专题讲座7-三维球对称势问题

三维球对称势问题
定态薛定鄂方程
222V E m
ψψψ-∇+=
分立变量后
()2
2212(1);d dR mr r V r E l l R dr dr ⎛⎫--=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
径向方程 2
222211sin (1).sin sin Y Y l l Y θθθθθφ⎧⎫∂∂∂⎛⎫-+=+⎨⎬ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎩⎭ 角方程 令
/R u r =
径向方程可以化为
()22222
1.22l l d u V u Eu m dr m r +⎡⎤
-++=⎢⎥⎣⎦
角方程就是轨道角动量平方的本征值方程
22((1)m m l l L Y l l Y =+
在径向方程中
()22
1,2eff l l V V m r
+=+ 称为等效势
22(/2)[(1)/]m l l r + 称为离心项, 此项类似于经典力学中的离
心力，使粒子有向外的倾向（背离原点）。

例题1对无限深球势阱，
()0, ;, .r a V r r a <
⎧=⎨∞>⎩
求其波函数和允许的能量值。

解：在势阱外面，波函数是零；在势阱里面，径向方程为：
()22221,l l d u k u dr r +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
和通常一样，式中
,k ≡
我们的问题是在给定的边界条件()0u a =下求解这个方程。

0l =时比较简单：
()()()22
2
sin cos .d u k u u r A kr B kr dr
=-⇒=+ 不过要记住，实际的径向波函数是()()/R r u r r =，当0r →时，
[cos()]/kr r 趋于无穷大。

因此我们必须选择0B =。

边界条件又要求()sin 0ka =，
因此ka n π=，其中n 是整数。

允许的能量显然为：
222
02
,2n n E ma
π= (1,2,3,....),n = 这同一维无限深方势阱（2.27式）一样。

归一化()u r
得到A =考虑角度部分（此刻的例子中是平凡的，(
)00,Y θφ=，我们得到：
00sin /1n n r a πψ=
[注意到定态是由三个量子数来标记，,n l 和m ，(),,nlm r ψθφ。

而能量：
nl E ，仅与,n l 有关。

]
方程 4.41的一般解（对任意整数l ）：
()()(),l l u r Arj kr Brn kr =+
其中()l j x 是l 阶的球Bessel 函数 ，()l n x 是l 阶的球Neumann 函数。

它们的定义如下：
()()()()1sin 1cos ; .l
l l l d x
d x j x x n x x x dx x x dx x
⎛⎫⎛⎫≡-≡-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 在原点，球贝塞尔函数是有限的，但球Neumann 函数是无穷大。

这
样，我们必须
选择0l B =，因此：
()().l R
r Aj kr =
我们还有边界条件，()0R a =。

显然k 必须满足：
()0;l j ka =
即（ka ）是第l 阶球Bessel 函数的零点。

球Bessel 函数是振荡的,每个函数都有无限多个零点。

可是（不幸的是）这些零点不是处在优美的敏感点（如,n n π，或类似的点）；它们必须通过数值计算得到。

总之，边界条件要求
1
,nl k a
β=
这里nl β是l 阶球Bessel 函数的第n 个零点。

这样允许的能量值可以写作
22
2
,2nl nl E ma
β= 波函数为：
()()(),,/,,nl
m
nlm l nl l r A j r a Y ψθφβθφ=
式中常数nl
A 由归一化确定。

每个能级都是()21l +重简并的，因为对应每个l 值，有()21l +个不同的m 值。

类氢原子 径向方程
22
22
2201(1).242d u Ze l l u uE m dr r m r πε⎡⎤
+-+-+=⎢⎥⎣⎦
能量本征值
221
222
01, 1,2,3,...24E
m Ze E n n n πε⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
波函数
()()(),,,.m
n l m n
l l r R r Y ψθφθφ= 简并度
2n D n = (不考虑自旋, 考虑自旋为22n ) 例题2 三维谐振子的哈密顿为
222
0122
p H m r m ω=+
试求2,,z H L L 的共同本征函数
解: 本来这个哈密顿可以分为x,y,z 三个方向上三个谐振子的方程,不过题要求求H ,2L ,z L 的共同本征函数,所以需要按求解氢原子本征函数的方法做 方便起见,令
201
2
m λω=
H ,2L ,z L 的共同本征函数表示为
1()(,)()(,)m m
l l R r Y u r Y r
ψθϕθϕ==
其中球谐函数满足角动量平方本征方程
m l m l Y l l Y L 22)1( +=
ψ代入能量本征值方程,得到()u r 满足的径向方程
2222
22
1[(1)]022d u E r l l u m dr ur
λ+--+= 令
ρ=2r 1/4
()()u r ρχ
ρ-= 上式可以化为
222
22
13{[(1)]}02444162d E l l m d m χλχρρρ
+-+-+-= (1)
如果我们令
4'
λ
-=E , '
4
λ=-E 163)1(41)1(''-+=+l l l l
则(1)式写为
22'2
'''
22
{(1)}022d E l l m d m χλχρρρ
+--+= 这个方程在形式上就和类氢原子的径向方程一样了(只不过r 变为了
ρ)(库仑势为r r V /)('λ= 02'<-=Ze λ) (Z 原子核带电数)
“能量” 本征值是
'2'2
'
222
'2()()22(1)m m E n n l ρλλ=-=-++
3,2,1,0=ρn
把
4
'λ
-
=E , '4λ=-
E 16
3
)1(41)1(''-+=+l l l l (1-1) 代入上式,并考虑到
2021μωλ=
, 4
1
2'-=l l 可以得到能量本征值为
)2
3()232(00+=++=N l n E ωωρ
径向波函数为
2
200()3()exp(/2)(,,)
2l r u r R r r r F n l r r μωμω==--+
例题3
(a) 证明三维维里(Virial)定理：（对于定态）
2.r V =⋅∇
(b) 利用三维维里定理证明氢原子满足：
;n T E =-
2.n E =
(c) 利用维里定理证明三维谐振子满足：
2.n T E ==
证: (a)由
[][][][][][
][]
]222
,,(),,,,,,,,,1112x y z x y z x x y y z
z x y z
d i i
H H xp yp zp dt i i i
H xp H yp H zp i i i i i i
x H p H x p y H p H y p z H p H z p V V V x p y p z p x m y m z m V T
⋅⎡⎤=
⋅=++⎣⎦⎡⎤=++⎣⎦
⎡⎤=++++⎣⎦∂∂∂=-+-+-+∂∂∂=-⋅∇+r p
r p r
对于定态期待值不随时间变化,所以
2.r V =⋅∇ (b) 对氢原子
22
04e V r πε==
222222222, , V x V y V z
V V V x x y z y x y z z x y z
∂∂∂=-=-=-∂++∂++∂++ 所以
V V ⋅∇=-r
2002n n n
T V E E V E +=→+=→=-→=
(c) 对三维谐振子势
22
222222
2222211()
22, , ,
()2V m r m x y z V V V m x m y m z x y z V m x y z V
ωωωωωω==++∂∂∂===∂∂∂⋅∇=++=r
所以
22/2
n n T E T V T V V E =→=+==→==。