第五章波动率的估计(ARCH模型)
波动率的估计(ARCH模型)
异方差性破坏了古典模型的基本假定，如果
我们直接应用最小二乘法估计回归模型，将得 不到准确、有效的结果。
异方差性
异方差性另一例子：波动率据聚类性。
资本市场的波动性通常用收益率的标准差 来度量,也称为波动率.大量研究表明股票 收益率表现为在某个时间段波动大,而在 另一个时间段收益率波动又比较小的现 象, 这种现象被称为波动率聚类性。
异方差性例子：在实际经济问题中，随机
扰动项Ui往往是异方差的，例如
（1）调查不同规模公司的利润，发现大公 司的利润波动幅度比小公司的利润波动幅度大；
（2）分析家庭支出时发现高收入家庭支出 变化比低收入家庭支出变化大。
在分析家庭支出模型时，我们会发现高收入 家庭通常比低收入家庭对某些商品支出有更大 的方差。
HEW0.8
HEWV0.2
波动率的特性： P194, (1)-(6)
实现的波动率
使用日内数据计算样本方差做为一天内波 动率的估计。
假设一天内收集到价格 计算日内收益率
pt,0, pt,1,..p.t,n
r t,1 ,r t,2 ,.r t.,n ,.r t,i, ln p t,i 1 ( ) ln p t,i)(
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H120V
H60V
H240V
滑动平均波动率
30天与240天 60
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H240V
滑动平均波动率－关于n的选择
波动率建模
波动率建模
波动率建模是金融领域中的一种重要的数学模型，它用于描述金融市场中资产价格的波动情况。
波动率是指资产价格在一定时间内的波动程度，是衡量风险的重要指标。
波动率建模可以帮助投资者更好地理解市场风险，制定更为合理的投资策略。
波动率建模的基本思想是通过历史数据来预测未来的波动率。
在金融市场中，波动率通常被分为两种类型：历史波动率和隐含波动率。
历史波动率是指过去一段时间内资产价格的波动情况，而隐含波动率则是通过期权价格反推出来的未来波动率。
波动率建模的目的就是通过这些数据来预测未来的波动率，从而为投资者提供决策依据。
波动率建模的方法有很多种，其中比较常用的是基于随机漫步模型的布朗运动模型。
这种模型假设资产价格的变化是一个随机过程，即资产价格在每个时间点上都是随机的。
通过对这种随机过程的建模，可以预测未来的波动率，并制定相应的投资策略。
除了布朗运动模型，还有很多其他的波动率建模方法，比如基于GARCH模型的波动率建模、基于随机波动率模型的波动率建模等等。
这些方法各有优缺点，投资者可以根据自己的需求和实际情况选择适合自己的方法。
波动率建模是金融领域中非常重要的一种数学模型，它可以帮助投资者更好地理解市场风险，制定更为合理的投资策略。
在实际应用
中，投资者需要根据自己的需求和实际情况选择适合自己的波动率建模方法，并结合其他因素进行综合分析，以达到最优的投资效果。
ARCH模型与股票指数波动率的刻画
ａ １ － ２ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ０ ． ３ ０ ． ３
（ ７） 结论
①深市指数对数收益率服从 Ａ Ｒ （ １ ） 模型 ， 其方差服从 Ａ Ｒ Ｃ Ｈ （ ３ ） 模型 ，拟合效果较好。 ②Ａ Ｒ Ｃ Ｈ模型的估 计结果显示 ，模 型的 Ａ Ｒ Ｃ Ｈ （ ３ ） 项的系数均 在５ ％ 的统计显著水平上显著 ，这说明深市指数有明显的波动性 ， 并且其波动存在三 阶 Ａ Ｒ Ｃ Ｈ效应，当 １ ３ 市场的波动性大小会受到 之前 ３ 个交易 日波动性 的正向影响。 ③Ａ Ｒ Ｃ Ｈ （ ３ ） 的系数之和等于 ０ ． ６ ５ 偏大 ，说明异 常信息的冲击 对股市收益率有比较长时间的影响 ， 需要一定时间来消退。
麓
Ａ ＲＣ Ｈ 模型与股票指数波动率 的刻画
叶 琳 董 灏
华南农业大学
【 摘 要】 本文对在资产收益率的波动率上具有预测作用的条件异方差模型加以关注， 从数理金融的角度选取Ａ ＲＣ Ｈ模型来阐述其
定义、性质、缺 点、以及建模 的步骤，并运用 Ａ ＲＣＨ模 型对深成指的收盘价格指数进行 了实证分析 ， 旨在验证 Ａ ＲＣ Ｈ模型在 实际应用
Ｏ ｔ ・ ａ ｔ — ｍ ２
其中 ｛８ ｝ 是均值为 ０ 、 方差为 １ 的独立同分布随机变量序列 ，
Ｏ ｔ ０ ＞０ ，对 ｉ ＞０ 有 ０ 【 ｉ ≥０ 。
二、建立 ＡＲ Ｃ Ｈ模型 １ ． 建模步骤 （ １ ） 描述数据的统计特征 ，并进行正态性检验 。
（ ２ ） 通过检验样本 Ａ Ｃ Ｆ 来检验数据 ｛ ｝ 的序列相关性，是 序列不相关或低 阶序列相关的。 （ ３ ）建立 的均值方程 。 （ ４） ｒ ｔ ＝ ＋ａ ｔ ，ａ ｔ 为残差。对 ａ ｌ 做Ａ Ｒ Ｃ Ｈ效应检验 ，即用平 方序列 ａ ｌ 来检验条件异方差性。 （ ５ ） 若Ａ Ｒ Ｃ Ｈ效应显著， 则用 ａ ｔ ２ 的Ｐ Ａ Ｃ Ｆ 来确定Ａ Ｒ Ｃ Ｈ模型 的阶 ，从而确定波动率方程 ｔ ２ 。 （ ６） 用最大似然法对 和 盯ｔ ２ 进行联合估计 ，得到条件最大 似然估计 （ Ｍ Ｌ Ｅ ｏ （ ７） 检验拟合 的模型。
金融市场波动性预测模型分析
金融市场波动性预测模型分析金融市场的波动性一直以来都是投资者关注的焦点。
准确预测金融市场的波动性对于制定投资策略、管理风险至关重要。
因此，建立一种有效的波动性预测模型具有极大的实际意义。
本文将对金融市场波动性预测模型进行分析。
首先，我们来介绍一种常用的金融市场波动性预测模型，即ARCH模型（Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model）。
ARCH模型是由Engle于1982年提出的，用来刻画金融资产收益率的异方差性现象。
该模型假设波动性的变化与其自身的过去值有关，通过将过去的波动性信息纳入模型中，可以提高对未来波动性的预测准确度。
ARCH模型的表达式如下：\[\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^p \alpha_i r_{t-i}^2\]其中，\(\sigma_t^2\)表示时间t的波动性，\(\alpha_0\)是常数项，\(\alpha_i\)是模型的系数，\(r_{t-i}^2\)是过去的收益率平方。
虽然ARCH模型在金融市场波动性预测方面取得了一定的成功，但它存在一些问题。
首先，ARCH模型假设波动性受自身过去值的影响，忽略了其他可能的因素。
实际上，金融市场的波动性可能受到经济环境、市场情绪等多种因素的影响。
因此，构建一个更加全面的波动性预测模型是必要的。
近年来，研究人员提出了许多改进的波动性预测模型。
其中，GARCH模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model）是ARCH模型的一种扩展形式。
GARCH模型引入了过去时刻的波动性来衡量当前的波动性，同时还引入了以前时刻的收益率来刻画波动性的冲击效应。
GARCH模型的表达式如下：\[\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^p \alpha_i r_{t-i}^2 +\sum_{j=1}^q \beta_j \sigma_{t-j}^2\]其中，\(\omega\)是常数项，\(\alpha_i\)、\(\beta_j\)是模型的系数，\(r_{t-i}^2\)是过去的收益率平方，\(\sigma_{t-j}^2\)是过去的波动性。
ARCH
GARCH模型ARCH模型由美国加州大学圣迭哥分校罗伯特·恩格尔(Engle)教授1982年在《计量经济学》杂志（Econometrica）的一篇论文中首次提出。
此后在计量经济领域中得到迅速发展。
所谓ARCH模型，按照英文直译是自回归条件异方差模型。
粗略地说，该模型将当前一切可利用信息作为条件，并采用某种自回归形式来刻划方差的变异，对于一个时间序列而言，在不同时刻可利用的信息不同，而相应的条件方差也不同，利用ARCH 模型，可以刻划出随时间而变异的条件方差。
作为一种全新的理论，ARCH模型在近十几年里得到了极为迅速的发展，已被广泛地用于验证金融理论中的规律描述以及金融市场的预测和决策。
ARCH模型是获得2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。
被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。
ARCH模型是过去20年内金融计量学发展中最重大的创新。
目前所有的波动率模型中,ARCH类模型无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。
[编辑本段]ARCH模型的基本思想ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。
该正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化的量(即为条件异方差)。
并且这个随时间变化的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合(即为自回归)。
这样就构成了自回归条件异方差模型。
由于需要使用到条件方差，我们这里不采用恩格尔的比较严谨的复杂的数学表达式，而是采取下面的表达方式，以便于我们把握模型的精髓。
见如下数学表达：Yt = βXt＋εt (1)其中，★Yt为被解释变量，★Xt为解释变量，★εt为误差项。
如果误差项的平方服从AR(q)过程，即εt2 =a0＋a1εt－12 ＋a2εt －22 ＋…… ＋aqεt－q2 ＋ηt t =1,2,3…… (2)其中，ηt独立同分布，并满足E（ηt）= 0, D(ηt)= λ2 ,则称上述模型是自回归条件异方差模型。
波动率模型_ARCH_GARCH
波动率模型在金融领域主要有两个方面的重要作用：
衍生证券定价 风险管理
自回归条件异方差模型(ARCH)
ARCH模型的定义：Engle(1982)
ARCH(p)：p-阶自回归条件异方差过程
t ht vt
vt i.i.d .N (0,1) E (vt ) 0, E (vt2 ) 1 ht 0 j t2 j
识别ARCH模型的阶数，估计模型；
检验ARCH模型的残差是否满足独立同分布条件， 根据情况修改模型。
方法一：检验残差平方是否存在自相关。 计算残差的无条件方差：
ˆ
2
ˆ ( L) ˆ ˆ yt ， ˆ 计算出估计的残差值 t yt X 或ut ˆ ( L)
t2 / T ˆ
ARCH(1)过程{εt}的条件期望仍然是常数，但是条件 方差不再是常数。这样的过程根据定义是不相关的， 但是并不独立。
ARCH模型表明，如果εt-1异常地偏离它的条件期望，
那么εt的条件方差ht要比通常情况下大，所以有理由 预期εt会比较大，这样使得ht+1比较大；反之，如果 εt-1异常地小，那么条件方差ht要比通常情况下小，所 以有理由预期εt会比较小。这样使得ht+1比较小。虽然
所以{t2} 的形式类似于AR(1)。虽然过程{εt}不相关，但
{ t2}，在1 1 时的自相关函数为： 是过程
(h) 1|h| , h
2
{ t } 更高阶次的矩： 容易证明：
Et 1 ( t4 ) 3( 0 1 t21 )2
2 E ( t4 ) [3 0 (1 1 )] /[(1 1 )(1 312 )] 2 3 0 (1 1 ) (1 1 ) 2 峰度 E ( t4 ) / E ( t2 )2 2 (1 1 )(1 31 ) 02
第五章波动率的估计(GARCH模型)
EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后 的条件方差建模，，可以保证方差为对数。 3）可以假设νt~广义误差分布 4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2X t′β + δg (ht ) + ε t
g()是条件方差的函数通常是ht ，ln ht
2 利用 E(vT +1 − 1 | FT ) = 0 从而得GARCH(1,1)以T为 预测原点的向前两步预测公式 hT (2) = E(hT +2 | FT )
2 t
= ht v
2 t
将
2 = E[α 0 + (α1 + β1 )hT +1 + α1hT +1 (vT +1 − 1) | FT ]
ε t = htν t
ht = α 0 + α ε
2 1 t −1
+L+α ε
2 p t −q
反映波动率的非对称性 ε t = htν t
S-1是虚拟变量，如果εt-1<0，则S-1取值为1， 如果εt-1≥0则S-1取值为0。 通过画出响应曲线，看到市场利空和利好 消息对波动率的不同影响
GJR模型
响应曲线
20
15
SIG2
10
5
0 -10
-5
0 Z
5
EGARCH 指数广义条件异方差模型
ln ht = k 0 + β 1 ln ht −1 + L + β r ln ht − r +
= α 0 + (α1 + β1 )hT (1)
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
第五章波动率的估计(GARCH模型)
2 h h v h t 1 0 1t t 1 t 2 ( ) h h ( v 1 ) 0 1 1 t 1t t
2 利用 E ( v 1 |F ) 0 从而得GARCH(1,1)以T为 T 1 T 预测原点的向前两步预测公式 h ( 2 ) E ( h ) T T 2|F T
练习题1：求GARCH(1,2)的向前一步和向 前两步预测公式
GARCH(1,2)模型： t ht vt
2 2 h h t 0 1 t 1 1 t 1 2 t 2
v t 是独立同分布的白噪声过程，并且
E (v , Var ( v 1 . t ) 0 t )
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性 峰度=4阶原点矩/标准差的四次方 4 E ( v 正态分布的峰度=3意味着 t ) 3
GARCH(1,1)过程的峰度
2 E ( ) 6 1 K 3 2 2 [ E ( )] 1 2 ( ) 1 1 1 4 t 2 2 t
2 令w 合并同类项有 h t t t
j q 时 j 0
l p 时 l 0
而
w h t t 满足：
2 t
E (w t ) 0
cov( w , w ) 0 , j 1 t t j 但 w t 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
ARMA和GARCH过程的比较
性质
髙斯 白噪声 常数 常数 正态 常数
ARMA
GARCH
ARMAGARCH 非常数 非常数 正态 常数
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指数滑动平均计算结果
140 120 100 80 60 40 20 0 1400145015001550160016501700175018001850 HEW0.8 HEWV0.2
波动率的特性： P194, (1)-(6)
实现的波动率
使用日内数据计算样本方差做为一天内波 动率的估计。 假设一天内收集到价格 p , p ,...p t ,0 t ,1 t ,n 计算日内收益率
2 t 2 1 t 1
因此
t2
服从AR(1)过程
(h) , h
2
|h| 1
如果误差项的平方服从AR(q)过程，
0
2 t
2 1 t 1
2 q t q
t
ηt独立同分布，并满足E（ηt）= 0, D(ηt)= 常数, 则称上述模型是自回归条件异方差模型
Engle(1982)ARCH Bollerslev(1986)GARCH Nelson(1991)EGARCH GJR模型 ARCH-M
ARCH(自回归条件异方差)模型的基本思想 ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下， 某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。该 正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化 的量(即为条件异方差)。并且这个随时间变化 的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合 (即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方 差模型。
ARCH模型对条件方差的预测
hT (l ) 0 1hT (l 1) ... q hT (l q)
作业
P241 1, 2,4,8(1)
指数滑动平均(EWMA)
计算公式
ˆ t2 t21 (1 ) t22 (1 ) 2 t23 ...
ˆ
等价于如下形式 2 2 t t 1
ˆ (1 )
2 t 1
指数滑动平均
可以选择的范围是0.25~0.02之间。 如果使用EWMA模型进行短期预测选择较 大的，否则选择较小的 。
LM检验
e 0 e
2 t 2 1 t 1
q e
2
t q
t
零假设H0：i =0， i=1,2,…,q，即不存在条件 异方差性 检验统计量： LM=TR2 , T是样本点个数, LM服 从2(q)分布
建立模型
如果残差存在ARCH效果，对残差建立 ARCH模型，ARCH模型被称为方差方差。 整体模型可以称为AR-ARCH模型
数据
以上证日收益率为例 r1 ,r2,r3,…,rT 实际波动率计算公式
rt
2 t
2
波动率年度化 *2501/2*100%
历史波动率的估计
ˆ
2 T 1
1 2 t T t 1
T
历史波动率
34 32 30 28 26 24 22 1400 1450 1500 1550 1600 16501700 17501800 1850 HV
数学表达： Yt = βXt＋εt (1) 其中， Yt为被解释变量， Xt为解释变量， εt为误差项。
2 t t2 Et 1 ( t2 ) 即t t ht 令
2 t
的特点
重新表述ARCH（1）模型，即 E(t ) 0 E(t s ) 0
预测条件方差
条件方差等于
ht 0
2 1 t 1
2 1 T
2 p t q
hT (1) 0 ...
2 q T 1q
2 2 hT 2 0 1 T 1 ... q T 2q 2 hT (2) 0 1hT (1) ... q T 2q
滑动平均波动率
30天与240天 60
50 40 30 20 10 0 1200 1400 1600 H30V 1800 2000 H240V 2200 2400
滑动平均波动率－关于n的选择
n越大，曲线越平滑，n越小曲线越不平滑； 如果市场没有什么异常变换，n的选择对波 动率预测影响不大； n大时如果在某个时刻收益率出现异常，那 么计算的波动率就会在今后一段时间都 大，持续的时间长度是n的大小；
ARCH过程的特点
{t }是ARCH(1)过程
t ht t 2 ht 0 1 t 1
ARCH(1)过程的无条件均值，条件均值，无条件方差 和条件方差
ARCH(1)过程的无条件均值
E( t ) E ( ht vt ) 0
无条件方差
0 var( t ) 1 1
滑动平均波动率
滑动平均
1 n 2 2 ˆ t t i n t 1 1 2 rt i n i 1
n
滑动平均波动率
30，60，120，240天滑动平均 60
50 40 30 20 10 0 1200 1400 1600 H30V H60V 1800 2000 H120V H240V 2200 2400
异方差性例子：在实际经济问题中，随机 扰动项Ui往往是异方差的，例如 （1）调查不同规模公司的利润，发现大公 司的利润波动幅度比小公司的利润波动幅度大； （2）分析家庭支出时发现高收入家庭支出 变化比低收入家庭支出变化大。 在分析家庭支出模型时，我们会发现高收入 家庭通常比低收入家庭对某些商品支出有更大 的方差。 异方差性破坏了古典模型的基本假定，如果 我们直接应用最小二乘法估计回归模型，将得 不到准确、有效的结果。
金融时间序列模型
第五章：波动率的估计
金融时间序列模型
ARCH模型概念
波动率模型
金融衍生市场，计算期权等衍生工具的 价格需要了解股票的波动率 金融风险管理,度量金融风险的大小，计 算VaR。
异方差性（heteroscedasticity ） 经典线性回归模型的一个重要假定是： 总体回归函数中的随机误差项满足同方 差性，即它们都有相同的方差。如果这 一假定不满足，则称线性回归模型存在 异方差性。
ARCH(q) t ht t 2 2 ht 0 1 t 1 q t q
Vt是独立白噪声过程
E (vt | vt 1, ...) 0 Var(vt | vt 1 ,...) 1
0 >0, j 0, j=1,…q, 1 + 2 +…+ q <1
ARCH(1)过程的条件均值
Et 1 ( t ) 0
条件方差
var1 ( t ) ht t
ARCH过程的性质
该过程表明,如果t-1异常的偏离他的条件期望 0,那么t的条件方差要比通常情况下大, 所以 有理由预期t会比较大.这样使得ht+1比较大,反 之,如果t-1异常的小,那么条件方差要比通常 情况下小,所以有理由预期t会比较小. 这样使 得ht+1比较小. 虽然方差大或小会持续一端时 间,但是不会一直持续下去,会回到无条件方 差上去.
ht 0 1 t21 ... q t2 q
t2 0 1 t21 ... q t2q wt
wt ht (vt2 1)
建立模型
检验残差是否存在条件异方差 观察残差平方的偏自相关函数，如果q步 截尾，则阶数为q 对残差平方使用Q检验，判断是否存在自 相关 使用LM检验法
股票(期权)定价 P193,公式(5.1) 货币政策制定 证券管理 风险分析
估计波动率的几种方法
历史波动率Historical Volatility 滑动平均moving average 指数加权滑动平均Exponentially Weighted Moving Averages 隐含波动率Implied Volatility 实现的波动率realized volatility 自回归条件异方差类模型
实际波动率估计公式：
rt ,1, rt ,2 ,...,rt ,n , rt ,i ln( pt ,i 1 ) ln( pt ,i )
t2 rt 2i ,
i 1
n
用计算出的实际波动率来建立AR模型对未 来波动率进行预测
自回归条件异方差
几个主要的自回归条件异方差模型
ARCH过程缺点总结
不能反应波动率的非对称特点 约束强，要求系数非负，如果要求高阶 矩存在，还有更多的约束 不能解释为什么存在异方差，只是描述 了条件异方差的行为。
金融时间序列模型
建立ARCH模型
建立ARCH模型
1）建立收益率序列的计量模型，去掉任何 线性关系，使用估计的残差检验ARCH效 果 2）估计模型 3）检验ARCH模型，根据情况修改模型。
ARCH(1)过程的四阶矩特点(P197, (5.13))
AR(1)-ARCH过程：
Yt c 1Yt 1 t
t ht vt
ht 0
vt ~ i.i.d
2 1 t 1
v (0,1) 正态分布， t 与 t 1 相互独立
特点：P199
ARCH模型的性质总结：P201
建立模型
1）建立一个计量模型ARCH过程最常见的应用是首先对 收益率建立一个AR模型：
Yt c 1Yt 1 ... pYt p t
该方程被称为均值方程
建立模型
ARCH过程的平方是AR过程
t ht vt t2 ht vt2 t2 ht vt2 ht ht t2 ht ht (vt2 1)