奥赛辅导第四讲功和能
物理奥赛辅导：第4讲 功和能
第4讲 功和能一、知识点击1．功、功率和动能定理⑴功 功是力对空间的积累效应．如果一个恒力F作用在一个物体上，物体发生的位移是s ，那么力F在这段位移上做的功为 W=Fscos θ在不使用积分的前提下，我们一般只能计算恒力做的功．但有时利用一些技巧也能求得一些变力做的功．⑵功率：作用在物体上的力在单位时间内所做的功．平均功率：W P t = 瞬时功率：cos lim lim cos W Fs P F t tθυθ===∆∆ ⑶动能定理①质点动能定理： 222101122Kt K K W F s m m E E E υυ==-=-=∆外外 ②质点系动能定理：若质点系由n 个质点组成，质点系内任何一个质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其他质点对它的作用力（内力），在质点运动时这些力都将做功．2201122i it i i i i W W m m υυ+=-∑∑∑∑外内即0Kt K K W W E E E +=-=∆系外系内2． 虚功原理：许多平衡状态的问题，可以假设其状态发生了一个微小的变化，某一力做了一个微小的功△W ，使系统的势能发生了一个微小的变化ΔE ，然后即可由ΔW=△E 求出我们所需要的量，这就是虚功原理． 3．功能原理与机械能守恒⑴功能原理：物体系在外力和内力（包括保守内力和非保守内力）作用下，由一个状态变到另一个状态时，物体系机械能的增量等于外力和非保守内力做功之和． 因为保守力的功等于初末势能之差，即 0P P t P W E E E =-=-∆保K P W W E +=∆∆外非保内（E +E ）=⑵机械能守恒：当质点系满足：0W W +=外非保内，则ΔE =0即E K + E P = E K0 + E P0=常量 机械能守恒定律：在只有保守力做功的条件下，系统的动能和势能可以相互转化，但其总量保持不变．说明：机械能守恒定律只适用于同一惯性系．在非惯性系中，由于惯性力可能做功，即使满足守恒条件，机械能也不一定守恒．对某一惯性系W 外=0，而对另一惯性系W 外≠0，机械能守恒与参考系的选择有关。
初中物理功与能解析
初中物理功与能解析物理学中有两个基本概念，即功和能量。
功被定义为力在物体上所做的功率与位移的乘积，常用符号是W。
能量则是物体或系统在运动中所拥有的做功能力，常用符号是E。
理解和应用功与能的概念对于初中物理学习非常重要。
在本文中，我将对功与能的概念进行解析，并说明其在日常生活中的应用。
一、功的概念和计算公式功定义了力对于位移的作用。
当力F作用于一个物体，使其在线性方向上发生位移s时，力所做的功可以用公式W = F × s来计算。
功的单位是焦耳（J）或牛顿·米（Nm）。
例如，一个力为5牛顿的物体，沿着直线方向移动2米，则所做的功为W = 5 × 2 = 10J。
二、能的概念和种类能量是物体或系统所拥有的做工能力。
在物理学中，能分为多种形式，包括机械能、热能、电能、化学能等。
1. 机械能机械能是物体或系统在运动中所拥有的能量。
它包括动能和势能两种形式。
- 动能：动能是指物体由于其运动而具有的能量。
动能的大小与物体的质量和速度相关，可以用公式K.E. = 1/2mv²来计算，其中m为物体质量，v为物体速度。
动能的单位也是焦耳（J）。
- 势能：势能是指物体由于其位置而具有的能量。
常见的势能包括重力势能和弹性势能。
重力势能可以用公式P.E. = mgh来计算，其中m为物体质量，g为重力加速度，h为物体相对于参考点的高度。
弹性势能可以用公式P.E. = 1/2kx²来计算，其中k为弹簧常量，x为弹簧伸长或压缩的长度。
2. 热能热能是物体或系统内分子运动的能量。
热能的传递是由高温处向低温处通过热传导、热对流或热辐射的方式进行的。
热能的单位也是焦耳（J）。
3. 电能电能是由电荷所携带的能量。
电能主要在电路中以电流的形式进行传输。
电能的单位是焦耳（J）。
4. 化学能化学能是指物质在化学反应过程中所释放或吸收的能量。
当化学键形成或断裂时，会释放或吸收能量。
三、功与能的转化和守恒定律功和能之间存在着转化关系和守恒定律。
功和能ppt课件
AAB (1) ABA (2) 0
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。
f
dr
L
b
f
dr
L'
a
f
dr
L
a
b
L
b
f
dr
L'
b
f
dr
0
a
a
a
b L’
万有引力、静电力、弹性力
与保守力相对的称为耗散力，如摩擦力。
21
三种保守力的功
17
§4.3 一对力的功
A f1 r1 f2 r2
系统内力总是成对出现
f2 (r2 r1) f2 r21
B
r 1
B1
f
1
r
B2
r 21
f
r 2
2
1
r 2
A1 A A2
O
B
AAB f2 dr21 A
一对力所做的功，等于 其中一个物体所受的力 沿两个物体相对移动的 路径所做的功。
f
1
d
r1
B2 A2
f
2
d11 r 2
1 2
m1v12B＋12
m2v22B
（1 2
m1v12A＋12
m2v22A）
即：外力的功之和＋内力的功之和
＝系统末动能－系统初动能
对质点系
A外 A内 EKB EKA
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之 和等于质点系总动能的增量。
注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统 的总动量。
高中物理竞赛功和能知识点讲解
高中物理竞赛功和能知识点讲解一、知识点击1．功、功率和动能定理⑴功 功是力对空间的积累效应．如果一个恒力F 作用在一个物体上，物体发生的位移是s ，那么力F 在这段位移上做的功为 W=Fscos θ在不使用积分的前提下，我们一般只能计算恒力做的功．但有时利用一些技巧也能求得一些变力做的功．⑵功率：作用在物体上的力在单位时间内所做的功．平均功率：W P t = 瞬时功率：cos lim lim cos W Fs P F t tθυθ===∆∆⑶动能定理①质点动能定理： 222101122Kt K K W F s m m E E E υυ==-=-=∆外外 ②质点系动能定理：若质点系由n 个质点组成，质点系内任何一个质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其他质点对它的作用力（内力），在质点运动时这些力都将做功．2201122i it i i i i W W m m υυ+=-∑∑∑∑外内即0Kt K K W W E E E +=-=∆系外系内2． 虚功原理：许多平衡状态的问题，可以假设其状态发生了一个微小的变化，某一力做了一个微小的功△W ，使系统的势能发生了一个微小的变化ΔE ，然后即可由ΔW=△E 求出我们所需要的量，这就是虚功原理． 3．功能原理与机械能守恒⑴功能原理：物体系在外力和内力（包括保守内力和非保守内力）作用下，由一个状态变到另一个状态时，物体系机械能的增量等于外力和非保守内力做功之和． 因为保守力的功等于初末势能之差，即 0P Pt P W E E E =-=-∆保K P W W E +=∆∆外非保内（E +E ）=⑵机械能守恒：当质点系满足：0W W +=外非保内，则ΔE =0即E K + E P = E K0 + E P0=常量机械能守恒定律：在只有保守力做功的条件下，系统的动能和势能可以相互转化，但其总量保持不变．说明：机械能守恒定律只适用于同一惯性系．在非惯性系中，由于惯性力可能做功，即使满足守恒条件，机械能也不一定守恒．对某一惯性系W 外=0，而对另一惯性系W外≠0，机械能守恒与参考系的选择有关。
物理奥赛辅导资料-功和能
奥赛辅导资料--功和能1．（15分）2009年中国女子冰壶队首次获得了世界锦标赛冠军，这引起了人们对冰壶运动的关注。
冰壶由花岗岩凿磨制成，底面积约为0. 018 m 2，质量约为20kg 。
比赛时，冰壶由运动员推出后在一个非常平整的冰道上滑行，如图甲所示。
冰壶在水平冰面上的一次滑行可简化为如图乙所示的过程：运动员将静止于O 点的冰壶（视为质点）沿直线以恒力推到距O 点m 的A 点放手，此后冰壶沿滑行，最后静止于C 点。
已知冰面与冰壶间的动摩擦因数，，取当地的重力加速度。
试求：（1）冰壶在A 点速度的大小。
（2）运动员以恒力推冰壶的过程中力做功的平均功率。
（3）若运动员在冰壶行进前方的冰道上用冰刷“刷冰”，使冰转化成薄薄的一层水，从距A 点远的B 点开始，将段冰面与冰壶间的动摩擦因数减小为0.8，原来只能滑到C点的冰壶能静止于点，求点与点之间的距离为多少？2．（18分）质量均匀分布，长为l 的矩形毛巾挂在水平细杆上，处于静止状态，其底边AA ＇平行于杆，杆两侧的毛巾长度比为1:3，见图a ，AA ＇与地面的距离为h （h>l ），毛巾质量为m ，不计空气阻力，取重力加速度为g .（1）若将杆两侧的毛巾长度比改变为1:1如图b ，求重力对毛巾做的功.（2）若毛巾从题24图a 状态由静止开始下滑， 且下滑过程中AA ＇始终保持水平，毛巾从O O 'F 4=d O A '0125.0=μm 16==L AC 210m/s =g F m 2=x O B 'μO 'C O 'r离开杆到刚接触地面所需时间为t，求毛巾离开横杆时的速度大小以及摩擦力做的功.3．（20分）如图所示，物体A放在足够长的木板B上，木板B静止于水平面。
t=0时，电动机通过水平细绳以恒力F拉木板B，使它做初速度为零，加速度aB=1.0m/s2的匀加速直线运动。
已知A的质量mA 和B的质量mg均为2.0kg,A、B之间的动摩擦因数1μ=0.05，B与水平面之间的动摩擦因数2μ=0.1，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等，重力加速度g取10m/s2。
功和能优秀课件
由静止释放。求当弹簧回到x1=0.50m时，物体旳速率。
1.00
1.00
解： (1) A F xdx 52.8 xdx 38.4 x2dx 31J
0.50
0.50
(2)只有弹力做功，系统机械能守恒，取弹簧原长为势能为零
点，有
1 2
kx 2
0
1 2
kx12
1 2
mv12
,
即
1 2
mv
2 1
4所-4示一。质一量质为量M为旳m弹旳簧子振弹子以，水水平平速放度置且射静入止振在子平中衡，位并置随，之如一起图
运动。假如水平面光滑，今后弹簧旳最大势能为（ B ）。
（A）
1 m 2
2
m2 2
（B） 2(M m)
（C）
(M
m)
m2 2M
2
2
（D） m2 2
解：
M m
子弹射入振子这一微小过程，弹簧旳弹 性力及子弹旳重力相对于内力都很小，
4-6 如图所示，把质量为m，各边长均为2a旳均质木箱，由位置1 翻转到位置2，则人力所做旳功为 ( 2 1)amg 。
解：略
（a）
（b）
4-7一质量为m旳质点在指向圆心旳平方反比力 F k kr旳2作用下，
做半径为r旳圆周运动，此质点旳速率为
mr。若取距圆心
无穷远处为势能零点，则其机械能为
k 。/ 2r
解：平方反比力即为质点m做圆周运动旳向心力
kr 2
2
m
r
k
mr
rˆ
dr
有心力F kr 2rˆE做k 功12与m途2径无12 k关r（1 请自己验
证）,故为保守力，可引入势能。
竞赛辅导(功和能)讲稿
物理竞赛辅导内容（功和能）知识要点分析：功和能是物理学中的两个重要概念，能的转化和守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律，能量这条线索是物理学中解决物理问题的一条重要途径，利用能量观点不仅是处理力学问题的重要途径，而且也是分析解决热学、电磁学以及近代物理学中有关问题的重要依据。
利用能量的观点处理物理学 的问题有三大优点：一是能较好地把握物理问题的实质，因为它关心的是物理过程的始末状态和对应过程中能量的转化关系，可以不涉及过程中力作用的细节；二是可以解决牛顿第二定律难以解决的问题；三是能量和功均为标量，这给运算带来的方便。
一、功1、 功：力对空间的积累效应。
W=FScos θ2、 力：保守力与非保守力1） 保守力：力做功与路径无关，只取决于物体的始末位置。
例：重力，万有引力、弹簧弹力、电场力、分子力。
理解： A 物体运动一周，此力做功为零，则为保守力；B 若能与势能联系起来，也为保守力；2） 非保守力：做功与路径有关的力，例：摩擦力等。
3、 位移：力的作用点的位置变化成为力的位移。
一般情况：物体的位移等于力的作用点的位移——质点； 某些情况：物体的位移不等于力的作用点的位移——非质点；例1：半径为R 的圆柱体上缠绕一根细线，施加一水平恒力F 拉动轻绳，使圆柱体无滑滚动一周，则力F 做得功为 （ R F π4⋅ ）例2：已知力F ＝100牛，拉动物体在光滑的水平面上前进S ＝1米，其中线与水平面的夹角α＝60。
，求在此过程中，拉力做的功。
4、 功的相对性：1）在求解功的问题中，位移与参考系有关，因此选用不同的参考系，位移不同，所求的功亦不同。
一般情况下，往往以地面为参考系。
例3：已知：倾角为θ、长度为L 的斜面上放置一物块M,当物块匀速下滑至斜面底端时，斜面匀速向右运动了θcos 2LS =，求各力所作的功及斜面对物体作的功。
（θ＝30）2）一对作用力与反作用力做功和参考系无关；A ：在系统中，作用力与反作用力等大反向，在求它们做的总功时所用的是相对位移，（例如：一对静摩擦力做的总功为零；一对滑动摩擦力作得总功为—f d 相对）而相对位移与参考系的选取无关。
03高中物理奥赛-第四讲能量和动量
第四讲 能量和动量知识要点：功和功率。
动能和动能定理。
重力势能。
引力势能。
质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不要求导出）。
弹簧的弹性势能。
功能原理。
机械能守恒定律。
碰撞。
冲量。
动量。
动量定理。
动量守恒定律。
反冲运动及火箭。
一、功和功率1、功功的定义式：物体(可看作质点)在恒力的作用下产生了位移，则力F 对物体所做的功为：W=FScos θ功有正负之分，正功和负功的物理意义必须从与做功相联系的能量转化角度去理解。
注意：当不能把物体当作质点处理时，物体的位移与力的作用点的位移是不相等的，这时公式中的S 理解为力的作用点的位移。
特别是在绳子牵引之类的问题，要注意作用点的位移。
功的定义式中力应为恒力。
如F 为变力，则可以采用如下方法处理：(1)微元法，即把变力做功转化为恒力做功，如讨论向心力对物体不做功时就用这个方法；(2)图像法，即作出力F 与位移变化的图像，求出图线与位移轴之间所围的面积。
一般用在作出的图线是直线的情况下；(3)等效法，即用机械能的增量或者pt 等效代换变力的。
有两种类型的做功值得注意：一是恒力(保守力)做功的特点：只与运动的初末位置有关，与具体过程无关；如重力、匀强电场中的电场力等；一是耗散力：与具体路径有关，如摩擦力。
当摩擦力大小一定时，摩擦力的功为fs 。
如果物体的运动轨迹ab 是一条曲线，力也是一个变力，则必须将ab 分成很多无限小的小段，然后求每小段的功之和。
这种求和一般要用到积分的知识，但在某些情况下也有比较简单的结果，例如，质量为m 的物体在重力的作用下从a 点运动到b 点，如图所示，取任意一个小段△s ，它在重力方向上的投影为△h ，重力在这一小段位移上做的功为mg △h,将所有小段的功加起来，即W(a →b)=h mg b a ∆∑=mg h b a ∆∑=mgh(a →b) 可见，重力做功仅仅取决于质点初位置和终止位置，而与其运动路线无关。
★注意：功的定义式中S 怎么取值？在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位移不等，S 是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢？我们先看下面一些事例。
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第四讲 功和能湖南郴州市湘南中学 陈礼生一、知识点击1．功、功率和动能定理 ⑴功功是力对空间的积累效应．如果一个恒力F作用在一个物体上，物体发生的位移是s ，那么力F在这段位移上做的功为 W=Fscos θ在不使用积分的前提下，我们一般只能计算恒力做的功．但有时利用一些技巧也能求得一些变力做的功．⑵功率：作用在物体上的力在单位时间内所做的功．平均功率：W P t=瞬时功率：cos lim limcos W F s P F ttθυθ===∆∆⑶动能定理①质点动能定理： 222101122K t K KW F s m m E E E υυ==-=-=∆外外②质点系动能定理：若质点系由n 个质点组成，质点系内任何一个质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其他质点对它的作用力（内力），在质点运动时这些力都将做功．221122i it i i i i W W m m υυ+=-∑∑∑∑外内即0K t K K W W E E E +=-=∆系外系内2． 虚功原理：许多平衡状态的问题，可以假设其状态发生了一个微小的变化，某一力做了一个微小的功△W ，使系统的势能发生了一个微小的变化ΔE ，然后即可由ΔW=△E 求出我们所需要的量，这就是虚功原理． 3．功能原理与机械能守恒⑴功能原理：物体系在外力和内力（包括保守内力和非保守内力）作用下，由一个状态变到另一个状态时，物体系机械能的增量等于外力和非保守内力做功之和．因为保守力的功等于初末势能之差，即 0P P t PW E E E =-=-∆保 K P W W E+=∆∆外非保内（E +E ）=⑵机械能守恒：当质点系满足：0W W +=外非保内，则ΔE =0即E K + E P = E K0 + E P0=常量机械能守恒定律：在只有保守力做功的条件下，系统的动能和势能可以相互转化，但其总量保持不变．说明：机械能守恒定律只适用于同一惯性系．在非惯性系中，由于惯性力可能做功，即使满足守恒条件，机械能也不一定守恒．对某一惯性系W 外=0，而对另一惯性系W 外≠0，机械能守恒与参考系的选择有关。
4．刚体定轴转动的功能原理若刚体处于重力场中，则：M 外=M 其外+M G （M其外表示除重力力矩M G 以外的其他外力矩）W=W 其外+W G =（M 其外+M G ）θ= E Kr而21G P P P W E =-∆=-（E -E ） 22112P K r C M E E m gh J θω=∆+∆=+其外（）即为重力场中刚体定轴转动的功能原理． 若呱0M θ=其外，即M 其外＝0，则：212C m gh J ω+=常量刚体机械能守恒． 二、方法演练类型一、动力学中有些问题由于是做非匀变速运动，用牛顿运动定律无法直接求解，用动能定理，计算细杆对小环做的功也比较困难，因此有时在受力分析时必须引入一个惯性力，这样就可以使问题简化很多。
例1．如图4—2所示，一光滑细杆绕竖直轴以匀角速度ω转动，细杆与竖直轴夹角θ保持不变，一 个相对细杆静止的小环自离地面h 高处沿细杆下滑． 求小球滑到细杆下端时的速度．分析和解：本题中由于小环所需向心力不断减小， 因此小环不是做匀变速运动，用牛顿运动定律无法 直接求解，用动能定理，计算细杆对小环做的功也 比较困难，因此我们选择细杆做参考系，分析小环 受力时必须加上一个惯性力，小环在旋转的非惯 性系中，虽然有径向运动，受到科里奥利力的作用，但小环在切向无位移，科里奥利力不做功．惯性离心力2f m r ω=,随半径r 的减小f 均匀减小，所以小环由半径r 0处移到下端r=0处，惯 性离心力对r 的平均值为22m r F ω=惯性离心力做的功：222101tan 2W F r m h ωθ=-=-重力做功为： W 2 = mgh ， 由动能定理得222211(tan )22m gh m h m ωθυ+-=υ=类型二、在功能关系的问题中有些也牵涉到速度关联的问题，在解题中必须注意到它们之间的约束条件，找出有关速度关系，才能准确利用功能原理即可求解．例2．如图4—3所示，一根长为l 的细刚性轻杆的两端分别连结小球a 和b ，它们的质量分别为m a 和m b ．杆可绕距a 球为14l 处的水平定轴O 在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置，小球b 几乎接触桌面．在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m 的立方体匀质物块，图中ABCD 为过立方体中心且与细杆共面的截面．现用一水平恒力F 作用于a 球上，使之绕O 轴逆时针转动，求当a 转过α角时小球b 速度的大小，设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b 与立方体物块始终接触没有分离．不计一切摩擦．解析：如图4—4所示，用b υ表示a 转过α。
角时b 球速度的大小，υ表示此时立方体速度的大小，则有cos b υαυ=由于b 与正立方体的接触是光滑的，相互作用力总是沿 水 平方向，而且两者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符号相反，做功的总和为0.因此在整个过程中推力F 所做的功应等于球a 、b 和正立方体机械能的增量．现用a υ表示此时a 球速度的大小，因为a 、b 角速度相同，14O a l =,034O b l=，所以得13a b υυ=根据功能原理可知22211331sin (cos )(cos )42442442a a ab b b l l l l l F m m g m m g m αυαυαυ⋅=--++-+将①、②式代人③可得22211331sin ()(cos )(cos )(cos )42442442a b a b b b b l l l l l F m m g m m g m αυαυαυα⋅=--++-+解得b υ=类型三、一些平衡状态的问题，用平衡条件很难或无法求解，这时可以假设其状态发生了一个微小的变化，就可以设想某一力做了一个微小的功△W ，然后用虚功原理就可以很简单地解答出问题．例3．如图4—5所示，一轻质三足支架每边长度均为l ，每边与竖直线成同一角度θ，三足置于一光滑水平面上，且恒成一正三角形．现用一绳圈套在三足支架的三足上，使其不能改变与竖直线间的夹角，设三足支架负重为G ，试求绳中张力F T ．分析和解：在本题这可以取与原平衡状态逼近的另一平衡态，从而虚设了一个元过程，此过程中所有元功之和 为零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理，从而 求得最后结果．分析支架受力：由于负重受到重力G ，支架的每边足部同时受到两侧绳的拉力F T T ，方向指向三足构成的正三角形的几何中心，支架三边足部受水平地面支持力F N ，此力方向竖直向上。
现设想支架各边足底在T 力作用下向正三角形中心移动一极小位移x ∆，因而支架的高度升高了y ∆,T 力有一元功．F N 力不做功．负重重力势能增大．对系统用功能原理得T x G y ⋅∆=⋅∆上式中，支架升高y ∆与x ∆关系如图4—6，图中支 架一边位置从ab 变为a'b'，作b'b" ⊥ ab, aa" ⊥ a' b'， 由于x ∆很小，ab 边转过的角度△θ也很小，故可认 为a"b'=ab"，且a'b'边与竖直方向夹角为θ，则有sin cos x y θθ∆=∆, 即tan y x θ∆=∆于是可得tanT x G x θ⋅∆=∆，即tan T G F =。
类型四、能量守恒的问题往往牵涉到摩擦力做功和碰撞，摩擦力做功要消耗机械能，而碰撞可以造成多过程，两者结合起来就很容易在物理学中出现一些数列问题，因此在解题中如何通过能量关系的计算得出有关的通式是解决这类问题的关键。
例4．一固定的斜面，如图4—7所示，倾角θ= 450，斜面长L = 2.00 m.在斜面下端有一与斜面垂直挡板，一质量为m 的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零．质点沿斜面到斜面最低端与挡板发生弹性碰撞．已知质点与斜面间的滑动摩擦因数μ=0.20.试求此质点从开始运动到与挡板发生第11次碰撞的过程中运动的总路程．分析和解：在本题中由于质点与挡板发生弹性碰撞，故机械能消耗在摩擦力做功上，因此只要求出下滑和上滑一个来回通过的路程的通式，就可用数列的方法求解了。
质点在沿斜面滑动的过程中，受到摩擦力f 的大小为cos f mg μθ=若质点从斜面最高点第一次到达斜面最低端时的速度为1υ，则有211sin cos 2m m gL m gL υθμθ=- ①质点与斜面挡板发生弹性碰撞后，以速度1υ开始沿斜面上滑．若上滑的最大路程为L l ，则有21111sin cos 2m m gL m gL υθμθ=+ ②由①、②两式得11sin cos sin cos mgL mgL mgL mgL θμθθμθ-=+ 即1sin cos sin cos L mg mg L mg mg θμθθμθ-=+令上式等号右边的数值等于a ，并以θ=450，μ=0.20代入，则得1L aL=，10.20210.203a -==+按同样的推理可知质点在第2次碰撞后上滑的距离为221L aL a L==依此类推，可知在第10次碰撞后上滑的距离为：1010L a L = 第1次碰撞前质点运动的路程为：1S L =第2次碰撞前质点运动的总路程为：2122S L L L aL =+=+依此类推，可知在第11次碰撞前，即从开始到发生第11次碰撞期间，质点运动的总路程为：21010222S L aL a L a L =+++⋅⋅⋅+上式等号右边的数值，可根据数学上等比级数求和的公式算出，即10101(12)1aS L a a -=+⋅-，故S 10=9．86 m.类型五、机械能守恒的问题往往还可以与刚体的约束条件的问题结合在一切，解决这类问题时一方面要考虑到约束面的约束反力，另一方面又要考虑约束反力是否做功，如果不做功，可重点考虑系统的质心变化和能量的关系，以及约束各点的速度关联。
例5．如图4—8所示，质量为m 的钢球下连一根可不计质量的轻杆，杆长为L,杆原来直立在光滑的水平面上，轻推一下后，问：（1）小球下落的轨迹是什么？（2）球在离地L/2处，杆着地点的速度为多少？分析和解：（1）由球和杆组成的系统，因杆的质量可以忽略． 所以系统 的质心在球心．又因水平面光滑，该系统所受的 外力有重力mg 、水平面的约束反力（即支持力）N 均沿竖 直方向，故有0e ix iF =∑,且由于t=0时，0C D υ=,于是有C x =常量即系统的质心—球心将沿着杆原来的直立方向运动，其轨迹为竖直线， 如图4一8所示。