您的位置：360文档中心› 高中数学竞赛专题讲座之六：立体几何

高中数学竞赛专题讲座之六：立体几何

高中数学竞赛专题讲座之六：立体几何
高中数学竞赛专题讲座之六：立体几何

竞赛试卷选讲之六：立体几何

一、选择题部分

1. （2006吉林预赛）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过顶点A 1作直线l ，使l 与直线AC 和直 线BC 1所成的角均为60°，则这样的直线l 的条数为 （ C ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 大于3

2.（2006陕西赛区预赛）如图2，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为棱

AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面

AB 11C D 均成030角，则这样的直线l 的条数为（B ）

A. 1 B .2 C. 3 D .4

3．(集训试卷)设O 是正三棱锥P-ABC 底面是三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA 、PB 的延长线分别交于Q 、R ，则和式

PS PR PQ 111++ （ ）

A ．有最大值而无最小值

B ．有最小值而无最大值

C ．既有最大值又有最小值，两者不等

D ．是一个与面QPS 无关的常数

解：设正三棱锥P-ABC 中，各侧棱两两夹角为α，PC 与面PAB 所成角为β，则v S-

PQR =

31S △PQR ·h=2

1(31PQ ·PRsin α)·PS ·sin β。另一方面，记O 到各面的距离为d ，则v S-PQR =v O-PQR +v O-PRS +v O-PQS ，31S △PQR ·d=31△PRS ·d+31S △PRS ·d+3

1△PQS ·d=213?d PQ ·PRsin α+213?d PS ·PRsin α+213?d PQ ·PS ·sin α，故有：PQ ·PR ·PS ·sin β=d(PQ ·PR+PR ·PS+PQ ·PS)，即

d

PS PR PQ βsin 111=++=常数。故选D 。 4．（2006年江苏）过空间一定点P 的直线中，与长方体1111ABCD A BC D -的12条棱所在直线成等角的直线共有（C ）

A ．0条

B ．1条

C ．4条

D ．无数多条

5.（2006天津）已知P 为四面体ABC S -的侧面SBC 内的一个动点，且点P 与顶点S 的

距离等于点P 到底面ABC 的距离，那么在侧面SBC 内，动点P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是

（ D ）

A ．圆或椭圆

B ．椭圆或双曲线

C ．双曲线或抛物线

D ．抛物线或椭圆

6．（2006年南昌市）四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是单位正方形(,,,A B C D 按反时针

方向排列),侧棱PB 垂直于底面,且PB ＝3,记APD θ∠=,则sin θ＝（C ）

A ．22

B ．33

C ．55

D ．6

6 7．（2005年浙江）正方体的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形

(4) 正五边形 (5) 正六边形； 下述选项正确的是（B ）

A ．(1)(2)(5)

B ．(1)(2)(4)

C ．(2)(3)(4)

D ．(3)(4)(5)

【解】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。

∴选 【 B 】

8．(2005全国)如图，D C B A ABCD ''''-为正方体。任作平面α与对角线C A '垂直，使得

α 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（ ）

A ．S 为定值，l 不为定值

B ．S 不为定值，l 为定值

C ．S 与l 均为定值

D ．S 与l 均不为定值

解：将正方体切去两个正三棱锥A A BD '-与C D B C '''-后，得到一个以平行平面

A BD D

B

C '''与为上、下底面的几何体V ，V 的

每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W

的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，

将V 的侧面沿棱B A ''剪开，展平在一张平面上，得到一个

11A B B A ''，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中

1E E '），显然11A A E E '='，故l 为定值.

当E '位于B A ''中点时，多边形W 为正六边形，而当E '移至A '处时，W 为正三角

形，易知周长为定值l 的正六边形与正三角形面积分别为

2243l 与236

3l ，故S 不为定值。选B.

9.（2006浙江省）在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（C ）

A ．2006

B ．21003

C ．100310032-

D ．100210032

-. 解： 正2n 边形n A A A 221 ，对角线共有 )32()32(22

1-=-??n n n n 条. 计算与一边21A A 平行的对角线条数，因2121//++n n A A A A ，与21A A 平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C.

10．（2005四川）如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体

图形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的

有120条.

解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条

线，

共2762312224=?=C ，其中所有的棱都在原立方体的表

面，

有36条.原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以 连202

85=?条，6个面共120条都在原立方体的表面，除此 之外的直线都在原立方体的内部.

二、填空题部分

1．（2006年南昌市）棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为s ,则s 的最大值为_12

_. 2．（2006天津）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球

在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于 3

3144π- ． 3．（2006年上海）在△ABC 中，已知30,105A B ∠=?∠=?，过边AC 上一点D 作直线

DE ，与边AB 或者BC 相交于点E ，使得60CDE ∠=?，且DE 将△ABC 的面积两等

分，则2CD AC ??= ??? 6 ． 4．（2006年上海）在直三棱柱中，已知底面积为s 平方M ，三个侧面面积分别为m 平方

M ，

n 平方M ，p 平方M ，则它的体积为

立方M ．

5．（2006陕西赛区预赛）用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和

焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于 33 . 6．（2006年江苏）长方体1111ABCD A BC D -中，已知14AB =，13AD =，则对角线

1AC 的取值范围是 ()4,5 ．

7．(2005全国)如图，四面体DABC 的体积为6

1，且满足,32,45=+

+?=∠AC BC AD ACB 则=CD 3. 解：,6

1)45sin 21(31=≥?????DABC V AC BC AD 即.12≥??AC

BC AD 又,32233≥?

?≥++=AC BC AD AC

BC AD 等号当且仅当12===AC

BC AD 时成立，这时⊥=AD AB ,1面ABC ，3=∴DC .

8．（2004 全国）如图、正方体1111ABCD A BC D -中，二面角11A BD A --的度数是____.

解：连结1,D C ⊥1作CE BD ，垂足为E ，延长CE 交1A B 于F ，则1FE BD ⊥， 连结AE ，由对称性知1,AE BD FEA ⊥∴∠是二面角

11A BD A --的平面角.连结AC ，设AB=1，则

11AC AD BD === 1Rt ABD ?在

中，11AB AD AE BD ?==

第7题图

在22222

242213cos 4222

3AE CE AC AE AC AEC AEC AE CE AE -+--?∠====-?中,. 0120,AEC FEA AEC ∴∠=∠∠而是的补角，060FEA ∴∠=.

高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量

高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量 一、三角函数部分 1．(集训试题)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且 A C ， A B sin sin 都是方程log b x=log b (4x-4)的根，则△ABC （B ） A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形 C ．是等腰直角三角形 D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形 解：由log b x=log b (4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以x 1=x 2=2，故C=2A ，sinB=2sinA ， 因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A ，∴3sinA-4sin 3A=2sinA ， ∵sinA(1-4sin 2A)=0，又sinA ≠0，所以sin 2A= 41，而sinA>0，∴sinA=2 1. 因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B 。 2．（2006吉林预赛）已知函数y=sinx+acosx 的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是（C ） A ．x=π/3 B ．x=2π/3 C ．x=11π/6 D ．x=π 3．2006年南昌市）若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不确定 4．（2006年南昌市）若sin tan a θθ=+,cos cot b θθ=+,则以下诸式中错误的是( B ) A ．sin θ= 11+-b ab B ．cos θ=1 1+-a ab C ．tan cot θθ+=) 1)(1(21)1(2++-+++b a ab b a D ．tan cot θθ-=)1)(1()2)((++++-b a b a b a 5．（2006安徽初赛）已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C = 90°，D 、E 为AB 边上的两个点，且点D 在AE 之间， ∠DCE = 45°，则以AD 、DE 、EB 为边长构成的三角形的最大角是 （ ） A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不能确定 6．（2006陕西赛区预赛）若3 3sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是(C) A ．[0, ]4 π B ．[,]4 ππ C ．5[, ]4 4ππ D ．3[,)42 ππ 7．（2006年江苏）在△ABC 中，1tan 2A =，310 cos 10 B =．若△AB C 的最长边为1，则最短边的长为 （ D ） A ．455 B ．355 C ．255 D ．5 5 8．(2005年浙江)设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x x x f 2cos 2 sin )(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解】： 2)(1= x f 是以任何正实数为周期的周期函数；)(2x f 不是周期函数。 因为x sin 是以π21=T 为周期 的周期函数, x 2cos 是以222π =T 为周期的周期函数, 而1T 与2T 之比不是有理数，故)(2x f 不是周期函数。 )(3x f 不是周期函数。 因为2sin x 是以π221=T 为周期的周期函数, x 2cos 是以2 22π =T 为周期的周期函数,

高中数学竞赛专题讲座(解析几何)

高中数学竞赛专题讲座（解析几何） 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0)， 参数方程为? ? ?==θθ sin cos b y a x （θ为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为 12 2 22=+b y a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 122 22=+b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为 c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且a c e =，由c 2+b 2=a 2 知0b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。 若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为 12020=+b y y a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；

高中数学竞赛专题讲座数列

高中数学竞赛专题试题讲座——数列 一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2 2 45 n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ） ()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a 2（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （ ） A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125 1 的最小整数n 是 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为- 3 1 的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)= 3 11] )31 (1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1 >250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。 5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1= n n x x -+313，则 ∑=2005 1 n n x = （ ） A ．1 B ．-1 C ．2+3 D ．-2+3 解：x n+1= n n x x 3 3 133 - +，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6 π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有 ∑===2005 1 11n n x x 。故选A 。 6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、 的前n 项和分别为n A ，n B 记

高中数学竞赛专题讲座---复数

复 数 专题一 复数与数列 复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握． 例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48，公比为)26(4 1 i +的等比复数列． （1）求4z ． （2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成 ,,,,21n a a a ，试求3a ． （3）求无穷级数 ++++n a a a 21的和． 解：（1）)6sin 6(cos 2 1)26(41ππi i r +=+= ．i r z 2124834==． （2）使r 为实数的最小自然数是6，数列 ,,,,21n a a a 是首项为48，公比为6 r 的等比数列．所以 4 3 3= a ． （3）这个级数是公比8 1 6 - ==r 的无穷等比级数，从而和3 128 ) 8 1(148= --=． 例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下，n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1（)2≥n ，k 为正的常数．问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近？（当∞→n 时） 分析：寻求n a 的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论． 解：1+n a 的辐角记作θ，212111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= ． （1）当1=k 时，i n n a a n a n )31()1(211+-+=+-=+，所以)(13 1tan ∞→→+-=n n n θ． （2）当1≠k 时，21111 1)1(a k k k a a n n n --++--=k k k k k n n n ---++ --=-13)13(1111 ∴)()10(1)1(1 3313)13(1tan 1∞→?? ? ??<<>+-→---+=-n k k k k k k k n n n θ． 例3 （1）设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系：),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α，其中)1(≠αα是常复数．当1,010==z z 时，试将n z 的值用α表示． （2）若（1）中的i 31+=α，求在圆10||=z （z 是复数）的内部总共含有n z 的个数． 解：（1）αα=-=-)(0112z z z z ,2 1223)(αα=-=-z z z z (1) 211)(----=-=-n n n n n z z z z α α 于是，从1≠α得，α α--=11n n z ．

高中数学竞赛专题讲座---竞赛中的数论问题

竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件 与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x m ,而令n =m +u 1，n >u 1≥1，得-2 (m -1mu 1)(22112=--u mu m 。同理，又可令m = u 1+ u 2，m >u 2≥1。如此继续下去将得u k+1= u k =1，而11+-+=i i i u u u ，i ≤k 。故n m u u u u k k ,,,,,,121 +是不大于1981的裴波那契数，故m =987，n =1597。 例2. （匈牙利—1965）怎样的整数a ，b ，c 满足不等式?233222c b ab c b a ++<+++ @ 解：若直接移项配方，得01)1()12(3)2(222<--+-+-c b b a 。因为所求的都是整数，所以原不等 式可以改写为：c b ab c b a 234222++≤+++，变形为：0)1()12 (3)2(222≤-+-+-c b b a ，从而只有a =1， b =2， c =1。 2. 整除性条件 对于整数x ，y 而言，我们可以讨论其整除关系：若x |y ，则可令y =tx ；若x ?y ，则可令y =tx +r ，0，则q a b +≥。结合高斯函数，设n 除以k ，余数为r ，则有r k k n n +?? ????=。还可以运用抽屉原理，为同余增设一些条件。整除性与大小顺序结合，就可有更多的特性。 例3. 试证两相继自然数的平方之间不存在自然数a q ）由p ，q 的互素性易知必有q |a ，q |b 。这样，由b >a 即得q a b +≥。（有了三个不等式，就可对 q p 的范围进行估计），从而q n n q a d b d q p q q q ++<+≤=<+=+22)1(111。于是将导致矛盾的结果：0)(2<-q n 。这里，因为a ，b 被q 整除，我们由b >a 得到的不仅是b ≥a +1，而是更强的条件b ≥a +q 。 例4. （IMO-25）设奇数a ，b ，c ，d 满足0

高中数学竞赛专题讲座之解析几何

高中数学竞赛专题讲座之解析几何 一、选择题部分 1、(集训试题)过椭圆C ：12 32 2=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足） ，延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为（ ） A ．]3 3 , 0( B ．]2 3,33( C ．)1,3 3 [ D ．)1,2 3( 解：设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH ，所以 λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：????? =-+= y y x x 11)1(3λ λ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[222=++-y x λλ，所以离心率e=)1,33 [32132232 2∈-=-λλ λ。故选C 。 2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y ＝12上,则抛物线方程为(D) A .212y x =- B .212y x = C .216y x =- D .216y x = 3．（2006年江苏）已知抛物线2 2y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△ POF 是直角三角形，则这样的点P 共有 （ B ） ()A 0个 ()B 2个 ()C 4个 ()D 6个 4．（200 6天津）已知一条直线l 与双曲线122 22=-b y a x （0>>a b ）的两支分别相交于P 、Q 两 点，O 为原点，当OQ OP ⊥时，双曲线的中心到直线l 的距离d 等于（ A ） （A ）22a b ab - （B ）22a b ab - （C ）ab a b 2 2- （D ）ab a b 22- 5. (2005全国)方程 13 cos 2cos 3 sin 2sin 2 2 =-+ -y x 表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线 解：),2 3cos()22cos(,22 322 0,32π ππ π π π->-∴< - <-< ∴>+ 即.3sin 2sin >又 ,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32 ,220>-∴<>∴<<< <ππ π方程表示的曲线是椭圆。 ) ()4 232sin(232sin 22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=--- π

高中数学竞赛专题讲座---平面几何选讲

立身以立学为先，立学以读书为本 平面几何选讲 反演变换 基础知识 一. 定义 1. 设O 是平面π上的一个定点，k 是一个非零常数．如果平面π的一个变换，使得对于平面π上任意异 于O 的点A 与其对应点'A 之间，恒有（1）' ,,A O A 三点共线；（2）'OA OA k ?=，则这个变换称为平面π 的一个反演变换，记做(,)I O k ．其中，定点O 称为反演中心，常数k 称为反演幂，点'A 称为点A 的反点． 2. 在反演变换(,)I O k 下，如果平面π的图形F 变为图形'F ，则称图形'F 是图形F 关于反演变换(,)I O k 的反形．反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反图形． 3. 设两条曲线u v 、相交于点A ，l 、m 分别是曲线u v 、在点A 处的切线（如果存在），则l 与m 的交角称为曲线u v 、在点A 处的交角；如果两切线重合，则曲线u v 、在点A 处的交角为0．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交角．当两圆的交角为90时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为90时，称为直线与圆正交． 二. 定理 定理1. 在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点． 定理2. 在反演变换(,)I O k 下，设A B 、两点（均不同于反演中心O ）的反点分别为' ' A B 、，则有''B A = ''k A B AB OA OB = ?． 定理3. 在反演变换下，过反演中心的直线不变． 定理 4. 在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线． 定理5. 在反演变换下，不过反演中心的圆的反形仍是不过反演中心的圆． 定理6. 在反演变换下，两条曲线在交点处的交角大小保持不变，但方向相反． 定理7. 如果两圆或一圆一直线相切于反演中心，则其反形是两条平行直线；如果两圆或一圆一直线相切于非反演中心，则其反形（两圆或一圆一直线）相切． 定理8. 如果两直线平行，则其反形（两圆或一圆一直线）相切于反演中心． 典型例题 一. 证明点共线 例1. ABC 的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ， 设L 、M 、N 分别是EF 、FD 、DE 的中点．求证：ABC 的外心、 内心与LMN 的外心三点共线． 证明：如图，设ABC 的内心为I ，内切圆半径为r ．以内心I 为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换2 (,)I I r ，则A 、B 、C 的 反点分别为L 、M 、N ，因而ABC 的反形是LMN 的外接圆．故ABC 的外心、内心和LMN 的外心三点共线． 二. 证明线共点 例2. 四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设ABP 、BCP 、CDP 、DAP 的 I N M L F E D C B A

高中数学竞赛数列练习

高中数学竞赛专题讲座之 数列 一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2 2 45 n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ） ()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a 2．（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （ ） A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125 1 的最小整数n 是 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为- 3 1 的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)= 3 11] )31 (1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。 5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=n n x x -+313，则 ∑=2005 1 n n x = （ ） A ．1 B ．-1 C ．2+3 D ．-2+3 解：x n+1= n n x x 3 3 133 - +，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6 π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有 ∑===2005 1 11n n x x 。故选A 。 6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、 的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =?+?-?>则数列{n C }的前10项和为 ( C ) A .1010A B + B. 1010 2 A B + C.1010A B ? 7．（2006年浙江省预赛）设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 14321)123(222=++=f 。记)()(1n f n f =，))(()(1n f f n f k k =+，，?=,3,2,1k 则)2006(2006f ＝ (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. （ D ） 解： 将40)2006(=f 记做402006→，于是有 Λ→→→→→→→→→→→164204214589583716402006 从16开始，n f 是周期为8的周期数列。故.145)16()16()16()2006(48250420042006====?+f f f f 正确答案为D 。 二、填空题部分 1.数列{}n a 的各项为正数,其前n 项和n S 满足)1 (21n n n a a S + =,则n a O O O M N N N 15101051146411331121111

高中数学竞赛专题讲座---代数极值

代数极值 很长时间以来,代数极值问题一直是国内外数学竞赛中的热点问题,以下我们就来讨论这类问题的解法. 一、条件极值问题 例1 设非负实数12,,,n a a a 满足121n a a a +++= ,求 1 2 21311 111n n n n a a a a a a a a a a -+ ++ ++++++++++ 的最小值. 解:给所求式中的每一个分式分配一个常数1,通分后,再将12n a a a +++ 用常数1代换, 得 121 21 1 1() 21122n n a a a a a a a a +++++= = +++-- ,同理, 2 132 2112n a a a a a += ++++- ,……, 11 2112n n n a a a a -+=+++- ,令1 11n i n i i j j a y a a === -+ ∑ ∑,则1 2 222222n y n a a a += +++--- . 为了利用柯西不等式,注意到1 1 (2)221n n i i i i a n a n ==-=-=-∑∑,则1 1 1 11(21)(2)22n n n i i i i i i n a a a ===-=-?--∑ ∑∑ 2 2 1 n i n =??= ? ∑….∴2221n y n n +-… ,即222121n n y n n n -=--….当且仅当 121n a a a n ==== 时,上式等号成立.从而,y 有最小值 21 n n -. 评注: 通过添加常数1,再代换常数1使原本复杂的式子简单化,为运用柯西不等式创造了条件. 例2 设1xy =,且0x y >>.求 2 2 x y x y +-的最小值. 解:由于0x y >>,可设(0)x y y y =+??>, 则 22 2 2 ()2()2 x y x y xy y x y x y y +-+?+= = --?…. 当且仅当y ?= 即2 2 x y = = .因此2 2 x y x y +- 的最小值为评注:引进增量起到了降元的作用. 例3 设,,a b c 为正数,且1abc =,求 11121 21 21 a b c + + +++的最小值. 解:设,,(,,)x y z a b c x y z R y z x + ===∈,则 11121 21 21 222y z x a b c y x z y x z + += + + ++++++. 由柯西不等式得,[(2)(2)(2)]222y z x y y x z z y x x z y x z y x z ? ?+++++?+ + ?+++?? 2 ()x y z ++….

高中数学竞赛专题讲座有哪些

高中数学竞赛专题讲座有 哪些 篇一：高中数学竞赛专题讲座之数列 高中数学竞赛专题讲座之数列 一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列?an?的通项公式an? ?A?a1 ?B?a2 2 ，则?an?的最大项是（B ） n2?4n?5 ?C?a3 ?D?a4 23 2．（2006安徽初赛）正数列满足a1?1,a2?10,anan?2?10an?t?n?3?，则lg(a100)? （） A、98 B、99 C、100 D、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，?，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、?sn、的算术平均值，

其中sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和” 为2007，那么数列(1，p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”为（ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|< 1 的最小整数n是（）125 B．6 C．7 D．8 A．5 解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为- 1 的等比数列， 3 1 8[1?(?)n] 1n1n13∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)==6-6×(-)，∴|Sn-n-6|=6×()<，得： 1331251?3

3250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。 5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1= A．1 B．-1 xn?13?xn 2005 ，则 ?x n?1 n = （） C．2+3 D．-2+3 解：xn+1= xn?1? xn3 3 ?3，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=-2-3, 6 2005 x4=-1, x5=-2+3, x6=2-3, x7=1，??，∴有

高中数学竞赛专题讲座---专题训练_

同余的概念与应用 概念与性质 1. 定义：若整数a,b 被整数m(m≥1)除的余数相同,则称a 同余于b 模m,或a,b 对模m 同余.记为a≡b(modm).余数r:0≤r<1. 2. 性质：(ⅰ)a≡b(modm)?m|a-b,即a=b+mk,k ∈Z. (ⅱ)若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm). (ⅲ)若a 1≡b 1(modm),a 2≡b 2(modm)，则a 1±a 2≡b 1±b 2(modm),a 1a 2≡b 1b 2(modm); (ⅳ)设f(x)=a n x n +a n-1x n-1+…+a 1x+a 0,g(x)=b n x n +b n-1x n-1+…+b 1x+b 0是两个整系数多项式,满足a i ≡ b i (modm)(0≤i≤n).若a≡b(modm),则f(a)≡f(b)(modm).(ⅴ)ac≡bc(modm)?a≡b(mod ) ,(m c m ), (ⅵ)若m≥1,(a,m)=1,则存在整数c 使得ac≡1(modm).称c 为a 对模m 的逆或倒数,记为c=a -1(modm); (ⅶ)???≡≡) (mod )(mod 21m b a m b a 同时成立?≡a b (mod[m 1,m 2]);(ⅷ)若a≡b(modm 1),a≡b(modm 2),且(m 1,m 2)= 1,则a≡b(modm 1m 2). 3. 剩余类：设m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分成m 类，相应m 个集合记为：K 0,K 1,…,K m-1,其中K r ={qm+r|q ∈Z,0≤余数r≤m -1}称为模m 的一个剩余类。 性质：(ⅰ)i m i K Z 10-≤≤=Y 且K i ∩K j =φ(i≠j). (ⅱ)每一整数仅在K 0,K 1,…,K m-1一个里. (ⅲ)对任意a 、b ∈Z ，则a 、b ∈K r ?a≡b(modm). 4. 完全剩余系：设K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类，从每个K r 里任取一个a r ，得m 个数a 0,a 1,…,a m-1组成的数组，叫做模m 的一个完全剩余系。0,1,2,…,m -1叫做模m 的最小非负完全剩余系。 性质：(ⅰ)m 个整数构成模m 的一完全剩余系?两两对模m 不同余。 (ⅱ)若(a,m)=1，则x 与ax+b 同时跑遍模m 的完全剩余系。 5. 既约剩余系：如果K r 里的每一个数都与m 互质，则K r 叫与m 互质的剩余类，在与模m 互质的全部剩余类中，从每一类任取一个数所做成的数组，叫做模m 的一个既约剩余系。 性质：(ⅰ)K r 与模m 互质?K r 中有一个数与m 互质； (ⅱ)与模m 互质的剩余类的个数等于)m (?; (ⅲ)若(a,m)=1,则x 与ax+b 同时跑遍模m 的既约剩余系。 (ⅳ)设(a,p)=1,则d 0是a 对于模p 的阶?a d o≡1(modp),且1,a,…,a do-1对模p 两两不同余.特别地,d o = Φ(p)?1,a,…,a Φ(p)-1构成模p 的一个既约剩余系. 例1. 设x i ∈{-1,1},i=1,2,…,101,证明:x 1+2x 2+…+100x 101≠0. 证明:∵x 1+2x 2+…+100x 101≡1+2+…+101≡51≡1(m od2)∴成立. 例2. 设p 为质数.求证:)(mod p p n C p n ?? ????≡. 证明:∵n≡0,1,2,…,p -1(modp)∴必有某一个i(0≤i≤p -1)使得n≡i(modp),从而p i n p n -=?? ????.∴n(n- 1)…(n -i+1)(n-i-1)…(n -p+1)≡i(i -1)…1(p -1)…(i+1)≡(p -1)!(modp)，∴(p-1)!p n C =(p-1)!n(n-1)…(n -i+1)(n-i-

高中数学竞赛专题讲座27函数

高中数学竞赛专题讲座27 －函数 1.函数的基本概念 一个函数由它的自变量允许取值的范围(即定义域)和对应关系所确定，并由此确定了函数值的变化范围(即值域).定义域、对应关系、值域称为函数的三要素. (1)求函数的定义域 例1(1982年西安初中竞赛题)已知函数 求自变量取值范围. 解 -2＜x＜-1，或-1＜x＜0，或0＜x＜2，或2＜x≤3.或者写成-2＜x≤3，且x≠0，2. 例2(1982年大连海运学院研究生招考题)设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，试求f(x+a)+f(x-a)的定义域(a＞0). 解由 若0＜a＜时,x∈[a,1-a]; 若a＞时,函数关系不存在. (2)关于对应法则 若把自变量比作将要加工的原料，那么对应法则f就是加工手段和规则.正确认识对应法则是深刻理解函数概念的一个重要方面. 例3(美国34届中学生邀请赛题)设f是一个多项式，对所有实数x，f(x2+1)=x4+5x2+3.对所有实数x，求f(x2-1). 分析若能找到函数的对应法则f，即自变量是怎样“加工处理”的，此题易解，下面给出两种解法. ①配凑法：f(x2+1)=x4+5x2+3 =(x2+1)2+3(x2+1)-1， ∴f(x)=x2+3x-1， ∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1 =x4+x2-3. ②换元法令 x2+1=t，则x2=t-1.

由f(x2+1)=x4+5x2+3有 f(t)=(t-1)2+5(t-1)+1=t2+3t-1 ∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1 =x4+x2-3. 例4 (1984年上海青少年数学爱好者协会招生试题)设函数f(x)=2x(ax2+bx+c)满足等式f(x+1)-f(x)=2x·x2，求a+b+c的值. 解(待定系数法)f(x)=2x(ax2+bx+c)， f(x+1)=2x+1［a(x+1)2+b(x+1)+c］ =2·2x［(ax2+bx+c)+2ax+a+b］ =2f(x)+2·2x(2ax+a+b) 由f(x+1)-f(x)=2x·x2有 2x(ax2+bx+c)+2·2x［2ax+a+b］=2x·x2， 在上式中， 令x=0得 2a+2b+c=0；① 令x=1得 7a+3b+c=0；② 令x=2得 14a+4b+c=0.③ 由①，②，③解出 a=1，b=-4，c=6， ∴ a+b+c=3. (3)关于函数方程 这个问题是前一个问题的继续，我们把含有未知函数的等式叫函数方程，把寻求未知数的过程，或证明函数方程无解叫解函数方程. 例5 对于一切实数x，y，函数满足f(x·y)=f(x)·f(y)，且f(0)≠0.求f(1987)和f(1988). 解∵f(x·y)=f(x)·f(y)，取y=0，得f(x·0)=f(x)f(0)f(0)=f(x)·f(0).又f(0)≠0，∴f(x)=1，∴f(1987)=f(1988)=1. 例6 (第32届美国中学生数学竞赛题)函数f(x)在x=0处没有定义，但对所有非零实数x有f(x)+2f=3x.满足方程f(x)=f(-x)的实数( ). (A)恰有一个 (B)恰有两个 (C)不存在 (D)有无穷多个，但并非一切非零实数 (E)是一非零实数 解 f(x)+2f=3x.① 以换x得 f+2f(x)= ②

高中数学竞赛应该怎么学习

高中数学竞赛应该怎么学习 1.思维启迪 数学竞赛与高考数学的差异不只是在命题大纲上，更表现在思维方式上。如果说一个在数学方面不是明显太弱的学生可以通过大量的难题训练来让自己的高考数学成绩提高的话，那么在数学竞赛上这是完全行不通的。从高考数学到竞赛数学，整个思维方式和学习方法的转变，如果没有一位有能力的教练的帮助，必然事倍功半。很多竞赛高手在后期的能力都是超越当初的入门教练的，但是教练在入门时提供的如果思考如果分析如果解题如何总结的方法却尤为重要。 2.专题学习与思维养成 这部分一共分为代数、平面几何、数论、组合四个模块，学生应当对四块作专题学习，并在学习过程中熟悉并运用竞赛思维。整个学习过程最后可以有教练引导，但学生的自主学习意愿与自主学习能力尤为重要。 3.专题分析与训练 竞赛中有很多重要的题型或是模型最好是由教练来点拨，辅之以足够的训练可以收获良好的效果。 4.赛前模拟 赛前模拟的意义不言自明。 全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。 全国高中数学联赛(二试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是：

1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理; 三角形旁心、费马点、欧拉线; 几何不等式; 几何极值问题; 几何中的变换：对称、平移、旋转; 圆的幂和根轴： 面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数; 三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数; 递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式; 第二数学归纳法; 平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用; 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根; 多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*; n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理; 函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。 3.初等数论

高中数学竞赛专题讲座---专题训练

同余的概念与应用 概念与性质 1. 定义：若整数a,b 被整数m(m≥1)除的余数相同,则称a 同余于b 模m,或a,b 对模m 同余.记为a≡b(modm).余数r:0≤r<1. 2. 性质：(ⅰ)a≡b(modm)?m|a-b,即a=b+mk,k∈Z. (ⅱ)若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm). (ⅲ)若a 1≡b 1(modm),a 2≡b 2(modm)，则a 1±a 2≡b 1±b 2(modm),a 1a 2≡b 1b 2(modm); (ⅳ)设f(x)=a n x n +a n-1x n-1+…+a 1x+a 0,g(x)=b n x n +b n-1x n-1 +…+b 1x+b 0是两个整系数多项式,满足a i ≡ b i (modm)(0≤i≤n).若a≡b(modm),则f(a)≡f(b)(modm).(ⅴ)ac≡bc(modm)?a≡b(mod ) ,(m c m ), (ⅵ)若m≥1,(a,m)=1,则存在整数c 使得ac≡1(modm).称c 为a 对模m 的逆或倒数,记为c=a -1 (modm); (ⅶ)???≡≡) (mod )(mod 21m b a m b a 同时成立?≡a b (mod[m 1,m 2]);(ⅷ)若a≡b(modm 1),a≡b(modm 2),且(m 1,m 2)= 1,则a≡b(modm 1m 2). 3. 剩余类：设m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分成m 类，相应m 个集合记为：K 0,K 1,…,K m-1,其中K r ={qm+r|q∈Z,0≤余数r≤m -1}称为模m 的一个剩余类。 性质：(ⅰ)i m i K Z 1 0-≤≤= Y 且K i ∩K j =φ(i≠j). (ⅱ)每一整数仅在K 0,K 1,…,K m-1一个里. (ⅲ)对任意a 、b∈Z，则a 、b∈K r ?a≡b(modm). 4. 完全剩余系：设K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类，从每个K r 里任取一个a r ，得m 个数a 0,a 1,…,a m-1组成的数组，叫做模m 的一个完全剩余系。0,1,2,…,m -1叫做模m 的最小非负完全剩余系。 性质：(ⅰ)m 个整数构成模m 的一完全剩余系?两两对模m 不同余。 (ⅱ)若(a,m)=1，则x 与ax+b 同时跑遍模m 的完全剩余系。 5. 既约剩余系：如果K r 里的每一个数都与m 互质，则K r 叫与m 互质的剩余类，在与模m 互质的全部剩余类中，从每一类任取一个数所做成的数组，叫做模m 的一个既约剩余系。 性质：(ⅰ)K r 与模m 互质?K r 中有一个数与m 互质； (ⅱ)与模m 互质的剩余类的个数等于)m (?; (ⅲ)若(a,m)=1,则x 与ax+b 同时跑遍模m 的既约剩余系。 (ⅳ)设(a,p)=1,则d 0是a 对于模p 的阶?a d o≡1(modp),且1,a,…,a do-1 对模p 两两不同余.特别地,d o = Φ(p)?1,a,…,a Φ(p)-1 构成模p 的一个既约剩余系. 例1. 设x i ∈{-1,1},i=1,2,…,101,证明:x 1+2x 2+…+100x 101≠0. 证明:∵x 1+2x 2+…+100x 101≡1+2+…+101≡51≡1(mod2)∴成立. 例2. 设p 为质数.求证:)(mod p p n C p n ?? ????≡. 证明:∵n≡0,1,2,…,p -1(modp)∴必有某一个 i(0≤i≤p -1)使得 n≡i(modp),从而 p i n p n -=?? ????.∴n(n - 1)…(n -i+1)(n-i-1)…(n -p+1)≡i(i -1)…1(p -1)…(i+1)≡(p -1)!(modp) ，

高中数学竞赛专题讲座(解析几何)

高中数学竞赛专题讲座（解析几何） 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0)， 参数方程为? ? ?==θθ sin cos b y a x （θ为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为 12 2 22=+b y a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 122 22=+b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别 为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=， 与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且a c e =，由c 2+b 2=a 2知0b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。 若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为 12020=+b y y a x x ；

相关主题
相关文档
最新文档