江苏大学2007年数学分析考研试题
2007年考研数学试题详解及评分参考
f (x, y)dy =
G
G dy = y2 - y1 < 0 ，是正确选项；
ò ò 对选项(C)，有 f (x, y)ds = ds = l > 0 ，（其中 l 为的弧长），应排除；
G
G
ò ò 对选项(D)，有
G
f
¢
x
(
x,
y)dx
+
f
¢
y
(
x,
y)dy
=
0dx + 0dy = 0 ，应排除.
G
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2007 年数学试题详解及评分参考
2007 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一、选择题 （ 1 ～ 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。）
(1) 当 x ® 0+ 时，与 (A) 1- e x
【答】 应选 (B) .
x 等价的无穷小量是
1- x
1- x 1- x
x+x:
x ，1- cos
x
:
1 2
(
x )2
=
1 2
x
.
故选 (B) .
(2)
曲线 y
=
1 x
+ ln(1+ ex ) 渐近线的条数为
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【答】 应选 (D) .
【解】
因 lim y x®+¥
=
lim [1 x x®+¥
+ ln(1+ ex )] = +¥ ， lim x®-¥
y
=
lim [1 x x®-¥
2007年考研数学一真题及分析
2007年数学一试题分析、详解和评注分析解答所用参考书：1.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学经典讲义（理工类）》，简称经典讲义（人大社出版）. 2.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学历年真题题型解析》，简称真题（人大社出版）. 3.黄先开、曹显兵教授在2006强化辅导班上的讲稿.一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当0x +→(A)1-(B) ln(C)1.(D) 1cos -. 【 】【答案】 应选(B). 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111cos~.22x -= 利用排除法知应选(B).【评注】本题直接找出ln但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案。
事实上，2ln(1)ln(1ln(1)ln(1)lim lim lim tx x t x t t t+++→→→+--+--==22200212(1)111lim lim 1.1(1)(1)t t tt t t tt t t ++→→+-+++-==+-(2)曲线1ln(1)xy e x=++，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】 【答案】 应选(D).【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim [ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)limlim []limxxx x x y e e xxxx→+∞→+∞→+∞++=+==lim11x xx ee→+∞=+，1l i m [1]l i m [l n (1)]xx x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim [ln(1)]xx e x →+∞+-=lim [ln (1)]lim ln(1)0xxxx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).【评注】 一般来说，有水平渐近线(即lim x y c →∞=)就不再考虑斜渐近线，但当lim x y →∞不存在时，就要分别讨论x →-∞和x →+∞两种情况，即左右两侧的渐近线。
模2007年硕士招生专业课试卷
第5页，共 5 页
八、 （15 分）已知某线性时不变系统的输入输出关系为
y1 (k ) e(k ) e 8 e(k 8)
试求： （1） 该系统的系统函数 H1 ( z )
0 1
Y1 ( z ) ，标明收敛域，并在复平面中画出其零、极点图。 E( z) （2） 若用一个线性时不变系统从 y1 (k ) 中恢复 e(k ) ，使得输出 y(k ) e(k ) ，求该系统的系 Y ( z) 统函数 H 2 ( z ) ，写出 H 2 ( z ) 所有可能的收敛域，并讨论系统的因果稳定性。 Y1 ( z ) （3） 求出所有可能使 y(k ) h2 (k ) y1 (k ) e(k ) 的单位序列响应 h2 (k ) 。 代表卷积和） （
九、 （14分）列写如图9所示电路的状态方程。要求以 i L1 , i L2 , u c 为状态变量。
3 L 1
i (t ) R iL1
iL
L3 iL2 L2 C uc
图9
第6页，共 5 页
e1 (t )
2
r1 (t )
1
e 2 (t )
sin(t )
1
0
1
（a）
t
0
1
（b）
2 t
图3
0
（c）
1
t
四、 分） （15 如图 4 所示系统， 已知 e(t )
n
e
jnt
（ t ） s(t ) cos t ， t ， ；
j 3 H ( j ) e 0
1
k
0 1 2 3
（b）
k
（a） 图 1.3 8、序列 f (k ) A、
苏州大学数学分析试题集锦(2000-2012年)
苏州大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题一、下列命题中正确的给予证明，错误的举反例或说明理由。
共4题，计30分。
1. 设()f x 在[],a b 上连续，且()0ba f x dx =⎰，则[],x ab ∀∈，()0f x =。
2. 在有界闭区间[],a b 上可导的函数()f x 是一致连续的。
3. 设()f x 的导函数()f x '在有限区间I 上有界，则()f x 也在I 上有界。
4. 条件收敛的级数1n n a∞=∑任意交换求和次序得到的新级数也是收敛的。
二、下列4题每题15分，计60分。
1. 计算下列极限：（1） 111lim 12nn n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭； （2） sin 0lim sin x xx e e x x→--。
2. 求积分2D I x y dxdy =-⎰⎰，其中(){},:01,11D x y x y =≤≤-≤≤。
3. 设L 为单位圆周221x y +=，方向为逆时针，求积分()()⎰+++-=L y x dy y x dx y x I 224。
4. 计算曲面积分 ()42sin z S xdydz e dzdx z dxdy ++⎰⎰， 其中S 为半球面2221x y z ++=，0z ≥，定向为上侧。
三、下列3题，计36分。
1. 设()f x 在[],a b 上可微，证明：存在(),a b ξ∈，使成立 ()()()()()222f b f a b a f ξξ'-=-。
2. 设()2sin x f x e x =，求()()20120f 。
3. 设()f x 在闭区间[],a b 上二阶可导且()0f x ''<，证明不等式()()2ba ab f x dx f b a +⎛⎫≤- ⎪⎝⎭⎰。
四、下列3题选做2题，计24分。
1.（1） 设{}n a 是正数列，且lim 0n n a →∞=。
2007年考研数学一真题及问题详解
2007年考研数学一真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)当时，与等价的无穷小量是(A) (B)(C) (D)【答案】B。
【解析】当时几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D。
【解析】由于∞，则是曲线的垂直渐近线；又∞∞∞∞∞所以是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于∞一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在∞一侧。
∞∞∞∞∞∞∞∞∞则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)【答案】C。
【解析】【方法一】四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定则【方法二】由定积分几何意义知,排除(B)又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而显然排除(A)和(D),故选(C)。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)设函数在处连续，下列命题错误．．的是(A)若存在，则(B)若存在，则(C) 若存在，则′存在(D) 若存在，则′存在【答案】D。
【解析】(A)：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确；(B)：若存在，则,则，故(B)正确。
(C)存在，知，则′则′存在，故(C)正确(D)存在，不能说明存在例如在处连续，存在，但是′不存在，故命题(D)不正确。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5)设函数在∞内具有二阶导数，且′′,令,则下列结论正确的是(A)若,则必收敛 (B)若,则必发散(C)若,则必收敛 (D)若,则必发散【答案】D。
2007年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷.doc
2007年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷(总分：32.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 2.设x 1=0．2008和2=0．1809是具有4位有效数字的近似值，则x 1x 2至少具有______位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 3.给定方程x=1+sin2x，求该方程根的Newton迭代格式是_______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________4.设 2.00）__________________________________________________________________________________________ 5.设f(x)=x(x-1)(x-2)，则[0，1，2，3]=______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________6.设f(x)在[0，1]上2 2.00）__________________________________________________________________________________________7. 2.00）__________________________________________________________________________________________8. 2.00）__________________________________________________________________________________________ 二、计算题(总题数：2，分数：4.00)9. 2.00）__________________________________________________________________________________________10. 2.00）__________________________________________________________________________________________ 三、证明题(总题数：2，分数：4.00)11.给定线性方程组Ax=b，其中A∈R n×n可逆，b∈R n为非零向量，x∈R n．设x *和程组的精确解和近似解，证明： 2.00）__________________________________________________________________________________________ 12.用插值法求一个二次多项式p 2 (x)，使得曲线y=p 2 (x)在x=0处与曲线y=cosx相切，在x=兀／2处与y=cosx相交，并证明： 2.00）__________________________________________________________________________________________四、综合题(总题数：4，分数：8.00)13.求函数f(x)=xe x在区间[0，1]上的1次最佳平方逼近多项式p 1 (x)=ax+b（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________14.给定求积公式求A，x 0，x 1，使得求积公式具有尽可能高的代数精度，并指出所达到的最高代数精度的次数； 2)设f(x)在[0，2]上充分光滑，求由1)所确定的求积公式的截断误差，并将其表示为 2.00）__________________________________________________________________________________________15.n, 2.00）__________________________________________________________________________________________16.给定初边值问题 2.00）__________________________________________________________________________________________。
苏州大学研究生入学考试试题-数学分析历年真题.doc
08071. 06求下列极限:(1).(1)lim n n n αα→∞⎡⎤+-⎣⎦，其中01α；（2）224cos arcsin 0limx x ex x --→2．设函数f(x)= 1sin ,00,0m x x x x ⎧≠⎨=⎩。
讨论m=1,2,3时f(x)在x=0处的连续性，可微性及导函数的连续性。
3．设u=f(x,y+z)二次可微。
给定球变换cos sin x ρθϕ=,sin sin y ρθϕ=,cos z ρϕ=.计算22,u u ϕθ∂∂∂∂。
4．设f(x)二次可导，'()f a ='()f b =0。
证明(,)a b ξ∃∈，使2''4()()()()b a f f a f b ξ-≥-。
5．设函数项级数1()n n u x ∞=∑在区间I 上一致收敛于s(x)，如果每个()n u x 都在I 上一致连续。
证明s(x)在I上一致连续。
6．设f(x,y)是2上的连续函数，试交换累次积分2111(,)x x xdx f x y dy +-+⎰⎰的积分次序。
7．设函数f(x)在[0,1]上处处可导，导函数'()()()f x F x G x =-，其中()F x ，()G x 均是单调函数，并且'()f x >0，[0,1]x ∀∈。
证明 0c ∃>，使'()f x c ≥，[0,1]x ∀∈。
8．设三角形三边长的和为定值P 。
三角形绕其中的一边旋转，问三边长如何分配时旋转体的体积最大？051.(20')1)11(2)lim(),()0,()()()()()()()0,()n n n n x aa b bbf a f a f x f a x a f a x a f a f a →<≤≤=='''-≠'---''''''≠求下列极限（）而因此其中存在解：由于存在，从而f(x)=f(a)+f (a)(x-a)+f (a)222222(())211()()(()())lim()lim()()()()()(()())()()()()()((()))2lim(()()()((()))2limx a x a x a x o x a x a f a f x f a f x f a x a f a f x f a x a f a x a x a f a o x a x a x a f a o x a →→→+-'----=''-----''''--+-=-''''-+-=f (a)(x-a)+f (a)f (a)(x-a)+f (a)22222()(())2()()()((()))21()()2lim ()2[()]()(()(())2a x a x a o x a x a x a f a o x a f a f a x a f a f a f a o x a →→-''+--''''-+-''-''==--'''''++--f (a)f (a)(x-a)+f (a)f (a)000002.(18')()[01]()()0()0.()[0,1]()[0,1]}[0,1],()0,1,2}{},()()0()0()limx x f x f x f x x f x f x f n x k f f x f x →='≠⊂==→→∞=='=k k k n n n n n n 设在，上可微，且的每一个零点都是简单零点，即若则f 证明：在上只有有限个零点。
[考研类试卷]2007年攻读理学博士学位研究生入学考试(数值分析)真题试卷.doc
![[考研类试卷]2007年攻读理学博士学位研究生入学考试(数值分析)真题试卷.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/fe7b345476a20029bc642d85.png)
[考研类试卷]2007年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷1 给定方程sinx+x2—3x=0． 1)分析该方程存在几个实根； 2)用适当的迭代法求出这些根，精确到3位有效数字．2 用列主元Gauss消去法解线性方程组3 给定线性方程组其中a，b，c，d，e，f为常数，且ad≠bc．1)分别写出Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式．2)下面情况哪个会发生? (i)Jacobi 迭代格式收敛，且Gauss-Seidel迭代格式收敛； (ii)Jacobi迭代格式收敛，但Gauss-Seidel迭代格式发散； (iii)Jacobi迭代格式发散，但Gauss-Seidel迭代格式收敛；(iv)Jacobi迭代格式发散，且Gauss-Seidel迭代格式发散．4 设x i(0≤j≤n)是(n+1)个不同的点，a j(O≤j≤n)是已知常数．作一个(2n+1)次多项式p(x)，使得p(x j)=0，p'(x j)=a j，0≤j≤n．5 设f(x)∈C4[a，b]，考虑积分I(f)=∫a b f(x)dx1)写出计算积分I(f)的复化Simpson公式S n(f)．该公式是几阶求积公式?其代数精度是多少?2)已知(A)是一个Gauss求积公式，证明：(B)也是一个Gauss求积公式．6 考虑常微分方程初值问题取正整数n，记h=(b—a)／n，x i=a+ih，0≤i≤n．证明：至少是一个3阶公式．7 设f(x)=3x—x2，x∈[0，2]． 1)试求f(x)的一次最佳平方逼近多项式； 2)试求f(x)的一次最佳一致逼近多项式．8 设初边值问题(C)存在充分光滑的解，其中ψ(0)=ψ(1)=0．取正整数M和K，并记h=1／M，τ=T／K，x i=ih,t k=kτ，．现给出如下差分格式：(D)其中1)将差分格式(D)写成标准的线性方程组Ax=b的形式；2)分析差分格式(D)的截断误差；3)给出差分解的先验估计式；4)令e i k=u(x i，t k)-u i k，0≤i≤M，0≤k≤K，证明：存在正常数c，使得‖e k‖≤c(τ2+h2)，1≤k≤K，其中‖e k‖为e k=(e0k，e1k，…，e M-1k，e M k)的某种范数．。