走向高考

高考数学第四章 第五讲时间：60分钟 满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．(2009·北京海淀)函数f (x )＝sin(π4－x )的一个单调增区间为 ( )A ．(3π4，7π4)B ．(－π4，3π4)C ．(－π2，π2)D ．(－3π4，π4)答案：A解析：f (x )＝sin(π4－x )＝－sin(x －π4)，因为sin(x －π4)的单调递减区间为(3π4＋2kπ，7π4＋2kπ)，k ∈Z ，所以 y ＝sin(π4－x )的一个单调递增区间为(3π4，7π4)．2．(2010·唐山市高三摸底考试)函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x 是 ( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数答案：D解析：由f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝12(2sin x cos x )2＝12sin 22x ＝12×1－cos4x 2＝14－14cos4x ，T ＝2π4＝π2，且f (x )＝f (－x )是偶函数，故选D. 3．(2009·四川，4)已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R)，下面结论错误．．的是 ( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数 答案：D解析：∵y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，但y ＝－cos x 为偶函数，故选D.∴T ＝2π，在[0，π2]上是增函数，图象关于y 轴对称．故选D.4．(2009·江西，4)函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为 ( )A ．2π B.3π2 C ．π D.π2答案：A解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，T ＝2π|w |＝2π，故选A.5．(2009·天津，7)已知函数f (x )＝sin(w x ＋π4)(x ∈R ，w ＞0)的最小正周期为π.将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 ( )A.π2B.3π8C.π4D.π8答案：D解析：∵2πw ＝π，∴w ＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋π4)，将它向左平移|φ|个单位长度，得f (x )＝sin[2(x ＋|φ|)＋π4]，∵它的图象关于y 轴对称，∴2(0＋|φ|)＋π4＝π2＋kπ，k ∈Z.∴φ＝π8＋kπ2，k ∈Z ，∴φ的一个值是π8，故选D.6．(2009·湖南株洲)若函数y ＝f (x )同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；(2)图象关于直线x ＝π3对称；(3)在区间[－π6，π3]上是增函数，则 ( )A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝cos(2x ＋π3)C ．y ＝cos(2x －π6)D ．y ＝sin(2x －π6)答案：D解析：由y ＝sin(w x ＋φ)的图象性质可知y ＝sin(2x －π6)满足题中三个性质．7．已知函数y ＝sin w x 在[－π3，π3]上是减函数，则w 的取值范围是 ( )A ．[－32，0) B ．[－3,0)C ．(0，32] D ．(0,3]答案：A解析：由题意可得w <0，且有⎩⎨⎧－π3w ≤π2，π3w ≥－π2，解之得w ∈[－32，0)．选A.8．若函数f (x )＝sin w x ＋3cos w x ，x ∈R ，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于3π4，则正数w 的值为( )A.13B.23C.43D.32答案：B解析：由于f (x )＝sin w x ＋3cos w x ＝2sin(w x ＋π3)，又f (α)＝－2，f (β)＝0，所以x ＝α是函数图象的一条对称轴，(β，0)是函数图象的一个对称中心，故|α－β|的最小值应等于T4，其中T 是函数的最小正周期，于是有14·2πw ＝3π4，故w ＝23.总结评述：本题主要考查了正弦函数的图象与性质，解题中注意利用重要结论：正弦函数图象的对称轴都通过函数的最值点；正弦函数的任意一个对称中心和其相邻的一条对称轴之间的距离最小值等于T4(其中T 是函数的周期)．二、填空题(4×5＝20分)9．函数f (x )＝cos2x －23sin x cos x 的最小正周期是________． 答案：π解析：f (x )＝cos2x －3sin2x ＝2cos(2x ＋π3)，故f (x )的最小正周期为2π2＝π.10．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x －θ)为偶函数，则常数θ的值为__________．答案：kπ－π6(k ∈Z)解析：依题意，f (－x )＝f (x )恒成立，所以sin(－x ＋θ)＋3cos(－x －θ)＝sin(x ＋θ)＋3cos(x －θ)．即sin(θ－x )－sin(x ＋θ)＝3cos(x －θ)－3cos(x ＋θ)成立．所以sin θcos x －cos θsin x －sin x cos θ－cos x sin θ＝3(cos x cos θ＋sin x sin θ－cos x cos θ＋sin x sin θ)，所以2cos θsin x ＋23sin x sin θ＝0对任意x 成立，又sin x ≠0，所以cos θ＋3sin θ＝0，tan θ＝－33，所以θ＝kπ－π6(k ∈Z)．11．(2009·江苏丹阳高级中学一模)给出下列四个命题，其中不正确的序号是________．①若cos α＝cos β，则α－β＝2kπ，k ∈Z ；②函数y ＝2cos(2x ＋π3)的图象关于x ＝π12对称；③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R)为偶函数；④函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π.答案：①②④解析：对于①，若cos α＝cos β，则α－β＝2kπ或α＋β＝2kπ或k ∈Z ，①不正确；对于②，函数y ＝2cos(2x ＋π3)的图象关于直线2x ＋π3＝kπ，k ∈Z 对称，即x ＝kπ2－π6，k ∈Z ，当k＝1时对称轴为x ＝π3，②不正确；对于④，sin|－π3|＝sin π3＝32，sin|－π3＋2π|＝sin 5π3＝－32，故④不正确．12．已知f (x )＝sin(w x ＋π3)(w ＞0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)有最小值，无最大值，则w ＝____.答案：143解析：由题意知x ＝π6＋π32＝π4为函数的一条对称轴，且w ×π4＋π3＝2kπ－π2(k ∈Z)．得w ＝8k －103(k ∈Z)①又π3－π6≤2πw (w ＞0)， ∴0＜w ＜12.②由①②得k ＝1，w ＝143，故填143.三、解答题(4×10＝40分)13．已知函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)＋cos2x ＋a (a ∈R ，a 为常数)．(1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间；(3)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．解析：(1)f (x )＝2sin2x cos π6＋cos2x ＋a ＝3sin2x ＋cos2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋a ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当2kπ＋π2≤2x ＋π6≤2kπ＋3π2，即kπ＋π6≤x ≤kπ＋2π3(k ∈Z)时，函数f (x )单调递减，故所求区间为[kπ＋π6， kπ＋2π3](k ∈Z)．(3)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴x ＝π2时，f (x )取得最小值．∴2sin(2·π2＋π6)＋a ＝－2. ∴a ＝－1.14．(2009·河南六市一模)已知函数f (x )＝sin(w x ＋φ)(w ＞0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点(3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和w 的值．解析：∵f (x )是R 上的偶函数，且0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝sin(w x ＋π2)＝cos w x .又∵图象关于点(3π4，0)对称，∴f (3π4)＝0.即cos 3π4w ＝0，3π4w ＝kπ＋π2，k ∈Z ，又f (x )在[0，π2]上是单调函数，∴w ＝43k ＋23，k ∈Z.∴π2w ≤π， ∵w ＞0，∴0＜w ≤2，即0＜43k ＋23≤2，∴－12＜k ≤1，k ∈Z.∴k ＝0或k ＝1，∴w ＝23或w ＝2.15．(2009·重庆，16)设函数f (x )＝(sin w x ＋cos w x )2＋2cos 2w x (w ＞0)的最小正周期为2π3.(1)求w 的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到的．求y ＝g (x )的单调增区间．解析：(1)f (x )＝sin 2w x ＋cos 2w x ＋2sin w x cos w x ＋1＋cos2w x ＝sin2w x ＋cos2w x ＋2＝2sin(2w x ＋π4)＋2，依题意得2π2w ＝2π3，故w ＝32.(2)依题意得g (x )＝2sin[3(x －π2)＋π4]＋2＝2sin(3x －5π4)＋2.由2kπ－π2≤3x －5π4≤2kπ＋π2(k ∈Z)解得23kπ＋π4≤x ≤23kπ＋7π12(k ∈Z)．故g (x )的单调增区间为 [23kπ＋π4，23kπ＋7π12](k ∈Z)． 16．(2009·重庆，19)设函数f (x )＝sin(π4x －π6)－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解析：(1)由f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin(π4x －π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)解法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))． 由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin(π2－π4x －π3)＝3cos(π4x ＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.解法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于x＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值即为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(π4x －π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。