2018-2019高中数学必修二(人教A版)新学案讲义第一章空间几何体1.3.2Word版含答案
[推荐学习]2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：1.3空间几何体的表面积与体积
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第1课时柱体、锥体、台体的表面积学习目标 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题．知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积思考1正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？答案相等．思考2棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？答案是．梳理知识点二圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 S 侧＝2πrl ， S 表＝2πr (r ＋l )．思考2 圆锥SO 及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 底面周长是2πr ，利用扇形面积公式得 S 侧＝12×2πrl ＝πrl ，S 表＝πr 2＋πrl ＝πr (r ＋l )．思考3 圆台OO ′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 如图，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长， 如图，x x ＋l ＝rR，解得 x ＝r R －rl . S 扇环＝S 大扇形－S 小扇形 ＝12(x ＋l )×2πR －12x ·2πr ＝π[(R －r )x ＋Rl ]＝π(r ＋R )l ， 所以S 圆台侧＝π(r ＋R )l ， S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)． 梳理类型一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积例1 (1)如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，∠AA 1B 1＝∠AA 1C 1＝60°，∠BB 1C 1＝90°.侧棱长为b ，则其侧面积为( )A.334abB.3＋22ab C ．(3＋2)ab D.23＋22ab答案 C解析 斜棱柱的侧面积等于各个侧面面积之和，斜棱柱的每个侧面都是平行四边形．由题意知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形．∵AB ＝AC ＝a ，∴BC ＝2a . ∵∠AA 1B 1＝∠AA 1C 1＝60°，AB ＝AC ＝a ，AA 1＝b ， ∴1111＝ACC A ABB A SS＝ab sin 60°＝32ab . 又∵∠BB 1C 1＝90°，∴侧面BB 1C 1C 为矩形，∴11矩形BB C C S ＝2ab ，∴S 斜三棱柱侧＝32ab ＋32ab ＋2ab ＝(3＋2)ab . 故选C.(2)已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．解 如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，则O 1O ＝12.连接OE 、O 1E 1， 则OE ＝12AB ＝12×12＝6，O 1E 1＝12A 1B 1＝3.过E 1作E 1H ⊥OE ，垂足为H ， 则E 1H ＝O 1O ＝12，OH ＝O 1E 1＝3， HE ＝OE －O 1E 1＝6－3＝3.在Rt △E 1HE 中，E 1E 2＝E 1H 2＋HE 2＝122＋32＝153， 所以E 1E ＝317.所以S 侧＝4×12×(B 1C 1＋BC )×E 1E＝2×(6＋12)×317＝10817. 引申探究本例(2)中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求出棱台的侧面积吗？ 解 如图，将正四棱台的侧棱延长交于一点P .取B 1C 1、BC 的中点E 1、E ，则EE 1的延长线必过P 点．O 1、O 分别是正方形A 1B 1C 1D 1与正方形ABCD 的中心．由正棱锥的定义，CC 1的延长线过P 点， 且有O 1E 1＝12A 1B 1＝3，OE ＝12AB ＝6，则有PO 1PO ＝O 1E 1OE ＝36，即PO 1PO 1＋O 1O ＝12，所以PO 1＝O 1O ＝12.在Rt △PO 1E 1中，PE 21＝PO 21＋O 1E 21＝122＋32＝153，在Rt △POE 中，PE 2＝PO 2＋OE 2＝242＋62＝612， 所以E 1E ＝PE －PE 1＝617－317＝317. 所以S 侧＝4×12×(BC ＋B 1C 1)×E 1E＝2×(12＋6)×317＝10817.反思与感悟 棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．跟踪训练1 已知正三棱锥V －ABC 的正视图、俯视图如图所示，其中VA ＝4，AC ＝23，求该三棱锥的表面积．解 由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，且VA ＝VB ＝VC ＝4，AB ＝BC ＝AC ＝23， 取BC 的中点D ，连接VD ，则VD ⊥BC ， 所以VD ＝VB 2－BD 2＝42－(3)2＝13，则S △VBC ＝12VD ·BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，所以三棱锥V －ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3)． 类型二 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积例2 (1)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等．若圆柱的底面半径为r ，圆柱的侧面积为S ，则圆锥的侧面积为________． 答案4π2r 4＋S 22解析 设圆柱的高为h ，则2πrh ＝S ，∴h ＝S 2πr. 设圆锥的母线为l ，∴l ＝r 2＋h 2＝r 2＋S 24π2r2.∴圆锥的侧面积为πrl ＝πrr 2＋S 24π2r2＝4π2r 4＋S 22. (2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm 和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________．(结果中保留π) 答案 1 100π cm 2解析 如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10， 所以SA ＝20，同理可得SB ＝40， 所以AB ＝SB －SA ＝20， 所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)． 故圆台的表面积为1 100π cm 2.反思与感悟 解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长．跟踪训练2 (1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2πB.1＋2π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π答案 A解析 设圆柱的母线长为l ，∴l ＝2πr ，r ＝l2π，则圆柱的表面积为2πr 2＋l 2＝2πl 24π2＋l 2＝2π＋12πl 2，侧面积为l 2，∴圆柱的表面积与侧面积的比是2π＋12πl 2∶l 2＝2π＋12π.故选A.(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C.2倍 D ．2倍 答案 D解析 设圆锥底面半径为r ，由题意知母线长l ＝2r ，则S 侧＝πr ×2r ＝2πr 2，∴S 侧S 底＝2πr 2πr2＝2.类型三 简单组合体的表面积例3 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π 答案 C解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝(23)2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.反思与感悟 求组合体的表面积，首先弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求面积，然后根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．跟踪训练3 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是______ cm 2.答案 7＋ 2解析 其直观图如图．由直观图可知，该几何体为一个正方体和一个三棱柱的组合体， ∴其表面积S ＝6×(1×1)＋2×12×1×1＋1×2＝7＋ 2.1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S ，则它的侧面积是( ) A.Sπ B ．πS C ．2πS D ．4πS 答案 B解析 ∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S ， ∴圆柱的母线长为S ，底面圆的直径为S ， ∴圆柱的侧面积S ＝π×S ×S ＝πS . 故选B.2．如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，则正四面体D －A 1BC 1的表面积与正方体的表面积之比是( )A.22 B.33C. 3D. 2 答案 B解析 设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体D －A 1BC 1的棱长为2，表面积为4×12×2sin 60°×2＝23，∴正四面体D －A 1BC 1的表面积与正方体的表面积之比是33，故选B. 3．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为( ) A ．100π B ．81π C ．169π D ．14π 答案 A解析 ∵圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r ，则下底面半径和高分别为4r 和4r ，由100＝(4r )2＋(4r －r )2，得r ＝2，故圆台的侧面积等于π(r ＋4r )×l ＝π(2＋8)×10＝100π，故选A.4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 答案 2解析 设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，则12πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，∴r ＝1，即圆锥的底面直径为2.5．直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积．解 设此直角三角形为ABC ，AC ＝20，BC ＝15，AC ⊥BC ，则AB ＝25.过C 作CO ⊥AB 于点O ，直角三角形绕AB 所在直线旋转生成的旋转体，它的上部是圆锥(1)，它的下部是圆锥(2)，两圆锥底面圆相同，其半径是OC ，且OC ＝20×1525＝12，圆锥(1)的侧面积S 1＝π×12×20＝240π，圆锥(2)的侧面积S 2＝π×12×15＝180π.旋转体的表面积应为两个圆锥侧面积之和，即S ＝S 1＋S 2＝420π.1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解． 3．S 圆柱表＝2πr (r ＋l )；S 圆锥表＝πr (r ＋l )；S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)．课时作业一、选择题1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案 C解析 设圆锥的母线长为l ，则l ＝3＋1＝2，∴圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π. 2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．8 答案 C解析 圆台的轴截面如图所示，由题意知，l ＝12(r ＋R )，S 圆台侧＝π(r ＋R )·l ＝π·2l ·l ＝32π， ∴l ＝4.3．正四棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm ，高是1 cm ，它的侧面积为( ) A ．6 cm 2 B.354 cm 2 C.233 cm 2 D ．3 5 cm 2答案 D解析 ∵四棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm ，高是1 cm ，∴上底边到上底中心的距离是12 cm ，下底边到下底中心的距离是1 cm ，那么梯形的高，就是斜高为12＋(1－12)2＝52(cm)，一个梯形的面积就是12(1＋2)×52＝354(cm 2)，∴棱台的侧面积S ＝35(cm 2)． 故选D.4．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为( )A ．80B ．242＋88C ．242＋40D ．118答案 B解析 根据题意，可得该几何体是底面是边长分别为6和8的矩形且侧棱长均相等的四棱锥，高为SO ＝4，如图所示，因此，等腰三角形SAB 的高SE ＝SO 2＋OE 2＝42＋32＝5，等腰三角形SCB 的高SF ＝SO 2＋OF 2＝42＋42＝42，∴S △SAB ＝S △SCD ＝12×AB ×SE ＝20，S △SCB ＝S △SAD ＝12×CB ×SF ＝122，∵矩形ABCD 的面积为6×8＝48， ∴该几何体的表面积为S 表＝S △SAB ＋S △SCD ＋S △SCB ＋S △SAD ＋S ABCD ＝2×20＋2×122＋48＝242＋88.故选B.5．一个直角三角形的直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为()A．15π B．20π C．12π D．15π或20π答案 D解析以直角三角形的直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥，有以下两种情况：根据圆锥的侧面积计算公式S侧面积＝πr×l母线长．①以直角边3为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S＝4π×5＝20π；②以直角边4为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S＝3π×5＝15π.故选D.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．372 B．360 C．292 D．280答案 B解析由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.7．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9π，则该几何体的正视图中实数a 的值为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析设几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积为S＝2π×1×a＋π×1×(3)2＋12＋π×12＝2πa＋3π＝9π，∴a＝3.二、填空题8．若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是________．答案1∶2解析设该圆锥体的底面半径为r，母线长为l，根据题意得2πr＝πl，所以l＝2r，所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是πr2∶12πl2＝r2∶12(2r)2＝1∶2.故答案为1∶2.9．一个几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是________．答案12π解析由三视图知该几何体是一个圆台，其上、下底面的半径分别为2,1，母线长为4，则该几何体的侧面积S＝π(2×4＋1×4)＝12π.10．如图所示，一个正四棱锥(底面是正方形，从顶点向底面引垂线，垂足是底面中心的四棱锥)的正方形底面的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的表面积为____ cm2.答案 48解析 ∵该四棱锥的侧面是底边长为4 cm 的全等的等腰三角形，∴要求侧面积，只需求等腰三角形底边上的高即可，可构造直角三角形求解．如题图所示，正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt △POE . ∵OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°， ∴斜高PE ＝OE sin 30°＝212＝4(cm)．∴S 棱锥侧＝4·12·BC ·PE ＝4×12×4×4＝32(cm 2)，∴S 表＝S 侧＋S 底＝32＋4×4＝48(cm 2)．11．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．答案 96＋6π解析 由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S ＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π. 三、解答题12．如图所示是某几何体的三视图，它的正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形．(长度单位：cm)(1)该几何体是什么图形？(2)画出该几何体的直观图(坐标轴如图所示)，并求它的表面积.(只需作出图形，不要求写作法)解 (1)由三视图可知该几何体是三棱柱． (2)直观图如图所示．因为该几何体的底面是边长为4 cm 的等边三角形，高为2 cm ，所以它的表面积S 三棱柱＝2S底＋S 侧＝2×34×42＋3×4×2＝(24＋83)(cm 2)． 13．如图，已知正三棱锥S －ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．解 如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′.过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12×3a ×h ′＝34a 2×2，∴a ＝3h ′.∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2， ∴32＋(36×3h ′)2＝h ′2，∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6. ∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝183， ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3. 四、探究与拓展14．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．3 答案 A解析 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r .由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.15．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x 的内接圆柱．(1)试用x 表示圆柱的高；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？ 解 (1)设所求的圆柱的底面半径为x ，它的轴截面如图，BO ＝1，PO ＝3，圆柱的高为h ， 由图，得x 1＝3－h3，即h ＝3－3x .(2)∵S 圆柱侧＝2πhx ＝2π(3－3x )x ＝6π(x －x 2)， 当x ＝12时，圆柱的侧面积取得最大值为32π.∴当圆柱的底面半径为12时，它的侧面积最大为32π.。
2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：1.3空间几何体的表面积与体积 第2课时
第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ，∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高． 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)． 类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解 如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OEsin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2 D ．24πa 2 答案 B解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ，得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a .(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32， ∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积． 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)，由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)．在Rt△OB1C1中，OC1＝R2－r21＝R2－49，在Rt△OBC中，OC＝R2－r2＝R2－400.由题意可知OC1－OC＝9，即R2－49－R2－400＝9，解此方程，取正值得R＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC1＝R2－49，OC＝R2－400.由题意可知OC1＋OC＝9，即R2－49＋R2－400＝9.整理，得R2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．1或7 D ．2或6 答案 C解析 画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形： ①两个平行截面在球心的两侧， ②两个平行截面在球心的同侧． 对于①，m ＝52－32＝4，n ＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m ＋n ＝7； 对于②，两平行截面间的距离是m －n ＝1. 故选C.类型三 组合体的体积例4 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟 此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体． 跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解 三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球． 这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)， 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2. 5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定 答案 B解析 由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3 cm 3答案 C解析 如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)，故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π 答案 C解析 由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为( ) A ．45π B ．27π C ．36π D ．54π 答案 D解析 因为球的表面积为36π，所以球的半径为3， 因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6， 所以圆柱的表面积S ＝2π×32＋2π×3×6＝54π. 二、填空题9．如图，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2的值为________．答案124解析 设三棱柱的高为h ，∵F 是AA 1的中点，则三棱锥F －ADE 的高为h2，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴S △ADE ＝14S △ABC ，∵V 1＝13S △ADE ·h2，V 2＝S △ABC ·h ，∴V 1V 2＝16S △ADE ·h S △ABC ·h ＝124. 10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm ，半径为 2 cm ，则该圆锥的体积为___ cm 3. 答案 π3解析 ∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm ，半径为 2 cm ，故圆锥的底面周长为2π cm ，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________． 答案 3π解析 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ， 可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。
2019秋新版高中数学人教A版必修2课件：第一章空间几何体1.3.1.1
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【做一做1】 若圆柱OO'的底面半径r=2 cm,母线长l=3 cm,则圆 柱OO'的表面积等于 cm2. 解析:S表=2πr(r+l)=2π×2×(2+3)=20π(cm2). 答案:20π
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3.圆锥的表面积 (1)侧面展开图:圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的半径是圆 锥的母线,扇形的弧长等于圆锥的底面周长,如图所示.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
与三视图有关的面积计算
【例2】已知一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面 积为( ) A.72 B.66 C.60 D.30
题型一
题型二
题型三
题型四
解析:由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱,且底面为直角 三角形,直角边长分别为3和4,斜边长为5,三棱柱的高为5,如图所示, 1 所以表面积为 2 × 3 × 4 + (3 + 4 + 5) × 5 = 72. 2 答案:A
440-80 2 1
= 180(mm).
∴AE= ������������ 2 -������������ 2 = 3002 -1802 = 240(mm). ∴S 梯形 ABCD= 2 × (440 + 80) × 240 = 62 400(mm2).
则四棱台的侧面积为 62 400×4=249 600(mm2). 故制造这个下料斗所需铁板面积为 249 600 mm2. 反思解决此类问题首先要分清是求几何体的表面积还是侧面积,其 次将实物转化为空间图形,最后转化到平面图形进行处理.
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1.棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,计算它 们的表面积就是计算它们的各个侧面面积和底面面积之和.
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空间几何体的定义、分类及相关概念
构成空间几何体的基本元素是什么？常见的几何体可以分成
构成空间几何体的基本元素是：点、线、面.常见几何体可以
哪几类？ 分为多面体和旋转体.
梳理 类别 多面体 成的几何体 旋转体 条 定直线 旋转所形成的封闭几何体
定义
由若干个平面多边形 围 由一个平面图形绕它所在平面内的一
棱锥的结构特征
相关概念 底面(底)： 多边形 面 分类 按底面多 边形的边 数分：三 棱锥、四 棱锥、 „„
图形及表示
侧面：有公共顶点的
三角形面 各个________
锥 点的三角形，由 如图可记作：棱 这些面所围成的 锥S—ABCD 多面体叫做棱锥
侧棱：相邻侧面的公 __ 共边 _____ 顶点：各侧面的公共 ____
棱柱的结构特征
相关概念 底面(底)：两个 互相 平行 的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面 公共边 的_______ 顶点：侧面与底 公共顶点 面的________ 分类 按底面多
图形及表示
边形的边
数分：三
如图可记作：棱柱 ABCDEF— A′B′C′D′E′F′
棱柱、四
棱柱、
„„
知识点三
名称 定义 有一个面是多边 ____ 形，其余各面都 棱 是有一个公共顶
题型探究
类型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
命题角度1 棱柱的结构特征
例1 下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行. (3) 其中正确说法的序号是_____. 解析 (1)错，底面可以不是平行四边形； (2)错，底面可以是三角形； (3)正确，由棱柱的定义可知.
2018年秋高中数学人教A版必修2课件：第1章 空间几何体1.3.1 精品
5．锥体的体积 顶点 (1) 棱 锥 ( 圆 锥 ) 的 高 是 指 从 顶 点 向 底 面 作 垂 线 ， ____ 与
垂足 ____(垂线与底面的交点)之间的距离．
1 Sh 3 (2)锥体的底面积为S，高为h，其体积V＝______.特别地， 1 2 圆锥的底面半径为r，高为h，其体积V＝______. 3πr h 6．台体的体积
(2)面积：柱体的表面积S表＝S侧＋2S底．特别地，圆柱的底
2πrl ，表面积S 面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝______
表＝__________.
2πr(r＋l)
[归纳总结]
表面积是几何体表面的面积，它表示几何体
表面的大小，常把多面体展开成平面图形，利用平面图形求多 面体的表面积，侧面积是指侧面的面积，与表面积不同．一般 地，表面积＝侧面积＋底面积．
(1)圆台(棱台)的高是指两个底面 ________之间的距离．
1 ＝ ___________________. 3(S＋ SS′＋S′)h 特别地，圆台的上、下底面半径分别 1 2 2 π ( r ＋ rr ′＋ r ′ )h 为r、r′，高为h，其体积V＝__________________. 3
游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了 大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”
外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外
墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异 彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？
1.柱体的表面积 (1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是平行四边形 __________，一边是 底面周长，如图①所示；圆柱 棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的________ 的侧面展开图是矩形 ____，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆 柱的底面周长，如图②所示．
2018-2019数学人教A版必修2通用版：第一章空间几何体1.3.2
[ 解析] 方体组成
由三视图知，此几何体是一个半径为 1 的半球和一个棱长为 2 的正
(1)S＝S 半球＋S 正方体表面积－S 圆 1 ＝2×4π×12＋6×2×2－π×12 ＝24＋π(m2) (2)V＝V 半球＋V 正方体
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1 4π ＝2× 3 ×13＋23 2π 3 ＝8＋ 3 (m )
[ 解析]
设球的半径为 R，体积扩大到原来的 27 倍后，其半径为 R′．
4 3 4 4 3 3 V＝3πR ，V′＝3πR′ ＝27V＝27×3πR
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∴R′＝3R.∴S′＝4πR′2＝36πR2． 又 S＝4πR2 ∴S′＝9S，故选 C．
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第一章 空间几何体
m) 导学号 09024180 (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积．
[思路分析]
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本题条件中给出的是几何体的三视图
及数据，解题时要先根据俯视图来确定几何体的上、
下部分形状，然后根据侧视图与正视图确定几何体的
形状，并根据有关数据计算．
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第一章 空间几何体
OO1⊥AO1，OO2⊥BO2．
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设球的半径为R ∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7 cm．
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第一章 空间几何体
同理，得O1A＝20 cm．
设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm． 在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202， 在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2， 联立①②可得x＝15，R＝25． ① ②
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高中数学 第一章 空间几何体学案 新人教A版必修2
高中数学 第一章 空间几何体学案 新人教A 版必修2的结构特征学习目标：1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；3. 理解多面体的有关概念；4. 会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.学习过程：一、课前准备（预习教材 P 2~ P 4，找出疑惑之处）引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间大几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧!二、新课导学 ※ 探索新知探究 1：多面体的相关概念问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗?新知 1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面 ABCD ；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱 AB ；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点 A .具体如下图所示：探究 2：旋转体的相关概念问题：仔细观察下列物体的相同点是什么？新知 2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体:探究3.棱柱的结构特征 问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗?新知 3：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism ）. 棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）试试 1：你能指出探究 3 中的几何体它们各自的底、侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探究 3 中的棱柱分类吗？新知 4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱… ②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）. 试试 2： 探究 3 中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢?新知 5：我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图(1)中这个棱柱表示为棱柱AA 1 D 1 C 1B 1D CB1111D C B A ABCD -探究 4：棱锥的结构特征问题：探究 1 中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之一，它具有什么样的几何特征呢？ 新知 6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥 S - ABCD .探究 5：棱台的结构特征 问题：假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地切掉,则切掉的部分是什么形状?剩余的部分呢?新知 7：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点 .两底面间的距离叫棱台的高 .棱台可以用上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥.试试 3：请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来.反思：根据结构特征,从变化的角度想一想,棱柱、棱台、棱锥三者之间有什么关系？※ 典型例题例 由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.仿照棱柱,棱锥、棱台有哪些几何性质呢？三、总结提升※ 学习小结1. 多面体、旋转体的有关概念；2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质.※ 知识拓展1. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱；2. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱3. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥4. 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ） A ．棱锥 B ．棱柱 C ．平面D ．长方体2. 棱台不具有的性质是（ ）A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点3. 已知集合 A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（ ）A. A ⊆ B ⊆ C ⊆ D ⊆ F ⊆ EB.A ⊆ C ⊆B ⊆ F ⊆ D ⊆ EC. C ⊆ A ⊆ B ⊆ D ⊆ F ⊆ ED.它们之间不都存在包含关系4. 长方体三条棱长分别是 AA ' =1 AB =2， AD = 4 ，则从 A 点出发，沿长方体的表面到 C ′的最短矩离是_____________.5. 若棱台的上、下底面积分别是 25 和 81，高为 4，则截得这棱台的原棱锥的高为___________.课后作业1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）.A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 2．下列说法中正确的是（ ）.A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D. 圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径 3．下列说法错误的是（ ）.A. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等B. 九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行SC A B D四边形C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱D. 三棱柱的侧面为三角形4．用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是（ ）.A. 六边形B. 菱形C. 梯形D. 直角三角形 5．下列说法正确的是（ ）.A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形6．设圆锥母线长为l ，高为2l ，过圆锥的两条母线作一个截面，则截面面积的最大值为 .7．若长方体的三个面的面积分别为62cm ,32cm ,22cm ，则此长方体的对角线长为 .8. 在边长 a 为正方形 ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，现在沿 DE 、DF 及 EF 把△ADE 、CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为 P .问折起后的图形是个什么几何体？它每个面的面积是多少？§1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征学习目标：1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；3. 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征；4. 能描述一些简单组合体的结构.学习过程：一、课前准备（预习教材 P 5~ P 7，找出疑惑之处）复习：①______________________________多面体,______________ __ 叫旋转体. ②棱柱的几何性质：_______是对应边平行的全等多边形，侧面都是________，侧棱____且____，平行于底面的截面是与_____全等的多边形；棱锥的几何性质：侧面都是______，平行于底面的截面与底面_____，其相似比等于____________.引入：上节我们讨论了多面体的结构特征，今天我们来探究旋转体的结构特征.二、新课导学※ 探索新知探究 1：圆柱的结构特征问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？圆柱用表示 新知 1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱（circular cylinder ），旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，如图所示：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为 OO .圆柱和棱柱统称为柱体.探究 2：圆锥的结构特征问题：下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义，你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗？试在旁边的图中标出来. 新知 2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.探究3：圆台的结构特征问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢?新知3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分也是圆台. 圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们并把圆台用字母表示出来. 棱台与圆台统称为台体.反思：结合结构特征，从变化的角度思考，圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系？探究4：球的结构特征问题：球也是旋转体，怎么得到的?新知4：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere），简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母O表示，如球O . 探究5：简单组合体的结构特征问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？新知5：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.典型例题例将下列几何体按结构特征分类填空：⑴集装箱⑵运油车的油罐⑶排球⑷羽毛球⑸魔方⑹金字塔⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯⑾地球⑿一桶方便面⒀一个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；①棱柱结构特征的有________________________；②棱锥结构特征的有________________________；③圆柱结构特征的有________________________；④圆锥结构特征的有________________________；⑤棱台结构特征的有________________________；⑥圆台结构特征的有________________________；⑦球的结构特征的有________________________；⑧简单组合体______________________________三、总结提升※学习小结1. 圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念；2. 简单组合体的结构特征.※知识拓展圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形. 当堂检测（时量：5 分钟满分：10 分）1.Rt ABC三边长分别为3、4、5，绕着其中一边旋转得到圆锥，对所有可能描述不对的是（ ）A.是底面半径 3 的圆锥B.是底面半径为 4的圆锥C.是底面半径 5 的圆锥D.是母线长为 5 的圆锥 2. 下列命题中正确的是（ ）. A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线3. 一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为 5、 4、3，则球的直径为______4. 用一个平面截半径为 25cm 的球,截面面积是49π2c m cm 2 ,则球心到截面的距离为多少？ 1．右图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的（ ）.A. B. C. D.2．下列几何体的轴截面一定是圆面的是（ ）. A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台 3．把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是（ ）. A. 圆锥 B.圆柱 C. 圆台 D.由两个底面贴近的圆锥组成的组合体4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是（ ）. A ．0 B ．6C ．快D ．乐5．圆锥的底面半径为r,高为h ，在此圆锥内有一个内接正方体，则此正方体的棱长为（）A. rh r h +B. 2rhr h + C. 222rh h r+ D. 2rhh r+6．三棱柱的底面为正三角形，侧面是全等的矩形，内有一个内切球，已知球的半径为R ，则这个三棱柱的底面边长为 .7．（07年安徽.理15）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. ※能力提高8．正四棱锥（棱锥底面是正方形，侧面都是全等等腰三角形）有一个内接正方体，它的顶点分别在正四棱锥的底面内和侧棱上. 若棱锥的底面边长为a ，高为h ，求内接正方体的棱长. 9．一个四棱台的上、下底面均为正方形，且面积分别为1S 、2S ，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为h ，求此棱台的侧棱长和斜高（侧面等腰梯形的高）.10．如右图，图①是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何体有②、③、④、⑤的木块. （1）我们知道，正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图②、③、④、⑤的木块的顶点数、棱数、面数填入下表：图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② ③ ④⑤（2）观察你填出的表格，归纳出上述各种木块的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间的关系.（3）看图⑥中正方体的切法，请验证你所得的数量关系是否正确？§1.2.1 中心投影与平行投影§1.2.2 空间几何体的三视图教学目标：1. 了解中心投影与平行投影的区别；2. 能画出简单空间图形的三视图；3. 能识别三视图所表示的空间几何体；一、课前准备 （预习教材 P 11~ P 14，找出疑惑之处）复习 1：圆柱、圆锥、圆台、球分别是_______绕着 ________、_______绕着___________、_______绕着__________、_______绕着_______旋转得到的2060快 乐复习2：简单组合体构成的方式：___________和__________________二、新课导学※探索新知探究1：中心投影和平行投影的有关概念问题：中午在太阳的直射下，地上会有我们的影子，晚上我们走在路灯旁身后也会留下长长的影子，你知道这是什么现象吗？为什么影子有长有短？新知1：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影. 其中光线叫投影线，留下物体影子的屏幕叫投影面. 光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点.在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的.在平行投影中，投影线正对着投影面时叫正投影,，否则叫斜投影思考：中午太阳的直射是什么投影？路灯、蜡烛的照射是什么投影？试试：在下图中,分别作出圆在中心投影和平行投影中正投影的影子结论:中心投影其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化；平行投影其投影的大小与这个平面图形的形状和大小是完全相同探究2：柱、锥、台、球的三视图问题：我们学过的几何体(柱、锥、台、球),为了研究的需要，常常要在纸上把它们表示出来，该怎么画呢？能否用平行投影的方法呢? 新知2：为了能较好把握几何体的形状和大小，通常对几何体作三个角度的正投影.一种是光线从几何体的前面向后面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的正视图；一种是光线从几何体的左面向右面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的侧视图；第三种是光线从几何体的上面向下面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图称为几何体的三视图.一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.三视图中，能看见的轮廓线和棱用实线表示, 不能看见的轮廓线和棱用虚线表示. 下图是一个长方体的三视图.思考：仔细观察上图长方体和下图圆柱的三视图,你能得出同一几何体的三视图在形状、大小方面的关系吗？能归纳三视图的画法吗?小结：1.正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映的是长度和宽度，侧视图反映的是宽度和高度；2.正视图和俯视图高度相同，俯视图和正视图长度相同，侧视图和俯视图宽度相同；3.三视图的画法规则：①正视图、侧视图齐高，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等，即“长对正”、“高平齐”、“宽相等”；②正、侧、俯三个视图之间必须互相对齐，不能错位。
高中数学第一章空间几何体章末复习课学案新人教A版必修2(2021年整理)
2018-2019高中数学第一章空间几何体章末复习课学案新人教A版必修2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019高中数学第一章空间几何体章末复习课学案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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第一章空间几何体章末复习课网络构建核心归纳1．空间几何体的结构特征及其侧面积和体积名称定义图形侧面积体积多面体棱柱有两个面互相平行,其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行S正棱柱侧＝Ch，C为底面的周长,h为高V＝Sh，S为底面积，h为高棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形S正棱锥侧＝错误!Ch′，C为底面的周长,h′为斜高V＝13Sh,S为底面积，h为高棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分S正棱台侧＝错误!(C＋C′）h′，C′，C分别为上、下底面的周长，h′为斜高V＝错误!（S＋S′＋错误!）·h，S′，S分别为上、下底面面积，h为高旋转体圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝2πrh,r为底面半径，h为高V＝Sh＝πr2h，S为底面面积，r为底面半径，h为高圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋S侧＝πrl,r为底面半径,l为母线长V＝错误!Sh＝错误!πr2h，S为底面面积，r为底面半径，h为高转形成的面所围成的旋转体旋转体圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分S侧＝π（r′＋r）l,r′,r分别为上、下底面半径，l为母线长V＝错误!（S′＋S′·S＋S）h＝错误!π(r′2＋r′·r＋r2），S′，S分别为上、下底面面积，r′,r分别为上、下底面半径，h为高球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体S球＝4πR2，R为球的半径V＝错误!πR3,R为球的半径2.空间几何体的三视图与直观图（1）三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，注意三种视图的摆放顺序．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段;③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变,平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化．（3）转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线（折线)化为线段．②等积变换,如三棱锥转移顶点等．③复杂化简单，把不规则几何体通过分割、补体化为规则的几何体等.要点一三视图与直观图解决识图问题，要根据三视图的画法及三视图的特点；解决计算问题，先将三视图还原成直观图，然后再根据有关公式计算．【例1】已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体数据来求此几何体的体积(单位：cm)．解该几何体是由一个圆锥和两个圆柱组合而成的组合体．由条件中尺寸可知V＝错误!Sh＝错误!π×22×2＝错误!π(cm3）．圆锥V＝Sh＝π×22×10＝40π(cm3），圆柱中V＝Sh＝π×62×2＝72π(cm3）．圆柱下∴此组合体的体积V＝V圆锥＋V圆柱中＋V圆柱下＝错误!π＋40π＋72π＝错误!π（cm3)．【训练1】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20π B．24π C．28π D．32π解析由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2错误!，∴在轴截面中圆锥的母线长是错误!＝4，∴圆锥的侧面积是π×2×4＝8π。
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1.3.2 球的体积和表面积学习目标 1.掌握球的表面积和体积公式.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．知识点 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.1．球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( × )2．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( × ) 3．球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．( √ )类型一 球的体积和表面积例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积 题点 与球有关的体积、表面积问题解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.反思与感悟 (1)公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件． (2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．跟踪训练1 (1)两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3B ．4∶9C.2∶3D.8∶27(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________． 考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积 题点 与球有关的体积、表面积问题 答案 (1)B (2)32解析 (1)由两球的体积之比为8∶27， 可得半径之比为2∶3， 故表面积之比是4∶9.(2)设大球的半径为R ，由题意得43πR 3＝2×43π×13，得R ＝32.类型二 与球有关的三视图问题例2 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．考点 球的表面积题点 与三视图有关球的表面积计算问题 答案 4π解析 由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和，因为R ＝1，所以S ＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π.反思与感悟 (1)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积与体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆． (2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉等． 跟踪训练2 已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋12B.4π3＋16C.2π6＋16D.2π3＋12考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积 答案 C解析 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得V ＝12×4π3×⎝⎛⎭⎫223＋13×12×1×1×1＝2π6＋16，故选C.类型三 球的截面及切接问题 命题角度1 球的截面问题例3 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，若不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1372π3cm 3D.2048π3cm 3考点 球的体积题点 与截面有关球的体积计算问题 答案 A解析 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42， ∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.跟踪训练3 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的表面积为________． 考点 球的表面积题点 其他球的表面积计算问题 答案 12π解析 用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为2，已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为3，所以球的表面积为4π(3)2＝12π. 命题角度2 与球有关的切、接问题例4 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3B.2π3 C.3π2 D.π6 考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题 答案 A解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________． 考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32， ∴外接球表面积为4π×⎝⎛⎫322＝9π. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练4 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3D ．1∶9(2)表面积为433的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )A.23πB.13πC.23πD.223π 考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题 答案 (1)C (2)A解析 (1)设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×⎝⎛⎭⎫123∶43π×⎝⎛⎭⎫323＝1∶3 3. (2)如图所示，将正四面体补形成一个正方体．设正四面体的棱长为a .∵正四面体的表面积为433，∴4×34a 2＝433， 解得a ＝233，∴正方体的棱长是63， 又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R ， ∴2R ＝63×3，∴R ＝22， ∴球的体积为43π·⎝⎛⎭⎫223＝23π，故选A.1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A ．3B ．2C ．1D.12考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积 题点 与球有关的体积、表面积问题 答案 A解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.2．一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A ．64πB.64π3C ．32πD.32π3考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积 题点 与球有关的体积、表面积问题 答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π. 3．如图，圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm 考点 球的体积题点 其他球的体积计算问题 答案 B解析 由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×43πr 3＝πr 2(6r －6)，解得r ＝3，故选B.4．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积 题点 与球有关的体积、面积问题 答案 B解析 设两球半径分别为R 1，R 2，且R 1>R 2，则4π(R 21－R 22)＝48π，2π(R 1＋R 2)＝12π，所以R 1－R 2＝2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．考点 球的表面积题点 与三视图有关球的表面积计算问题答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．球的体积和表面积公式 设球的半径为R (1)体积公式：V ＝43πR 3.(2)表面积公式：S ＝4πR 2.2．用一个平面截球所得截面的特征 (1)用一个平面去截球，截面是圆面． (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 以及截面的半径r ，有下面的关系r ＝R 2－d 2.3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．一、选择题1．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积 题点 与球有关的体积、表面积问题 答案 A解析 设两球的半径分别为R ，r (R ＞r )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧43πR 3＋43πr 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2，r ＝1，∴R －r ＝1.2．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A.32，32B.43，1C.32，1D.43，43考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积 题点 若干个几何体的体积、表面积关系 答案 A解析 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ， ∴V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3， V 球＝43πR 3，则V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32，S 圆柱S 圆＝6πR 24πR 2＝32. 3．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(8＋162) cm 2 C ．(4＋82) cm 2 D ．(16＋322) cm 2考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题 答案 B解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4cm ，正四棱柱的底面对角线长为22cm ， ∴正四棱柱的高为16－8＝22cm ，。