浙江大学2005—2006学年 数理统计
概率论与数理统计-浙江大学数学系
定理5.2 契比雪夫定理的特殊情形 ： 设随机变量序列X 1 , X 2 , , X n , 相互独立，且具有相同的 数学期望 和相同的方差 2，作前n个随机变量的算术平均： Yn 1 X k , n k 1
n
则 0，有：
1 n lim P Yn lim P X k 1. n n n k 1 n 1 P 即， X k . n k 1 1 n 证明：由于E Yn E X k 1 n , n k 1 n 2 1 n 1 n 2 1 D Yn D X k 2 D X k 2 n n n n k 1 n k 1
师介绍——》统计研究所——》张彩伢
►
2
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词： 契比雪夫不等式
大数定律 中心极限定理
3
§1 大数定律
背景
本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式
4
定理5.1 契比雪夫不等式 ：设随机变量X 具有数学期望E X , 方差D X 2
此外，定理中要求随机变量的方差存在，但当随 机变量服从相同分布时，就不需要这一要求。
定理5.3 辛钦定理 ： 设随机变量序列X 1 , X 2 , , X n , 相互独立，服从同一分布， 且存在数学期望，作前n个随机变量的算术平均：Yn 1 X k n k 1 则 0，有： 1 n lim P Yn lim P X k 1. n n n k 1
§2 中心极限定理
背景：
有许多随机变量，它们是由大量的相互独立 的随机变量的综合影响所形成的，而其中每 个个别的因素作用都很小，这种随机变量往 往服从或近似服从正态分布，或者说它的极 限分布是正态分布，中心极限定理正是从数 学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的 时期内曾是概率论研究的中心课题。
【免费哦】浙江大学版的概率论与数理统计
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浙江大学2005年各专业录取比率
海洋生物学
7
3
070704
海洋地质
2
0
070901
矿物学、岩石学、矿床学
1
3
070902
地球化学
4
2
070904
构造地质学
71
52
071001
植物学
47
23
071002
动物学
7
5
071003
生理学
20
6
071005
微生物学
84
17
071006
神经生物学
16
7
071007
遗传学
38
11
071009
6
2
090502
动物营养与饲料科学
95
31
090504
特种经济动物饲养
25
9
090601
基础兽医学
12
1
090602
预防兽医学
60
19
090603
临床兽医学
10
4
090706
园林植物与观赏园艺
71
10
100101
人体解剖与组织胚胎学
1
2
100102
免疫学
73
11
100103
病原生物学
13
3
100104
电力系统及其自动化
171
42
080803
高电压与绝缘技术
6
0
080804
电力电子与电力传动
157
49
080805
电工理论与新技术
34
12
080901
物理电子学
(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结.
1
概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结
当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B)
P ( AB) 为事件 A 发生条 P ( A) P ( AB) （ 12 ） 条 件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P( B / A) 。 件概率 P ( A) 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P( AB) P( A) P( B / A) （ 13 ） 乘 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有 P( A1 A2 … An ) P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) …… P( An | A1 A2 … 法公式 An 1) 。
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为
A-B， 也可表示为 A-AB 或者 A B ， 它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
1
概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同
p
k
；
f ( x)dx
。
P(X=1)=p, P(X=0)=q
1
概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结
二项分布
在 n 重贝努里试验中， 设事件 A 发生的概率为 p 。 事件 A 发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为
0,1,2,, n 。
k k nk P( X k ) Pn(k ) Cn p q
F ( ) lim F ( x) 0 ，
概率论与数理统计课后答案(浙江大学版)
P(
A
B),
P(
A
B),
P(
___
AB),
P[(
A
B)(
___
AB)]
。
解： P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.625，
P(AB) P[(S A)B] P(B) P(AB) 0.375 ，
___
P(AB) 1 P(AB) 0.875 ，
___
P[(A B)(AB)] P[(A B)(S AB)] P(A B) P[(A B)(AB)] 0.625 P(AB) 0.5
每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一
2
概率论与数理统计及其应用习题解答
特定的销售点得到 k(k n) 张提货单的概率。
解：根据题意， n(n M ) 张提货单分发给 M 个销售点的总的可能分法
有 M n 种，某一特定的销售点得到 k(k n) 张提货单的可能分法有
C
k n
6 7 5 4 840 0.0408。
11 12 13 12 20592
9，一只盒子装有 2 只白球，2 只红球，在盒中取球两次，每次任取 一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另
一只也是红球的概率。
解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件 A ，“另一只
也是红球”记为事件 B 。则事件 A 的概率为
P(N1
|
M)
P( N1 )P(M P(M )
|
N1 )
0.6 0.01 0.025
0.24
，
P( N 2
|
M)
P(N2 )P(M P(M )
|
N2)
概率论与数理统计答案浙江大学主编
概率论与数理统计答案浙江大学主编第一章概率论的基本概念注意：这是第一稿（存在一些错误）1解：该试验的结果有9个：（0，a），（0，b），（0，c），（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c）。
所以，（1）试验的样本空间共有9个样本点。
（2）事件A包含3个结果：不吸烟的身体健康者，少量吸烟的身体健康者，吸烟较多的身体健康者。
即A所包含的样本点为（0，a），（1，a），（2，a）。
（3）事件B包含3个结果：不吸烟的身体健康者，不吸烟的身体一般者，不吸烟的身体有病者。
即B所包含的样本点为（0，a），（0，b），（0，c）。
2、解（1）AB BC AC或ABC ABC ABC ABC；（2）AB BC AC（提示：题目等价于A，B，C至少有2个发生，与（1）相似）；（3）ABC ABC ABC；（4）A B C或ABC；（提示：A，B，C至少有一个发生，或者A B C，，不同时发生）；3（1）错。
依题得()()()()0=BApABp ,但空集p-p+=BAA ，≠B故A、B可能相容。
（2）错。
举反例（3）错。
举反例（4）对。
证明：由()6.0=p,()7.0=B p知A()()()()()3.0ApBpp,即A和B交非AABpB=-3.1>+-pA=B空，故A和B一定相容。
4、解（1）因为A B，不相容，所以A B，至少有一发生的概率为：P A B P A P B=+()()()=0.3+0.6=0.9(2) A B，都不发生的概率为：=-=-=；()1()10.90.1P A B P A B（3）A不发生同时B发生可表示为：A B，又因为A B，不相容，于是==；P A B P B()()0.65解：由题知()3.0=ABCP.,()05.0=ABACpBC因()()()()()-AB+p2=AC得，+ABBCpBCpABCppAC()()()()4.0ACpppBCAB3.0=+2=++ABCp故A,B,C 都不发生的概率为 ()()C B A p C B A p -=1 ()()()()()()()()[]ABC p BC p AC p AB p C p B p A p +++-++-=1()05.04.02.11+--=15.0=.6、解 设A ={“两次均为红球”}，B ={“恰有1个红球”}，C ={“第二次是红球”}若是放回抽样，每次抽到红球的概率是：810，抽不到红球的概率是：210，则（1）88()0.641010P A =⨯=； （2）88()210.321010P B =⨯⨯-=（）； （3）由于每次抽样的样本空间一样，所以：8()0.810P C ==若是不放回抽样，则（1）2821028()45C P A C ==； （2）118221016()45C C P B C ==； （3）111187282104()5A A A A P C A +==。
浙大概率论与数理统计课件-数理统计
结语
数理统计是必学科目
数理统计是一门重要的学科， 它不仅可以帮助我们更深入地 理解世界，还可以用于分析数 据、解决实际问题，是必学的 科目之一。
数据从未像今天这样重要
随着互联网和信息技术的飞速 发展，数据已经成为了每个领 域都无法绕过的重要资源，学 好数理统计，可以让你在数据 分析领域有更大的发展空间。
应用
数理统计可以用于经济学、医学、心理学、 天文学、生态学、社会学等领域，帮助人们 更好地理解世界。
起源
数理统计起源于19世纪，是为了解决政府、 国家和天文学家等领域的实际问题而发展出 来的。
工具
数理统计的工具包括概率论、数理逻辑、微 积分等，这些工具可以用于解决贝叶斯网络 等问题。
抽样方法与抽样分布
数理科学让世界更美好
数理科学的发展，极大地推动 了人类社会的进步，它有着广 泛的应用领域和深远的影响力， 让我们一同探索这个神奇的世 界吧！
参数估计
1
区间估计
2
区间估计是指用样本统计量构造总体
参数估计区间的一种方法，常用的有
正态分布区间估计、t分布区间估计等。
3
点估计
点估计是指用样本统计量来估计总体 参数的一类估计方法，如样本均值、 样本方差等。
最大似然估计
最大似然估计是一种基于概率模型的 参数估计方法，它将样本观测值的出 现概率作为估计量的基础，估计出最 优参数值。
浙大概率论与数理统计课 件-数理统计
本课程介绍数理统计中的基本概念、抽样方法、参数估计、假设检验、方差 分析以及回归分析和相关分析等内容。通过学习本课程，您将掌握基础的统 计方法以及如何将它们应用于实际问题。
什么是数理统计？
定义
数理统计是应用数学方法处理大量数据的学 科，它研究如何收集、处理和分析数据，并 对数据中不确定性进行估计。
浙大第5版概率论与数理统计
浙大第5版概率论与数理统计
《浙大第5版概率论与数理统计》是浙江大学统计学系编写的一本概率论与数理统计教材，是浙大统计学系著名的课程教材之一。
该书的作者是严立华、赵学功和赵旭阳等。
该教材主要包含了概率论和数理统计的基本内容，内容丰富、系统性强，适合作为本科生和研究生的教材使用。
书中既包含了基础理论，如概率空间、随机变量、概率分布等，也包含了一些应用领域的内容，如参数估计、假设检验等。
该教材的特点之一是对概念解释清晰、推导严格，在讲解概率论与数理统计的基本理论时，注重理论的抽象性和应用性的统一性，以便学生能够更好地掌握和应用相关的知识。
此外，该书还包含了大量的例题和习题，方便学生巩固和加深对知识的理解。
总体来说，《浙大第5版概率论与数理统计》是一本深入浅出、全面系统的教材，适合统计学和相关专业的学生学习和参考。
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浙江大学2005—2006学年夏学期
<数理统计>课程期终试卷
一.填空题:(方差分析表中每格1分,其它每格3分 共36分)
1. 某种型号的器件的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度: 现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立),任取n 只,
表示n 只中寿命大于3000小时的器件数,当
时, 依概率收敛于1/3, 0.8413
2.设总体 是X 的样本, 是相应样本的均值和样本方 差,则
3.设正态总体 中抽取两个独立的样本
分别表示相应样本的 均值和方差,则 分布(写出参数); 分布;
已知
则a= 8 ;若用
则是否认为 比 更有效呢?否 (答是否).
4.在某高校,随机抽取了四个年级共61名学生, 对他们的生活费支出作问卷调查.要考察不同
年级同学月生活费水平之间是否显著差异,设 数据符合单因素方差分析模型所要求的条件,
在 a =0.01下,不同年级学生的月生活费水平是否有显著差异?说明理由.
答：有显著差异,因为
()⎪⎩⎪⎨⎧>=其它
,100010002x x x f n Y ∞→n n
Y
n ()≈≤2050Y P ()54321,,,,,,,0~X X X X X U X θ2,S X ()
()
()12;154;22
2
22θθθ=
==S E X E X E ()2,σμN ()()2
2
2
112,161,,...,...，S Y S X Y Y X X 与与()()626
122χσμ服从∑=-i i X ()
()5,1621
2
F S X 服从μ-()16~1152221t S S Y
X a +-，X X X μμ
来估计参数和3
2ˆ2
1+=μˆX ()15.457,311.1701.0=>F F 比
二.(14分)设总体
其中, 均为未知参数.已知取到了样本值0,2,1,0,0,2,1,2.试求 的矩估计和最大似然估计.
解:矩估计:
令
最大似然估计:
三.(14分)用金球测定引力常数(单位略)
共测量6次,测得样本均值和样本标准差分别为; 设测定值总体为 (1)求 的置信水平为0.95的置信区间 (结果保留四位小数);
(2)检验假设: (1) 置信区间为:
(2)拒绝域为:
四.(12分)一袋中有红球和白球若干,采用放回抽 样,直到取到红球为止,设X 表示取球的次数.对X
独立重复观察了162次,其中:X=1有100次,X=2 有42次,X=3有16次,X 大于等于4有4次.
(1)填下表;
(2)在显著性水平 λθλθλθ,,1,0,0<+>>λθ,()()⎩⎨⎧--=--=λθλθ344222X E X E ()
()⎩⎨⎧==22X E A X E x 83ˆ41ˆ==θλ得()()
()()8
3ˆ,
41ˆ0
132
,ln 0133
,ln 1,3
2
3
=
==---
=
∂∂=---=∂∂--=θλλ
θλ
λλθλ
θθ
θλθλθλθλθ解得
L L L .003869.0,6782.6==s x ().,,,2
均未知σμσμN μ()1.0002.0:,
002.0:2
120=≠=ασσ取H H μ()()6823.6,6741.65025
.0n s t x ±()()()()()()()222
22022
05.0295.02
05.02
2295.0202
002
.0711.18002.0003869.051071
.115,145.1551,51≠=⨯=-==≥-≤-σσχχχσχσ认为拒绝原假设，S n S n OR S n ，
X H ，服从几何分布
检验下:05.00=α(),...
2,1,31321
=⎪⎭
⎫
⎝⎛==-k k X P k 分布律为
五.(12分)槲寄生是一种在大树上部树支上的寄生植物.x 表示大树的年龄(年),Y 表示每株大树上槲寄生的株数的对数值. 有样本观察值如下:
解：
六.设总体X 的概率密度为
解： ().
815.735926.31626
4121642421081000205
.02
2224
122服从几何分布
认为接受原假设
X H n np f i i i ==-+++=-=∑=χχ()
2
,~σbx a N Y +9
.142,49,22532.18,99:8
1
8
128
1
2
8
1
81
=====∑∑∑∑∑=====i i i i i
i i
i i i i y x y x y x 计算得()()().
ˆ2;
,ˆ,ˆ,122
结果保留三位小数的无偏估计的线性回归方程关于的最小二乘估计参数求σ
σx Y b a b a ()()
168
.02
ˆ009.1ˆ2080.0266.3ˆ266.3ˆˆ080
.0ˆ325.82875.10212
=-==-=-==-=-==-==n Q S b S Q x y
b X Y a
S S b
S S e xy yy e xx
xy xy xx σ
()⎪⎩
⎪⎨⎧<<=其它
,
00,22θθx x x f ，
X X X X n 的样本是,...,,21()()()()()()
.
,...,ˆ2;
,
...,ˆ12
121估计量一致
的相合是否为并判断估计量的定义
一致的相合叙述
的无偏估计量并判断它是否为的矩估计量
求θθθθθθn n X ，X X ，
X ，，X X ()()
()()
()
8ˆ08ˆ2ˆ2
3ˆ12
2
2
→≤
≥-≤=
==
n
P n
D E X
εθ
εθθθ
θθ
θθ写出相合性定义。