结论的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5（2023•惠民县一模）10. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图，图象过点()10-，，对称轴为直线2x =，下列结论：①40a b +=；②93a c b +>；③当0x <时，y 的值随x 值的增大而增大；④b c >；⑤24b ac >．其中正确的结论有（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个（2023•郓城县一模）11. 小明从图所示的二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＜0；②abc ＞0；③a ﹣b +c ＞0；④2a ﹣3b ＝0；⑤c ﹣4b ＞0，你认为其中正确信息的个数有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个（2023•东平县一模）12. 如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，下列说法正确的是（）A. 0a > B. 当=1x -时，y 的值随x 值的增大而增大C. 点B 的坐标为()4,0 D. 420a b c ++>（2023•利津县一模）13. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）交x 轴于点A （﹣1，0）和x 轴正半轴于点B ，且BO ＝3AO 交y 轴正半轴于点 C ．有下列结论：①abc ＞0；②2a ＋b ＝0；③x ＝1时y 有最大值﹣4a ；④3a ＋c ＝0，其中，正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4（2023•滕州市一模）14. 如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()30A -,，对称轴为直线=1x -，①240b ac ->②40a c +<③当31x -≤≤时，0y ≥④若15,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21,2C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭为函数图象上的两点，则12y y >，以上结论中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二.填空题（共6小题）（2023•新泰市一模）15. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的一部分如图所示．已知图象经过点()10-，，其对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc >；②420a b c ++<；③若抛物线经过点()3n -，，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=≠，的两根分别为3-，5；④5<0a c +，上述结论中正确的是_________（只填序号）（2023•菏泽一模）16. 如图，若二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为直线1x =，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点()1,0B -，则下列结论：①0abc >；②二次函数的最大值为a b c ++；③<0a b c -+；④240b ac -<；⑤当0y >时，13x -<<．⑥30a c +=；其中正确的结论有________．（2023•泰山区校级一模）17. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如表x﹣1013y ﹣1353下列结论：①ac ＜0；②当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小．③3是方程ax 2+（b ﹣1）x +c =0的一个根；④当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x +c ＞0．其中正确的结论是______．（2023•岱岳区校级一模）18. 如图，抛物线2123y a x +-＝（）与221312y x =-+（）交于点()13A ，，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②23a =；③当0x =时，216y y -=；④10AB AC +=；其中正确结论是______．（2023•泰山区校级一模）19. 已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 如图所示，它与x 轴的两交点的横坐标分别是－1，5．对于下列结论：①abc ＞0；②方程ax 2+bx +c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝5；③9a －3b ＋c ＜0；④当x ＜2时，y 随着x 的增大而增大．其中正确的结论是_________（填写结论的序号）．（2023•泰山区校级一模）20. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有5个结论：①0abc >；②b a c >+；③930a b c ++>； ④3c a <-； ⑤()a b m am b +≥+，其中正确的有是_____．专题13 二次函数性质综合一.选择题（共14小题）（2023•新泰市一模）【1题答案】【答案】C【解析】【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可．【详解】解：若将x 轴向上平移2个单位长度，相当于将函数图像向下平移2个单位长度，将y 轴向左平移3个单位长度，相当于将函数图像向右平移3个单位长度，则平移以后的函数解析式为：23(23)12y x =--+-化简得：23(5)1y x =--，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键．（2023•泰山区校级一模）【2题答案】【答案】C【解析】【分析】根据平移的规律，求解即可，平移的规律为“上加下减，左加右减”．【详解】解：抛物线y ＝x 2+1向右平移6个单位，再向上平移3个单位，可得抛物线2(6)4y x =-+，故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数图像的平移规律．（2023•岱岳区校级一模）【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据各选项中函数的图像可以得到a 、b 、c 的关系,从而可以判断各选项中那个函数图像可能是正确的.【详解】解： A:由图像可知,开口向下,则a<0,又因为顶点在y 轴左侧,则b<0,则a+b <0,而图像与y 轴交点为(0,a+b)在y 轴正半轴,与a+b <0矛盾故此选项错误;B:由图像可知,开口向下,则a<0,又因为顶点在y 轴左侧,则b<0,则a+b <0,而图像与y 轴交点为(0,1)在y 轴正半轴,可知a+b =1与a+b <0矛盾,故此选项错误；C ：由图像可知开口向上,则a>0,顶点在y 轴右侧,则b<0,a+b=1,故此选项正确；D:由图像可知开口向上则a>0,顶点在y 轴右侧,则b<0,与y 轴交于正半轴则a+b >0,而图像与x 轴的交点为(1,0),则a+b+a+b =0,即a+b =0与a+b >0矛盾,故此选项错误；故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,中等难度,逐项分析是解题关键.（2023•宁阳县校级一模）【4题答案】【答案】D【解析】【分析】结合图表可以得出当0x =或2时，0y =；3x =时，3y =，根据待定系数法可求出二次函数解析式，从而根据二次函数的性质判断．【详解】解：∵由图表可以得出当0x =或2时，0y =；3x =时，3y =，∴0420933c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：120a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴22y x x =-，∵0c ，∴图象经过原点，故①正确；∵10a =>，∴抛物线开口向上，故②错误；∵抛物线的对称轴是212x -=-=，∴1x >时，y 随x 的增大而增大，故③正确；把=1x -代入得，3y =，∴图象经过点()13-，，故④正确；∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴有两个交点()00，、()20，，∴20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故⑤正确；综上，正确的有①③④⑤．故选：D ．【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数的性质是解题的关键．【5题答案】【答案】C【解析】【分析】根据顶点P 在线段AB 上移动，又知点A 、B 的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A 和B 时的情况，即可判断出M 点横坐标的最小值．【详解】解：根据题意知，点N 的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B 点，点N 的横坐标最大，此时的M 点坐标为（﹣2，0），当对称轴过A 点时，点M 的横坐标最小，此时的N 点坐标为（1，0），M 点的坐标为（﹣5，0），故点M 的横坐标的最小值为﹣5，故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x 轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．（2023•新泰市一模）【6题答案】【解析】【详解】∵二次函数图象开口向上，∴a ＞0，∵对称轴为直线b x 2a =-，∴b ＜0．∵与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0．∴y ax b =+的图象经过第一、三、四象限；反比例函数c y x=图象在第一、三象限，只有B 选项图象符合．故选B ．（2023•惠民县一模）【7题答案】【答案】A【解析】【分析】通过二次函数图象分析可得a<0，0b <，0c >，0y a b c =-+>，再利用一次函数和反比例函数的性质对图象逐一进行判断即可得到答案．【详解】解：由二次函数图象可知，图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，与y 轴交点在正半轴，<0a ∴，0b <，0c >，当=1x -时，0y a b c =-+>，∴一次函数y ax b =-的图象经过第一、二、四象限，反比例函数a b c y x -+=的图象位于一、三象限，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，熟练掌握相关函数的性质是解题关键．（2023•东明县一模）【8题答案】【解析】【分析】根据二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象可知0a >，0b >，0c <，从而判断出二次函数2y ax bx c =++的图象．【详解】解：∵二次函数2y ax =的图象开口向上，∴0a >，∵次函数y bx c =+的图象经过一、三、四象限，∴0b >，0c <，对于二次函数2y ax bx c =++的图象，∵0a >，开口向上，排除A 、B 选项；∵0a >，0b >，∴对称轴02b x a=-<，∴D 选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出0a >，0b >，0c <是解题的关键．（2023•东平县校级一模）【9题答案】【答案】D【解析】【分析】①利用对称轴方程进行解答；②利用抛物线的对称性质求解便可；③把（2，0）代入二次函数解析式，并把b 换成a 的对称代数式便可；④根据抛物线抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与直线y ＝2的交点情况解答；⑤根据两函数图象的位置关系解答．【详解】解：①由抛物线对称轴知，x ＝2b a -=-1，∴2a ﹣b ＝0，则此小题结论正确；②设抛物线与x 轴的另一个交点坐标是（m ，0），根据题意得，412m -+=-，∴m ＝2，则此小题结论正确；③把（2，0）代入y ＝ax 2+bx +c 得，4a +2b +c ＝0，∵x ＝2b a-=-1，∴b ＝2a ，∴4a +2×2a +c ＝0，∴8a +c ＝0，∴7a +c ＝﹣a ＞0，则此小题结论正确；④由函数图象可知，直线y ＝2与抛物线y ＝ax 2+bx +c 有两个交点，∴ax 2+bx +c ＝2有两个不相等的实数根，即ax 2+bx +c ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则此小题结论正确；⑤由函数图象可知，当﹣4＜x ＜﹣1时，抛物线在直线上方，于是y 2＜y 1．则此小题结论正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系．对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由∆决定：∆＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；∆＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；∆＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．（2023•惠民县一模）【10题答案】【答案】C【解析】【分析】根据图象信息首先确定出22b a-=，240b ac ->，即可变形判断①⑤；结合增减性以及3x =-的函数值，即可判断②；根据增减性直接判断③，根据=1x -时的函数值，以及22b a-=，用含a 的式子表示出b 和c ，即可判断④，从而得出结论即可．【详解】解：由图象信息可知，a<0，0b >，0c >，22b a-=，240b ac ->，∴4b a =-，40a b +=，24b ac >，故①⑤正确；∵抛物线过点()10-，，对称轴为直线2x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()50，，∴当1x <-或5x >时，0y <，∵当3x =-时，93y a b c =-+，∴930a b c -+<，93a c b +<，故②错误；由图象知，当0x <时，y 的值随x 值的增大而增大，故③正确；当=1x -时，0y a b c =-+=，∴5c b a a =-=-，∵4b a =-，a<0，∴45a a -<-，即b c <，故④错误，∴正确的结论有：①③⑤，有3个．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与性质、抛物线与x 轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系：二次函数()20y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当0a >时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即0ab >），对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时（即0ab <），对称轴在y 轴右侧；常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于()0c ，；抛物线与x 轴交点个数由∆决定，240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有2个交点；240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有1个交点；24<0b ac ∆=-时，抛物线与x 轴没有交点．（2023•郓城县一模）【11题答案】【答案】C【分析】观察图象易得a＞0，123ba-=＞0，所以b＜0，2a-3b＞0，因此abc＞0，由此可以判定①②是正确的，而④是错误的；当x=-1，y=a-b+c，由点（-1，a-b+c）在第二象限可以判定a-b+c＞0，③是正确的；当x=2时，y=4a+2b+c=2×（-3b）+2b+c=c-4b，由点（2，c-4b）在第一象限可以判定c-4b＞0⑤是正确的．【详解】解：∵抛物线开口方向向上，∴a＞0，∵与y轴交点在x轴的下方，∴c＜0，∵123ba-=＞0，∵a＞0，∴b＜0，∴2a﹣3b＞0，∴abc＞0，∴①②是正确的，∵对称轴x123ba=-=，∴3b＝﹣2a，∴2a+3b＝0，∴④是错误的；当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，而点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，∴a﹣b+c＞0∴③是正确的；当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，而点（2，c﹣4b）在第一象限，∴c﹣4b＞0∴⑤是正确的．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质．能从函数图象中正确获取信息是解题的关键．（2023•东平县一模）【12题答案】【答案】D【解析】【分析】根据该抛物线的开口方向，即可判断A ；根据点A 的坐标，即可判断B ；根据点A 的坐标和对称轴，可求出点B 的坐标，即可判断C ；根据点B 的坐标，即可判断D ．【详解】解：A 、∵该抛物线开口向下，∴a<0，故A 不正确，不符合题意；B 、∵()1,0A -，∴当=1x -时，0y =，故B 不正确，不符合题意；C 、∵()1,0A -，该抛物线对称轴是直线1x =，∴()3,0B ，故C 不正确，不符合题意；D 、∵该抛物线对称轴是直线1x =，∴当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小，∵()3,0B ，该抛物线开口向下，∴当=2x 时，0y >，∴420a b c ++>，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性，对称性，根据图象确定各项系数的符号以及式子的正负．（2023•利津县一模）【13题答案】【答案】C【解析】【分析】根据抛物线开口方向得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧，a 与b 异号，得到b ＞0，又抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，则c ＞0，于是可判断①错误；根据OB =3OA =3，确定点B 的坐标，可得抛物线的对称轴为直线x =1，于是可判断②正确；根据A （-1，0）和点B （3，0）确定抛物线的解析式，并化为顶点式，于是可判断③正确；根据a -b +c =0和b =-a 可判断④正确．【详解】解：①∵抛物线开口向下，∴a ＜0，又∵对称轴在y 轴的右侧，∴x =-2b a＞0，∴b ＞0，又∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；②∵A （-1，0），∴OA =1，∵OB =3OA ，∴OB =3，∴B （3，0），∴对称轴为：直线x =132-+=1，即-2b a=1，∴2a +b =0，所以②正确；③∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）交x 轴于点A （-1，0）和点B （3，0），∴y =a （x +1）（x -3）=a （x -1）2-4a ，∵a ＜0，∴x =1时，y 有最大值-4a ，所以③正确；④当x =-1时，a -b +c =0，由②知：b =-2a ，∴a +2a +c =0，∴3a +c =0，所以④正确．正确结论有②③④，共有3个．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，与x 轴的交点及二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与系数的关系：当a ＜0，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-2b a；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，属于中考常考题型．（2023•滕州市一模）【14题答案】【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质解答．【详解】解：由题意可知二次函数图象与x 轴有两个交点，即方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，故①正确；由函数图象对称性可得函数图象经过()3,0-和()1,0两点，930a b c ∴-+=①，0a b c ++=②，3+⨯①②并化简得：30a c +=，430a c a a c a ∴+=++=<，故②正确；由函数图象对称性可得函数图象经过()3,0-和()1,0两点，∴由函数整个图象可得当31x -≤≤时，0y ≥，故③正确；设32x =-时，函数值为3y ，则由函数图象的对称性可得：23y y =，53122-<-<- ，∴由函数的增减性可得：13y y <，12y y ∴<，故④错误；故正确的有①②③，共3个，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．二.填空题（共6小题）（2023•新泰市一模）【15题答案】【答案】③④##④③【解析】【分析】根据二次函数图象的性质，得0a <，2b a =-，根据二次函数的对称性，得42a b c c ++=、点()3n -，关于()20y ax bx c a =++≠对称轴1x =的对称点为()5n ，；根据二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和x 轴的交点，得30a c +=，通过计算即可得到答案．【详解】解：∵二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象开口向下，∴0a <，∵二次函数()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，∴12b a-=，即2b a =-，∴0b >，∵二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和y 轴的交点，在y 轴的正半轴，∴0c >，∴0abc <，即①不正确；∵二次函数()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，∴0x =和2x =对应的函数值相同，即42a b c c ++=，∴420a b c ++>，即②不正确；点()3n -，关于()20y ax bx c a =++≠对称轴1x =的对称点为()5n ，，∵抛物线经过点()3n -，，∴关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=≠的两根分别为3-，5，即③正确；∵二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和x 轴的交点为：()10-，，且2b a =-，∴当=1x -时，2230y ax ax c a c =-+=+=，∵0a <，∴53220a c a c a a +=++=<，即④正确；综上，正确的有③④；故答案为：③④．【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质，从而完成求解．（2023•菏泽一模）【16题答案】【答案】②⑤⑥【解析】【分析】根据对称轴在y 轴的右侧，与y 轴相交在正半轴，可判定①；由顶点坐标即可判断②；由()1,0B -即可判断③；由抛物线与x 轴有两个交点即可判断④；有抛物线与x 轴交点的横坐标即可判断⑤；由对称轴方程得到2b a =-，由1x =时函数值为0即可判断⑥．【详解】解：二次函数对称轴在y 轴的右侧，与y 轴相交在正半轴，0,0,0ab c abc ∴<><，故①不正确；二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为直线1x =，∴顶点坐标为(1,)a b c ++，且开口向下，二次函数的最大值为a b c ++，故②正确；抛物线过()1,0B -，1x ∴=-时，0y =，即0a b c -+=，故③不正确；抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，故④正确；对称轴为直线1x =，()1,0B -，(3,0)A ∴，有图象可知，13x -<<时，0y >，故⑤正确；12b x a=-= ，即2b a =-，而=1x -时，0y =，即0a b c -+=，20a a c ∴++=，30a c ∴+=，故⑥正确，故答案为：②⑤⑥．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象与x 轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（2023•泰山区校级一模）【17题答案】【答案】①③④【解析】【详解】∵x =﹣1时y =﹣1，x =0时，y =3，x =1时，y =5，∴135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴y =﹣x 2+3x +3，∴ac =﹣1×3=﹣3＜0，故①正确；对称轴为直线332(1)2x =-=⨯-，∴当x ＞32时，y 的值随x 值的增大而减小，故②错误；方程为﹣x 2+2x +3=0，整理得，x 2﹣2x ﹣3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3，∴3是方程ax 2+（b ﹣1）x +c =0的一个根，正确，故③正确；﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x +c ＞0正确，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④．故答案为：①③④（2023•岱岳区校级一模）【18题答案】【答案】①②④【解析】【分析】根据221312y x =-+（）的图象在x 轴上方即可得出2y 的取值范围；把()13A ，代入抛物线2123y a x +-＝（）即可得出a 的值；由抛物线与y 轴的交点求出21y y -的值；根据两函数的解析式求出A 、B 、C 的坐标，计算出6AB =与4AC =的长，即可得到+AB AC 的值．【详解】∵21(3)02x -≥，∴221(3)102y x =-+>，∴无论x 取何值，2y 的值总是正数，①正确；∵抛物线21(2)3y a x =+-与221(3)12y x =-+交于点()13A ，，∴393a =-，∴23a =，②正确；当0x =时，113y =-，2112y =，∴当0x =时，21356y y -=，③错误；当3y =时，212(2)333y x =+-=，解得5x =-或1，当3y =时，221(3)132y x =-+=，解得1x =或5，∴6AB =，4AC =即10AB AC +=，④正确；综上正确的有①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意利用数形结合进行解答，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．（2023•泰山区校级一模）【19题答案】【答案】②③④【解析】【分析】由抛物线开口方向，对称轴，以及与y 轴的交点即可判断①；根据抛物线与x 轴的交点即可判断②；根据图形即可判断③；求得对称轴，根据二次函数的性质即可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下、顶点在y 轴右侧、抛物线与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，b ＞0，c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两交点的横坐标分别是-1，5．∴方程ax 2+bx +c =0的根是x 1=-1，x 2=5，故②正确；∵当x =-3时，y ＜0，∴9a -3b +c ＜0，故③正确；∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两交点的横坐标分别是-1，5，∴抛物线的对称轴为直线1522x -+==，∵抛物线开口向下，∴当x ＜2时，y 随着x 的增大而增大，故④正确；故答案为：②③④．【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．（2023•泰山区校级一模）【20题答案】【答案】②④⑤【解析】【分析】根据抛物线的开口方向、=1x -、3x =时的函数值小于0、对称轴12b x a=-=及函数的最大值逐一判断可得．【详解】∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵02b a->，∴0b >，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴0c >，∴<0abc ，∴结论①错误；∵当=1x -时，0y a b c =-+<，即b a c >+，∴结论②正确；∵当=1x -和3x =时，函数值相等，均小于0，∴930y a b c =++<，∴结论③错误；∵12b x a=-=，∴2b a =-，∵由=1x -时，0y a b c =-+<得20a a c ++<，即3c a <-，∴结论④正确；∴由图象知当1x =时函数取得最大值，∴2am bm c a b c ++≤++，即()a b m am b +≥+，∴结论⑤正确．故填：②④⑤．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的a>时，抛物关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当0线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决ab>)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时定对称轴的位置；当a与b同号时(即0ab<)，对称轴在y轴右侧，（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴(即00,c．交点，抛物线与y轴交于()。

2023北京初三一模数学汇编：二次函数

2023北京初三一模数学汇编二次函数一、单选题1．（2023·北京门头沟·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AB上一动点（点E与点A，B=，以BE，BF为边作矩形BEGF．设AE的长为x，矩形BEGF 不重合），点F在BC延长线上，AE CF的面积为y，则y与x满足的函数关系的图像是（）A．B．C．D．(1)拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：x23681012水平距离/my4 5.47.2 6.440竖直高度/m根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系2=−+<．y a x h k a()(0)在抛物线上，若存在010x ，使y 统考一模）如图，OC 是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线．(1)灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点水平距离的几组数据如下表，水平距离x /米 00.5(1)当1m =时，求b 的值；(2)点0()x n ，在抛物线上，若存在00x b ，使得(1)水面的宽度OA =_______m ；(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m ，求最多可设计龙舟赛道的数量．13．（2023·北京通州·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()(1,,2,n −(1)甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如下：水平距离x/m0123456竖直高度y/m1 2.4 3.44 4.24 3.4根据以上数据，回答下列问题：①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是______m；②在水平距离5m处，放置一个高1.55m的球网，羽毛球______（填(1)建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m 据：x00.41 1.42 2.4水平距离/m(1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：x02610121416y00.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56(1)求该抛物线的顶点坐标；(2)当抛物线(224y ax ax a =−+−①求此时抛物线的表达式；②点()12M n y −，，(23N n y +，21．（2023·北京海淀·统考一模）在平面直角坐标系参考答案1．C【分析】延长AD 、FG 相交与点P ，然后用含x 的式子表示面积y ，得到y 关于x 的函数解析式，根据图像即可判断．【详解】解：如图，延长AD 、FG 相交与点P ，则四边形ABFP 为矩形，2BF AP x ==+，22(2)(2)4BEGF ABFP AEGP y S S S x x x x ==−=+−+=−+四边形四边形四边形所以24y x =−+(02)x <<这个函数的图像为抛物线，开口向下，只有C 答案符合题意，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图像，根据矩形的性质通过数形结合建立函数模型是求解的关键． 2．(1)8米 (2)②；①【分析】（1）根据表格数据可得抛物线的顶点坐标为()3,4.4，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出 1.9y =时，x 的值即为所求；（2）根据抛物线的开口大小即可得．【详解】（1）解：由表可知，抛物线的顶点坐标为()3,4.4， ∴抛物线的解析式为()23 4.4y a x =−+， ∵抛物线过点()0,3.5，9 4.4 3.5a ∴+=，解得0.1a =−，∴()20.13 4.4y x =−−+，当 1.9y =时，()20.13 4.4 1.9x −−+=，解得8x =或20x =−<（不符合题意，舍去），所以货车车厢的中心点应距离喷射口8米．（2）解：由函数图象可知，从抛物线的开口大小看，抛物线①的小于抛物线②的，抛物线()2:0.09 3.2 4.42A y x =−−+的开口大于抛物线()2:0.12 2.8 4.44B y x =−−+的开口，所以A 、B 对应的抛物线分别为:A ②；:B ①，②对于任意的综上所述，332a<<或7a>．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键．4．(1)交点坐标：()0,3−，对称轴：直线nana二次函数图象经过点（3）观察图像可知当20x 时，0y =，所以铅球运动员出手点的最远水平距离是20m ．【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了求二次函数关系式，画二次函数的图像等，从表格中获取信息是解题的关键．6．(1)20.2(6)7.2y x =−−+(2)>【分析】（1）由表格得当2x =时，4y =，当10x =时，4y =，从而可求顶点坐标，即可求解；（2）由表格可以直接求出1d ，由20.288(5)7.2y x =−−+可求出2d ，进行比较即可．【详解】（1）解：由表格得：62106−=−，∴顶点坐标为()6,7.2，2(6)7.2y a x ∴=−+，2(26)7.24a ∴−+=，解得：0.2a =−，20.2(6)7.2y x ∴=−−+．（2）解：由表格得当12x =时，0y =，原拱门中：112d =（m ）；新拱门中：当0y =时，20.288(5)7.20x −−+=解得：10x =，210x =，22110d x x ∴=−=（m ），1210>，12d d ∴>．故答案：>．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键．）根据题意，可得在010x 时，m ）解：22m m a −−=−=，12y y <，12m ∴−+解得2m <（3）解：当010x 时，m 102y y <，212m y ∴++<，21m y >，22042x b ，即024x b ，因为00x b ，则024b b ，求解好戏可．【详解】（1）解：当1m =时，则(41)A ，，代入221y x bx =−+，得 214241b ，解得：（2）解：∵抛物线y 当m n =时，点0()x n ，与点042x b， 024b ，00x b ，024b b ，4b <<．【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，抛物线的对称性质，熟练掌握抛物线上的点的坐标满足于解析式，利用抛物线解析式求对称轴和抛物线对称性的应用是解题的关键．1b1<（1）根据抛物线的对称性，以及对称轴的公式，进行求解即可；2n >和2n <1b ；）解：∵y ∴当2b x <时，1b ；s时，分别求出20【详解】（1）解：根据自变量增加故答案为：二次．）解：设s关于(2)A ，C【分析】(1) ①设抛物线解析式为2(12) 2.88(0)y a x a =−+<，把()0,0代入解析式确定a 值即可． ②根据抛物线的对称性解答即可．（2）根据题意，得到当8x =时， 2.3y >，当18x =， 2.2y <，转化成x 的代数式即可．【详解】（1）①由题意可设所求的的函数关系式为2(12) 2.88(0)y a x a =−+<．∵点（0，0）在该函数的图像上，∴144 2.880a +=．解得0.02a =−．故求的的函数关系为20.02(12) 2.88y x =−−+．即 20.020.48y x x =−+．②喷水头喷出的水柱能够越过这棵树．理由如下：∵当8x =时的函数值与当16x =时的函数值相等，∴当8x =时， 2.56 2.3y =>．∴喷水头喷出的水柱能够越过这棵树．（2）根据题意，得到当8x =时， 2.3y >，当18x =， 2.2y <，∵20.04y x bx =−+∴20.0488 2.3b −⨯+>，20.041818 2.2b −⨯+<，故选A ，C ，故答案为：A ，C ．【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，抛物线的对称性，抛物线的应用，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．18．(1)2b a =，抛物线的顶点坐标为()22a a a −，； (2)3a ≥或1a ≤−．【分析】（1）把点()11，代入22y x ax b =−+计算可求得含a 的式子表示b 的代数式，配方成顶点式，即可求解；（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x a =，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则当2x a =+时，代入计算，解不等式即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线22y x ax b =−+经过点()11，， ∴112a b =−+，∴2b a =，∵()22222y x ax b x a a a =−+=−+−， ∴抛物线的顶点坐标为()22a a a −，；（2）解：∵()22222y x ax b x a a a =−+=−+−，。

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二次函数选择题：（长宁3）对于抛物线y =(x+2)2，下列说法正确的是（A ）最低点坐标是（2-，0）；（B ）最高点坐标是（2-，0）；（C ）最低点坐标是（0，2-）；（D ）最高点坐标是（0，2-）．（长宁4）已知二次函数bx ax y +=2的图像如图所示，那么a 、b 的符号为（A ）a >0，b >0；（B ）a <0，b >0；（C ）a >0，b <0；（D ）a <0，b <0．（黄埔6）将二次函数2x y =的图像沿y 轴方向向上平移1个单位，则所得到图像的函数解析式为（）（A ）12+=x y ；（B ） 12-=x y ；（C ）2)1(+=x y ；（D ）2)1(-=x y . （虹口3）下列抛物线中,过原点的抛物线是( )A .221y x =-；B .22y x x =+；C .22(1)y x =+；D .221y x =+.（虹口4）把抛物线2y x =-向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A .2(3)y x =--；B .2(3)y x =-+；C .23y x =--；D .23y x =-+.（普陀6）如果一次函数b ax y +=的图像经过二、三、四象限，那么二次函数bx ax y +=2的图像只可能是……………………………………………………………（）(A) (B) (C) (D) （徐汇1）抛物线22(3)4y x =-++的顶点坐标是（）Ａ．（3，4）；Ｂ．（－3，4）；Ｃ．（3，－4）；Ｄ．（－3，－4）．（徐汇6）已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：（第4题图）则下列判断中正确的是（）A ．抛物线开口向上；B ．抛物线与y 轴交于负半轴；C ．当x ＝3时，y <0；D ．方程02=++c bx ax 有两个相等实数根．（卢湾4）在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图像向下平移2个单位，所得图像的解析式为………………………………………………………（）．A ．222y x =-；B ．222y x =+；C ．22(2)y x =-；D ．22(2)y x =+．（卢湾5）若点A （2，y 1）、B （3，y 2）是二次函数22(1)1y x =--图像上的两点，则y 1与y 2的大小关系是…………………………………………………（）．A ．21y y <；B ．21y y =；C ．21y y >；D ．不能确定．填空题：（虹口7）抛物线242y x x =-+与y 轴的交点坐标是__________．（虹口8）如果抛物线2(1)4y k x x =-+的开口向下，那么k 的取值范围是_____________．（虹口17）某抛物线型拱桥的示意图如图4，已知该抛物线的函数表达式为211248y x =-+，为保护该桥的安全，在该抛物线上的点E 、F 处要安装两盏警示灯（点E 、F 关于y 轴对称），这两盏灯的水平距离EF 是24米，则警示灯F 距水面AB 的高度是______________米．（长宁9）已知2(1)y a x ax =++是二次函数，那么a 的取值范围是．（长宁10）在平面直角坐标系中，如果把抛物线y =x 2向左平移5个单位，那么所得抛物线的表达式为．（长宁11）已知抛物线322--=x x y ，如果点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴yO 图4对称，那么点Q 的坐标是．（长宁12）请写出一个以直线2-=x 为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是．（黄埔14）在平面直角坐标系中，抛物线322++=x x y 的顶点坐标是__________. （黄埔16）若点()n A ,3在二次函数322-+=x x y 的图像上，则n 的值为__________. （普陀9）将二次函数3)1(22+-=x y 图象向左平移1个单位后，所得图象的解析式是 .（普陀16.）已知二次函数的图象开口向上，对称轴在y 轴的左侧，请写出一个符合条件的二次函数解析式 . （徐汇8）抛物线23125y x x =-+-的对称轴是直线．（徐汇9）把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为．（徐汇12）已知二次函数4)2(2+--=x y ，当2>x 时，若y 随着x 的增大而（填增大、不变或减少）．（徐汇15）如图，已知抛物线c bx x y ++-=2的对称轴为直线1=x ，且与x 轴的一个交点为()0,3，那么它对应的函数解析式是．（卢湾10）抛物线22(1)5y x =-+的顶点坐标是__________．（卢湾11）若某二次函数图像的顶点在原点，且经过点（2，1），则此二次函数的解析式是__________．（卢湾12）抛物线21(2)12y x =--与y 轴的交点坐标是．（卢湾17）如果将抛物线228y x =-+向右平移a 个单位后，恰好过点（3，6），那么a 的值为_________．解答题：（卢湾19）指出抛物线243y x x =-+-的开口方向、对称轴和顶点坐标，并在答题纸上的直角坐标系中画出243y x x =-+-的图像．（长宁20）已知二次函数2y x m x n =++的图像经过点（2，-1）和（1，0），求这个二次函数的解析式，并求出它的图像的顶点坐标和对称轴．（长宁24）如图，一次函数m x y +-=43的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，二次函数6412++-=bx x y 的图像经过A 、B 两点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求二次函数的解析式；（3）如果点C 在这个二次函数的图像上，且点C 的横坐标为5，求tan ∠CAB 的值．（第24题图）（黄埔20）已知二次函数c bx x y ++=2的图像经过点()3,0和()3,1. （1）试求此函数的解析式；（2）试问：将此函数的图像沿y 轴方向平移（向上或向下）多少个单位可以使其图像经过坐标原点？（虹口22）已知二次函数223y x x =+-，解答下列问题：（1）用配方法将该函数解析式化为2()y a x m k =++的形式；（2）指出该函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况．（虹口24）如图9，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A （3，0），C （0，1）．将矩形OABC 绕原点逆时针旋转90°，得到矩形C B A O '''．设直线B B '与x 轴交于点M 、与y 轴交于点N ，抛物线2y ax bx c =++的图像经过点C '、M 、N ．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将△MON 沿直线B B '翻折，点O 落在点P 处，请你判断点P 是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O ，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．y（黄埔21）已知二次函数k x k x y -++-=)1(2的图像经过一次函数4+-=x y 的图像与x 轴的交点A .（如图）（1）求二次函数的解析式；（2）求一次函数与二次函数图像的另一个交点B 的坐标；（3）若二次函数图像与y 轴交于点D ，平行于y 轴的直线l 将四边形ABCD 的面积分成1∶2的两部分，则直线l 截四边形ABCD 所得的线段的长是多少？（直接写出结果）（普陀24）在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图像经过点A （3，0），B（2，3），C （0，3）.求：(1) 求这个二次函数的解析式、顶点坐标和对称轴；(2) 联结AB 、AC 、BC ，求△ABC 的面积；（3）求∠BAC 的正切值.（徐汇24）已知：如图，抛物线221412-+=x x y 与y x 、轴分别相交于A 、B 两点，将△AOB 绕着点O 逆时针旋90°到△''A OB ，且抛物线22(0)y ax ax c a =++≠过点''B A 、。

（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线22y ax ax c =++的解析式；（3）点D 在x 轴上，若以'B D 、B 、为顶点的三角形与△B B A ''相似，求点D 的坐标．（卢湾24）已知抛物线与x 轴交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，抛物线顶点为D ，联结AD ，AC ，CD ．（1）求该抛物线的解析式；（2）△ACD 与△COB 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由；（3）抛物线的对称轴与线段AC 交于点E ，求△CED 的面积．（第24题图）向量（长宁5）已知非零向量a、b和c，下列条件中，不能判定a∥b的是（A）a∥c，b∥c；（B）a=c2，b=c；（C）a=b5-；（D=（黄埔2）如图，在梯形ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，若3,5==，则向量可表示为（A）；（B）-；（C）2；（D）2-.(第2题)（普陀3）已知一个单位向量e,设→a，→b是非零向量，则下列等式中正确的是………………………（）.（A）aea=⋅；（B）bbe=⋅；（C）eaa=⋅1；（D）=⋅aa1bb⋅1．（徐汇3）若向量→a与→b均为单位向量，则下列结论中正确的是（）A．→a=→b B．1=→b C．10a→→-=D．→→=ba（普陀12）已知向量a与向量b的方向相反，且ba3=，那么ba+（长宁13）如果E、F是△ABC的边AB和AC的中点，=a= ．（卢湾16）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，且2ADCD=，设BA a=，BC b=，如果用向量a，b表示向量BD，那么BD=_________．A第4题（黄埔8）已知单位向量，若向量与的方向相同，且长度为4，则向量=___________.（用单位向量表示）（黄埔10）如图，正方形ABCD 被3条横线与3条纵线划分成16个全等的小正方形，P 、Q 是其中两个小正方形的顶点，设b AD a AB ==,，则向量=PQ ____________.（用向量、来表示）（第10题）（长宁19）如图，已知两个不平行的向量a 、b ．先化简，再求作：)2(21)213(+--．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）C（第16题图）BCba（第19题图）（虹口21）如图7，已知平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，CE 、AF 分别与对角线BD 相交于点G 、H .设AB a = ,AD b = ,分别求向量AF 、DH 关于a 、b的分解式.（普陀20）如图，已知两个不平行的向量a 、b．先化简，再求作：12(4)(2)33a b a b +--（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）（徐汇20）已知：如图,△ABC 中，点D 是AC 边上一点，且AD ：DC ＝2:1．（1）设,.BA a BC b →→→→==先化简，再求作：1(3)(2)2a b a b +-+（直接作在右图中）；（2）用x a y b →→+（x y 、为实数）的形式表示BD →．ACD EFGH图7ba（第20题图）CBA。