第二章：平面汇交力系与平面力偶系
第二章平面汇交力系及平面力偶系
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
t2平面汇交力系与平面力偶系
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
平面汇交力系和平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。
若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。
设汇交力系1F ，2F ，3F汇交于O （图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F=如图和图所示，其中321F F F F ++=F2F 3F OFO1F 2F 3F12F讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。
3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：∑=i F F用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡1F 2F iF 2-n F 1-n F n F设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F，（∑-=-=111n i i N F F ）0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F等值，反向，共线，即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F，或0=∑i F结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是0=∑i F，力多边形自行封闭。
例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F，方向如图，求反力FA B C45F AF BACα 45FF BF α解：1。
第二章-平面汇交力系与平面力偶系
FC FA
2FC sin 30 Q 0 FC Q FA Q
例2-3：重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架 的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D 上。杆AB 与BC 铰接，并以铰链A、C与 墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB 和BC 所受的力。
平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系， 是研究复杂力系的基础。 本章研究问题： (1)平面汇交力系的几何法与解析法 (2)平面力偶的基本特性 (3)平面力偶系的合成与平衡
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
所有的力在同个平面内且作用线交于一点为平面 汇交力系，三力平衡为其一。
几何法：根据力的平行四边形规则作图得出。
FNA
A
B
FNA
水平坐标系：
FNB
F
y`
30 60 °
x`
FNB F
o`
A B
FNA
FNB
FNA
同样得：
也可以用几何法，画出封闭的力三角形求解，解得此结果。
工件对V形铁的压力与FNA、FNB等值反向。
例：在图示结构中各构件的自重略去不计。在构件AB上作用 一力偶矩为M的力偶，求支座A和C的约束反力。
(a) (b)
FBC、 FAB 均为正值，表示力的假设方向与实际方向 相同，即杆 BC 受压，杆 AB 受拉力。
例：不计杆重。D处受力G，求A、 C处的约束反力。 解：
画受力图
FLASH
Sa大小、方向不知，Sb大小不知，三个未知数
由几何关系：
1 tg tg 3
X 0, Y 0,
SB cos SA cos 0
SB sin SA sin G 0
第二章：平汇交力系与平面力偶系
第二章平面汇交力系与平面力偶系一、要求1、掌握平面汇交力系合成（分解）的几何法。
能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。
2、能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。
对合力投影定理应有清晰的理解。
3、能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。
4、对于力对点的矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。
5、深入理解力偶和力偶矩的概念。
明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。
6、掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。
二、重点、难点1、 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法。
2、 力对点之矩的计算，力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件。
三、学习指导平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于力系的矢量和，即∑==+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=ni i n F F F F R 121或简化为∑=F R上式是平面矢量方程，只可以求解两个未知数。
每一个力都有大小和方向两个要素（因为力的汇交点是已知的），因此，方程中只能有两个要素是未知的。
矢量方程的解法有：几何法和解析法。
只有力沿直角坐标轴分解的平行四边形才是矩形。
力在轴上投影的大小等于分力的大小，投影的正负表示分力沿坐标轴的方向。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零。
即∑R=F这个平面的矢量方程可解两个未知数，解法有几何法和解析法。
（1）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形封闭。
（2）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零即：∑=0YX；∑=0对于平衡方程，和平面汇交力系合成与分解的解析法一样，一般也选直角坐标系。
但在特殊情况下，有时选两个相交的相互不垂直的坐标轴，可使问题的求解简化。
这是因为平衡时合力恒等于零，合力在任一坐标轴的投影也恒等于零，所以，不一定局限在直角坐标系。
合力投影定理与合力矩定理是结构静力计算经常要用到的两个定理。
第二章-1 平面汇交力系与平面力偶系
第二章-1 平面汇交力系与平面力偶系一、判别题（正确和是用√，错误和否×，填入括号内。
）2-1 平面汇交力系平衡的充分与必要的几何条件是：力多边形自行封闭。
（√）2-2 力在某一固定面上的投影是一个代数量。
（×）2-3 两个力F1、F2大小相等，则它们在同一轴上的投影也相等。
（×）2-4 一个力不可能分解为一个力偶；一个力偶也不可能合成一个力。
（√）2-5 力偶无合力、不能用一个力来等袒代替，也不能用一个力来平衡；（√）2-6 力偶无合力，也就是说力偶的合力等于零。
（×）2-7 力偶矩和力对点之矩本质上是二样的，讲的是一回事。
（×）2-8 力偶的作用效果取决于力偶矩的大小和转向。
（√）2-9 只要两力偶的力偶矩代数值相等，就是等效力偶。
（√）2-10 力偶中的两个力对同平面内任一点之矩的代数和等于力偶矩。
（√）2-11 力偶只能用力偶来平衡。
（√）2-12 平面力偶系可简化为一个合力偶。
（√）2-13 力偶可任意改变力的大小和力偶臂的长短。
（×）2-14 力偶的两力在其作用面内任意轴上的投影的代数和都等于零。
（√）2-15 若两个力F1、F2在同一轴上的投影相等，则这两个力相等，即F1 = F2。
（×）2-16 若两个力F1、F2大小相等，则在同一轴Ox上投影相等，即F1x = F2x。
（×）2-17 若两个力F1、F2大小、方向、作用点完全相同，则这两个力在任一轴上的投影相等。
（√）2-18 若两个力大小相等、方向相反，则在任一轴Ox上的投影大小相等。
（√）2-19 若两个力平行，则它们在任一轴上的投影相等。
（×）2-20 若两个力在某轴上的投影均为零，则该两力平行。
（√）2-21 图示为分别作用在刚体上A、B、C、D点的4个共面力，它们所构成的力多边形自行封闭且为平行四边形。
由于力多边形自行封闭，所以是平衡的。
第二章1平面汇交力系与平面力偶系
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F 至少多大？ F 3.力 F 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 多大？
解:取碾子画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
R h θ arccos 30 R
F B sin θ F F A F B cosθ P
F 1 1 .4 k N A
由合力投影定理可得：
F F 2 0 0 0 4 3 3 0 0 N 6 3 3 0 N x x
F F 0 2500 3000 N 550 N y y
则合力的大小为：
2 x 2 y 2 2
FF F 6 3 3 0 5 5 0 0 N 8 3 8 6 N
F , X 0 F , Y 0 8 0 4 5 4 R R 0 D A 4 5 PR A
各力的汇交点
(4) 解得
R A 5 P 22 . 4 kN 2
R R D A
1 10 kN 5
力的值为负值,表示假设的指向与实际指向相反.
例4. 简易压榨机如图所示。已知P试求当连杆AB、AC与铅垂线成角时，托板给被压物 体的力。
O
tg
F Ry F Rx
F F
RY
RX
平面汇交力系平衡的必要和充分条 y 件是该力系的合力为零: F R 0
F F 0 Rx X
O
F F 0 Ry X
例2.如图所示吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N， F2=5000N，F3=3000N。试求合力。
FR F23 F1 F12 F2
F4
FR
F4
F2 F4
FR
F3
第2章 平面汇交力系和平面力偶系
9
例题 1
解：
1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。
F
R O
各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条
件，力P ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。
qP
B
由已知条件可求得
A
h
cos q R h 0.866
(a)
R
q 30
FO
再由力多边形图c 中各矢量的 几何关系可得
解得
FB sin q F FA FB cosq P
（2）应用合力矩定理
MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy )
F cosq l cosj F sinq l sinj Fl cos(q j)
22
§2—4 平面力偶 1．力偶与力偶矩
由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，
称为力偶。如图所示，记作（F，F'）。力偶的两力之间
如图轧路碾子自重P = 20
kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高
h = 0.08 m碾子中心O处作用一
水平拉力F，试求: (1)当水平 拉力F = 5 kN时，碾子对地面和
R
FO
障碍物的压力；(2)欲将碾子拉
q
过障碍物，水平拉力至少应为多
B
大；(3)力F 沿什么方向拉动碾
A
h
子最省力，此时力F为多大。
大小取决于力的大小与力臂的乘积，平面力对点之矩是一 个代数量。它的转向人为规定一般取逆时针转向时为正， 反之为负。
F对矩心点O之矩
MO(F) r
ห้องสมุดไป่ตู้Oh
B F A
M O (F ) Fh 2 AOAB
式中 AOAB为三角形OAB 的 面积，如图所示。单位为 N•m或kN •m。
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第二章平面汇交力系与平面力偶系一、要求1、掌握平面汇交力系合成（分解）的几何法。
能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。
2、能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。
对合力投影定理应有清晰的理解。
3、能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。
4、对于力对点的矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。
5、深入理解力偶和力偶矩的概念。
明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。
6、掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。
二、重点、难点1、 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法。
2、 力对点之矩的计算，力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件。
三、学习指导平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于力系的矢量和，即∑==+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=ni i n F F F F R 121或简化为∑=F R上式是平面矢量方程，只可以求解两个未知数。
每一个力都有大小和方向两个要素（因为力的汇交点是已知的），因此，方程中只能有两个要素是未知的。
矢量方程的解法有：几何法和解析法。
只有力沿直角坐标轴分解的平行四边形才是矩形。
力在轴上投影的大小等于分力的大小，投影的正负表示分力沿坐标轴的方向。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零。
即∑R=F这个平面的矢量方程可解两个未知数，解法有几何法和解析法。
（1）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形封闭。
（2）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零即：∑=0YX；∑=0对于平衡方程，和平面汇交力系合成与分解的解析法一样，一般也选直角坐标系。
但在特殊情况下，有时选两个相交的相互不垂直的坐标轴，可使问题的求解简化。
这是因为平衡时合力恒等于零，合力在任一坐标轴的投影也恒等于零，所以，不一定局限在直角坐标系。
合力投影定理与合力矩定理是结构静力计算经常要用到的两个定理。
合力投影定理的内容是：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和。
合力矩定理的内容是：合力对点的矩等于各分力对该点的矩的代数和。
力和力偶是静力学的两个基本要素。
为了加深对力偶的认识，用列表的方法将力和力偶加以比较。
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即01=∑=ni im在应用上述平衡条件时，要注意以下三点： （1） 力偶系只能用力偶来平衡。
（2） 平衡方程是代数方程，只能求解一个未知力偶矩的大小。
（3） 由于力偶矩d F m ⋅±=，所以用力偶系平衡方程亦可求解一个未知力或一个未知力偶臂。
解题指导1、平面汇交力系问题解题的主要步骤（1） 选取研究对象，并画出简图。
选取的研究对象应当联系已知量和待求量。
（2） 分析受力情况，画受力图。
（3） 列平衡方程或作力的多边形。
（4） 求出未知量。
2、解平衡问题的几何法几何法是通过作封闭的力多边形求解平面汇交力系的平衡问题。
几何法的优点是：直观、简单、容易掌握，力系中各力之间的关系在力多边形中一目了然。
几何法的缺点是：若力多于三个时，力多边形的几何关系复杂。
图解法不受力多少的影响，但由于按比例尺作图，因此只能反映各量（力、尺寸、角度）的某些特定值之间的关系，不能反映各量之间的函数关系。
只要改变一个量，就要重新作图。
3、 解平衡问题的解析法 （1）解析法的优缺点1） 适用范围广。
任何平面汇交力系的平衡问题都可用两个平衡方程求解。
2） 平衡方程可以建立力、角度、尺寸等量之间的函数关系。
3） 简单、容易掌握。
4） 其缺点是不如几何法直观。
（2）解题的技巧当未知力与坐标轴垂直时，未知力不出现在相应的投影方程中。
若使两个坐标轴各与一个未知力垂直，则每个平衡方程只有一个未知数，容易求解。
所选的坐标轴不要求一定正交的，斜交也可以，以利于解题为原则。
4、 计算力矩常用的两种方法 （1）直接计算力臂，求力对点的矩。
（2）应用合力矩定理，求力对点的矩。
此法应注意：1） 将一个力分解为两个相互垂直的分力，利用分力取矩。
注意选择力的分解方向。
2） 刚体上的力可以沿作用线移动，因此，力可以在作用线上任意点分解。
注意在力作用线上选择一点，使分解成的两个分力，取矩比较方便。
5、 平面力偶系的平衡问题平面力偶系的平衡问题，这类习题的目的主要是为了加深对力偶性质及力偶系平衡条件的理解。
在这类习题中，刚体只受主动力偶或主动力偶系作用，可根据力偶只能用力偶去平衡的理论，断定约束反力必构成力偶，从而决定约束反力的方向。
四、典型例题解析例题2. 1 合力是否一定比分力大？ 解答：不一定。
例题2. 2 下图所示两个力三角形中三个力的关系是否一样？解答：不一样。
图)(a 可表示为321F F F =+，图)(b 可表示为3321=++F F F 例题2. 3 由力的解析表达式Yj Xi F +=能确定力的大小和方向吗？能确定力的作用线位置吗？)(a )(b 图题2.21F 2F 3F 1F 2F 3F解答：可以确定力的大小和方向，但不能确定作用线的位置。
例题2. 4 三力绘交于一点，但不共面，这三个力能互相平衡吗？ 解答：不能平衡，因为不能满足三力平衡绘交定理的条件。
例题2. 5 用解析法求解平面汇交力系的合力时，若取不同的直角坐标轴，所求得的合力是否相同？ 解答：相同。
例题2. 6 用解析法求解平面汇交力系的平衡问题时，x 与y 两轴是否一定要相互垂直？当x 与y 轴不垂直时，建立的平衡方程∑=0X ； ∑=0Y能满足力系的平衡条件吗？解答：不一定要相互垂直；能满足平衡条件，但需附加一个限定条件，即x 、y 坐标轴不能平行例题2. 7 能否用两个矩方程∑=0)(F MA 与∑=0)(F MB ，求解平面汇交力系的平衡问题？为确保合力0=R F ，矩心A 、B 与汇交点O 之间有何限制条件？能否用一个投影方程∑=0X 及一个矩方程∑=0)(F MA ，求解平面汇交力系的平衡问题？有什么限制条件？解答：能，其限制条件为：矩心A 、B 与汇交点O 三点不共线；能，其限制条件为：矩心A 与汇交点O 的连线不与x 轴垂直。
例题2. 8 输电线跨度l 相同时，电线下垂量h 越小，电线越易于拉断，为什么？ 解答：因为h 越小，绳子的张力就越大，因此也就越易于拉断。
例题2. 9 试比较力矩与力偶矩二者的异同。
解答：相同点：二者都是使物体产生转动效应的度量。
不同点：力矩的作用效果与矩心的位置有关，而力偶矩的作用效果与作用的位置无关。
例题2. 10 试在以下三图中力或力偶对点A 的矩都相等，它们引起支座反力是否相同？解答：不相同，各结构支座反力如下图中所示：)(a )(b )(c 图题10.2例题2. 11 简易起重机如下图所示，滑轮的大小忽略不计，已知载荷N G 2000=，045=α，030=β，各杆自重不计。
求杆AB 与AC 受到的力。
分析：杆AB 、AC 为二力杆，它们给滑轮的作用力分别沿两杆，但指向不知道。
用解析法解题时，在受力图上要假定一个方向，计算结果为正时，说明图中假设的方向与实际方向一致；计算结果为负时，说明图中假定的方向与实际方向相反。
由于轴承和滑轮是光滑的，所以绕过滑轮的绳子两端拉力相等。
解：取滑轮为研究对象。
由物块的平衡，有G T T =='，则G T T D ==。
设坐标轴如图)(b 所示，列平衡方程：∑=0X 0sin sin =+--αβN T S D（1） ∑=0Y 0cos cos =-+-T N T Dαβ （2）由式（2）得：G T N αβαβcos cos 1cos cos 1+=+=代入式（1）得)(a )(b )(c BBFBF)(a )(b )(c 图题11.2FF 1G tg S ]sin )cos 1[(βαβ-+=将045=α、030=β代入，则N G N 92.527745sin 30cos 100=+= N tg S 05.2732]30sin 45)30cos 1[(000=-+=讨论：（1） 答案的精确度根据工程需要来定（2） 若选取图)(c 的1x 轴代替图)(b 的x 轴，令1x 轴与N 力垂直，y 轴与S 力垂直。
则得到两个简单的平衡方程，每个方程只有一个未知数，不用再联立方程。
即∑=0X 0cos )](90sin[sin 0=++---αβααT T S D（1）∑=0Y 0sin cos =-+-T N TDαβ （2）由式（1）得G ctg G S ]sin )cos 1[(sin cos )cos(βαβααβα-+=++=（3）由此例可见：1）坐标系选择虽然不同，但所得的解是相同的。
2）选1x 轴虽然可得独立方程，但几何关系比较难找，从数学上看并不比选x 轴方便。
所以坐标轴的选取要灵活处理。
3）将D T 分解为水平和垂直两个分力，再利用合力投影定理，可求得D T 在1x 轴的投影)cos(sin sin cos cos 1βααβαβ+=⋅-⋅=D D D Dx T T T T例题2. 12 横梁AB 在图示平面内受一力偶作用，支撑情况如下图所示。
已知梁长l AB =，力偶矩为m ，梁的自重不计。
求A 和B 端的约束反力。
解：选AB 梁为研究对象。
因梁只受主动力偶的作用，则两个约束反力必构成力偶。
已知A N 的方向，B N 应与A N 平行，并且反向。
列力偶系平衡方程∑=0m 045cos 0=-lNm A)(a )(b 图题12.2B解得： m l l m N N B A 245cos 0===例题2. 13 下图示的构架，由直角弯杆AB 和构件BCD 在B 处铰接而成，不计各构件自重。
尺寸a 及矩为M 的力偶已知，求D 支座的约束反力。
解：先取弯杆AB 为研究对象，A 处约束反力作用线水平，指向可假设；根据力偶只能由力偶来平衡的性质，A 、B 两处的约束反力应构成一力偶，故B 铰处的约束反力作用线也应水平，其受力图如图)(b 所示。
列平衡方程：0=∑im， 0=-M a R B解得： aM R R A B == 取构件BCD 为研究对象，C 处约束反力作用线铅垂，根据三力平衡汇交定理可知，D 处约束反力作用线应通过C ，指向可假定，其受力图如图)(c 所示。
列平衡方程：0=∑iX， 045cos 0'=-D B R a R解得： aMR D 2=点评：对本题不宜先取整体为研究对象，而要先取外力偶矩已知、受力简单的杆AB 来进行分析。
作为平面汇交力系的例题，对于构件BCD 的D 铰处的约束反力作用线位置的求解，利用了三力平衡汇交定理。
实际上D 铰处约束反力也可假设成水平和竖向两个分力，用平面一般力系的平衡方程求解。