高中数学竞赛专题讲座---复数
高中数学竞赛专题竞赛中的复数问题
竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一. 一、知识结构 1.概念与运算:⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b ∈R);②三角式:z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R);③指数式:z=re iθ(r≥0,θ∈R);④欧拉公式:e iθ=cosθ+isinθ,θ∈R. ⑵共轭与模:①21z z ±=21z z ±;21z z ⋅=21z z ⋅;)(21z z =21z z ;②||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|;|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|21z z |=||||21z z ;③z z =|z|2=|z |2;④z=z⇔z ∈R;|z|=|Re(z)|⇔z ∈R.⑶运算法则:①乘法:r 1(cosθ1+isinθ2)r 2(cosθ2+isinθ2)=r 1r 2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法:)sin (cos )sin (cos 222121θθθθi r i r ++=21r r (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cosθ+isinθ)]n =r n (cosnθ+isinnθ);④开方:z n =r(cosθ+isinθ)⇔z=n r (cos nk πθ2++isin nk πθ2+)(k=0,1,2…,n -1).2.辐角与三角:⑴辐角性质:①定义:若z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R),则θ称为复数z 的辐角,记为Argz;特别地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z 的辐角主值,记为argz;②运算:Argz 1+Argz 2=Arg(z 1z 2);Argz 1-Argz 2=Arg(21z z )=Arg(z 12z );nArgz=Argz n ;③性质:若z=cosθ+isinθ,则1+z=2cos 2θ(cos 2θ+isin 2θ);1-z=-2sin 2θ(cos 2θ+isin 2θ). ⑵单位根:①定义:方程x n =1的n 个根叫做n 次单位根,分别记为ωk (k=0,1,2,…,n -1);ωk =(cos nk π2+isin nk π2)(k=0,1,2…,n -1);②性质:ω0=1;ωk =ω1k ;ωk ωj =ωk+j ;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1)(x-ω1)(x-ω12)…(x -ω1n-1)=x n -1.⑶基本结论:①实系数n 次方程的虚根α与其共轭复数α成对出现;②若|z 1|=|z 2|=…=|z n |,且z 1+z 2+…+z n =0,则z 1,z 2,…,z n 对应的点是正n 边形的顶点,且正n 边形的中心在坐标原点;③若复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,且z 1=z 0z 2,则∠Z 1OZ 2=argz 0,或argz 0-π. 3.复数与几何:⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi 与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi 与向量OZ =(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,则|Z 1Z 2|=|z 1-z 2|;④旋转公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,向量21z z 绕点Z 1逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则所得向量z z 1中的Z 对应的复数z=z 1+r(z 2-z 1)(cosθ+isinθ).⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,点Z 分有向线段21z z 的比为λ(λ≠-1),则z=λλ++121z z ;②三点共线:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,则三点Z,Z 1,Z 2共线的充要条件是:Z=λZ 1+(1-λ)Z 2;③平行条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2∥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4);④垂直条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2⊥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4)i.⑶几何结论:①三角形面积:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3的面积=21×复数(z 13z +z 21z +z 32z )的虚部;②三角形形状:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3为正三角形的充要条件是:z 12+z 22+z 32=z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1;或z 1+ωz 2+ω2z 3=0;③三角形相似:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,复数w 1,w 2,w 3对应的点分别为W 1,W 2,W 3,则△Z 1Z 2Z 3∽△W 1W 2W 3的充要条件是:1312z z z z --=1312w w w w --;④四点共圆:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则四点Z 1, Z 2,Z 3,Z 4共圆的充要条件是:1413z z z z --:2423z z z z --∈R.二、典型问题1.复数概念[例1]:若对一切θ∈R,复数z=(a+cosθ)+(2a -sinθ)i 的模不超过2,则实数a 的取值范围为 . [解析]:|z|≤2⇔(a+cosθ)2+(2a-sinθ)2≤4⇔2acosθ-4asinθ≤3-5a 2⇔-25asin(θ+φ)≤3-5a 2⇔25|a|≤3-5a 2⇔(5|a|-1)(5|a|+3)≤0⇔a ∈[-55,55].[类题]:1.①已知复数z 1=m+2i,z 2=3-4i,若21z z 为实数,则实数m 的值为 .②已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,复数z 2的虚部为2,则z 1z 2为实数的条件是z 2= . 2.若3131-+z z 为纯虚数,则|z|= .3.如果复数(a+2i)(1+i)的模为4,则实数a 的值为 .4.出下列两个命题:①设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2>c 2,则a 2+b 2-c 2>0;②设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2-c 2>0,则a 2+b 2>c 2.那么下述说法正确的是( )(A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确5.设z 是虚数,w=z+z1,且-1<w<2,则z 的实部取值范围为 .解:设z=a+bi ⇒w=a+bi+22b a bi a +-=a+22b a a ++(b-22b a b +)i.由-1<w<2⇒w 为实数⇒b-22b a b +=0⇒b=0,或a 2+b 2=1. 当b=0时,a≠0,w=a+a1⇒|w|≥2,不符合-1<w<2;当a 2+b 2=1时,w=2a,由-1<w<2⇒-21<a<1.2.代数形式[例2]:设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且2βα为实数,则|α|= .[解析]:设α=a+bi(a,b ∈R)⇒β=a -bi ⇒αβ=a 2+b 2∈R,α-β=2bi,|α-β|=23⇒|b|=3,2βα=23)(αβα为实数⇒α3=(a+bi)3=(a 3-3ab 2)+(3a 2b-b 3)i 为实数⇒3a 2b-b 3=0⇒|a|=1⇒|α|=2. [类题]:1.①复数(1+i)4+(1-i)4= .②计算:！！！！i i i i 100210+⋅⋅⋅+++= .2.已知i 2=-1,在集合{s|s=1+i+i 2+i 3+…+i n ,n ∈N}中包含的元素是 .3.复数数列{a n }满足a 1=0,a n =a n-12+i(n≥2,i 为虚数单位,则它的前2007项的和= .4.设复数数列{z n }满足z 1=i,z n+1=-z n 2-i,则|z 2000|=5.()使复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2成为实数的所有x 构成的集合是 .解:复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos2(2sin sin 2为实数⇔[sinx+sin2x+i(2cos 2xsinx-tanx)](cosx+i)为实数⇔sinx+sin2x+(2cos 2xsinx-tanx)cosx=0⇔sin2x+cos 2xsin2x=0⇔sin2x=0⇔sinx=0(cosx≠0)⇔x=kπ. 3.三角形式[例3]:给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足:⎪⎩⎪⎨⎧=++===11||||||133221321z z z z z z z z z ,求|az 1+bz 2+cz 3|的值.[解析]:由|z 1|=|z 2|=|z 3|=1,可设z 1=cosα+isinα,z 2=cosβ+isinβ,z 3=cosγ+isinγ⇒21z z +32z z +13z z =cos(α-β)+isin(α-β)+cos(β-γ)+isin(β-γ)+cos(γ-α)+isin(γ-α)=1⇒sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-α)=0⇒ 2sin 2γα-cos 22βγα-+-2sin 2γα-cos 2γα-=0⇒sin 2γα-sin 2αβ-sin 2βγ-=0.当sin 2αβ-=0时,β=2kπ+α⇒z 1=z 2,由21z z +32z z +13z z =1⇒31z z +13z z =0⇒(13z z )2+1=0⇒13z z =±i ⇒|az 1+bz 2+cz 3|=|(a+b±ic)z 1|=22)(c b a ++;同理可得:当sin 2βγ-=0时,|az 1+bz 2+cz 3|=22)(a c b ++;当sin 2γα-=0时,|az 1+bz 2+cz 3|=22)(b c a ++.[类题]:1.设A 、B 、C 为△ABC 的三内角,则复数Ai A C i C B i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++的虚部是 .解:Ai A C i C B i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++=)sin (cos cos 2)sin (cos cos 2)sin (cos cos 2A i A A C i C C B i B B ++⋅+=2ACB cos cos cos Ai A C B i C B sin cos )sin()cos(-+++=2AC B cos cos cos [(cos(A+B+C)+isin(A+B+C))=-2AC B cos cos cos ,虚部是0.2.已知复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=1,z 1-z 2=cos150+isin150,则21z z = .解:设z 1=cosα+isinα,z 2=cosβ+isinβ⇒z 1-z 2=(co sα-cosβ)+(sinα-sinβ)i=cos150+isin150⇒cosα-cosβ= cos150,sinα-sinβ=sin150⇒(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=1⇒cos(α-β)=21,sinα-sinβ=±23⇒21z z =cos(α-β)+isin(α-β)=21±23i.3.(设|z 1|=|z 2|=a(a≠0),且z 1+z 2=m+mi,其中m 为非零实数.则z 13z 23的值是 . 解:设z 1=acosα+aisinα,z 2=acosβ+aisinβ,由z 1+z 2=m+mi ⇒a(co sα+cosβ)=m,a(sinα+sinβ)=m ⇒cosα+cosβ= sinα+sinβ⇒2cos 2βα+cos 2βα-=2sin 2βα+cos 2βα-⇒cos2βα+=sin 2βα+⇒tan2βα+=1⇒α+β=2π⇒z 1z 2=a 2[cos(α+β)+isin(α+β)]=a 2i ⇒z 13z 23=(z 1z 2)3=-a 6i. 4.设|z|=1,则|z 2-z+2|的最小值为 .解:设z=cosθ+isinθ⇒|z 2-z +2|=|cos2θ+isin2θ-cosθ-isinθ+2|=|cos2θ-cosθ+2+(sin2θ-sinθ)i|=θθ2cos 4cos 66+-=87)83(cos 82+-θ≥414.5.已知复数集合D,复数z ∈D 当且仅当存在模为1的复数z 1,使得|z-2005-2006i| =|z 14+1-2z 12|.则D 中实部和虚部都为整数的复数的个数是 . 解:设z 1=cosθ+isinθ⇒|z 14+1-2z 12|=|(z 12-1)2|=|z 12-1|2=|cos2θ-1+isin2θ|2=(cos2θ-1)2+sin 22θ=2-2cos2θ≤4⇒|z-2005-2006i|≤4,设z=x+yi ⇒(x-2005)2+(y-2006)2≤16⇔x 2+y 2≤16共有49个解. 4.共轭运算[例4]:若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=23-i,则z 1z 2= .[解析]:|z 1|=2,|z 2|=3⇒z 11z =4,z 22z =9⇒23-i=3z 1-2z 2=31z 1z 22z -21z 2z 11z =61z 1z 2(22z -31z )=-61z 1z 2(31z -22z )=-61z 1z 2(23+i)⇒z 1z 2=-1330+1372i.[类题]:1.为z 为复数,M={z|(z-1)2=|z-1|2},那么( )(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}⊂M ⊂{复数} (D)M={复数}解:(z-1)2=|z-1|2⇔(z-1)2=(z-1)(z -1)⇔z=1,或z=z ⇔M={实数}.2设z,w,λ为复数,|λ|≠1关于z 的方程z -λz=w 下面有四个结论:①z=2||1λλ-+w w 是这个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( )(A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确 解:z -λz=w ⇒z-λz =w⇒z-λ(λz+w)=w ⇒(1-λλ)z=λw+w ⇒z=2||1λλ-+ww .故选(A). 3.如果复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|,且z 1-z 2=2-i,则||2121z z z z 的值为 .解:设|z 1|=|z 2|=a ⇒z 11z =z 22z =a 2⇒a 2(2-i)=z 1z 22z -z 2z 11z =-z 1z 2(1z -2z )=-z 1z 2(2+i)⇒||2121z z z z =221az z =ii ++-22=543i +-.4.z 1,z 2是已知的两个任复数,复数z 满足z≠0,z+z 2≠0,z z 1+z 2z +z 12z =0,则 arg21z z z z ++= .解:z z 1+z 2z +z 12z =0⇒z z 1+(z+z 1)2z =0⇒z z 1z 2+(z+z 1)2z z 2=0;z z 1+z 2z +z 12z =0⇒z 1z +z z 2+1z z 2=0⇒z z 2+(z+z 2)1z =0⇒z z 1z 2+(z+z 2)1z z 1=0⇒(z+z 1)2z z 2=(z+z 2)1z z 1⇒21z z z z ++=2211z z z z =正实数⇒arg21z z z z ++=0.5.设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 1+z 2|=3,|z 1-z 2|=33,则log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|= .解:9=|z 1|2=z 11z ,9=|z 1+z 2|2=(z 1+z 2)(1z +2z )=z 11z +z 22z +z 21z +z 12z ;27=|z 1-z 2|2=(z 1-z 2)(1z -2z )=z 11z +z 22z -(z 21z +z 12z )⇒z 11z +z 22z =18⇒z 22z =9⇒|z 2|=3⇒|z 21z |=|z 12z |=9,z 21z +z 12z =-9,设z 12z =9(cosθ+isinθ)⇒z 21z =9(cosθ-isinθ)⇒cosθ=-21⇒sinθ=±23⇒z 12z =9ω,或ω2⇒log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|=log 3|(9ω)2000+(9ω2)2000|= log 3|92000(ω+ω2)|=4000. 5.模的运算[例5]:复数z 1和z 2满足:|z 2|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,则|(z 1+1)2(z 1-2)|的最大值为 . [解析]: 由4z 12-2z 1z 2+z 22=0⇒3z 12+(z 1-z 2)2=0⇒(z 1-z 2)2=-3z 12⇒z 1-z 2=±3z 1i ⇒z 2=(1±3i)z 1⇒|z 2|=2|z 1|⇒|z 1|= 2,设z 1=2(cosα+isinα)⇒|(z 1+1)2(z 1-2)|=|(z 1+1)2||(z 1-2)|=[(2cosα+1)2+(2sinα)2]22)sin 2()2cos 2(αα+-=)cos 88()cos 45(2αα-+≤36(cosα=41).[类题]: 1.|)52)(32()35)(25)(23(2i i i i i --+++|= .2.复数z 满足|z|(3z+2i)=2(iz−6),则|z|等于 . 解:设|z|=r(r>0)⇒z=i r ri 23212+-+⇒r 2=|z|2=|i r ri 23212+-+|2=22|23||212|i r ri +-+=49414422++r r ⇒r 4=16⇒r=2.3.设{z n }是一个复数数列,定义z n =(1+i)(1+2i ) (1)ni ),则∑=+-nn n n z z 11||= .解:|z n -z n+1|=1.4.已知复数z 满足z z -z-z =3,且arg(z-1)=3π,则z= .解:z z -z-z =3⇒(z-1)(z -1)=4⇒|z-1|=2⇒z-1=2(cos 3π+isin 3π).5.设z 是复数,且|z|=1,则u=|z 2-z+1|的最大值与最小值是 .解:u=|z 2-z+1|=|z 2-z+z z |=|z(z+z -1)|=|z+z -1|.设z=x+yi,则|x|≤1⇒u=|z+z -1|=|2x-1|∈[0,3]. 6.乘方运算[例6]:设n≥2007,且n 为使得a n =(22-+i 22+)n 取实数值的最小正整数,则对应此n 的a n = . [解析]:令tanθ=2222-+(0<θ<2π)⇒tan 2θ=2222-+=3+22⇒tanθ=2+1⇒tan2θ=-1⇒2θ=43π⇒θ=83π⇒ a n =[r(cos 83π+isin 83π)]n =r n (cosn 83π+isinn 83π)取实数值,其中r=2⇒sinn 83π=0⇒n 83π=kπ⇒3n=8k ⇒n=8m,满足此条件且n≥2007的最小正整数n 为2008,此时a n =a 2008=22008cos753π=-22008. [类题]:1.计算:(21i -)1989= .2.①已知z=(3-3i)n ,若z 为实数,则最小的正整数n 的值为 .解:令tanθ=-33=-3⇒θ=35π⇒3-3i=23(cos 35π+isin 35π)⇒z=(3-3i)n =[23(cos 35π+isin 35π)]n =(23)n [cos(35πn)+isin(35πn)]为实数⇔sin(35πn)=0⇔35πn=kπ⇔k=35n⇒最小的正整数n 的值为3.②设n 为使a n =(213++213-i)n取实数的最小自然数,则对应此n 的3.①设n 为不超过2003的正整数.如果有一个角θ使得(sin θ+icos θ)n =sinn θ+icos n θ成立,则这种n 的总个数为 .解:(sin θ+icos θ)n =[i(cosθ-isinθ)]n =i n [cos(-θ)+isin(-θ)]n =i n [cos(-n θ)+isin(-n θ)]=i n [cos(n θ)-isin(n θ)]=i n-1(sinn θ+icos n θ)⇒i n-1=1⇒n-1=4k ⇒n=4k+1(n≤2003)⇒k≤500⇒(k=0)这种n 的总个数为501.②设m 、n 是自然数,且使(3+i)m =(1+i)n 成立(其中i 是虚数单位),则乘积mn 的最小值是 .4.已知z 为复数.若|z|=1,|z +i|=1,则当(z+i)n (n 为正整数)为实数时,|z+i|n 的最小值为 . 解:由|z|=1⇒z z =1,|z +i|=1⇒(z +i)(z-i)=1⇒(z -z)i=1⇒z-z =i ⇒z=±23+21i ⇒z+i=±23+23i=±3(21±23i)⇒(z+i)n =(±3)n (21±23i)n ,其中w=21±23i 是方程w 2-w+1=0的根⇒w 3=-1⇒n=3时,|z+i|n的最小值为33.5.[(23i +)8+1]n 当n 取1,2,…,100时,可得 个不同的数值.解:[(23i +)8+1]n =[(-i)8(231i +-)8+1]n =[(-iω)8+1]n =(ω2+1)n =(-ω)n ,可得6个不同的数值.7.单位复数[例7]:(设a,b,c 均为非零复数,且ba =cb =ac ,则cb ac b a +--+的值为 .[解析]:设ba =cb =ac =x ⇒a=xb,b=xc,c=xa ⇒abc=x 3abc ⇒x 3=1⇒x=1,x=ω,x=ω2(三次方程有三个根)=0⇒cb ac b a +--+=1122+--+x x x x =1,或ω,或ω2.[类题]:1.①设x 1,x 2是方程x 2-x+1=0的两个根,则x 11980+198021x = .解:x i 6=1⇒x 11980=1,198021x =1⇒x 11980+198021x =2;②知复数m 满足m+m1=1,则m 2008+20091m= .解:m+m1=1⇒m 2-m+1=0⇒(m+1)(m 2-m+1)=0⇒m 3=-1⇒m 6=1⇒m 2008=m 4=-m,m 2009=m 5=m1⇒m 2008+20091m=-m+m=0.2.①设非零数复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式(y x x+)1990+(yx y +)1990的值是 .解:x 2+xy+y 2=0⇒(yx )2+yx +1=0.令yx=ω⇒ω2+ω+1=0⇒ω3=1⇒(y x x +)1990+(y x y +)1990=19901990)1(ωω++1990)1(1ω+=19902)(ωω-+19902)(1ω-=21ωω+=-1. ②设非零数相异复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式[2))((y x y x xy -+]2006(x 2006+y 2006)的值是 .3.若z ∈C,且x 10=1,则1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010= .解:若z ∈R,由x 10=1⇒x=±1.当x=1时,1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010=2011;当x=-1时,1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010=1;若z≠±1,由x 10=1⇒(x 2-1)(x 8+x 6+x 4+x 2+1)=0⇒x 8+x 6+x 4+x 2+1=0⇒x 9+x 7+x 5+x 3+x=0⇒1+x+x 2+x 3+…+x 10=0⇒1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010=1.4.已知复数z 满足:z 3=27,则z 5+3z 4+2242= .5.设(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则f(x)的系数之和是 .解:(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)⇒f(1)+ig(1)=(23+21i)2008=(-i)2008(-21+23i)2008=ω2008=ω=-21+23i ⇒f(1)=-21.8.复数方程[例8]:x 的二次方程x 2+z 1x+z 2+m=0中,z 1,z 2,m 均是复数,且z 12-4z 2=16+20i,设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=27,求|m|的最大值和最小值.[解析]:由韦达定理知α+β=-z 1,αβ=z 2+m ⇒28=|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|z 12-4z 2-4m|=|16+20i-4m| ⇒|m-(4+5i)|=7⇒m 在以A(4,5)为圆心,7为半圆的圆上⇒|m|≥7-|OA|=7-41;|m|≤7+|OA|=7+41.[类题]:1若虚数z 使2z+z1为实数,则2z+z1的取值范围是_____.2二次方程(1-i)x 2+(λ+i)x+(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R)有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________. 解:设方程有实根x 0,则(x 02+λx 0+1)+(-x 02+x 0+λ)i=0⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++001020020λλx x x x ⇒(x 0+1)(λ+1)=0⇒x 0=-1⇒λ=2;λ=-1⇒x 02 -x 0+1=0无实根,综上,λ=2;所以,有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为λ≠2.3.方程z 4=z (z 为z 的共轭复数)的根为 . 解:z 4=z⇒|z|4=|z |⇒|z|=0,1⇒z=0,z 5=z z ⇒z 5=1⇒z=cos 52πk +isin 52πk (k=0,1,2,3,4)4.复数z 满足等式z+z |z|3=0,则z= .解:由z+z |z|3=0⇒z=-z |z|3⇒|z|=|-z |z|3|⇒|z|=|z |||z|3⇒|z|=|z|4⇒|z|=0,1;当|z|=0时,由z+z |z|3=0⇒z=0;当|z|=1时,由z+z |z|3=0⇒z+z =0⇒z 是纯虚数⇒z=±i. 5.设ω=cos 5π+isin 5π,则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )(A)x 4+x 3+x 2+x+1=0 (B)x 4-x 3+x 2-x+1=0 (C)x 4-x 3-x 2+x+1=0 (D)x 4+x 3+x 2-x -1=0解:ω=cos 5π+isin 5π=cos 102π+isin 102π⇒ω,ω2,…,ω10是1的10个10次方根⇒(x-ω)(x -ω2)…(x -ω10)=x 10-1;又因ω2,ω4,ω6,ω8,ω10是1的5个5次方根⇒(x-ω2)(x-ω4)…(x -ω10)=x 5-1;两式相除得:(x-ω)(x -ω3)…(x -ω9)=x 5+1,其中ω5=cosπ+isinπ=-1⇒x-ω5=x+1⇒(x-ω)(x -ω3)(x-ω7)(x-ω9)=115++x x=x 4-x 3+x 2-x+1.选(B).9.复数与点[例9]:设复数z=cosθ+isinθ(00≤θ≤1800),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以线段PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S 到原点距离的最大值是 _.[解析]:设点S 对应的复数为ω,由PQSR 为平行四边形⇒ω+z=(1+i)z+2z ⇒ω=zi+2z ⇒|ω|2=(zi+2z )(-z i+2z)=5z z +2i(z 2-z 2)=5-4sin2θ≤9,当θ=43π时,等号成立⇒点S 到原点距离的最大值是3.[类题]:1.若A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2.若点A,B 分别对应复数z,z -1,z ∉R,则直线AB 与x 轴的交点对应的复数为 (用z 和z 表示). 解:设A(a,b)⇒B(22ba a +,-22ba b +)⇒直线AB:y-b=)1()1(2222-+++b a a b a b (x-a),令y=0⇒x=1222++b a a =1++z z z z .3.已知z 为复数,arg(z+3)=1350,则|3||6|1i z z -++取最大值时,z= .解:|3||6|1i z z -++取最大值⇒|z+6|+|x-3i|取最小值⇒z 在线段x-2y+6=0(-6≤x≤0)上;arg(z+3)=1350⇒z+3在射线y=-x(x≤0)上⇒z 在射线y=-x-3(x≤-3)上⇒z=-4+i.4.在复平面内由i1,1-i ,(i-1)3对应的点构成的三角形的最大内角等于 .5.如果复数z 满足|z|=1,A(-1,0),B(0,-1)是复平面上两点,那么函数f(z)= |(z+1)(z -i)|取最大值时,△ABZ 的形状是 .解:设z=cosθ+isinθ⇒f(z)=|(z+1)(z -i)|=|[(1+cosθ)+isinθ][cosθ-(1+sinθ)i]|=|(1+cosθ)+isinθ||cosθ -(1+sinθ)i|=θcos 22+θsin 22+=2)sin 1)(cos 1(θθ++,为等腰三角形.10.模的意义[例10]:已知复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,若它们所对应向量的夹角为600,则|2121z z z z -+|= .[解析]:设z 1,z 2,z 1+z 2对应的点分别为A,B,C,则四边形OACB 是平行四边形,且∠AOB=600⇒|z 1-z 2|=|AB|=7;|z 1+z 2|= |OC|=19⇒|2121z z z z -+|=7133.[类题]:1.①设复数z 1=(2-a)+(1-b)i,z 2=(3+2a)+(2+3b)i,z 3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,b ∈R,当|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值时,3a+4b= .解:易求得z 1+z 2+z 3=8+6i,于是|z 1|+|z 2|+|z 3|≥|z 1+z 2+z 3|=|8+6i|=10,|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值,当且仅当(2-a):(1-b)=(3+2a):(2+3b)=(3-a):(3-2b)=8:6(四向量同向),解得a=37,b=45,所以3a+4b=12.②已知复数z 1,z 2满足|z 1|≥1,|z 2|≥23,则复数i 1993z 1+i 1995z 2+2z 1z 2的模长的最小值是 .解:i 1993=i,i 1995=-i,|i 1993z 1+i 1995z 2+2z 1z 2|=|i(z 1-z 2)+2z 1z 2|≥2|z 1z 2|-|z 1-z 2|≥3-(1+23)=21.2.设z 是复数,则|z-1|+|z-i|+|z+1|的最小值等于__________.解:在复平面上,设A(-1,0),B(1,0),C(0,1),则当z 为△ABC 的费马点(0,33)时,|z-1|+|z-i|+|z+1|取得最小值,最小值为1+3.3.设z 是模为2的复数,则|z-z1|的最大值与最小值的和为 .解:|z-z1|=|z1(z 2-1)|=|z1||z 2-1|=21|z 2-1|.设w=z 2,由|z|=2⇒|w|=|z 2|=|z|2=4,|z 2-1|=|w-1|的几何意义是半径为4圆上的点到定点(1,0)的距离⇒最大值与最小值的和为44.若复数z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=22,记|z+i|的最大值和最小值分别为M,m,则mM = .解:在复平面上,设A(-1,-1),B(1,1),C(0,-1),则|AB|=22⇒|z+1+i|+|z-1-i|=22点在线段AB 上⇒M=|BC|=5,m=22.5.已知复数z 的模为1,则函数|z 2+iz 2+1|的值域是 . 解:|z 2+iz 2+1|=|(1+i)z 2+1|=|1+i||z 2+i+11|=2|z 2+21i -|,设w=z 2,由|z|=1⇒|w|=|z 2|=|z|2=1,|z 2+21i -|=|w+21i -|的几何意义是单位圆上的点到定点(-21,21)的距离⇒值域是[2-1,2+1]. 11.幅角主值[例11]:已知复数z=1-sinθ+icosθ(2π<θ<π).求z 的共轭复数z 的辐角主值.[解析]:z =1-sinθ-icosθ,设z 的辐角主值α,则tanα=1sin cos -θθ=-2)2sin 2(cos)2sin 2)(cos 2sin 2(cosθθθθθθ--+=-2sin2cos2sin 2cos θθθθ-+=-tan(2θ+4π)=tan[π-(2θ+4π)]=tan(43π-2θ)⇒α=43π-2θ.[类题]:1.集合S={z 2|argz=a,a ∈R}在复平面的图形是( )(A)射线argz=2a (B)射线argz=-2a (C)射线argz=-a (D)上述答案都不对解:由复数幅角主值定义知0≤argz<2π⇒0≤a<2π⇒0≤2a<4π,z=r(cosa+isina)⇒z 2=r 2(cos2a+isin2a).①当0≤a<π时,argz 2=2a;②当π≤a<2π时,argz 2=2a-2π,故选(D).2.设z 是复数,z+2的幅角为3π,z-2的幅角为65π,则z= .解:设z+2=R(21+23i),z-2=r(-23+21i)⇒21R-2+23Ri=2-23r+21ri ⇒21R-2=2-23r,且23R=21r ⇒R=2⇒z=-1+3i.3.若z ∈C,arg(z 2-4)=65π,arg(z 2+4)=3π,则z 的值是________. 解:设z 2+4,z 2-4,z 2对应的点分别为A,B,C,则C 是AB 的中点,∠BOA=65π-3π=2π⇒|OC|=21|AB|=4,argz 2=∠COx=3π+3π= 32π⇒z 2=4(cos 32π+isin 32π)⇒z=±2(cos 3π+sin 3π)=±(1+3i).4.设z 1,z 2都是复数,且|z 1|=3,|z 2|=5|z 1+z 2|=7,则arg(12z z )3的值是______.解:设z 1,z 2,z 1+z 2对应的点分别为A,B,C,则四边形OABC 为平行四边形,且cos ∠OBC=-21⇒∠OBC=32π⇒arg(12z z)=∠BOA=π-32π=3π,或arg(12z z )=35π⇒arg(12z z )3=π.5.已知θ=arctan 125,那么,复数z=ii ++2392sin 2cos θθ的辐角主值是_________.解:θ=arctan 125⇒tanθ=125⇒cosθ=1312,sinθ=135⇒z=123912+(cosθ+isinθ)2(239-i)=)1239(16912+(119+120i) (239-i)=)1239(16912+(28561+28561i)⇒argz=4π.12.几何形状[例12]:设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z 1,z 2,…,z 20,则复数Z 11995,z 21995,…,z 201995所对应的不同的点的个数是 .[解析]:设z 1=cosθ+isinθ⇒z k =(cosθ+isinθ)(cos 20)1(2π-k +isin 20)1(2π-k )(1≤k≤20),由1995=20×99+15⇒z k 1995=(cos1995θ+isin1995θ)(cos(k-1)23π+isin(k-1)23π)=(cos1995θ+isin1995θ)(cos 23π+isin 23π)k-1=(cos1995θ+isin1995θ)(-i)k-1,共有4个不同值.(1,-1,i,-i). [类题]:1.若在复平面上三个点A(0),B(z 0-z),C(z 0+z)构成以A 为直角顶点的等腰直 角三角形,其中z 0=-31+32i,则△ABC 的面积为 .解:依题意,z 0+z=i(z 0-z)⇒z=ii ++-11z 0=iz 0,|z 0|2=31,△ABC 的面积为=21|AB||AC|=21|z 0-z||z 0+z|=21|(1-i)(1+i)||z 0|2=31.2.①设复数z 1,z 2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z 1|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .解:4z 12-2z 1z 2+z 22=0⇒(z 2-z 1)2=-3z 12⇒z 2-z 1=±3z 1i ⇒|z 2-z 1|=3|z 1|⇒AB ⊥OA,且|AB|=3|OA|⇒△OAB 的面积=21|OA||AB|=83.②设复数z 1、z 2满足z 1z 2=1,z 13+z 23=0,且z 1+z 2≠0.z 1、z 2在复平面内的对应点为Z 1、Z 2,O 为原点,则△Z 1OZ 2的面积是_____.解:z 13+z 23=0⇒(z 1+z 2)(z 12-z 1z 2+z 22)=0⇒z 12-z 1z 2+z 22=0⇒12z z =231i ±⇒∠Z 1OZ 2=arg(231i ±)=3π⇒△Z 1OZ 2的面积=21|z 1z 2|sin 3π=43.3.复平面上,非零复数z 1,z 2在以i 为圆心,1为半径的圆上,1z z 2的实部为零,z 1的辐角主值为6π,则z 2=_______. 解:1z z 2的实部为零⇒1z z 2=ai ⇒z 2⊥z 2⇒argz 2=6π+2π=32π⇒|z 2|=3⇒z 2=3(cos 32π+isin 32π)=-23+23i.4.已知关于x 的实系数方程x 2-2x+2=0和x 2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m 的取值范围是 .解:x 2-2x+2=0⇒z 1=1-i,z 2=1+i,x 2+2mx+1=0⇒z 3=-m-21m -i,z 4=-m+21m -i,1413z z z z --:2423z z z z --∈R ⇔1413z z z z --=x 2423z z z z --⇔(z 1z 2+z 3z 4-z 1z 4-z 2z 3)=x(z 1z 2+z 3z 4-z 1z 3-z 2z 4)⇔2+1-(1-i)(-m+21m -i)-(1+i)(-m-21m -i)=x[2+1-(1-i)(-m-21m -i)-(1+i)(-m+21m -i)]⇔5.设非零复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++===Sa a a a a a a a a a a a a a a a a a )11111(4543215432145342312,其中S 为实数,且|S|≤2.求证:复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上.解:设45342312a a a a a a a a ====k(k≠0)⇒a 2=ka 1,a 3=k 2a 1,a 4=k 3a 1,a 5=k 4a 1⇒S=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=a 1(1+k+k 2+k 3+k 4),S=411a (1+k1+21k +31k+41k)=4411ka (1+k+k 2+k 3+k 4)⇒(4411ka -a 1)(1+k+k 2+k 3+k 4)=0.①若1+k+k 2+k 3+k 4=0⇒k 5=1⇒|k|=1⇒|a 1|=|a 2|=|a 3|=|a 4|=|a 5|; ②若4411ka -a 1=0⇒a 1k 2=±2⇒a 3=±2⇒1+k+k 2+k1+21k=±2S ,令k+k 1=x ⇒x 2+x-1±2S =0,该实系数二次方程的△=5± 2S>0,且f(2)=5±2S >0,f(-2)=1±2S >0⇒|x|<2⇒方程k+k1=x,即k 2-xk+1=0的△=x 2-4<0⇒k 1,k 2互为共轭复数⇒|k 1|2=|k 2|2=k 1k 2=1⇒|k|=1⇒|a 1|=|a 2|=|a 3|=|a 4|=|a 5|=2. 13.解折综合[例13]:设A,B,C 分别是复数Z 0=ai,Z 1=21+bi,Z 2=1+ci(其中a,b,c 都是实数)对应的不共线的三点,证明:曲线Z ＝Z 0cos 4t+2Z 1cos 2tsin 2t+Z 2sin 4t(t ∈R )与∆ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点.[解析]:[类题]:1.设m,n 为非零复数,i 为虚数单位,z ∈C,则方程|z+ni|+|z -mi|=n 与|z+ni|-|z -mi| -m 在同一复平面内的图形(F 1,F 2为焦点)是( )y O x yO xO xO x(A) (B) (C) (D)解:|z+ni|+|z -mi|=n ⇒n>0,n=|z+ni|+|z -mi|≥|n+m|⇒m<0;|z+ni|-|z -mi|=-m>0⇒|z+ni|>0,选(B). 2若M={z|z=tt +1+i tt +1,t ∈R,t≠-1,t≠0},N={z|z=2[cos(arcsint)+icos(arccost)],t ∈R,|t|≤1},则M∩N 中元素的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)43.复平面上动点z 1的轨迹方程为|z 1-z 0|=|z 1|,z 0为定点,z 0≠0,另一个动点z 满足z 1z=-1,求点z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置.解:z 1z=-1⇒z 1=-z1,代入|z 1-z 0|=|z 1|得:|z1+z 0|=|z1|⇒|z 0z+1|=1⇒|z+1z |=||10z ,又因z≠0(z 1z=-1)⇒点z 的轨迹是以-1z 为圆心,||10z 为半径的圆,除去原点.4.①已知复数z,w 满足:|z-1-i|-|z|=2,|w+3i|=1,则|z –w|的最小值= .解:设A(1,1),O(0,0),B(0,-3)⇒|OA|=2⇒|z-1-i|-|z|=2,即|PA|-|PO|=2的点P 的轨迹为射线y=x(x≤0),|w+3i|=1,即|QB|=1⇒|z –w|,即|PQ|的最小值=223-1.②、y 是实数.z 1=x+11+yi,z 2=x-11+yi(i 为虚数单位),|z 1|+|z 2|=12,令u=|5x −6y −30|,则u 的最大值是_____,u 的最小值是_____. 解:5.已知满足条件|z 2|+|z 2−1|=7的复数z 在复平面内的所对应的点的集合是一条二次曲线,则该二次曲线的离心率e=_____.解:设|z|=r,w=z 2,由|z 2|+|z 2−1|=7⇒r 2+|w-1|=7⇒2114.复数应用[例14]:若(1+x+x 2)1000的展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2000x 2000,则a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998的值为 .[解析]:在(1+x+x 2)1000=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2000x 2000中,令x=1:a 0+a 1+a 2+…+a 2000=31000;令x=ω,a 0+a 1ω+a 2ω2+…+a 2000ω2000=0;令x=ω2,a 0+a 1ω2+a 2ω4+…+a 2000ω4000=0;注意到:ω3=1,ω2+ω+1=0⇒当n=3k 时,1+ωn +ω2n =3;当n=3k+1时,1+ωn +ω2n =1+ω+ω2=0;当n=3k+2时,1+ωn +ω2n =1+ω2+ω=0.以上三式相加得:3a 0+a 1(1+ω+ω2)+a 2(1+ω2+ω4)+…+a n (1+ωn +ω2n )+…+a 2000(1+ω2000+ω4000)=31000⇒3(a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998)=31000⇒a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998=3999. [类题]:1.已知sinα+sinβ=51,cosα+cosβ=31,则)(2sin )(2cos 1)(2sin )cos(21βαβαβαβα+++++++-= .解:设z 1=cosα+isinα,z 2=cosβ+isinβ,则z 1z 2=cos(α+β)+isin(α+β),|z 1|=|z 2|=1⇒z 11z =z 22z =1,z 1+z 2=31+51i ⇒z 1z 22z +z 2z 11z =31+51i ⇒z 1z 2(1z +2z )=31+51i ⇒z 1z 2(31-51i )=31+51i ⇒z 1z 2=ii3535-+⇒z 1z 2=178+1715i ⇒cos(α+β)=178,sin(α+β)=1715⇒)(2sin )(2cos 1)(2sin )cos(21βαβαβαβα+++++++-=)]cos())[sin(cos(2)]cos())[sin(sin(2βαβαβαβαβαβα++++++++=815.2.求值:tan700-010cos 1= .解:设z=cos100+isin100⇒z z =1,z =cos100-isin10⇒cos10=21(z+z )=zz 212+,sin100=i21(z-z )=ziz 212-.z 3=c os300+ isin300=23+21i.z 2=cos200+isin200⇒cos200=2421zz+,sin200=iz z2421-⇒tan 70-10cos 1=1144-+z z i-122+z z =1)1(2424---+z z z i i z =1212332323-+-+zi z z zi =3.3.化简arccot2+arctan 31= .解:arccot2+arctan 31=arctan 21+arctan 31=arg(2+i)+arg(3+i)=arg[(2+i)(3+i)]=arg(5+5i)=4π.4.rctan 31+arctan 51+arctan 71+arctan 81= .解:arctan 31+arctan 51+arctan 71+arctan 81=arg(3+i)+arg(5+i)+arg(7+i)+arg(8+i)=arg(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)=arg[650(1+i)]=4π. 试问:当且仅当实数x 0,x 1,x 2,...,x n (n≥2)满足什么条件时,存在实数y 0,y 1,y 2,...,y n 使得Z 02=Z 12+Z 22+...+Z n 2成立,其中Z k =x k +iy k ,i 为虚数单位,k=0,1,2,3,...证明你的结论. 解:。
高中数学竞赛_三角 平面向量 复数
专题四 三角 平面向量 复数一 能力培养1,数形结合思想 2,换元法 3,配方法 4,运算能力 5,反思能力 二 问题探讨问题1设向量(cos ,sin )a αα= ,(cos ,sin )b ββ=,求证:sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+.问题2设()f x a b =⋅,其中向量(2cos ,1)a x =,(cos 2)b x x =,x R ∈(I)若()1f x =且[,]33x ππ∈-,求x ; (II)若函数2sin 2y x =的图象 按向量(,)()2c m n m π=<平移后得到函数()y f x =的图象,求实数,m n 的值.问题3(1)当4x π≤,函数2()cos sin f x x x =+的最大值是 ,最小值是 .(2)函数32cos sin cos y x x x =+-的最大值是 .(3)当函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取得最小值时,x 的集合是 . (4)函数sin (0)cos 1xy x x π=<<+的值域是 .问题4已知ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且4,5a b c =+=,tan tan A B +=tan tan )A B -,求角A.三 习题探讨 选择题1在复平面内,复数12ω=-对应的向量为OA ,复数2ω对应的向量为OB ,那么向量AB对应的复数是A,1 B,1- D,2已知α是第二象限角,其终边上一点P(x ),且cos 4x α=,则sin α=D, 3函数2sin(3)4y x π=-图象的两条相邻对称轴之间的距离是A,3πB,23π C,π D,43π4已知向量(2,0)OB = ,向量(2,2)OC = ,向量)CA αα=,则向量 OA 与向量OB的夹角的取值范围是A,[0,]4πB,5[,]412ππ C,5[,]122ππ D,5[,]1212ππ5已知(,2)a λ=,(3,5)b =-,且a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是 A,103λ>B,103λ≥ C,103λ< D,103λ≤ 6若x 是三角形的最小内角,则函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是A,[1,)-+∞ B,[- C, D,1]2填空题7已知sin sin 1αβ⋅=,则cos()αβ+= .8复数13z i =+,21z i =-,则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于第 象限. 9若tan 2α=,则224sin 3sin cos 5cos αααα--= .10与向量1)a =-和b =的夹角相等,的向量c = . 11在复数集C 内,方程22(5)60x i x --+=的解为 .12若[,]1212ππθ∈-,求函数cos()sin 24y πθθ=++的最小值,并求相应的θ的值.13设函数11()22x x f x ---=-,x R ∈,若当02πθ≤≤时,2(cos 2sin )f m θθ++(22)0f m --<恒成立,求实数m 的取值范围.14设5arg 4z π=,且22z R z -∈,复数ω满足1ω=,求z ω-的最大值与最小值勤.15已知向量33(cos ,sin )22a x x = ,(cos ,sin )22x x b =- ,且[0,]2x π∈(I)求a b ⋅ 及a b + ; (II)求函数()4f x a b a b =⋅-+的最小值.16设平面向量1)a =- ,1(,22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-, 使向量2(tan 3)c a b =+- ,tan d ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.问题1证明:由cos cos sin sin a b αβαβ⋅=+,且cos()cos()a b a b αβαβ⋅=⋅-=-得cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ ① 在①中以2πα-代换α得cos[()]2παβ-+=cos()cos sin()sin 22ππαβαβ-+-.即sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+.温馨提示:向量是一种很好用的工具.运用好它,可简捷地解决一些三角,平几,立几,解几等问题.问题2解:(I)可得2()2cos 212sin(2)6f x x x x π==++由12sin(2)6x π++=1得sin(2)62x π+=-又33x ππ-≤≤,得52266x πππ-≤+≤,有26x π+=3π-,解得4x π=-. (II)函数2sin 2y x =的图象按向量(,)c m n =平移后得到函数2sin 2()y n x m -=-, 即()y f x =的图象.也就是1y -=2sin 2()12x π+的图象.而2m π<,有12m π=-,1n =.问题3解:(1)22151sin sin (sin )24y x x x =-+=--+而4x π≤,有sin 22x -≤≤,当1sin 2x =,即6x π=时,max 54y =;当sin 2x =-,即4x π=-时,min 322y =-.(2)32cos (1cos )cos y x x x =+--,令cos t x =,则11t -≤≤,有321y t t t =--+,得'2321y t t =--令'0y =,有11t =,213t =-①当113t -≤<-时,'0y >,y 为增函数;②当113t -<<时,'0y <,y 为减函数. 32111()()()1333y =-----+极大=3227,而y =x=111110--+=,于是y 的最大值是3227.(3) 22cos 1sin 2sin 2cos 22)24y x x x x x π=++=++=++当2242x k πππ+=-,即38x k ππ=-时,min 2y =(4)可得cos 2sin y x y x +=,有sin cos 2x y x y -=)2x y ψ+=,有sin()1x ψ+=≤,得y ≤≤,又0y >,于是有y的值域是.问题4解:由已知得tan tan 1tan tan A BA B+=-⋅即tan()A B +=又000180A B <+<得0120A B +=,060C =.又4,5,a b c =+=得5,b c =-由余弦定理2216(5)8(5)60c c c cos =+---. 得72c =,32b =. 由正弦定理得0742sin sin 60A =,有sin 7A =. 又a c b >>,得A 为最大角.又01sin sin 302B =<=,有030B <,于是090B C +<.所以得A π=-. 习题:1得2122ω=--,11()()2222AB OB OA i =-=----+= ,选D.2 OP =又cos x α==,得x =舍去),有cos 4α=-,sin 4α==,选A.3它的对称轴为:342x k πππ-=+,即34k x ππ=+,有(1)[]()34343k k πππππ++-+=,选A.4(数形结合)由)CA αα=,知点A 在以C (2,2)为圆心(如图),过原点O 作圆C 的切线'OA ,'A 为切点,由OC ='A C =知'6AOC π∠=,有'4612AOB πππ∠=-=,过点O 作另一切线''OA ,''A 为切点,则''54612A OB πππ∠=+=,选D.5由310a b λ⋅=-+ ,a b ⋅= 设a 与b 的夹角为θ,则0090180θ<<, 有1cos 0θ-<<,即10-<<,得225603203100λλλ⎧+->⎨-+<⎩,有103λ>,选A.6由03x π<≤,令sin cos ),4t x x x π=+=+而74412x πππ<+≤,得1t <≤.又212sin cos t x x =+,得21sin cos 2t x x -=,得2211(1)122t y t t -=+=+-,有2111022y -+<≤=,选D. 7显然sin 0α≠且sin 0β≠,有1sin sin αβ=, 当0sin 1β<≤时,11sin β≥,有sin 1α≥,于是sin 1α=,得sin 1β=,则cos cos 0αβ== 得到cos()cos cos sin sin 1αβαβαβ+=-=-, 当1sin 0β-≤<时,同理可得cos()1αβ+=-.8 12(3)(1)24z z z i i i =⋅=++=+,它对应的点位于第一象限.9由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==.10设(,)c x y =,则1)(,)a c x y y ⋅=-⋅=-,(,)b c x y x ⋅=⋅=.设c 与a ,b 的夹角分别为,αβ,则cos a c a c α⋅==⋅,cos b c b c β⋅==⋅由αβ=,y -=x +①;由c ,得222x y +=.②由①,②得, 111212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,221212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,于是11()22c =或11(,)22-- 11设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-.12解:cos()sin 2cos()cos(2)442y πππθθθθ=++=+-+22c o s ()c o s ()144ππθθ=-++++ 令cos()4t πθ=+,得2219212()48y t t t =-++=--+ 由1212ππθ-≤≤,得643πππθ≤+≤,有1cos()242πθ≤+≤,122t ≤≤于是当2t =,即cos()42πθ+=,得12πθ=-时,min 122y =-. 13解:由1()1()22()x x f x f x ------=-=-,知()f x 是奇函数,而'11'11()2ln 22ln 2(1)2ln 22ln 20x x x x f x x ------=---=+>得()f x 在R 上为增函数,则有2cos 2sin 22m m θθ+<+,令sin t θ=有 22(21)0t mt m -++>,[0,1]t ∈恒成立.①将①转化为:22(1)(1)m t t ->-+,[0,1]t ∈ (1)当1t =时,m R ∈;(2)当01t ≤<时,22()2[(1)]1m h t t t >=--+-,由函数2()g x x x=+在(0,1]上递减,知 当0t =时,min ()1h t =-,于是得12m >-. 综(1),(2)所述,知12m >-.14解:设(,)z a bi a b R =+∈,由5arg 4z π=得0b a =<,得222222(1)2(1)(1)(1)z a i a a iz a i a----++-==+ 由22z R z-∈,得210a -=,从而1z i =--, 设,z ω在复平面上的对应点分别为,W Z ,由条件知W 为复平面单位圆上的点,z ω-的几何意义为单位圆上的点W 到点Z 的距离,所以z ω-的最小值为1OZ OA -=;最大值为1OZ OA +=.15解(I)33cos cos sin (sin )cos 22222x xa b x x x ⋅=+-= ,33(cos cos ,sin sin )2222x xa b x x +=+- ,得2cos a b x +== 2cos2x =([0,]2x π∈).(II)22()cos 28cos 2cos 8cos 12(cos 2)9f x x x x x x =-=--=-- 当且仅当cos 1x =时,min ()7f x =-.16解:(I)由c d ⊥ ,1102a b ⋅== ,得2[(tan 3)][tan ]c d a b ma b θθ⋅=+-⋅-+ =223(tan 3tan )0ma b θθ-+-= ,即223(tan 3tan )m a b θθ=- ,得31(tan 3tan )()422m ππθθθ=--<<.(II)由tan t θ=,得31()(3),4m g t t t t R ==-∈求导得''23()(1)4m g t t ==-,令'()0g t =,得11t =-,21t =当(,1)t ∈-∞-,'()0g t >,()g t 为增函数;当(1,1)t ∈-时,'()0g t <,()g t 为减函数; 当(1,)t ∈+∞时,'()0g t >,()g t 为增函数. 所以当1t =-,即4πθ=-时,()m g t =有极大值12;当1t =,即4πθ=时,()m g t =有极小 值12-.。
高中数学竞赛第十五章 复数【讲义】
第十五章 复数 一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。
若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。
模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。
高中数学竞赛试题汇编一二《集合与简易逻辑》《复数》讲义
1. 命题“所有实数的平方都是正数”的否定 （A ）所有实数的平方都不是正数 （B ）有的实数的平方是正数（C ）至少有一个实数的平方不是正数 （D ）至少有一个实数的平方是正数2. 集合{11}P x x =-<{1},Q x x a =-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤ 3. 若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知全集U R =，集合112xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680M x x x =-+≤，图中阴影部分所表示的集合为 （A ）{}0x x ≤（B ）{}24x x ≤≤ （C ）{}024x x x <≤≥或 （D ）{}024x x x ≤<>或 5. 已知集合{}23100A x x x =--≤，{}121B x m x m =+≤≤-，当A B =∅ 时，实数m 的取值范围是(A) 24m << (B) 24m m <>或(C) 142m -<< (D) 142m m <->或6. 已知函数[](),0,1f x ax b x =+∈，“20a b +>”是“()0f x >恒成立”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件7. 已知{}11,10,,lg ,10A B y y x x A ⎧⎫===∈⎨⎬⎩⎭， 则A B = .8. 设集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,18B =，{},C a b a A b B =+∈∈，则集合C 中所有的元素之和为 . 9. 设AB 是两个非空的有限集，全集U A B = 且U 中含有m 个元素，若()()U U C A C B 中含有n 个元素，则A B 中含有元素的个数为 . 10. 设{}2A x x a =-<，{}2230B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 . 11.设{}20122013log log A x x x =<，{}2B x x ax a x =-+< 且A B ⊆，则a 的取值范围是 . 12设{}0,1,2,3A =，{}2,2B x x A x A =-∈-∉，则集合B 的所有元素之和为 .13. 已知复数z 满足2z z i +=+，那么z = .14. 已知复数z 满足1z =，则21z z -+的最大值为 .15. 已知i 是虚数单位，2342013i i i i i+++++= .16. i 是虚数单位，23420131z i i i i i=++++++ ，复数z 的共轭复数记为z ，则z z = . 17. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ） (A) 22z i =+ (B) 22z i =--(C) 22,z i =-+或22z i =- (D) 22,z i =+或22z i =--UNM高中数学竞赛试题汇编一《集合与简易逻辑》《复数》讲义。
高中数学竞赛复数解法
高中数学竞赛复数解法
一、基本概念
1. 复数的定义：复数是一类有虚数单位i(i^2=-1)的数，由实数部分和虚数部分组成，可以写成a+bi(a、b为实数）；
2. 共轭复数：如果z=a+bi(a、b为实数)，则z的共轭复数为z*=a-bi；
3. 复数的模：复数z=a+bi的模为|z|=√(a^2+b^2)；
4. 复数的幅角：复数z=a+bi的幅角为tanθ=b/a(a≠0)；
二、运算技巧
1. 加减法：(a±bi)+(c±di)=(a+c)±(b+d)i；
2. 乘法：(a±bi)(c±di)=(ac-bd)±(ad+bc)i；
3. 除法：若z1=a+bi,z2=c+di(c≠0)，则z1/z2=（ac+bd）/（c^2+d^2）±（bc-ad）/（c^2+d^2）i；
4. 幂次：幂次可以按照分解平方和公式(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi 求解；
三、解题技巧
1. 计算复数的模和幅角：在求复数的模和幅角时，采用简单的数学计算手段可以节省大量的时间；
2. 按照运算法则：解决复数的问题，要按照复数的运算法则(加减乘除法)，熟练掌握，灵活运用；
3. 变量代换：在复数问题中，往往可以将解变量代入原方程，做判断，简化计算量；
4. 提取公因数：在复数的运算过程中，可以通过提取公因数，简化计算量。
高中数学竞赛专题竞赛中的复数问题
Z2,Z3,Z4
共圆的充要条件是:
z3 z4
z1 z1
:
z3 z4
z2 z2
∈R.
二、典型问题
1.复数概念
[例 1]:若对一切θ∈R,复数 z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i 的模不超过 2,则实数
a 的取值范围为 .
[解 析]:|z|≤2 (a+cosθ)2+(2a-sinθ)2≤4 2acosθ-4asinθ≤3-5a2 -2 5 asin(θ+φ) ≤3-5a2 2 5 |a|≤3
z1 z2
+ z2 z3
+
z3 z1
=cos(α-β)+
isin(α-β)+cos(β-γ)+isin(β-γ)+cos(γ-α)+isin(γ-α)=1 sin(α-β)+sin(β-γ)+si
n(γ-α)=0
2sin cos 2 -2sin cos =0 sin sin sin =0.
部是
.
解: = =2 (1 cos 2B i sin 2B)(1 cos 2C i sin 2C) 2 cos B(cos B i sin B) 2 cos C(cos C i sin C)
cos B cos C
1 cos 2A i sin 2A
2 cos A(cos A i sin A)
2
2
2
2
2
2
2
当
sin
2
=0
时,β=2kπ+α
高中数学竞赛专题讲座---复数
复 数专题一 复数与数列复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握．例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48，公比为)26(41i +的等比复数列． （1）求4z ．（2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成 ,,,,21n a a a ，试求3a ． （3）求无穷级数 ++++n a a a 21的和． 解：（1）)6sin 6(cos 21)26(41ππi i r +=+=．i r z 2124834==． （2）使r 为实数的最小自然数是6，数列 ,,,,21n a a a 是首项为48，公比为6r 的等比数列．所以433=a ． （3）这个级数是公比816-==r 的无穷等比级数，从而和3128)81(148=--=． 例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下，n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1（)2≥n ，k 为正的常数．问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近？（当∞→n 时）分析：寻求n a 的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论．解：1+n a 的辐角记作θ，212111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= ．（1）当1=k 时，i n n a a n a n )31()1(211+-+=+-=+，所以)(131tan ∞→→+-=n nn θ． （2）当1≠k 时，211111)1(a k kk a a n n n --++--=k k k k k n n n ---++--=-13)13(1111 ∴)()10(1)1(13313)13(1tan 1∞→⎪⎩⎪⎨⎧<<>+-→---+=-n k k k k k k k nn n θ． 例3 （1）设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系：),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α，其中)1(≠αα是常复数．当1,010==z z 时，试将n z 的值用α表示．（2）若（1）中的i 31+=α，求在圆10||=z （z 是复数）的内部总共含有n z 的个数．解：（1）αα=-=-)(0112z z z z ,21223)(αα=-=-z z z z (1)211)(----=-=-n n n n n z z z z αα于是，从1≠α得，αα--=11nn z ．（2）)3sin 3(cos231ππαi i +=+=，所以)3sin 3(cos 2ππαn i n n n +=,要使n z 在圆10||=z 的内部，它的充分必要条件是10,z <，∴100||2<n z ．即100<⋅n n z z ，而)23cos 21(3121n n n n n z z +-=⋅+π，∴100)23cos21(3121<+-+n n n π．又n n n 2123cos 21+-+π221)21(221n n n -=+->+， 能适合300)21(2<-n 的n 只是4,3,2,1,0．在逐个验证这五个点确信都在圆10||=z 的内部，故符合条件的点共有5个．例4 设平面上有点 ,,10P P ，如图所示，其中，线段 ,,,21100P P P P OP ，的长成首项为1，公比为r 的等比数列．（1）若10<<r ，则当∞→n 时，n P 与哪一点无限接近？（2）将（1）中的极限点用Q 表示．若固定21=r 而θ变动时，点Q 所描述的是怎样的曲线？解：（1）)sin (cos θθωi r +=，此时，若将表示点n P 的复数记作n z ，则有nn n z z ω=--1，其中1-z 就是原点O ．于是)1(11112≠--=++++=+ωωωωωωn nn z ．|1||1||||11|11ωωωω-=-=--++n n n r z , 因此，若10<<r ，令∞→n ，则0|11|→--ωn z ，n z 所表示的点与ω-11所表示的点最靠近． （2）ω-=11z ，则有z z 1-=ω，21=r 固定，θ做变动，点ω总在以原点为圆心的圆周上．但因21||=ω，故有2|1|||=-z z ．于是当点ω在以原点为中心，21为半径的圆上，点ω-11相应的在以点34为圆心，32为半径的圆上． 例5 设在复平面上:（1）原点为O ，表示复数Z 的点为A ，点B 由||||OA k AB =，OA AB , 的交角为θ所确定。
数学竞赛中的复数问题
n 为正整数)
n
为实数时,
|
z+i
| 的最小值为(
A.3
B.
3
C.
23
)
。
D.
33
。 由|
解:
设 z=x+yi(
x,
z|=1,
y∈R)
3
±
1
3
n
+ i 。 | z + i| =
2
2
n
1
3
n
n
(3)
± + i = (3)。 由 此 可 见,当
2
2
n
0
n 取最小值n0 时,
|
z+i
| 取最小值(3) 。
过程并提高解题效率。
变式 4
(
2
0
1
4年全国高中数学联赛天
3
3
2
所以|
- i,
a+b
x+c
x |= 3。
2
2
三、复数的模的运算性质
东省预赛第 6 题 )设 z1 、
z2 为 一 对 不 相 等 的
z1
共轭复数,
且|
则|
z1|= 3, 为 实 数,
z1 -z2|
z2
-1+ 3i
=0。因为z1 -z2 ≠0,
1+
2
2
z1z2 +z2 =0。 则 (
z1 -z2 ) = -3
z1z2 =
. All
Rights
Reserved.
3
|
z|
=-9,
|
z
-z |=3。
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复 数专题一 复数与数列复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握．例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48，公比为)26(41i +的等比复数列． （1）求4z ．（2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成 ,,,,21n a a a ，试求3a ． （3）求无穷级数 ++++n a a a 21的和． 解：（1）)6sin 6(cos 21)26(41ππi i r +=+=．i r z 2124834==． （2）使r 为实数的最小自然数是6，数列 ,,,,21n a a a 是首项为48，公比为6r 的等比数列．所以433=a ． （3）这个级数是公比816-==r 的无穷等比级数，从而和3128)81(148=--=． 例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下，n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1（)2≥n ，k 为正的常数．问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近？（当∞→n 时）分析：寻求n a 的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论．解：1+n a 的辐角记作θ，212111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= ． （1）当1=k 时，i n n a a n a n )31()1(211+-+=+-=+，所以)(131tan ∞→→+-=n nn θ． （2）当1≠k 时，211111)1(a k k k a a n n n --++--=kk k k k n n n ---++--=-13)13(1111 ∴)()10(1)1(13313)13(1tan 1∞→⎪⎩⎪⎨⎧<<>+-→---+=-n k k k k k k k nn n θ． 例3 （1）设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系：),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α，其中)1(≠αα是常复数．当1,010==z z 时，试将n z 的值用α表示．（2）若（1）中的i 31+=α，求在圆10||=z （z 是复数）的内部总共含有n z 的个数． 解：（1）αα=-=-)(0112z z z z ,21223)(αα=-=-z z z z (1)211)(----=-=-n n n n n z z z z αα于是，从1≠α得，αα--=11nn z ．（2）)3sin3(cos231ππαi i +=+=，所以)3sin 3(cos2ππαn i n n n +=,要使n z 在圆10||=z 的内部，它的充分必要条件是10,z <，∴100||2<n z ．即100<⋅n n z z ，而)23c o s 21(3121n n n n n z z +-=⋅+π， ∴100)23cos21(3121<+-+n n n π．又n n n 2123cos 21+-+π221)21(221n n n -=+->+， 能适合300)21(2<-n 的n 只是4,3,2,1,0．在逐个验证这五个点确信都在圆10||=z 的内部，故符合条件的点共有5个．例4 设平面上有点 ,,10P P ，如图所示，其中，线段 ,,,21100P P P P OP ，的长成首项为1，公比为r 的等比数列．（1）若10<<r ，则当∞→n 时，n P 与哪一点无限接近？（2）将（1）中的极限点用Q 表示．若固定21=r 而θ变动时，点Q 所描述的是怎样的曲线？解：（1）)sin (cos θθωi r +=，此时，若将表示点n P 的复数记作n z ，则有n n n z z ω=--1，其中1-z 就是原点O ．于是)1(11112≠--=++++=+ωωωωωωn nn z ．|1||1||||11|11ωωωω-=-=--++n n n r z , 因此，若10<<r ，令∞→n ，则0|11|→--ωn z ，n z 所表示的点与ω-11所表示的点最靠近． （2）ω-=11z ，则有z z 1-=ω，21=r 固定，θ做变动，点ω总在以原点为圆心的圆周上．但因21||=ω，故有2|1|||=-z z ．于是当点ω在以原点为中心，21为半径的圆上，点ω-11相应的在以点34为圆心，32为半径的圆上． 例5 设在复平面上:（1）原点为O ，表示复数Z 的点为A ，点B 由||||k =，, 的交角为θ所确定。
试求 表示点B 的复数。
这里k 是实数。
（2）点列 ,,,,,210n A A A A 由下述方式确定：0A 取)0,0(，1A 取)0,1(，),3,2,1(1 =+n A n 由||2||11n n n n A A A A -+=，以及n n n n A A A A 11,-+的夹角θ所定义。
试求被表示为n A 复数n z 。
（3）若（2）中，2πθ=，且记12311-+++=n z z z S ，n z z z S 2422+++= ，将212iS S +化简。
解：（1）将表示B 的复数记作ω，则对有关系AB OC =的点C 表示为复数，就是z -ω，从而)sin (cos θθωi kz z +=-，所以z ik k ]sin )cos 1[(θθω++=。
（2）A A A A n n n n ==+-11,所表示的点Q P ,，则用复数分别表示为n n n n z z z z --+-11,。
由θ=∠POQ ，推出n n z z -+12=)s i n )(c o s (1θθi z z n n +--，因此，数列}{1--n n z z 是首项为10101=-=-z z ，公比为)sin (cos 2θθi +的等比数列。
所以1--n n z z 11)sin (cos 2--+=n n i θθ（n 是正整数）。
所以)sin (cos 21)sin (cos 21θθθθi n i n z n n +-+-=。
（3）数列}{},{212k k z z -仍为等比数列，故可求得ni iS S =+212。
专题二 复数与几何1. 有关轨迹问题：例1 已知一圆B 及圆外一点A ，在圆上任取一点Q ，以AQ 为边按逆时针作正三角形AQP ，求点P 的轨迹.解：如图：建立复平面，设a AB =，圆B 半径为r .P 、Q 分别对应复数为1,z z则r a z =-1.令3sin 3cos 0ππi z +=， 3π=∠QAP ，∴01,01z z z z z z =⋅=故r a z z=-0,∴r z r az z ==-00.故点P 的轨迹是圆，圆心对应的复数 为0az ，即i a a 232+，半径为r . 例2 已知复数2121,,z z z z +在复平面上分别对应点A 、B 、C ，O 为复平面的原点.(1) 若i z 21231+=，向量逆时针旋转︒90，模变为原来的2倍后与向量重合，求2z ； （2）若)(22121z z z z +=-，试判断四边形OACB 的形状.解：向量逆时针旋转︒90，模变为原来的2倍所得的向量对应的复数为i z 21⋅，而对应的复数为21z z +，故21z z +=i z 21⋅.故=+-=)21(12i z z )21)(2123(i i +-+ 整理可得：i z 21322322-++-=. (2) )(22121z z z z +=-,OC BA ⊥.又 四边形OACB 为平行四边形，∴四边形OACB 为菱形.2. 复数的模与辐角求复数的辐角主值常有两种方法：(1) 利用复数的三角式，应用三角函数的知识求解.(2) 根据复数的几何意义，将问题转化为几何问题求解.例3 设复数z 满足1=z ,求复数2-z 的辐角主值的最大值与最小值。
解：1=z ∴可设)20(sincos πθθθ<≤+=i z ,θθsin 2cos 2i z +-=-∴.设a z =-)2arg(,由于,1sin1,02cos ≤≤-<-θθ故232ππ<<a . 令,2cos sin -==θθtga y 则可先求出y 的最值。
由,2cos sin ,sin 2cos y y y y -=-=-θθθθ得)(2)sin(12y tg y y =-=-+ϕϕθ其中,1)sin(≤-ϕθ ,212y y +≤-∴,即,3333,1422≤≤-+≤y y y 3333≤≤-∴tga ,故67)2arg(,65)2arg(max min ππ=-=-z z . 方法二:由1=z ，知z 对应的点Z 在单位圆122=+y x 上，设A （2，0），根据复数减法的几何意义，复数2-z 对应的向量是AZ .（如图），当射线AZ 是圆O 的切线时，2-z 对应的向量分别为21AZ AZ 和，其中Z 1，Z 2为切点.连接OZ 1，则11AZ OZ ⊥，可知1OAZ ∆为直角三角形.由2,11==OA OZ ,故67)2arg(,65)2arg(max min ππ=-=-z z例4 设{}{},,1z 12 C z z z z A ∈≤⋂≤+=求A 中辐角主值最大的复数z .解：12≤+z 满足 的点在以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆内（包括圆周），满足1≤z 的点在单位圆内，（包括圆周），A ∴对应如图两圆共同部分 .A ∴中辐角主值最大的复数P 点对应的复数i i z 222245sin 45cos--=+=ππ 例5 若c z z ∈21,,求证：21211z z z z ⋅-=-成立的充分必要条件是21z z 、中至少有一个是1.证：必要性：212211z z z z ⋅-=- ,2212211z z z z ⋅-=-∴,故有()()()()2121212111z z z z z z z z ⋅-⋅⋅-=-⋅-.根据互为共轭的复数间关系有： ()())1)(1(21212121z z z z z z z z ⋅-⋅-=--.化简整理得：212122111z z zz z z z z ⋅⋅+=⋅+⋅222122211z z z z ⋅+=+∴,()()0112221=--∴z z ,1z ∴、2z 至少有一个为1 。
充分性：以上过程均可逆。
结论成立。
常用到的与复数的模相关的结论：（1）22||||z z z z ==⋅ （2）||||||2121z z z z ⋅=⋅ )(||||N n z z n n ∈=⇒ （3）)0(||||||22121≠=z z z z z （4）||||||||||||212121z z z z z z +≤+≤-. （5）)(|||||,|||bi a z z b z z a z +=≤≤-≤≤-,.||2||2||||2221221221z z z z z z +=-++ 例6 某草场上有宝.取宝法如下：该草场上原有一株橡树、一株松树、一个绞架.从绞架走到橡树，记住步数，向右拐︒90走同样多步打个桩.然后回到绞架那里，再走到松树，记住步数，向左拐︒90走同样多步，又打一个桩.在这两个桩正中挖掘，可以得宝。