高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版.doc

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2011-2019高考文科数学全国卷真题分类汇编(含详细答案)专题：第11章导数及其应用

第11章导数及其应用1.（2012全国文13）曲线在点处的切线方程为________.2. (2015全国I 文14)已知函数的图像在点处的切线过点，则.3. (2015全国II 文16) 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则.5.（2013全国I 文20）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；6.（2013全国II 文21）已知函数.（1）求的极小值和极大值；7. (2015全国II 文21)已知函数.(1)讨论的单调性；9. (2014全国I 文12)已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D. 10.（2014新课标Ⅱ文21）（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.（1）求；11. (2015全国I 文21)设函数.（1）讨论的导函数零点的个数；12.（2011全国文10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）.A. B. C. D.13.（2012全国文21）设函数满足.（1）求的单调区间；()3ln 1y x x =+()1,1()31f x ax x =++()()1,1f ()2,7a =ln y x x =+()11，()221y ax a x =+++a =()()2e 4x f x ax b x x =+--()y f x =()()00f ，44y x =+a b ，2()e x f x x -=()f x ()()=ln +1f x x a x -()f x 32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a (2,)+∞(1,)+∞(,2)-∞-(,1)-∞-()3232f x x x ax =-++()y f x =()0,2x 2-a ()2e ln xf x a x =-()f x ()f x '()e 43x f x x =+-1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ()e 2x f x ax =--()f x14.（2013全国II 文12）.若存在正数使成立，则的取值范围是（） .A. B. C. D.15. （2014新课标Ⅰ文21）（本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线斜率为.（1）求；16. （2014新课标Ⅱ文11）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D. 17.（2011全国文21）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求，的值；18．（2016全国文21）本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；19.（2017全国文9）9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称20.（2017全国文14）14．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________．21（2017全国文21）21．（12分）已知函数()f x =e x (e x −a )−a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．x 2()1x x a -<a (,)-∞+∞(2,)-+∞(0,)+∞(1,)-+∞()21ln 2a f x a x x bx -=+-()1a ≠()y f x =()()1,1f 0b ()ln f x kx x =-()1,+∞k (],2-∞-(],1-∞-[)2,+∞[)1,+∞ln ()1a x bf x x x=++()y f x =(1,(1))f 230x y +-=a b22（2018全国文6）6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =23.（2018全国文21）21．（12分）已知函数()e ln 1x f x a x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．24．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=25．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-26．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 27．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．28．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 29．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()22f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．高考真题详解1.分析利用导数的几何意义先求得切线斜率. 解析因为，所以.所以，所以所求切线的方程为，即.2.解析由题意可得，，所以切线方程为. 又过点，即，解得.3.解析根据题意，曲线在点处的切线斜率为，故切线方程为，与联立得，显然，所以由判别式得.评注由导数的意义求函数问题是基本的研究方法，函数问题首先要考虑定义域的范围，含有参数一般要对参数进行分类讨论.5.分析（1）利用函数值和导函数值列出方程（组）求解字母的值；（2）先求出函数的导数极值点，进一步确定单调区间，再根据极值点左右两边的符号判断函数的极值.解析：（1）.由已知得，.故，.从而6.分析（1）先求出的导数，然后求出极值点，再求出极值，（2）设出切点，得出切线方程，然后运用基本不等式求出截距的取值范围.解析：（1）的定义域为，① 当或时，；当时，. 所以在，上单调递减，在上单调递增.故当时，取得极小值，极小值为；当时，取得极大值，极大值为.7.分析 (1)由题意，先求出函数的定义域，再对函数进行求导，得，然后分，两种情况来讨论；(2)由(1)知当时，在上无最大值；当时，最大值为，因此，故.令，则()3ln 1y x x =+3'3ln 13ln 4y x x x x=++⋅=+1'4x k y ===14(1)y x -=-43y x =-()12f a =+()131f a '=+()()()2311y a a x -+=+-()2,7()()723121a a --=+-1a =ln y x x =+()11，221y x =-()221y ax a x =+++202ax ax =++0a ≠28a a ∆=-=08a =()()e 24x f x ax a b x '=++--()04f =()04f '=4b =8a b +=()f x ()f x (),-∞+∞()()e 2.x f x x -'=--(),0x ∈-∞()2,x ∈+∞()0f x '<()0,2x ∈()0f x '>()f x (),0-∞()2,+∞()0,20x =()f x ()0f x =2x =()f x ()224e f -=()1f x a x'=-0a …0a >0a …()f x ()0+∞，0a >()f x 1ln 1f a a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭122f a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭ln 10a a +-<()ln 1g a a a =+-在上是增函数. 当时，；当时，.因此的取值范围是.解析(1)的定义域为，. 若，则，所以在上单调递增. 若，则当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 评注高考中对函数与导数的考查，主要体现用导数的工具性来解决函数性质问题，函数的性质是函数的终极内容，学习导数以后用导数这一工具可使求解更直接简单，特别要注意函数的定义域和对参数进行讨论.9.解析时，不符合题意.时，，令，得，.若，则由图像知有负数零点，不符合题意.则，由图像结合知，此时必有，即，化简得，又，所以，故选C.评注本题考查导数在函数中的应用，同时考查分类讨论的思想及数形结合的思想，要求由较强的分析问题的能力及运算能力.10.解析（1），，曲线在点处的切线方程为.由题设得，所以. 评注本题主要考查导数的几何意义及导数的应用，考查了分类讨论、函数与方程、等价转化等思想方法.把曲线与直线只有一个交点的问题转化为研究函数在上有唯一实根问题是解决问题的关键. 11.解析（1），.()g a ()0+∞，01a <<()0g a <1a >()0g a >a ()01，()f x ()0+∞，()1f x a x'=-0a …()0f x '>()f x ()0+∞，0a >10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<()f x 10a ⎛⎫⎪⎝⎭，1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，0a =0a ≠()236f x ax x '=-()0f x '=10x =22x a=0a >()f x 0a <()010f =>20f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭3284310a a a ⨯-⨯+>24a >0a <2a <-()236f x x x a '=-+()0f a '=()y f x =()0,22y ax =+22a-=-1a =()y f x =2y kx =-()()32314g x x x k x =-+-+R ()()2e ln 0x f x a x x =->()22e x af x x'=-显然当时，恒成立，无零点.当时，取，则，即单调递增.令，即. 画出与的图像，如图所示.由图可知，必有零点，所以导函数存在唯一零点.12.解析因为，由函数零点存在性定理，可知函数零点处于区间内．故选择C.13.解析（1）的定义域为，.若，则，所以在上单调递增.若，则当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.14.分析把参数分离出来，利用导数知识进行求解. 解析：因为，所以.令，所以所以在上单调递增，所以，所以的取值范围为，故选D.15.解析(I).由题设知，解得. 评注本题考查导数的几何意义，导数在解函数问题中应用等知识，同时考查了转化和分类讨论的数学思想，对运算能力及推理能力的要求较高.16.解析依题意得在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以，所以，故选D. 0a …()0f x '>()f x '0a >()()22e x ag x f x x'==-()224e 0x a g x x '=+>()f x '()()22e 0xa g x f x x'==-=22e x a x=22e x y =ay x=()f x '()f x '11042f f ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,42⎛⎫⎪⎝⎭()f x (),-∞+∞'()e x f x a =-0a …'()0f x >()f x (),-∞+∞0a >(),ln x a ∈-∞'()0f x <()ln ,x a ∈+∞'()0f x >()f x (),ln a -∞()ln ,a +∞a ()21x x a -<12x a x ->()12x f x x =-()12ln 20.xf x -'=+>()f x ()0,+∞()()0011f x f =-=->a ()1,-+∞()()1af x a x b x'=+--()10f '=1b =()10f x k x '=-…()1,+∞1k x…()1,+∞1x >101x<<1k …17.解析（1），由于直线的斜率为，且过点，故，即，解得，．18．（2016全国文21）本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；解析：（Ⅰ）'()(2)(1)x f x e a x =+-①当0a >时，'()0f x >解得1x >；'()0f x <解得1x <；②当2ea >-时，'()0f x >解得ln 2x a >或者1x <；'()0f x <解得1ln 2x a <<③2ea <-，'()0f x >解得1x >或者ln 2x a <；'()0f x <解得ln 21a x <<④2ea =-，'()0f x ≥恒成立；19.（2017全国文9）9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C20.（2017全国文14）14．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=，所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 21（2017全国文21）21．（12分）已知函数()f x =e x (e x −a )−a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；()()221ln 1x a x xb f x xx ⎛⎫⎪⎝⎭+-=-'+230x y +-=12-()1,1()()11112f f ⎧⎪⎨⎪⎩==-'1122b a b ⎧⎪⎨⎪⎩=-=-1a =1b =（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【解析】（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2e e (2e )(e )x x x x f x a a a a '=--=+-， ①若0a =，则2()e x f x =，在(,)-∞+∞单调递增． ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =．当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增．③若0a <，则由()0f x '=得ln()2ax =-．当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a-∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增．（2）①若0a =，则2()e x f x =，所以()0f x ≥．②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-．从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥．③若0a <，则由（1）得，当ln()2ax =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--．从而当且仅当23[ln()]042aa --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥．综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-．22（2018全国文6）6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为DA ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =23.（2018全国文21）21．（12分）已知函数()e ln 1xf x a x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．解：（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，，f ′（x ）=a e x –1x．由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e ．从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1()e x g x x'=-．当0<x <1时，g ′（x ）<0；当x >1时，g ′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1ea ≥时，()0f x ≥．24．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．25．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．26．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxxy x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．27．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],0a ∈-∞.【解析】（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=- ⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点.所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减. 又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈…时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.28．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）()f x 的定义域为（0，+∞）.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<， 1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=.又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因此，()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知()0(1)2f x f <=-，又()22e e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=.由01x α>>得011x α<<. 又1111()1ln 10f f αααααα⎛⎫⎛⎫=---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根. 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 29．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()22f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．【答案】（1）见详解；（2）8[,2)27. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3a x =．若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减．（2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩ 当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫ ⎪⎝⎭．当23a ≤<时，327a 单调递增，所以M m -的取值范围是8[,1)27．综上，M m -的取值范围是8[,2)27．。

2024全国高考真题数学汇编：导数在研究函数中的应用

2024全国高考真题数学汇编导数在研究函数中的应用一、单选题1．（2024上海高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合 0000,,,M x x x x f x f x R ，在使得 1,1M 的所有 f x 中，下列成立的是（）A ．存在 f x 是偶函数B ．存在 f x 在2x 处取最大值C ．存在 f x 是严格增函数D ．存在 f x 在=1x 处取到极小值二、多选题2．（2024全国高考真题）设函数2()(1)(4)f x x x ，则（）A ．3x 是()f x 的极小值点B ．当01x 时， 2()f x f xC ．当12x 时，4(21)0f xD ．当10x 时，(2)()f x f x 3．（2024全国高考真题）设函数32()231f x x ax ，则（）A ．当1a 时，()f x 有三个零点B ．当0a 时，0x 是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b 为曲线()y f x 的对称轴D ．存在a ，使得点 1,1f 为曲线()y f x 的对称中心三、填空题4．（2024全国高考真题）曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．四、解答题5．（2024全国高考真题）已知函数3()e x f x ax a ．(1)当1a 时，求曲线()y f x 在点 1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．6．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x ax x x ．(1)当2a 时，求 f x 的极值；(2)当0x 时， 0f x ，求a 的取值范围．7．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x a x x ．(1)求 f x 的单调区间；(2)当2a 时，证明：当1x 时， 1e x f x 恒成立．8．（2024上海高考真题）对于一个函数 f x 和一个点 ,M a b ，令 22()()s x x a f x b ，若 00,P x f x 是 s x 取到最小值的点，则称P 是M 在 f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x，求证：对于点 0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在 f x 的“最近点”；(2)对于 e ,1,0x f x M ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在 f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x 在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x 在定义域R 上存在导函数()f x ，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点11,M t f t g t ， 21,M t f t g t ．若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，试判断 f x 的单调性．9．（2024北京高考真题）设函数 ln 10f x x k x k ，直线l 是曲线 y f x 在点 ,0t f t t 处的切线．(1)当1k 时，求 f x 的单调区间.(2)求证：l 不经过点 0,0.(3)当1k 时，设点 ,0A t f t t ， 0,C f t ， 0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABO S 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S △△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10 ，1.60ln51.61 ，1.94ln71.95 ）10．（2024天津高考真题）设函数 ln f x x x ．(1)求 f x 图象上点 1,1f 处的切线方程；(2)若 f x a x 在 0,x 时恒成立，求a 的值；(3)若 12,0,1x x ，证明 121212f x f x x x ．11．（2024全国高考真题）已知函数3()ln (1)2x f x ax b x x (1)若0b ，且()0f x ，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x 是中心对称图形；(3)若()2f x 当且仅当12x ，求b 的取值范围．参考答案1．B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数2,1,111,1x f x x x x即可判断.【详解】对于A ，若存在()y f x 是偶函数,取01[1,1]x ,则对于任意(,1),()(1)x f x f ,而(1)(1)f f ,矛盾,故A 错误；对于B ，可构造函数 2,1,,11,1,1,x f x x x x满足集合 1,1M ，当1x 时，则 2f x ，当11x 时， 1,1f x ，当1x 时， 1f x ，则该函数 f x 的最大值是 2f ，则B 正确；对C ，假设存在 f x ，使得 f x 严格递增，则M R ，与已知 1,1M 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在 f x ，使得 f x 在=1x 处取极小值，则在1 的左侧附近存在n ，使得 1f n f ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B.2．ACD【分析】求出函数 f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数 f x 在 1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数 f x 的定义域为R ，而 22141313f x x x x x x ，易知当 1,3x 时， 0f x ，当 ,1x 或 3,x 时， 0f x 函数 f x 在 ,1 上单调递增，在 1,3上单调递减，在 3, 上单调递增，故3x 是函数 f x 的极小值点，正确；对B ，当01x 时， 210x x x x ，所以210x x ，而由上可知，函数 f x 在 0,1上单调递增，所以 2f x f x ，错误；对C ，当12x 时，1213x ，而由上可知，函数 f x 在 1,3上单调递减，所以 1213f f x f ，即 4210f x ，正确；对D ，当10x 时， 222(2)()12141220f x f x x x x x x x ，所以(2)()f x f x ，正确；故选：ACD.3．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a 上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x 为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a ，由于1a ，故 ,0,x a 时()0f x ，故()f x 在 ,0,,a 上单调递增，(0,)x a 时，()0f x ，()f x 单调递减，则()f x 在0x 处取到极大值，在x a 处取到极小值，由(0)10 f ，3()10f a a ，则(0)()0f f a ，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a ，3(2)410f a a ，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a ，则()f x 在(1,0),(,2)a a 上各有一个零点，于是1a 时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a ，a<0时，(,0),()0x a f x ，()f x 单调递减，,()0x 时()0f x ，()f x 单调递增，此时()f x 在0x 处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x ，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x ，根据二项式定理，等式右边3(2)b x 展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x ，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a ，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a ，于是266(126)(1224)1812a a x a x a即126012240181266a a a a，解得2a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax ，2()66f x x ax ，()126f x x a ，由()02a f x x ，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122a a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x ；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x 的解，即,33b b f aa是三次函数的对称中心4． 2,1 【分析】将函数转化为方程，令 2331x x x a ，分离参数a ，构造新函数 3251,g x x x x 结合导数求得 g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令 2331x x x a ，即3251a x x x ，令 32510,g x x x x x 则 2325351g x x x x x ，令 00g x x 得1x ，当 0,1x 时， 0g x ， g x 单调递减，当 1,x 时， 0g x ， g x 单调递增， 01,12g g ，因为曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，所以等价于y a 与 g x 有两个交点，所以 2,1a .故答案为：2,1 5．(1) e 110x y (2)1, 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a 和0a 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e x f x a 有零点，可得0a ，进而利用导数求 f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a 时，则()e 1x f x x ，()e 1x f x ，可得(1)e 2f ，(1)e 1f ，即切点坐标为 1,e 2 ，切线斜率e 1k ，所以切线方程为 e 2e 11y x ，即 e 110x y .（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若0a ，则()0f x 对任意x R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，则 120g a a a，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, ；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若()f x 有极小值，则()e x f x a 有零点，令()e 0x f x a ，可得e x a ，可知e x y 与y a 有交点，则a ，若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，符合题意，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，因为则2,ln 1y a y a 在 0, 内单调递增，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, .6．(1)极小值为0，无极大值.(2)12a 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a 、102a 、0a 分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）当2a 时，()(12)ln(1)f x x x x ，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x，因为12ln(1),11y x y x在 1, 上为增函数，故()f x 在 1, 上为增函数，而(0)0f ，故当10x 时，()0f x ，当0x 时，()0f x ，故 f x 在0x 处取极小值且极小值为 00f ，无极大值.（2） 11ln 11ln 1,011a x ax f x a x a x x x x，设 1ln 1,01a x s x a x x x，则222111211111a a x a a ax a s x x x x x ，当12a 时， 0s x ，故 s x 在 0, 上为增函数，故 00s x s ，即 0f x ，所以 f x 在 0, 上为增函数，故 00f x f .当102a 时，当0x 0s x ，故 s x 在210,a a 上为减函数，故在210,a a上 0s x s ，即在210,a a上 0f x 即 f x 为减函数，故在210,a a上 00f x f ，不合题意，舍.当0a ，此时 0s x 在 0, 上恒成立，同理可得在 0, 上 00f x f 恒成立，不合题意，舍；综上，12a .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.7．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x 时，1e 21ln 0x x x 即可.【详解】（1）()f x 定义域为(0,) ，11()ax f x a x x当0a 时，1()0ax f x x，故()f x 在(0,) 上单调递减；当0a 时，1,x a时，()0f x ，()f x 单调递增，当10,x a时，()0f x ，()f x 单调递减.综上所述，当0a 时，()f x 的单调递减区间为(0,) ；0a 时，()f x 的单调递增区间为1,a ，单调递减区间为10,a.（2）2a ，且1x 时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ，令1()e 21ln (1)x g x x x x ，下证()0g x 即可.11()e 2x g x x ，再令()()h x g x ，则121()e x h x x，显然()h x 在(1,) 上递增，则0()(1)e 10h x h ，即()()g x h x 在(1,) 上递增，故0()(1)e 210g x g ，即()g x 在(1,) 上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g ，问题得证8．(1)证明见解析(2)存在，0,1P (3)严格单调递减【分析】（1）代入(0,0)M ，利用基本不等式即可；（2）由题得 22(1)e x s x x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；（3）根据题意得到 10200s x s x ，对两等式化简得 01()f xg t ，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明0x t ，最后得到函数单调性.【详解】（1）当(0,0)M 时， 222211(0)02s x x x x x ，当且仅当221x x 即1x 时取等号，故对于点 0,0M ，存在点 1,1P ，使得该点是 0,0M 在 f x 的“最近点”．（2）由题设可得 2222(1)e 0(1)e x x s x x x ，则 2212e x s x x ，因为 221,2e x y x y 均为R 上单调递增函数，则 2212e xs x x 在R 上为严格增函数，而 00s ，故当0x 时， 0s x ，当0x 时， 0s x ，故 min 02s x s ，此时 0,1P ，而 e ,01x f x k f ，故 f x 在点P 处的切线方程为1y x .而01110MP k ，故1MP k k ，故直线MP 与 y f x 在点P 处的切线垂直．（3）设 221(1)()s x x t f x f t g t ，222(1)()s x x t f x f t g t ，而 12(1)2()s x x t f x f t g t f x ， 22(1)2()s x x t f x f t g t f x ，若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，设 00,P x y ，则0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则0x 也是两函数的极小值点，则存在0x ,使得 10200s x s x ，即 10000212()()0s x x t f x f x f t g t ① 20000212()()0s x x t f x f x f t g t ②由①②相等得 044()0g t f x ，即 01()0f x g t ，即 01()f x g t，又因为函数()g x 在定义域R 上恒正，则 010()f xg t 恒成立，接下来证明0x t ，因为0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，则 1020(),()s x s t s x s t ，即 2220011x t f x f t g t g t ，③ 2220011x t f x f t g t g t ，④③ ④得 222200222()2()22()x t f x f t g t g t 即 22000x t f x f t ，因为 2200,00x t f x f t 则 0000x t f x f t，解得0x t ，则 10()f tg t 恒成立，因为t 的任意性，则 f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到 01()f x g t，再利用最值点定义得到0x t 即可.9．(1)单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接代入1k ，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入再设新函数()ln(1)1t F t t t ，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入215ACO ABO S S 得到13ln(1)21501t t t t ，再设新函数15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t研究其零点即可.【详解】（1）1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x，当 1,0x 时， 0f x ；当 0,x ，()0f x ¢>；()f x 在(1,0) 上单调递减，在(0,) 上单调递增.则()f x 的单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .（2）()11k f x x ，切线l 的斜率为11k t，则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t，即ln(1)1k t k t t tt ，则ln(1)1t t t ，ln(1)01t t t ，令()ln(1)1t F t t t，假设l 过(0,0)，则()F t 在(0,)t 存在零点.2211()01(1)(1)t t t F t t t t ，()F t 在(0,) 上单调递增，()(0)0F t F ，()F t 在(0,) 无零点，与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).（3）1k 时，12()ln(1),()1011x f x x x f x x x.1()2ACO S tf t ，设l 与y 轴交点B 为(0,)q ，0t 时，若0q ，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知0q .所以0q ，则切线l 的方程为 111ln 1x t y t t t，令0x ，则ln(1)1t y q y t t.215ACO ABO S S ，则2()15ln(1)1t tf t t t t，13ln(1)21501t t t t ，记15()13ln(1)2(0)1th t t t t t，满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.2222221313221151315294(21)(4)()21(1)(1)(1)(1)t t t t t t t h t t t t t t ，当10,2t时， 0h t ，此时 h t 单调递减；当1,42t时， 0h t ，此时 h t 单调递增；当 4,t 时， 0h t ，此时 h t 单调递减；因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802h h h，15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.5402555h，所以由零点存在性定理及()h t 的单调性，()h t 在1,42上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，()h t 有两个零点，即满足215ACO ABO S S 的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.10．(1)1y x (2)2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a ，再证明2a 时条件满足；（3）先确定 f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于 ln f x x x ，故 ln 1f x x .所以 10f ， 11f ，所以所求的切线经过 1,0，且斜率为1，故其方程为1y x .（2）设 1ln h t t t ，则 111t h t t t，从而当01t 时 0h t ，当1t 时 0h t .所以 h t 在 0,1上递减，在 1, 上递增，这就说明 1h t h ，即1ln t t ，且等号成立当且仅当1t .设 12ln g t a t t ，则ln 1f x a x x x a x x a x g .当 0,x0, ，所以命题等价于对任意 0,t ，都有 0g t .一方面，若对任意 0,t ，都有 0g t ，则对 0,t 有112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t，取2t ，得01a ，故10a .再取t，得2022a a a，所以2a .另一方面，若2a ，则对任意 0,t 都有 212ln 20g t t t h t ，满足条件.综合以上两个方面，知a 的值是2.（3）先证明一个结论：对0a b ，有 ln 1ln 1f b f a a b b a.证明：前面已经证明不等式1ln t t ，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b，所以ln ln ln 1ln 1b b a a a b b a，即 ln 1ln 1f b f a a b b a.由 ln 1f x x ，可知当10e x 时 0f x ，当1ex 时()0f x ¢>.所以 f x 在10,e上递减，在1,e上递增.不妨设12x x ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x 时，有122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x ，结论成立；情况二：当1210e x x 时，有 12121122ln ln f x f x f x f x x x x x .对任意的10,e c，设ln ln x x x c cln 1x x 由于 x单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c，且当2124ln 1x c c，2cx2ln 1c 可知2ln 1ln 1ln 102c x x c.所以 x 在 0,c 上存在零点0x ，再结合 x 单调递增，即知00x x 时 0x ，0x x c 时 0x .故 x 在 00,x 上递减，在 0,x c 上递增.①当0x x c 时，有 0x c ；②当00x x112221e e f f c，故我们可以取1,1q c .从而当201cx q1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q c.再根据 x 在 00,x 上递减，即知对00x x 都有 0x ；综合①②可知对任意0x c ，都有 0x ，即ln ln 0x x x c c .根据10,e c和0x c 的任意性，取2c x ，1x x，就得到1122ln ln 0x x x x .所以12121122ln ln f x f x f x f x x x x x 情况三：当12101e x x时，根据情况一和情况二的讨论，可得11e f x f21e f f x而根据 f x 的单调性，知 1211e f x f x f x f或 1221e f x f x f f x .故一定有12f x f x 成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合 f x 的单调性进行分类讨论.11．(1)2 (2)证明见解析(3)23b【分析】（1）求出 min 2f x a 后根据()0f x 可求a 的最小值；（2）设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，可证 ,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n 也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断 12f 即2a ，再根据()2f x 在 1,2上恒成立可求得23b .【详解】（1）0b 时， ln 2xf x ax x，其中 0,2x ，则112,0,222f x a a x x x x x，因为 22212x x x x，当且仅当1x 时等号成立，故 min 2f x a ，而 0f x 成立，故20a 即2a ，所以a 的最小值为2 .，（2） 3ln12x f x ax b x x的定义域为 0,2，设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n ，因为 ,P m n 在 y f x 图象上，故 3ln 12m n am b m m，而 3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m，2n a ，所以 2,2Q m a n 也在 y f x 图象上，由P 的任意性可得 y f x 图象为中心对称图形，且对称中心为 1,a .（3）因为 2f x 当且仅当12x ，故1x 为 2f x 的一个解，所以 12f 即2a ，先考虑12x 时， 2f x 恒成立.此时 2f x 即为 3ln21102x x b x x在 1,2上恒成立，设 10,1t x ，则31ln201t t bt t在 0,1上恒成立，设 31ln2,0,11t g t t bt t t，则2222232322311t bt b g t bt t t，当0b ，232332320bt b b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当203b 时，2323230bt b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当23b ，则当01t 时， 0g t故在上 g t 为减函数，故 00g t g ，不合题意，舍；综上， 2f x 在 1,2上恒成立时23b .而当23b 时，而23b 时，由上述过程可得 g t 在 0,1递增，故 0g t 的解为 0,1，即 2f x 的解为 1,2.综上，23b .【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编考点01 导数的基本计算及其应用1．（2020∙全国∙高考真题）设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a = ．考点02 求切线方程及其应用1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．232．（2023∙全国甲卷∙高考真题）曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A ．e4y x =B ．e 2y x =C ．e e 44y x =+ D ．e 3e24y x =+ 3．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为，． 4．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为． 6．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是． 7．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<8．（2020∙全国∙高考真题）若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +129．（2020∙全国∙高考真题）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+10．（2020∙全国∙高考真题）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .11．（2019∙江苏∙高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（‐e ，‐1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .12．（2019∙全国∙高考真题）已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-13．（2019∙天津∙高考真题）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为 . 14．（2019∙全国∙高考真题）曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为． 15．（2019∙全国∙高考真题）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=考点03 公切线问题1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .考点04 利用导数判断函数单调性及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（） A ．3x =是()f x 的极小值点 B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->2．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）．A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是 .4．（2019∙北京∙高考真题）设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a = ；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是．考点05 求极值与最值及其应用1．（2024∙上海∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（） A ．存在()f x 是偶函数 B ．存在()f x 在2x =处取最大值 C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x -处取到极小值2．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）． A ．0bc >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0ac <3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．ππ22-，B ．3ππ22-， C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+， 4．（2022∙全国甲卷∙高考真题）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（） A ．1-B ．12-C ．12D ．15．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为 .考点06 利用导数研究函数的极值点及其应用1．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线2．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是．3．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设0a ≠，若a 为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（） A ．a b <B ．a b >C ．2ab a <D ．2ab a >考点07 导数与函数的基本性质结合问题1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（） A ．3x =是()f x 的极小值点 B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->2．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点3．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=4．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．考点08 利用导数研究函数的零点及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2．（2023∙全国乙卷∙高考真题）函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),3-∞-C ．()4,1--D ．()3,0-3．（2021∙北京∙高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，()f x 恰有2个零点； ②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点； ③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点； ④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．考点09 利用导数研究方程的根及其应用1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．2．（2021∙北京∙高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，()f x 恰有2个零点； ②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点； ③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点； ④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．考点10 构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系1．（2022∙全国甲卷∙高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b <<3．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（） A ．a b c << B ．b<c<aC ．b a c <<D ．c<a<b参考答案考点01 导数的基本计算及其应用1．（2020∙全国∙高考真题）设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a = ．【答案】1【详细分析】由题意首先求得导函数的过程解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值【答案详解】由函数的过程解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aeea =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1.【名师点评】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.考点02 求切线方程及其应用1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】A【详细分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【答案详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅+'=，则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯+'==，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=. 故选：A.2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A ．e4y x = B ．e 2y x =C ．e e 44y x =+ D ．e 3e24y x =+ 【答案】C【详细分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【答案详解】设曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为()e 12y k x -=-，因为e 1xy x =+，所以()()()22e 1e e 11x xxx x y x x =+'+-=+，所以1e|4x k y ='==所以()e e124y x -=- 所以曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为e e 44y x =+. 故选：C3．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】 1ey x =1e y x =-【详细分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；【答案详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；解：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e e y x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1ey x =；1e y x =-[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；因为ln y x =是偶函数，图象为：所以当0x <时的切线，只需找到1ey x =关于y 轴的对称直线1e y x =-即可.[方法三]：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e ey x -=+-，即1e y x =-；故答案为：1ey x =；1e y x =-.4．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．【答案】()(),40,-∞-+∞【详细分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围. 【答案详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e xk x a =++, 切线方程为：()()()00000e 1e x xy x a x a x x -+=++-,∵切线过原点，∴()()()00000e1e x x x a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a <-或0a >, ∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞ ,故答案为：()(),40,-∞-+∞5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为．【答案】520x y -+=【详细分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【答案详解】由题，当=1x -时，=3y -，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．6．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是．【答案】()0,1【详细分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1A x M =，2B x N ，化简即可得解.【答案详解】由题意，()1011,0,xxx e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0x x x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x xAM BN k e k e =-=,所以12121,0x xe e x x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11x x x xe e x x e AM e y M x -+=---+，所以1x AM ==，同理2B x N =,所以()10,1x e NAM B ===∈=. 故答案为：()0,1【名师点评】关键点名师点评：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解. 7．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b <<【答案】D【详细分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线. 【答案详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t ty e e x t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y ft =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.【名师点评】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.8．（2020∙全国∙高考真题）若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D【详细分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【答案详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【名师点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 9．（2020∙全国∙高考真题）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【答案】B【详细分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【答案详解】()432f x x x =- ，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.【名师点评】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题10．（2020∙全国∙高考真题）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 【答案】2y x =【详细分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【答案详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【名师点评】本题考查导数的几何意义，属于基础题.11．（2019∙江苏∙高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（‐e ，‐1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 . 【答案】(e, 1).【详细分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【答案详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1xy x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .【名师点评】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．12．（2019∙全国∙高考真题）已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D【过程解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【答案详解】答案详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【名师点评】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 13．（2019∙天津∙高考真题）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为 . 【答案】220x y +-=【详细分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．【答案详解】1'sin 2y x =--，当0x =时其值为12-，故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=．【名师点评】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组0010010()'()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨=⎪-⎩得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．14．（2019∙全国∙高考真题）曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为．【答案】30x y -=.【详细分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【答案详解】答案详解：/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点评】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．15．（2019∙全国∙高考真题）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【答案】C【详细分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【答案详解】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=- 2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【名师点评】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．考点03 公切线问题1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .【答案】ln 2【详细分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()00,ln 1x x a ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【答案详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =. 故答案为：ln 22．（2016∙全国∙高考真题）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln 2-【答案详解】试题详细分析：对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以，解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-. 【考点】导数的几何意义【名师点评】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′（x 0）（x−x 0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．3．（2015∙全国∙高考真题）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．【答案】8【答案详解】试题详细分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法名师点评】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．考点04 利用导数判断函数单调性及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（） A ．3x =是()f x 的极小值点 B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD【详细分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【答案详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x >，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D ，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.2．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）． A ．2e B ．e C ．1e - D ．2e -【答案】C【详细分析】根据()1e 0xf x a x'=-≥在()1,2上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【答案详解】依题可知，()1e 0xf x a x '=-≥在()1,2上恒成立，显然0a >，所以1e x x a≥，设()()e ,1,2x g x x x =∈，所以()()1e 0xg x x '=+>，所以()g x 在()1,2上单调递增，()()1e g x g >=，故1e a ≥，即11e ea -≥=，即a 的最小值为1e -．故选：C ．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是 .【答案】1,12⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【详细分析】原问题等价于()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥-⎪+⎝⎭，由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a 的取值范围.【答案详解】由函数的过程解析式可得()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()1ln 1ln xxa a a a ++≥-，即()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥-⎪+⎝⎭在区间()0,∞+上恒成立，故()01ln 1ln 1a a a a +⎛⎫=≥-⎪+⎝⎭，而()11,2a +∈，故()ln 10a +>，故()ln 1ln 01a a a ⎧+≥-⎨<<⎩即()1101a a a ⎧+≥⎨<<⎩，故112a ≤<，结合题意可得实数a 的取值范围是1,12⎫⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：1,12⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 4．（2019∙北京∙高考真题）设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a = ；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是．【答案】 ‐1; (],0-∞.【详细分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的过程解析式可得a 的取值范围.【答案详解】若函数()x x f x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x xf x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x xf x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞【名师点评】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.考点05 求极值与最值及其应用1．（2024∙上海∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（） A ．存在()f x 是偶函数 B ．存在()f x 在2x =处取最大值 C ．存在()f x 是严格增函数 D ．存在()f x 在=1x -处取到极小值【答案】B【详细分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数()2,1,111,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩即可判断.【答案详解】对于A ，若存在 ()y f x = 是偶函数, 取 01[1,1]x =∈-, 则对于任意 (,1),()(1)x f x f ∈-∞<, 而 (1)(1)f f -=, 矛盾, 故 A 错误；对于B ，可构造函数()2,1,,11,1,1,x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩满足集合[]1,1M =-，当1x <-时，则()2f x =-，当11x -≤≤时，()[]1,1f x ∈-，当1x >时，()1f x =，则该函数()f x 的最大值是()2f ，则B 正确；对C ，假设存在()f x ，使得()f x 严格递增，则M =R ，与已知[]1,1M =-矛盾，则C 错误；对D ，假设存在()f x ，使得()f x 在=1x -处取极小值，则在1-的左侧附近存在n ，使得()()1f n f >-，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B.2．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）． A ．0bc > B ．0ab > C ．280b ac +> D ．0ac <【答案】BCD【详细分析】求出函数()f x 的导数()f x '，由已知可得()f x '在(0,)+∞上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.【答案详解】函数2()ln b c f x a x x x =++的定义域为(0,)+∞，求导得223322()a b c ax bx cf x x x x x --'=--=，因为函数()f x 既有极大值也有极小值，则函数()f x '在(0,)+∞上有两个变号零点，而0a ≠，因此方程220ax bx c --=有两个不等的正根12,x x ，于是21212Δ80020b ac b x x a c x x a ⎧⎪=+>⎪⎪+=>⎨⎪⎪=->⎪⎩，即有280b ac +>，0ab >，0ac <，显然20a bc <，即0bc <，A 错误，BCD 正确.故选：BCD3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（） A ．ππ22-，B ．3ππ22-， C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+，【答案】D【详细分析】利用导数求得()f x 的单调区间，从而判断出()f x 在区间[]0,2π上的最小值和最大值. 【答案详解】()()()sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x '=-+++=+，所以()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x ¢>，即()f x 单调递增；在区间π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，即()f x 单调递减，又()()02π2f f ==，ππ222f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3π3π3π11222f ⎛⎫⎛⎫=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2π上的最小值为3π2-，最大值为π22+. 故选：D4．（2022∙全国甲卷∙高考真题）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B【详细分析】根据题意可知()12f =-，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出．【答案详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，()12f =-，()10f '=，而()2a b f x x x -'=，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x'=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,∞+上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f =-+=-'．故选：B.5．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为 . 【答案】1【详细分析】由过程解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【答案详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥=故答案为：1.考点06 利用导数研究函数的极值点及其应用1．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC【详细分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【答案详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x ¢>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x 在(,3-∞-，(,)3+∞上单调递增，(33-上单调递减，所以3x =±是极值点，故A 正确；因(1039f -=+>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当3x ≥时，()03f x f ⎫≥>⎪⎪⎝⎭，即函数()f x 在3⎫∞⎪⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：AC.2．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是．【答案】1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【详细分析】法一：依题可知，方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，构造函数()ln xg x a a =⋅，利用指数函数的图象和图象变换得到()g x 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【答案详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为()2ln 2e xf x a a x ⋅-'=，所以方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x ∞-和()2,x ∞+上递减，在()12,x x 上递增，所以当时()1,x ∞-()2,x ∞+，()0f x '<，即e y x =图象在ln x y a a =⋅上方当()12,x x x ∈时，()0f x '>，即e y x =图象在ln x y a a =⋅下方1a >，图象显然不符合题意，所以01a <<．令()ln x g x a a =⋅，则()2ln ,01xg x a a a =⋅<<'，设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln xx a a ⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a ='⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e e a <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的取值范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导()2ln 2e x f x a a x ⋅-'==0的两个根为12,x x因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x ∞-和()2,x ∞+上递减，在()12,x x 上递增，设函数()()()g 2ln xx f x a a ex ='=-，则()()22ln 2x x a a e '=-，若1a >，则()x '在R 上单调递增，此时若()00f x '=，则()f x '在()0,x ∞-上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =->且1)a ≠的极小值点和极大值点，则12x x >，不符合题意；若01a <<，则()x '在R 上单调递减，此时若()00x '=，则()f x '在()0,x ∞-上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减，令()00x '=，则02(ln )xea a =，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =->且1)a ≠的极小值点和极大值点，且12x x <，则需满足()00f x '>，()()00002ln 20ln xe f x a a ex ex a ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭'，即001ln 1ln x x a a<>故()002ln ln ln 1ln x e a x a a ==>，所以11e a <<. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．3．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设0a ≠，若a 为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a < D ．2ab a >【答案】D 【详细分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【答案详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹.()f x ∴有a 和b 两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，a 为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当a<0时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：。

(完整版)高考文科数学试题分类汇编导数

2012高考文科试题解析分类汇编：导数1.【2012高考重庆文8】设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是【答案】C【解析】：由函数f(x)在x=-2处取得极小值可知x<-2，f'(x)<0，则xf'(x)>0；x>-2，f'(x)>0则-2<x<0时xf'(x)<0，x>0时xf'(x)>0【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．2.【2012高考浙江文10】设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数A.若e a+2a=e b+3b，则a＞bB.若e a+2a=e b+3b，则a＜bC.若e a-2a=e b-3b，则a＞bD.若e a-2a=e b-3b，则a＜b【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若e a+2a=e b+3b，必有e a+2a>e b+2b．构造函数：f(x)=e x+2x，则f'(x)=e x+2>0恒成立，故有函数f(x)=e x+2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．3.【2012高考陕西文9】设函数f（x）=2x+lnx则（）11A．x=为f(x)的极大值点B．x=为f(x)的极小值点22C．x=2为f(x)的极大值点D．x=2为f(x)的极小值点【答案】D.2 x 2 - ln x,∴ y ' = x - ,由y '≤0，解得-1≤x ≤1,又x > 0,∴ 0 < x ≤1,故【解析】 f ' (x ) = -2 1 x - 2+ =x 2 x x 2，令 f ' (x ) = 0 ，则 x = 2 ．当 x < 2 时， f ' (x ) = - 当 x > 2 时， f ' (x ) = - 2 1 x - 2 + = x 2 x x 2 2 1 x - 2+ =x x x 2< 0 ；> 0 ．即当 x < 2 时， f (x )是单调递减的；当 x > 2 时， f (x )是单调递增的．所以 x = 2 是 f (x )的极小值点．故选 D ．4.【2012 高考辽宁文 8】函数 y=12x 2- ㏑ x 的单调递减区间为（A ）（ - 1,1]（B ）（0,1] （C.）[1，+∞）（D ）（0，+∞）【答案】B【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。

2021年高考文科数学试题汇编----函数与导数(教师用)

函数与导数一、选择题（安徽文5）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a10,b+1) (D)(a 2,2b) 【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上.(安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1n =时，()()()f x ax x a x x x 232=1-=-2+，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332，知a 存在.故选A.（北京文8）已知点()0,2A ,()2,0B ,若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A（福建文6）若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A ．（－1，1） B ．（－2，2） C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞）【答案】C（福建文8）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0 x ＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【答案】A（福建文10）若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 【答案】D（广东文4）函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞【答案】C（湖南文7）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（）A ．12-B ．12 C．2- D．2【答案】B 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以2411'|2(sincos )44x y πππ===+。

2021年高考文科数学试题汇编----函数与导数(教师用)

函数与导数一、选择题〔安徽文5〕假设点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,那么以下点也在此图像上的是〔A 〕〔a 1，b 〕 (B) (10a,1-b) (C) (a10,b+1) (D)(a 2,2b) 【答案】D 【命题意图】此题考查对数函数的根本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系. 【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上. (安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-在区间〔0,1〕上的图像如下图，那么n 可能是〔A 〕1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】此题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1n =时，，那么()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332，知a 存在.应选A. 〔北京文8〕点()0,2A ,()2,0B ,假设点C 在函数2y x =的图象上，那么使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A〔福建文6〕假设关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数m 的取值范围是 A ．〔－1，1〕 B ．〔－2，2〕 C ．〔－∞，－2〕∪〔2，＋∞〕 D ．〔－∞，－1〕∪〔1，＋∞〕【答案】C〔福建文8〕函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0 x ＋1，x≤0，假设f(a)＋f(1)＝0，那么实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【答案】A〔福建文10〕假设a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，那么ab的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】D〔广东文4〕函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是〔〕 A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞【答案】C〔湖南文7〕曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为〔〕A ．12-B ．12 C． D【答案】B 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以2411'|2(sincos )44x y πππ===+。

高考数学文试题分类汇编：导数及其应用 Word版含答案

一、选择、填空题1、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知函数2ln ()()()x x b f x b R x +-=∈，若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()'()f x x f x >-⋅，则实数b 的取值范围是（）A ．(-∞B ．3(,)2-∞C ．9(,)4-∞D ．(,3)-∞2、（新余市2017高三上学期期末考试）关于x 的不等式＜恒成立，则实数k 的取值范围为（） A ．[0，e +1）B ．[0，2e ﹣1）C ．[0，e ）D ．[0，e ﹣1）3、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）过函数2331)(x x x f -=图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( ) A ．]43,0[π B ．),43[)2,0[πππ⋃ C ．),43[ππ D ．]43,2(ππ4、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）若曲线x x ax x f ++=ln )(2存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .5、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））函数21x x y e+=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（）6、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））设曲线()1*n y x x N +=∈在点()1 1，处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则20161201622016320162015log log log log x x x x ++++…的值为．7、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）已知2cos sin )(x x x x x f ++=，则不等式1(ln )(ln )2(1)f x f f x+<的解集为( )（A ）),(+∞e （B ）(0,)e（C ）1(0,)(1,)e e（D ）),1(e e8、（南昌市三校（南昌一中、南昌十中、南铁一中）2017届高三第四次联考）已知定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()(),'f x f x 为其导数,且()()'tan f x f x x <恒成立，则（）A 43ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1sin16f π⎛⎫< ⎪⎝⎭二、解答题1、（赣州市2017届高三上学期期末考试）已知函数()ln 2,f x x ax a R =-∈. （1）若函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，求实数a 的取值范围；（2）已知1a >设21()()2g x f x x =+，若()g x 有极大值点1x ，求证：2111ln 10x x ax -+>.2、（红色七校2017届高三第二次联考）已知函数21()(),()2xf x x a eg x x bx a =+=++，其中,a b R ∈．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点(0,)P a 处有相同的切线，试讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；（2）若[]1,2a ∀∈，函数()f x 在(,2)am e -上为增函数，求证：232ae m e -≤<+．3、（吉安市2017届高三上学期期末考试）已知函数f （x ）=a x 2+lnx +1 （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若对任意a ∈（﹣2，﹣1）及x ∈[1，2]，恒有m a ﹣f （x ）＞a 2成立，求实数m 的取值集合．4、（景德镇市2017届高三上学期期末考试）设函数f （x ）=ln （x +1）﹣+1（x ＞﹣1）（1）讨论f （x ）的单调性；（2）k ＞0，若f （x ）的最小值为g （k ），当0＜k 1＜k 2且k 1+k 2=2，比较g （k 1）与g （k 2）的大小．5、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知函数()xe f x x=．（1）求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）设()()ln 2G x xf x x x =--，证明3()ln 22G x >--．6、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知函数()ln f x x a x =+ ，在x =1处的切线与直线x +2y =0垂直，函数()()212g x f x x bx =+- ． (1)求实数a 的值；(2)设()1212,x x x x < 是函数()g x 的两个极值点，记12x t x =，若133b ≥， ①t 的取值范围；②求()()12g x g x - 的最小值．7、（新余市2017高三上学期期末考试）已知函数f （x ）=x ﹣﹣lnx ，a ＞0．（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若f （x ）＞x ﹣x 2在（1，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．8、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）设)(x ϕ是定义在],[n m 上的函数，若存在),(n m r ∈，使得)(x ϕ在],[r m 上单调递增，在],[n r 上单调递减，则称)(x ϕ为],[n m 上的F 函数.(1)已知xe ax x +=)(ϕ为]2,1[上的F 函数，求a 的取值范围；（2）设)5432()(5432px x x x px x +++-=ϕ，其中0>p ，判断)(x ϕ是否为],0[p 上的F 函数？（3）已知))(()(22t x x x x x +--=ϕ为],[n m 上的F 函数，求t 的取值范围.9、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）已知函数()ln f x b x =．（Ⅰ）当3-=b 时，求函数x xx f x g 21)()(+-=的极小值；（Ⅱ）若在[]1,e 上存在0x ，使得0001()bx f x x +-<-成立，求b 的取值范围．10、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））已知()x f x xe =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）叵()()()()2g x f x tf x t R =+∈，满足()1g x =-的x 有四个，求t 的取值范围.11、（九江市十校2017届高三第一次联考）已知()ln (1)f x x ax ax =-+，a R ∈．（1）讨论函数()x f 的单调性；（2）若函数()f x 在(,1]0内至少有1个零点，求实数a 的取值范围．12、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）已知函数()()1ln 0f x a x a a x=+≠∈R ，．（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间(0]e ，上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数a 的取值范围．13、（南昌市三校（南昌一中、南昌十中、南铁一中）2017届高三第四次联考）已知函数()()1ln 0,f x a x a a R x=+≠∈．（1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（2）若在区间(]0,e 上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择、填空题 1、C2、【解答】解：依题意，k +2x ﹣x 2＞0，即k ＞x 2﹣2x 对任意x ∈（0，2）都成立， ∴k ≥0， ∵＜， ∴k ＜+x 2﹣2x ，令f （x ）=+x 2﹣2x ，f'（x ）=+2（x ﹣1）=（x ﹣1）（+2），令f'（x ）=0，解得x=1，当x ∈（1，2）时，f'（x ）＞0，函数递增，当x ∈（0，1）时，f'（x ）＜0，函数递减， ∴f （x ）的最小值为f （1）=e ﹣1， ∴0≤k ＜e ﹣1，故选：D ．3、B4、)0,(-∞5、答案：A解析：当0x ≥时，函数是21x x y e +=，212'x x x y e +-=有且只有一个极大值点是2x =，所以选A.6、答案：1-解析：求导函数，可得()()'1n f x n x =+，设过()1 1，处的切线斜率为k ，则()'11k f n ==+，所以切线方程为()()111y n x -=+-，令0y =，可得01n x n =+，∴12201512201512320162016x x x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=……， ∴()1201620161201622016201520161220152016log log log log log 1x x x x x x +++===-…….7、D 8、C二、解答题1、解：（1）因为1()2,0f x a x x'=->…………………………………………………1分因为函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，所以()2f x '=在(0,)+∞上有解……………………………………………………………2分即122a x -=在(0,)+∞上有解，也即122a x+=在(0,)+∞上有解，所以220a +>，得1a >-，故所求实数a 的取值范围是(1,)-+∞………………………………………………………4分（2）因为2211()()ln 222g x f x x x x ax =+=+- 因为2121()2x ax g x x a x x-+'=+-=……………………………………………………5分令()0g x '=，设2210x ax -+=的两根为1x 和2x ，则12121,2x x x x a =+=因为1x 为函数()g x 的极大值点，1a >，所以120x x <<，101x <<………………6分所以211111()20g x x ax x '=-+=，则21112x a x +=…………………………………………7分因为332111111111111ln 1ln 1ln 1222x x x x x ax x x x x x +-+=-+=--++，101x <<…8分令31()ln 122x h x x x x =--++，(0,1)x ∈，所以231()ln 22x h x x '=--+……………………………………………………………9分记231()ln 22x p x x =--+，(0,1)x ∈，则2113()3x p x x x x-=-+=当03x <<时，()0p x '>，当13x <<时，()0p x '<…………………………10分所以max ()(1ln 033p x p ==-+<，所以()0h x '<……………………………11分所以()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0h x h >=，原题得证……………………12分解：（1）由题意可得'()(1),()xf x x a eg x x b '=++=+，………………………………（1分）则'(0)(0),1f g a b '=+= ，即21()()()()(1)2xF x f x g x e x a x a x a =-=+--+- ()(1)(1)(1)(1)x x F x e x a x a e x a '=++-++=-++……………………………………（3分）① 当1a =-时，()(1)xF x x e '=-，此时()F x 在(,)-∞+∞上递增； ②当1a >-时，当(,1)(0,)x a ∈-∞--+∞时，()0F x '>；当(1,0)x a ∈--时，()0F x '<；()F x 在(,1)(0,)a -∞--+∞、上递增，在(1,0)a --上递减；③当1a <-时，当(,0)(1,)x a ∈-∞--+∞时，()0F x '>；当(0,1)x a ∈--时，()0F x '<；()F x 在(,0)(1,)a -∞--+∞、上递增，在(0,1)a --上递减；…………………………………（6分）（2）由题意可得'()(1)0xf x x a e =++≥对(,2)ax b e ∈-恒成立，∵0xe >，∴10x a ++≥，即1x a ≥--对(,2)ax b e ∈-恒成立，∴1aa b e --≤-，即1ab e a ≥--对[]1,2a ∈恒成立，…………（7分）设()1ag a e a =--，[]1,2a ∈，…………（8分）则'()110ag a e e =->->，…………（9分） ∴()g a 在[]1,2上递增，…………（10分）∴2max ()(2)3g a g e ==-，∴23b e ≥-．…………（11分）又2a b e -<，∴232ae b e -≤<+．…………（12分） 3、【解答】解：（1）∵f （x ）=ax 2+lnx +1，∴=（x ＞0），①当a ≥0时，恒有f′（x ）＞0，则f （x ）在（0，+∞）上是增函数； ②当a ＜0时，当0＜x ＜时，f′（x ）＞0，则f （x ）在（0，）上是增函数；当x ＞时，f′（x ）＜0，则f （x ）在（，+∞）上是减函数．综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上是增函数；当a ＜0时，f （x ）在（0，）上是增函数，f （x ）在（，+∞）上是减函数．（2）由题意知对任意a ∈（﹣2，﹣1）及x ∈[1，2]时，恒有ma ﹣f （x ）＞a 2成立，等价于ma ﹣a 2＞f （x ）max ，∵a ∈（﹣2，﹣1），∴，由（1）知当a ∈（﹣2，﹣1）时，f （x ）在（1，2）上是减函数， ∴f （x ）max =f （1）=a +1，∴ma ﹣a 2＞a +1，即m ＜a ++1，∵y=a ++1在a ∈（﹣2，﹣1）上为增函数，∴﹣，∴实数m 的取值集合为{m |m}．4、【解答】解：（1）f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），f'（x ）=﹣=，令f'（x ）＞0得：x ＞k ﹣1，当k ﹣1≤﹣1即k ≤0时，f （x ）的单调递增区间是（﹣1，+∞）；当k ﹣1＞﹣1即k ＞0时，f （x ）的单调递减区间是（﹣1，k ﹣1）， f （x ）的单调递增区间是（k ﹣1，+∞）；（2）k ＞0时，由（2）得：f （x ）的单调递减区间是（﹣1，k ﹣1）， f （x ）的单调递增区间是（k ﹣1，+∞）；故f （x ）的最小值是f （k ﹣1）=g （k ）=lnk ﹣k +2，当0＜k 1＜k 2且k 1+k 2=2，则k 2=2﹣k 1，故0＜k 1＜1，g （k 1）﹣g （k 2）=lnk 1﹣k 1+2﹣ln （2﹣k 1）+2﹣k 1﹣2=ln﹣2k 1+2，令h （k ）=ln ﹣2k +2，（0＜k ＜1）， h′（k ）=＞0，故h （k ）在（0，1）递增，故h （k ）＜h （1）=0，故g （k 1）＜g （k 2）．5、解：（1）2'()x x e x e f x x -=，22222'(2)24e e e f -==且2(2)2e f =，所以切线方程22(2)24e e y x -=-，即24e y x =．（2）由()()ln 2G x xf x x x =--(0)x >，1'()2x G x e x=--．21''()0x G x e x=+>，所以'()G x 在(0,)+∞为增函数，又因为'(1)30G e =-<，25'(2)02G e =->，所以存在唯一0(1,2)x ∈，使0001'()20xG x e x =--=，即0012x e x =+且当0(0,)x x ∈时，'()0G x <，()G x 为减函数，0(,)x x ∈+∞时'()0G x >，()G x 为增函数，所以0min 0000001()()ln 22ln 2xG x G x e x x x x x ==--=+--，0(1,2)x ∈，记1()2ln 2H x x x x=+--，(12)x <<， 211'()20H x x x=---<，所以()H x 在(1,2)上为减函数，所以13()(2)2ln 24ln 222H x H >=+--=--，所以03()()ln 22G x G x ≥>--．6、(1)1,21)(1==+=a a x f 即 2分（2）由()()212g x f x x bx =+-，x x b x x g 1)1()(2+--=' 4分 1,1,01)1(,0)(21212=-=+=+--='x x b x x x b x x g 得到9100)1(122)(2122121221≥-=++=++=+b t t x x x x x x x x 5分9101021≤<<<<t t x x ，解上不等式得：即由 8分]91,0(),1(21ln )(∈--=t t t t t h (),021)(],91,0(22<--='∈t t t h t 10分3ln 2940)91()(min -==h t h 3ln 2940)()(21--∴最小值x g x g 12分7、【解答】解：（I ）函数f （x ）=x ﹣﹣lnx 的定义域为（0，+∞），且f′（x ）=1+﹣=①当△=1﹣4a ≤0，即a ≥时， f′（x ）≥0恒成立，故f （x ）在（0，+∞）为增函数． ②当△=1﹣4a ＞0，即0＜a ＜时，由f′（x ）＞0得，x 2﹣x +a ＞0，即x ∈（0，），或x ∈（，+∞）由f′（x ）＜0得，x 2﹣x +a ＜0，即x ∈（，）∴f （x ）在区间（0，），（，+∞）为增函数；在区间（，）为减函数．（II ）若f （x ）＞x ﹣x 2在（1，+∞）恒成立，则f （x ）﹣x +x 2=＞0在（1，+∞）恒成立，即a ＜x 3﹣xlnx 在（1，+∞）恒成立，令g （x ）=x 3﹣xlnx ，h （x ）=g′（x ）=3x 2﹣lnx ﹣1，则h′（x ）==，在（1，+∞）上，h′（x ）＞0恒成立，故h （x ）＞h （1）=2恒成立，即g′（x ）＞0恒成立，故g （x ）＞g （1）=1，故0＜a ≤1，即实数a 的取值范围为（0，1]． 8、解：（1）xexa x --='1)(ϕ，令0)(='x ϕ)2,1(1∈-=⇒a x )0,1(-∈⇒a ………3分又)(x ϕ在]1,1[a -上为单调递增，在]2,1[a -上单调递减，∴)(x ϕ为F 函数)0,1(-∈⇒a …………………………………………………4分（2）)()(432px x x x p x +++-='ϕ，],0[p x ∈)(x ϕ'⇒在],0[p 上为单调递减，……………………………………………………6分又0)0(>='p ϕ，0)(532<---='p p p p ϕ),0(0p x ∈∃∴，使得0)(0='x ϕ， )(x ϕ⇒在],0[0x 上为单调递增，在],[0p x 上单调递减，)(x ϕ⇒是],0[p 上的F 函数 ……………………………………………8分（3）)22)(12()(2t x x x x +--='ϕ 方程0222=+-t x x 的判别式为t 84-=∆ 当D £0即21≥t 时，0222≥+-t x x 恒成立，此时21≤x 时，0)(≤'x ϕ，)(x ϕ单调递减；21≥x 时，0)(≥'x ϕ，)(x ϕ单调递增；故)(x ϕ不是F 函数。

完整版)导数最新文科高考数学真题

完整版)导数最新文科高考数学真题1.曲线y=xex-1在点(1,1)处的切线斜率为2e。

(选项C)2.曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，因此a=3.(选项D)3.根据导函数y'=f'(x)的图象，确定函数y=f(x)的图象为B。

4.函数f(x)=2/x+lnx，其导数为f'(x)=-2/x^2+1/x。

解方程f'(x)=0，得到x=2为f(x)的极小值点。

(选项D)5.如果p:f(x)=q:x是f(x)的极值点，则p是q的必要条件，但不是充分条件。

(选项C)6.曲线y=x^3-x+3在点(1,3)处的切线方程为2x-y+1=0.7.曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴，因此k=-1.8.曲线y=ax-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，因此a=1/2.(选项1/2)9.曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为5x+y+2=0.10.曲线y=x+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，因此α=2.11.曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为4x-y-3=0.12.曲线y=e^x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，因此P的坐标为(-ln2,2)。

13.曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0，因此P的坐标为(e,e)。

14.函数y=-x^2没有明显的问题，但是缺少了后面的部分，因此无法确定答案。

15.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增，则k的取值范围是[1,+∞)。

16.函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为下凸的W 形，拐点为x=0.17.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切，则2a=8.18.函数y=xe在其极值点处的切线方程为y=-x/e。

19.已知函数f(x)=axlnx，其中a为实数，且f'(x)为f(x)的导函数，若f'(1)=3，则a的值为3.20.曲线y=x^2的在点(1,2)处的切线方程为x-y+1=0.21.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象为下凸的W形，则函数y=f(x)的图象可能是D。

十年真题(-)高考数学真题分类汇编专题04 导数及其应用理(含解析)-人教版高三全册数学试题

专题04导数及其应用历年考题细目表解答题2010 导数综合问题2010年新课标1理科21历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科05】函数f（x）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x），x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）f（x），∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（），因此排除B，C；故选：D．2．【2018年新课标1理科05】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．3．【2016年新课标1理科07】函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝y＝2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）＝2（﹣x）2﹣e|﹣x|＝2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x＝±2时，y＝8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）＝y＝2x2﹣e x，∴f′（x）＝4x﹣e x＝0有解，故函数y＝2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．4．【2015年新课标1理科12】设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）【解答】解：设g（x）＝e x（2x﹣1），y＝ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），∴当x时，g′（x）＜0，当x时，g′（x）＞0，∴当x时，g（x）取最小值﹣2，当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得a＜1故选：D．5．【2014年新课标1理科11】已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0）＝1；①当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）3•1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．6．【2012年新课标1理科10】已知函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：设则g′（x）∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）＝0∴f（x）0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）中，，能排除D．故选：B．【2012年新课标1理科12】设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）7．A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【解答】解：∵函数与函数y＝ln（2x）互为反函数，图象关于y＝x对称，函数上的点到直线y＝x的距离为，设g（x）（x＞0），则g′（x），由g′（x）0可得x≥ln2，由g′（x）0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x＝ln2时，函数g（x）min＝1﹣ln2，，由图象关于y＝x对称得：|PQ|最小值为．故选：B．8．【2011年新课标1理科09】由曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S．故选C．9．【2010年新课标1理科03】曲线y在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣2【解答】解：∵y，∴y′，所以k＝y′|x＝﹣1＝2，得切线的斜率为2，所以k＝2；所以曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1＝2×（x+1），即y＝2x+1．故选：A．10．【2019年新课标1理科13】曲线y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y＝3（x2+x）e x，∴y'＝3e x（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．11．【2013年新课标1理科16】若函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，则f（x）的最大值为．【解答】解：∵函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，∴f（﹣1）＝f（﹣3）＝0且f（1）＝f（﹣5）＝0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]＝0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]＝0，解之得，因此，f（x）＝（1﹣x2）（x2+8x+15）＝﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）＝﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）＝0，得x1＝﹣2，x2＝﹣2，x3＝﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2）、（﹣2，﹣2）上是增函数，在区间（﹣2，﹣2）、（﹣2，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2）＝f（﹣2）＝16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．12．【2010年新课标1理科13】设y＝f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i＝1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．13．【2019年新课标1理科20】已知函数f（x）＝sin x﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．【解答】证明：（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）＝cos x，f″（x）＝﹣sin x，令g（x）＝﹣sin x，则g′（x）＝﹣cos x0在（﹣1，）恒成立，∴f″（x）在（﹣1，）上为减函数，又∵f″（0）＝1，f″（）＝﹣11+1＝0，由零点存在定理可知，函数f″（x）在（﹣1，）上存在唯一的零点x0，结合单调性可得，f′（x）在（﹣1，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，可得f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＜f′（0）＝0，f（x）单调递减；当x∈（0，x0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＞f′（0）＝0，f（x）单调递增；由于f′（x）在（x0，）上单调递减，且f′（x0）＞0，f′（）0，由零点存在定理可知，函数f′（x）在（x0，）上存在唯一零点x1，结合单调性可知，当x∈（x0，x1）时，f′（x）单调递减，f′（x）＞f′（x1）＝0，f（x）单调递增；当x∈（）时，f′（x）单调递减，f′（x）＜f′（x1）＝0，f（x）单调递减．当x∈（，π）时，cos x＜0，0，于是f′（x）＝cos x0，f（x）单调递减，其中f（）＝1﹣ln（1）＞1﹣ln（1）＝1﹣ln2.6＞1﹣lne＝0，f（π）＝﹣ln（1+π）＜﹣ln3＜0．于是可得下表：x（﹣1，0）0 （0，x1）x1（）（）πf′（x）﹣ 0 + 0 ﹣﹣﹣﹣f（x）减函数 0 增函数大于0 减函数大于0 减函数小于0结合单调性可知，函数f（x）在（﹣1，]上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，f（x ）在（，π）上有且只有一个零点x2，当x∈[π，+∞）时，f（x）＝sin x﹣ln（1+x）＜1﹣ln（1+π）＜1﹣ln3＜0，因此函数f（x）在[π，+∞）上无零点．综上，f（x）有且仅有2个零点．14．【2018年新课标1理科21】已知函数f（x ）x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：a﹣2．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x ）1，设g（x）＝x2﹣ax+1，当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，判别式△＝a2﹣4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）≥0，即f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，）（，）（，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣f（x）递减递增递减综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，则f（x1）﹣f（x2）＝（x2﹣x1）（1）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），则2，则问题转为证明1即可，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，则lnx1﹣ln x1，即lnx1+lnx1＞x1，即证2lnx1＞x1在（0，1）上恒成立，设h（x）＝2lnx﹣x，（0＜x＜1），其中h（1）＝0，求导得h′（x）10，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x0，故2lnx＞x，则a﹣2成立．（2）另解：注意到f（）＝x alnx＝﹣f（x），即f（x）+f（）＝0，由韦达定理得x1x2＝1，x1+x2＝a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1，可得f（x2）+f（）＝0，即f（x1）+f（x2）＝0，要证a﹣2，只要证a﹣2，即证2alnx2﹣ax20，（x2＞1），构造函数h（x）＝2alnx﹣ax，（x＞1），h′（x）0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）＝0，∴2alnx﹣ax0成立，即2alnx2﹣ax20，（x2＞1）成立．即a﹣2成立．15．【2017年新课标1理科21】已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a＝0时，f′（x）＝﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）＝（2e x+1）（ae x﹣1）＝2a（e x）（e x），令f′（x）＝0，解得：x＝ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）＝2a（e x）（e x）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（x）min＝f（ln）＝a×（）+（a﹣2）ln0，∴1ln0，即ln1＞0，设t，则g（t）＝lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）1，由g（1）＝0，∴t1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a＝0时，f′（x）＝﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）＝（2e x+1）（ae x﹣1）＝2a（e x）（e x），令f′（x）＝0，解得：x＝﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）＝2a（e x）（e x）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x＝﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min＝f（﹣lna）＝1ln，当a＝1，时，f（﹣lna）＝0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1ln0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1ln0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）＝ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln（1），则f（n0）（a a﹣2）﹣n0n0n0＞0，由ln（1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．16．【2016年新课标1理科21】已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）＝（x﹣1）e x+2a（x﹣1）＝（x﹣1）（e x+2a），①若a＝0，那么f（x）＝0⇔（x﹣2）e x＝0⇔x＝2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x＝1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）＝a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2＝a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＝0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若a＜0，则ln（﹣2a）＜lne＝1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1＝0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x＝ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））＝[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2＝a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a，则ln（﹣2a）＝1，当x＜1＝ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a，则ln（﹣2a）＞lne＝1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x＝1时，函数取极大值，由f（1）＝﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）＝f（x2）＝0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a，令g（x），则g（x1）＝g（x2）＝﹣a，∵g′（x），∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m），设h（m），m＞0，则h′（m）0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）＝0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m＝1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）＝g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．17．【2015年新课标1理科21】已知函数f（x）＝x3+ax，g（x）＝﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y＝f（x）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．【解答】解：（i）f′（x）＝3x2+a．设曲线y＝f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）＝0，f′（x0）＝0，∴，解得，a．因此当a时，x轴为曲线y＝f（x）的切线；（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）＝﹣lnx＜0，∴函数h（x）＝min{f（x），g（x）}＜0，故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．当x＝1时，若a，则f（1）＝a0，∴h（x）＝min{f（1），g（1）}＝g（1）＝0，故x＝1是函数h（x）的一个零点；若a，则f（1）＝a0，∴h（x）＝min{f（1），g（1）}＝f（1）＜0，故x＝1不是函数h（x）的零点；当x∈（0，1）时，g（x）＝﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）＝3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f（0），f（1）＝a，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x时，f（x）取得最小值．若0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若0，即a，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若0，即，由f（0），f（1）＝a，∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：a时，函数h（x）有一个零点．当时，h（x）有一个零点；当a或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．18．【2014年新课标1理科21】设函数f（x）＝ae x lnx，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x），由题意可得f（1）＝2，f′（1）＝e，故a＝1，b＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝e x lnx，∵f（x）＞1，∴e x lnx1，∴lnx，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x，设函数g（x）＝xlnx，则g′（x）＝1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）．设函数h（x）＝xe﹣x，则h′（x）＝e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．19．【2013年新课标1理科21】已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）＝2，g（0）＝2，f′（0）＝4，g′（0）＝4，而f′（x）＝2x+a，g′（x）＝e x（cx+d+c），故b＝2，d＝2，a＝4，d+c＝4，从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）＝x2+4x+2，g（x）＝2e x（x+1）设F（x）＝kg（x）﹣f（x）＝2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）＝2ke x（x+2）﹣2x﹣4＝2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）＝0，得x1＝﹣lnk，x2＝﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）＝﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k＝e2，则F′（x）＝2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）＝0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）＝﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．20．【2012年新课标1理科21】已知函数f（x）满足f（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）x x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【解答】解：（1）f（x）＝f'（1）e x﹣1﹣f（0）x⇒f'（x）＝f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x令x＝1得：f（0）＝1∴f（x）＝f'（1）e x﹣1﹣x令x＝0，得f（0）＝f'（1）e﹣1＝1解得f'（1）＝e故函数的解析式为f（x）＝e x﹣x令g（x）＝f'（x）＝e x﹣1+x∴g'（x）＝e x+1＞0，由此知y＝g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）＝0得：函数f（x）＝e x﹣x的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）（a+1）x﹣b≥0得h′（x）＝e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y＝h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x＝ln（a+1）时，h（x）min＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）＝x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）＝x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x当x时，F（x）max即当a时，（a+1）b的最大值为21．【2011年新课标1理科21】已知函数f（x），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x），求k的取值范围．【解答】解：由题意f（1）＝1，即切点坐标是（1，1）（Ⅰ）由于直线x+2y﹣3＝0的斜率为，且过点（1，1），故即解得a＝1，b＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以）．考虑函数（x＞0），则．（i）设k≤0，由知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）＝0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得h（x）＞0从而当x＞0，且x≠1时，f（x）﹣（）＞0，即f（x）．（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，）时，（k﹣1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而h（1）＝0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）＝0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．综合得，k的取值范围为（﹣∞，0]．22．【2010年新课标1理科21】设函数f（x）＝e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a＝0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【解答】解：（1）a＝0时，f（x）＝e x﹣1﹣x，f′（x）＝e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）＝e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax＝（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）＝0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）＝e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）＝0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分与微积分基本定理.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数10()ln ,0x x f x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( ) A ．(21e -，0) B ．(12e -，0) C ．(0，12e ) D ．(0，21e ) 【答案】C【解析】由题意，函数10()ln ,0x x f x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，当0x >时，令()()0F x f x kx =-=，可得2ln x k x =，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln x g x x=有两个交点，又由()312ln x g x x -'=，令12ln 0x -=，可得x =当x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x =()max 12g x e =，若直线y k =和()2ln xg x x =有两个交点，则1(0,)2k e ∈，当0x <时，y k =和()1g x x =有一个交点，则0k >，综上可得，实数k 的取值范围是1(0,)2e ，故选C.2．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（） A ．2παβ+< B ．2παβ+= C ．αβ< D ．αβ>【答案】C【解析】由题意，sin sin βααβ>，sin sinαβαβ∴>，设()sin ,0,2xf x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()2cos sin ',0,2x x x f x x x π-⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，设()cos sin ,0,2g x x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()'cos sin cos sin 0g x x x x x x x ∴=--=-<，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且()()00g x g <=，()'0f x ∴<,所以()sin xf x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减，()()sin sin ,f f αβαβαβ>⇔>αβ∴<，故选C.3．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】 '()ln 2()=1a a x f x a x x f x x x-=-+⇒-=，当x a >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当0x a <<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，故max ()()ln 2f x f a a a a ==-+，又当0,()x f x →→-∞，所以函数()f x 的值域为(,ln 2]a a a -∞-+，令'()ln 2()ln 11ln ,t a a a a t a a a =-+⇒=+-= '1,()0a a Z t a >∈∴>因此()t a 是单调递增函数，因此当2,a a Z ≥∈时，()(2)2ln 20t a t ≥=>，令()ln 2f x a x x n =-+=由上可知：ln 2n a a a ≤-+，(())()y f f x f n ==，由上可知函数(n)f 在0x a <<时，单调递增，在x a >时，单调递减，要想(())()y f f x f n ==的值域为(,ln 2]a a a -∞-+，只需ln 2a a a a ≤-+，即ln 220a a a -+≥，设()ln 22g a a a a =-+，2,a a Z ≥∈，'()ln 1g a a =-，所以当3,a a Z ≥∈时，函数()g a 单调递增，(2)2ln 240,(3)3ln 340g g =-<=-<，(4)4ln 460,(5)5ln 580g g =-<=->，所以a 的最小值是5，故本题选A.4．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a c b d +-==+-，则22()()a c b d -+-的最小值为（）A ．8B ．4C ．2 D【答案】D【解析】 ln 12113a cb d +-==+- ln 11ln 1a b a b +∴=⇒=+，2113c d c d -=⇒=+- ∴可以看成()ln f x x =和()1g x x =+之间的最小值'1()f x x =∴当111x x=⇒=时，即点()1,0到直线()1g x x =+的距离最小∴d ==5．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】因为函数()ln f x x a x =，所以()1a f x x '==令()22g x x a =，因为()2g x '==，当(1,)x ∈+∞ 时，10,0>>，所以()0g x '>所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点.当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞，故答案选D.6．已知函数1()2x a f x e ax x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B ．,2eC ．3,2e D ．2,e【答案】D【解析】令2()()(21)x g x xf x x e ax a ==-+-，则()()()g x f x xf x ''=+，因为对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，所以()()()0g x f x xf x ''=+≥在(0,)x ∈+∞上恒成立；即()(21)20x g x x e ax '=++≥在(0,)x ∈+∞上恒成立；即(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立；令1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(0,)x ∈+∞，则22211(21)()2x x x x x h x e e e x x x +-⎛⎫'=-++= ⎪⎝⎭，由()0h x '=得2210x x +-=，解得1x =-（舍）或12x =，所以，当102x <<时，22(21)()0x x x h x e x +-'=<，1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减；当12x >时，22(21)()0x x x h x e x +-'=<，1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增；所以min 1()2h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭因为(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以只需2a -≤a ≥-故选D7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为() A ．(),2016-∞- B ．()2016,2012-- C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A【解析】设()()2g x x f x =，因为()f x 为R 上奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-，即()g x 为R 上奇函数对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦，而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 在R 上单调递增不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋()()()22018+201842x f x f +<--，()()()22018+201842x f x f +<即()()20182g x g +<所以20182x +<，解得2016x <-故选A 项.8．已知函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（）A ．-3B ．-2C ．-1D ．0【答案】D【解析】根据题意，函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，其导数24681012()1f x x x x x x x '=-+-+-+，0x ≠时，()f x '可以看成是1为首项，2x -为公比的等比数列，则有24681012()1f x x x x x x x '=-+-+-+142101x x +=>+，函数()f x 在R 上为增函数，又由111111(1)1(1)()()()035791113f -=+-+-+-+->， 35791113222222(2)1(2)035791113f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-+-+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 在(2,1)--上存在唯一的零点，设其零点为t ，(1)011f x x t x t ->⇒->⇒>+，又由21t -<<-，则110t -<+<，故不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为0；故选：D ．9．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____．【答案】1【解析】解：∵1ln y x =+，∴1y x'= 设切点为(,1ln )m m +，得切线的斜率为1m ，所以曲线在点(),1ln m m +处的切线方程为：1ln 1()y m x m m --=⨯-．即：1ln y m x m-= 它过原点，∴ln 0m -=，∴1m =，∴11a m==．故答案为：1．10．函数()2x f x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________．【答案】1a【解析】()21g x x x =--关于x 轴对称的函数为()21h x x x =-++，因为函数()2x f x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，所以()2x f x ae x =-与()21h x x x =-++的图象有交点，方程221x ae x x x -=-++有解，即1x ae x =+有解，0a =时符合题意，0a ≠时转化为()11x e x a=+有解，即()1,1x y e y x a==+的图象有交点， ()11y x a =+是过定点()1,0-的直线，其斜率为1a，设()1,1x y e y x a ==+相切时，切点的坐标为(),m m e ，则111m m e m ae a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，切线斜率为11a =，由图可知，当11a ≥，即1a ≤且0a ≠时，()1,1x y e y x a==+的图象有交点，此时，()2xf x ae x =-与()21h x x x =-++的图象有交点，函数()2xf x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，综上可得，实数a 的取值范围为1a ≤，故答案为1a ≤.11．已知函数()1xf x e =-，若存在实数,()a b a b <使得()()f a f b =，则2+a b 的最大值为________.【答案】32ln 27【解析】作出函数()1xf x e =-图像如下：由题意，令,a b 为方程()f x m =的两个根，由图像易得01m <<；由1xe m -=得1x e m =±，解得ln(1)x m =+或ln(1)x m =-，因为a b <，所以ln(1)b m =+，ln(1)a m =-，因此22ln(1)2ln(1)ln(1)(1)a b m m m m +=-++=-+，令232()(1)(1)1g m m m m m m =-+=--++，01m <<，则2()321(31)(1)g m m m m m '=--+=--+，因为01m <<，所以由()0g m '>得103m <<；由()0g m '<得113m <<，即函数()g m 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；所以2max11132()1133327g m g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此2+a b 的最大值为32ln 27. 故答案为32ln2712．已知实数a ，b ，c 满足2121a c b c e a b e +--+++≤（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．【答案】15【解析】设()(1)xu x e x =-+，则()1xu x e '=-，所以函数u(x)的增区间为（0，+∞），减区间为(-∞,0), 所以()(0)0u x u ≥=，即e 1x x ≥+；可知21121121a c b c e a c b a e c b +--++++--+=++≥，当且仅当210a c b c +=--=时取等；因为2121a c b c e a b e +--+++≤所以2121a c b c e a b e +--+=++，210a c b c +=--=．所以1,2c a c b +=-=，解得22222(1)51144245c c a b c c ++=+=++≥，当且仅当15c =时，取等号．故答案为：1513．已知直线x t =与曲线()()()ln 1,xf x xg x e =+=分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________【答案】1. 【解析】令()()()ln(1)th t g t f t e t =-=-+，1'()()()1t h t g t f t e t =-=-+，显然为增函数，且'(0)0h = 所以当(1,0)t ∈-时，'()0,()h t h t <单调递减；当(1,)t ∈+∞时，'()0,()h t h t >单调递增.所以min ()(0)1h t h ==. 故答案为1.14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____．【答案】2306x y π---=【解析】解：曲线cos y a x =，可得'sin y a x =-，曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，可得1sin62a π-=，所以1a =-. 所以切点坐标为：3(,)62π-，则切线l 的方程为：31226y x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 即：2306x y π---=．故答案为：2306x y π---=．15．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22- 【解析】作出()f x 的函数图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>，即1a >，不妨设12x x < ，则2212x x e ==(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=-()ln g t t =-'()g t = ∴当 18t <<时，()'0g t >，g t 在()1,8上递增；当8t 时，()'0g t <，g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，g t 取得最大值g(8)=ln82=3ln22--,故答案为3ln 22-.16．已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______. 【答案】0a <或2a > 【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过第二、三象限，当0x >时，33(1)2,2()(1)2,02x a x x f x x a x x ⎧---=⎨-++<<⎩，所以223(1),2()3(1),,02x a x f x x a x ⎧--=⎨-+<<⎩'，①若1a -时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解13x =<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在2⎫⎪⎪⎭上单调递增，又(2210f a ⎛=+=-> ⎝所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得x =2<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为21f ⎛= ⎝，令2102211f a a ⎛=<⇒>∴<< ⎝.211a ≥⇒≥时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得x =21113a <⇒≤<，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为(2)82f a =-，令8204a a -<⇒>，所以1113a ≤<；213a ≥⇒≥，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为2f =，显然20<，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >.17．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析【解析】（Ⅰ）函数()f x 可化为ln ,()ln ,0x x a x af x a x x x a --≥⎧=⎨--<<⎩，当0x a <<时，1()10f x x '=--<，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的，当x a ≥时，11()1x f x x x-=-='，此时要考虑a 与1的大小.若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减，在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增；当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以 222222ln 2ln 3ln 23n n+++22211111123n <-+-+-222111123n n ⎛⎫=--+++⎪⎝⎭11112334(1)n n n ⎛⎫<--+++⎪⨯⨯+⎝⎭11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭1(1)2(1)n n n -=--+ 2221(1)(21)2(1)2(1)n n n n n n --+-+==++.18．已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭.【答案】（1）当2a <-时，()f x 在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()210x ax f x x x'++=>，对于函数21y x ax =++，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++'∴=≥在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数；②当∆>0，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <x >，0<<()f x ∴在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数，当2a >时，由()210x ax f x x++'=>在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数．综上，当2a <-时，()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，22a a ⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）由（1）知2a <-，且1212,1x x a x x +=-=，故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭()()21222111222121211ln ln 222ln 2222x x x x ax x x ax x x x x a +⎛⎫+++++ ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21ln +228a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭故只需证明ln 1022a a⎛⎫----> ⎪⎝⎭，令2at =-，故1t >，原不等式等价于ln 1t t 对1t >成立，令1()ln (1),'()0t g t t t g t t，所以()ln (1)g t t t 单调递减，有()ln (1)(1)0g t t t g得证.19．已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值；（Ⅱ）若1()e f x e +对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[1,e] 【解析】（Ⅰ）当1a =时，()ln(1)1f x x x =+-+，定义域为(1,)-+∞. 1()111x f x x x -'=-=++. 令()0f x '=，得0x =.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以max ()(0)1f x f ==. （Ⅱ）()11a f x ax '=-+11ax a ax -+-=+，1x a >-.令()0f x '=，得1a x a-=.当11,a x a a -⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,a x a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以max 11()ln a f x f a a a -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 依题意有11ln e a a e ++，设1()ln (1)g a a a a =+，则22111()0a g a a a a-'=-=，所以()g a 在[1,)a ∈+∞上单调递增. 又1e 1(e)ln e e e g +=+=，故1e 1ln ea a ++()(e)g a g ⇔1e a ⇒，即实数a 的取值范围为[1,e].20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在()()f x g x +上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间()()f x g x +是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ （1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程；（2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值范围．【答案】（1）22y x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）(231,4,2164e e⎛⎤⎤ ⎦⎥⎝⎦【解析】（1）当2a =时，()()2ln 20f x x x x =->∴当0x >时，()22f x x '=-，则：()22f e e'=-，又()22f e e =- ()f x ∴在()(),e f e 处的切线方程为：()()2222y e x e e ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭即：22y x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤()()2,000ax xf x a x ⎧->⎪⎪∴=>⎨≤'列表如下：设函数()f x 存在“单调倍区间”是()()f x g x+①当0m n<≤时，由()f x 在(),0-∞上单调递减，则有2222a na m==()2n m =- 2=12=，代入2222a n a m ==得：12221222a n a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩要使此关于,m n 的方程组在0m n <≤时有解，则使得2y a =与()21202y x x x =-+≥的图象有两个公共点当14x =时，min 38y =，当0x =时，12y =结合两函数图象，则31282a <≤，即：31164a <≤ 即此时满足()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值范围是31,164⎛⎤⎥⎝⎦②当02a m n <<≤时，由()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则有 ln 22ln 22a m m m a n n n -=⎧⎨-=⎩即：1ln 41ln 4ma mn a n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设()ln 4x g x x =，则()21ln 4x g x x -'= 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数要使方程1ln 4x a x =有两解，则1y a =与()ln 4x g x x =的图象在0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦有两个交点结合两函数图象，则()212a e a g g e a ⎧>⎪⎪⎨⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，即：2ln 122114a ea a a a e ⎧>⎪⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪<⎪⎪⎩解得：242e a e <≤即此时满足()f x 存在“在单调倍区间”的a 的取值范围是(24,2e e ⎤⎦ ③当2a m n <<时，由()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则有ln 22ln 22a m m n a n n m -=⎧⎨-=⎩两式相减得：()ln ln 0a m n -=，此式不成立，即此时()f x 不存在“单调倍区间” 综上，函数()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值范围是(231,4,2164e e ⎛⎤⎤⎦⎥⎝⎦ 21．已知函数2()(0)4x x a f x e a x ++=⋅≥+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域. 【答案】(1)见解析；(2) 21(),24e h b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】解：（1）()f x 定义域为(,4)(4,)-∞--+∞，。

文科数学高考真题分类汇编导数的综合应用

6．（2014 新课标 2）设函数 f (x ) =
3 sin
x ．若存在 m
f
( x) 的极值点 x0
满足
x02 + f (x0 )2 m2 ，则 m 的取值范围是
A． (−, −6) (6,+)
B． (−,−4) (4,+)
C． (−,−2) (2,+ )
D． (−,−1)(1,+)
7．（2014 辽宁）当 x [−2,1] 时，不等式 ax3 − x 2 + 4x + 3 0 恒成立，则实数 a 的取值范
使 f ( f (b)) = b成立，则 a 的取值范围是（）
A．[1, e]
B．[1,1+ e]
C．[e,1+ e]
D．[0,1]
12．（2013 福建）设函数 f (x) 的定义域为 R，x0(x0 0) 是 f (x) 的极大值点，以下结论一
定正确的是
A．x R, f (x) f (x0)
则当 MN 达到最小时 t 的值为
A．1
1
B．
2
5
C．
2
2
D．
2
二、填空题
18．（2016 年天津）已知函数 f (x) = (2x+1)ex , f (x)为 f (x) 的导函数，则 f (0) 的值为____.
19．（2015 四川）已知函数 f (x) = 2x ， g(x) = x2 + ax(其中 a R)．对于不相等的实数
围是
A．[−5, −3]
B．[ −6, − 9] 8
C．[−6, −2]
8．（2014 湖南）若 0 x1 x2 1，则

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2012-2017 年高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版学科教师辅导教案学员姓名年级高三辅导科目数学授课老师课时数2h 第次课授课日期及时段2018 年月日：—：历年高考试题汇编（文）——导数及应用1．（2014 大纲理）曲线y xe x 1在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ）A ．2e B．e C．2D．12.(2014 新标 2 理) 设曲线 y=ax-ln(x+1) 在点 (0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a= （ D ）A. 0B. 1C. 2D. 33.( 2013 浙江文 ) 已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是 ( B )4．（2012 陕西文）设函数 f（x）= 2x +lnx 则（ D ）A ．x= 1为 f(x) 的极大值点B．x= 1为f(x) 的极小值点C．x=2 为 f(x) 的极大值点D．x=2 为 f(x) 的极小值点5.(2014 新标 2 文) 函数f (x)在x x0 处导数存在，若p : f ( x0 )0 ：q : x x0是 f ( x) 的极值点，则A ．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是 q 的必要条件C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件D. p既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件【答案】 C6．（2012 广东理）曲线y x3 x 3 在点 1,3 处的切线方程为___________________.【答案】 2x-y+1=07．（2013 广东理）若曲线y kx ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于x 轴，则k【答案】 -18．（2013 广东文）若曲线y ax2 ln x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴，则 a ．【答案】1 29 ． ( 2014 广东文 ) 曲线y 5 e x 3 在点 (0, 2) 处的切线方程为.【答案】 5x+y+2=010．（2013 江西文）若曲线 y= xα +1（α∈ R）在点（ 1，2）处的切线经过坐标原点，则α=。

【答案】 211.(2012 新标文 ) 曲线y x(3ln x 1)在点（1,1）处的切线方程为____4x y 3 0 ____12．（2014 江西理）若曲线y e x上点P处的切线平行于直线2x y 1 0 ，则点P的坐标是________.【简解】设 P(x,e-x )，e x =- e x =-2,解得 x=-ln2 ，答案 (-ln2,2) 13．（2014 江西文）若曲线y x ln x上点P处的切线平行于直线2x y 1 0, 则点 P 的坐标是_______.【简解】设 P(x,xlnx), xln x =1+lnx=2,x=e ，答案 (e,e) 14．（2012 辽宁文）函数 y= 12 x2㏑ x 的单调递减区间为（ B ）（A）（ 1,1]（B）（0,1]（C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）15．(2014 新标 2 文) 若函数f x kx lnx 在区间 1,单调递增，则 k 的取值范围是（ D ）（ A ）, 2 （ B）, 1 （ C）2, （D）1,16. (2013 新标 1 文) 函数f ( x) (1 cos x)sin x在[ , ] 的图象大致为（）【简解】y = sin 2 x (1 cos x) cos x =-2cos2x-cosx+1=(1+cosx)(1-2cosx)>0,-π/3<x< π/3；y =4cosxsinx+sinx，在 x=0 处为拐点。

选 C 17.（2015 年新课标 2 文）已知曲线y x ln x在点1,1 处的切线与曲线 y ax2 a 2 x 1 相切,则a=8．18.（2015 年陕西文）函数y xe x在其极值点处的切线方程为_____y1e _______.19. （2015 年天津文）已知函数 f x ax ln x, x 0,, 其中 a为实数 , f x 为 f x 的导函数,若 f 1 3 ,则a的值为3．20、(2017 ·全国Ⅰ文， 14)曲线 y＝x2＋1在点 (1,2)处的切x线方程为 ___x－y＋1＝0._____．21、(2017 ·浙江， 7)函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是 ( D )22、（2016 年天津高考）已知函数 f ( x) (2 x+1)e x , f ( x) 为 f (x) 的导函数，则 f (0) 的值为_____3_____.23、（2016 年全国 III卷高考）已知 f x为偶函数，当x 0时， f ( x) e x 1x ，则曲线y f x 在点(1,2)处的切线方程式______________y 2x _______________. 24．（2012 福建理）已知函数 f(x)＝e x＋ax2－ex， a∈R．(1)若曲线 y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线平行于 x 轴，求函数 f(x)的单调区间；【解析】 (1)由于 f′(x)＝e x＋2ax－e，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率 k＝2a＝ 0，所以 a＝0，即 f(x)＝e x－ex．此时 f′(x)＝e x－e，由 f′(x) ＝0 得 x＝1．当x∈(－∞，1)时，有 f′(x)＜ 0；当 x∈(1，＋∞ )时，有 f′(x)＞0．所以 f(x)的单调递减区间为 (－∞， 1)，单调递增区间为 (1，＋∞ )．25.(2013 新标 1 文) 已知函数f ( x) e x(ax b) x24x，曲线y f (x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y 4x 4 。

（Ⅰ）求 a, b 的值；（Ⅱ）讨论 f (x) 的单调性，并求 f ( x) 的极大值。

【简解】(1)f ′＝(x)e x(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0) ＝4，f′(0)＝4，故 b＝4，a＋b＝8.从而 a＝4，b＝4. (2)由(1)知， f(x) ＝4e x(x＋1)－x2－4x. f ′(x) ＝4e x(x＋2)－2x－4＝4(x＋2) e x－1 2 .当x∈(－∞，－ 2)∪(－ln 2，＋∞ )时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ ln 2)时， f′ (x)<0.故f(x) 在(－∞，－ 2)，(－ln 2，＋∞ )上单调递增，在(－2，－ ln 2)上单调递减．当x＝－ 2 时，函数 f(x) 取得极大值，极大值为 f( －2)＝4(1 －e－2) ．26.(2014 新标 1 文 ) 设函数f x a ln x 1 a x2 bx a 1 ，曲线2y f x 在点 1，f 1处的切线斜率为0。

求 b; ⑵若存在x01,使得a，求a的取值范围。

f x0a 1⑴【解析】（I ）f'(x)a(1 a) x b，由题设知f'(1) 0，解得b 1.x（2）函数 f（x）的定义域为（ 0，+∞），由（ 1）可知：f（x）=alnx+，∴=．①当 a时，则，则当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数 f（x）在（ 1，+∞）单调递增，∴存在 x0≥1，使得 f（x0）＜的充要条件是，即，解得；②当a＜1 时，则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数 f（x）在上单调递减；当 x∈时，f（′x）＞0，函数f（x）在上单调递增．∴存在 x0≥1，使得 f（x0）＜的充要条件是，而=+，不符合题意，应舍去．③若 a＞1 时， f（1）=，成立．综上可得： a 的取值范围是．27.( 2013 新标 2 理) 已知函数 f(x)＝ e x－ln( x＋m)．(1)设 x＝0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m≤2 时，证明 f(x)>0.【解析】 (1)f(x)＝ e x－ ln(x＋ m)? f′(x)＝e x－x＋1 m?f′(0)＝e0－1 ＝0? m＝1，定义域为{x|x>－1}，0＋mf′(x)＝e x－1＝e x x＋1－1，显然f(x)在(－1,0]上x＋m x＋1单调递减，在 [0，＋∞)上单调递增．28．（2013 北京文）已知函数f (x) x2x sin x cos x（1）若曲线y f ( x)在点(a, f ( a))处与直线y b相切，求a与b的值。

（2）若曲线y f ( x)与直线y b有两个不同的交点，求b的取值范围。

【解析】（1）f '(x) 2x x cos x x(2 cos x)，因为曲线y f ( x) 在点 (a, f (a)) 处的切线为y b所以f '(a)，即2a2a cosa 0，解得a 0f ( a) b aa sin a cosa bb 1（2）因为 2cosx 0，所以当 x时 f '( x) 0 ， f (x) 单调递增；当 x 0时 f '( x) 0 ， f ( x) 单调递减，所以当 x 0 时， f ( x) 取得最小值 f (0) 1，所以 b 的取值范围是 (1, )29．（2012 山东）已知函数 f ( x) ln x xk(k 为常数，e=2.71828⋯e是自然对数的底数 )，曲线 y f (x)在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行 .(Ⅰ)求 k 的值；(Ⅱ)求 f (x) 的单调区间；1 k【解析】 (I)f (x)ln xf (1)0 ，∴ k 1.x1 kee1ln x 1111(II) 由(I) 知，f ( x)xx.设ln x 1 ，则k ( x)0 ，即k( x)2k( x)在 (0,)上是减函数，由k(1) 0知，当 0x 1时 k( x) 0 ，从而 f ( x) 0 ，当 x 1时 k( x) 0 ，从而 f (x) 0 .综上可知，f (x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是 (1, ) .30. (2017 ·天津文， 10)已知 a ∈R ，设函数 f(x)＝ax －ln x的图象在点 (1，f(1))处的切线为 l ，则 l 在 y 轴上的截距为 _____1___．31.（2015 年新课标 2 文）已知 f xln x a 1 x.（I ）讨论f x的单调性；（ II ）当f x有最大值 ,且最大值大于 2a 2 时,求a的取值范围.x(e x－a)－a2x.32.(2017 ·全国Ⅰ文， 21)已知函数 f(x)＝e(1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x) ≥0，求 a 的取值范围．1．解(1)函数 f(x)的定义域为 (－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x －ae x－a2＝(2e x＋a)(e x－a)．①若 a＝0，则 f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．②若 a>0，则由 f′(x)＝0，得 x＝ln a.当x∈(－∞，ln a)时， f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时， f′(x)>0.故 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．a③若 a<0，则由 f ′(x)＝0，得 x ＝ln －2 .a当 x ∈ －∞，ln －2 时， f ′(x)<0；a当 x ∈ ln －2 ，＋ ∞时， f ′(x)>0.aa故 f(x)在－∞，ln －2 上单调递减，在 ln －2 ，＋ ∞上单调递增．(2)①若 a ＝0，则 f(x)＝e 2x，所以 f(x) ≥0.②若 a>0，则由 (1)知，当 x ＝ln a 时， f(x)取得最小值，最小值为 f(ln a)＝－ a 2ln a ，从而当且仅当－ a 2ln a ≥0，即 0＜a ≤1时， f(x) ≥ 0.a③若 a<0，则由 (1)知，当 x ＝ln －2 时，f(x)取得最小值，最小值为 fln －a＝a 23－ln －a，从而当且仅当2 4 2a2 3 a34－ln －2 ≥0，即 a ≥－2e 4时 f(x) ≥ 0.3综上， a 的取值范围是 [－2e 4，1]．33、（2016 年北京高考）设函数 f x x3ax2bx c.（I ）求曲线y f x .在点0, f 0处的切线方程；（II ）设a b 4，若函数f x有三个不同零点，求 c 的取值范围；解：（I ）由f x x3 ax2 bx c ，得 f x 3x2 2ax b ．因为 f 0 c ， f 0 b ，所以曲线（II ）当y f x在点 0, f 0 处的切线方程为 y bx c ．a b 4时， f x x3 4x2 4x c ，所以 f x 3x2 8x 4．令 f x 0 ，得 3x2 8x 4 0 ，解得x 2 或x 32．f x与 f x 在区间, 上的情况如下：x , 2 22 2 2 2,3,3 3f x 0 0f x Z c ] c 32Z 27所以，当 c 0 且c 32 0 时，存在x1 4, 2 ， x2 2, 2 ，27 3x3 2,0 ，使得 f x1 f x2 f x3 0 ．3由 f x 的单调性知，当且仅当 c 0, 32 时，函数 f x x3 4x2 4x c27有三个不同零点．34、（2016 年全国 II 卷高考）已知函数 f ( x) ( x 1)ln x a( x 1) .（I ）当a 4 时，求曲线y f ( x) 在1, f (1) 处的切线方程；（Ⅱ）若当 x 1, 时， f ( x)＞0 ，求 a 的取值范围 . 解析：（I ） f ( x) 的定义域为 (0, ) .当 a 4 时，1 f ( x) ( x 1)ln x 4( x 1), f ( x)ln x3 ， f (1)2, f (1) 0.x所以曲线 y f ( x)在 (1, f (1))处的切线方程为 2 xy 20.（II ）当 x(1, )时， f ( x) 0a( x 1) 0.等价于 ln xx 1令 g(x) ln xa( x 1)，则 12ax 2 2(1 a) x 10 ，g (x)2x( x 1) 2, g(1)x 1x (x 1)（i ）当 a 2 ， x (1, ) 时， x 22(1 a) x 1 x 22x1 0，故 g (x) 0, g(x) 在 x (1,)上单调递增，因此 g ( x)；（ii ）当 a 2 时，令 g (x) 0得 x 1a 1( a 1)2 1, x 2 a 1 (a1)2 1 ，由x 2 1和 x 1 x 2 1 得 x 11，故当 x (1,x 2 ) 时， g ( x) 0 ， g( x) 在 x(1,x 2 )单调递减，因此 g( x) 0 .综上， a 的取值范围是,2 .35．(2017 ·北京文， 20)已知函数 f(x)＝e xcos x －x.(1)求曲线 y ＝f(x)在点 (0，f(0))处的切线方程；π(2)求函数 f(x)在区间 0，2 上的最大值和最小值．4．解(1)因为 f(x)＝e x cos x －x ，所以 f ′(x)＝e x(cos x －sin x)－1，f ′ (0)＝0.又因为 f(0)＝1，所以曲线 y ＝f(x)在点 (0，f(0))处的切线方程为 y ＝1.(2)设 h(x)＝ e x (cos x －sin x)－1，则 h ′(x)＝e x(cos x －sin x－sin x－cos x)＝－ 2e x sin x.当 x∈，π时， h′(x)＜0，所以 h(x)在区间，π上单调2 0 2 递减，所以对任意 x∈ 0，π2有 h(x)＜h(0)＝0，即 f′(x)＜0，所π以函数 f(x)在区间 0，2上单调递减，ππ因此 f(x)在区间 0，2上的最大值为 f(0)＝1，最小值为 f 2 π＝－2.36．(2017 ·山东文， 20)已知函数 f(x)＝13x3－21ax2，a∈R.(1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点 (3，f(3))处的切线方程；(2)设函数 g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论 g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．6．解(1)由题意 f ′(x)＝x2－ax，所以当 a＝2 时， f(3) ＝0，f′(x)＝x2－2x，所以 f′(3)＝3，因此曲线 y＝f(x)在点 (3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即 3x－y－9＝0.37、(2016 新课标 1) 已知函数 f(x)=(x -2)e x +a(x -1)2.(Ⅰ )讨论 f(x)的单调性； (Ⅱ )若有两个零点，求 a 的取值范围 . 解： (Ⅰ ) f '(x)=(x -1)e x +a(2x -2)=(x -1)(e x +2a). x ∈ R ⋯2 分 (1)当 a ≥0 时，在 (-∞,1)上， f '(x)<0， f(x)单调递减； ⋯ 分在(1,+∞)上， f，f(x) 单调递增。

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