命题与证明教案(沪科版八年级上)
泸科版八年级数学上册教案 命题与证明
义务教育基础课程初中教学资料13.2 命题与证明教学目标：1.了解命题及相关概念的内涵，会判断一个命题的真假，知道反例的意义和作用。
2.经历探究命题及结构的过程，会区分命题的条件和结论，体会命题的内涵。
3.培养学生严谨的推理和论证意识，感悟几何思想的应用价值。
[中国%&*教育^出版网~]教学重点：认识命题的内涵和结构,对命题进行“如果·····那么····”的改写。
教学难点：区分命题的题设和结论。
突破点：弄清命题的定义及结构。
教学过程： 一、创设情境，引入新课：上一节课我们研究三角形性质时，通过得到三角形三个内角的和是180°，但也有些同学在度量三个角的度数后相加不是180°，那么三角形内角和到底是不是180°呢？对于这种不同的结果我们要进行判断。
生活和数学学习中也经常需要对结果进行判断。
请看：二、新课演练，探究新知：例1.在日常生活中，大家经常要遇到下面的表达语言：（1）合肥市是安徽省的省会。
（2）如果1∠与2∠是对顶角。
那么12∠=∠。
（3）邻补角互补。
(4)4+7<11学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力量!祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力量!（5）两直线平行，同位角相等。
(6)有公共顶点的角是对顶角判断上述语句是否正确。
学生回答：教师归纳：人们对于客观事物情况的判断可能是正确的，也可能是错误的。
在逻辑学中，凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫命题。
正确的命题叫真命题，错误的命题是假命题。
注：假命题也是命题如果一个语句没有对某一事件的正确与否作出任何判断那么它就不是命题。
如你作业做完了吗？我回家等。
请几个同学分别说一个语句让其他同学来判断是否是命题？如果是，并说出是真、假命题。
在数学课堂中，只研究与数学事物有关的命题我们称之为数学命题。
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计4
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计4一. 教材分析《命题与证明》是沪科版数学八年级上册13.2章节的重点内容，本节内容是在学生已经掌握了命题与定理的基础上进行进一步的深入学习。
本节课的主要内容是让学生了解证明的方法和步骤，学会如何正确地进行数学证明。
教材通过具体的例子引导学生理解证明的过程，并通过练习让学生掌握证明的方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了命题与定理的基本概念，对命题和定理有了初步的理解。
但是，学生在证明方面还缺乏系统的训练，证明的方法和步骤还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生理解证明的过程，并通过大量的练习让学生掌握证明的方法。
三. 教学目标1.让学生理解证明的概念和方法，掌握证明的基本步骤。
2.培养学生进行数学证明的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.通过数学证明的学习，培养学生的耐心和细致，提高学生的学习兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生理解证明的概念和方法，掌握证明的基本步骤。
2.教学难点：如何引导学生理解证明的过程，如何让学生掌握证明的方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过具体的例子引导学生理解证明的过程。
2.使用小组合作学习的方法，让学生在合作中学习，提高学生的学习效果。
3.通过大量的练习，让学生在实践中掌握证明的方法。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备相关的教学工具，如黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式引导学生回顾命题与定理的基本概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板，呈现本节课的主要内容，让学生了解本节课的学习目标。
3.操练（10分钟）教师通过具体的例子，引导学生理解证明的过程，让学生掌握证明的基本步骤。
4.巩固（10分钟）教师布置一些练习题，让学生在练习中巩固所学的内容，提高学生的证明能力。
5.拓展（10分钟）教师通过一些综合性的练习题，让学生在练习中提高自己的逻辑思维能力，提高学生的学习兴趣。
秋八年级数学上册13.2命题与证明教学设计(新版)沪科版【精品教案】
13.2命题与证明第 1课时命题与证明(一)教课目的【知识与技术】1. 理解真命题、假命题、公义、原命题、抗命题等观点.2.会判断一个命题的真假 , 能划分公义、定理和命题 .3.理解证明的含义 , 体考证明的必需性和数学推理的严实性.【过程与方法】1.经过一些简单命题的证明 , 训练学生的逻辑推理能力 .2.依据命题的证明需要 , 要修业生画出图形 , 写出已知、求证 , 训练学生将命题转变为数学语言的能力 .【感情、态度与价值观】1. 经过对命题真假的判断, 培育学生科学谨慎的学习态度和求真求实的作风.2. 让学生踊跃参加数学活动 , 对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲 , 让学生认识数学与人类生活的亲密联系 , 提升学生学习数学的踊跃性 .要点难点【要点】学习命题的观点和命题、公义、定理的划分.【难点】严实完好地写出推理过程.教课过程一、创建情境, 导入新知教师多媒体出示:有一根比地球赤道长 1m的铜线将地球赤道绕一圈 , 想想 , 铜线与地球赤道之间的缝隙有多大 ?能放进一颗枣吗 ?能放进一个苹果吗 ?学生交流议论后回答.生甲 : 都放不进去 .生乙 : 枣能放进 , 苹果放不进 .生丙 : 都能放进 .师 : 我们此刻用这个式子来算 , 设赤道的长为 C, 则铜线与地球赤道之间的空隙是 -= ≈0.26(m), 可见 , 枣和苹果都能放进去 . 经过这个例子 , 你们遇到了什么启迪 ?生 : 有些东西想象的或感觉的不必定靠谱, 要详细剖析 .师 : 对 , 我们要做到有理有据.上一节研究三角形的性质时, 我们经过折叠、剪拼、胸怀等方法获得三角形的内角和是180°, 但对这类方法, 有的同学提出这样的疑问:在剪拼时 , 发现三个内角难以拼成一个平角 , 不过靠近 180°的某个值 ; 胸怀三个角 , 而后相加 , 不必定能正确地获得 180°.两种状况怎么解呢?学生思虑、交流、.: 是的 , 研究几何形 , 从察和获得的 , 有会有差 , 以令人确信其果必定正确 . 所以 , 就得在察的基上有理有据地明原因 , 就是 , 要判断数学命的真假 , 需要做必需的推理 .二、共同研究, 取新知: 推理是一种思活, 人在思活中, 经常要事物的状况做出各种判断.教多媒体出示:(1)江是中国第一大河 ;(2)假如∠ 1和∠ 2是角 , 那么它相等 ;(3)2+3 ≠ 5;(4)假如一个整数的各位上的数字之和是3的倍数 , 那么个数能被 3整除 .教找一名学生回答, 而后集体正 .: 在学中 , 凡是能够判断出真 ( 即正确 ) 、假 ( 即 ) 的句叫做命 . 上边的 (1) 、(2)、 (4) 都是正确的命 , 我称之真命 ;(3) 是的命 , 我称之假命 . 假如一个句没有某一事件的正确与否作出任何判断 , 那么它就不是命 , 比方感句、疑句、祈使句等 .教多媒体出示 :(1) 关上窗 ;(2) 你明日来上学 ?(3) 天真冷啊 !(4)今日夜晚不会下雨 .(5)昨天我去旅行了 .: 同学判断一下哪些句是命?学生后回答, 而后集体正.: 每个命都由、两部分成, 是已知事 , 是由已知事推出的事. 命常写成“假如⋯⋯那么⋯⋯”的形式 . 有我了便 , 省略关“假如”、“那么” , 如命“假如两个角是角 , 那么两个角相等” , 能够写成“ 角相等” .以“假如⋯⋯那么⋯⋯”关的命的一般形式是“假如p, 那么 q”, 或许成“若p, q”, 此中 p是个命的条件( 或假 ),q 是个命的( 或断 ).三、教多媒体出示:【例 1】指出以下命的条件与:(1) 两条直都平行于同一条直, 两条直平行;(2) 假如∠ A=∠ B, 那么∠ A的角与∠ B的角相等 .生甲 :(1) 中“两条直平行于同一条直”是条件, “两条直平行”是.生乙 : “∠ A=∠B”是条件 , “∠ A的角与∠ B的角相等”是.四、推, 深入研究: 将命“假如 p, 那么 q”中的条件与互, 便获得一个新命“假如q, 那么 p”,我把的两个命称互抗命, 此中一个叫做原命, 另一个叫做原命的抗命. 我在前面学了命都能够判断真假, 当一个命是真命, 它的抗命也是真命?学生交流议论后发布建议.师: 我们能够看这样一个例子 , “假如∠ 1与∠ 2是对顶角 , 那么∠ 1=∠2”是真命题 , 它的抗命题是什么 ?生 : 它的抗命题是“假如∠1=∠ 2, 那么∠ 1与∠ 2是对顶角” .师 : 它是真命题仍是假命题呢?生: 假命题 .师 : 你是怎么判断它是假命题的呢?学生交流议论后回答.教师多媒体出示以下图.师 : 对 . 我们能够举一个例子, 比方角均分线分红的两个角, ∠ 1=∠ 2, 但明显 , 这里∠ 1与∠2就不是对顶角 . 像这类切合命题条件 , 但不知足命题结论的例子 , 我们称之为反例 . 若要说明一个命题是假命题 , 只需举出一个反例即可 .五、练习新知, 加深议论师 : 请同学们看教材中本节例1后练习的第 2题 .教师找学生回答, 而后集体校正获得:(1)假命题 .反例 :|-1|=|1|, 但-1 ≠1.(2)假命题 .反例 :(- 1) ×(-1)>0, 但 -1 是负数 .(3)真命题 .(4)假命题 .若两条不平行的直线与第三条直线订交, 同位角不相等 .师 : 我们来看第 3题 .教师找学生回答, 而后集体校正获得:(1)真命题 ,(2) 真命题 ,(3) 真命题 .师 : 在数学命题的研究中 , 为了确认某些命题是真仍是假 , 需要对命题的正确性进行论证 , 在论证过程中 , 一定追本求源 , 真谛不需要再作论证 , 其正确性是人们在长久实践中查验所得的真命题 , 作为判断其余命题真假的依照 , 这些作为原始依据的真命题称为公义 . 同学们想一下, 我们学过哪些公义 ?生甲 : 经过两点有一条直线, 并且只有一条直线.生乙 : 两点之间的全部连线中, 线段最短 .生丙 : 经过直线外一点, 有且只有一条直线平行于这条直线,师: 对 , 这些都是公义 . 有些命题 , 它们的正确性已经过推理获得证明 , 并被选定作为判断其余命题真假的依照 , 这样的真命题叫做定理 . 谁能举几个例子 ?生甲 : 对顶角相等 .生乙 : 三角形的三个内角和等于180°.生丙 : 等角的补角相等.师 : 对 . 推理的过程叫做证明. 下边 , 我们来证明一个七年级时用过的定理“内错角相等,两直线平行” .教师多媒体出示:【例 2】已知:如下图,直线c与直线a、b订交,且∠ 1=∠ 2.求证 :a ∥ b.师: 若已知“同位角相等 , 两直线平行”这个定理 , 怎么证明“内错角相等 , 两直线平行”这个结论 ?学生交流议论, 教师巡视指导.学生口述 , 教师板书推理过程.证明 : ∵∠ 1=∠ 2,( 已知 )又∵∠ 1=∠ 3,( 对顶角相等 )∴∠ 2=∠ 3.( 等量代换 )∴ a∥ b.( 同位角相等 , 两直线平行 )教师重申 : 证明中的每一步推理都要有依据, 不可以想自然 . 这些依据 , 能够是已知条件, 也能够是定义、公义、已经学过的定理.【例 3】已知:如图,∠ AOB+∠BOC=180°,OE均分∠AOB,OF均分∠ BOC.求证 :OE⊥ OF.证明 : ∵ OE均分∠ AOB,OF均分∠ BOC(已知 )∴∠ 1=∠ AOB,∠2=∠ BOC.(角均分线的定义)又∵∠ AOB+∠BOC=180°,( 已知 )∴∠ 1+∠ 2=( ∠ AOB+∠ BOC)=90°.( 等式性质 )∴OE⊥OF.( 垂直的定义 )六、讲堂小结师 : 我们今日学习了什么内容?学生回答 , 教师增补完美.教课反省在这节课上 , 经过举反例判断一个命题是假命题, 培育学生学会从反面思虑问题的方法. 经过重申正面的严实性, 让学生理解证明的必需性和推理过程要步步有据. 在教课方法上我主要采纳“举一”, 让学生独立思虑、自由交流、集思广益, 进而达到“反三”的目的. 尽可能地调换更多学生主动参加、交流、交流 , 经过自己思想碰撞建立新的认知构造 , 进而正确地判断命题的真假 , 关于假命题举出反例 . 关于命题的证明 , 要修业生能写出证明的一般步骤并能做到步步有据 .第 2课时命题与证明(二)教课目的【知识与技术】1. 掌握三角形内角和定理及其三个推论.2. 熟习并掌握较简单命题的证明方法及其表述.3. 研究并理解三角形的内角和定理.4. 会灵巧地运用三角形内角和定理的几个推论解决实质问题.【过程与方法】1. 经历研究并证明三角形内角和定理的过程.2. 让学生在思虑与研究的过程中认识三角形内角和定理的几个推论.【感情、态度和价值观】1. 经过三角形内角和定理的证明, 让学生领会到数学的谨慎性和推理的用途.2.经过让学生踊跃思虑、踊跃讲话, 使他们养成优秀的学习习惯 .3.经过生动的教课活动 , 发展学生的合情推理能力和表达能力 , 提升学生学习和研究数学的兴趣 .要点难点【要点】三角形内角和定理的证明, 三角形内角和定理及其推理.【难点】三角形内角和定理的证明.教课过程一、创建情境, 导入新知师 : 在前面我们学习了三角形的内角和定理, 你还记得它的内容吗?学生回答 .师 : 我们用什么方法证明过这个命题?生 : 用折叠、剪拼和胸怀的方法.师 : 很好 ! 在上节课我们学习了定理的观点, 大家还记得吗 ?生 : 记得 . 它们的正确性已经过推理获得证明, 并被选定作为判断其余命题真假的依照, 这样的真命题叫做定理.师: 对 . 三角形的内角和定理是一个定理 , 它能够被证明 , 上节课我们还学习了简单命题的证明 , 此刻我们来证明这个定理 .二、共同研究, 获得新知教师多媒体出示:【例 1】证明三角形内角和定理: 三角形的三个内角和等于180°.师: 在证明命题时 , 要分清命题的条件和结论 , 假如问题与图形有关 , 第一 , 依据条件画出图形 , 并在图形上标出有关字母与符号 ; 再联合图形 , 写出已知、求证 . 这个命题的条件和结论分别是什么 ?师 : 这个命题与图形有关吗?生:有关.师 : 那我们要画出什么图形?生 : 一个三角形 .教师在黑板上画出一个三角形.师 : 题目中没有已知、求证, 我们自己要写出来. 已知就是条件, 求证的就是要证的结论. 应当怎么写 ?生: 已知 : △ ABC,如下图 . 求证 : ∠A+∠ B+∠C=180°.教师板书 .师 : 从前我们经过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角, 这不是证明 , 但它却给我们以启迪 , 此刻我们经过作图来实现这类转变, 给出证明 .教师边操作边解说:在剪拼中我们能够把∠ B剪下 , 放在这个地点 , 在证明中我们能够作出一个角与∠ B相等 , 来取代这类操作 . 并且为了证明的需要 , 在本来图形上添画的线 , 这类线叫做协助线 . 同学们看, 应当如何添画协助线来帮助我们证明这个问题?生 : 延伸 BC到 D,以点 C为极点、 CD为一边作∠ 2=∠ B.教师作图 :师 : 对 . 假如再知道什么条件就能获得结论了?学生议论后回答.生 : 由于∠ 1+∠ 2+∠ ACB是一个平角 , 等于 180°, 假如∠ A=∠ 1, 那么就有∠ A+∠B+∠C=∠ 1+∠ 2+∠ACB=180°, 这样就证出了却论 .师 : 对 . 此刻我们看如何证∠A=∠ 1?学生交流议论.教师提示 : ∠ A和∠ 1是什么角 ?生: 内错角 .师 : 怎么证两个内错角相等?生 : 两直线平行 , 内错角相等 .师 : 在题中要证哪两条直线平行?怎么证它们平行?生 : 证明 CE∥ BA,由于∠ 2=∠ B, 由同位角相等 , 两直线平行 , 就能够证出 CE∥ BA了 .师: 很好 ! 我们此刻来把这个推导过程详细写一下 . 要注意 , 我们方才是剖析 , 能够由结论推条件 , 但在书写过程中 , 要先写条件 , 再写结论 , 这个次序要理清 .学生口述 , 教师板书 .师: 此刻大家想想 , 假如一个三角形中一个角是 90°, 依据三角形内角和定理 , 此外两个角的和会是多少 ?生:90 °.师 : 对 . 两个角的和是 90°, 我们能够称它们之间是什么关系?生:互余.师 : 对 . 由此我们获得三角形内角和定理的第一个推论.教师板书 :推论 1直角三角形的两锐角互余.三、边讲边练师: 三角形内角和定理的证明有多种方法 , 课本练习中给出了此外两种证法 . 大家能不可以说出第一题的思路 ?生 : 过点 A作 DE∥BC后 , 由两直线平行 , 内错角相等来成立两个相等关系 , 再由平角的定义便可证出了 .师 : 你们已经理清了思路, 此刻请大家将书上的证明过程增补完好.学生达成练习第1题 .师 : 第二个练习的思路大家清楚吗?学生交流议论后回答.生: 过三角形一边上一点作两条平行线 , 而后依据平行线的性质使△ ABC的三个内角与构成平角的三个角分别相等 , 再由平角的定义证明它们的和是 180°.师 : 很好 ! 请同学们把证明过程增补完好 .学生增补练习第2题的证明 , 教师巡视指导, 而后集体校正.四、层层推动, 深入理解教师多媒体出示:师 : 在三角形内角和定理的证明中, 我们以前如图中所示那样把△ABC的一边 BC延伸至点D,获得∠ ACD,像这样由三角形的一边与另一边的延伸线构成的角, 叫做三角形的外角. 在上图中 , △ ABC的外角 , 也就是∠ ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有如何的关系?你能给出证明吗?学生小组交流议论后回答.生 : ∠ ACD与∠ ACB的和是 180°, 所以∠ ACD=180°- ∠ ACB;依据三角形内角和定理, ∠ A+∠B+∠C=180°, ∠ A+∠B=180° - ∠ C. 由等式的性质 , 获得∠ ACD=∠ A+∠ B.师: 很好 ! 除了这个相等关系 , 还可以获得什么大小关系 ?生: ∠ ACD>∠ A, ∠ ACD>∠ B.师: 很好 ! 在证明中主要应用了三角形内角和定理 , 我们把这两个结论称为这个定理的两个推论 .教师板书 :推论 2三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论 3三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.师: 像这样 , 由公义、定理直接得出的真命题叫做推论. 推论 2能够用来计算角的大小 , 推论3能够用来比较两个角的大小 .【例 2】已知:如下图,∠ 1、∠ 2、∠ 3是△ ABC的三个外角.师: 这个问题实质上是三角形外角和定理, 即三角形三个外角的和是 360°. 请大家想一下,怎么证明这个命题 ?学生交流议论后回答, 而后集体校正 .证明 : ∵∠ 1=∠ ABC+∠ ACB,∠2=∠BAC+∠ ACB,∠3=∠BAC+∠ ABC,( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∴∠ 1+∠ 2+∠ 3=2( ∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC).( 等式性质 )∵∠ ABC+∠ ACB+∠BAC=180°,( 三角形内角和定理)∴∠ 1+∠ 2+∠3=360°.五、讲堂小结师 : 我们今日学习了哪些内容?你有什么收获 ?学生讲话 , 教师评论 .教课反省本节课我经过让学生自己思虑设计证明思路, 来培育学生踊跃思虑的研究精神. 在证明三角形内角和定理的第一种证法中, 我率领他们回首了从前证明此定理的操作方法, 并说明这两种方法的思想是一致的. 一方面能够让他们学会把实质问题用数学形式表示出来, 另一方面培育了他们成立有关事物之间的联系的意识, 促使知识的迁徙. 在证明三角形内角和定理的练习中 , 我让他们先理清思路 , 再做题 , 不只能够借鉴识人的思路 , 并且能做到整体掌握 , 理清脉络 .。
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计4
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计4一. 教材分析《命题与证明》是沪科版数学八年级上册13.2章节的内容，本节课的主要内容是让学生理解命题的概念，掌握证明的方法和技巧。
教材通过引入生活中的实例，让学生体会命题的意义，进而引导学生学习证明的基本方法。
教材内容由浅入深，循序渐进，有利于学生掌握。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力，对数学概念有一定的理解。
但是，对于证明这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例来引导学生理解和掌握。
此外，学生在学习过程中可能存在对证明方法的不理解，需要教师耐心引导和讲解。
三. 教学目标1.让学生理解命题的概念，能正确写出题设和结论。
2.让学生掌握证明的方法和技巧，能运用所学的证明方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：命题的概念，证明的方法和技巧。
2.难点：证明方法的灵活运用，对复杂命题的证明。
五. 教学方法1.采用实例导入法，通过生活中的实例引导学生理解命题的意义。
2.采用问题驱动法，引导学生思考和探索证明的方法。
3.采用分组合作法，让学生在合作中交流和分享证明的方法和经验。
4.采用讲解法，教师对重点和难点进行讲解和解答。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于导入和讲解。
2.准备一些证明题目，用于巩固和拓展。
3.准备PPT，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如“如果一个人是男生，那么他一定有喉结”，让学生理解命题的概念，引导学生写出题设和结论。
2.呈现（10分钟）呈现一些简单的命题，如“勾股定理”和“平行线的性质”，让学生尝试证明。
教师在旁边指导，解答学生的疑问。
3.操练（10分钟）学生分组合作，每组选择一个命题进行证明。
教师巡回指导，检查学生的证明过程，纠正错误。
4.巩固（10分钟）教师选取一些学生的证明题目，进行讲解和分析，让学生理解和掌握证明的方法和技巧。
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计2
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计2一. 教材分析《命题与证明》是沪科版数学八年级上册13.2章节的内容，本节内容是在学生已经掌握了四则运算、方程求解、几何图形的性质等基础知识的基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生了解命题与定理的概念，学会如何阅读和理解证明过程，以及如何运用已知定理证明未知定理。
教材通过具体的例子让学生理解命题与证明的基本概念，并培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经具备了一定的数学基础，对几何图形的性质和方程求解等有一定的了解。
但是，对于命题与证明这一概念，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际例子出发，逐步理解命题与证明的概念。
同时，八年级的学生逻辑思维能力较强，对于新的知识有较强的求知欲，通过引导，可以激发学生学习本节内容的兴趣。
三. 教学目标1.了解命题与证明的概念，理解定理的含义。
2.学会阅读和理解证明过程，培养逻辑思维能力。
3.能够运用已知定理证明未知定理，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：命题与证明的概念，定理的含义。
2.难点：如何阅读和理解证明过程，运用已知定理证明未知定理。
五. 教学方法1.引导法：通过具体的例子引导学生理解命题与证明的概念。
2.讲解法：讲解定理的含义，解释证明过程。
3.实践法：让学生通过实际操作，运用已知定理证明未知定理。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的PPT，展示具体的例子和证明过程。
2.练习题：准备一些相关的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的例子，引导学生思考什么是命题，什么是证明。
例如，给出一个命题：“所有的直角三角形都是等腰三角形”，让学生思考这个命题是否正确，如何进行证明。
2.呈现（10分钟）讲解命题与证明的概念，解释定理的含义。
通过PPT展示相关的例子和证明过程，让学生理解命题与证明的基本概念。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个定理，尝试用自己的语言进行解释，并尝试证明。
八年级数学上册13.2命题与证明教案(新版)沪科版
13．2 命题与证明第1课时命题1．了解命题的含义．2．对命题的概念有正确的理解．3．会区分命题的条件和结论．重点找出命题的条件(题设)和结论．难点命题概念的理解．一、创设情境，导入新课教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等．根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确．1．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2．两直线平行，同位角相等；3．同旁内角相等，两直线平行；4．直角都相等．二、合作交流，探究新知学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、4是正确的，句子3是错误的．像这样对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题．上面判断性语句1、2、4都是正确的命题，称为真命题，3是错误的命题，称为假命题．教师：在数学中，许多命题是由题设(或已知条件)、结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果,,那么,,”的形式．用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论．例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论．有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果,,那么,,”的形式，就可以分清它的题设和结论了．例如，命题4可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等．”应用迁移、巩固提高1．教师提出问题1：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果,,那么,,”的形式，并分别指出命题的题设和结论．学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”．这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”．2．教师提出问题2：把下列命题写成“如果,,那么,,”的形式，并说出它们的条件和结论．(1)对顶角相等；(2)如果a＞b，b＞c, 那么a>c.学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案．(1)条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等．(2)条件：如果a＞b，b＞c；结论：那么a>c.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个命题叫逆命题．说出上题的逆命题，并讨论．三、运用新知，深化理解例1 写出下列命题的题设和结论：(1)如果a2＝b2，那么a＝b；(2)对顶角相等；(3)三角形内角和等于180°.分析：第(1)题中有“如果”“那么”，条件结论明显，第(2)(3)题可先改写成“如果,,那么,,”的形式，再找出题设和结论．解：(1)题设是“a2＝b2”，结论是“a＝b”；(2)改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．题设：“两个角是对顶角”，结论：“这两个角相等”；(3)改写：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°.题设：“三个角是一个三角形的三个内角”，结论：“三个角的和等于180°”．【归纳总结】通常情况下命题都可以写成“如果,,那么,,”的形式，当条件结论不是很明显的时候，把所给命题改写成“如果,,那么,,”的形式可以帮助我们找出题设和结论，在改写时，要做到语句通顺，措辞准确．例2 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α＋∠β＝180°；(2)如果△ABC是直角三角形，那么△ABC的内角中一定有两个锐角．分析：(1)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据邻补角的定义判断命题的真假；(2)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据三角形的角的关系判断命题的真假．解：(1)逆命题为：如果∠α＋∠β＝180°，那么∠α与∠β是邻补角，此逆命题为假命题；(2)逆命题为：如果一个三角形中有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形，此逆命题为假命题．【归纳总结】将命题的条件与结论互换，得到新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题．当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题，所举的例子，如果符合命题条件，但不满足命题的结论，称之为反例；要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．四、课堂练习，巩固提高1．教材P77练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知命题命题的概念：对某一事件作出正确或者不正确判断的语句（或式子）叫做命题；命题的结构：由题设和结论两部分组成，常写成“如果,,那么,,”的形式；命题的分类：真命题和假命题（要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可）；逆命题：原命题为“如果p，那么q”，逆命题则为“如果q，那么p”．六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P84习题13.2第1～3题．第2课时证明(一)1．理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概念．2．了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题．重点证明的含义和表述格式．难点按规定格式表述证明的过程．一、创设情境，导入新课教师借助多媒体设备向学生演示，比较线段AB和线段CD的长度．通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性．二、合作交流，探究新知证明的引入(1)命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的2倍”是真命题吗？请说明理由．分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论．教师对具体的说理过程予以详细的板书．小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式．(2)通过教材例3，例4的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求．【归纳总结】证明几何命题的表述格式：①按题意画出图形；②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；③在“证明”中写出推理过程．三、运用新知，深化理解例1 如图，下列推理中正确的有( )①因为∠1＝∠2，所以b∥c(同位角相等，两直线平行)；②因为∠3＝∠4，所以a∥c(内错角相等，两直线平行)；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)．A．0个B．1个C．2个D．3个分析：结合图形，根据平行线的判定方法逐一进行判断．①因为∠1、∠２不是同位角，所以不能证明b∥c，故错误；②因为∠3＝∠4，所以a∥c(内错角相等，两直线平行)，正确；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)，正确．故正确的是②③，共2个．故选 C.【归纳总结】本题主要考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．例2 完成下面的证明过程：已知：如图，∠D＝110°，∠EFD＝70°，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠B.证明：∵∠D＝110°，∠EFD＝70°(已知)，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD∥______(同旁内角互补，两直线平行)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴______∥BC(内错角相等，两直线平行)，∴EF∥______，∴∠3＝∠B(两直线平行，同位角相等)．分析：求出∠D＋∠EFD＝180°，根据平行线的判定推出AD∥EF，AD∥BC，即可推出答案．∵∠D＝110°，∠EFD＝70°，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD∥EF.又∵∠1＝∠2，∴AD ∥BC，∴EF∥BC.故答案为：EF，AD，BC.【归纳总结】本题考查了平行线的性质和判定的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补．反过来就是平行线的判定．四、课堂练习，巩固提高1．教材P78～79练习及P80练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知(1)证明的含义．(2)真命题证明的步骤和格式．(3)思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P84～85习题13.2第5～8题．第3课时证明(二)1.通过对三角形内角和定理的探究，进一步了解证明的基本过程．2.能将几何命题的文字语言用图形语言和符号语言表示出来．重点根据具体的证明过程，填写推理的理由．难点将文字语言表述的证明题改写成用图形语言和符号语言表述的证明题．一、创设情境，导入新课在前面的学习中，我们已经知道三角形的内角和等于180°，你还记得这个结论的探索过程吗？(1.度量法； 2.折叠法； 3.剪拼法．)但观察和实验得到的结论并不一定可靠，这样就需要进行几何证明．二、合作交流，探究新知1.三角形内角和定理的证明(1)理解题意，分清题目的条件和结论；(2)请同学们分别用图形语言和符号语言表述命题．已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证法一：(请学生参照剪贴的方法去证明)证法二：(引导学生仿照证法一添加辅助线转化成平角去证明)除此之外还有哪些证法呢？引导学生积极思考．2．总结证明命题的一般步骤：(1)理解题意：分清命题的条件(已知)，结论(求证)；(2)根据条件画出图形并在图形上标出字母；(3)结合图形和命题写出已知和求证；(4)分析因果关系，探索证明思路；(5)依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；(6)检查表述过程是否正确，完善．3．小试牛刀尝试写出下列问题的已知、求证并画图：(1)求证：直角三角形的两个锐角互余．(2)求证：对顶角相等．4．证明：直角三角形的两个锐角互余．(请学生画图口答即可．)推论1：直角三角形两锐角互余．由公理、定理直接得出的真命题叫做推论．推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形．三、运用新知，深化理解例1 如图，在△ABC内任意取一点P，过点P画三条直线分别平行于△ABC的三条边．(1)∠1、∠2、∠３分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于180°.分析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE＋∠2＋∠3＝180°和(1)的结论即可证得．解：(1)∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C.理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP，又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A，∴∠1＝∠A.同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C；(2)如图，∵∠HPE＝∠1，∠HPE＋∠2＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.【归纳总结】本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等是解答本题的关键．例2 如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？分析：要判断△AHC的形状，首先观察它的三个内角，其中∠１与∠２与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC和∠DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB∥CD.解：△AHC是直角三角形．理由如下：因为AB∥CD，所以∠BAC＋∠DCA＝180°.又因为AH，CH分别平分∠BAC和∠DCA，所以∠1＝12∠BAC，∠2＝12DCA，所以∠1＋∠2＝12(∠BAC＋∠DCA)，所以∠1＋∠2＝90°，所以△AHC为直角三角形．【归纳总结】判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定．四、课堂练习，巩固提高1．教材P81～82练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知三角形内角和定理的证明及推论1、2三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.证明定理的一般步骤①找出命题的题设和结论，画出图形；②题设部分是已知部分，结论部分是要证明的部分；③利用已知条件，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论.推论1：直角三角形的两锐角互余.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.六、布置作业请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．第4课时三角形的外角1．了解三角形的外角．2．知道三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．3．学会运用简单的说理来计算三角形的相关的角．重点三角形外角的性质．难点运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理．一、创设情境，导入新课什么是三角形的内角？它是由什么组成的？三角形的内角和定理的内容是什么？教师提出问题，学生举手回答问题．【教学说明】为本节课进一步学习与三角形有关的角作准备．二、合作交流，探究新知探究问题1：如图，把△ABC的一边BC延长到D，得∠ACD，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？练习：如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三角形的外角？问题2：观察问题1图，∠ACD与∠ACB是什么关系，由此你能得到什么结论？教师利用投影出示图形，并提出问题．教师指出像这样的角叫做三角形的外角，它是由三角形的一边和另一边的延长线组成的．然后教师利用投影出示练习，安排学生举手回答，并按照外角的定义一一指明这些角分别由哪些边组成．完成以后，教师提出问题2，并让学生进行讨论．然后师生共同归纳总结，得出结论：1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．归纳总结的过程就是让学生说理证明的过程，教师要让学生说一说，练一练．【教学说明】教师指明外角的定义以后，马上进行练习，便于巩固学生对概念的理解．结合图形，培养学生的图形变换能力．通过学生的归纳，总结，证明，让学生自己去发现结论，让学生体验主动探究的成功与快乐．通过观察、讨论等一系列活动，再让学生进行证明，由于准备进行得比较充分，学生能够较顺利地说出证明的过程．培养学生的推理论证能力．三、运用新知，深化理解教师出示教材例5，先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角转化为三角形的内角．然后师生共同写出规范的解答过程．思考：还有没有其他的方法可以证明？【教学说明】先让学生分析，培养学生的分析图形能力，然后师生共同解决，规范学生的解答过程．继续提出新的问题，培养学生的发散思维和创新能力．例1 已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.分析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．证明：∵∠EFG，∠EGF分别是△BDF，△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A ＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.【归纳总结】解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．例2 如图，求证：(1)∠BDC>∠A；(2)∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A.如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？分析：通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论．证法一：(1)连接AD，并延长AD，如图，则∠１是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角．∴∠1>∠3.∠2>∠4(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∴∠1＋∠2>∠3＋∠4(不等式的性质)．即：∠BDC>∠BAC.(2)由(1)作图知∠1＝∠3＋∠B，∠2＝∠4＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠B＋∠C(等式的性质)，即：∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.证法二：(1)延长BD交AC于E(或延长CD交AB于E)，如图．则∠BDC是△CDE的一个外角．∴∠BDC>∠DEC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∵∠DEC是△ABE的一个外角(已作)，∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠BDC>∠A(不等式的性质)．(2)由(1)作图知∠BDC＝∠C＋∠DEC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∵∠DEC是△ABE的一个外角，∴∠DEC＝∠A＋∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．∴∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A(等量代换)．【教学说明】让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．注意事项：学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明过程中，引导学生作辅助线找到一个过渡角．四、课堂练习，巩固提高1．教材P83练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和性质两个方面．六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P85习题13.2第9题．。
沪教版(五四学制)数学八上 19.1.2 命题和证明 教案(表格式)
请学生举例：依据公理或其他真命题，可以推导出的定理？
确认一个命题是真命题，要经过证明.那么证明真命题需要有哪些步骤呢？
_月__日 星期__第__周
课题
19.1－2命题和证明
课 型
新授
教 时
1
教学
目标
1．知道定义、命题、真命题、假命题、公理、定理等概念。
2．会说出命题的结构，能够初步区分命题的题设和结论，会把命题改写成“如果……那么……”的形式。
3．知道证明一个命题为真命题的一般过程；知道证明一个命题为假命题只要举一个反例。
课后反思：
数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论
(二)例题分析：
例1．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出这个命题的题设和结论.
（1）对顶角相等；
（2）同位角相等，两直线平行
（3）同角的余角相等
在以前的学习中，我们通过操作实验，归纳出一些基本事实.
2．命题证明的步骤。
五、作业：
练习册：习题19.1(1)
学生也可举例
深入学习理解，
通过举例，复习旧知，理解概念，结合实例，初步形成正确的认识
结合图形，对题设与结论分析，添上命题中被省略的词语
计：
1.定义、命题、公理、定理等的概念
2. 命题证明的步骤
3．例题分析过程及解题格式
(5)两条直线被第3条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
2022年沪科版数学八年级上《命题与证明》教案
13.2命题与证明第1课时命题与证明◇教学目标◇【知识与技能】1.了解命题、真命题、假命题的意义,了解公理、定理、证明的概念;2.了解原命题、逆命题的意义;3.会判断一个命题的真假,能用举反例的方法判断命题的真假,会写出一个命题的逆命题.【过程与方法】通过一些简单命题的证明,训练学生的逻辑思维.【情感、态度与价值观】通过对命题真假的判断,培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风.让学生积极参与教学活动,对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲.◇教学重难点◇【教学重点】学习命题的概念和命题、公理、定理的区别.【教学难点】严密完整地写出推理过程.◇教学过程◇一、情境导入上一节课中,我们研究三角形的性质是通过折叠、剪拼或度量得到三角形的内角和为180°的,但这些做法都会出现很多误差,会存在疑问.有没有更准确更严格的方法得出结论呢?二、合作探究问题1:推理是一种思维活动,人们在思维活动中,常常要对事物的情况做出种种判断.例如:(1)长江是中国第一大河;(2)如果∠1和∠2是对顶角,那么它们相等;(3)2+3≠5;(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数,那么这个数能被3整除.判断哪些是正确的,哪些是错误的?结论:(1)(2)(4)是正确的,(3)是错误的.问题2:什么叫命题?什么叫真命题?什么叫假命题?结论:对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题,其中正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.典例1判断下面语句中哪些是命题?(1)请关上窗户;(2)你明天上学吗?(3)天真冷啊!(4)昨天我们去旅游了。
[解析](4)是命题,(1)(2)(3)不是命题.【技巧点拨】在逻辑学中,凡是可以判断出真假的语句叫做命题,如果一个语句没有对某一事件的正确与否作出判断,那么它就不是命题,比如感叹句、疑问句、祈使句等.问题3:(1)命题的一般形式是什么?(2)什么叫原命题、逆命题?(3)什么叫反例?结论:(1)命题的一般形式是“如果p,那么q”或“如果p,则q”.(2)将命题“如果p,那么q”中的条件与结论互换,便得到一个新命题“如果q,那么p”,我们把这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个就叫做原命题的逆命题.(3)符合命题条件,但不满足命题结论的例子,我们称之为反例.典例2指出下列命题的条件与结论:(1)两条直线都平行于同一条直线,这两条直线平行;(2)如果∠A=∠B,那么∠A的补角与∠B的补角相等.[解析](1)“两条直线都平行于同一条直线”是条件,“两条直线平行”是结论.(2)“∠A=∠B”是条件,“∠A的补角与∠B的补角相等”是结论.变式训练写出下列命题的逆命题,并判断所得逆命题的真假,如果是假命题,请举一个反例:(1)内错角相等,两直线平行;(2)如果a=0,那么ab=0.[解析](1)逆命题是“两直线平行,内错角相等”,是真命题.(2)逆命题是“如果ab=0,那么a=0”,是假命题.反例,当a=1,b=0时,ab=0.典例3已知:如图,直线c与直线a,b相交,且∠1=∠2.求证:a∥b.[解析]∵∠1=∠2,(已知)又∵∠1=∠3,(对顶角相等)∴∠2=∠3.(等量代换)∴a∥b.(同位角相等,两直线平行)变式训练已知:如图,∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC.求证:OE⊥OF.[解析]∵OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,(已知)∴∠1=∠AOB,∠2=∠BOC.(角平分线的定义)又∵∠AOB+∠BOC=180°,(已知)∴∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)=90°.(等式性质)∴OE⊥OF.(垂直的定义)三、板书设计命题与证明命题可以判断真假,分为真命题、假命题.结论与题设:如果……那么……原命题:若P,则Q.逆命题:若Q,则P.反例:符合命题条件,不满足命题结论.◇教学反思◇在教学上主要采用“举一”,让学生独立思考,自由交流,集思广益,从而达到“反三”的目的,尽可能地调动更多学生主动参与,交流、沟通自身思维,碰撞构建新的认知结构,从而准确地判断命题的真假,对于假命题举出反例,对于命题的证明,要求学生能写出证明的步骤并能做到步步有据.第2课时三角形中边的关系◇教学目标◇【知识与技能】1.认识三角形,理解三角形的三边关系;2.会对三角形按边分类.【过程与方法】经历三角形边长的数量关系的探索过程,理解三角形的三边关系.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并运用此方法解决有关问题.【情感、态度与价值观】通过观察、操作、讨论等活动,培养学生的动手实践能力和语言表达能力.让学生在自主参与、合作交流的活动中,体验成功的喜悦,树立自信,激发学习数学的兴趣.◇教学重难点◇【教学重点】三角形三边关系的探究和归纳.【教学难点】三角形三边关系的应用.◇教学过程◇一、情境导入看下列实物中,有你熟悉的图形吗?二、合作探究在小学数学中我们学习了有关三角形的一些初步知识,现在请观察上面的屋顶框架图,并思考以下问题:(1)你能从图中找出几个不同的三角形?这些三角形有什么共同的特点?(2)什么叫做三角形?(3)三角形的边可以怎么表示?问题1:研究三角形的三条边是否相等,有多少种可能的情况?结论:三角形中,三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形;有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两边叫做腰,第三边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角;三条边都相等的三角形叫做等边三角形.问题2:我们以前学习过这样一个性质:两点之间的所有连线中,线段最短.那么在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?结论:三角形任意两边之和大于第三边.典例1画一个三角形,分别量出三角形的三边长度,计算出三角形的任意两边之差,并与第三边比较,你能得到什么结论?[解析]三角形任意两边之差小于第三边.典例2有两条长度分别为5 cm和7 cm的线段,用长度为13 cm的线段与它们能摆成三角形吗?为什么?那么换上线段的长度在什么范围内时可以组成三角形呢?[解析]用长度为13 cm的线段与它们不能摆成三角形.因为三角形任意两边之和大于第三边.三角形第三边的取值范围是两边之差<第三边<两边之和,即第三边x的取值范围是2 cm<x<12 cm.三、板书设计三角形中边的关系1.三角形按边长分类:三角形2.三角形中任何两边的和大于第三边,三角形中任何两边的差小于第三边.◇教学反思◇本节课的学习使学生认识到不是任意的三条线段都能构成三角形,并学会判断三条线段能否构成三角形,通过探讨使学生养成积极思考的习惯.。
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14.2《命题与证明》学习导航命题与证明涉及平面几何所要研究的基本内容之一，也是以后复杂图形研究的重要基础．在知识学习的同时，命题与证明逐步渗透了推理论证的格式，并介绍了命题的结构和证明的步骤，所以命题与证明也是推理论证的入门阶段，命题与证明的内容是很重要的基础知识，是关系到今后几何学习的重要阶段，是中考考查的热点之一．一、知识点回顾1.定义、命题、公理和定理的含义．(1)定义是揭示一个事物区别于其他事物特征的句子．(2)命题：可以判断是正确或错误的句子叫做命题．其中正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．(3)命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这种命题可写成“如果……那么……”的形式．其中用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．(4)公理：如果—个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理．(5)如果一个命题可从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理．如“三角形的内角和等于180°”等．注意：定理是正确的命题，但正确的命题不一定是定理．2.定义、命题、公理和定理之间的联系与区别．这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据．3.证明(1)根据题设、定义以及已经被确认的公理、定理等，经过逻辑推理，来判断—个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．(2)证明真命题的一般步骤是：①根据题意，画出图形；②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据．命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．推论证明的思路和方法．因为它体现抽象思维能力，如果同学们对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对证明的思路和方法的训练是十分必要.（1）学习命题与证明主要以对比理解为主，通过比较各种术语之间的异同，理解其内在含义．（2）概念辨析法的一般步骤是：①分析研究题目所给条件和问题；②回忆有关概念的内涵和要点；③用概念去辨析题目所给条件与问题；④进行分析、判断、推理，综合得出正确结论．（3）证明一个假命题的方法是举一个反例，证明一个命题是真命题，可用分析法、综合法或分析综合法．二、思想方法灵活运用转化的思维方法是平面几何证明的基本思想方法．如变更发散命题，通过变更命题的形式，力求变换思维角度，多方位思考、多渠道辟径，对于每个知识点挖掘其深邃的内涵，拓展其广阔的外延，从而有利于培养创造性思维能力．命题与证明渗透的思想方法还有特殊与一般、逻辑推理思想等.在进行命题的证明时，体会命题证明的必要性，证明的步骤及格式，会根据一些简单的命题画出图形，并结合图形写出已知、求证，进行推理论证，并且会注明每一步推理的理由．三、易错点归纳1.命题的结论和题设分辨不清【例1】将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.(1)同角的余角相等；(2)直角都相等．［误解］(1)常有以下几种错误改写：如果是同角，那么余角相等；如果两个角是同角，那么它们的余角相等；如果同一个角是余角，那么余角相等．(2)常有以下几种错误改写：如果是直角，那么相等；如果直角等于90°，那么直角都相等；如果两条直线互相垂直，那么直角都相等．[正解](1)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等．[剖析与指导]产生改写错误的主要原因是：(1)在命题的题设和结论不很分明时，分辨不清哪是题设，哪是结论；(2)不能正确地理解一些概念名称，如同角、余角、直角等在叙述命题的语句中的地位和意义：(3)缺乏把简单句变换成复合句的语法知识．命题的改写是命题教学的基础，在命题学习中，首先要掌握命题的构造，分清命题的题设是什么？结论是什么？然后才能在这个基础上进行命题的改写．对于命题的改写，特别是题设和结论不很分明的命题的改写，应注意以下几点：(1)命题的“缩句”练习．命题是判断一件事情的语句．为明确语句中各词语的含义及地位确定这语句中的“主词”和“宾词”，可以进行类似于小学语文中的“缩句”练习．如把命题“同角的余角相等”缩写成“余角相等”，由此知道主词是“余角”，宾词是“相等”；又命题“两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行”可以缩为：“两个角的平分线平行”，由此得主词为“两个角的平分线”．宾词为“平行”．(2)主词的数量表达方法．当主词的对象在数量上包含有“无数个”时，一般在主词前面加上“任意两个”或就写“两个”来表达这“无数个”．如同角的余角可以有无数个，在改写时一般只需写成“同角的任意两个余角”，或写成“同角的两个余角”．又如直角也有无数个，在改写时只需写成“任意两个直角”或“两个直角”．(3)改写方法．把命题的主词连同它的修饰部分．经过重新组织或添加一些词语．写成“如果……”部分，宾词写成“那么……”部分，把它们连接成一个完整的句子，就得到改写成的命题．2.文字语言与“图形语言”转换出现障碍【例2】对命题：“同角的补角相等”．画图，并写出已知、求证．(不证明)[误解] 如图1已知：∠AOB与∠COD是同角，∠BOE是∠AOB的补角，∠DOF是∠COD的补角．求证：∠BOE=∠DOF．[正解]如图2已知：∠CPD是∠AOB的补角，∠EQF是∠AOB的补角．求证：∠CPD=∠EQF．[剖析与指导]这类题目不仅要求分清命题的题设和结论，而且要求能够把文字叙述的命题正确地“翻译”为图形和符号语言．这两方面都是困难的．尤其是“翻译”---图形化、符号化，更是练习中的主要障碍．但这也正是继续学习几何的基础和必备的技能．对于把文字命题“翻译”成图形，与前面所提及的“读句画图”问题是一致的．把文字命题“翻译”成符号语言表示，即用已知、求证表示出来，一般分为两个步骤完成：(1)按照题意，画出图形；(2)分清命题的题设和结论，然后结合图形，用符号语言写成已知、求证．在“已知”项中写出题设，在“求证”项中写出结论．[误解]中的错误主要是在画图时把“同角”理解成等角，并且把一个角的补角画成邻补角，变成了与原命题意义不同的“新”命题了．3.证明时推理依据不准确学习几何，必须学会证明，初学几何证明，往往会出现推理根据颠三倒四，拿着题设当结论，推理过程不严谨，甚至是错误的现象，现将其常见错误剖析几例，以期达到“治病”或“预防”之目的。
【例3】已知：∠1+ ∠2=180°求证：∠3=∠4。
【错证】：∵∠1+∠2=180°(已知)；∴l1∥l2(两直线平行，同旁内角互补)∴∠3=∠4(同位角相等，两直线平行)【剖析与指导】错证推理依据不对，其实质是混淆了平行线的判定与性质。
正确的证明方法如下：∵∠1+∠2=180°(已知)；∴l1∥l2(同旁内角互补，两直线平行)∴∠3=∠4(两直线平行，同位角相等)四、中考热点透视纵观近几年来全国各地的中考试题，涉及本章内容的常见题型有：填空题、选择题、作图题、计算题、证明题．作为基础知识在综合题中也时有出现．主要考查的内容有真命题和假命题的判定，平行线的判定和性质，三角形内角和定理及其外角定理．由于几何的推理论证是训练逻辑思维能力的基本手段之一，因此本章内容显得十分重要．例1（2006安徽中考题）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC,∠1＝55º，则∠2的度数为（）A.35ºB.45ºC.55ºD.125º解析：本题主要考察平行线的性质.∵直线a∥b（已知），∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵∠1＝55º（已知）∴∠3＝∠1＝55º。
∵AB⊥BC（已知），∴∠ABC＝90º（垂直定义）又∠2＋∠ABC＋∠1＝180º∴∠2＝35º（等式的性质）.例2（2006黑龙江鸡西市中考题）如图，AB∥CD，∠B=680，∠E=200，则∠D的度数为 .解析：∵AB∥CD（已知）∴∠B=∠CFE=68º(两直线平行，同位角相等)而∠CFE＝∠D+∠E（三角形内角和定理的推论）∴∠D＝68º－20º＝48º。
五、方法技巧总结例1 有大、小两个正方形，大正方形的一个顶点和小正方形的中心重合．转动大正方形，重叠部分的形状会不断地变化．问在转动过程中，重叠部分的面积会变化吗？解析做这道题时，我们首先应该想象着或动手画一画，让大正方形在我们的眼前转起来，好像看到了重叠部分随着大正方形的转动而变化成不同的形状．接着，我们又发现，在转动过程中，重叠部分永远是小正方形中的一部分，而且转动一周，重叠部分会变化出无数个不规则的四边形，还会出现四个正方形（图1）和四个三角形（图2）（在图中画一画，看一看四个正方形和四个三角形分别出现在哪里，它们的面积是怎样的）．最后，我们来看看那些不规则的四边形吧：在小正方形中过中心点画两条延长线（图中的虚线），于是，小正方形被分成了四部分（图3）．很容易看出，这四部分的形状、大小是完全相同的，重叠部分的面积占小正方形的四分之一．无论大正方形转到哪儿，重叠部分的面积永远占小正方形的四分之一，是不会变的.将一般的位置转换成特殊的位置情形，体现解题的技巧性和灵活性。
例2 如图1，已知AB∥CD，求证：∠BE D＝∠B＋∠D．分析：题中有平行条件，由此联想到平行线的性质，想到它所对应的图形．经对照发现，图中没有截AB、CD的线，所以我们要添截线．方法1：延长BE交CD于F，如图2所示．方法2：延长DE交AB于F，如图3所示．方法3：连结BD，如图4所示．方法4：过E点任作一线交AB于M、交CD于N，如图5所示．许多几何题都是转化为我们熟悉的、简单的问题加以解决的．在这个转化过程中，也常需要作辅助线．如例中，如果将结论转化为∠BED-∠B＝∠D，这样我们又得到：方法5：以EB为一边在∠BED内部作∠BEF＝∠B，或过E点作EF∥AB，如图6所示．有些几何题目条件比较分散，条件与结论难于联系，这时往往需要巧妙地添辅助线，将条件加以集中，便于利用．。