等比数列
等比数列基本的5个公式
等比数列基本的5个公式
等比数列是指数列中，任意两个相邻项的比值相等的数列。
在等比数列中，通常会用到以下五个基本的公式来求解问题：
1.第n项公式：
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项的值可表示为：
aₙ=a₁×q^(n-1)
2.前n项和公式：
设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和的值可表示为：
Sₙ=a₁×(1-q^n)/(1-q)
3.公比与比值的关系：
公比q等于任意两个相邻项的比值：
q=aₙ/aₙ₊₁
4.通项公式的推导：
根据公比和比值的关系，可得到通项公式的推导过程：
aₙ₊₁=aₙ×q
将第n项公式代入可得：
aₙ₊₁=(a₁×q^(n-1))×q
化简得到通项公式：
aₙ₊₁=a₁×q^n
5.等比数列的性质之一：
当公比q在-1到1之间（不包括-1和1）时，等比数列的前n项和存在有限值。
这个有限值可以根据前n项和公式计算得到。
这些公式是解决等比数列问题的基础，在实际运用中常常会结合具体问题进行推导和运用。
需要注意的是，在使用这些公式时，要注意对问题进行分析和理解，确保正确使用公式求解。
等比数列
2.若 p+q=r+s(p、q、r、s∈N*), 则 apaq=aras . 特别地, 若 m+n=2p, 则 aman=ap2 . 3.等比中项 如果在两个数 a、b 中间插入一个数 G, 使 a、G、b 成等比 数列, 则 G 叫做 a 与 b 的等比中项.
G= ab . 4.若数列 {an} 是等比数列, m, p, n 成等差数列, 则 am, ap, an 成等比数列. 5.顺次 n 项和性质 若 {an} 是公比为 q 的等比数列, 则 k a , a , a 也成等 =1 k k=n+1 k k=2n+1 k 比数列, 且公比为 qn. an 6.若数列 {an}, {bn} 是等比数列, 则数列 {anbn}, { } 也是等 bn 比数列.
课后练习题
1.四个正数, 前三个数成等差数列, 其和为 48, 后三个数成 等比数列, 其最后一个数是 25, 求此四数. 解: 由已知可设前三个数为 a-d, a, a+d(d 为公差)且 a+d>0. ∵后三数成等比数列, 其最后一个数是 25,
∴a-d+a+a+d=48, 且 (a+d)2=25a.
+2 S (n=1, 2, 7.数列 {an} 的前 n 项和记为 Sn, 已知 a1=1, an+1= nn n S 3,…), 证明: (1)数列 { n } 是等比数列; (2) Sn+1=4an. n Sn n-1 (2)证法2: 由(1)知 n =2 . ∴Sn=n2n-1 . ∴Sn+1=(n+1)2n. ∵an=Sn-Sn-1=n2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2 (n≥2). 而 a1=1 也适合上式,
等比数列公式_公式总结
等比数列公式_公式总结如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)②当q=1时，Sn=n×a1（q=1）记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结在数学学习中，等比数列是一种非常重要的数列形式。
它具有独特的特点和应用，是数学领域中必须深入了解和掌握的知识点之一。
本文将对等比数列的定义、通项公式、首项、公比、求和公式等知识点进行总结和讨论。
一、等比数列的定义等比数列，指的是数列中的每一项与其前一项的比相等的数列。
其中，比值称为公比，用字母q表示。
如果等比数列的首项为a1，公比为q，则数列的通项可以表示为：an = a1 * q^(n-1)其中，n表示数列的第n项。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比。
通过等比数列的通项公式，可以方便地计算数列中任意一项的数值。
例如，当等比数列的首项a1为2，公比q为3时，可以得到该数列的通项公式为：an = 2 * 3^(n-1)。
通过代入不同的n值，可以求得等比数列的不同项的数值。
三、等比数列的首项和公比等比数列的首项指的是数列中的第一项，用字母a1表示。
根据等比数列的定义，可知第二项a2 = a1 * q，第三项a3 = a2 * q = a1 * q^2，以此类推，第n项可以表示为an = a1 * q^(n-1)。
公比q则是指每一项与前一项的比值，用数值表示。
例如，当等比数列的首项为1，公比为2时，数列中的一些项可以表示为：a1 = 1，a2 = 1 * 2 = 2，a3 = 1 * 2^2 = 4，a4 = 1 * 2^3 = 8，以此类推。
首项和公比是等比数列中两个重要的参数，可以通过它们来确定数列的性质和变化规律。
四、等比数列的求和公式等比数列的求和公式是通过对数列中的每一项进行求和，得到数列的总和。
由于等比数列是无穷数列，求和公式对于计算有限项的总和非常有用。
等比数列的求和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示等比数列的前n项的和。
高中数学等比数列公式是什么
高中数学等比数列公式是什么高中数学等比数列公式1、等比数列的通项公式是：An=A1__q^(n-1)2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}4、若m,n,p,q∈N__,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2arar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap__aq;②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.高中数学解题方法与技巧1、不等式、方程或函数的题型，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2、在研究含有参数的初等函数的时候应该抓住无论参数怎么变化一些性质都不变的特点。
如函数过的定点、二次函数的对称轴等。
3、在求零点的函数中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。
4、恒成立问题中，可以转化成最值问题或者二次函数的恒成立可以利用二次函数的图像性质来解决，灵活使用函数闭区间上的最值，分类讨论的思想(在分类讨论中应注意不重复不遗漏)。
5、选择与填空中出现不等式的题，应优先选特殊值法。
6、在利用距离的几何意义求最值得问题中，应首先考虑两点之间线段最短，常用次结论来求距离和的最小值;三角形的两边之差小于第三边，常用此结论来求距离差的最大值。
等比数列的三个公式
等比数列的三个公式等比数列是指一个数列中任意两个相邻的项之间的比值都相等的数列。
首先，我们来定义等比数列的一般项表示法和通项公式。
一、一般项表示法：对于等比数列a₁,a₂,a₃,...,aₙ，其中a₁是首项，r是公比，则第n项被表示为aₙ=a₁*r^(n-1)，其中n≥1二、通项公式：通项公式指的是通过首项和公比来直接计算出等比数列的任意一项的公式。
1.第n项的通项公式：已知等比数列a₁,a₂,a₃,...,aₙ，其中a₁是首项，r是公比。
则第n项的通项公式可以表示为：aₙ=a₁*r^(n-1)，其中n≥12.前n项和的通项公式：已知等比数列a₁,a₂,a₃,...,aₙ，其中a₁是首项，r是公比。
则前n项和的通项公式可以表示为：Sn=a₁*(1-r^n)/(1-r)，其中n≥1接下来，我们来推导这两个通项公式。
首先，我们假设等比数列的首项为a₁，公比为r。
那么等比数列的第二项a₂可以表示为a₂=a₁*r第三项a₃可以表示为a₃=a₁*r^2，依此类推，第n项aₙ可以表示为aₙ=a₁*r^(n-1)。
要计算前n项和Sn，我们将每一项与公比相除可得：Sn=a₁*(1+r+r^2+...+r^(n-1))接下来，我们用Sn乘以公比r：r*Sn=a₁*(r+r^2+...+r^n)将以上两式相减可得：Sn-r*Sn=a₁*(1-r^n)对于左边的Sn-r*Sn，我们可以因式分解：Sn(1-r)=a₁*(1-r^n)最后，我们将两边整理得到前n项和的通项公式：Sn=a₁*(1-r^n)/(1-r)这就是等比数列的常见公式：一般项表示法和通项公式。
利用这两个公式，我们可以方便地计算等比数列中的任意一项或前n项的和。
总结起来，等比数列的三个公式分别是：1.一般项表示法：aₙ=a₁*r^(n-1)，其中n≥12.第n项的通项公式：aₙ=a₁*r^(n-1)，其中n≥13.前n项和的通项公式：Sn=a₁*(1-r^n)/(1-r)，其中n≥1。
等比数列所有公式
等比数列所有公式
等比数列的所有公式如下：
1. 通项公式：an=a r^(n-1)，其中an表示第n项，a表示首项，r表示公比。
这个公式可以用来求解等比数列中任意一项的值。
2. 前n项和公式：Sn = a (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项的和。
这个公式可以用来求解等比数列前n项的和。
3. 最后一项公式：an = a r^(n-1)，其中an表示最后一项，a表示首项，r 表示公比。
这个公式可以用来求解等比数列的最后一项。
4. 前n项平均值公式：Avg = (a (1 - r^n)) / (1 - r) / n，其中Avg表示前n项的平均值。
这个公式可以用来求解等比数列前n项的平均值。
5. 前n项和与后n项和的关系公式：Sn = a (1 - r^n) / (1 - r)，S2n = a (1 - r^(2n)) / (1 - r)。
以上是等比数列的所有公式，希望对解决您的问题有所帮助。
初中数学中的等比数列
初中数学中的等比数列等比数列是初中数学中非常重要的一个概念，它是由公比不为零的一组数字依次排列而成的。
在学习等比数列的过程中，不仅要掌握等比数列的概念和性质，还要学习如何求和、如何推导等比数列的通项公式等知识。
本文将从这些方面来详细介绍等比数列。
概念和性质等比数列是一组数字按照相同比例的方式递增或递减的数列，其中每一项与它前面的项之比都相等，这个相等的比叫做公比，通常用字母q表示，比如下面这个数列：1，3，9，27，81这个数列的公比为3，因为后一项除以前一项等于3。
在等比数列中，具有如下性质：1. 第n项可以用公比q和首项a1来表示：an=a1q^(n-1)2. 任意两项之比等于它们所在的位置之差的项之比：a(m+n)/am=an/amq^n3. 等比数列的前n项和为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)求和公式和通项公式如果我们要求等比数列的前n项和，可以使用公式Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，其中a1是首项，q是公比。
这个公式可以通过数学归纳法得到，具体证明过程在这里不做赘述。
另外，我们还可以通过求通项公式得到等比数列前n项和的公式。
通项公式是指可以用一个公式表示等比数列中第n项的值的公式。
对于等比数列来说，通项公式可以通过找规律或递归法求得。
比如我们观察刚才那个等比数列1，3，9，27，81，可以发现它的通项公式是an=3^(n-1)，这个公式可以通过数学归纳法证明。
当我们知道了通项公式，就可以很容易地求出等比数列的前n项和。
推导通项公式的方法有很多，其中比较常见的方法是递推法。
递推法是指通过已知的一些项或一些公式来求得下一项或下一个公式的方法。
对于等比数列，我们一般从前两项出发，通过观察公比q的特点来得到通项公式。
比如，如果已知等比数列的前两项a1和a2，那么它的公比可以通过a2/a1求得。
进一步地，我们可以发现等比数列的第n项可以由第n-1项和公比q求得，即an=a(n-1)q。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一．等比数列
1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。
符号语言：q a a n n =+1或q a a n n =-1
2.通项公式：m n m n n n n q a q a q a q a a ----⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅=⋅=332211
3.前n 项和n S ：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n
4.相应性质：（1）等比中项 如果c b a ,,成等比数列，b 叫等比中项。
即)(2ac b ac b ±==
（2）在等比数列中，若),,,,(+∈+=+N q p n m q p n m 则;q p n m a a a a ⋅=⋅
（3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以q 1为公比的等比数列； （4）等比数列{}n a 中，下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）公比为q 的等比数列，按m 项分组，每m 项之和组成的一个新数列仍为等比数列，其公比为m q ；
（6）增减性：当⎩⎨⎧>>1,01q a 或{}n a q a ⇒⎩⎨⎧<<<1
001递增；
当⎩⎨⎧<<>1001q a 或{}n a q a ⇒⎩
⎨⎧><101递减 （7）{}n a 为等比数列)0(=++=⇔B A B Aq S n n
（8）等比数列{}n a 中，有n m m n m S q S S +=+
（9）等比数列{}n a 中，对于项数为)(2+∈N k k 的等比数列，有;q S S ji
ou = 对于项数为)(12+∈+N k k 的等比数列，有
q S a S ou ji =-1
； 二．例题解析：
例1：若等比数列{}n a 满足,161n
n n a a =+则公比为（ ） 2.A 4.B 8.C 16.D
例2：在等比数列{}n a 中，,60,304321=+=+a a a a 则___________87=+a a 例3：已知等比数列{}n a 中，若,64,14321321==++a a a a a a 求n a
例4：已知等比数列{}n a 为递增数列，且,5)(2,121025++=+=n n n a a a a a 则数列{}n a 的通项公
式________=n a
例5：（1）已知{}n a 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么_____53=+a a
（2）已知{}n a 等比数列中，若,29-=a 则此数列前17项之积为__________
（3）在等比数列中，若,162,262==a a 则______10=a 例6：在数列{}n a 中，已知,12,211+=
=+n n n a a a a 求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式
例7：若数列{}n a 的前n 项和,3
132+=n n a S 则通项公式_______=n a 例8：设数列{}n a 的前n 项和{}n n b n S ,22=为等比数列，且112211)(,b a a b b a =-=
（1）求数列{}{}n n b a ,的通项公式
（2）设,n
n n b a c =求数列{}n c 的前n 项和n T 例9：设数列{}n a 满足121123,2-+⋅=-=n n n a a a
（1）求数列{}n a 的通项公式
（2）令,n n na b =求数列{}n b 的前n 项和n S
例10：已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且,,22+∈+=N n n n S n 数列{}n b 满足+∈+=N n b a n n ,3l o g 42
（1）求n n b a ,
（2）求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n
T。