考点28 空间几何体外接球(讲解) (解析版)

考点28 空间几何体的外接球【思维导图】【常见考法】考法一 汉堡模型1．（2020·广州市广外）各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（ ）A ．16πB ．12πC ．10πD ．8π【答案】B【解析】因为正四棱柱高为2，体积为8，所以它的底面边长是2，所以它的体对角线的长是因此它的外接球的直径是所以这个球的表面积是：2412S ππ==.故选：B ．2．（2020·辽宁省高三）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，BD ⊥平面ADC ，BD ＝1，AB ＝2，BC ＝3，AC ，则三棱锥A ﹣BCD 外接球的体积为（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【答案】D【解析】因为BD ⊥平面ADC ，所以BD AD ⊥，BD DC ⊥，所以222413AD AB BD =-=-=，222918DC BC BD =-=-=，所以222AC AD DC =+，所以AD DC ⊥，所以以DA 、DB 、DC 为棱的长方体与三棱锥A ﹣BCD 具有相同的外接球，==，则该外接球的体积为343π⨯=故选：D. 考法二 墙角模型1．（2020·天津高考真题）若棱长为 ） A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π【答案】C 【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.2．（2019·绥德中学）球面上有,,,A B C D 四个点，若,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，则该球的表面积为（ ） A ．803π B ．32π C ．42π D ．48π【答案】D【解析】由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为R ，由题意可得：()22222444R =++,据此可得：212R =，外接球的表面积为：2441248S R πππ==⨯=.本题选择D 选项.3．（2020·兴化市板桥高级中学）棱长为1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，则这个球的体积与表面积的比值为________【答案】1【解析】该球的直径就是正方体的对角线，设球的半径为r ，则()(222336,3r r =⨯==，3243143r V r S r ππ===故答案为：1 考法三 斗笠模型1．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学）已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.【答案】64π【解析】过点S 作SE ⊥平面ABC 于点E ，记球心为O .∵在正三棱锥S ABC -中，底面边长为6，侧棱长为∴263BE ==∴6SE ==. ∵球心O 到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长R ，∴OB R =，6OE R =-.在Rt BOE 中，222OB BE OE =+，即()22126R R =+-，解得4R =，∴外接球的表面积为2464S R ππ==.故答案为：64π.2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 【答案】A【解析】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上，记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，1AO =由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考法四 怀表模型1．（2020·广东省高三）在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．7πB ．8πC ．163πD ．283π 【答案】D【解析】如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F则由AH ＝22⨯=AE 23=AH =EH 13=AH 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°所以OE ＝1，则R ＝OA 3== 则三棱锥外接球的表面积221284493R πππ=⨯= 故选：D2．（2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S 一ABC 中，△ABC 与△SBC 都是边长为1的正三角形，二面角A ﹣BC ﹣S 的大小为23π，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．73π B ．133π C ．43π D ．3π【答案】A【解析】取线段BC 的中点D ，连结AD ，SD ，由题意得AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，∴∠ADS 是二面角A ﹣BC ﹣S 的平面角，∴∠ADS 23π=， 由题意得BC ⊥平面ADS ，分别取AD ，SD 的三等分点E ，F ，在平面ADS 内，过点E ，F 分别作直线垂直于AD ，SD ，两条直线的交点即球心O ，连结OA ，则球O 半径R ＝|OA |，由题意知BD 12=，AD 2=，DE 136AD ==AE 233AD ==，连结OD ，在Rt △ODE 中，3ODE π∠=，OE =12=， ∴OA 2＝OE 2+AE 2712=， ∴球O 的表面积为S ＝4πR 273π=．故选：A ．考法五 矩形模型1．（2020·新疆维吾尔自治区）在四面体ABCD 中，AB =1DA DB CA CB ====，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 【答案】B【解析】由AB =，1DA DB CA CB ====，所以222CA CB AB +=，222AD BD AB +=可得90ACB ADB ∠=∠=，所以2OA OB OC OD ====，即O 为外接球的球心，球的半径2R = 所以四面体ABCD 的外接球的表面积为： 214422S R πππ==⨯=.故选：B2．（2020·黑龙江省哈尔滨三中）四面体SABC 中，AC BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，SA =AC =BC =，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．323πB ．163πC ．16πD ．32π【答案】C【解析】如图所示：由已知可得SAB 与SBC 为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为SB 的中点O ，因为AC BC ==,且AC BC ⊥,所以10AB ,所以4SB ===,所以四面体SABC 的外接球半径2R =,则表面积2416S R ππ==.故答案选：C考法六 L 模型1．（2020·黑龙江省铁人中学高三）在四棱锥A BCDE -中，ABC 是边长为6的正三角形，BCDE 是正方形，平面ABC ⊥平面BCDE ，则该四棱锥的外接球的体积为（ ）A ．B ．84πC ．D ．【答案】D【解析】取BC 的中点为M ，N 是正三角形ABC 的中心,F 为正方形BCDE 的中心，连接,AM FM ,则有MF BC ⊥，AM BC ⊥，平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC平面BCDE =BC ， MF ⊥平面ABC ，AM ⊥平面BCDE ，过,N F 分别做1//l MF ，2//l AM ，则1l ⊥平面ABC ，2l ⊥平面BCDE ，12,l l 交于O ，则O 为球心，//,//OF MN ON MF ，MNMF ⊥ 所以四边形OFM N 为矩形，3ON MF ==，23AN AM OA =====所以外接球的体积为343π=. 故选:D .2．已知三棱锥P ABC -中，23APB ∠=π，PA PB ==5AC =，4BC =，且平面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．28πC ．24πD ．32π【答案】B【解析】在PAB △中，由余弦定理得3AB ==， 又222AC AB BC =+，所以ABC 为直角三角形，CB AB ⊥.又平面PAB ⊥平面ABC 且交于AB ，所以CB ⊥平面PAB .将三棱锥P ABC -放入直三棱柱中，如图所示：1O ，2O 分别为上下底面外接圆的圆心，O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，且为1O ，2O 的中点. 所以1122OO BC ==.设PAB △的外接圆半径为r，则322πsin 3r ==r =. 设几何体的外接球半径为R，则22227R =+=，所求外接球的表面积2428==ππS R .故选：B考点七 麻花模型1．（2020·四川省眉山市彭山区第二中学）在四面体ABCD中，若AB CD ==2==AC BD，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π【答案】C【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD 的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，2x ，y ，z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体，并且x 2+y 2＝3，x 2+z 2＝5，y 2+z 2＝4，则有（2R ）2＝x 2+y 2+z 2＝6（R 为球的半径），得2R 2＝3，所以球的表面积为S ＝4πR 2＝6π．故答案为6π．考点八 最值问题1．（2020·河南省高三三模）已知三棱锥S ABC -的底面是等边三角形，且SA SB SC===棱锥S ABC -的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．12πC ．18πD ．27π 【答案】C【解析】在AC 上找中点D ，连接DB ，SD ，如下图所示，因为三棱锥S ABC -的底面是等边三角形，即ABC 是等边三角形， 所以DB AC ⊥，又因为SA SC =，所以DS AC ⊥.设ASC θ∠=，SB 与平面SAC 所成的角BSD ϕ∠=，则1111sin sin sin 3232S ABC V SA SC BD SA SC SB θθϕ-=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，当2θπϕ==时，S ABC V -最大，此时SA ，SB ，SC 两两垂直，所以三棱锥的外接球即为以SA ，SB ，SC 为长宽高的长方体的外接球，如下图，因为SA SB SC ===所以外接球的半径2R ==.则其外接球的表面积为2244=18S R πππ==⎝⎭.故选：C.2．已知点A ，B ，C ，D 均在球O 的球面上，1AB BC ==，AC =，若三棱锥D ABC -体积的最大值是13，则球O 的表面积为__________ 【答案】8116π【解析】设ABC 的外接圆的半径为r ， ∵1AB BC ==，AC =则222AB BC AC +=，ABC ∴为直角三角形，且22r111122ABC S ∴=⨯⨯=， ∵三棱锥D ABC -体积的最大值是13，A ，B ，C ，D 均在球O 的球面上，∴D 到平面ABC 的最大距离1333212ABC V h S ⨯===， 设球O 的半径为R ，则()222R r h R =+-，即()2222R R =+-⎝⎭解得98R =， ∴球O 的表面积为29488116S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：8116π.。