第二章平面汇交力系及平面力偶系
二章节平面汇交力系与平面力偶系
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只 有一个未知数。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负 值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先 设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
FAC
FA 450
FAB
FD
图示结构由直角弯杆ABCD与BEG及
直杆CG构成，各杆自重不计，F，a为已
知，求B处的约束力。 FE FA
F
E G
B
力偶实例 2.4 平面力偶
力 偶 实 例 F1
F2
一 力偶的定义：
作用在同一刚体上的大小相等、方向相反、作 用线又不重和的两个平行力所组成的力系称为力偶。 （F ，F′）
6、平面上一个力和一个力偶可以简化成一个 力。
7、如果某平面力系由多个力偶和一个力组成， 该力系一定不是平衡力系。
填空题：
1、同平面的两个力偶，只要 ________相同， 对刚体的外效应相同。
2、力偶________与一个力等效，也_______ 被一个力平衡。
3、平面力偶系合力偶之矩m＝ ________ 。 平面力偶系的平衡条件是________ 。
4、力矩是力使物体绕指定矩心产生________ 效应的度量，其单位是 ________ 。力F对 平面上一点O的力矩等于力的________ 与 力作用线到点的______的乘积，用_____表 示。力矩有正负之分，_____转向规定为正。
填空题：
5、力系合力对平面某点的力矩，等于该力系
t2平面汇交力系与平面力偶系
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
平面汇交力系和平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。
若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。
设汇交力系1F ，2F ，3F汇交于O （图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F=如图和图所示，其中321F F F F ++=F2F 3F OFO1F 2F 3F12F讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。
3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：∑=i F F用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡1F 2F iF 2-n F 1-n F n F设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F，（∑-=-=111n i i N F F ）0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F等值，反向，共线，即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F，或0=∑i F结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是0=∑i F，力多边形自行封闭。
例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F，方向如图，求反力FA B C45F AF BACα 45FF BF α解：1。
第二章-平面汇交力系与平面力偶系
FC FA
2FC sin 30 Q 0 FC Q FA Q
例2-3：重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架 的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D 上。杆AB 与BC 铰接，并以铰链A、C与 墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB 和BC 所受的力。
平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系， 是研究复杂力系的基础。 本章研究问题： (1)平面汇交力系的几何法与解析法 (2)平面力偶的基本特性 (3)平面力偶系的合成与平衡
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
所有的力在同个平面内且作用线交于一点为平面 汇交力系，三力平衡为其一。
几何法：根据力的平行四边形规则作图得出。
FNA
A
B
FNA
水平坐标系：
FNB
F
y`
30 60 °
x`
FNB F
o`
A B
FNA
FNB
FNA
同样得：
也可以用几何法，画出封闭的力三角形求解，解得此结果。
工件对V形铁的压力与FNA、FNB等值反向。
例：在图示结构中各构件的自重略去不计。在构件AB上作用 一力偶矩为M的力偶，求支座A和C的约束反力。
(a) (b)
FBC、 FAB 均为正值，表示力的假设方向与实际方向 相同，即杆 BC 受压，杆 AB 受拉力。
例：不计杆重。D处受力G，求A、 C处的约束反力。 解：
画受力图
FLASH
Sa大小、方向不知，Sb大小不知，三个未知数
由几何关系：
1 tg tg 3
X 0, Y 0,
SB cos SA cos 0
SB sin SA sin G 0
第二章：平汇交力系与平面力偶系
第二章平面汇交力系与平面力偶系一、要求1、掌握平面汇交力系合成（分解）的几何法。
能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。
2、能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。
对合力投影定理应有清晰的理解。
3、能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。
4、对于力对点的矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。
5、深入理解力偶和力偶矩的概念。
明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。
6、掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。
二、重点、难点1、 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法。
2、 力对点之矩的计算，力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件。
三、学习指导平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于力系的矢量和，即∑==+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=ni i n F F F F R 121或简化为∑=F R上式是平面矢量方程，只可以求解两个未知数。
每一个力都有大小和方向两个要素（因为力的汇交点是已知的），因此，方程中只能有两个要素是未知的。
矢量方程的解法有：几何法和解析法。
只有力沿直角坐标轴分解的平行四边形才是矩形。
力在轴上投影的大小等于分力的大小，投影的正负表示分力沿坐标轴的方向。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零。
即∑R=F这个平面的矢量方程可解两个未知数，解法有几何法和解析法。
（1）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形封闭。
（2）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零即：∑=0YX；∑=0对于平衡方程，和平面汇交力系合成与分解的解析法一样，一般也选直角坐标系。
但在特殊情况下，有时选两个相交的相互不垂直的坐标轴，可使问题的求解简化。
这是因为平衡时合力恒等于零，合力在任一坐标轴的投影也恒等于零，所以，不一定局限在直角坐标系。
合力投影定理与合力矩定理是结构静力计算经常要用到的两个定理。
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的两个重要概念。
平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。
在平面汇交力系中，力的大小和方向可以通过力的矢量表示。
平面汇交力系的合成可以通过力的多边形法则来进行，即将各个力按照首尾相接的顺序连接起来，形成一个封闭的多边形，合力则为这个多边形的封闭矢量。
平面力偶系是指由若干个力偶组成的力系，其中力偶是由大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力矩对。
在平面力偶系中，力偶的作用效果是产生旋转，而不是平移。
平面力偶系的合成可以通过力偶矩的代数和来进行。
平面汇交力系和平面力偶系在工程和物理学中有广泛的应用。
在结构分析、机械设计和力学问题中，常常需要考虑和分析平面汇交力系和平面力偶系的作用效果。
总的来说，平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的重要概念，它们的合成和平衡条件对于理解和解决平面力学问题至关重要。
第二章-1 平面汇交力系与平面力偶系
第二章-1 平面汇交力系与平面力偶系一、判别题（正确和是用√，错误和否×，填入括号内。
）2-1 平面汇交力系平衡的充分与必要的几何条件是：力多边形自行封闭。
（√）2-2 力在某一固定面上的投影是一个代数量。
（×）2-3 两个力F1、F2大小相等，则它们在同一轴上的投影也相等。
（×）2-4 一个力不可能分解为一个力偶；一个力偶也不可能合成一个力。
（√）2-5 力偶无合力、不能用一个力来等袒代替，也不能用一个力来平衡；（√）2-6 力偶无合力，也就是说力偶的合力等于零。
（×）2-7 力偶矩和力对点之矩本质上是二样的，讲的是一回事。
（×）2-8 力偶的作用效果取决于力偶矩的大小和转向。
（√）2-9 只要两力偶的力偶矩代数值相等，就是等效力偶。
（√）2-10 力偶中的两个力对同平面内任一点之矩的代数和等于力偶矩。
（√）2-11 力偶只能用力偶来平衡。
（√）2-12 平面力偶系可简化为一个合力偶。
（√）2-13 力偶可任意改变力的大小和力偶臂的长短。
（×）2-14 力偶的两力在其作用面内任意轴上的投影的代数和都等于零。
（√）2-15 若两个力F1、F2在同一轴上的投影相等，则这两个力相等，即F1 = F2。
（×）2-16 若两个力F1、F2大小相等，则在同一轴Ox上投影相等，即F1x = F2x。
（×）2-17 若两个力F1、F2大小、方向、作用点完全相同，则这两个力在任一轴上的投影相等。
（√）2-18 若两个力大小相等、方向相反，则在任一轴Ox上的投影大小相等。
（√）2-19 若两个力平行，则它们在任一轴上的投影相等。
（×）2-20 若两个力在某轴上的投影均为零，则该两力平行。
（√）2-21 图示为分别作用在刚体上A、B、C、D点的4个共面力，它们所构成的力多边形自行封闭且为平行四边形。
由于力多边形自行封闭，所以是平衡的。
理论力学第二章汇交力系与平面力偶系
FBC= 224.23 kN 代入（3）、（4）解得
tan θ = 1.631 , θ = 58.5°
FA= 303.29 kN
y
FBC
FD
C
45°
30°
x
W2
y
FA
θB
x
45°
W1 F'BC
第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡
投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值
y
FBC
B 30°
x
FAB
FD 30° W
b
联立求解,得
FAB= －54.5kN , FBC= 74.5kN
反力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。 即杆AB实际上受拉力。
第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡
例2–5 如图已知W1=100 kN， W2=250 kN。不计各
Fx F cos
Fy
Fy F cos
O 2、力在空间直角坐标轴上的投影：
F
Fx x
一次投影法：
Z
Fx F cos Fy F cos
F
O
y
FZ F cos
第二章 汇交力系与平面力偶系
x
★§2–2 空间汇交力系的合成与平衡 二次投影法：
已知力F 和某一平面（oxy)的夹
角为θ，又已知力F 在该平面
杆自重，A，B，C，D各点均为光滑铰链。试求平衡状
态下杆AB内力及与水平的夹角。
A
θB
D
W1
45° C
30°
W2 第二章 汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡
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1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
例：求图示结构，当α=30°时，滑块C对工件的
压力。
P
FA
FAC
F′ F
A
A B αα C
C
FAC′
P
工件
A FA′
FAB
例：求图示结构，当α=30°时，滑块C对工件的
压力。
P
解1、研究A销，受力图a所示
据平衡方程：ΣFx=0
A
ΣFy=0
B αα C
FAB cos30 FA cos30 0
工件 P
A FA′
FAB 图a
得 : FAB FA
FAB sin 30 FA sin 30 P 0 得 : FA P
90°
解法1：建立水平垂直坐标系
据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
R1 cos45 R2 cos45 0
y
得 : R1 R2
x R1 sin 45 R2 sin 45 G 0
R1
R2 G
2 R1 R2 2 G
例：已知球重为G，求图示球对V形槽的压力。
90°
解法2：建立图示垂直坐标系
例：求图示结构中AB、BC杆所受的力。
A B
FBA
FBC
30°
FBA′
B
Q
C
FBC′
T
据平衡方程：ΣFx=0
y
ΣFy=0
x
Fy FBC cos30 T 0
FB C
23 3
T
FX FBA FBC sin30 0
FBA
3 T
3
例：求图示结构中AB、BC杆所受的力。
例：求图示结构中AB、BC杆所受的力。
工程力学教学课件
工程力学
清华大学出版社 北京交通大学出版社
理论力学教学课件
第二章 平面汇交力系与力偶系
力系分为：平面力系和空间力系。平面力系 又分为汇交力系、力偶系和任意力系。
本章内容：力系的合成与平衡条件 合成方法：几合法与解析法
第 一 章 静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系合成与平衡 的几何法
解：定力比例尺： 100N
F1
F1
F2
cm
45°
O
F2
O
R 100 OA
R
F3
100 3.5
第 一 章
F3
A 350N
静 力 学
基
础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
二、汇交力系平衡（合力为零）的几何条件
思考
? F3
找出合力
F2
F1 F2
F4
F1
F3
第
一
章
平面汇交力系平衡的几何条件：力多边形
力系的合力在 某轴上的投影等于 力系中各力在同轴 上投影的代数和。
R
F3
F1
F2
X
第
一
章
RX=F1X+ F2X + F3X
静
力
学
基
础
证明：
R A
F1 B
ab
∑FY α
D F3 C
F2 X
c
d
R
∑FX
分力投影：F1X=ab F2X=bd F3X=-cd
合力投影：RX=ac RX = F1X+ F2X+ F3X
例：求图示结构，当α=30°时，滑块C对工件的
压力。
P
解2、研究C滑块，受力图b所示
A B αα C
据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
已求得 : FAC FA P
工件 FAC C F′
图b
FAC cos30 F 0
得:
F
P c os30
23 3
P
1.15P
例：已知球重为G，求图示球对V形槽的压力。
例：计算各力在坐标轴上的投影
F1x F1 cos30, F1y F1 sin30
F4x F4 cos45, F4y F4 sin45
5
3
4
F2x F2 5 , F2y F2 5
第 一
章
F3X 0, F3y F3
静 力 学
基
础
理论力学教学课件
第二节 平面汇交力系合成的解析法
一、解析法合成 2、合力投影定理
F2y=0
F3X=0
F3
F3y=- F3=-300N
第 一
章
R
FX 2 Fy 2
271 2
229 2
354 N
静 力
学
基
础
第二节 平面汇交力系平衡的解析条件
▪ 二、平面汇交力系平衡条件：R=0
R FX 2 Fy 2
得平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
应用：可求解平衡汇交 力系中二个未知数。
第
一
章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
O F2
F3
R12
F2
R123
F1 O
R123
F3
第 一 章
力多边形
静 力
学
基
础
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
例 用 几 何 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N。
MO(F) O
h
F
第 一 章 静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第三节
力对点之矩
二、合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面上任一点之矩， 等于所有各分力对同一点力矩的代数和。
据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
R1 G cos45 0
y
x
得 : R1 R1
R2 G
得 : R2
2G 2
理论力学教学课件
第三节
平面力对点之矩
一、力矩的概念：力使物 体绕某点转动作用的量称 为力对点之矩。力矩为一 代数量，它的大小为力F 的大小与力臂（矩心到力 作用线的垂直距离）的乘 积。如力F对O点之矩，记 为： mo（F）= + Fh