必修二全套导与练3.3.2
人教版高中数学必修2同步章节训练题及答案全册汇编
高中数学必修2全册同步练习题目录1-1-1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1-1-2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征1-2-1、2 中心投影与平行投影空间几何体的三视图1-2-3 空间几何体的直观图1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积1-3-2 球的体积和表面积高中数学第一章综合素能检测2-1-1 平面2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系2-1-3、4 空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系2-2-1 直线与平面平行的判定2-2-2 平面与平面平行的判定2-2-3 直线与平面平行的性质2-2-4 平面与平面平行的性质2-3-1 直线与平面垂直的判定2-3-2 平面与平面垂直的判定2-3-3 直线与平面垂直的性质2-3-4 平面与平面垂直的性质高中数学第二章综合素能检测3-1-1 倾斜角与斜率3-1-2 两条直线平行与垂直的判定3-2-1 直线的点斜式方程3-2-2 直线的两点式方程3-2-3 直线方程的一般式3-3-1 两条直线的交点坐标3-3-2 两点间的距离公式3-3-3、4 点到直线的距离两条平行直线间的距离高中数学第三章综合检测4-1-1 圆的标准方程4-1-2 圆的一般方程4-2-1 直线与圆的位置关系4-2-2 圆与圆的位置关系4-2-3 直线与圆的方程的应用4-3-1、2 空间直角坐标系空间两点间的距离公式高中数学第四章综合检测一、选择题1．在棱柱中()A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行[答案] D2．下列几何体中，不属于多面体的是()A．立方体B．三棱柱C．长方体D．球[答案] D3．如图所示的几何体是()A．五棱锥B．五棱台C．五棱柱D．五面体[答案] C4．下列命题中，正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形[答案] D5．棱锥侧面是有公共顶点的三角形，若围成一个棱锥侧面的三角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个．() A．3B．4C．5D．6[答案] C[解析]由于顶角之和小于360°，故选C.6．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为()A．三棱锥有四个面是三角形B．棱锥都是有两个面是互相平行的多边形C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱交于一点[答案] B7．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是()[答案] B8．(2012－2013·嘉兴高一检测)如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案] B[解析]在图(2)、(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)、(3)完全一样，而(1)、(4)则不同[解题提示]让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断．二、填空题9．图(1)中的几何体叫做________，AA1、BB1等叫它的________，A、B、C1等叫它的________．[答案]棱柱侧棱顶点10．图(2)中的几何体叫做________，P A、PB叫它的________，平面PBC、PCD叫做它的________，平面ABCD叫它的________．[答案]棱锥侧棱侧面底面11．图(3)中的几何体叫做________，它是由棱锥________被平行于底面ABCD的平面________截得的．AA′，BB′叫它的__________，平面BCC′B′、平面DAA′D′叫它的________．[答案]棱台O－ABCD A′B′C′D′侧棱侧面12．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③水面EFGH始终为矩形．其中正确的命题序号是________．[答案]①③[解析]根据棱柱的定义及结构特征来判断．在棱柱中因为有水的部分和无水的部分始终有两个面平行，而其余各面易证是平行四边形，故①正确；而随着倾斜程度的不同，水面EFGH的面积是会改变的，但仍为矩形故②错误；③正确．三、解答题13．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．[解析](1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．14．如右图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解析]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的正八面体．有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，图(1)中截去的是什么几何体？图(2)中截去一部分，其中HG∥AD∥EF，剩下的几何体是什么？若再用一个完全相同的正方体放在第一个正方体的左边，它们变成了一个什么几何体？[解析]三棱锥五棱柱A1B1BEH－D1C1CFG长方体16．一个几何体的表面展开平面图如图．(1)该几何体是哪种几何体；(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？[解析](1)该几何体是四棱台；(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．一、选择题1．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[答案] C[解析]由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥[答案] D3．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心[答案] D[解析]圆锥的母线长与底面直径的大小不确定，则A项不正确；圆柱的母线与轴平行，则B项不正确；圆台的母线与轴相交，则C项不正确；很明显D项正确．4．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[答案] B[解析]圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.5．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为()A．10 B．20C．40 D．15[答案] B[解析]圆柱的轴截面是矩形，其一边为圆柱的母线，另一边为圆柱的底面圆的直径．因而，轴截面的面积为5×4＝20.6．在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合是()A．球B．正方体C．圆D．球面[答案] D7．(2012－2013·南京模拟)经过旋转可以得到图1中几何体的是图2中的()[答案] A[解析]观察图中几何体的形状，掌握其结构特征，其上部为一个圆锥，下部是一个与圆锥同底的圆台，圆锥可由一直角三角形以过一直角边的直线为轴旋转一周得到，圆台可由一直角梯形绕过垂直于两底的腰的直线为轴旋转而成，通过上述判断再对选项中的平面图形适当分割，只有A适合．故正确答案为A.8．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．(1)(2)B．(1)(3)C．(1)(4)D．(1)(5)[答案] D[解析]圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形．二、填空题9．图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．[答案]球球心半径直径10．图②中的几何体叫________，AB、CD都是它的________，⊙O和⊙O′及其内部是它的________．[答案] 圆柱 母线 底面11．图③中的几何体叫做________，SB 为叫它的________． [答案] 圆锥 母线12．图④中的几何体叫做________，AA ′叫它的________，⊙O ′及其内部叫它的________，⊙O 及其内部叫它的________，它还可以看作直角梯形OAA ′O ′绕它的________________旋转一周后，其他各边所形成的面所围成的旋转体．[答案] 圆台 母线 上底面 下底面 垂直于两底的腰OO ′ 三、解答题13．说出下列7种几何体的名称．[解析]a是圆柱，b是圆锥，c是球，d、e是棱柱，f是圆台，g 是棱锥．14．说出如图所示几何体的主要结构特征．[解析](1)是一个六棱柱中挖去一个圆柱；(2)是一个圆台与一个圆柱的组合体；(3)是两个四棱锥构成的组合体．15．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．[解析]先出画几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：16．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AA′＝3 cm.求在长方体表面上连接A、C′两点的诸曲线的长度的最小值．[解析]将长方体的表面展开为平面图，这就将原问题转化为平面问题．本题所求必在下图所示的三个图中，从而，连接AC′的诸曲线中长度最小的为41 cm(如图乙所示)．一、选择题1．一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为()A．棱锥B．棱柱C．圆锥D．圆柱[答案] C2．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为()A．圆台B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台[答案] D3．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案] D4．(2012－2013·安徽淮南高三模拟)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④[答案] D[解析]①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．[点评]熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基本的要求．下图是最基本的常见几何体的三视图.[答案] C[解析]结合俯视图的定义，仔细观察，易得答案C.6．一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为()A．圆柱与圆台B．四棱柱与四棱台C．圆柱与四棱台D．四棱柱与圆台[答案] B[解析]该几何体形状如图．上部是一个四棱柱，下部是一个四棱台．7．如图所示几何体的正视图和侧视图都正确的是()[答案] B8．(2011·新课标全国高考)在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为()[答案] D[解析]此几何体为一个半圆锥和一个半三棱锥的组合体，只有D项符合题意．二、填空题9．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是________．[答案]②④⑤[解析]三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．10．由若干个小正方体组成的几何体的三视图如下图，则组成这个组合体的小正方体的个数是________．[答案] 5[解析]由三视图可作出直观图，由直观图易知共有5个小正方体．11．(2012～2013·烟台高一检测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有________．[答案]①②③④12．(2012－2013·湖南高三“十二校联考”)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．[答案] 3[解析]该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等于4，如图(1)所示的四棱锥A－A1B1C1D1，如图(2)所示，三个相同的四棱锥A－A1B1C1D1，A－BB1C1C，A －DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体．三、解答题13．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图．[解析]所给四棱锥的三视图如下图．[点评](1)画三视图时，务必做到正视图与侧视图的高度一致(即所谓的高平齐)、正视图与俯视图的长度一致(即所谓的“长对正”)、侧视图与俯视图的宽度一致(即所谓的“宽相等”)．(2)习惯上将侧视图放在正视图的右侧，将俯视图放在正视图的下方．[拓展提高]1．三视图中各种数据的对应关系：(1)正视图中AB的长对应原四棱锥底面多边形的左右方向的长度，AC、BC的长则不对应侧棱的长，它们对应四棱锥的顶点到底面左、右两边的距离．(2)侧视图中，EF的长度对应原四棱锥底面的前后长度，GE、GF的长度则是四棱锥顶点与底面前后两边的距离．(3)俯视图中HIJK的大小与四棱锥底面的大小形状完全一致，而OK，OI，OJ，OH的大小，则为四棱锥的顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离．2．误区警示：正视图、侧视图中三角形的腰长有的学生会误认为是棱锥的侧棱长，实则不然．弄清一些数据的对应关系，是后面进行相关计算的前提．14．依所给实物图的形状，画出所给组合体的三视图．[解析]图中所给几何体是一个圆柱和一个正六棱柱的组合体，在中心以中心轴为轴线挖去一个小圆柱，故其三视图如下：15．说出下列三视图表示的几何体：[解析]16．根据下列图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．[答案]所对应的空间几何体的图形为：一、选择题1．如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这两条线段()A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等[答案] A2．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是()①角的水平放置的直观图一定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．3．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上说法正确的是()A．①B．①②C．③④D．①②③④[答案] B[解析]根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．4．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是()[答案] A[解析]由几何体直观图画法及立体图形中虚线的使用可知A正确．5．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ADC．BC D．AC[答案] D[解析]△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，则AC＞AB，AC ＞AD，AC＞BC.6．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm[答案] C[解析]由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.7．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的()[答案] C[解析]由直观图一边在x′轴上，一边与y′轴平行，知原图为直角梯形．8．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )[答案] C[解析] C 中前者画成斜二测直观图时，底AB 不变，原来高h 变为h 2，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB 变为原来的12.二、填空题9．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M (4,4)在直观图中的对应点是M ′，则点M ′的坐标为________，点M ′的找法是________．[答案] M ′(4,2) 在坐标系x ′O ′y ′中，过点(4,0)和y ′轴平行的直线与过点(0,2)和x ′轴平行的直线的交点即是点M ′.[解析] 在x ′轴的正方向上取点M 1，使O 1M 1＝4，在y ′轴上取点M 2，使O ′M 2＝2，过M 1和M 2分别作平行于y ′轴和x ′轴的直线，则交点就是M ′.10．如右图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是________．[答案] 10[解析] 由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB ＝AC 2＋BC 2＝10.11．如图，是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．[答案] 16[解析] 由图易知△AOB 中，底边OB ＝4， 又∵底边OB 的高为8， ∴面积S ＝12×4×8＝16.12．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________？[答案]8[解析]原图形为OABC为平行四边形，OA＝1，AB＝OA2＋OB2＝3，∴四边形OABC周长为8.三、解答题13．用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)．[解析]14．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．[解析] 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D ′的面积为12×(1＋2)×24＝328.15．已知几何体的三视图如下，用斜二测画法，画出它的直观图(直接画出图形，尺寸不作要求)．[解析]如图．16．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图．[分析]该几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接成的简单组合体．[解析]直观图如图a所示，三视图如图b所示．一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍 C.2倍 D ．2倍[答案] D[解析] 由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr ＝2，故选D.2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于( )A ．27B ．4 3C ．6D ．3[答案] C[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ， 则c ＝1，ab ＝2，a 2＋b 2·c ＝5， ∴a ＝2，b ＝1，故S 侧＝2(ac ＋bc )＝6.3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π[答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h ＝2πr ，∴S 全＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2(1＋2π)又S 侧＝h 2＝4π2r 2，∴S 全S 侧＝1＋2π2π.[点评] 圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．4．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 2[答案] B[解析] 原来正方体表面积为S 1＝6a 2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为13a ，其表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＝23a 2，总表面积S 2＝27×23a 2＝18a 2，∴增加了S 2－S 1＝12a 2.5．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为( )A ．81πB ．100πC ．14πD ．169π[答案] B[解析] 圆台的轴截面如图，设上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r .因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，有102＝(4r )2＋(4r －r )2.解得r ＝2.所以S 圆台侧＝π(r ＋4r )·10＝100π，故选B.6．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为( )A.3π2 B ．2π C ．πD ．4π[答案] A[解析] 由三视图可知，该几何体是底半径为12，高为1的圆柱，故其全面积S ＝2π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2π×12×1＝3π2.7．(2012－2013·安徽合肥一模)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π[答案] B[解析] 该几何体是两底面半径分别为1、2，母线长为4的圆台，则其侧面积是π(1＋2)×4＝12π.8．(2011·海南、宁夏高考)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积(单位：cm 2)为( )A ．48＋12 2B ．48＋24 2C ．36＋12 2D ．36＋24 2[答案] A[解析] 由三视图可得：底面为等腰直角三角形，腰长为6，面积为18；垂直于底面的面为等腰三角形，面积为12×62×4＝122；其余两个面为全等的三角形，每个三角形的面积都为12×6×5＝15.所以全面积为48＋12 2.二、填空题9．已知圆柱OO ′的母线l ＝4 cm ，全面积为42π cm 2，则圆柱OO ′的底面半径r ＝ ________cm.[答案] 3[解析] 圆柱OO ′的侧面积为2πrl ＝8πr (cm 2)，两底面积为2×πr 2＝2πr 2(cm 2)，∴2πr 2＋8πr ＝42π， 解得r ＝3或r ＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为3 cm.10．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．[答案] 24＋2 3[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(12×2×3)＋3×(4×2)＝24＋2 3.11．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．[答案] (410＋28)π[解析] 挖去的圆锥的母线长为62＋22＝210，则圆锥的侧面积等于410π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为410π＋24π＋4π＝(410＋28)π.12．下图中，有两个相同的直三棱柱，高为2a ，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a (a >0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是________．[答案] 0<a <153[解析] 底面积为6a 2，侧面面积分别为6、8、10，拼成三棱柱时，有三种情况：S 1＝2×6a 2＋2(10＋8＋6)＝12a 2＋48， S 2＝24a 2＋2(10＋8)＝24a 2＋36， S 3＝24a 2＋2(10＋6)＝24a 2＋32. 拼成四棱柱时只有一种情况：表面积为(8＋6)×2＋4×6a 2＝24a 2＋28.由题意得24a 2＋28<12a 2＋48，解得0<a <153. 三、解答题13．已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S －ABCD ，如图所示，求它的表面积．[分析] 求各侧面的面积→ 求侧面积→求底面积→求表面积[解析] ∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5， 各侧面都是全等的正三角形， 设E 为AB 的中点， 则SE ⊥AB ，∴S 侧＝4S △SAB ＝4×12×5×532＝253， S 底＝52＝25，∴S 表面积＝S 侧＋S 底＝253＋25＝25(3＋1)． 14．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b )．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．[解析] (1)如图，设O 1、O 分别为上、下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高．由题意知∠C 1CO ＝45°，CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22(b －a )， 在Rt △C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝22(b －a )， 又EF ＝CE ·sin45°＝12(b －a )， ∴C 1F ＝C 1E 2＋EF 2 ＝[22(b －a )]2＋[12(b －a )]2＝32(b －a )．∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2)． (2)由S 侧＝a 2＋b 2，∴12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2， ∴h 斜＝a 2＋b 22(a ＋b ).又EF ＝b －a 2，∴h ＝h 2斜－EF 2＝aba ＋b.15．(2012－2013·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．[解析] 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，∴r ＝1S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. ∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.16．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)[解析] 几何体的直观图如图．这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜高h ′＝22，其表面积S ＝42＋4×4×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×22×4＝48＋16 2 cm 2.一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( ) A ．6 3 B ．3 6 C ．11 D ．12[答案] A[解析] 设长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，则ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3.2．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为( )A ．32 3B ．28 3C ．24 3D ．20 3 [答案] B[解析] 上底面积S 1＝6×34×22＝63， 下底面积S 2＝6×34×42＝243， 体积V ＝13(S 1＋S 2＋S 1S 2)·h＝13(63＋243＋63·243)×2＝28 3.3．(2012～2013学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )。
2023导与练高中政治必修二答案
2023导与练高中政治必修二答案1、我国第一部《中华人民共和国宪法》诞生于（? ?）[单选题] *A.1949B.1954(正确答案)C.1950D.19822、69. 防止两极分化、实现共同富裕、最大限度地满足劳动者不断增长的物质和文化需要，是发展社会主义市场经济的暂时目标。
* [判断题] *对错(正确答案)3、从中国共产党成立到社会主义基本完成期的过渡时期，党的总路线和总任务是（）[单选题] *A.“一化三改”(正确答案)B.“一改三化”C.“一化两改”D.“一改两化”4、91. 通货膨胀是由货币发行超出了流通中所需的货币量造成的。
* [判断题] *对(正确答案)错5、一个国家、一个民族，发展中更基本、更深沉、更持久的力量是（）[单选题] *A.道路自信B.理论自信C.制度自信D.文化自信(正确答案)6、中国特色社会主义最本质的特征是（? ）[单选题] *A.中国共产党领导(正确答案)B.广大人民当家做主C.全面推进依法治国D.坚持生产资料公有制7、90. 价值影响价格，供求决定商品的价格。
* [判断题] *对错(正确答案)8、第二课? 1单选题?近代中国的性质是（? ）[单选题] *A.封建社会B.资本主义社会C.帝国主义殖民地D.半殖民地半封建社会(正确答案)9、指导中国人民取得新民主主义革命胜利的科学理论是（? ?）[单选题] *A.三民主义B.邓小平理论C.毛泽东思想(正确答案)D.“三个代表”重要思想10、中美的贸易战争引发多方关注，人们担心带来经济复苏缓慢乃至引发新一轮的经济危机。
从经济学的角度分析，经济危机的基本特征是（? ）[单选题] *A消费不足B.消费过剩C.生产不足D.生产过剩(正确答案)11、100. 降低成本就能提高效益，因此在生产中可以偷工减料。
* [判断题] *对错(正确答案)12、我们党区别于其他政党的显著标志和我们党的根本立场是（）[单选题] *A.人民的立场(正确答案)B.公民的立场C.政府的立场D.国家的立场13、27．社会存在与社会意识关系正确的是（）。
人教A版高中必修二试题3.3.1配套练习(含答案).doc
§3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标一、基础过关1．两直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋1＝0的位置关系为() A．垂直B．平行C．重合D．平行或重合2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是() A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝03．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为() A．1 B．－1 C．2 D．－24．两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为() A．－24 B．6 C．±6 D．以上答案均不对5．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________. 6．已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．7．判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.8．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为在x轴上截距的两倍的直线l的方程．二、能力提升9．若两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点位于第二象限，则m的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎫－32，2 B ．(0,2) C.⎝⎛⎭⎫－32，0D.⎣⎡⎦⎤－32，2 10．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.32B.23C ．－32D ．－2311．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．12．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．三、探究与拓展13．一束平行光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．答案1．D 2．A 3.B 4．C 5．26．8x ＋16y ＋21＝07．解 (1)21≠1－2，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)12＝12≠23，所以方程组没有解，两直线平行． (3)12＝－1－2＝12，方程组有无数个解，两直线重合． 8．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0. 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ.∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x .即2x －3y ＝0.∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0. 9．A 10．D 11．(－1，－2)12．解 如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1，故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴， 故k AC ＝－k AB ＝－1，∴AC 所在直线方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －2＝－2(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得 ⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3.。
导与练2021物理答案必修二
导与练2021物理答案必修二1、18．“抖音”App是一款社交类的软件，“抖音”的一项功能是将正常录制的音频和视频通过APP软件以3倍的速度快速播放而达到“短”的目的，此时声波的频率也为正常声音的3倍，已知人发出的声音频率范围为60﹣2500Hz，应用此功能时，以下说法正确的是（）[单选题] *A．经“抖音”处理后的声音响度比正常声音的大B．经“抖音”处理后的声音传播速度比正常声音的大C．人耳听经“抖音”处理后的声音比正常声音要少D．若以10倍速度快速播放，人耳听到的声音比正常声音要少(正确答案)2、2．物体的加速度a＝0，则物体一定处于静止状态．[判断题] *对错(正确答案)3、4．只要物体做直线运动，物体就处于平衡状态．[判断题] *对错(正确答案)4、通常情况下，关于一段镍铬合金丝的电阻，下列说法中正确的是（）[单选题]A.合金丝的电阻跟该合金丝的横截面积无关B.合金丝的电阻等于该合金丝两端电压与通过其电流的比值(正确答案)C.合金丝两端的电压越大，合金丝的电阻越大D.通过合金丝的电流越小，合金丝的电阻越大5、一吨棉花的体积会比一吨石头的体积大很多。
下列说法中正确的是（）*A.布朗运动是悬浮在液体中固体分子所做的无规则运动B.叶面上的小露珠呈球形是由于液体表面张力的作用(正确答案)C.当液晶中电场强度不同时，液晶对不同颜色光的吸收强度不同(正确答案)D.当两分子间距离大于平衡位置的间距ro时，分子间的距离越大，分子势能越小6、下列事例中，属于用热传递的方式改变物体内能的是（）[单选题]A．用锯条锯木头，锯条温度升高B．用炉灶烧水，水温升高(正确答案)C．气缸内气体被压缩，温度升高D．用力搓手，手会发热7、60．从太阳发出的带电粒子流在地球两极，与地磁场相互作用，使高层大气分子或原子激发就会形成绚丽多彩的极光现象。
则引起极光现象的微粒中一定不会是（）[单选题] *A．a粒子（氦的原子核）B．质子C．中子(正确答案)D．电子8、8．小张同学在学习了“地球太阳系”一节后，整理的知识结构如图所示。
2020届《导与练》高考英语人教版一轮复习练习：必修2Unit3Computers含解析
Unit 3 ComputersⅠ.阅读理解AAre you addicted to computer games? Do you stay up all night playing them? Do you feel happy after you play computer games?There’s no doubt that the excitement and appealing of games these days makes them hard to put down. We are attracted by the choice when it comes to gaming: You can role-play —creating your own fantasy characters and stories, giving you a chance to step out of everyday life into an imaginary world. And there are shooting games where you can let out your anger and depression in violent situations where you kill people with guns. You can get excited from the games.However,can these kinds of games really be fun and can being absorbed in virtual reality be good for us? Should we worry about their effects on our health?Popular games like Grand Theft Auto have been blamed for everything from falling results at school to causing acts of extreme violence. Internet safety adviser, Alan MacKenzie, thinks “many people understandably will just think that a game is just a game and not realizing the exact content that’s in there”. He gives an example of the violence, which he says is “wholly inappropriate for anybody, not to mention children.”Others will argue that gaming is a harmless form of entertainment. There is evidence that playing video games could actually be good for us. Some games like Game of Thrones and World of Warcraft are educational and using games certainly can help children learn good qualities. Studies have also shown that the skills used in playing games can cause growth in certain areas of the brain, the ability to think in 3D and even improve our eyesight.Video game players are also no longer just simple creatures. For some, gaming is having a positive effect on their social lives with games like Halo and World of Warcraft often being played in groups. When your group work together to win the game, your sense of achievement is higher than when winning by yourself.So every coin has two sides. It seems today, gaming isn’t just for game fans and if used in a proper way, we can all take part. If video games have two sides, what side do you stand by?1.The writer used a lot of questions at the beginning to .A.show his worries about the effect on healthB.lead into the topic of the passageC.ask the readers for their own opinions about gamesD.doubt the advantage of playing computer games2.Paragraph 3 mainly talks about .A.the contents of games are complexB.games contain extreme violenceC.popular games lead to students’ falling results at schoolD.gaming is a harmful form of entertainment3.According to the passage, which of the following shows the good influence on social lives?A.Han Meimei passed the exam after playing the games.B.Li Hua learnt many English words from playing games.C.Sun Yan worked well with his teammates.D.Yang Li let out his anger and expression.4.In Paragraph 4, the author supports his idea .A.by giving some examplesB.with descriptive wordsC.by providing some numbersD.with some research results语篇解读:很多人玩电脑游戏上瘾,作者从多个方面分析了电脑游戏的好处与不足。
高一数学人教A版必修2课后导练3.3.2两点间的距离 Word版含解析
课后导练基础达标两点（)()之间的距离为解析：由.答案：已知两点()()之间的距离是，则的值是.解析：由条件知.∴,∴±.答案：±已知()()两点间的距离是，则的值为.解析：由,得或.答案：或已知点(),在轴上的点与点的距离等于,则点的坐标为.解析：设（，）则，解得或.答案：（，）或（，）已知()()在轴上的点与、的距离相等，则点的坐标为.解析：设（，）由得,解得.答案：（，）点()关于直线的对称点是，关于原点的对称点是，则.解析：由条件知（，），（，），∴.答案：已知()、()，点在直线上，若使取最小值，则点的坐标是（）.（) .().() .()解析：设点（，）关于的对称点为′,则′(),连′,则直线′方程为().由答案：轴上任一点到定点(),()距离之和的最小值是（）解析：设点（，）关于轴对称点为，则（，），两点（，）与（，）之距为所求，即.答案：综合运用动点在直线上运动，（，）为定点，当最小时，点的坐标为.解析：设（）由两点距离公式得,时最小.答案：（，）一条直线过点（，）,并且和直线交于点，和直线：相交于点，若点为线段中点.求方程.解：由条件可设（），∵中点为（，），∴（）又知在上，∴（）(),得,∴(),又知直线过点，，则方程为()，即.已知△是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的直角坐标系，证明.证明：如右图，以所在的直线为轴，边所在直线为轴，建立直角坐标系，设（）()中点坐标公式知（）,∴又,故.拓展探究（）已知点是平面上一动点，点（，），（，）是平面上两个定点，求的最小值，并求此时的坐标.（）求函数()的最小值.解：（）设（，）(∈∈)则，∴()()()()()(),。
化学导与练答案必修二2022课时作业
化学导与练答案必修二2022课时作业1、具有暖脾胃、散风寒、通血脉作用的是（）[单选题] *A穿心莲内酯B青蒿素C莪术醇D桂皮醛(正确答案)2、在脱铅处理中，一般通入的气体为（）[单选题] *A氯化氢B二氧化硫C硫化氢(正确答案)D二氧化碳3、大黄素型蒽醌母核上的羟基分布情况是（）[单选题] *A一个苯环的β位B苯环的β位C在两个苯环的α或β位(正确答案)D一个苯环的α或β位4、以芦丁为指标成分进行定性鉴别的中药是（）[单选题] *A葛根B黄芩C槐花(正确答案)D陈皮5、七叶内酯的结构类型为（）[单选题] *A简单香豆素(正确答案)B简单木脂素C呋喃香豆素D异香豆素6、E与水任意比例相溶(正确答案)不耐热成分不宜采用的提取方法是（）*A浸渍法B渗漉法C煮法(正确答案)D回流提取法(正确答案)7、所有游离香豆素均可溶于热的氢氧化钠水溶液,是由于其结构中存在（）[单选题] * A异戊烯基B酮基C内酯环(正确答案)D酚羟基对位活泼氢8、下列化合物中具有强烈天蓝色荧光的是（）[单选题] *A七叶内脂(正确答案)B大黄素C麻黄碱D大豆皂苷9、所有游离香豆素均可溶于热的氢氧化钠水溶液，是由于其结构中存在（）[单选题]* A酮基B亚甲二氧基C内酯环(正确答案)D酚羟基对10、乙醇不能提取出的成分类型是（）[单选题] *A生物碱B苷C多糖D鞣质(正确答案)11、提取遇热不稳定的成分宜用（）[单选题] *A回流法B煎煮法C渗漉法(正确答案)D蒸馏法12、在高效液相色谱法中，常用的柱内填料是（）[单选题] * A氧化铝B活性炭C十八烷基硅烷键和硅胶(正确答案)D羧甲基纤维素13、萃取时易发生乳化现象的是（）[单选题] *A简单萃取法(正确答案)B逆流连续萃取法C二者均是D二者均不是14、在简单萃取法中，一般萃取几次即可（）[单选题] *A3～4次(正确答案)B1～2次C4～5次D3～7次15、美花椒内酯属于（）[单选题] *A呋喃香豆素B吡喃香豆素(正确答案)C环木脂素D环木脂内酯16、能溶于水的生物碱是（）[单选题] * A莨菪碱B小檗碱(正确答案)C长春新碱D长春碱17、与水不分层的溶剂是（）[单选题] * A正丁醇B石油醚C三氯甲烷D丙酮(正确答案)18、下列化合物可用水蒸汽蒸馏法提取的是（）[单选题] * A七叶内酯(正确答案)B七叶苷C厚朴酚D五味子素19、浓缩速度快，又能保护不耐热成分的是（）[单选题] * A水蒸汽蒸馏法B常压蒸馏法C减压蒸馏法(正确答案)D连续回流法20、单萜和倍半萜在化学结构上的明显区别是（）[单选题] * A氮原子数不同B碳原子数不同(正确答案)C碳环数不同D硫原子数不同21、关于前胡，说法正确的有（多选）（）*A是伞形科前胡属植物(正确答案)B药理药效作用主要有祛痰、镇咳、平喘、抗炎、解痉、镇静等(正确答案) C可与皂荚、藜芦等药物一起放在药中煎煮D不溶乙醚等有机溶剂22、极性最大的溶剂是（）[单选题] *A酸乙酯(正确答案)B苯C乙醚D氯仿23、在分配色谱中，属于反相色谱的是（）[单选题] *A固定相的极性大于流动相B固定相的极性小于流动相(正确答案)C固定相的极性等于流动相D以上都不是24、水提醇沉法可以沉淀下列（）等成分（）[单选题] *A葡萄糖B多糖(正确答案)C树脂D生物碱25、纸色谱是分配色谱中的一种，它是以滤纸为（），以纸上所含的水分为固定相的分配色谱。
新人教版新高考高中数学必修第二册全套导学案课后练习题
平面向量的概念【学习过程】一、问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？3．两个向量（向量的模）能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →是相等向量吗？二、合作探究探究点1： 向量的相关概念例1：给出下列命题：①若AB→＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．解析：AB→＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC→|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．答案：②③ 探究点2： 向量的表示例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：（1）OA→，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； （2）AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； （3）BC→，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上． 解：（1）由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．（2）由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB→，如图所示．（3）由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．探究点3：共线向量与相等向量例3：如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ （2）与a 共线的向量有哪些？解：（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC →，AO →，FE →．（2）与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →． 互动探究1．变条件、变问法：本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →． 2．变问法：本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →．三、学习小结1．向量的概念及表示（1）概念：既有大小又有方向的量． （2）有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→． ④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|．（3）向量的表示■名师点拨（1）判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．（2）用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念（1）向量的模（长度）：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度（或称模），记作|AB →|．（2）零向量：长度为0的向量，记作0． （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b ．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b ． ■名师点拨（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． （2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． （3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 四、精炼反馈1．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.图中与AE→平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个．2．下列结论中正确的是（ ） ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |． A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B ．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC→相等的向量；（2）与OB→长度相等的向量；（3）与DA→共线的向量．解：画出图形，如图所示．（1）易知BC ∥AD ，BC ＝AD ，所以与BC→相等的向量为AD →．（2）由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB→长度相等的向量为BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →．（3）与DA→共线的向量为AD →，BC →，CB →．平面向量的应用【第一学时】学习重难点学习目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2．如何用向量方法解决物理问题？ 二、合作探究探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ．证明：法一：设AD→＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE→＝DA →＋AE →＝－a ＋12b ，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋12a ， 所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0．故AF→⊥DE →，即AF ⊥DE ． 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1），AF →＝（2，1），DE →＝（1，－2）．因为AF→·DE →＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 所以AF→⊥DE →，即AF ⊥DE ． 角度二：平面几何中的平行（或共线）问题如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AFFB＝12．求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明：设AB→＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， 所以FO →＝F A →＋AO→＝13BA →＋12AC → ＝－13m ＋12（m ＋n ）＝16m ＋12n ， OE→＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD → ＝12（m ＋n ）－13m ＝16m ＋12n ．所以FO→＝OE →． 又O 为FO→和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．角度三：平面几何中的长度问题如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC的长．解：设AD→＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD→|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2， 所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝6．探究点2：向量在物理中的应用（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F 1＝（3，4），F 2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0），求F 1，F 2分别对质点所做的功．解：（1）如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB→＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形． 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC→|＝|AB →|＝12．5．|AD→|＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°． （2）设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s ．因为AB →＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）． 所以W 1＝F 1·AB→＝（3，4）·（－13，－15） ＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦），W 2＝F 2·AB→＝（6，－5）·（－13，－15）＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）． 三、学习小结1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2．向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．（2）物理学中的功是一个标量，即为力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F ||s |cos θ（θ为F 与s 的夹角）． 四、精炼反馈1．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）A ．10 m/sB ．226 m/sC ．4 6 m/sD ．12 m/s解析：选B ．由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图． 所以小船在静水中的速度大小 |v |＝102＋22＝226（m/s ）．2．已知三个力f 1＝（－2，－1），f 2＝（－3，2），f 3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝（ ）A ．（－1，－2）B ．（1，－2）C ．（－1，2）D ．（1，2）解析：选D ．由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－（f 1＋f 2＋f 3）＝（1，2）． 3．设P ，Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，AB ∥DC ，试用向量证明：PQ ∥AB ．证明：设DC →＝λAB →（λ＞0且λ≠1），因为PQ →＝AQ →－AP →＝AB →＋BQ →－AP →＝AB →＋12（BD→－AC →） ＝AB→＋12[（AD →－AB →）－（AD →＋DC →）] ＝AB→＋12（CD →－AB →） ＝12（CD →＋AB →）＝12（－λ＋1）AB→， 所以PQ →∥AB →，又P ，Q ，A ，B 四点不共线，所以PQ ∥AB ．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？2．余弦定理有哪些推论？二、合作探究探究点1：已知两边及一角解三角形（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（ ） A ．42 B ．30 C ．29D ．25（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 解析：（1）因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A ．（2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去．故选D ．答案：（1）A （2）D 互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋（23）2－2×b ×23×32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4． 探究点2：已知三边（三边关系）解三角形（1）在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°（2）在△ABC 中，若（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），则A 等于（ ） A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°解析：（1）在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19，所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC 中的最大角与最小角的和为120°．故选B ．（2）因为（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈（0°，180°），所以A ＝60°．答案：（1）B （2）B 探究点3： 判断三角形的形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：将已知等式变形为b 2（1－cos 2C ）＋c 2（1－cos 2B ）＝2bc cos B cos C ． 由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2 ＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c22ab ，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a 2＝a 2．所以A ＝90°．所以△ABC 是直角三角形． 三、学习小结2．余弦定理的推论cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝a2＋c2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab．3．三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．（2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．四、精炼反馈1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝（）A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B．cos B＝a2＋c2－b22ac＝25＋64－492×5×8＝12．所以B＝60°，所以A＋C＝120°．2．在△ABC中，已知（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则角A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选B．因为（b＋c）2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，所以A＝60°．3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab ＝________．解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2ab cos 60°，即c2＝a2＋b2－ab．①又因为（a ＋b ）2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4．②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43． 答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＋c 2（c 2－a 2－b 2）＝0， 展开整理得（a 2－b 2）2＝c 4．所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2． 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？2．正弦定理的内容是什么？二、合作探究探究点1：已知两角及一边解三角形在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．解：因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－（A＋C）＝105°．由asin A＝csin C得a＝c sin Asin C＝10×sin 45°sin 30°＝102．因为sin 75°＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b＝c sin Bsin C＝10×sin（A＋C）sin 30°＝20×2＋64＝52＋56．探究点2：已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC中的下列条件，解三角形：（1）a＝10，b＝20，A＝60°；（2）a＝2，c＝6，C＝π3．解：（1）因为bsin B＝asin A，所以sin B＝b sin Aa＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．（2）因为asin A＝csin C，所以sin A＝a sin Cc＝22．因为c＞a，所以C＞A．所以A＝π4．所以B＝5π12，b＝c sin Bsin C＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1．互动探究：变条件：若本例（2）中C＝π3改为A＝π4，其他条件不变，求C，B，b．解：因为asin A＝csin C，所以sin C＝c sin Aa＝32．所以C＝π3或2π3．当C＝π3时，B＝5π12，b＝a sin Bsin A＝3＋1．当C＝2π3时，B＝π12，b＝a sin Bsin A＝3－1．探究点3：判断三角形的形状已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得：a cos B＝b cos A⇒sin A cos B＝sin B cos A⇒sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．答案：A变条件：若把本例条件变为“b sin B＝c sin C”，试判断△ABC的形状．解：由b sin B＝c sin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．三、学习小结1．正弦定理2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；（2）sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；（4）a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R．四、精炼反馈1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（）A．33B．63C．32D．62解析：选B．由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c ＝（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1D．1∶3∶2解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C ＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D．已知c－a cos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin（A＋B）－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．什么是基线？2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、合作探究探究点1：测量距离问题海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________．解析：如图，在△ABC中，∠C＝180°－（∠B＋∠A）＝45°，由正弦定理，可得BCsin 60°＝ABsin 45°，所以BC＝32×10＝56（海里）．答案：56海里互动探究：变条件：在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300．故BC＝103．即B，C间的距离为103海里．探究点2测量高度问题如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．又AB＝600 m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC＝300 2 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006（m）．答案：1006互动探究：变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为α，求tan α的值．解：如图，过点C，作CE⊥AB，垂足为E，则∠DEC＝α，由例题可知，∠CBE＝75°，BC＝3002，所以CE＝BC·sin∠CBE＝3002sin 75°＝3002×2＋6 4＝150＋1503．所以tan α＝DCCE＝1006150＋1503＝32－63．探究点3：测量角度问题岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．解：（1）根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，在△ABC中，由ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，得AB＝BC sin∠ACBsin∠BAC＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56．所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 6 海里处．（2）设海监船航行时间为t小时，则BD＝103t，CD＝10t，又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos 120°，所以300t 2＝100＋100t 2－2×10×10t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12（舍去）． 所以CD ＝10，所以BC ＝CD ，所以∠CBD ＝12（180°－120°）＝30°， 所以∠ABD ＝75°＋30°＝105°．所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时． （或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时） 三、学习小结1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线． 2．基线与测量精确度的关系一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 图示南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）四、精炼反馈1．若P 在Q 的北偏东44°50′方向上，则Q 在P 的（ ） A ．东偏北45°10′方向上 B ．东偏北45°50′方向上 C ．南偏西44°50′方向上D ．西偏南45°50′方向上解析：选C．如图所示．2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．1002米B．50（3＋1）米C．100（3＋1）米D．200米解析：选C．设AB＝x米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x．在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝3AB＝3x．因为BD－BC＝CD，所以3x－x＝200，解得x＝100（3＋1）．故选C．3．已知台风中心位于城市A东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v＝（）A．60B．80C．100D．125解析：选C．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v）2＝2002＋1502＋2×200×150cos（α＋β）①，由正弦定理得150sin β＝200sin α，所以sin α＝43sin β．又cos α＝34cos β，sin2α＋cos2α＝1，解得sin β＝35，故cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35，故cos（α＋β）＝1225－1225＝0，代入①解得v＝100．4．某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船，依题意：AC ＝123t ，BC ＝12t ，∠ABC ＝120°，在△ABC 中，由正弦定理得123tsin 120°＝12tsin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝30°，所以AB ＝BC ＝8＝12t ，解得t ＝23，航行的方向为北偏东75°．即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则 和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 会用它们解决实际问题 数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律 掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c ．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA→＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC→＝a ＋b ；（3）再作向量OD→＝c ；（4）作平行四边形CODE ， 则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．探究点2：平面向量的加法运算 例2：化简：（1）BC→＋AB →； （2）DB→＋CD →＋BC →； （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →．解：（1）BC→＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →．（2）DB→＋CD →＋BC → ＝BC→＋CD →＋DB → ＝（BC→＋CD →）＋DB → ＝BD→＋DB →＝0． （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0． 探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA→＋OB →＝OC →．由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． 三、学习小结即a ＋b ＝AB＋BC ＝AC对角线OC就是a 与b 的和2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立． 四、精炼反馈1．化简OP→＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于（ ）A ．QP →B ．OQ →C ．SP →D ．SQ→ 解析：选B ．OP→＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC→＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______． 解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13． 答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO→＋AC →； （2）DE→＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF→为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ， 则向量BG→为所求．【第二课时】【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？ 二、新知探究探究点1： 向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB →＋MB →）＋（－OB →－MO →）； （2）AB →－AD →－DC →．解：（1）法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝（AB →＋BO →）＋（OM →＋MB →）＝AO →＋OB →＝AB→． 法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋（MB →＋BO →）＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0 ＝AB→． （2）法一：原式＝DB→－DC →＝CB →．法二：原式＝AB →－（AD →＋DC →）＝AB →－AC →＝CB →． 探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB→＝b －c ． 过点A 作AD 綊BC ，连接OD ， 则AD→＝b －c ， 所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋b －c ． 法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ， 作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ， 则OB→＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ， 则OC→＝a ＋b －c ．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC→＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ． 三、学习小结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0． 2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． 四、精炼反馈1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD→－AC →等于（ ）A ．CB → B ．BC → C ．CD→ D ．DC→ 解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC→＝CD →． 2．化简：AB→－AC →＋BD →－CD →＋AD →＝________．解析：原式＝CB →＋BD →＋DC →＋AD →＝CD →＋DC →＋AD →＝0＋AD →＝AD →．答案：AD→3．已知错误!＝10，|错误!|＝7，则|错误!|的取值范围为______．解析：因为CB →＝AB →－AC →，所以|CB→|＝|AB →－AC →|． 又错误!≤|错误!－错误!|≤|错误!|＋|错误!|， 3≤|AB→－AC →|≤17， 所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB→－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →．又|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|， 所以|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？ 二、新知探究探究1： 向量的线性运算 例1：（1）计算：①4（a ＋b ）－3（a －b ）－8a ；②（5a －4b ＋c ）－2（3a －2b ＋c ）；③23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）． （2）设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋（2b －a ）．解：（1）①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ．②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．③原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b ．（2）原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53（3i ＋2j ）＋53（2i －j ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j ． 探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线； （2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB→． 所以AB→，BD →共线，且有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线． （2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2）， 则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1． 探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB→＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC→＝________； （2）MN→＝________．解析：因为AB→∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB→＝2DC →，DC →＝12AB →． （1）AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1． （2）MN→＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2 互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN→＝MD →＋DA →＋AN →，MN→＝MC →＋CB →＋BN →， 所以2MN →＝（MD →＋MC →）＋DA →＋CB →＋（AN →＋BN →）． 又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD→＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0． 所以2MN→＝DA →＋CB →， 所以MN →＝12（－AD →－BC →）＝－12e 2－12e 1． 三、学习小结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： （1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ． （3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ． 3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ． 四、精炼反馈 1．13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于（ ）A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ． 2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（ ） A ．BO→ B ．AO→ C ．CO→ D ．DO→ 解析：选A ．BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝3e 2－2e 1，BO →＝12BD →＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD→＝CD →－CB →＝e 1－4e 2． 又AB →＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB →＝2BD →，所以AB →与BD →共线． 因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题： 1．什么是向量的夹角？ 2．数量积的定义是什么？ 3．投影向量的定义是什么？ 4．向量数量积有哪些性质？ 5．向量数量积的运算有哪些运算律？ 二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD →·BC →；②AB →·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ） ＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2 ＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．（2）①因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD→与BC →的夹角是0°， 所以AD→·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9． ②因为AB→与AD →的夹角为60°，所以AB→与DA →的夹角为120°， 所以AB→·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120°＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC→·BD →．解：因为AC→＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝（AB →＋AD →）·（AD →－AB →） ＝AD →2－AB →2＝9－16＝－7． 探究点2： 向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（ ） A ．3 B ．23C ．4D ．12（2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（ ）A ．13B ．12C ．15D ．14 解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2 ＝|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝ 4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12． 答案：（1）B （2）B 探究点3： 向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝－72，则a 与b 的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且（a －b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为______．解析：（1）设a 与b 的夹角为θ，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72， 所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12．又因为θ∈[]0，π，所以θ＝π3．（2）设a 与b 的夹角为θ，由（a －b ）⊥b ，得（a －b ）·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |．又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3（2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，求证：b ⊥（a ＋t b ）．证明：因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·（a ＋t b ）＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b |b |2·|b |2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）． 命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．－32 B ．32 C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直， 所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0， 所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0． 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 又|a |＝2，|b |＝3， 所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ）， 即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ， 而a ，b ，c 为单位向量， 则a 2＝b 2＝c 2＝1， 则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5． 答案：（1）B （2）－8或5 三、学习小结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ； ③当θ＝π时，向量a 与b 反向． 2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0． 3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为。