第4章 傅里叶变换与系统的频域分析
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傅里叶变换与频谱分析
傅里叶变换与频谱分析傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它是基于法国数学家傅里叶的研究成果而得名的。
频谱分析是利用傅里叶变换将信号分解为不同频率成分的过程。
通过傅里叶变换和频谱分析，我们可以理解信号的频域特性，以及从频域的角度对信号进行处理和解释。
傅里叶变换的基本原理是将一个周期为T的连续函数f(t)分解为一组基函数的线性组合。
这组基函数是正弦和余弦函数，它们的频率是f(t)中的频率成分。
在数学表达上，傅里叶变换是通过将一个信号f(t)与一个复指数函数e^(jωt)相乘，再对整个信号进行积分来实现的。
傅里叶变换公式如下所示：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)是信号f(t)在频率ω处的振幅和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以将一个时域信号从时间域转换到频率域。
在频率域中，我们可以分析信号的频率特性，包括信号的频率成分以及它们在整个信号中所占的比例。
这些信息对于了解信号的谐波分量、周期性、滤波等操作非常重要。
频谱分析是基于傅里叶变换得到的频域信息进行的。
它可以将一个信号在频谱上进行可视化，以便我们更好地理解信号的频域特性。
频谱分析通常呈现为频谱图，横轴表示频率，纵轴表示振幅或功率。
在频谱图中，我们可以观察到信号的频率成分，它们以峰值的形式显示在不同的频率点上。
峰值的强度代表了该频率在信号中的强度或重要性。
通过观察频谱图，我们可以推断信号的频率含量、周期性、峰值频率等信息。
除了用于频域分析的信号处理外，傅里叶变换还在其他领域有广泛应用，例如图像处理、通信等。
在图像处理中，我们可以将图像转换为频域，通过分析图像的频谱特性来实现图像增强、压缩等操作。
在通信领域，傅里叶变换在调制、解调、滤波等过程中被广泛使用。
在实际应用中，由于傅里叶变换涉及到复杂的数学操作和积分运算，计算复杂度较高。
因此，为了提高计算效率，人们发展出了快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT算法通过巧妙地利用信号的对称性质，将傅里叶变换的计算量从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算速度。
信号与系统 第4章 信号的复频域分析
σ t L f ( t ) F f ( t ) e u(t ) F s s σ jω
由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系
当σ 0 0 时, 收敛边界落于 s 右半平面
当σ 0 0时, 收敛边界落于 s左半平面
当σ 0 0时, 收敛边界位于虚轴
at f ( t ) e u( t )(a 0)的LT 例2：求
1 F ( s) ( a ) s a
4 信号的复频域分析 举例说明收敛域的概念： 例3：求 at e u (t )(a 0) f (t ) t a 的LT e u ( t )( 0)
f ( t )e s t dt F ( s ), R
是振幅密度
4 信号的复频域分析
4.1.1 拉普拉斯变换
2．拉普拉斯正变换
信号在复S域中展开式中，有：
F( s )
f ( t )e st dt Re[ s ] R
s j 具有频率的量纲，称为复频率。
4.1.1 拉普拉斯变换
3．拉氏反变换
信号在复S域中展开式中，有： 1 + s t st f (t ) [ f ( t ) e dt ] ds e Re[ s ] R 2 j -j 清楚表明了信号的组成成份和组成方式，称此式为
Inverse Laplace
4.1.1 拉普拉斯变换
4. 收敛域
使
f ( t )e s t dt F ( s ) f ( t )e
t
0r
dt
成立的 Re[ s]取值区域（范围）称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) jω 实际上就是拉氏变换存在的条件；
由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系
当σ 0 0 时, 收敛边界落于 s 右半平面
当σ 0 0时, 收敛边界落于 s左半平面
当σ 0 0时, 收敛边界位于虚轴
at f ( t ) e u( t )(a 0)的LT 例2：求
1 F ( s) ( a ) s a
4 信号的复频域分析 举例说明收敛域的概念： 例3：求 at e u (t )(a 0) f (t ) t a 的LT e u ( t )( 0)
f ( t )e s t dt F ( s ), R
是振幅密度
4 信号的复频域分析
4.1.1 拉普拉斯变换
2．拉普拉斯正变换
信号在复S域中展开式中，有：
F( s )
f ( t )e st dt Re[ s ] R
s j 具有频率的量纲，称为复频率。
4.1.1 拉普拉斯变换
3．拉氏反变换
信号在复S域中展开式中，有： 1 + s t st f (t ) [ f ( t ) e dt ] ds e Re[ s ] R 2 j -j 清楚表明了信号的组成成份和组成方式，称此式为
Inverse Laplace
4.1.1 拉普拉斯变换
4. 收敛域
使
f ( t )e s t dt F ( s ) f ( t )e
t
0r
dt
成立的 Re[ s]取值区域（范围）称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) jω 实际上就是拉氏变换存在的条件；
傅里叶变换及系统的频域分析
这样可以由周期信号的频谱推论出非周期信号的 频谱特点。
我们已经知道周期信号的周期T增大，相邻谱线 的间隔Ω变小；若周期T趋于无穷大，谱线的间隔 Ω趋于无穷小，这时离散的频谱就变为连续的频 谱。同时每条谱线的幅度也趋于无穷小。
因此我们可以初步推断出，非周期信号的频谱特 点为：连续的频谱，每条谱线的幅度接近于零。
| F ( j) | R 2 () X 2 ()
()
arctan
X () R()
R(ω)是ω的偶函数，X(ω)是ω的奇函数，
|F(j ω)|是ω的偶函数，ϕ(ω)是ω的奇函数
1 F ( j) e d j(t ())
2
1
F ( j) cos(t ())d j 1
F ( j) sin(t ())d
2
2
1
F ( j) cos(t ())d 1
F ( j) cos(t ())d
2
0
一个非周期信号f(t)可以分解为无穷多个余弦分量 cos(ωt+ϕ(ω))之和，每个分量的幅度为
由于每个函数的周期性，上面展开式在 区间上都成立。
含义：任意周期信号f(t)可以分解为无穷多个具有不同
频率的复指数信号
之和，各分量的幅度为Fn
将例题4-1中f(t)展开为指数形式的傅里叶级 数
首先求出傅里叶系数Fn
傅里叶级数：
利用欧拉公式
a 可以建立Fn与 n、bn、An的关系
a a a 1= 3= 5=……=b1=b3=……=0
我们已经知道了傅里叶级数的物理含义：周期信号是由
我们已经知道周期信号的周期T增大，相邻谱线 的间隔Ω变小；若周期T趋于无穷大，谱线的间隔 Ω趋于无穷小，这时离散的频谱就变为连续的频 谱。同时每条谱线的幅度也趋于无穷小。
因此我们可以初步推断出，非周期信号的频谱特 点为：连续的频谱，每条谱线的幅度接近于零。
| F ( j) | R 2 () X 2 ()
()
arctan
X () R()
R(ω)是ω的偶函数，X(ω)是ω的奇函数，
|F(j ω)|是ω的偶函数，ϕ(ω)是ω的奇函数
1 F ( j) e d j(t ())
2
1
F ( j) cos(t ())d j 1
F ( j) sin(t ())d
2
2
1
F ( j) cos(t ())d 1
F ( j) cos(t ())d
2
0
一个非周期信号f(t)可以分解为无穷多个余弦分量 cos(ωt+ϕ(ω))之和，每个分量的幅度为
由于每个函数的周期性，上面展开式在 区间上都成立。
含义：任意周期信号f(t)可以分解为无穷多个具有不同
频率的复指数信号
之和，各分量的幅度为Fn
将例题4-1中f(t)展开为指数形式的傅里叶级 数
首先求出傅里叶系数Fn
傅里叶级数：
利用欧拉公式
a 可以建立Fn与 n、bn、An的关系
a a a 1= 3= 5=……=b1=b3=……=0
我们已经知道了傅里叶级数的物理含义：周期信号是由
傅里叶变换和系统的频域
通过傅里叶变换将信号分解到不同的频率分量上，然后分配到不 同的频带进行传输。
频分复用应用
广泛应用于无线通信、有线电视等领域，提高信号传输的效率和 可靠性。
05
傅里叶变换的局限性
频域混叠现象
频域混叠现象是指由于采样频 率不足或信号频率超出采样频 率的一半，导致频谱出现重叠
的现象。
频域混叠会导致信号失真， 使得信号的频谱分析变得困
调频（FM）、调相（PM）、调相调频 （PM/FM）等。
调制解调器设计原理
利用傅里叶变换将信号从时域转换到频域，实 现信号的调制和解调。
调制解调器应用
用于无线通信、卫星通信等领域，实现信号的传输和接收。
频分复用技术
频分复用原理
将多个信号分配到不同的频率通道上，实现多路信号同时传输。
频分复用技术实现
线性时不变系统的频域分析
线性时不变系统
01
在频域中，线性时不变系统可以用频率响应函数来描述，该函
数将输入信号的频率映射到输出信号的频率。
频域表示
02
通过傅里叶变换，将系统的时域表示转换为频域表示，从而可
以分析系统在不同频率下的行为。
系统特性分析
03
通过分析频率响应函数，可以了解系统的带宽、稳定性、阻尼
定义：对于任何时间函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义为： F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdtF(omega) = int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-iomega t} dtF(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdt
傅里叶变换的性质
线性性质
如果f1(t)和f2(t)分别是两个函数的傅里叶变换，那么对于任意常数a和b，有 aF1(ω)+bF2(ω)=af1(t)+bf2(t)aF_1(omega) + bF_2(omega) = a f_1(t) + b f_2(t)aF1(ω)+bF2(ω)=af1(t)+bf2(t)
频分复用应用
广泛应用于无线通信、有线电视等领域，提高信号传输的效率和 可靠性。
05
傅里叶变换的局限性
频域混叠现象
频域混叠现象是指由于采样频 率不足或信号频率超出采样频 率的一半，导致频谱出现重叠
的现象。
频域混叠会导致信号失真， 使得信号的频谱分析变得困
调频（FM）、调相（PM）、调相调频 （PM/FM）等。
调制解调器设计原理
利用傅里叶变换将信号从时域转换到频域，实 现信号的调制和解调。
调制解调器应用
用于无线通信、卫星通信等领域，实现信号的传输和接收。
频分复用技术
频分复用原理
将多个信号分配到不同的频率通道上，实现多路信号同时传输。
频分复用技术实现
线性时不变系统的频域分析
线性时不变系统
01
在频域中，线性时不变系统可以用频率响应函数来描述，该函
数将输入信号的频率映射到输出信号的频率。
频域表示
02
通过傅里叶变换，将系统的时域表示转换为频域表示，从而可
以分析系统在不同频率下的行为。
系统特性分析
03
通过分析频率响应函数，可以了解系统的带宽、稳定性、阻尼
定义：对于任何时间函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义为： F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdtF(omega) = int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-iomega t} dtF(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdt
傅里叶变换的性质
线性性质
如果f1(t)和f2(t)分别是两个函数的傅里叶变换，那么对于任意常数a和b，有 aF1(ω)+bF2(ω)=af1(t)+bf2(t)aF_1(omega) + bF_2(omega) = a f_1(t) + b f_2(t)aF1(ω)+bF2(ω)=af1(t)+bf2(t)
傅里叶变换的性质课件
c n
1 T0
T0
2 T0
2
f ( t ) e j d0 t t d
c n
1 2
f ( t ) e j td td
F ( ) f ( t ) e j t d t
cn
1 2
F ( )d
(4―22) (4―23) (4―24) (4―25)
现将信号f(t)的傅里叶级数展开式重写如下
1sin2ft]
n
n1,3,5,
4.2 信号的频谱
4.2.1 信号频谱 上一节我们指出,信号可分解为傅里叶级数,即信号
可由系列复数指数函数加权之和构成。一般我们称这 里的复数指数函数ejnΩt为n次谐波,在该函数上所加的权 为谐波的振幅,nΩ为谐波的角频率,可以说所有的信号均 是由系列角频率不同的谐波叠加而成的(角频率可简称 为频率）。
0
t
(a)
F()
2
1
－ 0
(b)
图4.8 双边指数信号及其频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。
解 幅度为1的单位直流信号可表示为
f(t)=1,-∞<t<∞
(4―44)
它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的 一个特例,即
1limetu(t), 0 0
[1]
[limet 0
u(t)]
lim[et
4.2.4 常见信号的频谱分析举例 例4―2求冲激信号δ(t)的频谱。 解 由频谱函数的定义式（4―28）有
F() (t)ejtdt 1
(t) 1
(4―34) (4―35)
(t)
(1)
0 (a)
F()
1
t
0
(b)
频域分析方法
解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)
(NEW)吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 连续系统的时域分析2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散系统的时域分析3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 连续系统的s域分析5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 离散系统的z域分析6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 系统函数7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第1章 信号与系统1.1 复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。
根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。
二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。
2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。
图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。
图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。
这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。
第4(5)章 傅里叶级数和变换
t0
2 2
f (t ) cos( n1t )dt
2 T1
2
E cos( n1t )dt
4 T1
0
E cos( n1t )dt
2
4E 1 sin n1t T1 n1
变
0
不 变
2E n an sin n T1
n sin 2E n T1 n n T1 T1 2 E n Sa ( ) T1 T1
§4.1 引言 信号与系统的时域分析→变换域分析（频域分析）
第四章 连续系统的频域分析P116
任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示
1822年，法国数学家傅里叶提出；
Poisson、Gauss等将其应用到电学中；
20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立 叶分析的应用开辟了广阔的前景 周期信号——傅里叶级数 非周期信号——傅里叶变换
T 2 T 2 T 2 T 2
(3) 半波重迭信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
-T/2
T/2
t
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦 的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
(4) 半波镜像信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
T/2 0 T
t
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇 次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
④ t =±π，±2π，…±nπ；Sa(t)=0
正弦分量的幅度： bn
2 T1
t 0 T1
2 2
t0
f (t ) sin( n1t )dt
2 T1
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信号分解为正交函数
由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集。
如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。 例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用 一个三维正交矢量集{ vx，vy，vz}分量的线性组合表示。 即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间：在信 号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得 信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
第4-12页
■
T 2 T 2
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
4.2
傅里叶级数
将上式同频率项合并，可写为 A0 f (t ) An cos( nt n ) 2 n 1 2 2 式中，A0 = a0 An a n bn
bn n arctan an
一、正交函数集 二、信号分解为正交函数
一、周期信号的分解 二、奇、偶函数的傅里叶级数 三、傅里叶级数的指数形式
4.3
周期信号的频谱
一、周期信号的频谱 二、周期矩形脉冲的频谱 三、周期信号的功率
4.4
非周期信号的频谱
4.6
能量谱和功率谱
一、能量谱 二、功率谱
一、傅里叶变换 二、奇异函数的傅里叶变换
点击目录
a0 f (t ) a n cos( nt ) bn sin( nt ) 2 n 1 n 1
系数an , bn称为傅里叶系数。
T 2 T 2
2 2 a n f (t ) cos( nt ) d t bn f (t ) sin( nt ) d t T T 可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,… 上式表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周 期信号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
考虑到Ω=2π/T，可得： an 0
第4-14页
■
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信号与系统 电子教案
4.2
傅里叶级数
T 0 2 T 2 2 bn 2T f (t )sin(nt )dt T (1) sin(nt )dt 2 1 sin(nt )dt T 2 T 2 T 0 0 T 2 1 2 1 [cos(nt )] T [ cos(nt )] 2 T n T n 0 2 2 T {[1 cos(n )] [1 cos(n )] T n2 0, n 2, 4,6, 2 [1 cos( n )] 4 n , n 1,3,5, n
1. 定义： 定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足
t2
t1
1 (t ) 2 * (t ) d t 0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 当这些函数在区间(t1，t2)内满足
第4-7页
t2 t1
i j 0, i (t ) j (t ) d t K i 0, i j
*
则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。
■
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信号与系统 电子教案 3. 完备正交函数集：
4.1
信号分解为正交函数
如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外， 不存在任何函数 (t)(≠0）满足
2 Ci Ci
4.1
信号分解为正交函数
为使上式最小（系数Cj变化时），有
t2 t1
[ f (t ) C j j (t )]2 d t 0
j 1
n
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项 不为0，写为： t2 2 2 [ 2 C f ( t ) ( t ) C i i i i (t )]d t 0 Ci t1 即： 2
问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在 区间(t1，t2)内为最小。
通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误 差为：
1 t 2 t1
2
t2 t1
[ f (t ) C j j (t )]2 d t
j 1
n
第4-9页
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信号与系统 电子教案
t2 t1
f (t ) i (t ) d t 2Ci i2 (t ) d t 0
t2
所以系数 C i
第4-10页
t2
t1
t1
f (t ) i (t ) d t
t2 t1
i2 (t ) d t
■
1 Ki
t2 t1
f (t ) i (t ) d t
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信号与系统 电子教案
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
第四章
4.1
4.2
傅里叶变换和系统的频域分析
4.5 傅里叶变换的性质
一、线性 二、奇偶性 三、对称性 四、尺度变换 五、时移特性 六、频移特性 七、卷积定理 八、时域微分和积分 九、频域微分和积分 十、相关定理
信号分解为正交函数
周期信号的傅里叶级数
信号的傅里叶级数展开式为：
a0 f (t ) an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
1 1 1 [sin(t ) sin(3t ) sin(5t ) sin(nt ) ], n 1,3,5, 3 5 n
第4-13页
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信号与系统 电子教案
f (t )
1
4.2
傅里叶级数
例1：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。
T
T 2
0
1
T 2
T
3T 2
t
解：f (t )为T 3, 2 / T 2 / 3的周期信号，傅里叶系数为
T 0 2 T 2 2 an 2T f (t ) cos(nt )dt T (1) cos(nt )dt 2 1 cos(nt )dt T 2 T 2 T 0 0 T 2 1 2 1 [ sin(nt )] T [sin(nt )] 2 T n T n 0 2
信号与系统 电子教案
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
傅里叶简介
法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于 欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。 1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名 的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数 构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数 的无穷级数。 1822年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加 热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例 证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅 里叶分析等理论均由此创始。（傅里叶级数（即三角级数）、 傅里叶积分、傅里叶变换，这些统称为傅里叶分析。）其他贡 献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法 和实根个数的判别法等。
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4.1
信号分解为正交函数
y
y
C2 v y
A
0
C2 v y
A
C1vx
x
x
0
C3vz
z
(b) 空间矢量分解
C1vx
(a) 平面矢量分解
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4.1
信号分解为正交函数
二、信号正交与正交函数集
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4.1
信号分解为正交函数
代入，得最小均方误差
n t2 1 2 [ f 2 (t ) d t C 2 jKj] 0 t t 2 t1 1 j 1
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n 越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有
4.8
LTI系统的频域分析
一、频率响应 二、无失真传输 三、理想低通滤波器的响应
4.11 离散傅里叶变换及其性质
一、离散傅里叶变换(DFT) 二、离散傅里叶变换的性质
4.9
取样定理
一、信号的取样 二、时域取样定理 三、频域取样定理
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4.2
傅里叶级数
基波＋三次谐波＋五次谐波
1
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3 t
4
5
6
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t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1