第5章分群理论

∆E g 0
(5-9)
G ' ' g ' =1
=∑
g ' =1
G
∫ dE ∫s ( r , E → E )φ (r , E )dE = ∑ Σ g ' → gφ g ' (r )
'
11
g群中子产生截面 (νΣ f ) g = 群中子产生截面 g群中子裂变谱 群中子裂变谱
1
φg
φg (r ) = ∫
Σt , g = 1
E g −1
Eg
φ (r , E )dE
(5-4) (5-5)
φg
E g −1
∫
E g −1
Eg
Σ t (r , E )φ (r , E )dE
g群扩散系数 群扩散系数
Dg =
∫
1
Eg
D(r , E )∇φ (r , E )dE
(5-6)
∫
E g −1
Eg
∇φ (r , E )dE
17
热堆的能谱
高能段： 中能段： 低能段： 裂变谱 费米谱 麦克斯韦谱
18
5.1.3 群常数的计算
群常数的计算是一个非线性问题。 群常数的计算是一个非线性问题 群常数计算通常采用“两步近似法”： “两步近似法” 1. 先制作与具体反应堆能谱无关的多群微观常数 多群微观常数库 多群微观常数 2. 根据具体问题，在多群库的基础上，计算具体的中子能谱和少群常数 少群常数
(5-3)
式中∆Eg=Eg-1-Eg
为积分微分方程，难以求解 为积分微分方程，难以求解! 怎么办？ 怎么办？
9
等效原则
群通量和群常数的定义
既要使群扩散方程是常系 数的常微分方程； 又要使得用它们算出的反 应率与原先等效。
10
引入关于能群g的相关物理量的定义 引入关于能群 的相关物理量的定义 g群中子通量密度 群中子通量密度 g群总截面 群总截面
式中Σr,c=Σa1,c+Σ1→2
30
2. 反射层的双群方程
− D1,r ∇ 2φ1,r (r ) + Σ r ,rφ1,r (r ) = 0 − D2,r ∇ 2φ2,r (r ) + Σ a 2,rφ2,r (r ) = Σ1→2,rφ1,r (r )
可改写为
(5-20) (5-21)
∇ 2φ1,r (r ) − k12,rφ1,r (r ) = 0 ∇ φ2 , r ( r ) − k φ ( r ) +
' ' ' 0 ∞
χ (E)
k eff
(5-2)
∫
∞
0
ν ( E ' )Σ f (r , E ' )φ (r , E ' )dE '
6
有效增殖因子k 有效增殖因子 eff也称为方程的特征值
分群扩散理论的基本思想是： 把随能量连续变化的扩散方程 变成G 变成G个与能量无关的扩散方程 每个能群一个） （每个能群一个）
Eg −1
∫
Σt , g ≡
Eg
Σt ( E )φ (r）dE
Eg −1
=
1
∫
Eg
φ ( E )dE
φg ∆E
∫ Σ ( E )φ ( E )dE
t
g
而反应堆内的中子能谱我们是大致知道的。 其它群常数的计算也都改用能谱φ ( E )来权重。
16
而反应堆内的中子能谱我们是大致知道的。
ASK: 关于反应堆内的中子能谱，你知道些什么？
∞ ' ' ' ∞ 0 0
(5-1)
+ ∫ Σ s (r , E → E )φ (r , E , t )dE + χ ( E ) ∫ ν ( E ' )Σ f (r , E ' )φ (r , E ' , t )dE ' + S (r , E , t )
稳态无外源中子扩散方程
− ∇ • D∇φ (r , E ) − Σ t (r , E )φ ( r , E ) =
22
23
24
25
26
27
此时就得到所谓的改进单群 临界公式 K∞ K= 2 2 1+ B M
28
为何改进单群临界公式优于单群 公式？
因为考虑了快中子慢化过程中的泄漏的影响。 因为考虑了快中子慢化过程中的泄漏的影响
29
双群方程 （一侧有反射层的双区均匀反应堆） 一侧有反射层的双区均匀反应堆）
3
主要内容
• • • • • • 与能量相关的中子扩散方程 分群扩散理论 建立多群中子扩散方程 群常数的计算 双群模型及其求解 多群扩散方程及其数值解法
4
5.1 与能量相关的中子扩散方程和分群扩散理论
5.1.1 与能量相关的中子扩散方程
∂n( r , E , t ) = 产生率 − 泄漏率 − 损失率 ∂t
g =1
'
G
χg
keff
∑ (νΣ
g =1
'
G
f
) g ' φ g ' (r )
(5-12)
g = 1,2,⋯ , G
参数： 等称为群常数 群常数。 参数：Dg, Σt,g, Σg’ →g, νΣf, χg等称为群常数。
12
只要群常数已知，分群扩散方程可以 很容易地解出来。 但是群常数的计算要要比解扩散方程 复杂。
第5章
分群扩散理论
主讲 马续波
核科学与工程学院反应堆工程教研室
1
单群扩散理论的不足
单群模型认为所有的中子能量相等， 单群模型认为所有的中子能量相等，单群模型用到的群常 扩散系数、吸收截面、扩散截面等） 数（扩散系数、吸收截面、扩散截面等）是对所有能量中 子的平均值。而堆内中子能量分布高达9个数量级 个数量级， 子的平均值。而堆内中子能量分布高达 个数量级，在如 此宽的范围内对反应截面求平均是比较困难的。 此宽的范围内对反应截面求平均是比较困难的。 单群扩散理论在导出临界条件、 单群扩散理论在导出临界条件、临界堆内中子通量密度 分布、几何曲率、材料曲率等基本概念时非常有用， 分布、几何曲率、材料曲率等基本概念时非常有用，也能 用于定量估算，但要用于反应堆工程设计， 用于定量估算，但要用于反应堆工程设计，其精度是不够 只能算是一种粗糙的简化模型； 的，只能算是一种粗糙的简化模型；
产生率 = 外源( S ) + 散射源(Qs ) + 裂变源(Q f ) Qs (r , E , t ) = ∫ Σ s (r , E ) f ( E → E )φ (r , E , t )dE = ∫ Σ s (r , E ' → E )φ (r , E ' , t )dE '
' ' ' ' 0 0 ∞ ∞
σ x, g =
少群常数 一般能群在2~4群
1
φg
∫
∆E g
σ x ( E )φ ( E )dE , x = a, f , s, ⋯
利用多群微观常数库进行输运计算 多群微观常数库进行输运计算，求中子通量密度分布 多群微观常数库进行输运计算 实际堆芯物理计算通常采用少群常数作扩散计算 少群常数作扩散计算
13
例如，要计算第 g 群的总截面
Eg −1
∫
Σt , g ≡
Eg
Σt (r , E )φ (r , E )dE
Eg −1
=
1
∫
Eg
φ (r , E )dE
φg ∆E
∫ Σ (r , E )φ (r , E )dE
t
g
就需要知道此能群的φ (r , E )，而这正是我们想要通过 求解扩散方程得到的量。
∫
∞
0
Σ s (r , E → E )φ (r , E )dE + χ ( E ) ∫ ν ( E ' )Σ f (r , E ' )φ (r , E ' )dE '
' ' ' 0
∞
任意系统稳态中子扩散方程
− ∇ • D∇φ (r , E ) + Σ t (r , E )φ (r , E ) = ∫ Σ s (r , E → E )φ (r , E )dE +
Q f (r , E , t ) = χ ( E ) ∫ ν ( E ' )Σ f (r , E ' )φ (r , E ' , t )dE '
0
∞
泄漏率 = divJ (r , E , t ) = − divD(r , E ) gradφ (r , E , t ) = −∇ • D∇φ (r , E , t )
损失率 = 吸收损失率 + 散射损失率 = Σ a (r , E )φ (r , E , t ) + Σ s (r , E )φ (r , E , t ) = Σ t (r , E )φ (r , E , t )
5
与能量相关的中子扩散方程
1 ∂φ (r , E , t ) = ∇ • D∇φ (r , E , t ) − Σ t (r , E )φ (r , E , t ) ∂t υ
2
单群理论完全不区分中子能量， 单群理论完全不区分中子能量，因而不能揭示与能量有关 的物理现象。 的物理现象。
例如，对于有反射层的反应堆，快中子与热中子分布有很大差异， 例如，对于有反射层的反应堆，快中子与热中子分布有很大差异， 单群模型无法反映这一事实， 单群模型无法反映这一事实，即使其群常数平均的很好也无济于事
14
循 环
欲知Φg（r) 需要求解分群扩散方程； 欲解分群扩散方程，需知道群常数； 欲计算群常数，需知道此能区的Φ（r,E) 。。。 如何打破僵局？ 求群常数时，改用中子能谱作为权重函数 中子能谱作为权重函数。 中子能谱作为权重函数