数学---山东省日照市五莲一中2016-2017学年高一(下)期末试卷(解析版)

山东省日照市五莲一中2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题1．（5分）若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度3．（5分）平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形4．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M 与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．相离5．（5分）如果一扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，则扇形的面积为（）A．40πcm2B．40cm2C．80πcm2D．80cm26．（5分）在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（）A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%7．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球9．（5分）函数y=sin（2x﹣）在区间[﹣，π]的简图是（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线y=ax与圆C：x2+y2﹣2ax﹣2y+2=0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为（）A．49πB．36πC．7πD．6π11．（5分）已知实数a、b、c、d满足b=a﹣2e a，d=2﹣c，其中e是自然对数的底数，则的最小值为（）A．2 B．2C．2D．812．（5分）已知函数f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R．若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[，1） C．（0，] D．（0，]∪（，]二、填空题13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．15．（5分）如图所示，在等腰Rt△AOB中，OA=OB=1，=4，则•（﹣）=．16．（5分）在锐角三角形ABC中，若sin A=2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是．17．（5分）已知θ∈（，π），且cos（θ﹣）=，则tan（θ+）=．二、解答题18．（12分）已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．（1）求与的夹角为θ；（2）求||；（3）若=，=，作三角形ABC，求△ABC的面积．19．（12分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如图：（Ⅰ）求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10，15）和[25，30）的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10，15）的概率．20．（12分）设f（x）=2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．21．（12分）已知，且．将y表示为x 的函数，若记此函数为f（x），（1）求f（x）的单调递增区间；（2）将f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在x∈[0，π]上的最大值与最小值．22．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sin A sin B=sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tan B．23．（12分）已知圆C：x2+y2=9，点A（﹣5，0），直线l：x﹣2y=0．（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．【参考答案】一、选择题1．C【解析】sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限．故选C．2．D【解析】把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故选D．3．B【解析】∵，∴即，可得线段AB、CD平行且相等∴四边形ABCD是平行四边形又∵，∴⊥，即⊥，四边形ABCD的对角线互相垂直因此四边形ABCD是菱形故选B.4．B【解析】圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2=a2 （a＞0），则圆心为（0，a），半径R=a，圆心到直线x+y=0的距离d=，∵圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，∴2=2=2=2，即=，即a2=4，a=2，则圆心为M（0，2），半径R=2，圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，则MN==，∵R+r=3，R﹣r=1，∴R﹣r＜MN＜R+r，即两个圆相交．故选B.5．C【解析】扇形的圆心角为72°==∵半径等于20cm，∴扇形的面积为=80πcm2，故选C．6．B【解析】由散点图可知点的分布都集中在一条直线附近，所以由此可以判断两个变量具有相关关系，而且是正相关，再由散点图中点的个数得到中位数为最中间两数的平均数，则且脂肪含量的中位数小于20%，故选B．7．B【解析】∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．故选B．8．D【解析】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立．故选D．9．B【解析】当x=﹣时，y=sin[（2×﹣]=﹣sin（）=sin=＞0，故排除A，D；当x=时，y=sin（2×﹣）=sin0=0，故排除C；故选B．10．D【解析】圆C：x2+y2﹣2ax﹣2y+2=0，即（x﹣a）2+（y﹣1）2=a2﹣1的圆心C（a，1），半径R=，∵直线和圆相交，△ABC为等边三角形，∴圆心到直线的距离为R sin60°=•，即d==，解得a2=7，∴圆C的面积为4πr2=6π．故选D．11．B【解析】看作直线上的点与函数的图象的点的距离，转化为平行线之间的距离．d=2﹣c的斜率是﹣1，由b=a﹣2e a，可得b′=1﹣2e a=﹣1，解得a=0．当a=0时，b=﹣2，∴的最小值为：d=2﹣c看作直线y=2﹣x，（0，2）与y=2﹣x之间的距离：=2．故选B．12．D【解析】函数f（x）=sin2+sinωx﹣=+sinωx﹣=sin（ωx﹣），由f（x）=0，可得sin（ωx﹣）=0，解得x=∉（π，2π），∴ω∉（，）∪（，）∪（，）∪…=（，）∪（，+∞），∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈（0，]∪[，]．故选D．二、填空题13．【解析】∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为．14．﹣【解析】由定义知：sinα=，∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α=，又角的终边落在第二象限，∴cosα=﹣．故答案为﹣．15．【解析】=，则•（﹣）===．故答案为﹣．16．8【解析】由sin A=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C，sin A=2sin B sin C，可得sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C，①由三角形ABC为锐角三角形，则cos B＞0，cos C＞0，在①式两侧同时除以cos B cos C可得tan B+tan C=2tan B tan C，又tan A=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tan A tan B tan C=﹣•tan B tan C，由tan B+tan C=2tan B tan C可得tan A tan B tan C=﹣，令tan B tan C=t，由A，B，C为锐角可得tan A＞0，tan B＞0，tan C＞0，由②式得1﹣tan B tan C＜0，解得t＞1，tan A tan B tan C=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tan A tan B tan C的最小值为8，另解：由已知条件sin A=2sin B sin c，sin（B十C）=2sin B sin C，sin B cos C十cos B sin C=2sin B cos C，两边同除以cos B cos C，tan B十tan C=2tan B tan C，∵﹣tan A=tan（B十C）=，∴tan A tan B tan C=tan A十tan B十tan C，∴tan A tan B tan C=tan A十2tan B tan C≥2，令tan A tan B tan C=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tan B+tan C=4，tan B tan C=2，解得tan B=2+，tan C=2﹣，tan A=4，（或tan B，tan C互换），此时A，B，C均为锐角．17．﹣【解析】∵θ∈（，π），且cos（θ﹣）=，∴θ﹣为锐角，∴sin（θ﹣）==，∴tan（θ﹣）===，∴tanθ=﹣7，则tan（θ+）===﹣，故答案为﹣．二、解答题18．解：（1）由（2﹣3）•（2+）=61，得4||2﹣4﹣3||2=61，∵||=4，||=3，代入上式求得=﹣6．∴cos θ===﹣．又θ∈[0，π]，∴θ=120°．（2）∵|+|2=（+）2=||2+2+||2=42+2×（﹣6）+32=13，∴||=．（3）由（1）知∠BAC=θ=120°，||=||=4，||=||=3，∴S△ABC=||||sin∠BAC=×3×4×sin 120°=3．19．解：（Ⅰ）∵20÷M=0.25，∴M=80，∴，，，中位数位于区间[15，20），设中位数为（15+x），则0.125x=0.25，所以x=2，所以学生参加社区服务次数的中位数为17次．（Ⅱ）由题意知样本服务次数在[10，15）有20人，样本服务次数在[25，30）有4人．如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10，15）和[25，30）的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10，15）和[25，30）的人数分别为：和．记服务次数在[10，15）为a1，a2，a3，a4，a5，在[25，30）的为b．从已抽取的6人中任选两人的所有可能为：共15种．设“2人服务次数都在[10，15）”为事件A，则事件A包括：共10种，所以．20．解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2 =2sin2x﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sin x+﹣1的图象，∴g（）=2sin+﹣1=．21．解：（1）由得，所以．由，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即函数y=2sin（2x+）+1的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（2）由题意知g（x）=2sin（x﹣）+1，因为x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，故当x﹣=时，g（x）有最大值为3；当时，g（x）有最小值为0．故函数g（x）在x∈[0，π]上的最大值为3，最小值为0．22．（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sin C．∴整理可得：sin A sin B=sin C，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cos A=．sin A=，=+==1，=，tan B=4．23．解：（1）设所求直线方程为y=﹣2x+b，即2x+y﹣b=0，∵直线与圆相切，∴，得，∴所求直线方程为，（2）方法1：假设存在这样的点B（t，0），当P为圆C与x轴左交点（﹣3，0）时，；当P为圆C与x轴右交点（3，0）时，，依题意，，解得，t=﹣5（舍去），或．下面证明点对于圆C上任一点P，都有为一常数．设P（x，y），则y2=9﹣x2，∴，从而为常数．方法2：假设存在这样的点B（t，0），使得为常数λ，则PB2=λ2P A2，∴（x﹣t）2+y2=λ2[（x+5）2+y2]，将y2=9﹣x2代入得，x2﹣2xt+t2+9﹣x2=λ2（x2+10x+25+9﹣x2），即2（5λ2+t）x+34λ2﹣t2﹣9=0对x∈[﹣3，3]恒成立，∴，解得或（舍去），所以存在点对于圆C上任一点P，都有为常数．。