高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量
全国高中数学竞赛专题-三角函数
全国高中数学竞赛专题-三角函数三角函数是数学中的一个重要分支，它与三角学和几何学密切相关，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在全国高中数学竞赛中，三角函数是一个常见的考点，掌握好相关知识对于获得好的成绩至关重要。
首先，我们来介绍一下三角函数的基本概念。
在直角三角形中，定义了三个基本三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
这些函数的值与直角三角形的各边长之间的关系密切相关，可以通过三角函数表格或计算器查到具体的数值。
接着，我们来讨论一下三角函数的性质和相关公式。
首先是奇偶性。
正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数的奇偶性与正弦函数相同，即tan(-x)=-tan(x)。
其次是周期性。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)；正切函数的周期是π，即tan(x+π)=tan(x)。
最后是相关公式。
三角函数之间有一系列的相关公式，如正弦函数和余弦函数之间的勾股定理：sin^2(x) + cos^2(x) = 1；另外还有和差公式、积化和差公式等。
在解题过程中，掌握好三角函数的这些性质和公式，是非常重要的。
很多题目需要在使用相关公式的基础上，灵活运用三角函数的性质，进行合理的转化和变形。
这不仅要求对三角函数的概念有深刻的理解，还需要通过大量的练习和思考，掌握一些解题的技巧和方法。
此外，在解题过程中，还需要掌握一些常见三角函数的特殊值。
例如，sin0=0，sinπ/6=1/2，sinπ/4=√2/2，sinπ/3=√3/2等。
对于这些特殊值的掌握，有助于简化计算和验证答案。
最后，我们来介绍一些常见的三角函数应用题。
在数学竞赛中，三角函数的应用题常常涉及到几何问题、物理问题以及实际生活中的应用问题。
比如，在几何问题中，可以根据角度和边长给出的条件，计算出未知边长或角度的值。
三角函数与向量基本概念
三角函数与向量基本概念第一章：三角函数 §1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设22r x y =+）sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、 特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.α6π4π 3π2π23π34ππ32π2πsin αcos αtan α§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：αααcos sin tan =. §1.3、三角函数的诱导公式TMA O Pxy（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）1、 诱导公式一：()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、 诱导公式二: ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyx2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πo y x 1-1y=sinx -3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πo y x图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos = x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1] [-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性 π2=Tπ2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性 Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增对称性 Z k ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2k ππ+无对称轴 对称中心,0)(2k π§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位()s i n y x ϕ=+ （左加右减）横坐标不变()s i n y A xϕ=+纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍平移ϕω个单位()s i n y A xωϕ=+ （左加右减） 平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2y y A -=，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.第二章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式 记住15°的三角函数值：α αsinαcos αtan12π426-426+32-§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =， 变形： 12sin cos sin 2ααα=.2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=αα2sin 21-=.变形如下： 升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩ 3、ααα2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y（其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ). 第三章：解三角形 1、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===. （其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ⇔= 用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。
高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座33三角函数
比赛讲座 33－三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小. 三角函数的实质就是用线段长度之比来表示角的大小，进而将两个基本量联系在一同，使我们能够借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题. 三角函数不单是一门风趣的学识，并且是解决几何问题的有力工具. 1．角函数的计算和证明问题在解三角函数问题以前，除了熟知初三教材中的相关知识外，还应当掌握：（1）三角函数的单一性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga 随 a 的值增大而减小；当 a 为钝角时，利用引诱公式转变为锐角三角函数议论.注意到 sin45 °=cos45°=, 由 (1) 可知 , 当时 0＜ a＜45°时 ,cosa ＞ sina; 当 45°＜ a＜90°时 ,cosa ＜ sina.(2)三角函数的有界性 |sina| ≤1,|cosa| ≤1,tga 、 ctga 可取随意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出） .例 1（ 1986 年全国初中数学比赛备用题）在△ABC 中，假如等式sinA+cosA=建立，那么角A是（）（A）锐角（B）钝角（C）直角剖析对 A 分类，联合sinA 和 cosA 的单一性用列举法议论.解当 A=90°时， sinA 和 cosA=1；当 45°＜ A＜90°时 sinA ＞，cosA＞0，∴s inA+cosA＞当 A=45°时， sinA+cosA=当 0＜ A＜45°时， sinA ＞ 0,cosA ＞∴sinA+cosA＞∵1,都大于.∴裁减（ A）、（ C），选（ B） .例 2（ 1982 年上海初中数学比赛题）ctg67 °30′的值是（）（A）-1（B）2-（C）-1（D）（ E）剖析结构一个有一锐角恰为67°30′的 Rt△，再用余切定义求之.D 使 AD=AC，连DC，则解如图 36-1 ，作等腰 Rt△ABC，设∠ B=90°， AB=BC=1.延伸 BA到AD=AC= ，∠ D=22.5°, ∠DCB=67.5°. 这时，ctg67 °30′=ctg ∠DCB=∴选 (A).例 3(1990 年南昌市初中数学比赛题 ) 如图 , 在△ ABC中, ∠A所对的 BC边的边长等于 a, 旁切圆⊙O的半径为 R, 且分别切 BC及 AB、 AC的延伸线于 D， E，F. 求证 :R≤a·O′, 分别切三边于G,H,K. 由对称性知GE=KF(如图36-2).设 GB=a，证明作△ ABC的内切圆BE=x， KC=y,CF=b. 则x+a=y+b,①且 BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是 ,x-a=y-b.②①+②得 ,x=y. 进而知 a=b.∴G E=BC=a.设⊙ O′半径为r. 明显 R+r≤OO′ ( 当 AB=AC)时取等 .作 O′M⊥EO 于 M,则 O′M=GE=a,∠OO′M=∴R+r≤两式相加即得R≤.例 4（ 1985 年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2 边形 A A A A（ n 为自然数）各内角都是1234n+230°的整数倍，已知对于x 的方程：x 212=0①+2xsinA +sinAx2+2xsinA 2+sinA 3=0②x2+2xsinA 3+sinA 1=0③都有实根，求这凸4n+2 边形各内角的度数 .解∵各内角只好是、、、，∴正弦值只好取当 sinA 1=时，∵ sinA2≥sinA 3≥∴方程①的鉴别式△1 =4（sin2A1-sinA 2）≤440方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1≠.当 sinA 1=时，sinA2≥，sinA3≥，∴方程①的鉴别式△=4（ sin A -sinA） =0.1212方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1=.综上所述，可知sinA 1=1， A1=.同理， A2=A3=.这样其他4n-1 个内角之和为这些角均不大于又 n 为自然数，∴n=1, 凸 n 边形为 6 边形 , 且A4+A5 +A6=4×2.解三角形和三角法定理推论设a、 b、 c、 S 与 a′、 b′、 c′、 S′. 若我们在正、余弦定理以前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由 .（1）解三角形例 5（第 37 届美国中学生数学比赛题）在图 36-3 中，AB是圆的直径， CD是平行于 AB的弦，且AC和 BD订交于 E，∠ AED=α , △CDE和△ ABE的面积之比是 ( ).22(A)cos α (B)sin α (C)cos α (D)sinα (E)1-sin α解如图，由于AB∥DC,AD=CB,且△ CDE∽△ ABE,BE=AE,所以连接 AD，由于 AB是直径，所以∠ ADB=在直角三角形ADE中， DE=AEcosα .∴应选 (C).例 6(1982年上海初中数学比赛题) 如图 36-4, 已知 Rt△斜边 AB=c,∠A=α , 求内接正方形的边长.解过 C作 AB的垂线 CH，分别与GF、 AB 交于 P、 H，则由题意可得又∵△ ABC∽△ GFC，∴，即（2）三角法.利用三角知识（包含下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法. 其特色是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，经过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，进而减少几何计算和证明中技巧性很强的作协助线的困难 .例 7（ 1986 年全国初中数学比赛搜集题）如图36-5 ，在△ ABC中， BE、 CF是高，∠ A=，则△ AFE 和四边形FBCE的面积之比是（）（A）1∶2（ B）2∶3（ C）1∶1（ D）3∶4解由 BE、 CF 是高知 F、B、 C、 E 四点共圆，得AF·AB=AE·AC.在 Rt△ABE中，∠ ABE=，∴S△AFE∶S FBCE=1∶1.应选(C).例 8(1981年上海中学生数学比赛题) 在△ ABC中∠C为钝角 ,AB 边上的高为h, 求证 :AB ＞2h.证明如图 36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB)①∵∠C是钝角 , ∴∠ A+∠B＜, ∴ctgB ＞ ctg(- A)=tgA. ②由①、②和代数基本不等式，得例9（第一组对边与一条对角线之长的和为18 届国际数学比赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中16cm.试确立另一条对角线的全部可能的长度.解如图36-7 ，设四边形ABCD面积S 为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z. 则x+y+z=16(cm)由但 S=32，∴ sin θ =1,sin=1, 且 x-8=0. 故θ = =且x=8,y+z=8. 这时易知另一条对角线BD的长为此处无图例 10(1964年福建中学数学比赛题) 设 a、b、c 是直角三角形的三边， c 为斜边，整数n≥3, 求证 :a n+b n＜ c n.剖析如图为三角不等式34-8,sin注意到nα+cosRt△ABC的边角关系nα＜ 1 来议论 .:a=csinα＞ 0,b=ccosα＞ 0, 可将不等式转变证明设直角三角形一锐角∠BAC= α ( 如图 ),则。
全国高中数学竞赛专题-三角函数
全国高中数学竞赛专题-三角函数三角函数是高中数学中的重要内容，也是数学竞赛中常考的考点之一、掌握好三角函数相关的知识，在竞赛中起到事半功倍的效果。
本文将从基本概念、常用公式、性质以及解题方法等几个方面全面介绍三角函数在数学竞赛中的应用。
首先，我们来了解一下基本概念。
在直角三角形中，三角函数是指与一个锐角的对边、邻边和斜边之间的关系。
其中，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）是最常用的三种三角函数。
它们分别表示为sinθ、cosθ和tanθ，其中θ是一个锐角。
在解题时，我们常常需要利用这些基本概念进行推导和计算。
其次，我们要掌握一些常用的三角函数公式。
比如，角的加减关系公式：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβtan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)这些公式可以帮助我们更方便地计算复杂的三角函数式子。
此外，还有一些特殊角的值，如0°、30°、45°、60°和90°等。
熟记这些特殊角的三角函数值对于解题时的计算非常重要。
然后，我们要了解一些三角函数的性质。
三角函数的定义域是实数集R，值域是[-1,1]。
另外，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数在一个周期内有无穷多个零点。
最后，我们来谈一谈解题方法。
在解三角函数的题目时，我们首先要根据题目给出的条件建立方程，然后进行简化和变形，最终求解出未知量。
常见的解题方法有两角和差的公式、倍角公式、半角公式和三角恒等式等。
我们在解题时要熟练运用这些公式，灵活选择适合题目情况的公式来求解。
除此之外，我们还可以利用三角函数的图像性质来解题。
通过观察函数图像的变化规律，可以快速找到题目中所求的解。
因此，熟悉和掌握基本的函数图像是十分必要的。
高三冲刺课程第4讲 三角函数与平面向量(学生版)
三角函数与平面向量一、要点归纳三角函数部分一．三角函数定义1．定义---在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为(0)r r =>，那么sin y r α=； cos x r α=； tan yxα=； 2．三角函数定义域与值域3二．三角函数基本公式 1．同角三角函数关系平方关系：22sin cos 1αα+=，商数关系：sin tan cos ααα= 2．诱导公式 （1）sin()cos ,cos()sin ,tan()cot 222πππαααααα±=±=±=±（2）sin()sin ,cos()cos ,tan()tan πααπααπαα±=±=-±=±（3）333sin()cos ,cos()sin ,tan()cot 222πππαααααα±=-±=±±=± 3．和、差、倍角公式（1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±，sin 22sin cos ααα=（2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=，22cos 2cos sin ααα=-（3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=，22tan tan 21tan ααα=-三．三角函数的基本性质1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， y tanx =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3.函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，A 叫振幅，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
高中数学的归纳三角函数与向量的综合应用
高中数学的归纳三角函数与向量的综合应用在高中数学学科中，归纳是一种重要的思维方法，它帮助我们总结和推广已有的数学知识，使之更加系统和全面。
而三角函数和向量是数学中的重要工具和概念，在解决实际问题时发挥着重要的作用。
本文将探讨高中数学中归纳、三角函数与向量的综合应用。
1. 归纳推理在三角函数中的应用三角函数是描述角度和长度关系的数学工具，常见的三角函数包括正弦、余弦和正切。
在归纳推理中，我们可以通过观察、总结和推广已有的数学关系，来求解一些特殊情况下的三角函数值。
以正弦函数为例，我们知道在单位圆上，正弦值是以角度为自变量的函数。
通过观察正弦函数的图像和数值表，我们可以总结出正弦函数的周期性特征和取值范围。
进一步地，我们可以利用这些结论来解决三角函数相关的问题。
2. 向量与三角函数的综合应用在物理学、几何学等领域，向量是一种非常基础且重要的概念。
向量具有大小和方向两个属性，可以用来表示物体的位移、速度、加速度等物理量。
在解决实际问题时，我们常常需要使用向量来分析和求解。
与三角函数的综合应用相结合，向量可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
例如，在平面几何中，我们可以利用向量和三角函数来求解两条直线的夹角、判断线段是否相交等问题。
在物理学中，我们可以通过向量和三角函数来分析物体的受力情况、解决平衡条件等问题。
3. 综合应用的例题分析下面我们通过一个例题来进一步探讨归纳、三角函数和向量的综合应用。
例题：一架飞机从A点出发，向北飞行80km到达B点，然后改变航向向东飞行150km，到达C点。
求飞机从A点到达C点的位移和距离。
解析：首先我们可以将该问题转化为向量问题。
设A点为原点O(0, 0)，则B点的位置向量为\(\vec{OB}\) = 80\(\vec{i}\)，其中\(\vec{i}\)为x轴的单位向量。
同理，C点的位置向量为\(\vec{OC}\) = 80\(\vec{i}\) + 150\(\vec{j}\)，其中\(\vec{j}\)为y轴的单位向量。
高中数学竞赛讲义(六)三角函数
高中数学竞赛讲义（六）──三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s inα=,余弦函数co sα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数se cα=,余割函数c s cα=定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,s inα=，co sα=；商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×co sα=s inα,cotα×s inα=co sα；平方关系：s in2α+co s2α=1, tan2α+1=se c2α, cot2α+1=c s c2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in(α+π)=-s inα, co s(π+α)=-co sα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）s in(-α)=-s inα, co s(-α)=co sα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）s in(π-α)=s inα, co s(π-α)=-co sα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）s in=co sα,co s=s inα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=s inx（x∈R）的性质如下。
单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时,y取最小值-1。
高中数学竞赛向量
高中数学竞赛向量高中数学竞赛专题讲座——向量一、三角函数部分1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且C，A sinB都是方程logx=log(4x-4)的根，则△ABC的形状是什么？解：由logb x=logb(4x-4)得：x^2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，因为sinA(1-4sin^2A)=0，又sinA≠0，所以sin^2A=1/4，而sinA>0，∴sinA=1/2.因此A=30°,B=90°,C=60°。
故选B。
2.已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是什么？3.若三角形的三条高线长分别为12,15,20，则此三角形的形状是什么？4.若a=sinθ+tanθ，b=cosθ+cotθ，则以下诸式中错误的是什么？5.已知△ABC为等腰直角三角形，∠C = 90°，D、E为AB边上的两个点，且点D在AE之间，∠DCE=45°，则以AD、DE、EB为边长构成的三角形的最大角是什么？6.若sinθ-cosθ≥cosθ-sinθ,0≤θ<2π，则角θ的取值范围是什么？7.在△ABC中，tanA=1/2，cosB=1/√5.若△ABC的最长边为1，则最短边的长为多少？9.若sinx+siny=1，则cosx+cosy的取值范围是什么？解：设cosx+cosy=t，那么XXX。
又由sinx+siny=1，所以XXX。
将cos2x+cos2y=1-sin2x-2sinxsiny-sin2y代入得：2cosxcosy=t2+1，即2cos(x-y)=t2+1.由于-1≤cos(x-y)≤1，所以t2≤3，即-3≤t≤3.因此答案是D。
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高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量一、三角函数部分1．(集训试题)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且AC ， AB sin sin 都是方程log bx=log b (4x-4)的根，则△ABC （B ）A ．是等腰三角形，但不是直角三角形B ．是直角三角形，但不是等腰三角形C ．是等腰直角三角形D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形 解：由log b x=log b (4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以x 1=x 2=2，故C=2A ，sinB=2sinA ，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A ，∴3sinA-4sin 3A=2sinA ， ∵sinA(1-4sin 2A)=0，又sinA ≠0，所以sin 2A=41，而sinA>0，∴sinA=21. 因此A=30°,B=90°,C=60°。
故选B 。
2．（2006吉林预赛）已知函数y=sinx+acosx 的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是（C ） A ．x=π/3 B ．x=2π/3 C ．x=11π/6 D ．x=π3．2006年南昌市）若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不确定 4．（2006年南昌市）若sin tan a θθ=+,cos cot b θθ=+,则以下诸式中错误的是( B ) A ．sin θ=11+-b ab B ．cos θ=11+-a abC ．tan cot θθ+=)1)(1(21)1(2++-+++b a abb a D ．tan cot θθ-=)1)(1()2)((++++-b a b a b a5．（2006安徽初赛）已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C = 90°，D 、E 为AB 边上的两个点，且点D 在AE 之间，∠DCE = 45°，则以AD 、DE 、EB 为边长构成的三角形的最大角是 （ ） A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不能确定 6．（2006陕西赛区预赛）若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是(C)A ．[0,]4πB ．[,]4ππ C ．5[,]44ππ D ．3[,)42ππ7．（2006年江苏）在△ABC 中，1tan 2A =，310cos 10B =．若△ABC 的最长边为1，则最短边的长为 （D ）A ．455B ．355C ．255D ．558．(2005年浙江)设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x xx f 2cos 2sin )(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解】： 2)(1=x f 是以任何正实数为周期的周期函数；)(2x f 不是周期函数。
因为x sin 是以π21=T 为周期的周期函数, x 2cos 是以222π=T 为周期的周期函数, 而1T 与2T 之比不是有理数，故)(2x f 不是周期函数。
)(3x f 不是周期函数。
因为2sin x 是以π221=T 为周期的周期函数, x 2cos 是以222π=T 为周期的周期函数,而221=T T ，故)(3x f 是周期函数.24sin )(x x f =不是周期函数.因此共有2个周期函数. ∴选 【 B 】 9．(2005年浙江)若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是 （ ）A ．]2 ,2[-B ．]1 ,1[-C ．]3,0[D ．]3,3[-【解】：设 t y x =+cos cos ， ∴ 222cos cos cos 2cos t y y x x =++。
又由 1sin sin =+y x ，故1sin sin sin 2sin 22=++y y x x 。
因此有 1)sin sin cos (cos 22+=+t y x y x ，即 1)cos(22+=-t y x由于1)cos(1≤-≤-y x ，所以有 32≤t ，即33≤≤-t 。
∴选 【 D 】 10． (2005全国)ABC ∆内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于1A 、1B 、1C 。
则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++⋅+⋅+⋅的值为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 解：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A ABC B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-111111cos2cos()cos cos cos cos()cos()22222222sin sin ,cos sin sin ,cos sin sin ,cos 2222(sin sin sin )cos cos 2(sin sin sin ),22sin sin sin A B C A A B C A C B AA C B B C AC B BB A C CC A B AA BB B C A B C CC A B C A B Cππ+-+-∴=-=+=-+-=+=+=+∴+⋅+++=++∴==++同理原式 2..A 选11（2006陕西赛区预赛）已知θ为锐角，且cos 31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= 7/3 12（2004年浙江省预赛）设,,,),,2,1(R n i R a i ∈=∈+γβα 且，0=++γβα 则对任意R x ∈，=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++∑=+++ni x i x i x i x i x i x ia a a a a a 1)( )()(111111γαγγβββαα n . 解：x i x i x i x i xix i a a a a a a )( )()(111111γαγγβββαα+++++++++++ 11111)( )()()(=++++++++=++++xix i x i x i x i x i x i x i a a a a a a a a γαγγαγαγγαγγ， 所以，.1111111)( )()(n a a a a a a ni x i x i x i x i x i x i =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++∑=+++γαγγβββαα 13（2006年浙江省预赛）设b a ,是非零实数，R x ∈，若，2224241cos sin b a b x a x +=+则=+2006200820062008cos sin b xa x 100322)(1b a + 解：已知 ，2224241c o s s i n b a b x a x +=+ ……………… （1） 将（1）改写成 x ba x ab x x 42242244c o s s i n c o s s i n 1+++=.而 x x x x x x 2244222cos sin 2cos sin )cos (sin 1++=+=.所以有 0c o s c o s s i n 2s i n 42222422=+-x ba x x x ab .即0cos sin 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x b a x a b , 也即 ，4444cos sin b x a x = 将该值记为C 。
则由（1）知， 22221b a C b C a +=+。
于是有，222)(1b a C +=. 而10032210042222502250222006200820062008)(1)(1)(cos sin b a b a b a C b C a b x a x +=++=+=+. 14（200 6天津）在ABC Rt ∆中，c ，r ，S 分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则Scr的取值范围是 )1,222[- ．15（200 6天津）已知)sin 3,cos 2(ααA ，)sin 3,cos 2(ββB ，)0,1(-C 是平面上三个不同的点，且满足关系式BC CA λ=，则实数λ的取值范围是331≤≤λ ． 16（2006年江苏）设2cos 23ϑ=，则44cos sin ϑϑ+的值是 1118 ．172006吉林预赛）若41)12(sin )12(sin 22-=--+ππx x ，且)43,2(ππ∈x ，则tanx 的值为__________.18（2006年南昌市）已知sin cos θθ+=52,(2π＜θ＜π),则tan cot θθ-=_8623-____.19．（2006年上海）设(2)n n ≥是给定的整数，12,,,n x x x 是实数，则1223sin cos sin cos x x x x ++1sin cos n x x + 的最大值是 2n．20．（2004 全国）在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数2()1g x a =+的图像所围成的封闭图形的面积是________________.解：21()1sin(),arctanf x a ax aϕϕ=++=其中，它的最小正周期为2a π，振幅为21a +。
由()f x 的图像与()g x 的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为2aπ、宽为21a +的长方形，故它的面积是221a aπ+。
21．(2005全国)设α、β、γ满足πγβα20<<<<，若对于任意++++∈)cos()cos(,βαx x R x ,0)cos(=+γx 则=-αγ.34π解：设),cos()cos()cos()(γβα+++++=x x x x f 由R x ∈，0)(≡x f 知， ,0)(,0)(=-=-γαf f ,0)(=-βf 即+--=-+-)cos(,1)cos()cos(βααγαβ 1)cos(-=-βγ，.1)cos()cos(-=-+-γβγα =-=-=-∴)cos()cos()cos(αγβγαβ,20πγβα<<<< },34,32{,,ππβγαγαβ∈---∴又<--<-βγαγαβ,.αγ- 只有.32πβγαβ=-=-.34παγ=-∴另一方面，当,32πβγαβ=-=-有,,34,32R x ∈∀+=+=παγπαβ记θα=+x ， 由于三点),34(cos()),32sin(),32(cos(),sin ,(cos πθπθπθθθ+++))34sin(πθ+构成 单位圆122=+y x 上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有.0)34cos()32cos(cos =++++πθπθθ即.0)cos()cos()cos(=+++++γβαx x x 二、向量部分1．(集训试题)已知a =(cos32π, sin 32π), b a OA -=, b a OB +=，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（ ） A ．1B ．21C ．2D ．23解：设向量b =(x, y)，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-+||||0))((b a b a b a b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++=++-=+---⋅+-2222)23()21()23()21(023,21()23,21(y x y x y x y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==+yx y x 3122. ∴)21,23(=b 或)21,23(-，∴S △AOB =21||||b a b a -+=1。