2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性讲义新人教a版必修第一册
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性讲义新人教A版必修第一册
3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．[基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。
高中数学第三章 函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念
第三章 函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念一、单选题1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的虚轴的一个顶点为()0,1N ，左顶点为M ，双曲线C的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，若212S S =，则双曲线C 的离心率为（ ）．AB ．C ．D ．2．若(sin )4cos2f x x =+，则(cos )f x =（ ） A ．4cos2x + B ．4cos2x -C ．4sin2x -D ．4sin2x +3．函数()f x ）A ．[2,2]-B ．(2,2)-C ．(,2)(2,)-∞-+∞ D ．{2,2}-4．偶函数()(1)(1)f x mx nx =--的最大值为1，则mn 的最大值为 A ．-1B ．0C ．1D ．35．下列函数()y f x =与()y g x =中是同一函数的一组是 （ ）A ．()1f x x ，2()1x g x x=-B ．2()f x x =，4()g x =C ．22()log f x x =，2()2log g x x =D ．()tan f x x =，sin ()cos xg x x=6．已知3()2f x ax bx =++，若(2)3f -=，则(2)f =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数()ln f x x =，1()2g x x =-，则函数[()]y f g x =，[2,)x ∈+∞的值域为（ ） A ．(,ln 2)-∞B ．3[ln ,)2+∞C ．3[ln ,ln 2)2D ．3(0,ln ]28．给定映射f ：（x ，y ）→（2x +y ，xy ）（x ，y ∈R ）的条件下，点（，﹣）的原象是（ ）A ．（16 ，﹣136） B ．（13，﹣12）或（﹣14 ，23） C ．（-136，﹣16） D ．（12，﹣13）或（﹣23，14）9．若函数()y f x =的定义域为()0,2，则函数()33xy f =-的定义域为（ ）A ．()0,1 B ．()0,2?C ．() 1,3D ．()6,2-10．已知函数()35cf x ax bx x=+++，且()68f =，则()6f -=（ ） A ．-8B ．3C ．-3D ．211．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为2()1f x x =+，值域为{5,10}的“孪生函数”共有（ ） A ．4个B ．8个C ．9个D ．12个12．下列函数中，值域为0,1的是（ ）A ．2yx B ．sin y x = C ．211y x =+ D ．y =13．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m .设函数(){}f x x x =-，二次函数2()g x ax bx =+，若函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有一个公共点，则,a b 的取值不可能．．．是（ ） A ．4,1a b =-=B ．2,1a b =-=-C ．4,1a b ==-D ．5,1a b ==14．函数()2()lg 31f x x =+的定义域为（ ） A ．1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知()f x 的定义域为[]2,1-，函数(31)f x -的定义域为（ ） A ．()7,2- B ．12(,)33-C ．[]7,2-D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题 16．函数()()3,33x f x g x x x -==++，则()()f x g x ⋅=_________. 17．若函数()y f x =的定义域是(2,2)-，则函数(2)xf x y e =的定义域为_____________. 18．设()22324f x x ax a =---．若对任意的[]0,1x ∈，均有()1f x ≤，则实数a 的取值范围是______．三、解答题19．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，梯形面积为S . （1）当1r =，32CD =时，求梯形ABCD 的周长(精确到0.001)； （2）记2CD x =，求面积S 以x 为自变量的函数解析式()S f x =，并写出其定义域.20．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-（1）求函数()f x 的解析式，并画出函数()f x 的图象． （2）根据图象写出的单调区间和值域． 21．解下列各题:（1）已知函数()f x 的定义域是[]1,2，求函数()1f x +的定义域.（2）已知函数()1f x +的定义域是[]1,2，求函数()f x 的定义域.22．如图，在C 城周边已有两条公路1,l 2l 在点O 处交汇，现规划在公路1,l 2l 上分别选择A ，B 两处为交汇点（异于点O ）直接修建一条公路通过C 城，已知OC km =，75AOB ∠=︒，45AOC ∠=︒，设OA xkm =，OB ykm =.（1）求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； （2）试确定点A 、B 的位置，使ABO 的面积最小.参考答案1．A 【解析】 【分析】设直线MN 所在直线的方程为11y x a =+，设,m a P m a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0F c -，()2,0F c ，则可得1,m a PF c m a +⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，2,m a PF c m a +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，从而可求出两向量的数量积的表达式()22412212am am a PF PF a ++-⋅=，由二次函数的性质可求出当21am a =-+时，12PF PF ⋅取得最小值，从而可求2121a cS a =+；当01a <≤时，12PF PF ⋅在0m =处取得最大值，此时，2S c =，由212S S =可求出1a =，进而可求离心率的值. 【详解】解：由题意可知(),0M a -，1b =，则直线MN 所在直线的方程为11y x a=+， 因为点P 在线段MN 上，可设,m a P m a +⎛⎫⎪⎝⎭，其中(],0m a ∈-． 设双曲线C 的焦距为2c ，则221c a =+，()1,0F c -，()2,0F c ，从而1,m a PF c m a +⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，2,m a PF c m a +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()22422221222122a m am a m am a PF PF m c a a++-++⋅=-+=． 因为(],0m a ∈-，所以当21am a =-+时，12PF PF ⋅取得最小值， 此时，21221121211a a cS c a a a ⎡⎤⎛⎫=⨯-+= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦． 当212a a a ->-+，即1a >时，12PF PF ⋅无最大值，所以1a >不符合题意；当212a aa -≤-+，即01a <≤时，12PF PF ⋅在0m =处取得最大值，此时，2S c =， 因为212S S =，所以2221ca c a =⨯+，解得1a =，符合题意．综上，1a =，1b =，c =C 的离心率ce a== 故选:A . 【点睛】本题考查了双曲线的离心率的求解，考查了向量的数量积，考查了直线与双曲线的位置关系，考查了二次函数的最值问题.本题的难点在于分析出何时数量积取最值.本题的易错点在于计算. 2．B 【解析】 【分析】用诱导公式转化． 【详解】(cos )[sin()]4cos 2()42cos(2)42cos 222f x f x x x x πππ=-=+-=+-=-．【点睛】本题考查求函数解析式，掌握诱导公式是解题关键．本题也可以先求出()f x ，再求解． 3．D 【解析】 【分析】由题得224040x x ⎧-≥⎨-≥⎩，解之即得解. 【详解】由题得224040x x ⎧-≥⎨-≥⎩，解之即得{2,2}x ∈-. 所以函数的定义域为{2,2}-. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的定义域的计算，考查二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．B 【解析】 【分析】根据题意考虑二次项系数为0何不为0两种情况. 【详解】偶函数()()()11f x mx nx =--的最大值为1,根据这一条件得到，当mn=0时，即m=0且n=0，此时函数为y=1,是偶函数，当0nm ≠时，函数为二次的，开口向下，才会有最大值，此时mn<0,故mn 的最大值为0. 故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了二次函数的图像性质的问题，当二次函数的二次项系数为参数时，先考虑二次项系数等于0，此时二次变一次，再考虑二次项系数不为0. 5．D 【解析】分析：同一函数要满足中两个条件：第一：定义域相同，第二：解析式相同，根据两个条件即可判断.详解：A.定义域不同，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为{|0}x x ≠，故不是同一函数；B.定义域不同，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为{|0}x x ≥，故不是同一函数，C.定义域不同，f （x ）的定义域为{|0}x x ≠，g （x ）的定义域为{|0}x x >，故不是同一函数，由此可得选D. 点睛：判断函数是否为同一函数，只需验证同一函数的两个条件即可，注意是必须都满足，缺一不可，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】构造函数()3g x ax bx =+，则()g x 为奇函数，根据()23f -=可求得()21g =-，进而可得到()()2221f g =+=．【详解】令()3g x ax bx =+，则()g x 为奇函数，且()()2f x g x =+，由题意得()()2223f g -=-+=， ∴()21g -=， ∴()21g =-，∴()()2221f g =+=. 故选A ． 【点睛】本题考查运用奇函数的性质求函数值，解题的关键是根据题意构造函数()g x ，体现了转化思想在解题中的应用，同时也考查观察、构造的能力，属于基础题． 7．C 【解析】 【分析】先求得()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式，根据函数的定义域以及单调性，求得函数的值域. 【详解】依题意可知()()112ln 22f g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=-≥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，当2x ≥时，12x -是减函数，故31222x ≤-<，由于ln y x =是单调递增函数，故13ln 2ln ,ln 22x ⎛⎫⎡⎫-∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭.属于选C.【点睛】本小题主要考查复合函数解析式的求法，考查函数的单调性以及值域的求法，属于中档题. 8．B 【解析】根据题意有 12616x y xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得11342132x x or y y ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故点（16，﹣16 ）的原象是 （13，﹣12）或（﹣14 ，23） 故选B ． 9．A 【解析】 【分析】根据题意，得到0332x <-<，求解，即可得出结果. 【详解】因为函数()y f x =的定义域为()0,2， 则0332x <-<，解得()0,1x ∈， 故选：A. 【点睛】本题主要考查求抽象函数的定义域，属于基础题型. 10．D 【解析】 【分析】根据函数()f x 的解析式,可构造函数()3cg x ax bx x=++.利用奇函数的性质即可求得解. 【详解】令()3cg x ax bx x =++,则()()5f x g x =+,则有()()6653g f =-= 又()()3c g x ax bx g x x-=---=-所以()g x 为奇函数,所以有()()663g g -=-=- 所以()()6652f g -=-+= 故选:D 【点睛】本题考查了奇函数的性质及简单应用,函数的求值,属于基础题.11．C 【解析】 【分析】要满足函数值，定义域中至少含有{}2,2-和{}3,3-中各一个元素，据此计算. 【详解】令215x +=，解得2x =±；令2110x +=，解得3x =±, 要满足值域为{}5,10，则不同的定义域应该为：{}{}{}{}{}{}{}{}{}2,3,2,3,2,3,2,3,2,2,3,2,2,3,2,3,3,2,3,3,2,2,3,3------------.合计9种不同的定义域，则孪生函数有9个. 故选：C. 【点睛】本题考查函数新定义问题，本质上考查函数定义域和值域的理解，属基础题. 12．D 【解析】逐一考查函数的值域：2yx 的值域为[)0,+∞ ；sin y x = 的值域为[]1,1- ；211y x =+ 的值域为(]0,1 ； 2yx 的值域为0,1 .本题选择D 选项.13．C 【解析】 【分析】先分析函数()f x 的性质，可以画出图象，然后结合二次函数性质可知什么时候只有一个公共点． 【详解】 ∵当1122m x m -<≤+（其中m 为整数），{}=x m ，函数(){}f x x x =-，。
2019-2020学年高中数学新教材必修一第3章 3.1.1 第2课时 函数的表示方法
28
①当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝12x2； ②当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝x＋2x－2×2＝2x－2； ③当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x)2 ＝－12(x－7)2＋10.
栏目导航
综合①②③，得函数的解析式为 12x2，x∈[0，2]，
y＝2x－2，x∈2，5]， －12x－72＋10，x∈5，7].
29
栏目导航
图像如图所示．
30
栏目导航
31
求函数解析式的常用方法 1待定系数法：若已知fx的解析式的类型，设出它的一般形 式，根据特殊值确定相关的系数即可. 2换元法：设t＝gx，解出x，代入fgx，求ft的解析式即可. 3配凑法：对fgx的解析式进行配凑变形，使它能用gx表示 出来，再用x代替两边所有的“gx”即可.
栏目导航
25
[解] (1)法一(换元法)：令t＝ x ＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入 原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f( x ＋1)＝x＋2 x ＋1－4 x －4＋3＝( x ＋1)2－ 4( x＋1)＋3，
因为 x＋1≥1， 所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
栏目导航
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f(f(x))＝4x＋8， 所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，
a2＝4，
a＝2， a＝－2，
即ab＋b＝8， 解得b＝83
栏目导航
47
当堂达标 固双基
新教材高中数学第三章函数的概念与性质1
②已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知x的取值范围为B,求φ(x)的 取值范围,此范围就是f(x)的定义域. ③已知f(φ(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围 为C,求出φ(x)的取值范围D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围,此范围就 是f(g(x))的定义域.
2 | 区间的概念及其表示
1.一般区间的表示 设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:
集合 {x|a≤x≤b}
名称 闭区间
符号 ⑩ [a,b]
{x|a<x<b}
开区间
(a,b)
{x|a≤x<b}
半开半闭区间
[a,b)
{x|a<x≤b}
半开半闭区间
(a,b]
数轴表示
2.特殊区间的表示
集合 {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤b} {x|x<b} R
=3+
x
5
1
≠3,
∴函数的值域为(-∞,3)∪(3,+∞).
(3)设u= 2x 1,则u≥0,∴x=1 u2 .
2
∴y=1 u2 +u= 1 (u+1)2.
2
2
∵u≥0,∴y≥ 1 ,
2
∴y=x+
2x
1
的值域为
1 2
,
.
思路点拨 根据抽象函数定义域的实质列出不等式(组)求解,对于含参数的抽象函数要注意 分类讨论.
解析 (1)由题意知,函数f(2x+1)中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同, ∴2x+1∈[1,3],即x∈[0,1], ∴函数f(2x+1)的定义域为[0,1]. (2)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7], ∴函数f(x)的定义域为[3,7]. (3)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],
高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2x
0y 2
x
2
D
0
2x
学习新知
初中我们已知接触过函数的三种表示方法：解析法、列表法和图 象法
问题 2 某电气维修公司一个工人的工资关于天数 d 的函数 w=350d. ②定义域{1,2,3,4,5,6}
学习新知 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷 大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别表示 为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
集合表示 区间表示 数轴表示
{x a＜x＜b} (a , b)
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
2020学年新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.3幂函数讲义新人教A版必修第一册(最新整理)
2019-2020学年新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.3 幂函数讲义新人教A版必修第一册编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.3 幂函数讲义新人教A版必修第一册）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019-2020学年新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.3 幂函数讲义新人教A版必修第一册的全部内容。
3。
3 幂函数学习目标核心素养1。
了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点）2．结合幂函数y＝x，y＝x2,y＝x3,y＝错误!，y ＝x错误!的图象，掌握它们的性质．（重点、难点）3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)1。
结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养．2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养。
1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x,y＝x2，y＝x3，y＝x错误!，y＝x－1的图象如图所示：3．幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x错误!y＝x－1定义域R R R[0,＋∞）｛x｜x≠0}值域R［0,＋∞)R[0，＋∞)｛y|y≠0｝奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x∈［0，＋∞)增函数增函数x∈（0，＋∞)时，增函数 x ∈(－∞，0]时，减函数时,减函数x ∈（－∞,0)时，减函数1．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3C ．y ＝3xD ．y ＝x －1C [只有y ＝3x 不符合幂函数y ＝x α的形式,故选C.] 2．已知f （x ）＝（m ＋1）xm 2＋2是幂函数，则m ＝( )A ．2B ．1C ．3D ．0D ［由题意可知m ＋1＝1，即m ＝0，∴f （x ）＝x 2。
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)课件新人教A版必修第一册
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了 一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的 图象是( )
解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故 前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下 降的快，故应选 C.
答案：C
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元) 分别为 L1＝5.06x－0.15x2 和 L2＝2x，其中 x 为销售量(单位：辆)．若 该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为( )
7655tt－ －34＋ ＋22
224，3≤t<4， 299，4≤t≤5.ห้องสมุดไป่ตู้
这个函数的图象如下图所示．
当时间 t 在[0,5]内变化时，对于任意的时刻 t 都有唯一确定的 行驶路程与之相对应．根据题图，在时间段[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)， [4,5]内行驶的平均速率分别为 50 km/h，80 km/h,90 km/h，75 km/h， 65 km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样， 需要分段表述．
方法归纳
1．利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法． (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为 负时，一次函数为减函数． 2．二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料 最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后， 可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的 最值，从而解决实际问题．
大值．
【解析】 设每个提价 x 元(x≥0，x∈N)，利润为 y 元． 每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元， 进货总额＝8(100－10x)元， 显然 100－10x>0，即 x<10， 则 y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x) ＝(2＋x)(100－10x) ＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)． 当 x＝4 时，y 取得最大值，此时销售单价应为 14 元，最大利 润为 360 元． 答：当售价定为 14 元时，可使每天所赚的利润最大，最大利 润为 360 元. 可根据实际问题建立二次函数模型解析式．
第3章函数的概念与性质知识点清单高一上学期数学湘教版
新教材湘教版2019版数学必修第一册第3章知识点清单目录第3章函数的概念与性质3. 1 函数3. 2 函数的基本性质3. 2. 1 函数的单调性与最值3. 2. 2 函数的奇偶性3. 1 函数一、函数的概念1. 函数的有关概念2. 两个函数相等两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U 都有f(x)=g(x)时，叫作相等. 也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数.二、表示函数的方法三、简单的分段函数一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数.四、已知函数解析式求定义域 (1)如果函数的解析式是整式，那么在没有特殊说明的情况下，函数的定义域是实数集R.(2)如果函数解析式中含分式或0次幂，那么函数的定义域应使分母或0次幂的底数不为零.(3)如果函数解析式中含偶次根式，那么函数的定义域应使偶次根式有意义.(4)如果函数解析式是由几部分式子混合运算后构成，那么函数的定义域应使各部分式子都有意义，定义域为各部分自变量取值集合的交集.(5)由实际背景确定的函数，其自变量的值不仅要使解析式本身有意义，还要考虑自变量的实际意义.五、求抽象函数的定义域 1. 求抽象函数的定义域应明确的几点(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围.(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的取值范围.(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在相同的对应关系f下的取值范围相同.2. 抽象函数定义域的求解方法(1)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，实质是已知φ(x)的取值范围为A，求x 的取值范围.(2)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，实质是已知x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围，此范围就是f(x)的定义域.(3)已知f(φ(x))的定义域为C，求f(g(x))的定义域，实质是已知φ(x)中的x的取值范围为C，求出φ(x)的取值范围D，再令g(x)的取值范围为D，求出g(x)中x的取值范围，此范围就是f(g(x))的定义域.六、函数的求值问题 1. 求自变量的值为a时的函数值的方法(1)已知函数f(x)的解析式时，只需用常数a替换解析式中的x并进行计算，即得f(a) 的值.(2)已知函数f(x)与g(x)的解析式，求f(g(a))的值，应遵循由内到外的原则.注意：用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义. 2. 已知函数值a，求自变量的对应值的方法(1)已知函数f(x)的解析式时，列方程f(x)=a并求解，即可得到函数值为a时自变量的对应值.(2)已知函数f(x)与g(x)，求f(g(x))=a中的x的值时，可以由内到外，也可由外到内进行求解.七、函数解析式的求法 1. 当函数类型已知时，可采用“先设后求，待定系数”法来求其解析式. 解题步骤如下：(1)设出含有待定系数的解析式. 如一次函数解析式设为f(x)=ax+b(a≠0)；反比例函数解析式设为f(x)=k(k≠0)；二次函数解析式可根据条件设为x①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，②顶点式：f(x)=a(xh)2+k(a≠0)，③交点式：f(x)=a(xx1)(xx2)(a≠0).(2)根据已知条件列出关于待定系数的方程或方程组.(3)解方程或方程组，得到待定系数的值.(4)将所求待定系数的值代入所设的解析式并化简整理.2. 函数类型未知时，可根据条件选择以下方法求其解析式.(1)代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，通常把g(x)作为一个整体替换f(x) 中的x.(2)换元法：已知f(g(x))是关于x的函数，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此将x用含t的式子表示，得出x=h(t)，将x=h(t)代入f(g(x))，得到f(t)的解析式，再用字母x替换字母t，便可得到f(x)的解析式.(3)配凑法：将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法，使之变形为关于g(x)的函数解析式，然后把g(x)整体代换为x，即得所求函数解析式，这里的g(x)可以是整式、分式、根式等.)或f(x)的关系式，可根据已知条件再构造出另外(4)消元法(方程组法)：已知f(x)与f(1x一个等式，二者组成方程组，通过解方程组求出f(x).(5)赋值法：依题目的特征，可对变量赋特殊值，由特殊到一般寻找普遍规律，从而根据找出的一般规律求出函数解析式. 此方法主要适用于抽象函数求解析式.八、如何理解与解决分段函数问题 1. 正确理解分段函数(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数.(2)处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值属于哪一个区间.(3)分段函数的定义域是各段的“定义域”的并集，其值域是各段的“值域”的并集.(4)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量在区间端点处的取值情况. 2. 分段函数的求值策略(1)已知自变量的值求函数值的步骤：①确定自变量属于哪一个区间；②代入相应段的解析式求值. 当出现f(f(x0))(x0为自变量的某个值)的形式时，应从内到外依次求值.(2)已知函数值求对应的自变量的值，可分别利用各段函数的解析式求得自变量的值，但应注意检验各段求出的值是否在本段函数的定义域内. 也可先判断每一段上的函数值的范围，确定相应的解析式后再求解.3. 2 函数的基本性质3. 2. 1 函数的单调性与最值一、函数的最值1. 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集. 如不加说明，我们认为I是个区间.2. 如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点.3. 如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=b处取到最小值N=f(b)，称N为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点.4. 最大值和最小值统称为最值.二、函数的单调性具有(严格的)单调性，区间I叫作y=f(x)的单调区间.三、函数单调性的判断与证明 1. 利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤第一步：取值，设x1，x2是区间I内的任意两个值，且x1<x2.第二步：作差，即f(x1)f(x2)(或f(x2)f(x1)).第三步：变形，通过因式分解、配方、分母有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.第四步：判断正负，确定f(x1)f(x2)(或f(x2)f(x1))的正负，当正负不确定时，需进行分类讨论.第五步：下结论，指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性.注意：第一步强调取值的任意性；第二步也可以用作商法比较；第三步是关键，在变形时一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个非负数的和的形式.2. 函数单调性的等价变形>0⇔f(x)在I上是增函数；任取x1，x2∈I，且x1≠x2，那么(x1x2)·[f(x1)f(x2)]>0⇔f(x1)−f(x2)x1−x2(x1x2)[f(x1)f(x2)]<0⇔f(x1)−f(x2)<0⇔f(x)在I上是减函数.x1−x23. 常见函数的单调性由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合，得到函数y=f(g(x))，其单调性的判断方法如下表：相异时单调递减.四、函数单调性的应用 1. 利用函数的单调性解不等式(1)利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的概念，将符号f“脱掉”，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.(2)解有关抽象函数的不等式问题的一般步骤：①将不等式化为f(x1)<f(x2)的形式，其中x1，x2在f(x)的定义域D内；②若函数f(x)是D上的增函数，则x1<x2，若函数f(x)是D上的减函数，则x1>x2.2. 利用函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)利用单调性的定义：在单调区间内任取x1，x2，且x1<x2，由f(x1)f(x2)<0(或f(x1)f(x2)> 0)恒成立求参数的取值范围.(2)利用具体函数本身所具有的特征：如根据二次函数的图象的对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式，解不等式求参数的取值范围.注意：若某个函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.根据分段函数的单调性求参数的取值范围时，一般从两方面考虑：一方面，每个分段区间上的函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面，要考虑分界点处函数值之间的大小关系，由此列出另外的式子，从而解得参数的取值范围.五、求二次函数最值的常见类型及解法 1. 求二次函数的最大(小)值有两种类型：一种是函数的定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；另一种是函数的定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.2. 求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m，n]上的最值一般分为以下几种情况：(1)若b2a 在区间[m，n]内，则最小值为f(−b2a)，最大值为f(m)，f(n)中的较大者.(2)若b2a<m，则f(x)在区间[m，n]上单调递增，最大值为f(n)，最小值为f(m).(3)若b2a>n，则f(x)在区间[m，n]上单调递减，最大值为f(m)，最小值为f(n).3. 2. 2 函数的奇偶性一、偶函数、奇函数的定义1. 用图象特征描述函数的奇偶性(1)如果F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，就称F(x)是偶函数.(2)如果F(x)的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，就称F(x)是奇函数.2. 用数学符号语言描述函数的奇偶性(1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)=F(x)成立，则称F(x)为偶函数.(2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)=F(x)成立，则称F(x)为奇函数.二、如何判断函数的奇偶性 1. 判断函数奇偶性的常见方法(1)定义法：(2)图象法：2. 分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，必须判断每一段函数是否都具有相同的奇偶性，也可以作出函数图象，结合对称性判断.三、函数奇偶性的应用 1. 由函数的奇偶性求参数(1)函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.(2)若函数解析式中含参数，则根据f(x)=f(x)或f(x)=f(x)求参数的值；若定义域的表示中含参数，则根据定义域关于原点对称，利用关于原点对称的区间端点值之和为0求参数的值.2. 由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时，若函数具有奇偶性，则利用f(x)=f(x)或f(x)=f(x)求解；若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值.3. 由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤(1)在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间.(2)把x对称转化到已知解析式的区间上，利用已知的解析式进行代入.(3)利用函数的奇偶性把f(x)改写成f(x)或f(x)，从而求出f(x).四、函数奇偶性与单调性的综合应用 1. 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.2. 利用函数的奇偶性与单调性比较不同单调区间内的函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较.3. 利用函数的奇偶性与单调性解决不等式问题时，一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的单调性列出不等式(组)，要注意函数的定义域对参数的影响.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．[基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。