理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系
理论力学第二章
M F d F d
2 2 2 4
F F F
3
4
F F F
3 4
3 4 3 4 1 2
M Fd F F d F d F d M M
平面内任意力偶可以合成一个合力偶，该合力偶系的平衡条件
尾相接，合力沿反方向构成封闭边。
二.平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充要条件：
Fi 0
平面汇交力系平衡的几何条件：该力系各分力组成的力多边形自行封闭
例2.1 已知AC=CB，P=10kN，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。支架
的横梁AB与斜杆DC以铰链C相连，并以铰链A、D连接于铅直墙上。杆DC
三.平面汇交力系合成的解析法
1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
FR=FRx+FRy=FRxi+FRy j
2.合矢量投影定理
合矢量投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在
同一轴上投影的代数和。
即：FRx=Fx1+Fx2+…+Fxn =∑Fx FRy=Fy1+Fy2+…+Fyn =∑Fy
3.平面汇交力系合成的解析法
2、力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面. 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂.
两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向
力偶矩：M=±Fd=±2A△ABC，代数量， 逆为正，顺为负。单位：N· m，或kN· m
力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替换； 力偶也不能用一个力来平衡。
四.同平面内力偶的等效定理
ix
例2.4 图示踏板，各杆自重不计，已知：F、α、l、B点坐标 (xB、yB)。求(1)力F对A点之矩；(2)平衡时杆CD的拉力。
第二章平面汇交力系及平面力偶系
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
二章节平面汇交力系与平面力偶系
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只 有一个未知数。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负 值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先 设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
FAC
FA 450
FAB
FD
图示结构由直角弯杆ABCD与BEG及
直杆CG构成，各杆自重不计，F，a为已
知，求B处的约束力。 FE FA
F
E G
B
力偶实例 2.4 平面力偶
力 偶 实 例 F1
F2
一 力偶的定义：
作用在同一刚体上的大小相等、方向相反、作 用线又不重和的两个平行力所组成的力系称为力偶。 （F ，F′）
6、平面上一个力和一个力偶可以简化成一个 力。
7、如果某平面力系由多个力偶和一个力组成， 该力系一定不是平衡力系。
填空题：
1、同平面的两个力偶，只要 ________相同， 对刚体的外效应相同。
2、力偶________与一个力等效，也_______ 被一个力平衡。
3、平面力偶系合力偶之矩m＝ ________ 。 平面力偶系的平衡条件是________ 。
4、力矩是力使物体绕指定矩心产生________ 效应的度量，其单位是 ________ 。力F对 平面上一点O的力矩等于力的________ 与 力作用线到点的______的乘积，用_____表 示。力矩有正负之分，_____转向规定为正。
填空题：
5、力系合力对平面某点的力矩，等于该力系
t2平面汇交力系与平面力偶系
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
平面汇交力系和平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。
若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。
设汇交力系1F ，2F ，3F汇交于O （图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F=如图和图所示，其中321F F F F ++=F2F 3F OFO1F 2F 3F12F讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。
3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：∑=i F F用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡1F 2F iF 2-n F 1-n F n F设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F，（∑-=-=111n i i N F F ）0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F等值，反向，共线，即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F，或0=∑i F结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是0=∑i F，力多边形自行封闭。
例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F，方向如图，求反力FA B C45F AF BACα 45FF BF α解：1。
第二章：平汇交力系与平面力偶系
第二章平面汇交力系与平面力偶系一、要求1、掌握平面汇交力系合成（分解）的几何法。
能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。
2、能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。
对合力投影定理应有清晰的理解。
3、能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。
4、对于力对点的矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。
5、深入理解力偶和力偶矩的概念。
明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。
6、掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。
二、重点、难点1、 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法。
2、 力对点之矩的计算，力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件。
三、学习指导平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于力系的矢量和，即∑==+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=ni i n F F F F R 121或简化为∑=F R上式是平面矢量方程，只可以求解两个未知数。
每一个力都有大小和方向两个要素（因为力的汇交点是已知的），因此，方程中只能有两个要素是未知的。
矢量方程的解法有：几何法和解析法。
只有力沿直角坐标轴分解的平行四边形才是矩形。
力在轴上投影的大小等于分力的大小，投影的正负表示分力沿坐标轴的方向。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零。
即∑R=F这个平面的矢量方程可解两个未知数，解法有几何法和解析法。
（1）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形封闭。
（2）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零即：∑=0YX；∑=0对于平衡方程，和平面汇交力系合成与分解的解析法一样，一般也选直角坐标系。
但在特殊情况下，有时选两个相交的相互不垂直的坐标轴，可使问题的求解简化。
这是因为平衡时合力恒等于零，合力在任一坐标轴的投影也恒等于零，所以，不一定局限在直角坐标系。
合力投影定理与合力矩定理是结构静力计算经常要用到的两个定理。
理论力学第二章
(1)
(2)
0
60
T2
T1 α
由(2)式解得：
N D Q - T2 sin
Q
Q 2 P sin 60
0
Q
3P
ND
END
(b)
[习题2-1] B
600
A
SAB SAC
A
B SAB
300
W (a)
W
200 700
C
∑X=0：
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 一、合成的几何法 1. 两个共点力的合成 公理3：作如右图所示。
A
F1
R α φ
F2
也可用力的三角形法则来作， 如右下图所示R ： 合力R大小和方向可直接由图上
按比例尺寸量取，此法叫图解法。
除了上面介绍的图解法之外，也可用三角函数来计算 合力R的大小和方向: 由余弦定理求合力R的大小：
C
解: 2)用解析法求解
a. 取AC杆为分离体: b.画其受力图:
600
(二力体)
c.选择坐标系:
(1)
B y A RA
W = 5kN (三力体)
d.列平衡方程: ΣX=0: SBC = RA
ΣY=0: SBC· sin30o+RA· sin30o= W C x 将(1)代入得: SBC = RA 0 30 = W/(2· sin30o) SBC = W = 5 kN
第一篇
静力学
Statics
第2章
平面汇交力系 与平面力偶理论
引 言
力系的概念：
平面力系 ------ ? ...... 在同一平面上。 空间力系 ------ ???
第二章-1 平面汇交力系与平面力偶系
第二章-1 平面汇交力系与平面力偶系一、判别题（正确和是用√，错误和否×，填入括号内。
）2-1 平面汇交力系平衡的充分与必要的几何条件是：力多边形自行封闭。
（√）2-2 力在某一固定面上的投影是一个代数量。
（×）2-3 两个力F1、F2大小相等，则它们在同一轴上的投影也相等。
（×）2-4 一个力不可能分解为一个力偶；一个力偶也不可能合成一个力。
（√）2-5 力偶无合力、不能用一个力来等袒代替，也不能用一个力来平衡；（√）2-6 力偶无合力，也就是说力偶的合力等于零。
（×）2-7 力偶矩和力对点之矩本质上是二样的，讲的是一回事。
（×）2-8 力偶的作用效果取决于力偶矩的大小和转向。
（√）2-9 只要两力偶的力偶矩代数值相等，就是等效力偶。
（√）2-10 力偶中的两个力对同平面内任一点之矩的代数和等于力偶矩。
（√）2-11 力偶只能用力偶来平衡。
（√）2-12 平面力偶系可简化为一个合力偶。
（√）2-13 力偶可任意改变力的大小和力偶臂的长短。
（×）2-14 力偶的两力在其作用面内任意轴上的投影的代数和都等于零。
（√）2-15 若两个力F1、F2在同一轴上的投影相等，则这两个力相等，即F1 = F2。
（×）2-16 若两个力F1、F2大小相等，则在同一轴Ox上投影相等，即F1x = F2x。
（×）2-17 若两个力F1、F2大小、方向、作用点完全相同，则这两个力在任一轴上的投影相等。
（√）2-18 若两个力大小相等、方向相反，则在任一轴Ox上的投影大小相等。
（√）2-19 若两个力平行，则它们在任一轴上的投影相等。
（×）2-20 若两个力在某轴上的投影均为零，则该两力平行。
（√）2-21 图示为分别作用在刚体上A、B、C、D点的4个共面力，它们所构成的力多边形自行封闭且为平行四边形。
由于力多边形自行封闭，所以是平衡的。
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M 0
FAl M1 M 2 M 3 0
解得
M1 M 2 M 3 FA FB 200N l
例2-6(讲)
已知
M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 30 ;
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图。
2ABC
平面力偶矩是代数量。逆时针正，顺时针负。
二、力偶与力偶矩的性质 1 . 力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
2 . 力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心 的改变而改变。（证明过程在下页）
M F d
M O F , F M O F M O F F d x1 F x1 Fd
FRy F iy F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N
2 2 FR FRx FRy 171.3N
FRx cos θ 0.7548 FR
FRy cos β 0.6556 FR θ 40.99 , β 49.01
M 0
解得
FO FA 8kN
' A
M1 FA r sin 0
r M 0 F sin M 2 0 解得 M 2 8kN m
FB FA 8kN
取杆BC，画受力图。
思考题 P33思考题2－2、2－8、2－9
作 业
P36起习题2－7、2－13，以及用解析 法求解课件中的例2-0
力三角形规则
二、多个汇交力的合成
力多边形规则
FR1 F1 F2
FR 2 FR1 F3 Fi
i 1 3
FR1 F1 F2
FR 2 FR1 F3 Fi
. . . . . .
n i 1
i 1 3
. . .
力多边形
FR FRn1 Fn Fi Fi
Fix 0 FBA cos θ FBC cos θ 0
得
FBA FBC
Fiy 0
解得
选压块C
FBA sin θ FBC sin θ F 0
FBA FBC 11.35kN
Fix 0 FCB cos θ FCx 0
F Fl 解得 FCx cotθ 11.25kN 2 2h
Fiy 0
F CB sin FCy 0
解得 FCy 1.5kN
§2-3 平面力对点之矩的概念和计算
一、平面力对点之矩（力矩） 力矩作用面 两个要素： 1.大小：力F与力臂的乘积 2.方向：转动方向(顺为负、 逆为正)
M 0 F F h
力对点之矩的矢量表示
解：CD为二力杆，取AB杆，画 受力图。 用几何法，画封闭力三角形。 或 按比例量得
D
FC 28.3kN, FA 22.4kN
FA FC
(简单讲)例2-2 已知：图示平面共点力系； 求：此力系的合力。 解：用解析法
FRx F ix F1 cos30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129.3N
§2-4 平面力偶理论
一、力偶和力偶矩
1 . 何谓力偶?
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作 F , F
2 . 力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面。
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。 两个要素： a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向 1 力偶矩： M F d 2 F d 2FB cos θ F
解得
FB =10kN, FA=11.34kN
解得
2.碾子拉过障碍物， 应有 FA 0 用几何法
F P tan θ 11.55kN
3.
解得 Fmin P sin θ 10kN
例2-1(讲) 已知：AC=CB，P=10kN,各杆自重不计； 求：CD杆及铰链A的受力。
1 1 1
M O F , F F d x2 F x2
2
F d Fd
'
力矩的符号 M O F 力偶矩的符号M
3 . 只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小 与力臂的长短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
证明过程 如下：
M F , F Fd 2ABC
M FR , FR FR d1 2ABD
ABC ABD
=
=
=
=
4 . 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
三、平面力偶系的合成和平衡条件
已知： M 1 , M 2 , M n ;
任选一段距离d
M1 F1 d M2 F2 d
i 1
n
平面力偶系平衡的充要条件 M=0 即 Mi 0 力对点之矩与力偶矩的异同点？
答：同：都产生转动效应，
异：力对点之矩与点的位置有 关，力偶矩与点的位置无关。
思考？
例（自学） 已知：
F , , xB , y B , l ;
求： 平衡时，CD杆的拉力。 解： CD为二力杆，取踏板
由杠杆平衡条件
例2-3 (讲)
已知： 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解：AB、BC杆为二力杆，假设 AB杆为拉杆，BC杆为压杆
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建坐标系(简化解题)
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
三、力矩与合力矩的解析表达式
M O F M O Fy M O Fx
x F sin y F cos x Fy y Fx
M O FR M O Fi
合力矩的解析表达式
M O FR xi Fiy yi Fix
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD
F cos y B F sin xB l
例2-8
已知：q , l ；
求： 合力及合力作用线位置。
解： 取微元如图 x q q l
x 1 P q dx ql 0 l 2
（自学）例2-0
已知：
求：
P=20kN，R=0.6m, h=0.08m:
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
解： 1.取碾子，画受力图。
用几何法，按比例画封闭力四边形
Rh θ arccos 30 R 按比例量得 FA 11.4 kN，FB 10 kN
Mn Fn d
M 1 F1d M 2 F2 d
M n Fn d
=
=
FR F1 F2 Fn FR F1 F2 Fn
=
=
=
M FR d F1d F2 d Fn d M M M
1 2
n
M Mi Mi
力 多 边 形 规 则
三、平面汇交力系平衡的几何条件
平衡条件
Fi 0
力多边形自行封闭
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 （坐标法）
一、力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
y
F
β
x
结论：力在坐标轴上 的投影是代数量
Fx F cosθ Fy F cosβ
y
Fy
Fy
F
β
Fx
M0 F r F
二、汇交力系的合力矩定理
FR Fi F1 F2 Fn FR F1 F2 Fn
r FR r F1 r F2 r Fn 即 M F M F
O R O i
平面汇交力系
M 0 FR M 0 Fi
则，合力的大小为：
FR FRx FRy
2
2
方向为： cosF , i Fix R
FR Fiy cosFR , j FR
作用点为力 的汇交点。
三、平面汇交力系的平衡方程 平衡条件
FR 0
2 2
FR FRx FRy
平衡方程
Fx 0
Fy 0
l
由合力矩定理
x P h q dx x q dx 0 0 l
l l
2
得
2 h l 3
例2-5（自学）
已知： M1 M 2 10N m, M 3 20N m, l 200mm ;
求： 光滑螺柱AB所受水平力。
解：由力偶只能由力偶平衡的 性质，其受力图为
F1 F2 P
解得：
FBA 7.321kN
（AB为压杆）
Fiy 0
解得：
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
FBC 27.32kN
（BC为压杆）
例（自学） 已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm.忽略自重；
求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆 受力。 解：AB、BC杆为二力杆。 取销钉B。 用解析法
Fx
x
F Fx Fy
结论：力的分解即分力，它是矢量
在直角坐标系中上式可写成
F Fx i Fy j
二、平面汇交力系合成的解析 法 FR Fi 因为 由合矢量投影定理（合矢量在某一轴上的投影等于 各分矢量在同一轴上投影的代数和），得合力投影 定理 FRx Fix FRy Fiy