2012年高考真题——文科数学(新课标卷)解析版

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.问答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅【解析】集合}21{}02{2<<-=<--=x x x x x A ，又}11{<<-=x x B ，所以B 是A 的真子集，选B. 【答案】B2.复数z ＝－3+i2+i的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i 【解析】i i i i i i ii z +-=+--+-+-=++-=1555)2)(2()2)(3(23，所以其共轭复数为i z --=1，选D.【答案】D3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1【解析】根据样子相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1，选D. 【答案】D4．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【解析】因为12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为2130=∠F PF ，所以260=∠D PF ,0230=∠DPF，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=ac ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.【答案】C5、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)【解析】 做出三角形的区域如图，由图象可知当直线z x y +=经过点B 时，截距最大，此时231=+-=z ，当直线经过点C 时，直线截距最小.因为x AB ⊥轴，所以2231=+=C y ,三角形的边长为2，设)2,(x C ，则2)12()1(22=-+-=x AC ，解得3)1(2=-x ，31±=x ，因为顶点C 在第一象限，所以31+=x ，即)2,31(+代入直线y x z +-=得312)31(-=++-=z ，所以z 的取值范围是231<<-z ，选A.【答案】A6.如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则 （A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和 （B ）A ＋B2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数 （C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数【解析】根据程序框图可知，这是一个数据大小比较的程序，其中A为最大值，B为最小值，选C.【答案】C7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为93362131=⨯⨯⨯⨯=V ,选B.【答案】B8.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【解析】球半径3)2(12=+=r ，所以球的体积为ππ34)3(343=⨯，选B.【答案】B9.已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【解析】因为4π=x 和45π=x 是函数图象中相邻的对称轴，所以2445T =-ππ，即ππ2,2==T T .又πωπ22==T ，所以1=ω，所以)sin()(ϕ+=x x f ，因为4π=x 是函数的对称轴所以ππϕπk +=+24，所以ππϕk +=4，因为πϕ<<0，所以4πϕ=，检验知此时45π=x 也为对称轴，所以选A.【答案】A10.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-yx，所以2,42==a a，所以实轴长42=a ，选C.【答案】C11.当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2)【解析】当1>a 时，显然不成立.若10<<a 时当21=x 时，24421==，此时对数221log =a，解得22=a ，根据对数的图象和性质可知，要使x a xlog 4<在210≤<x 时恒成立，则有122<<a ，如图选B.【答案】B12.数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830【解析】由12)1(1-=-++n a a n nn 得，12]12)1[()1(12)1(112++-+--=++-=-++n n a n a a n n n n n n 12)12()1(++--+-=n n a nn ，即1212)1(2++--=++n n a a n n n ）（，也有3212)1(13+++--=+++n n a a nn n ）（，两式相加得44)1(2321++--=++++++n a a a a nn n n n ，设k 为整数，则10`164)14(4)1(21444342414+=+++--=++++++++k k a a a a k k k k k ， 于是1830)10`16()(144434241414060=+=+++=∑∑=++++=k a a a aS K k k k k K【答案】D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【解析】函数的导数为4ln 331ln 3)('+=⨯++=x xx x x f ，所以在)1,1(的切线斜率为4=k ，所以切线方程为)1(41-=-x y ，即34-=x y .【答案】34-=x y(14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 【解析】显然公比1≠q ，设首项为1a ，则由0323=+S S ，得qq a qq a --⨯-=--1)1(31)1(2131，即4323=-+q q ，即)1(4)1(4422223=-+-=-+-q q q q q q ，即0)44)(1(2=++-q q q ，所以0)2(4422=+=++q q q ，解得2-=q .【答案】2-(15)已知向量,a b夹角为45︒，且1,2a a b =-=_____b =【解析】因为102=-a ，所以10)2(2=-b a ，即104=+∙-b a ，所以104540=-+，06=--，23=2-=（舍去）.【答案】 (16)设函数f (x )=(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____【解析】1sin 211sin 211sin )1()(22222+++=++++=+++=x x x x xx x x xx x f ，令1s i n 2)(2++=x xx x g ，则)(x g 为奇函数，对于一个奇函数来说，其最大值与最小值之和为0，即0)()(m i n m a x =+x g x g ，而mama x )(1)(x g x f +=，minmin )(1)(x g x f +=，所以2)()(min ma x =+x f x f .【答案】2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA (1) 求A(2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式.（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：（单位：元）的平均数；(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.（20）（本小题满分12分）设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点.（I ）若∠BFD =90°,△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；（II ）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值.B 1 CBADC 1A 1（21）（本小题满分12分）设函数f(x)= e x－ax－2(Ⅰ)求f(x)的单调区间(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：FG(Ⅰ)CD=BC ； (Ⅱ)△BCD ∽△GBD(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|.(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.。