第二章 空间的点、直线、面的位置关系(立体几何) (24)

αB AP D C B A lα课 题：9．8距离 (二)教学目的：1.了解异面直线的公垂线、公垂线段的定义；2. 掌握异面直线的距离的概念，并会解决距离的问题 教学重点：两条异面直线的距离教学难点：简单与复杂之间的转化，空间与平面之间的转化 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1.点到平面的距离：已知点P 是平面α外的任意一点，过点P 作PA α⊥，垂足为A ，则PA 唯一，则PA 是点P 到平面α的距离即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离（转化为点到点的距离） 结论：连结平面α外一点P 与α内一点所得的线段中，垂线段PA 最短 2.直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离) 3．两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段（3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长4．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离 二、讲解新课：1 异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．2．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线证明：设,a b 是两条异面直线．在b 上任取一点P ，过P 引//a a '， 设 ,b a '确定平面α，则//a α．在a 上任取一点Q ，过Q 引QM α⊥，垂足为M ，设a QM 和确定的平面β与平面α相交于直线c ，c b 与相交于点B ，在β内作//BA MQ ，交a 于点A ，则,,AB AB b AB a α'⊥⊥⊥，又∵//a a '，∴AB a ⊥，∴AB a b 是,的公垂线段，如果还有直线A B ''也是a b ,的公垂线，则,,A B b A B a ''''⊥⊥于是A B a '''⊥，A B a ''⊥，∴//,A B AB A B AB ''''和共面，即,a b 共面，这与,a b 是两条异面直线矛盾， 所以，两条异面直线的公垂线只有一条3．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；4．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；5．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离AB 即为直线a 到平面α的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离 三、讲解范例（异面直线间距离的求法）例1 如图已知,a b 是两条异面直线，所成的角为θ，点,E F 分别在直线,a b 上，线段A A '是公垂线段，且,,A E m AF n EF l '===，求线段A A '的长d ．解：EF EA A A AF ''=++∴2||EF = ()EA A A AF ''++ ⋅()EA A A AF ''++EA EA EA A A EA AF '''''=⋅+⋅+⋅ A A EA A A A A A A AF '''''+⋅+⋅+⋅ A FE A AF A A A ''+⋅+⋅+⋅∵,,,AA EA AA AF EA AF θ''''⊥⊥<>=或()πθ-QNMPCBA ∴22222l EA A A AF EA AF '''=+++⋅ 2222cos m d n mn θ=++±，所以，d =说明：（1）由上例：EF 的长是异面直线上任意两点的距离，AA '的长是异面直线的距离；（2）当,A E AF θ'<>=时，AA '的长的运算中取＂－＂．例2．已知P 是ABC ∆所在平面外的一点，,M N 分别是AB 和PC 的中点，PA BC a ==，PB AC =，（1）求证：MN 是AB PC 和的公垂线；（2）当,PA BC 成090角时，求AB PC 和间的距离解：（1）连结,AN BN ，,,PA BC PB AC PC PC === ，∴PAC CBP ∆≅∆，∵N PC 是的中点，∴AN BN =， 又M 是AB 的中点，∴MN AB ⊥，同理：MN PC ⊥， ∴MN 是AB 和PC 的公垂线（2）取AC 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵,M N 分别是AB 和PC 的中点， ∴//NQ PA ，//MQ BC ，∴MQN ∠是异面直线,PA BC 所成的角，即MQN ∠90=， 且可得：1122NQ PA a ==，1122MQ BC a ==，∴2MN a =，即AB PC 和间的距离为2a ． 例3．如图直二面角MN αβ--中，,A B 两点分别在平面,αβ内，2AB a =，AB 与平面,αβ所成的角分别是30 和45 ，求,A B 两点在棱MN 上的射影间的距离解：作BD MN ⊥于D ，AC MN ⊥于C ，连结,DA CB ，C DBAβαNMO ED 1C 1B 1A 1DCBA OD 1C 1B 1A 1D CB A∵二面角MN αβ--是直二面角，∴平面α⊥平面β， ∴BD α⊥AC β⊥，∴AD BC 、分别是AB 在平面,αβ内的射影， ∴BAD ABC ∠∠、分别是AB 与平面,αβ所成的角，∴30BAD ∠=，45ABC ∠=，∵2AB a =，∴,BD a BC ==，∴DC a ==，即,A B 两点在棱MN 上的射影间的距离为a ．四、课堂练习：1 已知正方体1AC 的棱长为a ，E 是1CC 的中点，O 是对角线1BD 的中点，（1）求证：OE 是异面直线1CC 和1BD 的公垂线；（2）求异面直线1CC 和1BD 的距离解：（1）解法一：延长EO 交1A A 于F ，则F 为1A A 的中点，∴//EF AC ， ∵1CC AC ⊥，∴1C C EF ⊥，连结1,D E BE ，则1D E BE =， 又O 是1BD 的中点，∴1OE BD ⊥，∴OE 是异面直线1CC 和1BD 的公垂线（2）由（1）知，OE 122AC ==． 解法二：建立空间直角坐标系，用坐标运算证明（略）引申：求1B C 与BD 间的距离解法一：（转化为1B C 到过BD 且与1B C 平行的平面的距离） 连结1A D ，则1A D //1B C ，∴1B C //平面1A DB ，连1AC ，可证得1AC BD ⊥，1AC AD ⊥，∴1AC ⊥平面1A DB ，∴平面1AC ⊥平面1A DB ，且两平面的交线为1AO ，过C 作1CE AO ⊥，垂足为E ，则CE 即为1B C 与平面1A DB 的距离，也即1B C 与BD 间的距离， 在1AOC ∆中，111122OC A A CE AO ⋅=⋅，∴CE =． （解法二）：坐标法：以D 为原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(,0,0),(,,0),(0,,0)A a B a a C a ，11(,,),(,0,),(0,0,0)B a a a A a a D ， 由（解法一）求点C 到平面1A DB 的距离CE ，设(,,)E x y z ， ∵E 在平面1A DB 上，∴111A E A D A B λμ=+，即(,,)(,0,)(0,,)x a y z a a a a a λμ--=--+，∴x a a y a z a a a λμμλ=-⎧⎪=⎨⎪=--⎩， ∵1,CE A D CE BD ⊥⊥ ，∴(,2,)(,0,)0(,2,)(,,0)0x y z a a x y z a a ---=⎧⎨---=⎩， 解得：23λμ==，∴111(,,)333CE a a a =--，∴3CE a =．解法三：直接求1B C 与BD 间的距离设1B C 与BD 的公垂线为1OO ，且11,O B C O BD ∈∈，设(,,)O x y z ，设DO BD λ=，则(,,)(,,0)x y z a a λ=--，∴0x a y a z λλ=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴(,,0)O a a λλ--，同理1(,,)O a a a μμ，∴1((),,)OO a a a a μλλμ=++ ，∴111,OO BD OO BC ⊥⊥ ， ∴1110,0OO BD OO BC ⋅=⋅= ， 解得：21,33λμ=-=，1OO = 111(,,)333a a a -，1||3OO a = ．五、小结 ：异面直线的距离的概念；异面直线的距离的求法：找出垂线段并证明，求垂线段的长；距离的求法：（1）向量；（2）坐标公式；（3）解三角形 点到面的距离的概念及求法（转化为点点距）； 直线到与它平行的平面的距离的概念及求法（转化为点面距）；两个平行平面的距离的概念及求法；异面直线的距离的概念及求法（找出公垂线段或转化为线面距离） 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。