专题讲座7-三维球对称势问题
三维球对称势问题
定态薛定鄂方程
222V E m
ψψψ-∇+=
分立变量后
()2
2212(1);d dR mr r V r E l l R dr dr ⎛⎫--=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
径向方程 2
222211sin (1).sin sin Y Y l l Y θθθθθφ⎧⎫∂∂∂⎛⎫-+=+⎨⎬ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎩⎭ 角方程 令
/R u r =
径向方程可以化为
()22222
1.22l l d u V u Eu m dr m r +⎡⎤
-++=⎢⎥⎣⎦
角方程就是轨道角动量平方的本征值方程
22((1)m m l l L Y l l Y =+
在径向方程中
()22
1,2eff l l V V m r
+=+ 称为等效势
22(/2)[(1)/]m l l r + 称为离心项, 此项类似于经典力学中的离
心力，使粒子有向外的倾向（背离原点）。
例题1对无限深球势阱，
()0, ;, .r a V r r a <
⎧=⎨∞>⎩
求其波函数和允许的能量值。
解：在势阱外面，波函数是零；在势阱里面，径向方程为：
()22221,l l d u k u dr r +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
和通常一样，式中
,k ≡
我们的问题是在给定的边界条件()0u a =下求解这个方程。
0l =时比较简单：
()()()22
2
sin cos .d u k u u r A kr B kr dr
=-⇒=+ 不过要记住，实际的径向波函数是()()/R r u r r =，当0r →时，
[cos()]/kr r 趋于无穷大。
因此我们必须选择0B =。
边界条件又要求()sin 0ka =，
因此ka n π=，其中n 是整数。
允许的能量显然为：
222
02
,2n n E ma
π= (1,2,3,....),n = 这同一维无限深方势阱（2.27式）一样。
归一化()u r
得到A =考虑角度部分（此刻的例子中是平凡的，(
)00,Y θφ=，我们得到：
00sin /1n n r a πψ=
[注意到定态是由三个量子数来标记，,n l 和m ，(),,nlm r ψθφ。
而能量：
nl E ，仅与,n l 有关。
]
方程 4.41的一般解（对任意整数l ）：
()()(),l l u r Arj kr Brn kr =+
其中()l j x 是l 阶的球Bessel 函数 ，()l n x 是l 阶的球Neumann 函数。
它们的定义如下：
()()()()1sin 1cos ; .l
l l l d x
d x j x x n x x x dx x x dx x
⎛⎫⎛⎫≡-≡-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 在原点，球贝塞尔函数是有限的，但球Neumann 函数是无穷大。
这
样，我们必须
选择0l B =，因此：
()().l R
r Aj kr =
我们还有边界条件，()0R a =。
显然k 必须满足：
()0;l j ka =
即（ka ）是第l 阶球Bessel 函数的零点。
球Bessel 函数是振荡的,每个函数都有无限多个零点。
可是（不幸的是）这些零点不是处在优美的敏感点（如,n n π，或类似的点）；它们必须通过数值计算得到。
总之，边界条件要求
1
,nl k a
β=
这里nl β是l 阶球Bessel 函数的第n 个零点。
这样允许的能量值可以写作
22
2
,2nl nl E ma
β= 波函数为：
()()(),,/,,nl
m
nlm l nl l r A j r a Y ψθφβθφ=
式中常数nl
A 由归一化确定。
每个能级都是()21l +重简并的，因为对应每个l 值，有()21l +个不同的m 值。
类氢原子 径向方程
22
22
2201(1).242d u Ze l l u uE m dr r m r πε⎡⎤
+-+-+=⎢⎥⎣⎦
能量本征值
221
222
01, 1,2,3,...24E
m Ze E n n n πε⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
波函数
()()(),,,.m
n l m n
l l r R r Y ψθφθφ= 简并度
2n D n = (不考虑自旋, 考虑自旋为22n ) 例题2 三维谐振子的哈密顿为
222
0122
p H m r m ω=+
试求2,,z H L L 的共同本征函数
解: 本来这个哈密顿可以分为x,y,z 三个方向上三个谐振子的方程,不过题要求求H ,2L ,z L 的共同本征函数,所以需要按求解氢原子本征函数的方法做 方便起见,令
201
2
m λω=
H ,2L ,z L 的共同本征函数表示为
1()(,)()(,)m m
l l R r Y u r Y r
ψθϕθϕ==
其中球谐函数满足角动量平方本征方程
m l m l Y l l Y L 22)1( +=
ψ代入能量本征值方程,得到()u r 满足的径向方程
2222
22
1[(1)]022d u E r l l u m dr ur
λ+--+= 令
ρ=2r 1/4
()()u r ρχ
ρ-= 上式可以化为
222
22
13{[(1)]}02444162d E l l m d m χλχρρρ
+-+-+-= (1)
如果我们令
4'
λ
-=E , '
4
λ=-E 163)1(41)1(''-+=+l l l l
则(1)式写为
22'2
'''
22
{(1)}022d E l l m d m χλχρρρ
+--+= 这个方程在形式上就和类氢原子的径向方程一样了(只不过r 变为了
ρ)(库仑势为r r V /)('λ= 02'<-=Ze λ) (Z 原子核带电数)
“能量” 本征值是
'2'2
'
222
'2()()22(1)m m E n n l ρλλ=-=-++
3,2,1,0=ρn
把
4
'λ
-
=E , '4λ=-
E 16
3
)1(41)1(''-+=+l l l l (1-1) 代入上式,并考虑到
2021μωλ=
, 4
1
2'-=l l 可以得到能量本征值为
)2
3()232(00+=++=N l n E ωωρ
径向波函数为
2
200()3()exp(/2)(,,)
2l r u r R r r r F n l r r μωμω==--+
例题3
(a) 证明三维维里(Virial)定理：（对于定态）
2.r V =⋅∇
(b) 利用三维维里定理证明氢原子满足：
;n T E =-
2.n E =
(c) 利用维里定理证明三维谐振子满足：
2.n T E ==
证: (a)由
[][][][][][
][]
]222
,,(),,,,,,,,,1112x y z x y z x x y y z
z x y z
d i i
H H xp yp zp dt i i i
H xp H yp H zp i i i i i i
x H p H x p y H p H y p z H p H z p V V V x p y p z p x m y m z m V T
⋅⎡⎤=
⋅=++⎣⎦⎡⎤=++⎣⎦
⎡⎤=++++⎣⎦∂∂∂=-+-+-+∂∂∂=-⋅∇+r p
r p r
对于定态期待值不随时间变化,所以
2.r V =⋅∇ (b) 对氢原子
22
04e V r πε==
222222222, , V x V y V z
V V V x x y z y x y z z x y z
∂∂∂=-=-=-∂++∂++∂++ 所以
V V ⋅∇=-r
2002n n n
T V E E V E +=→+=→=-→=
(c) 对三维谐振子势
22
222222
2222211()
22, , ,
()2V m r m x y z V V V m x m y m z x y z V m x y z V
ωωωωωω==++∂∂∂===∂∂∂⋅∇=++=r
所以
22/2
n n T E T V T V V E =→=+==→==。
三维问题有限元分析(包括轴对称问题)
建立每个有限元的平衡方程，通过求解这些方程来得到近似解。
离散化
将连续的问题离散化，将整个求解域划分为有限个小的子域（称为有限元），每个子域上定义节点。
有限元方法的基本原理
解方程
通过求解整体矩阵的方程，得到各个节点的值，从整体矩阵，用于表示整个求解域上的问题。
详细描述
三维弹性力学问题的有限元分析
总结词
详细描述了三维热传导问题有限元分析的基本原理、方法和应用。
详细描述
三维热传导问题是有限元分析的另一个重要领域，主要研究热量在物体中的传递和分布。通过将连续的物体离散化为有限个小的单元，可以建立单元之间的热量传递关系，从而得到整个物体的温度分布。这种方法广泛应用于工程领域，如传热学、热能工程等。
边界条件处理
轴对称问题的有限元方法
轴对称问题有限元分析的实现流程
建立系统方程
根据有限元近似解法，将微分方程转化为离散化的系统方程。
划分网格
根据问题的几何形状和特点，将求解区域划分为一系列离散的网格单元。
建立数学模型
根据实际问题，建立相应的数学模型，包括物理方程、边界条件和初始条件。
求解系统方程
采用适当的数值方法（如直接法、迭代法等），求解离散化的系统方程，得到每个离散单元上的近似解。
轴对称问题具有旋转对称性，即其解在绕对称轴旋转时保持不变。
轴对称问题的定义和特性
特性
定义
将连续的物理问题离散化为有限个离散的单元，每个单元具有特定的形状和大小。
离散化
在每个离散单元上，使用近似函数来逼近真实解。常用的近似函数包括多项式、样条函数等。
近似解法
对于轴对称问题，边界条件通常与对称轴相关。需要对边界条件进行特殊处理，以确保离散化后的系统方程满足原始问题的约束。
弹性力学问题求解 — 三维问题
与直角坐标以及极坐标系下的方程一致. 即胡克的方程对比.
7.2 球坐标系下弹性问题的基本公式
物理方程与 坐标系无关
7.3 球谐函数的定义和物理意义
蓝色为正,黄色为负,离远点的距离代表函数的数值 球谐函数与三角函数的对比
球坐标系下的拉普拉斯方程(调和函数)为: 分离变量,令: 得到两个公式:
对第二个公式，再次分离变量，令:
得到:
方程的解给出:
m 为整数; l 为非负整数，并且
最后得:
其中
为伴随勒让德多项式，满足勒让德方程
表达式为
勒让德多项式的图形：
的图形:
一度地幔对流与二度地幔对流 [Zhong et al., 2007]
对于球面上的任一函数，可以展开为： 其中：
7.4 球对称情况下问题的简化
例2：地壳在地球万有引力作用下其内部的应力分布 由上面的例子，
换一种表达形式，
方程的解为， 应变为， 应力为，
代入得， 解得， 球壳内应力解为，（解的局限性)
弹性力学问题求解 — 三维问题
三维问题的复杂性: 变量和方程多,无系统性的一般有效解法,需根据问题具体分析 如柱体扭曲, 壳体问题, 球体问题等, 很多采用数值方法求解
其中球体问题在地学中应用广泛: 研究地球的自由震荡,固体潮,以及地球内部应力分布等
7.1 柱坐标系下弹性问题的基本公式
与极坐标系下的方程对比.
当球体受球对称外力和体力作用时，问题得到大大简化 位移，应力，应变都只是r的函数
例1：密度均匀的地球，在本身万有引力作用下应力的 分布。（忽略日月的引力和自转引起的离心力）
因为位移只是r的函数，得： 即
并记： 则对前式积分得：
需要将位移表示为应力。
证明三维球对称问题的热传导方程
证明三维球对称问题的热传导方程三维球对称问题的热传导方程一、引言在研究热传导方程时，三维球对称问题一直是一个备受关注的主题。
三维球对称问题涉及到热量在球形结构中的传导和分布，对于理解热传导的规律和特性具有重要意义。
本文将探讨证明三维球对称问题的热传导方程，以期为相关领域的研究和实践提供有益的参考和指导。
二、热传导方程的基本概念和原理在研究热传导方程之前，首先需要了解热传导方程的基本概念和原理。
热传导方程描述了热量在空间中的传导过程，它是热力学和物理学中非常重要的方程之一。
热传导方程能够描述热量如何在材料内部传播，并且能够通过一定的数学模型来描述热传导的规律和特性。
三、三维球对称问题的基本形式三维球对称问题是指热传导过程发生在一个球形结构中，该结构具有球形对称性。
在研究三维球对称问题时，需要考虑球形结构的特性和热传导的规律，以便建立相应的数学模型和方程。
四、证明三维球对称问题的热传导方程针对三维球对称问题的热传导方程，需要从数学和物理两个方面进行证明。
可以从传热的基本规律出发，利用热传导定律和热传导方程的一般形式，推导出关于三维球对称问题的热传导方程。
还可以通过对球形结构的几何特性和对称性进行分析，得出关于球对称问题的热传导方程的具体形式和解析解。
五、个人观点和理解对于三维球对称问题的热传导方程，我个人认为在研究和应用过程中，需要充分考虑到球形结构的特性和热传导的规律，以便建立准确、适用的热传导方程模型。
还需要结合实际情况和实验数据，验证和修正相关的数学模型，以便更好地描述和预测三维球对称问题的热传导过程。
六、总结和回顾通过本文的探讨和分析，我们对证明三维球对称问题的热传导方程有了更加全面、深刻的理解。
三维球对称问题的热传导方程是热传导方程的一个重要应用，对于研究和应用热传导方程具有重要意义。
证明三维球对称问题的热传导方程需要运用数学、物理和实验等多方面的知识和方法，以及对球形结构的特性和热传导规律的深入理解。
专题讲座7-三维球对称势问题
三维球对称势问题定态薛定鄂方程 222V E mψψψ-∇+=分立变量后()22212(1);d dR mr r V r E l l R dr dr ⎛⎫--=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭径向方程 2222211sin (1).sin sin Y Y l l Y θθθθθφ⎧⎫∂∂∂⎛⎫-+=+⎨⎬ ⎪∂∂∂⎝⎭⎩⎭ 角方程 令 /Ru r =径向方程可以化为()222221.22l l d u V u Eu m dr m r +⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦角方程就是轨道角动量平方的本征值方程22((1)m m l l L Y l l Y =+在径向方程中 ()221,2eff l l V V mr+=+称为等效势22(/2)[(1)/]m l l r +称为离心项, 此项类似于经典力学中的离心力，使粒子有向外的倾向（背离原点）。
例题1对无限深球势阱，()0, ;, .r a V r r a <⎧=⎨∞>⎩求其波函数和允许的能量值。
解：在势阱外面，波函数是零；在势阱里面，径向方程为：()22221,l l d u k u dr r +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦和通常一样，式中,k≡我们的问题是在给定的边界条件()0u a =下求解这个方程。
0l =时比较简单：()()()222sin cos .d u k u u r A kr B kr dr=-⇒=+ 不过要记住，实际的径向波函数是()()/R r u r r =，当0r →时，[cos()]/kr r 趋于无穷大。
因此我们必须选择0B =。
边界条件又要求()sin 0ka =，因此ka n π=，其中n 是整数。
允许的能量显然为：22202,2n n E maπ= (1,2,3,....),n = 这同一维无限深方势阱（2.27式）一样。
归一化()u r 得到A=考虑角度部分（此刻的例子中是平凡的，()00,Y θφ=，我们得到：00sin /1n n r a πψ=[注意到定态是由三个量子数来标记，,n l 和m ，(),,nlm r ψθφ。
三维球对称谐振子在直角坐标系中由分离变量法求解定态薛定谔,给出能级公式和波函数
三维球对称谐振子在直角坐标系中由分离变量法求解定态薛定谔，给出能级公式和波函数正文:考虑三维球对称谐振子，其势能函数为 $V(r)$,其中 $r$ 为球谐振子的半径。
在该函数中，球谐振子的势能随着半径的减小而增加。
由于球谐振子是对称的，因此我们只需要在球心处放置一个粒子，即可满足对称性。
在直角坐标系中，球谐振子的势能函数可以表示为:$$V(r) = frac{1}{2} omega^2 r^2$$其中 $omega$ 为球谐振子的角频率。
为了求解薛定谔方程，我们使用分离变量法。
将球谐振子的能量写成 $E(r)$,其中 $E$ 为能量。
然后，我们将 $E(r)$ 代入薛定谔方程中，并分离变量:$$frac{1}{r^2} frac{partial}{partial r} (r^2 frac{partial psi}{partial r}) + left[ frac{1}{r^2} frac{partial^2}{partial theta^2} + frac{partial^2}{partial phi^2} - frac{2}{r} + E(r) ight] psi = 0$$由于球谐振子是对称的，因此 $psi(theta, phi) = psi(r)$。
在分离变量的过程中，我们得到了球谐振子的能级公式:$$E(r) = frac{1}{2} omega^2 r^2$$同时，我们也得到了球谐振子的波函数:$$psi(r) = frac{1}{r^2} sqrt{frac{pi}{2}} r^2$$ 拓展:球谐振子的能级公式和波函数是在直角坐标系中求解得到的。
实际上，球谐振子的薛定谔方程可以在任何坐标系中求解。
在球谐振子的薛定谔方程中，角频率 $omega$ 和半径 $r$ 是独立的变量。
因此，我们可以在不同的坐标系中求解薛定谔方程，并得到不同的能级公式和波函数。
球谐振子的能级公式和波函数是一个重要的结果，它可以帮助我们更好地理解球谐振子的性质。
三维球对称谐振子在直角坐标系中由分离变量法求解定态薛定谔,给出能级公式和波函数
三维球对称谐振子在直角坐标系中由分离变量法求解定态薛定谔，给出能级公式和波函数三维球对称谐振子是一个在三维球坐标系中具有球对称性的体系，其哈密顿量可以表示为：\[H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{1}{2}m\omega^2r^2\]其中，\(\hbar\)是约化普朗克常数，\(m\)是质量，\(\omega\)是频率，\(r\)是径向距离。
根据分离变量法，可以将波函数表示为径向部分和角向部分的乘积形式：\[\psi(r,\theta,\phi) = R(r)Y(\theta,\phi)\]由于体系具有球对称性，角向部分的函数\(Y(\theta,\phi)\)可以表示为球谐函数的形式：\[Y(\theta,\phi) = f(\theta)g(\phi)\]将波函数代入薛定谔方程得到：\[\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +\frac{1}{2}m\omega^2r^2\right)R(r)f(\theta)g(\phi) = ER(r)f(\theta)g(\phi)\]根据球坐标系中的拉普拉斯算符的表达式，可以展开薛定谔方程为：\[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partialR}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2g}{\partial \phi^2} +\frac{2m}{\hbar^2}\left[E - \frac{1}{2}m\omega^2r^2\right]Rfg = 0\]接下来，我们通过分离变量的方法对方程进行求解。
三维球
第三章 三维球三维球是一个非常杰出和直观的三维图素控制工具。
作为强大而灵活的三维空间定位工具，它可以通过平移、旋转和其它复杂的三维空间变换精确定位任何一个三维物体；同时三维球还可以完成对智能图素、零件或组合件生成拷贝、直线阵列、矩形阵列和圆形阵列的操作功能。
三维球可以附着在多种三维物体之上。
在我们选中零件、智能图素、锚点、表面、视向、光源、动画路径关键帧等三维物体后，可通过点击三维球工具按钮或F10打开三维球，使三维球附着在这些三维物体之上，从而方便的对它们进行移动、相对定位和距离测量。
三维球形状如下图所示，它在空间有三个轴。
内外分别由三个控制柄。
使得你可以沿任意一个方向移动物体，也可以约束实体在某个固定方向移动，绕某固定轴旋转。
三维球就像空间内元素的坐标。
下面就是三维球的相关功能及应用详解：外部控制手柄：是指三维球球外的红点和短线_1。
内部控制手柄：是指三维球内部的蓝点和短线_3.中心点 ：是指三维球内部中心红色的点_4.2表示：是指三维球在当前平面内绕着中心点旋转，角度为非定值。
5表示：是指三维球内部。
6表示：是指三维球能在此平面内任意方向移动。
鼠标点击 ：用鼠标左键或右键点一下外部控制手柄的红点，中心点或智能图素的控制手柄等。
鼠标拖动 ：按住鼠标的左键或右键不放，拖着三维球移动或旋转。
鼠标左键点击 ：相当于拾取。
鼠标右键点击 ：相当于反馈当前状态的可操作性能和一些当前状态的信息。
鼠标左键拖动 ：用鼠标移动零件或元素。
鼠标右键拖动 ：右键拖动零件或元素，松开右键，会反馈信息：移动，拷贝，链接，阵列，取消。
具有移动，复制的功能。
1. 移动在三维空间内想移动一装配体，零件或图素。
可应用三维球的外部手柄进行空间的点定位。
操作方法：用鼠标的左键或右键拖动三维球的外部控制手柄。
注意鼠标的变化和状态。
123 45 6左键：移动的具体距离，编辑，移动后松开鼠标的左键，将鼠标移到数值上，点右键：右键：如果用右键拖动三维球，松开右键，编辑：右键点击：可编辑距离和线性阵列。
FECh0267轴对称问题三维问题
r
r
1 3
(ri
rj
rm )
z
z
1 3
(zi
z
j
zm
)
于是
K e 2r BT D
~
~~
K~
ii
B
~
A
K~ K~
ji mi
K~ ij K~ jj K~ mj
K~
im
K~ K~
jm mm
2019/12/25
9
其中 K 可以写出近似的显式
~ rs
有些情况下，仅有一点微不足道的细节破坏了结构 的对称。那么，可以忽略这些细节（或相反的将它们 视为对称的），以利于用更小的对称模型，必须权衡 模型简化带来的好处与精度降低的代价来确定是否对 一个非（拟）对称结构故意忽略其非对称细节。
2019/12/25
15
2.7 三维空间问题有限元
多数弹性力学问题需要按照三维空间问题 来求解。三维弹性力学问题的有限元法的基本 步骤与平面问题的步骤一样，包括单元离散化、 选择单元位移模式、单元分析、整体分析和方 程求解。在分析三维问题时，所选择的单元主 要为四面体单元和六面体单元。每个单元节点 上定义有三个位移分量u、v、w。
29
自由度约束
自由度约束就是给某个自由度(DOF)指定一已知数 值 (值不一定是零)。
举例
• 结构分析中的固定位移(零或者非零值) 。大多数自 由度约束用作：
– 对称性边界条件或者称作“built-in”边界条件
– 指定刚体位移。
• 热分析中的指定温度。
30
三维问题有限元分析(包括轴对称问题) ppt课件
向量表示为
x
y
z
xy
yz
T zx
在线弹性范围内，应力与应变间的物理关系矩阵表达式为
D
对于各向同性弹性体，在三维应力状态下，弹性
矩阵 D 的形式为
1
1
D
1
E 1 1
2
1
可假设为坐标的线性函数，为满足变形协调条件，取为
u 1 2x 3 y 4z v 5 6x 7 y 8z
w 9 10 x 11 y 12 z
(6-5)
式(6-5)含有12个待定系数a，可由单元的12项结 点位移决定.将4个结点的坐标值代入式(6-5)的u 式中。 i、j、m、n共4个结点，分别有
将位移的3个线性方程形成的线性方程组用矩阵表示为
u
v
N
第六章 三维问题有限元分析
PPT课件
1
四 教学基本内容
第五章 三维问题有限元分析
第一节 三维应力状态
第二节 4节点四面体单元 第三节 8节点六面体等参单元 第四节 20节点等参单元 第五节 ansys空间问题实例 第六节 空间轴对称问题有限元法
第七节 Ansys轴对称旋转问题实例
PPT课件
2
空间问题简介
xzy
0
0
y
z
zx
y 0
0
y
0
x z
0
0
z
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高中数学-球专题讲义模型全解-学生版
目录专题一 墙角模型 2【方法总结】 2【例题选讲】 2【对点训练】 3专题二 对棱相等模型 7【方法总结】 7【例题选讲】 7【对点训练】 8专题三 汉堡模型 10【方法总结】 10【例题选讲】 10【对点训练】 11专题四 垂面模型 14【方法总结】 14【例题选讲】 14【对点训练】 15专题五 切瓜模型 19【方法总结】 19【例题选讲】 19【对点训练】 21专题六 斗笠模型 24【方法总结】 24【例题选讲】 24【对点训练】 25专题七 鳄鱼模型 28【方法总结】 28【例题选讲】 28【对点训练】 30专题八 已知球心或球半径模型 33【例题选讲】 33【对点训练】 34专题九 最值模型 38【方法总结】 38【例题选讲】 38【对点训练】 39专题十 内切球模型 44【方法总结】 44【例题选讲】 44【对点训练】 45专题一 墙角模型如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．空间几何体的外接球与内切球十大模型1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．【方法总结】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R= a2+b2+c2．)，秒杀公式：R2=a2+b2+c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例题选讲】例1.[例] (1)已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=3，BC=2，CD=5，则球O的表面积为( )A.12πB.7πC.9πD.8π(2)若三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球半径为( )．A.3B.6C.36D.9(3)已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2，则球O的表面积等于( )．A.4πB.3πC.2πD.π(4)在正三棱锥S-ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是________．(5)(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为( )．A.86πB.46πC.26πD.6π(6)已知二面角α-l-β的大小为π3，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC=22，PA=23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD+∠DAB=π．若四面体PACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．【对点训练】1．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为( )A.7πB.14πC.72πD.714π32．等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为( )A.5πB.203πC.10πD.34π3．已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，则球O的体积等于________.4．已知四面体P-ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，AB=PB =2，则球O的表面积为________．5．三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的体积为( )A.272πB.2732π C.273π D.27π6．在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点的坐标分别为A(2，2，1)，B(2，2，-1)，C(0，2，1)，D (0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A.16πB.12πC.43πD.6π7．在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，且AB=1，BD=2，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A-BDC的外接球的表面积为( D )A.2πB.8πC.16πD.4π8．在正三棱锥S-ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=22，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )A.6πB.12πC.32πD.36π9．在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，且AB=BC=36CD，若此四面体的体积为833，则其外接球的表面积为________．10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为32的正方形，AA1=3，E是线段A1B1上一点，若二面角A-BD-E的正切值为3，则三棱锥A-A1D1E外接球的表面积为________．专题二 对棱相等模型【方法总结】对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2R=a2+b2+c2(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2=x2+y2+z28(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．【例题选讲】例2.[例] (1)正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为________．(2)在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．(4)在正四面体A-BCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是( )A.6πB.6πC.3632π D.3 2π(5)已知三棱锥A-BCD，三组对棱两两相等，且AB=CD=1，AD=BC=3，若三棱锥A-BCD的外接球表面积为9π2．则AC=________．【对点训练】1．已知正四面体ABCD的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．2．表面积为83的正四面体的外接球的表面积为( )A.43πB.12πC.8πD.46π3．已知四面体ABCD满足AB=CD=6，AC=AD=BC=BD=2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．4．三棱锥中S-ABC，SA=BC=13，SB=AC=5，SC=AB=10．则三棱锥的外接球的表面积为______.5．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC=AD=BC =BD=5，则a=________.6．正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是( )A.12πB.32πC.8πD.24π专题三 汉堡模型【方法总结】汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1=r ，OO 1=h 2，∴R 2=r 2+h 24．【例题选讲】例3.[例] (1)(2013辽宁)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，AA 1=12，则球O 的半径为( )．A.3172 B.210 C.132 D.310(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A.πa 2B.73πa 2C.113πa 2D.37πa 2(3)(2009全国Ⅰ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB =AC =AA 1=2，∠BAC =120°，则此球的表面积等于( )．A.10πB.20πC.30πD.40π(4)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A.4πB.16π3C.32π3D.16π(5)若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为( )A.(125-12)πB.123πC.(123+3)πD.16π【对点训练】一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为( )A.28π3B.22π3 C.43π3 D.7π2．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________.3．已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.32π4．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3B.4030π27 C.32030π27 D.20π5．已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A-EF-C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为( )A.6πB.5πC.4πD.3π6．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=1，AA1=23，∠BAC= 2π3，则球O的体积为( )A.32π3B.3πC.4π3D.8π7．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60°，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的( )A.2倍B.2倍C.22倍D.3倍8．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，二面角A1-BD-C1的大小为π3，则该正四棱柱外接球的表面积为( )A.12πB.14πC.16πD.18π9．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面点M，现点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径长为________．10．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P-ABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O．若三棱锥P-ABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为____ ____．专题四 垂面模型【方法总结】垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1=r，OO1=h2，∴R2=r2+h24．【例题选讲】例4.[例] (1)已知在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB=30°，AC=2AB=23，SA=1．则该三棱锥的外接球的体积为( )A.13813πB.13πC.136πD.13136π(2)三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.23πB.234πC.64πD.643π(3)在三棱锥S-ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠ABC=60°，SA=25，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.643πB.2563πC.4363πD.2048327π(4)在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=120˚，PA=AB=AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.103πB.18πC.20πD.93π(5)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AC=2，AB=1，设D为BC中点，且直线PD与平面ABC所成角的余弦值为55，则该三棱锥外接球的表面积为________．【对点训练】1．三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.18πB.21π2C.21πD.42π2．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB=2，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.32π3．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.64π4．在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，PA=2，AB=AC=3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.4π3B.82π3 C.8π D.12π5．在三棱锥A-BCD中，AC=CD=2，AB=AD=BD=BC=1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．6．如图，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.7πB.5πC.3πD.π7．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若PA=26，则△OAB的面积为( )．A.3B.22C.33D.638．三棱锥P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为________．9．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=5，ED=3，若鳖臑P-ADE的外接球的体积为92π，则阳马P-ABCD的外接球的表面积为________．10．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP=2，点M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB= 1，AD=3，直线PM与平面ABCD所成的角为π4．记点M的轨迹长度为α，则tanα=________．；当三棱锥P-ABM的体积最小时，三棱锥P-ABM的外接球的表面积为________．专题五 切瓜模型【方法总结】切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A-BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则R2=r2+m2，R2=d2+(h-m)2，解得R．可用秒杀公式：R2=r21+r22-l24(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)【例题选讲】例5.[例] (1)已知在三棱锥P-ABC中，V PABC=433，∠APC=π4，∠BPC=π3，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P-ABC外接球的体积为________．(2)如图，已知平面四边形ABCD满足AB=AD=2，∠A=60˚，∠C=90˚，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的体积为________．(3)已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( )A.10π3B.5πC.6πD.20π3(4)已知ΔABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC=3，PB=22，PC=5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．(5)已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥A-DECB的外接球的表面积为________．【对点训练】1．把边长为3的正方ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC⊥平面ADC，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为( )A.32πB.27πC.18πD.9π2．在三棱锥A-BCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为________．3．已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=3，AC=3，BC=CD=BD=23，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.36π4．在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，ΔABC是边长为2的正三角形，若∠BDC=π4，三棱锥的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为( )．A.52π3B.3πC.4πD.28π35．已知空间四边形ABCD，∠BAC=23π，AB=AC=23，BD=4，CD=25，且平面ABC⊥平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为( )A.24πB.48πC.64πD.96π6．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=22，PA=PD=AB=2，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为( )A.2πB.4πC.8πD.12π7．在四棱锥A-BCDE中，ΔABC是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC⊥平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为( )A.2121πB.84πC.721πD.2821π8．已知空间四边形ABCD，∠BAC=2π3，AB=AC=23，BD=CD=6，且平面ABC⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为( )A.60πB.36πC.24πD.12π9．在三棱锥P-ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，PB=PC=43，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．10．在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP=25,AB=6,∠ACB=π3，且直线PA与平面ABC所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.13πB.52πC.52π3D.5213π3 10．答案 B 解析 如图，过点P作PE⊥AB于E，D为AB的中点，设ΔABC的外心是O1，半径是r，连接O1B，O1E，O1D，由正弦定理得2r=ABsin∠ACB=43，则O1B=r=23，D为AB的中点，BD=AD=12AB=3，O1D⊥AB，所以O1D=O1B2-BD2=3，因为平面PAB⊥平面ABC，PE⊥AB于E，平面PAB∩平面ABC=AB，则PE⊥平面ABC，所以直线PA与平面ABC所成的角是∠PAE，则tan∠PAE=PEAE=2，即PE =2AE，因为AP=PE2+AE2=25，所以PE=2AE=4，则DE=1，故O1E=2，设三棱锥P-ABC外接球球心是O，连接OO1，OB，OP，过O作OH⊥PE于H，则OO1⊥平面ABC，于是OO1⎳PE，从而O1OHE是矩形，所以外接球半径R满足R2=OO21+O1B2=OH2+(PE-HE)2=O1E2+(PE-OO1)2，解得R=13．所以外接球的表面积为4πR2=52π．专题六 斗笠模型【方法总结】圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R=h2+r22h(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)【例题选讲】例6.[例] (1)一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°，若该圆锥的侧面积为33π，则该圆锥外接球的表面积为________．(2)(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π(3)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=26,AC=AB=4，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为________．(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B.16πC.9πD.27π4(5)如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，CD的中点，cos∠PEF=22，若A，B，C，D，P在同一球面上，则此球的体积为________．(6)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=1，BC=3，则该三棱锥外接球的体积为( )A.4π3B.823πC.43πD.323π【对点训练】1．已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30°，底面圆心O到PA的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为________．2．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为( )A.πB.π3C.4πD.4π33．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =6，AC =AB =2，且AC ⊥AB ，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.9π4．已知体积为3的正三棱锥P -ABC 的外接球的球心为O ，若满足OA +OB +OC =0 ，则此三棱锥外接球的半径是( )A.2B.2C.32D.345．已知正四棱锥P -ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为( )A.124π3B.625π81C.500π81D.256π96．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若ΔSAB 的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是________．7．已知圆台O 1O 2上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为22，圆台的外接球的球心为O ，且球心在圆台的轴O 1O 2上，满足|O 1O |=3|OO 2|，则圆台O 1O 2的外接球的表面积为________．8．在六棱锥P -ABCDEF 中，底面是边长为2的正六边形，PA =2且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于________．9．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =2，AB =2，BC =10，∠APC =π2，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．10．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =92，AB =8，AC =6．顶点P 在平面ABC 内的射影为H ，若AH =λAB +μAC 且μ+2λ=1，则三棱锥P -ABC 的外接球的体积为________．专题七 鳄鱼模型【方法总结】鳄鱼模型即普通三棱锥模型，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2= m2+n2-2mn cosα+l24(其中l=|AB|)解决．sin2α【例题选讲】例7.[例] (1)在三棱锥A-BCD中，ΔABD和ΔCBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A-BD-C的平面角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为________．(2)在等腰直角ΔABC中，AB=2，∠BAC=90°，AD为斜边BC的高，将ΔABC沿AD折叠，使二面角B-AD-C为60°，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为________．(3)在四面体ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=60°，∠BCD=90°，二面角A-BD-C的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为________．(3)在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是-33，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.4πB.6πC.8πD.9π(4)已知三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=22，BC=3，PA=PB=32，且二面角P-AB-C的大小为150°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )A.100πB.108πC.110πD.111π(5)在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，三角形PAC为等边三角形，二面角P-AC-B的余弦值为-63，当三棱锥P-ABC的体积最大值为13时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为________．(6)在体积为233的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，ΔPAB为等边三角形，二面角P-AB-C为锐角，则四棱锥P-ABCD外接球的半径为( )A.213B.2C.3D.32【对点训练】1．在三棱锥S-ABC中，SB=SC=AB=BC=AC=2，二面角S-BC-A的大小为60°，则三棱锥S-ABC外接球的表面积是( )A.14π3B.16π3C.40π9D.52π92．已知三棱锥A-BCD，BC=6，且ΔABC、ΔBCD均为等边三角形，二面角A-BC-D的平面角为60°，则三棱锥外接球的表面积是________．3．已知边长为6的菱形ABCD中，∠BAD=120°，沿对角线AC折成二面角B-AC-D的大小为θ的四面体且cosθ=13，则四面体ABCD的外接球的表面积为________．4．在三棱锥P -ABC 中，顶点P 在底面ABC 的投影G 是ΔABC 的外心，PB =BC =2，且面PBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．5．直角三角形ABC ，∠ABC =π2，AC +BC =2，将ΔABC 绕AB 边旋转至ΔABC 位置，若二面角C -AB -C 的大小为2π3，则四面体C -ABC 的外接球的表面积的最小值为( )A.6π B.3π C.32π D.2π6．已知空间四边形ABCD 中，AB =BD =AD =2，BC =1，CD =3，若二面角A -BD -C 的取值范围为π4，2π3 ，则该几何体的外接球表面积的取值范围为________．7．在三棱锥S -ABC 中，底面ΔABC 是边长为3的等边三角形，SA =3，SB =23，二面角S -AB -C 的大小为60°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．8．在四面体ABCD中，BC=CD=BD=AB=2，∠ABC=90°，二面角A-BC-D的平面角为150°，则四面体ABCD外接球的表面积为( )A.313πB.1243πC.31πD.124π9．在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=7，BD=23，二面角A-BD-C是钝角．若三棱锥A -BCD的体积为2．则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是( )A.12πB.373πC.13πD.534π10．在平面五边形ABCDE中，∠A=60°，AB=AE=63，BC⊥CD，DE⊥CD，且BC=DE=6．将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的二面角为120°，则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的表面积是________．专题八 已知球心或球半径模型【例题选讲】例8.[例] (1)(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．(2)已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为3，BC= 3，BD=3，∠CBD=90˚，则球O的体积为________．(3)(2012全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22(4)(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．(5)三棱锥S-ABC的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S-ABC的体积最大时，点S到平面ABC的距离为( )A.2+3B.2-3C.3D.2【对点训练】1．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB=22，∠ACB=90°，PA为球O 的直径且PA=4，则点P到底面ABC的距离为( )A.2B.22C.3D.232．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB=6，BC=23，且四棱锥O-ABCD 的体积为83，则R等于( )A.4B.23C.479D.133．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.16π3B.40π3C.64π3D.80π34．已知三棱锥A-SBC的体积为233，各顶点均在以PA为直径球面上，AB=AC=2,BC=2，则这个球的表面积为_____________．5．(2017·全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．6．(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π7．(2020·全国Ⅱ)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )A.3B.32C.1D.328．如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )A.R2B.2R3C.4R3D.R9．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是( )A.4πB.πC.2πD.π210．在三棱锥A-BCD中，底面为Rt△，且BC⊥CD，斜边BD上的高为1，三棱锥A-BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为________．专题九 最值模型【方法总结】最值问题的解法有两种方法：一种是几何法，即在运动变化过程中得到最值，从而转化为定值问题求解．另一种是代数方法，即建立目标函数，从而求目标函数的最值．【例题选讲】例9.[例] (1)已知三棱锥P-ABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为________．(2)在四面体ABCD中，AB=1，BC=CD=3，AC=2，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为( )A.2πB.3πC.6πD.8π(3)已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16+163，则球O的体积等于( )A.42π3 B.162π3 C.322π3 D.642π3(4)三棱锥A-BCD内接于半径为5的球O中，AB=CD=4，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为( )A.43B.83C.163D.323(5)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为_ _______．【对点训练】1．三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A.4B.6C.8D.102．(2015·全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π3．已知点A，B，C，D均在球O上，AB=BC=6，AC=23．若三棱锥D-ABC体积的最大值为3，则球O的表面积为________．4．在三棱锥A-BCD中，AB=1，BC=2，CD=AC=3，当三棱锥A-BCD的体积最大时，其外接球的表面积为________．5．已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=BC=2，AC=22，若三棱锥D-ABC体积的最大值为2，则球O的表面积为( )A.8πB.9πC.25π3D.121π96．三棱锥A-BCD的一条棱长为a，其余棱长均为2，当三棱锥A-BCD的体积最大时，它的外接球的表面积为( )A.21π4B.20π3C.5π4D.5π37．已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为( )A.32B.233C.23D.138．(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )A.123B.183C.243D.5439．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，∠ASC=∠BSC=30˚，则棱锥S-ABC的体积最大为( )A.2B.83C.3D.2310．四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上，则四棱锥P-ABCD体积的最大值为( )A.8B.83C.16D.16311．(2016·全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB=6，BC =8，AA1=3，则V的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π312．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为___．13．如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．若当三棱锥A1-CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1-CDE外接球的体积为82π3，则a=( )A.2B.2C.22D.414．已知三棱锥S-ABC的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为23，SA⊥平面ABC，SA=4，∠ABC=120°，则球O的体积的最小值为________．专题十 内切球模型【方法总结】以三棱锥P -ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P -ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P -ABC =V O -ABC +V O -PAB +V O -PAC +V O -PBC ⇒V P -ABC =13S △ABC ·r +13S △PAB ·r +13S △PAC ·r +13S △PBC ·r =13(S △ABC +S △PAB +S △PAC +S △PBC )·r ；第三步：解出r =3V P -ABC S O -ABC +S O -PAB +S O -PAC +S O -PBC =3V S 表．秒杀公式(万能公式)：r =3V S 表【例题选讲】例10.[例] (1)已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．(3)阿基米德(公元前287年~公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为( )。