平面解析几何复习指导(2015版)
平面解析几何-高考复习知识点
平面解析几何 高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。
2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
例题：例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析： ∵， ∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2．已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB 与AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB 的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB =tan150°= k AC =tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或． 经检验不适合，舍去. 故．例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．思路点拨：如果过点AB ，BC 的斜率相等，那么A ，B ，C 三点共线.解析：∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴k AB =k AC ．即二、直线方程的几种形式1、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
平面解析几何知识点归纳
平面解析几何知识点归纳平面解析几何是研究平面上点、直线、圆及其相关性质和相互关系的数学分支。
在平面解析几何中，我们通过坐标系的建立和运用向量的概念，可以方便地描述和研究平面上的各种几何图形和问题。
本文将对平面解析几何中的一些重要知识点进行归纳，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
1. 坐标系的建立平面解析几何中，坐标系是最基本的工具之一。
一般来说，我们可以建立直角坐标系、极坐标系或其他特定的坐标系来描述平面上的点。
以直角坐标系为例，我们用x轴和y轴分别表示水平和垂直方向，将一个点P的位置用有序数对(x, y)表示，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标。
2. 点的坐标计算对于已知坐标系的平面上的点P(x, y)，我们可以通过给定的信息计算出点的坐标。
例如，已知点A和点B的坐标，我们可以通过运用向量的加法和数乘运算，求得点P的坐标。
设向量OA的坐标为A(x1,y1)，向量OB的坐标为B(x2, y2)，则向量OP的坐标为P(x, y)，其中P 的坐标满足向量OP = 向量OA + 向量OB。
3. 向量的定义和运算在平面解析几何中，向量是重要的概念之一。
向量可以表示有大小和方向的量，并且可以与点一一对应。
向量的表示方法有很多种，常见的有坐标表示和位置向量表示。
在坐标表示中，向量通常用有序数对(x, y)表示。
在位置向量表示中，我们用一个固定点O与向量表示的点P的坐标差，来表示向量OP。
向量的运算包括加法、减法和数乘。
设向量u = (x1, y1)，向量v = (x2, y2)，实数k，向量u与v的加法定义为：u + v = (x1 + x2, y1 + y2)；向量u与v的减法定义为：u - v = (x1 - x2, y1 - y2)；向量u的数乘定义为：k * u = (kx1, ky1)。
4. 直线的方程直线是平面几何中的基本要素之一。
在平面解析几何中，我们可以通过直线上的点和直线的斜率来确定直线的方程。
2015届高考数学总复习第九章平面解析几何第4课时圆的方程教学案(含最新模拟、试题改编)
第九章 平面解析几何第4课时 圆 的 方 程第十章 ⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）119～121页 （理）124～126页考情分析考点新知了解确定圆的几何要素(圆心、半径、不在同一直线上的三个点等)；掌握圆的标准方程与一般方程与一般方程．能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系并会进行互化.1. 方程x 2＋y 2－6x ＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________． 答案：(3，0) 3解析：(x －3)2＋y 2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.2. 以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_________． 答案：(x －1)2＋(y －2)2＝25解析：设P(x ，y)是所求圆上任意一点．∵ A 、B 是直径的端点，∴ PA →·PB →＝0.又PA →＝(－3－x ，－1－y)，PB →＝(5－x ，5－y)．由PA →·PB →＝0(－3－x)·(5－x)＋(－1－y)(5－y)＝0x 2－2x ＋y 2－4y －20＝0(x －1)2＋(y －2)2＝25.3. (必修2P 111练习8改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是________．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，14∪(1，＋∞) 解析：由(4m)2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.4. (必修2P 102习题1(3)改编)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．答案：x 2＋(y －2)2＝1解析：设圆的方程为x 2＋(y －b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b ＝2.故所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.5. (必修2P 112习题8改编)点(1，1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4内，则实数a 的取值范围是________．答案：(－1，1)解析：∵ 点(1，1)在圆的内部，∴ (1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴ －1＜a ＜1.1. 圆的标准方程(1) 以(a ，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2． (2) 特殊的，x 2＋y 2＝r 2(r>0)的圆心为(0，0)，半径为r ． 2. 圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. (1) 当D 2＋E 2－4F>0时，方程表示以⎝⎛⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形．3. 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1) 设所求圆的标准方程或圆的一般方程；(2) 根据条件列出关于a ，b ，r 的方程组或关于D ，E ，F 的方程组； (3) 求出a ，b ，r 或D ，E ，F 的值，从而确定圆的方程． 4. 点与圆的位置关系点M(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系： (1) 若M(x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2>r 2． (2) 若M(x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a)＋(y 0－b)＝r ． (3) 若M(x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2<r 2．[备课札记]题型1 圆的方程例1 已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1) 求实数m 的取值范围； (2) 求该圆半径r 的取值范围； (3) 求圆心的轨迹方程．解：(1) 方程表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F>0，即有4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)>0－17<m<1.(2) 半径r ＝－7⎝⎛⎭⎫m －372＋167≤4770<r ≤477. (3) 设圆心坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3，y ＝4m 2－1，消去m ，得y ＝4(x －3)2－1.由于－17<m<1， 所以207<x<4.故圆心的轨迹方程为y ＝4(x －3)2－1⎝⎛⎭⎫207<x<4.变式训练已知t ∈R ，圆C ：x 2＋y 2－2tx －2t 2y ＋4t －4＝0.(1) 若圆C 的圆心在直线x －y ＋2＝0上，求圆C 的方程；(2) 圆C 是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．解：(1) 配方得(x －t)2＋(y －t 2)2＝t 4＋t 2－4t ＋4，其圆心C(t ，t 2)．依题意t －t 2＋2＝0t ＝－1或2.即x 2＋y 2＋2x －2y －8＝0或x 2＋y 2－4x －8y ＋4＝0为所求方程．(2) 整理圆C 的方程为(x 2＋y 2－4)＋(－2x ＋4)t ＋(－2y)·t 2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，－2x ＋4＝0，－2y ＝0⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0. 故圆C 过定点(2，0)．题型2 求圆的方程 例2 求过两点A(1，4)、B(3，2)且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程，并判断点P(2，4)与圆的关系．解：(解法1)(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2. ∵ 圆心在y ＝0上，故b ＝0. ∴ 圆的方程为(x －a)2＋y 2＝r 2.∵ 该圆过A(1，4)、B(3，2)两点， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋16＝r 2，（3－a ）2＋4＝r 2，解之得a ＝－1，r 2＝20. ∴ 所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.(解法2)(直接求出圆心坐标和半径)∵ 圆过A(1，4)、B(3，2)两点，∴ 圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上．∵ k AB ＝4－21－3＝－1，故l 的斜率为1，又AB 的中点为(2，3)，故AB 的垂直平分线l 的方程为y －3＝x －2即x －y ＋1＝0.又知圆心在直线y ＝0上，故圆心坐标为C(－1，0)．∴ 半径r ＝|AC|＝（1＋1）2＋42＝20.故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.又点P(2，4)到圆心C(－1，0)的距离为d ＝|PC|＝（2＋1）2＋42＝25>r.∴ 点P 在圆外．备选变式（教师专享）已知圆C 的圆心与点P(－2，1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB ＝6，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，则圆心C(a ，b)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋2＝－1，b ＋12＝a －22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.故C(0，－1)到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝||－4－115＝3.∵AB ＝6，∴r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫AB 22＝18，∴圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.例3 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数f(x)＝x 2＋2x ＋b(x ∈R )与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1) 求实数b 的取值范围； (2) 求圆C 的方程；(3) 圆C 是否经过定点(与b 的取值无关)？证明你的结论．解：(1) 令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0且Δ>0，解得b<1且b ≠0.(2) 设所求圆的一般方程为x 2＋ y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ，令x ＝0，得y 2＋ Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得E ＝－b －1，所以圆C 的方程为x 2＋ y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3) 圆C 必过定点(0，1)，(－2，1)．证明：将(0，1)代入圆C 的方程，得左边＝ 02＋ 12＋2×0－(b ＋1)×1＋b ＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点(0，1)；同理可证圆C 必过定点(－2，1)．备选变式（教师专享）已知直线l 1、l 2分别与抛物线x 2＝4y 相切于点A 、B ，且A 、B 两点的横坐标分别为a 、b(a 、b ∈R )．(1) 求直线l 1、l 2的方程；(2) 若l 1、l 2与x 轴分别交于P 、Q ，且l 1、l 2交于点R ，经过P 、Q 、R 三点作圆C. ① 当a ＝4，b ＝－2时，求圆C 的方程；② 当a ，b 变化时，圆C 是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由．解：(1) A ⎝⎛⎭⎫a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎫b ，b 24，记f(x)＝x 24，f ′(x)＝x 2，则l 1的方程为y －a 24＝a 2(x －a)，即y ＝a 2x －a 24；同理得l 2的方程为y ＝b 2x －b 24.(2) 由题意a ≠b 且a 、b 不为零，联立方程组可求得P ⎝⎛⎭⎫a 2，0，Q ⎝⎛⎭⎫b 2，0，R ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，ab . ∴经过P 、Q 、R 三点的圆C 的方程为x ⎝⎛⎭⎫x －a ＋b 2＋(y －1)(y －ab)＝0，当a ＝4，b ＝－2时，圆C 的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －8＝0， 显然当a ≠b 且a 、b 不为零时，圆C 过定点F(0，1)． 题型3 圆与方程(轨迹)例4 如图，已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C ：x 2＋y 2＝1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于 2.求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么．解：设直线 MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是P ＝{M||MN|＝2|MQ|}. 因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－1.设点M 的坐标为 (x ，y)，则x 2＋y 2－1＝2（x －2）2＋y 2，整理得(x －4)2＋y 2＝7. 它表示圆，该圆圆心的坐标为(4，0)，半径为7. 备选变式（教师专享）如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN(M 、N 分别为切点)，使得PM ＝2PN ，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1(－2，0)，O 2(2，0)．由已知PM ＝2PN ，得PM 2＝2PN 2.因为两圆的半径均为1，所以PO 21 －1 ＝ 2(PO 22 －1)．设P(x ，y)，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即(x －6)2＋y 2＝33,所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33(或x 2＋y 2－12x ＋3＝0)． 题型4 与圆有关的最值问题例5 P(x ，y)在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，试求x 2＋y 2的最小值．解：由C(1，1)得OC ＝2，则OP min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.变式训练已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，则2x －y 的最大值为________，最小值为________．答案：5＋5 5－5解析：令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b|5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.1. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为________．答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y±332＝43解析：由题可知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b)，半径为r ，则rsin π3＝1，rcos π3＝|b|，解得r ＝23，|b|＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y±332＝43. 2. 过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x ，y)|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．答案：x ＋y －2＝0解析：当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴ 直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.3. 已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．答案：5解析：设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2，垂足分别为E 、F ，则四边形OEMF为矩形，则有d 21＋d 22＝3.由平面几何知识知|AC|＝24－d 21，|BD|＝24－d 22，∴ S 四边形ABCD＝12|AC|·|BD|＝24－d 21·4－d 22≤(4－d 21)＋(4－d 22)＝8－(d 21＋d 22)＝5，即四边形ABCD 面积的最大值为5.4. 若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a>0，b>0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为________．答案：1解析：圆C 的圆心坐标为(－4，－1)，则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4.所以ab ＝14(4ab)≤14⎝⎛⎭⎫4a ＋b 22＝14×⎝⎛⎭⎫422＝1.当且仅当a ＝12，b ＝2取得等号．5. 如图，已知点A(－1，0)与点B(1，0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连结BC 并延长至D ，使得CD ＝BC ，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．解：设动点P(x ，y)，由题意可知P 是△ABD 的重心．由A(－1，0)，B(1，0)，令动点C(x 0，y 0)，则D(2x 0－1，2y 0)，由重心坐标公式得⎩⎨⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎨⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2，y 0≠0，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)，故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．6. 已知圆M 过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1) 求圆M 的方程；(2) 设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ′、PB′是圆M 的两条切线，A ′、B′为切点，求四边形PA′MB′面积的最小值．解：(1) 设圆M 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2，（－1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2) 由题知，四边形PA′MB′的面积为S ＝S △PA ′M ＋S △PB ′M ＝12|A ′M||PA ′|＋12|B ′M||PB ′|.又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA ′|＝|PB′|，所以S ＝2|PA ′|，而|PA′|＝|PM|2－|A′M|2＝|PM|2－4，即S ＝2|PM|2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM|的值最小，所以|PM|min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S ＝2|PM|2－4＝232－4＝2 5.1. 圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1，3)处的切线方程为________． 答案：x －3y ＋2＝0解析：圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k(x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，所以|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33.所以切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0.2. 若方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，求实数a 的取值范围，并求出半径最小的圆的方程．解：∵方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，∴a ≠0. ∴方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0可以写成x 2＋y 2－4（a －1）a x ＋4ay ＝0.∵D 2＋E 2－4F ＝16（a 2－2a ＋2）a 2>0恒成立，∴a ≠0时，方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆． 设圆的半径为r ，则r 2＝4（a 2－2a ＋2）a 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎫1a －122＋1，∴当1a ＝12即，a ＝2时，圆的半径最小，半径最小的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.3. 如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则P 点斜坐标为(x ，y)．(1) 若P 点斜坐标为(2，－2)，求P 到O 的距离|PO|；(2) 求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程． 解：(1) ∵P 点斜坐标为(2，－2)， ∴OP →＝2e 1－2e 2. ∴|OP →|2＝(2e 1－2e 2)2＝8－8e 1·e 2＝8－8×cos60°＝4. ∴|OP →|＝2，即|OP|＝2.(2) 设圆上动点M 的斜坐标为(x ，y)，则OM →＝x e 1＋y e 2. ∴(x e 1＋y e 2)2＝1.∴x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝1.∴x 2＋y 2＋xy ＝1. 故所求方程为x 2＋y 2＋xy ＝1.4. 已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，求该圆的方程．解：设圆P 的圆心为P(a ，b)，半径为r ，则点P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b|、|a|. 由题设知圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P 截x 轴所得的弦长为2r. 故2|b|＝2r ，得r 2＝2b 2，又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r 2＝a 2＋1，得2b 2－a 2＝1.又因为P(a ，b)到直线x －2y ＝0的距离为55，得d ＝|a －2b|5＝55，即有a －2b ＝±1，综上所述得⎩⎪⎨⎪⎧2b 2－a 2＝1a －2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧2b 2－a 2＝1，a －2b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.于是r 2＝2b 2＝2.所求圆的方程是(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，或(x －1)2＋(y －1)2＝2.5. 已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A(－5，0)，直线l ：x －2y ＝0. (1) 求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2) 在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．解：(1) 设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，∵ 直线与圆相切，∴ |－b|22＋12＝3，得b ＝±35，∴ 所求直线方程为y ＝－2x±3 5.(2) (解法1)假设存在这样的点B(t ，0)，当P 为圆C 与x 轴左交点(－3，0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；当P 为圆C 与x 轴右交点(3，0)时，PB PA ＝|t －3|8，依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得，t ＝－5(舍去)，或t ＝－95.下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PBPA 为一常数． 设P(x ，y)，则y 2＝9－x 2，∴ PB2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝ 1825（5x ＋17）2（5x ＋17）＝925， 从而PB PA ＝35为常数．(解法2)假设存在这样的点B(t ，0)，使得PBPA为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，∴ (x －t)2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入得，x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t)x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 所以存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为常数35.1. 利用待定系数法求圆的方程，关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．2. 利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．3. 解决与圆有关的最值问题的常用方法(1) 形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为定点(a ，b)与圆上的动点(x ，y)的斜率的最值问题；(2) 形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3) 形如(x －a)2＋(y －b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．[备课札记]。
2015年高考数学(理)核按钮：第九章《平面解析几何》(含解析)
第九章 平面解析几何§9.1 平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式，两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．4．掌握两点间的距离公式．本部分内容为解析几何的基础知识之一，在每年的高考中均有涉及，主要考查基本概念和直线方程的求法及应用．单独考查直线的问题多为基础题，以选择题方式考查为主；与圆，椭圆，双曲线，抛物线等知识点结合，多为中等或偏难试题，多出现在解答题部分．求直线方程时要注意直线形式的选择，涉及到直线倾斜角与斜率的问题要注意对倾斜角为直角即斜率不存在的情况进行讨论．1．平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上的基本公式：数轴上，如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )．那么数轴上两点A (x 1)，B (x 2)的距离d (A ，B )＝|AB |＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式：①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝__________________________． ②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为______________．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．3．直线方程的几种形式 (1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)． (2)直线方程的五种形式：注：斜截式是________的特例；截距式是________的特例．(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________．【自查自纠】1．(1)|x 2－x 1| (2)①()x 2－x 12＋()y 2－y 12②x 1＋x 22 y 1＋y 222．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180° (2)正切值 tan α 90° ＝ > < 90° (3)y 2－y 1x 2－x 13．(1)横坐标a 纵坐标b 不是 (2)①y －y 0＝k (x －x 0) ②y ＝kx ＋b ③y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 ④x 1≠x 2且y 1≠y 2 ⑤x a ＋yb＝1 ⑥Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0) 点斜式 两点式(3)①x ＝x 1 ②y ＝y 1 ③x ＝0 ④y ＝0过点M (－1，m )，N (m ＋1，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．12C ．2D ．13解：由4－m m ＋2＝1，得m ＝1.故选A.直线3x －3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．135°解：直线方程可变形为y ＝3x ＋33，tan α＝3，∵倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝60°.故选B.(2012·山东模拟)过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0解：当直线过原点时所求方程为2x －5y ＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y2a＝1，由该直线过点(5，2)即可解得a ＝6，对应方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0，故选B.下列四个命题中真命题有______个．①经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示；②经过任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示；④经过定点(0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．解：①当k 不存在时，直线方程为x ＝x 0，不正确；②正确；③当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示，不正确；④k 可能不存在，不正确．故填1.(2012·合肥一模)直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是____________．解：由题意得直线l 的斜率k ＝－sin30°cos150°＝tan30°＝33，∴直线l 的斜率为33.故填33.类型一 直线的倾斜角和斜率(1)(2012·杭州检测)如图所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，则直线l 1的斜率k 1＝________，直线l 2的斜率k 2＝________．解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－3，故填33；－ 3.(2)已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点，求直线l 的倾斜角的取值范围．解：∵直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点，∴k AB ＝m 2－11－2＝1－m 2.又∵m ∈R ，∴k AB ∈(－∞，1]，其倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 【评析】①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度也越大，两者由公式k ＝tan α联系．②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝y 2－y 1x 2－x 1转化，其中倾斜角α∈[0，π)，此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题．(1)(2012·武汉市部分学校高三调考)设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0 解：由题意得sin α＝－cos α，显然cos α≠0，则tan α＝－1，∴－ab ＝－1，a ＝b ，a －b ＝0.故选D.(2)已知直线l 经过A (cos θ，sin 2θ)和B (0，1)不同的两点，求直线l 倾斜角的取值范围．解：当cos θ＝0时，sin 2θ＝1－cos 2θ＝1，此时A ，B 重合．∴cos θ≠0.∴k ＝1－sin 2θ0－cos θ＝－cos θ∈[－1，0)∪(0，1]．因此倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 类型二 斜率的应用已知过原点O 的一条直线与函数y ＝log 8x 的图象交于两点A ，B ，分别过点A ，B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象依次交于C ，D 两点．(1)证明C ，D 两点与原点O 共线；(2)若直线BC 平行于x 轴，求点A 的坐标．解：(1)证明：设点A (x 1，log 8x 1)，B (x 2，log 8x 2)， ∵点O ，A ，B 共线，∴log 8x 1x 1＝log 8x 2x 2.∴log 2x 1x 1＝log 2x 2x 2.又由已知得C (x 1，log 2x 1)，D (x 2，log 2x 2)， ∴C ，D 两点与原点O 共线． (2)∵直线BC 平行于x 轴， ∴log 8x 2＝log 2x 1，即x 2＝x 31.把x 2＝x 31代入log 8x 1x 1＝log 8x 2x 2，得x 1＝ 3. ∴A (3，log 83)．【评析】此题是一道进行基础训练的好题，难度不大，画一个草图，用分析法和综合法相结合，易于理顺解题思路．变形时注意对数换底公式的应用．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，求1a ＋1b的值．解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b＝12. 类型三 求直线方程根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sin α＝1010(α∈[0，π))，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ±3y ＋4＝0.(2)若截距不为0，设直线的方程为x a ＋ya＝1，∵直线过点(－3，4)，∴－3a ＋4a＝1，解得a ＝1.此时直线方程为x ＋y －1＝0.若截距为0，设直线方程为y ＝kx ， 代入点(－3，4)，有4＝－3k ，解得k ＝－43，此时直线方程为4x ＋3y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －1＝0或4x ＋3y ＝0. (3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x －5＝0.当直线斜率存在时，设其方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得||10－5k 1＋k 2＝5，解得k ＝34.此时直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.【评析】本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱．(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线y ＝－3x ＋1的倾斜角α＝120°. ∴所求直线的倾斜角为30°.(1)所求直线方程是：y ＋1＝tan30°(x －3)， 即3x －3y －6＝0.(2)所求直线方程为：y ＝33x －5，即3x －3y －15＝0.类型四 直线方程的应用已知点A (4，－1)，B (8，2)和直线 l ：x－y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，求||P A ＋||PB 的最小值．解：设点A 1(x 1，y 1)与A (4，－1)关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点，∴||P 0A 1＝||P 0A ，||P A 1＝ ||P A .∴||P A ＋||PB ＝||P A 1 ＋||PB ≥||A 1B ＝||A 1P 0＋||P 0B ＝||P 0A ＋||P 0B.当P 点运动到P 0点时，||P A ＋||PB 取到最小值||A 1B .∵点A ，A 1关于直线l 对称，∴由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，即A 1(0，3)．∴(||P A ＋||PB )min ＝||A 1B ＝82＋（－1）2＝65. 【评析】平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础．求A 关于l 的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据．(2013·湖南)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1C ．83D ．43解：以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，C (0，4)，得△ABC 的重心D ⎝⎛⎭⎫43，43，设P (m ，0)，m ∈(0，4)，则点P 关于直线BC ，AC 的对称点分别为P 1(4，4－m )，P 2(－m ，0)，由于D ，P 1，P 2三点共线，∴D P k 1＝D P k 2，即43－（4－m ）43－4＝4343＋m ，解得m ＝43或0.又∵m ∈(0，4)，∴m ＝43.故选D.1．已知倾斜角求斜率，应注意斜率不存在的情况；反过来已知斜率求倾斜角时，则应考虑到倾斜角的范围，解决此问题时可借助k ＝tan α的图象(如图).2．在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积，周长等问题时，应用截距式方程比较简单．3．对于直线方程来说，要注意的是：每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目．在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形．如利用直线的点斜式，斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A 2＋B 2≠0而出现增解．4．求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，求出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，从而写出直线方程．1．下列命题中，正确的是( )A ．直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是αB ．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D ．直线的倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增解：因为直线的斜率k ＝tan θ，且θ∈[0，π)时，θ才是直线的倾斜角，所以A 不对；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π)，而当α＝π2时，直线的斜率不存在，所以B 不对；当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，斜率大于0；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率小于0，C 不对．故选D.2．已知直线的倾斜角为120°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝3x －2 解：∵k ＝tan120°＝－3，且直线在y 轴上的截距为－2，∴由斜截式得y ＝－3x －2.故选C.3．(2012·唐山二模)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解：显然a ≠0，由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a ＝－2或1.故选D.4．若A (a ，b )，B (c ，d )是直线y ＝mx ＋n 上的两点，那么A ，B 间的距离为( )A.||a －c 1＋m 2B.||a －c (1＋m 2)C.||a －c 1＋m 2D.||a －c ·||m 解：||AB ＝（a －c ）2＋（b －d ）2＝（a －c ）2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －d a －c 2＝（a －c ）2（1＋m 2）＝||a －c ·1＋m 2. 故选A.5．(2013·北京海淀模拟)已知点A (－1，0)，B (cos α，sin α)，且||AB ＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解：∵||AB ＝（cos α＋1）2＋sin 2α ＝2＋2cos α＝3，∴cos α＝12，sin α＝±32.当点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32时，直线AB 的方程为y ＝33x ＋33；当点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32时，直线AB的方程为y ＝－33x －33.故选B.6．(2013·辽宁)已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0 D ．||b －a 3＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 解：若∠OAB 为直角，则A 与B 的纵坐标相等，可得b ＝a 3；若∠OBA 为直角，则OB ⊥BA ，即k OB ·k BA＝a 3a ·b －a 3－a ＝－1，得b －a 3－1a＝0.综上知，故选C. 7．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0，0)，A (1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为____________．解：∵AO ＝AB ，点O ，B 都在x 轴上，∴直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，有k AB ＝－k OA ＝－3.∴直线AB 的方程为y －3＝－3(x －1)， 即3x ＋y －6＝0.故填3x ＋y －6＝0.8．(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解：在四边形ABCD 所在平面内任取一点P ，则P A ＋PC ≥AC ，PB ＋PD ≥BD ，∴P A ＋PB ＋PC ＋PD ≥AC ＋BD ，当且仅当P 为AC 与BD 的交点时取等号，此时点P 到点A ，B ，C ，D 的距离之和最小．易知直线AC 的方程为y ＝2x ，直线BD 的方程为y ＝－x ＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即所求点P 的坐标为(2，4)．故填(2，4)．9．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程．解：设所求直线l 的方程为x a ＋yb＝1.∵k ＝16，∴－b a ＝16，得a ＝－6b .又S △ABC ＝12|a |·|b |＝3，∴|ab |＝6.联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ，||ab ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－1.∴所求直线方程为：x －6＋y 1＝1或x 6＋y－1＝1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知矩形ABCD 中，A (－4，4)，D (5，7)，中心E 在第一象限内且到y 轴的距离为1个单位．动点P (x ，y )沿矩形一边BC 运动，求yx的取值范围．解：由题意设E (1，y 0)(y 0>0)，由AC 中点与BD 中点均为E 知B (－3，2y 0－7)，C (6，2y 0－4)．∵||AC ＝||BD ，∴102＋（2y 0－8）2＝82＋（14－2y 0）2， 解得y 0＝4.∴B (－3，1)，C (6，4)．依题意，k OP ＝yx ，k OP ≥k OC 或k OP ≤k OB .又∵k OB ＝－13，k OC ＝23，∴y x ≥23或y x ≤－13.当P 点在线段BC 与y 轴的交点时，yx不存在．11．已知△ABC 中，顶点A (4，5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于B ，交x 轴于C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0，7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝（4－0）2＋（－5－7）2＝410.过点P (2，1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求：(1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程； (2)求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程；(3)求|P A |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)解法一：设直线l 的方程为： y －1＝k (x －2)，则可得A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0，1－2k )． ∵直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k ＞0，1－2k ＞0，得k ＜0.∴S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·2k －1k ·(1－2k )＝12⎝⎛⎭⎫4－1k －4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2⎝⎛⎭⎫－1k ·（－4k ） ＝4.当且仅当－1k ＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 面积有最小值为4，此时，直线l 的方程是y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.解法二：设所求直线l 的方程为：x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＋1b ＝1.又∵2a ＋1b ≥22ab ，∴12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 的面积S ＝12ab 有最小值4.此时，直线l的方程是x 4＋y2＝1.(2)解法一：∵A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0，1－2k )(k ＜0)，∴截距之和为：2k －1k ＋1－2k ＝3－2k －1k≥3＋2（－2k ）⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋22，当且仅当－2k ＝－1k ，即k ＝－22时等号成立．故截距之和的最小值为3＋22，此时直线l 的方程为y －1＝－22(x －2)，即22x ＋y －1－2＝0. 解法二：同(1)解法二，用截距式求解．(3)∵A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0，1－2k )(k ＜0)，∴|P A |·|PB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎡⎦⎤1－k ＋（－k ）≥4， 当且仅当－k ＝－1k，即k ＝－1时上式等号成立．故|P A |·|PB |的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.§9.2 两条直线的位置关系1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．4．能运用数形结合的思想方法，体会用代数方法研究直线问题的基本思路和方法，将几何问题转化为代数问题来解决；反过来，某些代数问题也可转化为几何问题来解决．本节内容是高考直线部分命题的重点，直线与直线的位置关系，点到直线的距离，对称思想的运用等都属于基本要求．1．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________；注意到任意两条直线l 1和l 2满足k 1＝k 2⇔____________或____________．(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________．2．两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有惟一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________；若方程组有无穷多解，则两条直线____________．3．两个距离公式(1)点到直线的距离：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ ．(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________． 4．过两直线交点的直线系方程若已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，这条直线可以是l 1，但不能是l 2)表示过l 1和l 2交点的直线系方程．【自查自纠】1．(1)k 1＝k 2 l 1∥l 2 l 1∥l 2 l 1与l 2重合 (2)k 1k 2＝－1 l 1⊥l 22．相交 交点的坐标 无公共点 平行 重合3．(1)||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2 (2)||C1－C 2A 2＋B2若直线l 过点(－1，2)，且与直线y ＝23x 垂直，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解：由条件知，直线l 的斜率k ＝－32，∴其方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.故选A.若直线2ay －1＝0与直线(3a －1)x ＋y －1＝0平行，则实数a 等于( )A ．12B ．－12C ．13D ．－13解：因为两直线平行，所以3a －1＝0，即a ＝13.故选C.(2012·山东模拟)“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：充分性显然成立，若“直线x ＋y ＝0和直线x－ay ＝0互相垂直”，则(－1)×1a＝－1，解得a ＝1，必要性也成立．故选C.(2012·浙江三校联考)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为____________．解：l 2可以化为3x ＋4y ＋12＝0，两直线平行，由两平行直线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪－7－125＝32.故填32.若直线l 沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位后，回到原来位置，那么直线l 的斜率是__________．解：显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，据题意，平移后的直线l ′：y ＝k (x ＋3)＋b ＋1与直线l 重合，∴b ＝3k ＋b ＋1，得k ＝－13.故填－13.类型一 两条直线平行，重合或相交已知两条直线：l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m－2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解：联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＋6＝0，（m －2）x ＋3y ＋2m ＝0.当m ＝0或m ＝2时两直线相交；当m ≠0或2时，此时A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m，当A 1A 2＝B 1B 2时，即1m －2＝m 3，解得m ＝－1或m ＝3； 当A 1A 2＝C 1C 2时，即1m －2＝62m，解得m ＝3. (1)当m ≠－1且m ≠3时，A 1A 2≠B 1B 2，方程组有唯一一组解．∴l 1与l 2相交．(2)当m ＝－1时，A 1A 2＝B 1B 2且A 1A 2≠C 1C 2，方程组无解．∴l 1与l 2平行．(3)当m ＝3时，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，方程组有无穷多组解．∴l 1与l 2重合．【评析】由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用本题的结论，即：若A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，则直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零．当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x ＋my －1＝0，l 2：3x －2y －5＝0，l 3：6x ＋y －5＝0不能围成三角形．解：记l 1，l 2，l 3三条直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 2＝32，k 3＝－6.若l 1∥l 2，或l 1∥l 3，则k 1＝k 2＝32，或k 1＝k 3＝－6，解之得m ＝－2或m ＝12；若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －5＝0，6x ＋y －5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，l 2与l 3交于点(1，－1)，将点(1，－1)代入3x ＋my －1＝0，得m ＝2.∴当m ＝±2或12时，l 1，l 2，l 3不能围成三角形．类型二 两条直线垂直直线l 1：x ＋3y ＝7与直线l 2：kx －y ＝2，以及与x ，y 轴围成的凸四边形有外接圆，求实数k 的值．解：结合图形分析，如图所示，由直线l 1，l 2及x ，y 轴所围成四边形为OABC ，其有外接圆的充要条件是对角互补．∵∠COA ＝90°，∴∠CBA ＝90°， 即l 1⊥l 2.∴k ·⎝⎛⎭⎫－13＝－1，解得k ＝3. 【评析】(1)给定两直线：l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(或y ＝k 1x ＋b 1)；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(或y ＝k 2x ＋b 2)．直线l 1⊥l 2的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0(或k 1k 2＝-1)．认识此充要条件请把握好以下两点：①k 1k 2＝－1是A 1A 2＋B 1B 2＝0在一般式中两直线斜率均存在情况下的等价形式；②A 1A 2＋B 1B 2＝0含两条直线中一条直线斜率不存在而另一条直线斜率为零这一特殊的情形，此时两直线也垂直．(2)解析几何是用代数的方法解决几何问题，所以灵活运用平面几何中相关的性质，定理会使求解过程简捷，明快，这里应用了四边形有外接圆的充要条件：对角互补．(2013·北京一模)已知直线l 1：ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，则“a ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当a ＝－2时，l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：x －2y＋2＝0，k 1＝－2，k 2＝12，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2，充分性成立；反之，由l 1⊥l 2得a ·1＋(a ＋1)·a ＝0，解得a ＝－2或0，必要性不成立．综上知，故选A.类型三 对称问题求直线l ：x －2y ＋6＝0关于点M (－1，1)对称的直线l ′的方程．解法一：取l 上的两点A (0，3)，B (－6，0)，求出它们关于点M 的对称点，A ′(－2，－1)，B ′(4，2)，再用两点式求出l ′的方程为x －2y ＝0.解法二：设点P ′(x ′，y ′)为所求直线l ′上的任意一点，则点P ′关于点M 在直线l 上的对称点为P (x ，y )．由⎩⎨⎧－1＝x ＋x ′2，1＝y ＋y ′2得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－x ′，y ＝2－y ′， 代入直线l的方程得：(－2－x ′)－2(2－y ′)＋6＝0，得x ′－2y ′＝0， 即x －2y ＝0为所求直线l ′的方程．【评析】利用点关于点对称列式，再用相关点间的代换法求l ′，此解法适用于求曲线F (x ，y )＝0关于点对称的曲线方程，具有普遍意义．有关直线与点的对称问题可分为四类：两点关于一点成中心对称；两线关于一点成中心对称；两点关于一直线成轴对称；两线关于一直线成轴对称，前两类较简单，后两类主要应用中点，垂直等条件解决．求曲线关于点或直线对称曲线的主要步骤是：①在已知曲线上任取一点M (x ，y )；②求出这点关于对称中心或对称轴的对称点M ′(x ′，y ′)；③已知曲线方程用x ′，y ′表示，求出所求曲线的方程G (x ′，y ′)＝0.已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，求BC 边所在直线的方程．解：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(x 1，y 1)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，∴A 1(0，3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)． ∴BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0.类型四 距离问题已知点P 到两个定点M (－1，0)，N (1，0)的距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．解：易知直线PM 的斜率k 存在，设直线PM 的方程为y ＝k (x ＋1)，则点N 到直线PM 的距离d ＝||2k 1＋k 2＝1，解得k ＝±33.设P (x ，y )，又||PM ＝2||PN ，则（x ＋1）2＋y 2＝2·（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±33（x ＋1），x 2＋y 2－6x ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2＋3，y ＝±（3＋1）或⎩⎨⎧x ＝2－3，y ＝±（3－1）.∴点P 的坐标为(2＋3，±(3＋1))或(2－3，±(3－1))．故直线PN 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1. 【评析】解决本题的关键是处理好两个距离问题，一是N 点到直线PM 的距离，二是点P 到两个定点M ，N的距离之比为 2.实际上是两个轨迹问题，点P 就是这两个轨迹的交点，求出交点后，进而可以求出直线PN 的方程．(2013·武汉四月调研)已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若(Ax 1＋By 1＋C )·(Ax 2＋By 2＋C )>0，且||Ax 1＋By 1＋C <||Ax 2＋By 2＋C ，则直线l ( )A ．与直线P 1P 2不相交B ．与线段P 2P 1的延长线相交C ．与线段P 1P 2的延长线相交D ．与线段P 1P 2相交 解：由(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，得点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧，设d 1＝||Ax 1＋By 1＋C A 2＋B 2，d 2＝||Ax 2＋By 2＋C A 2＋B 2，由||Ax 1＋By 1＋C <||Ax 2＋By 2＋C 得d 1<d 2，即点 P 1(x 1，y 1)到直线l 的距离小于点P 2(x 2，y 2)到直线l的距离，数形结合知直线l 与线段P 2P 1的延长线相交．故选B.类型五 直线系及其应用求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标．证法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0，①再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0，②①②联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A (－1，2)代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1 ＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0， 故点A (－1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A .证法二：将动直线方程按m 降幂排列整理得， m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点A (－1，2)．【评析】此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m 两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m 只是取两个特殊值，是否m ∈R 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m 的降幂排列，由于∀m ∈R 恒成立，所以得关于x ，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标．直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合．常见直线系方程有：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系：y －y 1＝k (x －x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )．(3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Bx －Ay ＋λ＝0.(4)过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．已知直线l ：(a ＋b )x ＋(a －b )y ＋2＝0，其中a ，b 满足3a －b ＋2＝0.求证：直线l 恒过一定点．证明：由已知得b ＝3a ＋2，则直线l 的方程可化为(4a ＋2)x －(2a ＋2)y ＋2＝0，整理得 a (4x －2y )＋2x －2y ＋2＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝0，2x －2y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∵点(1，2)恒满足直线l 的方程，∴直线l 恒过定点(1，2)．1．无论是判断两条直线平行还是垂直，都是从两方面来讨论的，即两条直线斜率都存在的情况和两条直线至少有一条斜率不存在的情况．2．两条直线平行或垂直时求直线方程中的参数，需分类讨论及数形结合．3．如果能推导出用直线方程一般式表示的两条直线平行，重合或垂直的条件(一般式系数之间的关系)，并记住结论，往往会使问题更易于解决．4．求两条直线交点坐标的方法就是解方程组，利用解方程组也可以判断两条直线的位置关系，即将几何问题转化为代数问题．5．运用公式d ＝||C 1－C 2A 2＋B 2求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x ，y 的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离．这一方法体现了化归思想的应用．6．点(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b (即y －kx －b ＝0)的距离公式d ＝||y 0－kx 0－b 1＋k 2记忆容易，对于知d 求k ，b很方便．7．过定点的直线系方程反映了人们从典型到一般，从具体到抽象又反过来为具体服务的认识规律，因此，在解决此类问题时注意应用直线系方程求解，也要注意其他几种常用的直线系方程的应用．8．对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决，对关于原点对称，坐标轴对称，直线y ＝±x ＋b 对称等，也要予以掌握，以提高解题的速度和准确性．1．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解：由点斜式得所求直线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.故选A.2．(2013·山东模拟)已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1或3D ．－1或－3解：∵直线y ＝ax －2的斜率存在且为a ，∴a ＋2≠0，直线3x －(a ＋2)y ＋1＝0可化为y ＝3a ＋2x ＋1a ＋2.∵两条直线平行，∴3a ＋2＝a 且1a ＋2≠－2，解得a ＝1或－3.故选A.3．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解：∵直线l 1与l 2关于点(2，1)对称，且直线l 1过点(4，0)，∴直线l 2必过点(4，0)关于点(2，1)的对称点(0，2)．故选B.4．(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1710B ．175C ．8D ．2解：由题意得36＝4m ≠－314，解得m ＝8.∴直线6x＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0.∴两平行线间的距离为d ＝||－3－732＋42＝2.故选D.5．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x ＋ay ＋c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解：由正弦定理得到a sin A ＝bsin B，∵两直线的斜率分别是k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B，∴k 1·k 2＝－sin A a ·bsin B＝－1，两直线垂直．故选C.6．已知直线l 1：ax ＋4y ＝2与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0垂直，点(1，c )为垂足，则a ＋b ＋c 等于( )A ．－4B ．20C ．0D ．24解：∵l 1⊥l 2，∴2a －20＝0，a ＝10.∴直线l 1的方程为5x ＋2y －1＝0.又∵点(1，c )为垂足，∴点(1，c )在直线l 1，l 2上，有⎩⎪⎨⎪⎧5＋2c －1＝0，2－5c ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12，c ＝－2.∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.故选A.7．经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为______________．解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋10＝0，3x ＋4y －2＝0， 求出交点坐标(－2，2)，设所求直线的斜率为k ，则k ·32＝－1，解得k ＝－23.∴所求直线的方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.解法二：设所求直线l 的方程为2x －3y ＋10＋λ(3x ＋4y －2)＝0，即(2＋3λ)x ＋(4λ－3)y ＋(10－2λ)＝0，其中斜率为k ＝2＋3λ3－4λ，∵直线l 与3x －2y ＋4＝0垂直，∴2＋3λ3－4λ·32＝－1，解得λ＝－12. 故所求直线方程为 [2＋3×(－12)]x ＋[4×(－12)－3]y ＋[10－2×(－12)]＝0.即2x ＋3y －2＝0.故填2x ＋3y －2＝0.8．(2013·北京模拟)l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是____________．解：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大，∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2，两平行线的斜率为k ＝－12.∴直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.故填x ＋2y －3＝0.9．已知△ABC 的顶点B (2，1)，C (－6，3)，其垂心为H (－3，2)，求顶点A 的坐标．解：设顶点A 的坐标为(x ，y )．∵AC ⊥BH ，AB ⊥CH ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BH ＝－1，k AB ·k CH ＝－1， 即⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＋6×⎝⎛⎭⎫－15＝－1，y －1x －2×⎝⎛⎭⎫－13＝－1，化简为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝5x ＋33，y ＝3x －5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19，y ＝－62.∴A 的坐标为(－19，－62)．10．设一直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．解法一：设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点为C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C ＝0，∴C (1，0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y －1＝0解得⎩⎨⎧x D ＝53，y D ＝23，∴D ⎝⎛⎭⎫53，23. ∴CD 的中点为M ⎝⎛⎭⎫43，13.又l 过点(－1，1)，由两点式得l 的方程为： y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0为所求方程． 解法二：∵与l 1，l 2平行且与它们距离相等的直线方程为：x ＋2y ＋－1－32＝0，即x ＋2y －2＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1＝0 得M ⎝⎛⎭⎫43，13.(以下同解法一)解法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y －2＝0，设所求方程为：(x －y －1)＋λ(x ＋2y －2)＝0，① ∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，解得λ＝－3，代入①得2x ＋7y －5＝0.解法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则。
数学一轮总复习平面解析几何的解法技巧
数学一轮总复习平面解析几何的解法技巧在数学一轮总复习的过程中，平面解析几何是一个重要的内容。
平面解析几何涉及到点、直线、圆等几何图形与坐标之间的关系，通过采用坐标系和代数运算方法来解决几何问题。
本文将介绍平面解析几何的解法技巧，以帮助同学们更好地应对考试。
一、平面解析几何基本概念复习在开始解析几何的问题之前，我们需要对平面解析几何的基本概念进行复习。
1. 坐标系：平面直角坐标系由两条相互垂直的数轴x轴和y轴构成，其中原点为坐标系的交点，通常表示为O(0,0)。
x轴和y轴的正向分别向右和向上延伸，形成四个象限。
2. 点的坐标：在平面直角坐标系中，点P的坐标表示为P(x,y)，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影。
3. 直线的方程：直线的方程有多种形式，常见的有一般式和斜截式。
一般式方程表示为Ax + By + C = 0，斜截式方程表示为y = kx + b，其中A、B、C、k和b为常数。
4. 圆的方程：圆的方程表示为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a,b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
二、平面解析几何解法技巧在解决平面解析几何问题时，我们可以采取以下的解法技巧。
1. 利用直线的性质解题：在平面解析几何中，直线是一个重要的概念。
我们可以根据直线的性质，例如平行、垂直、相交等来解题。
例如，当我们需要证明两条直线平行时，可以比较两条直线的斜率是否相等。
当我们需要判断两条直线是否相交时，可以比较两条直线的方程是否有解。
2. 利用圆的性质解题：圆是平面解析几何中常见的几何图形之一，我们可以根据圆的性质来解题。
例如，当我们求两个圆的交点时，可以将两个圆的方程联立，并求解方程组来找到交点的坐标。
3. 利用坐标系解题：在平面解析几何中，坐标系是非常重要的工具。
我们可以通过建立坐标系，将几何图形转化为代数表达式，从而用代数运算来解决几何问题。
例如，当我们需要证明一个点在一条直线上时，可以通过代入点的坐标到直线的方程中，判断等式是否成立。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮复习配套讲义：第八章 平面解析几何
第八章 平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2.3．直线方程1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.[试一试]1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－12解析：选D 当2m 2＋m －3≠0时，即m ≠1或m ≠－32时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，故m ＝2或m ＝－12.2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析：∵k MN ＝m －4－2－m ＝1，∴m ＝1.答案：13．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点． 设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝01．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．2．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程． [练一练]1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析：选B 设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π. 2．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5， 解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0直线的倾斜角与斜率1．(2013·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π则k 的取值范围是________． 解析：当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[)－3，0. 综上k ∈[)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1.答案：[)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1[类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在.直线方程[典例] 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. [解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0＜α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又因为直线过点(－3,4)，所以－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. [类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用． [针对训练]经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是( ) A ．8x ＋5y ＋20＝0或2x －5y －12＝0 B ．8x －5y －20＝0或2x －5y ＋10＝0 C ．8x ＋5y ＋10＝0或2x ＋5y －10＝0 D ．8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0解析：选D 由题意设所求方程为y ＋4＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －4＝0.由12·|5k －4|·|4k －5|＝5得，k ＝85或k ＝25.直线方程的综合应用角度一 与基本不等式相结合求最值问题1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，B (0,1－k ), 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.角度二 直线方程与平面向量的综合2．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求当MA ·MB 取得最小值时，直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b ＝1.故MA ·MB ＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. [类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，选设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.第二节两直线的位置关系1．两直线的位置关系2．两直线的交点设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．3．几种距离 (1)两点间的距离：平面上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式 d (A ，B )＝|AB |(2)点到直线的距离：点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d(3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d1．在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[试一试]1．(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710 B.175 C ．8D ．2解析：选D ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.2．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0. 2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． [练一练]1．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．解析：设对称点为(a ，b )，则⎩⎨⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3. 答案：(－4，－3)2．(2014·张家口质检)已知直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：3x ＋2y －1＝0两直线平行与垂直1．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解析：选A ∵l 1∥l 2， ∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8. 又∵l 2⊥l 3，∴－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.2．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C 当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0即x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行；当直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行时，－a2＝－1，a ＝2.综上所述，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的充要条件，故选C.3．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二 ∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0. 答案：4x ＋3y －6＝0 [类题通法]充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．距离问题[典例] 已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1， ∴线段AB 的垂直平分线方程为 y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [类题通法]1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|P A |＝|PB |这一条件的转化处理．[针对训练]与直线7x ＋24y －5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．解析：设所求直线方程为7x ＋24y ＋m ＝0， 由3＝|m ＋5|72＋242，∴m ＝70或－80.答案：7x ＋4y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0对称问题角度一 点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二 点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 角度三 线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四 对称问题的应用4．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.[类题通法]解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y . ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．第三节圆的方程1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件． [试一试]方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0知m ＜14或m ＞1.1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． [练一练]1．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得：b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为______________． 解析：法一：直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A (－4,0)，B (0,3)，所以线段AB 的中点为C ⎝⎛⎭⎫－2，32，|AB |＝5. 故所求圆的方程为(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫522. 法二：易得圆的直径的两端点为A (－4,0)，B (0,3)， 设P (x ，y )为圆上任一点，则P A ⊥PB.∴k P A ·k PB ＝－1得y x ＋4·y －3x ＝－1(x ≠－4，x ≠0)，即x (x ＋4)＋y (y －3)＝0. 化简得(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫522. 答案：(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝254圆的方程1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.3. 过直线2x ＋y ＋4＝0和圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0B ．x 2＋y 2＋265x －125y －375＝0C ．x 2＋y 2－265x －125y ＋375＝0D ．x 2＋y 2－265x －125y －375＝0解析：选A 设所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2－4＋k (2x ＋y ＋4)＝0，即x 2＋y 2＋2(k ＋1)x ＋(k －4)y ＋1＋4k ＝0，化为圆的标准方程得[x ＋(k ＋1)]2＋⎣⎡⎦⎤y ＋12(k －4)2＝(k ＋1)2＋14(k －4)2－(4k ＋1)，由(k ＋1)2＋14(k －4)2－(1＋4k )＞0，得5k 2－16k ＋16＞0，此时，所求圆的半径r＝(k ＋1)2＋14(k －4)2－(1＋4k )＝125k 2－16k ＋16.显然，当k ＝－－1610，即k ＝85时，5k 2－16k ＋16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积最小．故所求的圆的方程为x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0.[类题通法]1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．与圆有关的最值问题角度一 斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求yx 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝±3.(如图)所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.角度二 截距型最值问题2.在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝ 3，解得b ＝－2±6.(如图)所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 角度三 距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．(如图)又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是()2－32＝7－4 3. 角度四 利用对称性求最值4．(2013·重庆高考)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：选A 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.[类题通法]数形结合法求解与圆有关的最值问题(1)形如t ＝y －b x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．与圆有关的轨迹问题[典例] xOy 中，已知圆为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． [解] (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3. [类题通法]求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． [针对训练]已知OP ＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量OQ 满足OP ＋OQ ＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：设Q (x ，y )，由OP ＋OQ ＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y )＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α， ∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 答案：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d )2．圆与圆的位置关系(两圆半径r 1、r 2，d ＝|O 1O 2|)1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形． 2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形． [试一试]1．(2014·石家庄模拟)过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________． 解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝02．(2013·北京东城模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0, 则圆心C 的坐标为________；若直线y ＝kx 与圆C 相切，且切点在第四象限，则k ＝________.解析：圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由|3k |1＋k 2＝1, 解得k ＝±24，根据切点在第四象限，可得k ＝－24. 答案：(3,0) －241．圆的切线问题(1)过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T 的切线长公式为|MT |＝ x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝|MC |2－r 2(其中C 为圆C 的圆心，r 为其半径)．2．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题． [练一练]1．(2014·泉州模拟)过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＝0或x －y ＝0D ．x ＋3y ＝0或x －3y ＝0解析：选C 圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直线必有斜率．设斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ，则|2k |k 2＋1＝2， ∴k 2＝1，∴k ＝±1， ∴直线方程为y ＝±x .2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34D ．－68解析：选B ∵弦长为8，圆的半径为5， ∴弦心距为52－42＝3，∵圆心坐标为(1，－2)， ∴|5×1－12×(－2)＋c |13＝3，∴c ＝10或c ＝－68.直线与圆的位置关系1．(2013·陕西高考)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 由点M 在圆外，得a 2＋b 2＞1，∴圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，则直线与圆O 相交．2．(2014·江南十校联考)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3＜m ＜1B ．－4＜m ＜2C ．0＜m ＜1D ．m ＜1解析：选C 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d 小于半径． ∵圆x 2＋y 2－2x －1＝0可化为(x －1)2＋y 2＝2，即圆心是(1,0)，半径是2， ∴d ＝|1－0＋m |2＜2，∴|m ＋1|＜2，∴－3＜m ＜1，由题意知m 的取值范围应是(－3,1)的一个真子集，故选C. [类题通法]判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程随之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．切线、弦长问题[典例] ＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[解析] 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.[答案] A(2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．[解析] 最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d ＝(3－2)2＋(1－2)2＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－(2)2＝2 2. [答案] 2 2 [类题通法]1．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形． 2．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题． [针对训练](2014·济南模拟)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝ 3，则OA ·OB 的值是( ) A ．－12B.12 C ．－34D ．0解析：选A 在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝ 3，可得∠AOB ＝120°，所以OA ·OB ＝1×1×cos 120°＝－12.圆与圆的位置关系[典例] 12：(x ＋m )2＋∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．[解析] 由两圆在点A 处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO 1⊥AO 2，在直角三角形AO 1O 2中，(25)2＋(5)2＝m 2，∴m ＝±5，|AB |＝2×25×55＝4. [答案] 4在本例条件下求AB 所在的直线方程.解：由本例可知m ＝±5.当m＝5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2＋10x＋5＝0.②②－①得，x＝－1，即AB所在直线方程为x＝－1.当m＝－5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2－10x＋5＝0.②②－①得，x＝1，即AB所在直线方程为x＝1.∴AB所在的直线方程为x＝1或x＝－1.[类题通法]1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．[针对训练]与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C由题意知，两圆圆心分别为(－2,2)与(2,5)，半径分别为1和4，圆心距为(－2－2)2＋(2－5)2＝5，显然两圆外切，故公切线的条数为3.第五节椭圆1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆：①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．2．椭圆的标准方程和几何性质1．椭圆的定义中易忽视2a ＞|F 1F 2|这一条件，当2a ＝|F 1F 2|其轨迹为线段F 1F 2，当2a ＜|F 1F 2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[试一试]若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 25＋y 2＝1 B.x 24＋y 25＝1 C.x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1.故选C.1．求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．2．椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．[练一练]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12解析：选D 在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c2，又c 2＝am ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.2．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.答案：x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1椭圆的定义及标准方程1.(2014·三明模拟)设F 1，F 2是椭圆x 49＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )A ．30B ．25C ．24D ．40解析：选C ∵|PF 1|＋|PF 2|＝14， 又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. ∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.2．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.3．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：选D 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.[类题通法]1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．2．利用定义和余弦定理可求得|PF 1|·|PF 2|，再结合|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2| 进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )．椭圆的几何性质[典例] (2013·福建高考)椭圆Γ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．[解析] 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c ＝3－1.[答案] 3－1本例条件变为“过F1，F2的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆的内部”求离心率的取值范围.解：作图分析可知以线段F1F2为直径的圆在椭圆的内部，所以c＜b，从而c2＜b2，即c2＜a2－c2，⎝⎛⎭⎫ca2＜12，0＜ca＜22，故e∈⎝⎛⎭⎫0，22.[类题通法]椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．[针对训练]1．椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为()A．－21B．21C．－1925或21 D.1925或21解析：选C若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由ca＝45，即5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5，由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.2．若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是()A．[14，13] B．[13，12]C．(13，1) D．[13，1)解析：选D设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥13.又∵0＜e＜1，∴13≤e＜1.直线与椭圆的位置关系[典例] (2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ·DB ＋AD ·CB ＝8，求k 的值．[解] (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)所以AC ·DB ＋AD ·CB ＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.[类题通法]1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝ (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].[针对训练](2013·全国新课标Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533＜n ＜3， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.。
2015届高考数学总复习第九章 平面解析几何第3课时 直线与直线的位置关系课时训练
第九章 平面解析几何第3课时 直线与直线的位置关系1. 已知直线l 1：k 1x ＋y ＋1＝0与直线l 2：k 2x ＋y －1＝0，那么“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的________条件．答案：充要解析：由k 1＝k 2，1≠－1，得l 1∥l 2；由l 1∥l 2，知k 1×1－k 2×1＝0，所以k 1＝k 2.故“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的充要条件．2. 已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．答案：32解析：∵ 直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即为3x ＋4y ＋12＝0，∴ 直线l 1与直线l 2的距离为⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 3. 直线l 经过点(－2，1)，且与直线2x －3y ＋5＝0垂直，则l 的方程是____________________．答案：3x ＋2y ＋4＝0解析：所求直线的斜率为－32，则所求直线的方程为y －1＝－32(x ＋2)，即3x ＋2y ＋4＝0.4. 若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点________． 答案：(0，2)解析：由于直线l 1：y ＝k(x －4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，故直线l 2恒过定点(0，2)．5. 直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5，1)，则l 的方程是________________．答案：x ＋3y －8＝0解析：设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y)＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0，解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.6. 已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 答案：[0，10]解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0，10]．7. 若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是________．答案：4解析：设原点到点(m ，n)的距离为d ，所以d 2＝m 2＋n 2.又因为(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m 2＋n 2的最小值为4.8. 过点P(1，2)引直线，使之与A(2，3)、B(4，－5)的距离相等，则这条直线的方程为________________________________________________________________________． 答案：4x ＋y －6＝0，3x ＋2y －7＝0 解析：符合题意的直线有两条，一条直线与直线AB 平行，另一条直线经过AB 的中点．k AB ＝－5－34－2＝－4，y －2＝－4(x －1)即4x ＋y －6＝0；AB 的中点D(3，－1)，k PD ＝－1－23－1＝－32，y －2＝－32(x －1)即3x ＋2y －7＝0. 9. 已知l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，分别求m 的值使得l 1和l 2：(1) 垂直；(2) 平行；(3) 重合；(4) 相交．解：(1) l 1⊥l 2m －2＋3m ＝0m ＝12. (2) l 1∥l 2m －21＝3m ≠2m 6m 2－2m －3＝0且m ≠±3m ＝－1. (3) l 1与l 2重合m ＝3.(4) l 1与l 2相交m ≠3且m ≠－1.10. 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1) 点P(4，5)关于l 的对称点；(2) 直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x′，y ′)．∵ k PP ′·k l ＝－1，即y′－y x′－x×3＝－1.① 又PP′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴ 3×x′＋x 2－y′＋y 2＋3＝0.② 由①②得⎩⎨⎧x′＝－4x ＋3y －95，③y ′＝3x ＋4y ＋35.④ (1) 把x ＝4，y ＝5代入③④得x′＝－2，y ′＝7，∴ P(4，5)关于直线l 的对称点P′的坐标为(－2，7)．(2) 用③④分别代换x －y －2＝0中的x 、y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0. 11. 过点P(1，2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长AB ＝2，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4. ∵ AB ＝2，∴ ⎝⎛⎭⎫53k ＋42＋⎝⎛⎭⎫5k 3k ＋42＝2， 整理得7k 2－48k －7＝0，解得k 1＝7或k 2＝－17. 因此，所求直线l 的方程为7x －y －5＝0或x ＋7y －15＝0.12. 两条平行直线分别过点P(－2，－2)、Q(1，3)，它们之间的距离为d ，如果这两条直线各自绕着P 、Q 旋转并且保持互相平行．(1) 求d 的变化范围；(2) 用d 表示这两条直线的斜率；(3) 当d 取最大值时，求两条直线的方程．解：(1) (解法1)设过点P(－2，－2)的直线l 1方程为Ax ＋By ＋C 1＝0，过点Q(1，3)的直线l 2方程为Ax ＋By ＋C 2＝0，由于点P 、Q 在直线上，得－2A －2B ＋C 1＝0，A ＋3B ＋C 2＝0，两式相减得C 1－C 2＝3A ＋5B ，两直线间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2＝|3A ＋5B|A 2＋B2， 即(d 2－9)A 2－30AB ＋(d 2－25)B 2＝0.(*)① 当B ≠0时，两直线斜率存在，有(d 2－9)⎝⎛⎭⎫A B 2－30⎝⎛⎭⎫A B ＋d 2－25＝0. 由d>0及Δ≥0，得(－30)2－4(d 2－9)(d 2－25)≥0，从而0<d ≤34；② 当B ＝0时，两直线分别为x ＝－2与x ＝1，它们间的距离为3，满足上述结论． 综上所述，d 的取值范围是(0，34]．(解法2)两平行直线在旋转过程中，0<d ≤PQ ，而PQ ＝34，故d 的取值范围是(0，34]，(2) 当B ≠0时，两直线的斜率存在，从方程(*)中解得A B ＝15±d 34－d 2d 2－9，直线的斜率k ＝－A B ＝－15±d 34－d 2d 2－9. (3) 当d ＝34时，k ＝－A B ＝－35，对应两条直线分别为l 1：3x ＋5y ＋16＝0，l 2：3x ＋5y －18＝0.。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第8章 平面解析几何 第9节1
[课堂练通考点]1. 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．2．(2014·郑州模拟) 已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.53B.83C.103D ．10解析：选B 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1＞0，x 2＞0，设过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝3(x 2＋1)，x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83，选B.3．(2013·嘉兴一模) 经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA ·OB 等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，∴OA ·OB ＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA ·OB ＝－13. 4. (2014·东北三省联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝15．已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1)求以A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？如果l 存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)设A (2,1)的中点弦两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又据对称性知x 1≠x 2，由P 1，P 2在双曲线上，则有关系2x 21－y 21＝2,2x 22－y 22＝2.两式相减得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴2×4(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4，即以A (2,1)为中点的弦所在直线的斜率k ＝4. 故所求中点弦所在直线方程为 y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.(2)可假定直线l 存在，采用(1)的方法求出l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，2x －y －1＝0，消去y ，得2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，故满足条件的直线l 不存在．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2 为直角三角形，则这样的点P 有 ( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个解析：选C 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个，同理当 ∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．2. 椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：选B 依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率为－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0. 3．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ＝λFB (λ＞1)，则λ的值为( )A ．5B ．4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF ＝λFB 得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，(y 1＋y 2)2y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.4．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32D. 3解析：选D 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.5．(2013·兰州名校检测) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设|AM |＝e |AB |，则该椭圆的离心率e ＝________.解析：因为点A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以点A ，B 的坐标分别是⎝⎛⎭⎫－a e ，0，(0，a )．设点M 的坐标是(x 0，y 0)，由|AM |＝e |AB |, 得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e (e －1)，y 0＝ea .(*) 因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，将(*)式代入，得(e －1)2e 2＋e 2a 2b2＝1，整理得，e 2＋e －1＝0, 解得e ＝5－12. 答案：5－126．(2014·沈阳模拟)已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 满足|P A |－|PB |＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________.解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x .若P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)7. 如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB ＝1，|OF |＝1. (1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝1，又∵AF ·FB ＝(a ＋c )·(a －c )＝a 2－c 2＝1.∴a 2＝2，b 2＝1， 故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵M (0,1)，F (1,0)， ∴直线l 的斜率k ＝1.于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1.得 3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，x 1＋x 2＝－43m ，①x 1x 2＝2m 2－23.②∵MP ·FQ ＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0. 又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)，∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0，即 2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0.将①②代入得2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1，经检验m ＝－43符合条件．故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，直线l 的方程为y ＝x －43.8．(2013·郑州模拟)已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，设点M 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A ，B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ＝45，求直线AB 的方程． 解：(1)由题意|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4>23， 所以轨迹E 是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆， 即轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线AB 的斜率不可能为0，而直线x ＝1也不满足条件， 故可设AB 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1，消去x 得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2m4＋m 2，y 1·y 2＝－34＋m2.S ＝12|OP ||y 1－y 2|＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2m 2＋3m 2＋4. 由S ＝45，解得m 2＝1，即m ＝±1.故直线AB 的方程为x ＝±y ＋1，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0为所求． 第Ⅱ卷：提能增分卷1. 已知中心在坐标原点的椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2＝45x 的焦点，且椭圆E 的离心率是63. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点C (－1,0)的动直线与椭圆E 相交于A ，B 两点．若线段AB 的中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程． 解：(1)由题知椭圆E 的焦点在x 轴上，且a ＝5，又c ＝ea ＝63×5＝303， 故b ＝a 2－c 2＝5－103＝53，故椭圆E 的方程为x 25＋y 253＝1，即x 2＋3y 2＝5. (2)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入x 2＋3y 2＝5，消去y ，整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)＞0，(*)，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. 由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，符合(*)式．所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0.2．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，椭圆C 的短轴的一个端点P 到焦点的距离为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋3与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆的焦半距为c ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，故所求C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O .理由如下：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线l 的方程y ＝kx ＋3代入y 24＋x 2＝1并整理得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0. (*)则x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4. 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ， 所以OA ·OB ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3， 即y 1y 2＝－k 2k 2＋4－6k 2k 2＋4＋3＝－4k 2＋12k 2＋4，于是有－1k 2＋4＋－4k 2＋12k 2＋4＝0，解得k ＝±112. 经检验知：此时(*)的判别式Δ＞0，适合题意． 即(*)的判别式Δ＞0恒成立． 所以当k ＝±112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O . 3. (2013·广州二模)已知对称中心为坐标原点的椭圆C 1与抛物线C 2：x 2＝4y 有一个相同的焦点F 1，直线l ：y ＝2x ＋m 与抛物线C 2只有一个公共点．(1)求直线l 的方程；(2)若椭圆C 1经过直线l 上的点P ，当椭圆C 1的离心率取得最大值时，求椭圆C 1的方程及点P 的坐标．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 2＝4y .消去y ，得x 2－8x －4m ＝0，∵ 直线l 与抛物线C 2只有一个公共点， ∴Δ＝82＋4×4m ＝0，解得m ＝－4. ∴直线l 的方程为y ＝2x －4. (2)∵抛物线C 2的焦点为F 1(0,1)，依题意知椭圆C 1的两个焦点的坐标为F 1(0,1)，F 2(0，－1) 设椭圆C 1的方程为y 2a 2＋x 2a 2－1＝1(a ＞1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2a 2＋x 2a 2－1＝1.消去y, 得(5a 2－4)x 2－16(a 2－1)x ＋(a 2－1)(16－a 2)＝0.(*) 由Δ＝162(a 2－1)2－4(5a 2－4)(a 2－1)(16－a 2)≥0，得a 4－4a 2≥0(a 2＞0且a 2－1＞0)，解得a 2≥4.∵a ＞1， ∴a ≥2， ∴e ＝1a ≤12，当a ＝2时，e max ＝12，此时椭圆C 1的方程为y 24＋x 23＝1.把a ＝2代入方程(*)，解得x ＝32.又y ＝2x －4， ∴y ＝－1，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－1.。
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代数化的思维 -----渗透“曲线与方程”的思想
P( x, y) A(2 x, 0)
B(0, 2 y) M (4, 2)
P( x, y)
2 2
M (4, 2)
2 2
x y ( x 4) ( y 2)
(2,1)
k 2
y 1 2( x 2)
解析几何的思维特征
从方程 中分析 几何对 象的几 何特征
解析几何的思维 -----从代数形式中分析几何特征
解析几何的思维 -----从代数形式中分析几何特征
解析几何的思维 -----从代数形式中分析几何特征
y kx 1
x y 1 5 m
0 1 1 5 m
2 2
(0,1)
m 0, m 5
y1 y2 3x 1 x1 x2 4y 4
M (m, 3m)
y 3x
y 4x m
M (m, 3m)
m 9m 1 4 3
2 2 m 13 13
2 2
代数化的思维 -----渗透“曲线与方程”的思想
代数化的思维
cos sin 2 cos sin ( ) 1 1 a b a b 2 2 cos sin 2sin cos 1 2 2 a b ab 2 2 1 sin 1 cos 2sin cos 1 2 2 a b ab
抓住线段AB必与椭圆相交的几何特征
1 直线AB的方程：y x b 4 2 2 x y 1 4 3
13x2 8bx 16(b2 3) 0
0
13 b 2
13x 8bx 16(b 3) 0
2 2
8 x1 x2 b 13
M点的坐标：
4 x b 13
1 1 sin 2 cos 2 2sin cos 2 1 2 2 2 a b a b ab
代数化的思维
cos sin 1 a b
1 1 2 sin( ) 1 2 a b
1 1 1 2 2 a b 1
sin( )
代数化的思维
AB 2 2
1 2 2h 2 2
h 2
m [m最小， +） m (0， +）
m=12 m=11
m (0， +）
m=13
谢谢！
y x 1 2
2
2
14．已知线段 AB=8，点 C 是线段 AB 上一定点，且 AC=2，P 为 CB 上一动点，设点 A 绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后 交于点 D.记 CP = x ， 三角形 CPD 的面积为 f ( x) . 的定义域为________； 则 f ( x)
①存在实数 t 使 MNP 为正三角形的点 P 恰有一个 ②存在实数 t 使 MNP 为正三角形的点 P 恰有两个 ③存在实数 t 使 MNP 为正三角形的点 P 恰有三个 ④存在实数 t 使 MNP 为正三角形的点 P 恰有四个 ⑤存在实数 t 使 MNP 为正三角形的点 P 有无数个 上述命题中正确命题的序号是_____________
代数化的思维 -----渗透“曲线与方程”的思想
AM : y 2 k ( x 4)
1 BM : y 2 ( x 4) k
代数化的思维 -----渗透“曲线与方程”的思想
P( x, y) A(2 x, 0) B(0, 2 y) M (4,2)
MB MA 0
从几何对象的数值中分析几何特征
d a +（b 1)
2
2
f (a, b) 0
1 2 2 2 2a b
1
b a 1 2
2
2
d a 2 (b 1) 2
2 b a2 1 0 2
b [ 2 , 2 ]
1 d b2 2
2 2 b b 1 2 2 d 1 b 2b 1 2b 2 (b 2) 2 2 2 2
平面解析几何
的思维特征与研究方法
平面解析几何是中学数学中独具 特色的一门学科.它的基本思想是用代 数方法解决几何问题. 解析几何课复 习的根本任务就是深刻领会“平面解 析几何”的基本思想，把握“平面解 析几何”这门学科的思维特点与方法.
解析几何的思维特征
从几何图形中分 析几何对象的几何 性质
解析几何的思维特征
f ' ( x) 的零点是
.
D
A
C
P
B
解析几何的思维特征
多考思维 少考计算
f ( x)= PA AB
f ( x)= PA AB 0
f ( x)= PA AB 0
f ( x)= PA AB 0
y B2 P
A1
F1
O
F2
A2
x
B1
x2 已知点 P 是椭圆方程 y 2 1 上的动点， M , N 是直线 l ： 4 y x 上的两个动点，且满足 | MN | t ，则
1 12 y xb b 4 13
AB中点M一定在C内
x12 y12 1 4 3
x2 y2 1 4 3
( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 4 3
2 2
M ( x, y)
( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 4 3