第四讲多边形和中心对称图形
多边形的不规则多边形与轴对称形的对称中心
多边形的不规则多边形与轴对称形的对称中心多边形是由一系列线段相连而成的几何图形。
根据其边长和角度的不同，多边形可以分为规则多边形和不规则多边形。
在这篇文章中，我们将探讨不规则多边形及其与轴对称形的对称中心之间的关系。
一、不规则多边形的定义和特征不规则多边形是指边长和内角均不相等的多边形。
与规则多边形相比，不规则多边形没有明确的对称轴，使得它看起来更加复杂和不规则。
不规则多边形可以有不同数量的边和角，但每个角的度数和它所对应的边的长度都可能不同。
这使得不规则多边形的边和角的测量变得更加复杂。
二、不规则多边形的对称中心是什么不规则多边形的对称中心是指把多边形分为两部分时，两部分在对称中心处重合的点。
对称中心可以是多边形内部的点，也可以是多边形外部的点。
它使得多边形的两部分在空间上达到对称的效果。
不规则多边形的对称中心可以通过多种方法求得。
其中一种方法是通过使用直线或平面对称来找到多边形的轴对称形。
轴对称形是指通过某一条轴对多边形进行镜像变换所形成的图形。
三、轴对称形与不规则多边形的对称中心的关系轴对称形的对称中心与不规则多边形的对称中心之间存在密切的关系。
对称中心是在多边形中找到的重合点，而轴对称形的对称中心是通过镜像变换找到的。
通过对不规则多边形进行轴对称，我们可以找到一条轴，使得多边形的两部分在该轴上对称。
若这条轴过不规则多边形的对称中心，那么对称中心也是轴对称形的对称中心。
四、多边形的不规则多边形和轴对称形的对称中心举例让我们通过一个例子来更好地理解不规则多边形和轴对称形的对称中心之间的关系。
假设我们有一个不规则四边形ABCD，边长和内角均不相等。
我们通过连接对角线AC和BD，得到点E。
我们可以发现，点E是四边形ABCD的对称中心。
接下来，我们通过以对角线AC为轴，将四边形ABCD进行镜像变换。
我们可以得到轴对称形A'C'D'E'。
我们可以发现，点E也是轴对称形A'C'D'E'的对称中心。
多边形的对称中心和对称轴
多边形的对称中心和对称轴多边形是几何学中一个常见的图形，它有着各种各样的形状和特性。
在研究多边形的性质时，了解其中的对称中心和对称轴是非常重要的。
本文将为您介绍多边形的对称中心和对称轴的概念、性质及其在几何学中的应用。
一、对称中心的概念与性质对称中心是指多边形内部一个点，该点关于多边形的每条对称轴都对称。
换句话说，对称中心是多边形中所有对称轴的交点。
对称中心通常用字母O来表示。
对称中心的性质有以下几点：1. 对称中心到多边形各顶点的距离相等。
2. 对称中心到多边形各边的距离相等。
3. 对称中心所在的直线将多边形分为对称的两部分。
通过对称中心的性质，我们可以利用对称中心来判断多边形的对称性，以及计算多边形各边和各顶点之间的距离。
二、对称轴的概念与性质对称轴是指多边形中的一条直线，通过这条直线将多边形分为两个对称的部分。
对称轴既可以是多边形的边，也可以是连接多边形两个不同顶点的线段。
对称轴的性质有以下几点：1. 对称轴是多边形的对称线，通过对称轴将多边形折叠后可以完全重合。
2. 多边形的对称轴可以有多条，且长度可以不相同。
3. 对称轴上的任意一点到多边形的各边距离相等。
通过了解对称轴的性质，我们可以找出多边形中的所有对称轴，并利用对称轴来判断一个图形是否是多边形。
三、对称中心与对称轴的应用对称中心和对称轴在几何学中有着广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：1. 判断多边形的对称性：通过找到多边形的对称轴和对称中心，可以确定多边形是否具有对称性。
如果多边形存在对称轴和对称中心，则它是一个对称多边形，否则是一个非对称多边形。
2. 计算多边形内部其他点的坐标：已知多边形的对称中心和一点的坐标，可以通过对称性质计算出多边形内部其他点的坐标。
3. 作图：利用对称中心和对称轴的性质，可以在纸上精确地画出对称多边形，实现几何图形的构建。
总结：对称中心和对称轴是多边形的重要概念，它们的性质有助于我们判断多边形的对称性、计算多边形内部其他点的坐标以及进行几何图形的绘制。
多边形的对称性与对称中心
多边形的对称性与对称中心多边形是几何学中常见的图形之一，具有丰富的性质和特点。
其中之一就是对称性，对称中心是多边形对称性的重要概念。
本文将探讨多边形的对称性以及对称中心的相关知识。
一、多边形的对称性多边形是由一系列线段连接而成的图形，具有良好的对称性。
对称性指的是存在一条直线（称为对称轴）或一个点（称为对称中心），使得多边形关于这条直线或点对称。
对称的多边形在视觉上具有平衡感，常见于自然界和艺术作品中。
1.1 轴对称多边形轴对称多边形是指存在一条对称轴，使得多边形的每个点关于这条轴对称。
例如，正方形、长方形和正五边形就是轴对称多边形。
在这些多边形中，对称轴通常是从多边形的重心到对边的中点或者从顶点到对边的垂直平分线。
1.2 中心对称多边形中心对称多边形是指存在一个对称中心，使得多边形的每个点关于这个中心对称。
对称中心可以在多边形的内部、边上或者外部。
例如，正三角形、正六边形和正八边形就是中心对称多边形。
对称中心通常是多边形的重心、垂心或外心。
二、多边形的对称中心多边形的对称中心是多边形对称性的重要特征，可以帮助我们研究和绘制多边形。
不同类型的多边形拥有不同的对称中心。
2.1 三角形的对称中心对于任意三角形ABC，存在三种常见的对称中心，分别是重心G、垂心H和外心O。
重心G是三角形三条中线的交点，垂心H是三角形三条高线的交点，外心O是三角形外接圆的圆心。
在三角形中，这三个对称中心通常不重合，但在特殊的等边三角形中它们是重合的。
2.2 四边形的对称中心对于任意四边形ABCD，可以存在两种对称中心，分别是重心G和对角线交点O。
重心G是四边形的中线中点的交点，对角线交点O是四边形对角线的交点。
在某些特殊的四边形中，比如矩形和正方形，对称中心重合于一个点。
2.3 多边形的对称中心对于一般的多边形，它的对称中心可以是重心、内心、外心或特定边上的某一点。
多边形的对称中心有助于我们在绘制和讨论多边形时确定其位置和性质。
初中数学 如何判断一个多边形是否具有中心对称性和轴对称性
初中数学如何判断一个多边形是否具有中心对称性和轴对称性
要判断一个多边形是否具有中心对称性和轴对称性，可以按照以下步骤进行：
1. 中心对称性的定义：一个多边形具有中心对称性，意味着它可以通过某个点进行旋转180度，使得多边形在旋转后与原来完全重合。
2. 轴对称性的定义：一个多边形具有轴对称性，意味着它可以通过某条直线进行镜像反射，使得多边形在镜像反射后与原来完全重合。
3. 中心对称性的判断方法：可以通过以下步骤来判断一个多边形是否具有中心对称性：
-找到多边形的旋转中心点，即关于哪个点进行旋转180度。
-将多边形沿旋转中心点进行旋转180度，然后观察旋转后的多边形与原来的多边形是否完全重合。
如果重合，则多边形具有中心对称性。
4. 轴对称性的判断方法：可以通过以下步骤来判断一个多边形是否具有轴对称性：
-找到多边形的镜像轴，即关于哪条直线进行镜像反射。
-将多边形沿镜像轴进行镜像反射，然后观察镜像反射后的多边形与原来的多边形是否完全重合。
如果重合，则多边形具有轴对称性。
需要注意的是，中心对称性和轴对称性通常是独立的，一个多边形可以具有中心对称性但没有轴对称性，或者具有轴对称性但没有中心对称性。
另外，有些多边形既具有中心对称性，又具有轴对称性，这种多边形称为正多边形。
正多边形的旋转中心点和镜像轴可以重合，即正多边形可以同时具有中心对称性和轴对称性。
中心对称图形(优质课比赛课件)
目录 Contents
• 中心对称图形的定义与性质 • 中心对称图形的分类与特点 • 中心对称图形的性质证明 • 中心对称图形在日常生活中的应用 • 中心对称图形的美学价值 • 中心对称图形的拓展与思考
01
中心对称图形的定义与性质
定义
总结词
中心对称图形是指关于某一点对称的图形，即图形绕着某点 旋转180度后与自身重合。
建筑学中的应用
1 2
建筑设计中的中心对称
中心对称的建筑形式给人以稳重、庄严和平衡的 感觉，常用于大型公共建筑和宗教建筑。
建筑立面和内部布局
建筑立面和内部布局中，中心对称的元素可以增 强建筑的视觉效果，给人以和谐、统一的感觉。
3
建筑结构和功能
中心对称的建筑结构有助于提高建筑的稳定性和 抗震性能，同时也有利于建筑的功能布局和使用。
艺术创作中的应用
绘画和雕塑
中心对称的构图和造型在绘画和 雕塑中广泛应用，可以创造出平
衡、和谐的艺术作品。
摄影
在摄影中，通过中心对称的构图 可以突出主题，增强画面的视觉
冲击力。
图案设计
中心对称的图案设计在纺织品、 平面设计等领域应用广泛，可以 创造出富有艺术感的视觉效果。
其他领域的应用
自然科学
在物理学、化学和生物学中，中心对称的现象广 泛存在，如晶体结构、分子形状等。
检查其是否能与原图重合来进行判断。
02
中心对称图形的分类与特点
中心对称图形的分类
中心对称图形可以分为两类：旋 转对称图形和镜面对称图形。
旋转对称图形是指围绕一个固定 点旋转一定角度后能与自身重合 的图形，如圆形、正多边形等。
镜面对称图形是指关于某一直线 对称的图形，如长方形、正方形
四边形中心对称和中心对称图形教学
四边形中心对称和中心对称图形教学pptxx年xx月xx日•中心对称的概念和性质•中心对称图形的概念和性质•四边形中的中心对称目录•中心对称图形的判定•四边形中心对称的判定•中心对称图形的作图•四边形中心对称的作图01中心对称的概念和性质把其中一个图形沿某一点旋转180度后与另一个图形重合，这种图形被称为中心对称图形。
两个图形关于点对称一个图形沿着中心点旋转180度之后能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形。
中心对称图形的定义中心对称的定义中心对称图形的性质中心对称图形的对应线段相等、对应角相等，图形的形状不变，只是位置发生了变化。
中心对称的性质中心对称的特性包括旋转中心、旋转方向和旋转角度，其中旋转中心是固定点，旋转方向是顺时针或逆时针，旋转角度是180度。
中心对称的性质中心对称的应用在几何中，中心对称被广泛应用于证明和构造各种几何图形，如平行四边形、矩形和正方形等。
中心对称图形的判定可以通过证明一个图形可以绕一个点旋转180度后与另一个图形重合来判定一个图形是中心对称图形。
中心对称的应用02中心对称图形的概念和性质中心对称图形：在平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称中心对称不指某一个图形，而是一种变换中心对称图形的定义关于中心对称的两个图形，对应点连线的中点在对称中心关于中心对称的两个图形能够完全重合对称中心是任何一对对应点连接线的中点中心对称图形的性质在几何中，研究“中心对称”主要是为了应用，如：研究轴对称时，有时需要把图形绕着对称轴旋转180度后与原来的图形重合，这往往需要应用“中心对称”在以后的学习中，经常要用到“中心对称”来解一些题目，因此一定要切实掌握“中心对称”的概念及应用中心对称图形的应用03四边形中的中心对称1四边形中的中心对称的定义23平行四边形是具有中心对称特性的四边形，其中对角线的交点称为平行四边形的中心。
平行四边形菱形是一种特殊的平行四边形，其对角线的交点称为菱形的中心。
多边形的中心对称与特性解析
多边形的中心对称与特性解析多边形作为一种基本的平面图形，其具有丰富的内部结构和特性。
其中，多边形的中心对称以及由此引申出的一系列特性，是多边形研究中的重要内容。
本文将对多边形的中心对称进行解析，并探讨其相关特性。
一、中心对称的定义及性质中心对称是指一个图形通过一个点的旋转180度得到的新图形与原图形完全重合。
对于一个多边形来说，如果存在一个点，使得将多边形绕该点旋转180度后，多边形与其本身重合，那么这个点即为多边形的中心对称点。
1. 中心对称的存在性对于任意一个凸多边形，都存在一个中心对称点。
这是由于凸多边形的内角和为180度，且各边相互相交，从而可以找到一个点使得多边形通过该点旋转180度后与自身重合。
2. 中心对称的特性中心对称具有以下特性：a. 中心对称点是多边形的唯一一个。
b. 中心对称点到多边形上任意一点的距离与该点到中心对称点的距离相等。
c. 通过中心对称点将多边形分割成对称的两部分，每一对称部分都是另一对称部分的镜像。
二、中心对称与多边形的特殊性质中心对称在多边形研究中还引申出许多特殊性质，包括对称轴、对称次数等。
1. 对称轴对称轴是指多边形中心对称时相互重合的边或直线。
对于凸多边形来说，对称轴一般为从中心对称点向多边形的一条边或延长线的垂直平分线。
2. 对称次数对称次数是指一个点在多边形中心对称时的旋转次数。
对称次数为偶数的点即为中心对称点，而对称次数为奇数的点则不是中心对称点。
三、应用示例1. 正方形的中心对称正方形具有4条对称轴，分别为相邻边和对角线的垂直平分线。
正方形的中心点为所有对称轴的交点。
正方形的中心对称点共有4个，分别为正方形的四个顶点。
2. 正六边形的中心对称正六边形具有6条对称轴，分别为相邻边和对角线的垂直平分线。
正六边形的中心点为所有对称轴的交点。
正六边形的中心对称点共有6个，分别为正六边形的六个顶点。
四、总结多边形的中心对称是多边形研究中的重要内容，通过中心对称可以帮助我们更好地理解多边形的内部结构和特性。
多边形的对称轴和对称中心
多边形的对称轴和对称中心多边形是几何学中常见的图形之一，它拥有许多有趣且重要的性质。
其中，对称性是多边形中一个重要的概念。
每个多边形都拥有对称轴和对称中心，它们在研究多边形的性质和应用中扮演着重要的角色。
一、对称轴对称轴是指将多边形分成两个完全对称的部分的直线。
这条直线可以是多边形的边，也可以是通过多边形的两个顶点的直线。
多边形可以拥有一个或多个对称轴。
当对称轴是多边形的边时，每条对称轴都将多边形分为两个完全对称的部分。
例如，正方形拥有4条对称轴，分别是连接相对边中点的线段。
这些对称轴不仅将正方形分成两个对称的部分，而且在矩形、菱形等其他形状中同样有效。
当对称轴是通过多边形两个顶点的直线时，它们称为顶点对称轴。
例如，三角形拥有3条顶点对称轴，分别是连接各顶点和各中点的线段。
这些对称轴通过顶点将三角形分成两个对称的部分。
对称轴的存在可以帮助我们识别多边形的对称性，并在解决相关问题时提供方便。
二、对称中心对称中心是指多边形上的一个点，使得通过该点的每条线段都将多边形分成两个对称的部分。
每个多边形都拥有唯一的对称中心。
对称中心可以是多边形的顶点、边的中点或顶点的延长线和中点连线的交点等。
例如，正方形和矩形的对称中心位于交叉的对角线上的交点处，而三角形的对称中心则位于三条中线的交点处。
对称中心是多边形的一个重要概念，它具有许多应用，如在计算多边形的面积、寻找多边形内某个点的位置等问题中。
三、对称轴和对称中心的关系对称轴和对称中心之间存在着密切的关系。
对称轴可以通过对称中心来确定，其位置可以通过对称中心和多边形的边、顶点等相互关系来推导。
对称轴与对称中心的关系可以通过一些实例来说明。
例如，正方形的对称轴是通过正方形对角线中点的直线，而该直线也正好通过正方形的对称中心。
同样，矩形和菱形的对称轴也通过对应图形的对称中心。
另一个例子是三角形，它的对称轴是通过顶点和对边中点的直线。
当我们将对称轴的延长线绘制出来时，它们将交于三角形的对称中心。
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用代数的方法解决多边形的问题
例1、已知:五边形的五个内角的度数 之比为2︰3︰4︰5︰6求这个五边形 的最大的内角和它的外角的度数.
解：设这五个角的度数分别为2x°，3x°， 4x°，5x°，6x°。依题，得 2x+3x+4x+5x+6x=（5-2） × 180 X=27 ° 所以 6 ×27=162 ， 180-162=18 答：这个五边形的最大的内角为162°，它的外角 的为18°.
B
2.在①线段、 ②角、 ③等腰三角形、 ④等腰梯 形、⑤平行四边形、 ⑥矩形、 ⑦菱形、 ⑧正方形 ①②③④⑥⑦⑧⑨ 和⑨圆中，是轴对称图形的有 ______________,是 中心对称图形的有①⑤⑥⑦⑧⑨ ____________, 既是轴对称图形 又是中心对称图形的有____________. ①⑥⑦⑧⑨
A'
A
O
D
B
C
平行四边形
A O
D
B
C
矩形
A
B
O
D
C
菱形
A
D
O
B
C
正方形
中心对称与中心对称图形有什么区别与联系？
名称 中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转180,如果他能 够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关 于这点对称，这个点叫做对称中心,两个图形 关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对 应点叫做关于中心的对称点 中心对称图形 如果一个图形绕着一个点旋转 180后的图形能够与原来的图 形重合，那么这个图形叫做中 心对称图形，这个点就是它的 对称中心
B′ A′
C′
△A′B′C′即为所求的三角形。
例1（3） 已知四边形ABCD和点O，画四边 形A′B′C′D′，使它与已知四边形关于这一点 对称。
B’ C’ O D’ D A’
C
A
四边形A１B１C１D１即为所求的图形。
B
提高练习
画一个与已知四边形ABCD中心对称图形。 （1）以顶点A为对称中心； N （2）以BC边的中点为对称中心。
灵活运用，体会内涵 1、点的中心对称点的作法 以点O为对称中心,作出点A的对称点A′;
A O A′
点A′即为所求的点
2、线段的中心对称线段的作法
以点O为对称中心,作出线段AB的对称线段点A′B′
A B′ O A′
B
例1 (1)如图23.2-5,选择点O为对称中心,画出与
△ABC关于点O对称的△A′B′C′.
定义
性质
①两个图形可完全重合； ①是一个特殊的图形 ②对应点连线都经过对称中心，并且被对 ②对应点连线都经过对称 称中心平分 中心，并且被对称中心平 分
区别
联系
①两个图形的关系 ②对称点在两个图形上
①具有某种性质的一个图形 ②对称点在一个图形上
若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若把中心 对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形。
组对应点，连结BB’、CC’，BB’、CC’相交 于点O，则点O即为所求（如图）。
C A’
O B’
B
Aபைடு நூலகம்
C’
深入理解
你用什么方法识别两个图 形是否关于某点中心对称？
B A C' C A'
B'
方法1：将其中一个图形绕某一点旋转 180度，如果能够与另一个完全重合，那么 它们关于这一点中心对称。 方法2：如果两个图形的对应点连成的线 段都经过某一点,并且都被该点平分,那么这两 个图形一定关于这一点成中心对称.
知识点回顾
三角形
四边形
五边形
六边形
正三角形 正四边形 正五边形
联系:正多边形 属于
正六边形 特点:正多边形①各个角都相等②各条边都相等 多边形;
(n-3) 1.过n边形的一个顶点,可以画__________
条对角线,这些对角线将这个多边形分成
(n-2) 三角形 了________
对角线
1 n(n 3) 2 2.n边形一共可以画_______________ 条
A
D F B E C
试一试
已知，如图所示，△ABC中，∠B= 28°, ∠ C= 58 ° AD⊥BC于D， DF⊥AE于F，AE平分∠ BAC，求 ∠ADF的度数。
A
F B 28° E
58°
D
C
中心对称与中心对称图形
知识要点回顾
图形旋转 1、图形的旋转 在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一 定的角度，这样的图形运动称为图形的旋 转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度 旋转前、后的图形全等。 称为旋转角。 对应点到旋转中心的距离相等。 每一对对应点与旋转中心的连线所成的角 2、旋转的性质 彼此相等。
1、多边形的内角和公式: 2、多边形的外角和:
(n-2)180°
360°
3、多边形的一个外角和它相邻的内角的关系:
互为邻补角
180（n-2） 4、正多边形的每一个内角的度数: n ° 360 5、正多边形的每一个外角的度数: n
°
(熟练运用每一个知识点)
1260° 1.九边形的内角和________
F A G D C A D B B
．
O C
M
E
深入理解
求出它们的对称中心O。
C A’ B A B’
如图，已知△ABC与△A’B’C’中心对称，
C’
解法一：根据观察，B、B’应是对应点，连 结BB’，用刻度尺找出BB’的中点O，则点
O即为所求（如图）
C O B A C’ B’
A’
解法二：根据观察，B、B’及C、C’应是两
中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如 果它能够与另一个图形重合，那么称这两 个图形关于这一点对称。也称这两个图形 ①中心对称是旋转的一种特例，因此， 成中心对称，这个点叫做对称中心，两个 成中心对称的两个图形具有旋转图形的 图形中的对应点叫做对称点。 一切性质。
②成中心对称的2个图形，对称点的连 中心对称性质 线都经过对称中心，并且被对称中心平 分。
中心对称图形
把一个平面图形绕着某一点旋转180°， 如果旋转后的图形能够和原来的图形互相 重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 这个点就是它的对称中心。 中心对称图形上的每一对对应点所连成的 线段都被对称中心平分。
旋转与中心对称的关系
图形的旋转
A A B A' B
O
旋转1800
中心对称
B'
O
B'
求多个分散的角的和
例2、如图：
A C O
D E
B
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ 180° .
试一试
A G
B
E
D
O
F C
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝
540° .
B
A
N
C
P
M
F
D
E
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ 360° .
例3.如图：∠B=∠C，DE⊥BC于E，EF⊥AB于F， ∠ADE等于140°，求∠FED的度数
五 边形 2.一个多边形的内角和为540°,则它是______
120° 3.正六边形的每一个内角等于_________
360° 4三十六边形的外角和为______________
5.一个多边形的每一个外角为30°,则它的边数为 12 _________ 6.从十五边形的一个顶点出发引对角线,把十五边形分 成__________ 三角形 13个
在26个英文大写正体字母中，哪些字母 是中心对称图形？哪些字母是轴对称图形？
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
谢 谢