河北省唐山市开滦第二中学_学年高一数学下学期期末考试试题【含答案】
河北省唐山市开滦一中2021-2022高一数学下学期期末考试试题(含解析)
河北省唐山市开滦一中2021-2022高一数学下学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1. 在ABC 中，A B C >>，且2C π≠，则下列结论中正确的是（ ）A. tan tan A C <B. tan tan A C >C. sin sin <A CD.sin sin A C >【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值排除错误选项，利用正弦定理证明正确选项 【详解】若543,,12123124A B C πππππ=====，由于02C A π<<<,则tan tan A C >，所以A 选项错误.若74,,1212312A B C ππππ====，则tan 0tan A C <<， 75sin sin sin sin sin 121212A C πππ==>=，所以BC 选项错误.在三角形ABC 中，大角对大边，由于A C >，所以a c >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >①，R 是三角形ABC 外接圆的半径.由①得sin sin A C >.所以D 选项正确. 故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查正弦定理，属于基础题. 2. 不等式112x <的解集为（ ） A. (,2)-∞B. (2,)+∞C. (0,2)D.(,0)(2,)-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】移项通分后转为一元二次不等式即可求其解集. 【详解】112x <等价于202x x-<即()20x x ->， 故不等式的解为0x <或2x >，故解集为()(),02,-∞+∞，选D.【点睛】本题考查分式不等式的解，属于基础题.3. 若(1,2)OA =，(1,1)OB =-则AB 等于（ ） A. ()0,3- B. ()0,1C. ()1,2-D. ()2,3-【答案】A 【解析】 【分析】利用向量减法的坐标运算求得AB .【详解】依题意()()()1,11,20,3AB OB OA =-=--=-. 故选：A【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，属于基础题.4. 已知{}n a 是等差数列，且1415a a +=，则23a a +的值是（ ） A. 20 B. 15C. 10D. 5【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质直接求解. 【详解】{}n a 是等差数列，且1423，231415a a a a ∴+==+.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题. 5. 下列事件：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a ，b 都不为0，但220a b +=；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温． 其中为随机事件的是（ ） A. ①②③ B. ①③④C. ①②④D. ②③④【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件概念逐一判断，即可选择.【详解】任取三条线段，这三条线段不一定能组成直角三角形，所以①为随机事件； 从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线不一定交于一点，所以②为随机事件； 因为当实数a ，b 都不为0时220a b +≠，所以③为不可能事件；明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，所以④为随机事件； 故选C ．【点睛】本题考查随机事件概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 6. 不等式22120x ax a --<（其中0a >）的解集为（ ） A ()3,4a a - B. ()4,3a a -C. ()3,4-D. ()2,6a a【答案】A 【解析】 【分析】先因式分解，再根据解的大小写出不等式解集. 【详解】22120(3)(4)034,(0)x ax a x a x a a x a a --<∴+-<∴-<<>故选：A【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 7. 对于0,0a b >>，下列不等式中不正确的是（ ）A. 22222a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 222a b ab +C. 22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭11a b<+【解析】 【分析】举例可确定不正确的选项，其它选项可利用作差法证明成立.【详解】当9a b ==时，满足0,0a b >>，但9211229a b=>=+，即D 不正确； 22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭222()024a ba b +---=≤∴22222a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即A 正确； 22222()0222a b a b a b ab ab +--+-=≤∴≤，即B 正确； 2222)042(a b a b a b ab ab --=≤∴++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 正确；故选：D【点睛】本题考查作差法判断不等式，考查基本分析判断能力，属基础题.8. 羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的概率为（ ） A.710B.67C.35D.45【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法求得所有的可能，结合古典概型概率计算，计算出所求的概率.【详解】依题意从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊的可能事件有：（喜羊羊、美羊羊），（喜羊羊、懒羊羊），（喜羊羊、暖羊羊），（喜羊羊、沸羊羊），（美羊羊、懒羊羊），（美羊羊、暖羊羊），（美羊羊、沸羊羊），（懒羊羊、暖羊羊），（懒羊羊、沸羊羊），（暖羊羊、沸羊羊），共10种.其中喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的为：（喜羊羊、美羊羊），（喜羊羊、懒羊羊），（喜羊羊、暖羊羊），（喜羊羊、沸羊羊），（美羊羊、懒羊羊），（美羊羊、暖羊羊），（美羊羊、沸羊羊），共7种.所以喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的概率为710.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.9. 已知向量31,cos ,cos ,26a b αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若//a b ，则锐角α为（ ） A. 30 B. 60︒ C. 45︒ D. 75︒【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行坐标表示列方程，解得结果. 【详解】因为//a b ，所以22311cos cos 264αα=⨯∴= 因为α为锐角，所以1cos 602αα=∴= 故选：B【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题. 10. 已知ABC的内角,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ．若1sin 4a A =，则sin sin sinbc aB C A+-+-等于（ ）A.14B. 4C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可得sin 4,sin 4,sin 4A a B b C c ===，代入即可得结果.【详解】由正弦定理,1sin 4a A =sin sin b cB C==，即sin 4,sin 4,sin 4A a B b C c ===，则sin sin sin b c aB C A +-+- 14444b c a b c a +-==+-， 故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，实现边角互化是解题的关键，属于基础题.11. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A.110B.15C.310D.25【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数25n =，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率. 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数5525n =⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有10m =个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率102255p ==， 故选：D.【点睛】本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题.12. 已知数列{}n a ：112,233+，123444++，12345555+++，…，又1114n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前n 项的和n S 为（ ） A. 1411n ⎛⎫-⎪+⎝⎭B. 11421n ⎛⎫-⎪+⎝⎭C. 111n -+ D.1121n -+ 【答案】C 【解析】 【分析】可观察出(1)1232112n n n n n a n n +++++===++，然后用裂项相消法即可求出{}n b 的前n 项和.【详解】因为数列{}n a 为:12，1233+，123444++，12345555+++，… 所以(1)1232112n n n n n a n n +++++===++， 所以1111114(1)1n n n b a a n n n n +=⋅==-++，所以{}n b 的前n 项和为11111111112233411n n n -+-+-++-=-++ 故选：C.【点睛】本题考查用裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题44分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为6的样本，则抽取的女生人数为________． 【答案】2 【解析】 【分析】分层抽样的抽取比例为样本容量总体个数，抽取的女生人数为抽取比例⨯女生人数．【详解】由题意知：分层抽样的抽取比例为6136189=+，∴抽取的女生人数为11829⨯=．故答案为：2．【点睛】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的定义是关键，属于基础题．14. 在数列{}n a 中，223n S n n =-，则通项公式n a =________．【答案】45n - 【解析】 【分析】首先利用1n n n a S S -=-得出2n ≥时的通项公式，把1n =代入此通项公式检验也满足，从而得到数列的通项公式.【详解】当1n =时，11231a S ==-=-，当2n ≥时，()()12223213145n n n n n a S S n n n -=---+-=--=，1n =时，上式也成立，∴45n a n =-，故答案为：45n -.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，熟练掌握数列的递推式1n n n a S S -=-是解本题的关键，属于基础题．15. 为组织好“市九运会”，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄调查统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[)25,30内的数据不慎丢失，依据此图可得：（1）年龄分组[)25,30对应小长方形的高度为________． （2）这800名志愿者中年龄在[)25,40内的人数为________． 【答案】 (1). 0.04 (2). 680人 【解析】 【分析】（1）根据所有矩形的面积和为1，建立方程，即求得年龄分组[)25,30对应小长方形的高度； （2）先利用频率分布直方图求得[)25,40内的频率，进而求得年龄在[)25,40内的人数. 【详解】（1）设年龄年龄分组[)25,30对应小长方形的高度为x ， 则(0.010.070.060.02)51x ++++⨯=，解得0.04x =， 即年龄分组[)25,30对应小长方形的高度为0.04.（2）这800名志愿者中年龄在[)25,40内的频率为(0.040.070.06)50.85++⨯=， 所以这800名志愿者中年龄在[)25,40内的人数为8000.85680⨯=人.故答案为：0.04，680人.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图中频率、频数的计算，着重考查了识图能力，以及运算与求解能力.16. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120,ABC ABC ∠=︒∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则9a c +的最小值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】先根据三角形面积关系列,a c 等量关系，再根据基本不等式求最值. 【详解】因为ABCABDBDCS SS=+,所以11111sin1201sin 601sin 601222ac a c a c=⨯⨯+⨯⨯∴+=因此1199(9)()101016c a a c a c a c a c +=++=++≥+= 当且仅当911,1c a a c a c =+=即44,3a c ==时取等号 即9a c +的最小值为16 故答案为：16【点睛】本题考查三角形面积公式、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足1124351,10,a b a a b a ==+==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和． 【答案】（1）21n a n =-；（2）1(31)2n- 【解析】 【分析】（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等差数列通项公式即可； （2）根据等比数列求和公式直接求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，正项等比数列{}n b 公比为q ， 因为1124351,10,a b a a b a ==+==， 所以211310,142,03d d q d d q q +++==+∴=>∴=因此111(1)221,133n n n n a n n b --=+-⨯=-=⨯=；（2）数列{}n b 的前n 项和131(31)132nn n S -==--【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[)[)[]40,50,50,60,,90,100⋯后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试的众数m 与中位数n （结果保留一位小数）； （2）估计这次考试的优秀率（80分及以上为及格）和平均分． 【答案】（1）75m =，73.3n =；（2）优秀率30%，平均分71分. 【解析】 【分析】（1）根据众数是最高小矩形中点的横坐标，中位数要平分直方图的面积可得,m n 的值； （2）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，估计这次考试的优秀率为右边两个小矩形面积之和，平均数为各小矩形面积与底边中点横坐标乘积的和. 【详解】（1）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为75m =（分） 前三个小矩形面积为0.01100.015100.015100.4⨯+⨯+⨯=， ∵中位数要平分直方图的面积， ∴0.50.47073.30.03n -=+=.（2）依题意，80及以上的分数所在的第五、六组，频率和()0.0250.005100.3+⨯=，所以，抽样学生成绩的合格率是30%， 利用组中值估算抽样学生的平均分：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，估计这次考试的平均分是71分.【点睛】本题考查频率分步直方图，解题的关键是正确运用直方图，在直方图中理解小正方形的面积是这组数据的频率，众数是最高小矩形中点的横坐标，平均数为各小矩形面积与底边中点横坐标乘积的和，属于基础题. 19. 在ABC 中，120A =︒，37c a =． （1）求sin C 的值； （2）若7a =，求b 的长．【答案】（1）14；（2）5 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可求得sin C 的值； （2）根据余弦定理列方程解得b 的值. 【详解】（1）因为37c a =，所以由正弦定理得3333sin sin sin12077C A ===； （2）因为37c a =，7a =，所以3c = 由余弦定理得2222222cos 7323cos120a b c bc A b b =+-∴=+-⋅2340005b b b b ∴+-=>∴=【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.20. 如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD ，公园由矩形的休闲区（阴影部分）1111D C B A 和环公园人行道组成，已知休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x 米．（1）求矩形ABCD 所占面积S （单位：平方米）关于x 的函数解析式； （2）要使公园所占面积最小，问休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为多少米？ 【答案】（1）1000(20)(8),(0)S x x x=++>；（2）休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米.【解析】 【分析】（1）先表示休闲区的宽，再表示矩形ABCD 长与宽，最后根据矩形面积公式得函数解析式，注意求函数定义域；（2）根据基本不等式求S 最小值，再根据等号取法确定休闲区1111D C B A 的长和宽. 【详解】（1）因为休闲区的长为x 米，休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为1000x 米；从而矩形ABCD 长与宽分别为20x +米1000,8x+米， 因此矩形ABCD 所占面积1000(20)(8),(0)S x x x=++>， （2）10002000020000(20)(8)116081160281960S x x x x x x=++=++≥+⋅= 当且仅当200008,50x x x ==时取等号，此时100020x= 因此要使公园所占面积最小，休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米.【点睛】本题考查函数应用、求函数解析式、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 21.已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，(sin ,n B =sin )A ，(2,2)p b a =--.（1）若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形；（2）若m p ⊥，边长2c =，角π3C =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）见解析（2）3 【解析】 【详解】⑴因为，所以sin sin a A b B =，即··22a ba b R R=,其中R 是ABC ∆的外接圆半径， 所以a b =，所以ABC ∆为等腰三角形. ⑵因为m p ⊥，所以()()220a b b a -+-=.由余弦定理可知，()22243a b ab a b ab =+-=+-，即()2340ab ab --= 解方程得：4ab =（1ab =-舍去） 所以11sin 4sin 3223S ab C π==⨯⨯=22. 某市2021年发放汽车牌照14万张，其中燃油型汽车牌照12万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和控制汽车总量，从2021年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2021年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式．112a =211.5a = 3a =____…12b =2b =______3b =_____…（2）从2021年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过100万张？【答案】（1）32311,3, 4.5a b b ===，0.512.5,1250,26n n n a n -+≤≤⎧=⎨≥⎩（n 为正整数）；132,1,2,324.5,4n n n b n -⎧⎛⎫⨯=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩（n 为正整数）；（2）2026年【解析】 【分析】（1）利用列表法，结合等差、等比数列的通项公式，求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）根据（1）中表格数据得出结论. 【详解】（1）依题意列表如下：根据表格数据可知，112,0.5a d ==-，311a =， 令()110n a a n d =+-=，即()()1210.50.512.50n n +-⨯-=-+=，解得25n =. 所以0.512.5,1250,26n n n a n -+≤≤⎧=⎨≥⎩（n 为正整数）.由表格数据可知，132,2b q ==，233, 4.5b b ==， 所以132,1,2,324.5,4n n n b n -⎧⎛⎫⨯=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩（n 为正整数）.（2）由（1）表格可知2026年超过100万.【点睛】本小题主要考查等差、等比数列在实际生活中的应用，属于中档题.。
2023-2024学年河北省唐山市高一下学期期末数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，则z 对应的点位于2023-2024学年河北省唐山市高一下学期期末数学试题( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知，，若，则m 为( )A.B.C. 0D. 23.某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为( )A.B.C.D.4.在正三棱柱中，，E 为棱AC 的中点，则异面直线与BC 所成角的余弦值为( )A.B.C.D.5.为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下单位，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是( )A. 62B. 63C. 64D. 656.若圆锥的底面半径为，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为( )A. 2B.C.D.7.从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”志愿服务活动，则下列各事件中，互斥不对立的是( )A. “至少有1名女生”与“都是女生”B. “至少有1名女生”与“至少有1名男生”C. “恰有1名女生”与“恰有2名女生”D. “至少有1名女生”与“至多有1名男生”8.在中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知，若，则的面积为( )A.B.或C.D. 1或2二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知一组数据3，5，6，9，9，10的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个数据7后得到一组新数据，其平均数为，方差为，则下列判断正确的是( )A. B. C. D.10.在中，下列结论正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若C为钝角，则11.若，是关于x的方程的两个虚根，则( )A. B. C. D.12.如图，在菱形ABCD中，，延长边CD至点E，使得动点P从点A出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A点，若，则( )A. 满足的点P有且只有一个B. 满足的点P有两个C. 存在最小值D. 不存在最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省唐山市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含答案
唐山市2022~2023学年度高一年级第二学期期末考试数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案涂在试卷上一律无效.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和改正带.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数1z i =-，则复平面内z 表示的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，由此可得出结论.【详解】1z i =- ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，因此，复平面内z 表示的点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，属于基础题.2.已知()1,a m = ，()2,4b = ，若//a b，则m 为（）A.3-B.2- C.0D.2【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量平行的坐标表示可得结果.【详解】因为()1,a m = ，()2,4b = ，//a b，所以1420m ⨯-=，得2m =.故选：D3.某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为（）A.12B.13 C.14D.15【答案】B 【解析】【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式即可得解.【详解】从芳香度为1，2，3，4的四种添加剂中随机抽取两种添加剂，其可能结果有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4共6个，其中选用的两种添加剂芳香度之和为5的结果有()1,4，()2,3共2个，则所求概率为2163P ==.故选：B.4.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E 为棱AC 的中点，则异面直线1A E 与BC 所成角的余弦值为（）A.10 B.10-C.5D.5-【答案】A 【解析】【分析】先利用线线平行确定异面直线1A E 与BC 所成角的角，再利用勾股定理求得11,A E A F ，从而利用余弦定理即可得解.【详解】记AB 的中点为F ，连接1,EF A F ，如图，因为E 为棱AC 的中点，F 为AB 的中点，所以//EF BC ，所以1A EF ∠为异面直线1A E 与BC 的所成角（或补角），因为在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，所以1A E ==，1A F =112EF BC ==，所以在1A EF中，2221111cos 210A E EF A F A EF A E EF +-∠==⋅，所以异面直线1A E 与BC所成角的余弦值为10.故选：A.5.为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位cm ）：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是（）A.62B.63C.64D.65【答案】C 【解析】【分析】根据求百分位数的定义求解可得结果.【详解】因为1040%4⨯=为整数，所以第40百分位数是6365642+=.故选：C6.，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（）A.2B.C.2πD.【答案】A 【解析】【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解.【详解】依题意，设圆锥的母线长为l，则2l ==，设圆锥的轴截面的两母线夹角为θ，则(222221cos 2222θ+-==-⨯⨯，因为0πθ<<，所以2π3θ=，则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为2π,0,3αα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故截面的面积为122sin 22S α=⨯⨯⨯≤，当且仅当π2α=时，等号成立，故截面的面积的最大值为2.故选：A.7.从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是（）A.“至少有1名女生”与“都是女生”B.“至少有1名女生”与“至少有1名男生”C.“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D.“至少有1名女生”与“至多有1名男生”【答案】C 【解析】【分析】根据互斥事件的定义判断ABD 都不是互斥事件，再结合对立事件的定义判断C.【详解】“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互斥事件，A 错；“至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，B 错；“至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，D 错；“恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件，又因为“恰有1名女生”与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两种情况发生，即“恰有1名女生”与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，C 正确.故选：C.8.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知π3A =，2a =.若()()()2sin sin sin sin sin 0A B a A b B a b C-+--=，则ABC 的面积为（） A.B.233 C.233D.1或2【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理角化边可得a b =或222+=a b c ，分两种情况解三角形可得结果.【详解】由()()()2sin sin sin sin sin 0A B a A b B a b C -+--=及正弦定理得222()()()0a b a b a b c -+--=，得a b =或222+=a b c ，若a b =，因为π3A =，2a =，所以2b c ==，1π1sin 222322ABC S bc ==⨯⨯⨯=!，若222+=a b c ，则三角形ABC 为直角三角形，π2C =，因为π3A =，2a =，所以π6B =，3b =，1122233ABC S ab ==⨯⨯=!.综上所述：ABC 或3.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知一组数据3，5，6，9，9，10的平均数为x ，方差为2s ，在这组数据中加入一个数据7后得到一组新数据，其平均数为x ，方差为2s '，则下列判断正确的是（）A.x x '= B.x x '< C.22s s =' D.22s s '>【答案】AD 【解析】【分析】根据平均数和方差的计算公式求解，即可判断各选项.【详解】对于AB ，()1356991076x =⨯+++++=，()13569910777x '=⨯++++++=，所以x x '=，A 正确，B 错误；对于CD ，()()()()()()2222222119375767979710763s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦，()()()()()()()2222222213837576797971077777s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦'所以22s s '>，C 错误，D 正确.故选：AD10.在ABC 中，下列结论正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B >B.若sin sin A B >，则A B >C.若A B >，则sin 2sin 2A B >D.若C 为钝角，则sin cos A B<【答案】ABD 【解析】【分析】对于AB ，利用大角对大边与正弦定理的边角变换即可判断；对于C ，举反例排除即可；对于D ，利用正弦函数的单调性即可判断.【详解】对于A ，由大角对大边知，若A B >，则a b >，所以由正弦定理得sin sin A B >，故A 正确；对于B ，若sin sin A B >，则由正弦定理得a b >，所以由大边对大角A B >，故B 正确；对于C ，取120A =︒，30B =︒，则sin 2sin 2400A =︒<，sin 2sin 600B =︒>，所以sin 2sin 2A B >不成立，故C 错误；对于D ，若C 为钝角，则πππ,0,0222A B A B +<<<<<，所以ππ022A B <<-<，因为sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.若1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个虚根，则（）A.12z z =B.22120z z +>C.()2120z z +> D.22120z z ⋅>【答案】ACD 【解析】【分析】解方程可得21i 2x ±==±，不妨令121i,1i =+=-z z ，分别计算各选项即可判断.【详解】因为2220x x +=-，所以()224124∆=--⨯⨯=-，根据求根公式可得21i 2x ==±，又1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个虚根，不妨令121i,1i =+=-z z .对于A ，12z z =，A 正确；对于B ，()()2222121i 1i 2i 2i 0z z +=++-=-=，B 错误；对于C ，()2122024z z =+>=，C 正确；对于D ，()()()2222121i 1i 2i 2i 40z z ⋅=+⋅-=⋅-=>，D 正确.故选：ACD12.如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，延长边CD 至点E ，使得DE CD =.动点P 从点A 出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若AP AB AE λμ=+，则（）A.满足1λμ+=的点P 有且只有一个B.满足2λμ+=的点P 有两个C.λμ+存在最小值D.λμ+不存在最大值【答案】BC 【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，然后利用点P 的四种位置进行分类讨论即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形ABCD 的边长为1，(,)P x y，则311(0,0),(1,0),,,,,,222222A B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()11,0,,22AB AE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，(),AP x y =，由AP AB AE λμ=+ ，得()()11,1,0,,2222x y λμλμμ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以122x y λμμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x λμ+=+，①当点P 在AB 上时，01x ≤≤，且0y =，所以[]0,1x x λμ+=+=∈；②当点P 在BC （不含点B ）上时，则BP mBC =，所以()11,,22x y m ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，化简1)y x =-，所以3(1)43x x x x λμ+=+=+-=-，因为312x <≤，所以1433x <-≤，即(]1,3λμ+∈；③当点P 在CD （不含点C ）上时，1322x ≤<，且2y =，所以13332222x +≤+<+，即23x ≤<，所以[)2,3λμ+∈；④当点P 在AD （不含点A 、D ）上时，则AP nAD = ，所以()13,,22x y n ⎛= ⎝⎭，化简y =，所以34x x x x λμ+==+=，因为102x <<，所以042x <<，所以()0,2λμ+∈；对于A ，由①知，当1λμ+=时，1x =，此时点P 与点B 重合；由④可知当1λμ+=时，14x =，34y =，此时点P 在AD 的中点处；其它均不可能，所以这样的点P 有两个，所以A 错误，对于B ，由②知，当2λμ+=时，54x =，4y =，此时点P 在BC 的中点；由③知，当2λμ+=时，12x =，2y =，此时点P 在点D 处；其它均不可能，所以这样的点P 有两个，所以B 正确，对于CD ，由①②③④可得：当0x y ==，即点P 为点A 时，λμ+取到最小值0；当3,22x y ==，即点P 为点C 时，λμ+取到最大值3，所以C 正确，D 错误，故选：BC.【点睛】关键点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，然后分类讨论，考查数形结合的思想，属于较难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数12i z =-+，213i z =-，则12z z -=_________.【答案】5【解析】【分析】先根据复数减法法则计算12z z -，再根据复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】∵12i z =-+，213i z =-，∴()()12513i 2i 34i z z -=-+-=--+==．故答案为：5．14.甲、乙两人参加驾考科目一的考试，两人考试是否通过相互独立，甲通过的概率为0.6，乙通过的概率为0.5，则至少一人通过考试的概率为__________.【答案】0.8##45【解析】【分析】先求两人都未通过的概率，再根据对立事件的概率和为1求解两人至少有一人通过的概率即可.【详解】因为两人考试相互独立，所以两人都未通过的概率为(10.6)(10.5)0.2-⨯-=，故两人至少有一人通过的概率为10.20.8-=.故答案为：0.815.若ABC 的面积为S ，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()224tan 5S A b c =+-，则=a __________.【答案】【解析】【分析】利用三角形面积公式与余弦定理的边角变换，结合切化弦得到关于a 的方程，解之即可得解.【详解】因为()224tan 5SA b c =+-，所以()221sin 4sin 52cos A bc A b c A⨯=+-，因为0πA <<，且π2A ≠，所以sin 0A >，则()22125cos bc b c A=+-，即222cos 5bc A b c =+-，所以22222252b c a bc b c bc+-⨯=+-，则222225b c a b c +-=+-，即25a =，所以a =（负值舍去）..16.在正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-中，4AB =，3A B ''=，A A '，设侧棱延长线交于点P ，几何体P A B C D E F ''''''-的外接球半径为1R ，正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-的外接球半径为2R ，则此正六棱台的体积为___________，12R R =__________.【答案】①.2②.35##0.6【解析】【分析】第一空，利用棱台的体积公式，结合正六边形的性质即可得解；第二空，先分析正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-的外接球的球心所在位置，再利用勾股定理列出关于2R 的方程组，从而求得2R ；再利用平行线分线段成比例求得1PO ，从而确定了几何体P A B C D E F ''''''-的外接球的球心所在位置，进而求得1R ，由此得解.【详解】依题意，正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-中，4AB =，3A B ''=，A A '则其上底面是由六个边长为3的正三角形组成，则其面积为216342S =⨯⨯=，其下底面是由六个边长为4的正三角形组成，则其面积为21644S =⨯=其高为1h ==，所以该正六棱台的体积为1371322V ⎛ =⨯+⨯= ⎝⎭.设上底面中心为1O ，下底面中心为O '，连接111O O A O AO ''，，，则1O O '垂直于上下底面，如图，连接11,O A O A '，则113,4O A O A '==，由题意可得11O O h '==，作1A G AO '⊥垂足为G ，则11,1A G AG ==，连接1,A D O D '，则1A D ==，故22211250640A A A D AD +-=+-<，则1AA D ∠为钝角，又由于正六棱台外接球球心位于平面1AA D 上，故设正六棱台外接球球心为O ，则O 在1O O '的延长线上，因为外接球半径为2R ，故22222222111,R O A O O R A O OO ''=+=+，即22222216,9(+1R O O R O O ''=+=+），解得223,25O O R '==，则25R =，连接1PO ，如图，易得1,,P O O '三点共线，且11//AO AO '，所以11134PO AO PO AO ==''，则1133PO O O '==，易知1111111111113AO B O C O D O E O FO ======，所以1O 是几何体P A B C D E F ''''''-的外接球的球心，则13R =，所以1235R R =.故答案为：2；35.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发挥直观想象能力，结合图形确定了正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-的外接球的球心所在位置，从而利用方程组求得2R .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知平面向量a 与b 的夹角为60 ，且1a = ，2b = .（1）求2a b - ；（2）若a b + 与2a kb - 垂直，求k 的值.【答案】（1）2（2）45【解析】【分析】（1）化为平面向量的数量积可求出结果；（2）根据()(2)0a b a kb +⋅-= 可求出结果.【小问1详解】2a b -===2=.【小问2详解】因为a b + 与2a kb - 垂直，所以()(2)0a b a kb +⋅-=，所以222||||(2)0a k b k a b -+-⋅= ，所以124(2)1202k k -+-⨯⨯⨯=，得45k =.18.近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI 来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：()()22kg m BMI =体重单位:身高单位:，成年人的BMI 数值标准是：BMI <18.5为偏瘦；18.5≤BMI <24为正常；24≤BMI <28为偏胖；BMI ≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI 值分成以下五组：[)12,16，[)16,20，[)20,24，[)24,28，[]28,32，得到相应的频率分布直方图.（1）求a 的值，并估计该公司员工BMI 的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）；（2）该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI 数值正常的人数.【答案】（1）a =0.08，众数为22；中位数为23.3（2）504【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求得0.08a =，从而可求得该公司员工BMI 的样本数据的众数为22；设设该公司员工BMI 的样本数据的中位数为x ，则40.0140.04(20)0.090.5x ⨯+⨯+-⨯=，求解即可；（2）根据题意可求得该公司员工BMI 数值正常的概率为0.04(2018.5)0.09(2420)0.42⨯-+⨯-=，进而可求解.【小问1详解】根据频率分布直方图可知组距为4，所以4(0.010.040.090.03)1a ⨯++++=，解得0.08a =.该公司员工BMI 的样本数据的众数为22.设该公司员工BMI 的样本数据的中位数为x ，则40.0140.04(20)0.090.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得23.3x ≈.故该公司员工BMI 的样本数据的中位数约为23.3.【小问2详解】因为成年人的BMI 数值18.524BMI ≤<为正常，所以该公司员工BMI 数值正常的概率为0.04(2018.5)0.09(2420)0.42⨯-+⨯-=，所以该公司员工BMI 数值正常的人数为12000.42504⨯=.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2cos cos cos 0c C a B b A ++=.（1）求角C 的大小；（2）若3c =，AB 边上的中线1CD =，求ABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）32+【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合和角正弦公式、诱导公式，可得1cos 2C =-，从而可求解；（2）根据余弦定理可得229a b ab =++，再根据中线向量公式可得224a b ab =+-，从而求得22513,22ab a b =+=，进而求得周长.【小问1详解】由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，即2sin cos sin()0C C A B ++=，即2sin cos sin 0C C C +=.因为sin 0C ≠，所以1cos 2C =-.因为0πC <<,所以2π3C =.【小问2详解】已知3,1c CD ==，在ABC 中，由余弦定理得：229a b ab =++①，由CD 为ABC 的中线，得2CD CB CA =+ ，两边平方得224a b ab =+-②，联立①②得22513,22ab a b =+=，所以ABC 的周长为332a b c ++==.20.如图，在四棱锥B ACED -中，AD CE ∥，AD ⊥平面ABC ，2AD =，1CE =，ABC 是边长为2的等边三角形，F 为棱BD 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）求AE 与平面BCE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）取AB 中点M ，连接,FM CM ，证明//EF CM ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）取BC 中点N ，连接,AN EN ，可得AEN ∠即为AE 与平面BCE 所成的角，求解即可.【小问1详解】取AB 中点M ，连接,FM CM ，F 为棱BD 的中点，1//,2MF AD MF AD ∴=，又1//,2AD CE CE AD = ，//MF CE ∴且=MF CE ，∴四边形MCEF 是平行四边形，//EF CM ∴，又CM ⊂ 平面,ABC EF ⊂/平面ABC ，//EF ∴平面ABC ；【小问2详解】取BC 中点N ，连接,AN EN ，ABC是边长为2的等边三角形，AN BC ∴⊥，且AN =，AD ⊥ 平面,//ABC AD CE ，CE ∴⊥平面ABC ，又AN ⊂ 平面,ABC CE AN ∴⊥，又AN BC ⊥ ，且,CE BC C AN ⋂=∴⊥平面BCE ，AEN ∴∠即为AE 与平面BCE 所成的角，在Rt EAC △中，2,1,AC CE AE ==∴=，在Rt AEN △中，则sin5AN AEN AE ∠===，所以AE 与平面BCE 所成角的正弦值为5.21.某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B 类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分.若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6，在A 类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B 类的4个问题中，乙答对的概率都为0.4，甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.（1）求乙在第一轮比赛中得20分的概率；（2）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛?【答案】（1）0.6（2）甲更容易晋级复赛【解析】【分析】（1）对A 类的5个问题进行编号：,,,,a b c d e ，设乙能答对的4个问题的编号为a b c d ,,,.利用列举法，根据古典概型概率公式即可求解；（2）按第一轮得20分且第二轮至少得20分和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立乘法公式和对立事件概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断.【小问1详解】对A 类的5个问题进行编号：,,,,a b c d e ，设乙能答对的4个问题的编号为a b c d ,,,.第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，可用()12,x x 表示选题结果，其中1x ，2x 为所选题目的编号，样本空间为{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d Ω=,(,),(,)}c e d e 共10个样本点.设“乙在第一轮得20分”事件为E ，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,)}E a b a c a d b c b d c d =共6个样本点.则乙在第一轮得20分的概率为60.610P ==.【小问2详解】甲晋级复赛分两种情况:①甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：()220.610.40.3024⨯-=，②甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：()2210.60.60.2304. -⨯=所以甲晋级的概率10.30240.23040.5328P =+=.乙晋级复赛分两种情况:①乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：()20.610.60.384⨯-=，②乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：()210.60.40.064.-⨯=所以乙晋级复赛的概率为20.3840.0640.448P =+=.因为12P P >，所以甲更容易晋级复赛.22.如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，22CD AB AD ===，M 是CD 的中点，BD 与AM 交于O 点，将ADM △沿AM 向上折起，得到图2的四棱锥D ABCM '-.（1）证明：BC ⊥平面D OB '；（2）若1D B '=，求二面角D M C B '--的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）利用平面几何的知识证得AM BD ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得解；（2）在图2中证得D H '⊥平面ABCM ，从而证得MC ⊥平面D HQ '，进而得到D QH '∠为二面角D M C B '--的平面角，由此求得所需线段的长即可得解.【小问1详解】在题干图1中连接BM ，如图，由已知得//,2,AB CD CD AB M =是CD 的中点，//,,AB CM AB CM ∴=∴四边形ABCM 是平行四边形，//BC AM ∴，同理，四边形ABMD 是平行四边形，又AB AD =，且AD AB ⊥，∴四边形ABMD 是正方形，AM BD ∴⊥，所以在题干图2中，,AM OD AM OB '⊥⊥，又,,OD OB O OD OB ''=⊂ 平面D OB '，AM ∴⊥平面D OB '，又//BC AM ，BC ∴⊥平面D OB '.【小问2详解】因为在正方形ABMD 中，AB =，1D O OB '∴==，又1,D B D OB ''=∴ 是等边三角形，在题干图2中，过D ¢作D H OB '⊥于点H ，则H 为OB 中点，过H 作HQ MC ⊥交CM 延长线于点Q ，连接D Q '，如图，BC ⊥ 平面,D OB D H ''⊂平面D OB '，BC D H '∴⊥，又,,,D H OB BC OB B BC OB '⊥=⊂ 平面ABCM ，D H ∴'⊥平面ABCM ，又MC ⊂平面ABCM ，D H MC '∴⊥，又,,,HQ MC D H HQ H D H HQ ''⊥=⊂ 平面D HQ '，MC ∴⊥平面D HQ '，又D Q '⊂平面D HQ '，MC D Q '∴⊥，D QH '∴∠为二面角D M C B '--的平面角，在等边D OB ' 中，1D B '=，则2D H '=，又点H 为OB 的中点，HQ MC ⊥，易得//HQ BM ，又BM AD ==，可得344HQ BM ==，在Rt D HQ ' 中，tan23D H D QH HQ ''∠==，所以二面角D M C B '--的正切值为63.【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用二面角的定义，结合线面垂直的判定定理在图2中作出二面角D M C B '--的平面角，从而得解.。
2021-2022学年河北省唐山市高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年河北省唐山市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知，则（ ）2i z =+()i z z -=A ．B ．C ．D ．62i +42i-62i-42i+C【分析】首先根据题意得到，再求即可.2i z =-(i)z z -【详解】因为，所以.2i z =-()()2i ()22244226i i i i i 2i z z -=+-=-+-=-故选：C .2．已知等边三角形ABC 的边长为2，则（ ）AB BC ⋅=A ．2B ．C ．D 2-B【分析】由向量数量积的定义求解即可.【详解】因为向量的夹角为，AB BC，23π所以，222cos23π⋅=⨯⨯=- AB BC 故选：B.本题关键是注意两向量的夹角，在判断向量夹角时是起点重合，判断夹角.AB BC，3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥αC【分析】由空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系即可判断.【详解】对于A ，由m ⊥n ，n ∥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊥α，故A 错误；对于B ，由m ∥β，β⊥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊂α，故B 错误；对于C ，由m ⊥β，n ⊥β可得m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α，故C 正确；对于D ，由m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊂α，故D 错误.故选：C.4．从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取3个球，那么“至少有2个黑球”的对立事件是（ ）A ．至少有1个红球B ．至少有1个黑球C ．至多有1个球D ．至多2个红球C【分析】根据对立事件的定义判断即可【详解】由题，由对立事件的定义， “至少有2个黑球” 与“至多有1个黑球”对立，故选：C 5．在正方体中，E 为的中点，则异面直线与所成角的余1111ABCD A B C D -1CC 1B E 1C D 弦值为（ ）AB ．CD．A【分析】平移到,再连接，再解三角形即可求出答案.1C D 1B A AE 【详解】平移到,再连接，则或其补角为异面直线与所成的角，1C D 1B A AE 1AB E ∠1B E 1C D 设正方体的棱长为2，易得，11CD B A ==3AE =1B E =由余弦定理得22211111cos 2||||AB B E AE AB E AB B E +-∠==故选：A.6．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能独立破译的概率分别是0.3，0.4，则密码被成功破译的概率为（ ）A ．0.18B ．0.7C ．0.12D ．0.58D【分析】先求甲、乙两人都没有破译的概率，求其对立事件的概率即可【详解】由题，甲、乙两人都没有破译的概率为，故()()10.310.40.70.60.42-⨯-=⨯=密码被成功破译的概率为，10.420.58-=故选：D7．在中，，，，则（ ）ABC 3BC =5AC =1sin 3A =cos B =A ．B ．CD ．5959±D【分析】根据题意，运用正弦定理及同角三角函数关系可求解.【详解】由正弦定理有，355sin 1sin sin sin 93BC AC B A B B =⇒=⇒=因为，且，51sin sin 93B A =>=3BC =<5AC =所以当为锐角时，B cos B =当为钝角时，B cos B =所以cos B =故选：D8．在四边形ABCD 中，，E 为CD 的中点，AE 交BD 于F ，则AB DC =（ ）AF =A ．B ．C ．D ．2133AB AD -2133AB AD +1233AB AD +1323AB AD -C【分析】根据三角形相似可得，利用平面向量基本定理，选定基底，结合向量12AF EF =线性运算，即可求得答案.【详解】由题意可知， ,又E 为CD 的中点，,AB CD ABF EDF ∴∥∽ 则,1122DE DC AB ==故 ,2AF ABEF ED ==所以 ,2222112()3333233AF AE AD DE AD DC AB AD==+=+⨯=+ 故选：C 二、多选题9．下面关于复数的说法，正确的是（ ）A ．的虚部为1B ．1i -1i 2-=C ．是纯虚数D ．在复平面内对应的点位于第四象()21i -1i -限CD【分析】由复数的概念及几何意义可判断.【详解】对于A ，的虚部是，故A 不正确；1i -1-对于B ，，故B 不正确；1i -==对于C ，，为纯虚数，故C 正确；()2212i+(i)i 2i1-=--=-对于D ，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D 正确.1i -(1,1)-故选：CD10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，下列说法正确的是（ ）A ．若A 为锐角，则B ．若A 为锐角，则222b c a+>22b c a+<C ．若，则D ．若，则A 与B 大小不能sin sin A B >A B >sin sin A B >确定AC【分析】对AB ，由余弦定理即可判断；2222cos a b c bc A =+-对CD ，由A ，B，，结合正弦定理即可比较a ，b 大小，由大()0,π∈sin sin 0A B >>边对大角，即可比较A ，B 大小【详解】对AB ，A 为锐角，，由余弦定理得，cos 0A >222222cos a b c bc A b c =+-<+故A 对、B 错；对CD ，A ，B ，，由正弦定理得，故，()0,π∈sin sin 0A B >>sin sin a bA B =sin 1sin b B a A =<故，由大边对大角得，故C 对、D 错，b a <B A <故选：AC11．某位同学记录了100次上学所用时间（单位：分钟），得到如图的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．0.18a =B ．上学所用时间平均数的估计值小于14C ．上学所用时间超过15分钟的概率大约为0.17D ．上学所用时间的众数和中位数的估计值相等BD【分析】由频率之和为1，可得，频率分布直方图中众数为最高的小矩形的中0.16a =间值，平均数为每一组中间值与小矩形面积乘积的和；中位数左侧和右侧的小矩形面积均为0.5.【详解】对于A ，由频率之和为1有，故A 不正确；0.0820.09220.1020.07210.16a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⇒=对于B ，平均数：，故100.16120.18140.32160.2180.1413.9614x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<B 正确；对于C ，上学所用时间超过15分钟的频率为，故C 不正0.1020.0720.340.17⨯+⨯=≠确；对于D ，由频率分布直方图可知，众数为14，设中位数为，则x ，故D 正确.0.0820.0920.16(13)0.514x x ⨯+⨯+⨯-=⇒=故选：BD12．已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）轴截面是边长为2的等边三PO P O PAB 角形，则下面选项正确的是（ ）A ．圆锥PO 的表面积为3πB ．圆锥POC ．圆锥POD ．若C 为PB 的中点，则沿圆锥PO 的侧面由点A 到点C ABC【分析】根据圆锥的几何结构特征，结合圆锥的表面积公式和内切球的性质，以及内接圆柱、侧面展开图的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，PO PAB可得圆锥的底面圆的半径为，高，PO 1r =h PO ==2l =则圆锥的表面积为，所以A 正确；221123S r rl πππππ=+=⨯+⨯⨯=对于B 中，设圆锥的内切球球心为，半径为，如图所示，1O 1r由与相似，可得，即1PO C PBO 11O C PO OB PB =11r 1r =即圆锥B 正确；PO对于C 中，如图所示，设内接圆柱的底面半径为，高为，2r h '在直角中，可得，则，1PO E 121,60O E r PEO =∠= 12PO =所以，1122(1)ME OO PO PO r ==-=-所以内接圆柱的侧面积为2221222122(1)(2r r S r l r r ππ+-==-≤⋅=当且仅当时，即时，等号成立，此时221r r =-212r =11(12OO =-=所以圆锥PO C 正确；对于D 中，如图所示，设圆锥侧面展开图的与圆心角为，PO 2θ由弧长等于底面圆的周长，可得，可得， 1AA 2221θπ⨯=⨯2πθ=在直角中，，可得PAC △2,1PA PC ==AC ===即当为的中点，则沿圆锥的侧面由点到点C PB PO A C 所以D 不正确.故选：ABC.三、填空题13．高一年级有男生980人，女生1020人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一全体学生中抽出一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，应抽取________名男生.49【分析】根据分层抽样的比例，列式计算，即可求得答案.【详解】由题意可得，样本中应抽取的男生有名，980100499801020⨯=+故4914．的内角、、所对的边是、、，其面积为.若，ABC A B C a b c S 2224S a c b =+-则角________.B =4π45【分析】利用三角形的面积公式以及余弦定理可求得的值，结合角的取值范围tan B B 可求得角的值.B【详解】因为，则，2224S a c b =+-14sin 2cos 2ac B ac B ⨯=，则，所以，，解得.0B π<<cos sin 0B B =>tan 1B =4B π=故答案为.4π15．向量，满足，，，则________.a b 2a = 1b = a + a b -= 2【分析】将的值，再根据a + ab ⋅ a - 案.【详解】由题意得，，26a b += 即，即，2226a b a b ++⋅= 14126,2a b a b ++⋅=∴⋅=则，2a -== 故216．正六棱台中，已知，，111111ABCDEF A B C D E F -4AB =113A B =1AA =六棱台的外接球的表面积为________.100π【分析】求出正六棱台的高，判断外接球球心位置，列出方程求得外接球半径，即可求得答案.【详解】如图，设上底面中心为 ,下底面中心为 ,连接,1O O '111O O A O AO ''，，则垂直于上下底面，1O O '连接 ,则，11,O A O A '11=3,=4O A O A '由题意可得 ,11O O '===作垂足为G ,则，1A G AO '⊥11,1A G AG ==连接,则1,A D O D '1A D ==故,即为钝角，22211250640A A A D AD +-=+-<1AA D ∠由于正六棱台外接球球心位于平面上，1AA D 故设正六棱台外接球球心为O ，则O 在的延长线上，1O O '设外接球半径为R ，故 ,222222111R AO OO R A O OO ''=+=+，即,解得,2222169(+1R OO R OO ''=+=+，）23,25OO R '==故该正六棱台的外接球的表面积为，24π100πR =故100π四、解答题17．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.求下列事件的概率.(1)“两个骰子的点数之和是5”；A =(2)“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.B =(1)19(2)512【分析】（1）利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；【详解】(1)解：由抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个不同的结果，36因为“两个骰子的点数之和是5”，可得事件，A =()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1A =所以，所以.()4n A =()()()41Ω369n A P A n ===(2)解：因为“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”，B =可得事件 {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1)B =，即，,(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}()15m B =所以.()()()155Ω3612n B P B n ===18．已知向量，，.()2,1a =-()3,1b =()3,2c =(1)若与平行，求的值；a λb + cλ(2)求与垂直的单位向量的坐标.a(1)73λ=-(2)或⎛ ⎝【分析】（1）求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的a λb +λ等式，即可求得实数的值；λ（2）设与垂直的单位向量的，由已知条件可得出关于、的方程组，解a(),e x y = x y 出这两个未知数的值，即可得解.【详解】(1)解：因为，，所以.()2,1a =-()3,1b =()23,1a b λλλ+=+-+因为与平行，所以，解得.a λb + c ()()312230λλ-+-+=73λ=-(2)解：设与垂直的单位向量的.a(),e x y = 则，即，解得10e a e ⎧=⎨⋅=⎩ 22120x y x y ⎧+=⎨-=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与垂直的单位向量为或.a e= e ⎛= ⎝ 19．如图，在直三棱柱中，，，为111ABC A B C -12AC CB CC ===120ACB ∠= E 的中点.AB (1)求证：平面；1//AC 1B CE (2)求三棱锥的体积.11C B CE -(1)证明见解析【分析】（1）连接，设，连接，利用中位线的性质可得出1BC 11C B CB O = OE ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；1//OE AC （2）由（1）可知，则点到平面的距离等于点到平面的距离，则A 1B CE 1C 1B CE ，利用锥体的体积公式可求得结果.1111113C B CE A B CE B ACE ACE V V V S BB ---===⋅△【详解】(1)证明：连接，设，连接，1BC 11C B CB O = OE在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，111ABC A B C -11BB C C O 1BC 又因为为的中点，则，E AB 1//OE AC 因为平面，平面，因此，平面.1AC ⊄1B CE OE ⊂1B CE 1//AC 1B CE (2)解：平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，1//AC 1B CE A 1B CE 1C 1B CE 所以，.1111113C B CE A B CE B ACE ACE V V V S BB ---===⋅△在中，，为的中点，，ABC 2AC BC ==E AB 120ACB ∠=所以，.11122222ACE ACB S S ==⨯⨯⨯=△△因此，11111233C B CE ACE V S BB -=⋅==△20．角A ，B ，C 的对边分别a ，b ，c .ABC sin cos A c A a b +=+(1)求C ；(2)若D 为AB 的中点，，求面积的最大值.1CD =ABC (1)；π3C =【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及同角公式化简计算作答.（2）根据给定条件，可得，借助向量数量积变形，再用均值不等式即2CD CB CA =+ 可求解作答.【详解】(1)在，ABC sin sin cos sin sin C A C A A B +=+而，()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+sin sin sin cos C A A A C =+又，，sin 0A >1cos C C =+22(1cos )3sin 3(1cos )(1cos )C C C C +==+-由知，，于是得，解得，0πC <<1cos 1C -<<1cos 2C =π3C =所以.π3C =(2)因D 为AB 的中点，即有，则2CD CB CA =+ ，22242cos CD CB CA CB CA ACB =++∠因此2243a b ab ab =++≥43ab ≤a b ==△ABC 的面积1sin 2S ab C ==≤所以△ABC 21．通过简单随机抽样，得到50户居民的月用水量数据（单位：t ），这50户居民平均用水量是8t ，方差是36.其中用水量最少的5户用水量为2t ，3t ，4t ，5t ，6t.用水量最多的5户用水量为15t ，16t ，20t ，23t ，26t.(1)求50个样本数据的和分位数；7%96%(2)估计其它40户居民的月用水量的平均数和方差.(1)分位数为5，分位数为21.57%96%(2)平均数7，方差为21.6【分析】（1）由百分位数的定义，直接求解；（2）先求出40户居民的月总用水量，利用平均数的定义直接求解；利用方差与期望的关系式，分别列出50户居民和其它40户居()()()22D X E X E X =-民的关系式，求解即可【详解】(1)，则分位数是第4项数据，为5.507% 3.5⨯=7%，则分位数是第48项和49项数据的平均数，为21.5.5096%48⨯=96%(2)设其它40个样本为，，，，…，，平均数记为，1x 2x 3x 4x 40x x ，401234561516202326850400i i x =++++++++++=⨯=∑所以，，则其它40户的用水量的平均数7；40i 1280i x ==∑280740x ==50户居民的月均用水量数据的方差记为，所求40户居民的月均用水量数据的方差21s 记为，22s 4022222222222221i 1123456151620232683650i s x =⎛⎫=++++++++++-= ⎪⎝⎭∑解得.40212824i i x ==∑所以.402222i 11721.640i s x ==-=∑所以这40户的用水量的平均数7，方差为21.6.22．如图，在四棱锥中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ，M 为AD P ABCD -PC ⊥的中点且.PA BM ⊥(1)证明：；BM AC ⊥(2)若，求二面角的平面角的正切值.3PCDC ==B PA C --(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得BM PC ⊥平面PA C ，再根据线面垂直的性质即可得证；BM ⊥（2）设AC 与BM 交于点O ，过O 作交PA 于点E ，连接BE ，证明平OE PA ⊥AP ⊥面OEB ，则有，则为二面角的平面角，根据三角形相似求AP BE ⊥OEB ∠B PA C --出即可得解.,OB OE 【详解】(1)证明：∵底面ABCD ，平面ABCD ，PC ⊥BM ⊂∴，BM PC ⊥又∵，，平面PA C ，PA BM ⊥PA PC P = ,PA PC ⊂∴平面PA C ，BM ⊥∵平面PAC ，AC ⊂∴；BM AC ⊥(2)解：由（1）得，MAB ABC △∽△∴，MA AB AB BC =又∵，，3DC AB ==1122MA AD BC ==代入上式解得：，AD BC ==∴，，AC ==BM ==6PA ==设AC 与BM 交于点O ，∵，AD BC ∥所以，12AO AM OM CO BC OB ===∴CO =AO =BO =过O 作交PA 于点E ，连接BE ，OE PA ⊥∵平面PAC ，平面PAC ，BO ⊥AP ⊂∴，BO PA ⊥∵，平面OEB ，EO BO O ⋂=,OE OB ⊂∴平面OEB ，AP ⊥又平面OEB ，所以，BE ⊂AP BE ⊥∴为二面角的平面角，OEB ∠B PA C --在△PAC 中，，即PC OE AP AO =36=EO =∴，tan OB OEB OE ∠==二面角的平面角的正切值B PA C --。
河北省唐山市数学高一下学期理数期末考试试卷
河北省唐山市数学高一下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·重庆期中) 将你手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放，总能在教室地面上画一条直线，使之与笔所在的直线（）A . 平行B . 相交C . 异面D . 垂直2. （2分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱是AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四种说法：⑴平面MENF⊥平面BDD′B′；（2）当且仅当x= 时，四边形MENF的面积最小；（3）四边形MENF周长L=f （x），x∈[0，1]是单调函数；（4）四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，以上说法中正确的为（）A . （2）（3）B . （1）（3）（4）C . （1）（2）（4）D . （1）（2）3. （2分）若直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为（）A .B .C .D .4. （2分）四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=4,， AE,CF都与平面ABCD垂直，AE=2,CF=4，则四棱锥E-ABCD与F-ABCD公共部分的体积为（）A .B .C .D .5. （2分）直线y﹣1=k（x﹣3）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的最短弦长等于（）A .B . 2C . 2D .6. （2分）记不等式所表示的平面区域为D，若对任意（x0 ， y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，则c的取值范围是（）A . （﹣∞，4]B . （﹣∞，2]C . [﹣1，4]D . （﹣∞，﹣1]7. （2分）下列命题中，其中不正确的个数是（）①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相互平行②若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行③已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，则l⊥γ④一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α∥β⑤过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA、PB、PC，若有PA=PB=PC，则点O是△ABC 的内心⑥垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（）A . 垂直B . 斜交C . 平行D . 不能确定9. （2分） (2017高三下·河北开学考) 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 8﹣2πB . 8﹣πC . 8﹣D . 8﹣10. （2分）设，若直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则面积的最小值为（）A .B . 2C . 3D . 411. （2分）三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1、、，则此三棱锥的外接球的表面积是（）A . 6πB . 5πC . 4πD . 9π12. （2分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB：BB1= ，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为（）A . 45°B . 60°C . 30°D . 75°二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知曲线，为坐标原点，是曲线上的一点，与轴的正半轴所成的角为，则 ________．14. （1分） (2019高一上·江苏月考) 给出下列四个命题:①函数是奇函数;②若角C是的一个内角，且，则是钝角三角形;③已知是第四象限角，则 ;④已知函数（）在区间单调递增，则 .其中正确命题的序号是________.15. （1分）如图所示的水平放置的平面图形的直观图，它所表示的平面图形ABCD是________16. （1分）(2018·海南模拟) 若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球的表面上，则此球的表面积为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高二上·长春月考) 已知直线经过点，（1）求与原点距离等于的直线的方程；（2）求在两坐标轴上截距相等的直线的方程.18. （10分）(2018·株洲模拟) 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且平面 .（1）证明：平面平面；（2）当直线与平面所成角为30°时，求四棱锥的表面积.19. （10分）如图1，已知四边形ABFD为直角梯形，AB∥DF，∠ADF= ，BC⊥DF，△AED为等边三角形，AD= ，DC= ，如图2，将△AED，△BCF分别沿AD，BC折起，使得平面AED⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，连接EF，DF，设G为AE上任意一点．（1）证明：DG∥平面BCF；（2）若GC= ，求的值．20. （10分） (2020高一下·沭阳期中) 已知直线l：（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线的方程．21. （10分）(2018·茂名模拟) 已知圆内有一动弦，且，以为斜边作等腰直角三角形，点在圆外.（1）求点的轨迹的方程；（2）从原点作圆的两条切线，分别交于四点，求以这四点为顶点的四边形的面积 .22. （10分） (2016高二上·西湖期中) 如图，在棱长为ɑ 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB．CD．CC1的中点．（1）求直线 A1C与平面ABCD所成角的正弦的值；（2）求证：平面A B1D1∥平面EFG．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
河北省唐山市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
河北省唐山市高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，则5a =（ ）A. 5B. 9C. 16D. 252．为了解高一年级1200名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为60的样本，则分段间隔为（ ）A. 10B. 20C. 40D. 60 3．已知非零实数,a b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 0a b +> B. 22a b > C.11a b< D. 222a b ab +> 4．从1,2,3,4,5五个数中，任取两个数，则这两个数的和是3的倍数的概率为（ ） A.15 B. 310 C. 25 D. 125．若,x y 满足约束条件0{40 30y x y x y ≥+-≤-≥，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 8B. 7C. 4D. 06．一货轮航行至M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏西15，与灯塔相距80海里，随后货轮沿北偏东45的方向航行了50海里到达N 处，则此时货轮与灯塔S 之间的距离为（ ）海里A. 70B.7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若638a a =， 32S =，则6S =（ ） A. 9 B. 16 C. 18 D. 218．不等式2650x x --≥的解集为D ，在区间[]7,2-随机取一个数x ，则x D ∈的概率为（ ）A.19 B. 13 C. 59 D. 79 9．执行如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的结果为（ ）A.130B. 56C. 13D. 51410．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A. 平均数为62.5B. 中位数为62.5C. 众数为60和70D. 以上都不对 11．若实数,x y 满足15x y ≤+≤且11x y -≤-≤，则3x y +的取值范围是（ ） A. []1,11 B. []0,12 C. []3,9 D. []1,9 12．以下四个命题：①对立事件一定是互斥事件； ②函数1y x x=+的最小值为2； ③八位二进制数能表示的最大十进制数为256；④在ABC ∆中，若80a =， 150b =， 30A =，则该三角形有两解． 其中正确命题的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 二、填空题13．在某超市收银台排队付款的人数及其频率如下表：视频率为概率，则至少有2人排队付款的概率为__________．（用数字作答）14．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为__________．15．执行如图所示的程序框图，若输出的6y =，则输入的x =__________．16．已知0a >， 0b >， 182+1a b +=，则2a b +的最小值为__________． 三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos sin a bA B=. （1）求角A 的大小；（2）若a = 4B π=，求b .18．某赛季甲、乙两位运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示.（1）从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率； （2）试用统计学中的平均数、方差知识对甲、乙两位运动员的测试成绩进行分析.19．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且26a =， 3472a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足： ()*n n b a n n N =-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．某市2010年至2016年新开楼盘的平均销售价格y （单位：千元/平米）的统计数据如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2010年至2016年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况，并预测该市2018年新开楼盘的平均销售价格.附：参考数据及公式： 71137.2i i i x y ==∑， 1221ˆni i i ni i x y nxy b x nx ==-=-∑∑， ˆˆa y bx =-.21．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且n a 是2与n S 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．如图所示， MCN 是某海湾旅游区的一角，为营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定建立面积为ABC ，并在区域CDE 建立水上餐厅.已知120ACB ∠=， 30DCE ∠=.（1）设AC x =， AB y =，用x 表示y ，并求y 的最小值；（2）设ACD θ∠=（θ为锐角），当AB 最小时，用θ表示区域CDE 的面积S ，并求S 的最小值.数学试题答案一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，则5a =（ ）A. 5B. 9C. 16D. 25 【答案】B【解析】由前n 项和公式 可得： 22554549a S S =-=-=.本题选择B 选项.2．为了解高一年级1200名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为60的样本，则分段间隔为（ ）A. 10B. 20C. 40D. 60 【答案】B【解析】由系统抽样的定义可得分段间隔为12002060=. 本题选择B 选项.点睛：(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大． (2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．3．已知非零实数,a b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A. 0a b +>B. 22a b > C.11a b< D. 222a b ab +> 【答案】D【解析】取1,2a b =-=-，则220,a b a b +<<，A,B 说法错误，取1,2a b ==-，则11a b>，C 的说法错误. 本题选择D 选项.4．从1,2,3,4,5五个数中，任取两个数，则这两个数的和是3的倍数的概率为（ ） A.15 B. 310 C. 25 D. 12【答案】C【解析】从1，2，3，4，5五个数中，任取两个数，基本事件总数2510n C ==，这两个数的和是3的倍数包含的基本事件有： (1,2),(1,5),(2,4),(4,5)，共4个，∴这两个数的和是3的倍数的概率42105p ==. 本题选择C 选项.5．若,x y 满足约束条件0{40 30y x y x y ≥+-≤-≥，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 8B. 7C. 4D. 0 【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域，观察可得目标函数在点()4,0B 处取得最大值28z x y =+=.本题选择A 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.6．一货轮航行至M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏西15，与灯塔相距80海里，随后货轮沿北偏东45的方向航行了50海里到达N 处，则此时货轮与灯塔S 之间的距离为（ ）海里A. 70B.【答案】A【解析】由题意结合余弦定理可得货轮与灯塔S 之间的距离为：70=. 本题选择A 选项.7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若638a a =， 32S =，则6S =（ ） A. 9 B. 16 C. 18 D. 21 【答案】C【解析】由题意可得：()5211318{ 121a q a q a q q=-=-，解得： 12{ 72a q ==， 则： ()6161181a q S q-==-.本题选择C 选项.8．不等式2650x x --≥的解集为D ，在区间[]7,2-随机取一个数x ，则x D ∈的概率为（ ）A.19 B. 13 C. 59 D. 79【答案】D【解析】求解不等式2650x x --≥可得61x -<<，即[]6,1D =-，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为()()167279p --==--。
2024届河北省唐山市第二中学高一数学第二学期期末达标测试试题含解析2
2024届河北省唐山市第二中学高一数学第二学期期末达标测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若圆22:4C x y +=上恰有3个点到直线:0(0)l x y b b -+=>的距离为1，1:420l x y -+=,则l 与1l 间的距离为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．32．“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}2n a 为等比数列”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．要得到函数y ＝cos 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度4．已知向量，，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．5．两条平行直线250x y --=与42350x y -+=间的距离等于（ ）A ．12B ．2C ．52D ．46．若直线过点()(1,2,4,23，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．90。
7．直线210mx y --=与直线2310x y 垂直，则m 的值为（ ） A ．3B ．34-C ．2D ．3-8．在ABC ∆中，,a b 分别是角,A B 的对边，1,2,30a b A ===︒,则角B 为( )A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．45︒或135︒9．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为（ ）海里/小时．A ．26B ．46C ．86D ．16610．已知x 与y 之间的一组数据如表，若y 与x 的线性回归方程为ˆ2y bx=-，则ˆb 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
河北省唐山市开滦二中高一数学下学期4月月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市开滦二中2014-2015学年高一下学期4月月考数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在△ABC中，a=10，B=60°，C=45°，则c等于（）A．B．C．D．2．三角形的两边边长分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则三角形的另一边长为（）A．52 B．2C．16 D．43．{a n}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A．1 B．2 C．4 D．84．等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200 D．2205．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（）A．B．C．D．6．已知△ABC中，a：b：c=1：：2，则A：B：C等于（）A．1：2：3 B．2：3：1 C．1：3：2 D．3：1：27．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形8．若△ABC的周长等于20，面积是10，A=60°，则BC边的长是（）A．5 B．6 C．7 D．89．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8D．10．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣711．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=10，则S6等于（）A．12 B．18 C．24 D．4212．已知数列{a n}，a1=1，前n项和为S n，且点P（a n，a n+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上，则=（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=4，d=﹣，当S n取得最大值，n=．14．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=．15．△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，S△ABC=，那么b=．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c=，且C=60°，又△ABC的面积为，则a+b=．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．18．在△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）求2cos2A+cos（A﹣C）的取值X围．19．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=S n（n∈N*），求证：数列{}是等比数列．21．已知{a n}是等差数列，其中a1=25，a4=16（1）求{a n}的通项；（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的值．22．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n﹣a1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和．某某省某某市开滦二中2014-2015学年高一下学期4月月考数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在△ABC中，a=10，B=60°，C=45°，则c等于（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先求A，再利用正弦定理可求．解答：解：由题意，A=75°根据正弦定理得：，即，故选B点评：此题考查了正弦定理的应用，考查了特殊角的三角函数值，是一道基础题．2．三角形的两边边长分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则三角形的另一边长为（）A．52 B．2C．16 D．4考点：余弦定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：解方程5x2﹣7x﹣6=0可得cosθ=﹣，利用余弦定理求出第三边的长即可．解答：解：解方程5x2﹣7x﹣6=0可得此方程的根为2或﹣，故夹角的余弦cosθ=﹣，∴由余弦定理可得三角形的另一边长为：=2．故选B．点评：本题主要考查余弦定理的应用，求出cosθ=﹣，是解题的关键．考查计算能力．3．{a n}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A．1 B．2 C．4 D．8考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过记前三项分别为a2﹣d、a2、a2+d，代入计算即可．解答：解：由题可知3a2=12，①（a2﹣d）a2（a2+d）=48，②将①代入②得：（4﹣d）（4+d）=12，解得：d=2或d=﹣2（舍），∴a1=a2﹣d=4﹣2=2，故选：B．点评：本题考查等差数列的通项公式，注意解题方法的积累，属于基础题．4．等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200 D．220考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：先根据a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78可得到a1+a20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案．解答：解：∵a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3（a1+a20）∴a1+a20=18∴=180故选B点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用．考查等差数列的性质．5．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：通过正弦定理求出，a：b：c=2：3：4，设出a，b，c，利用余弦定理直接求出cosC 即可．解答：解：因为sinA：sinB：sinC=2：3：4所以a：b：c=2：3：4，设a=2k，b=3k，c=4k由余弦定理可知：cosC===﹣．故选A．点评：本题是基础题，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．6．已知△ABC中，a：b：c=1：：2，则A：B：C等于（）A．1：2：3 B．2：3：1 C．1：3：2 D．3：1：2考点：解三角形．专题：计算题．分析：根据三边的比令a=1，b=，c=2，进而可知c2=a2+b2，根据勾股定理推断出C=90°，进而根据a=c推断出A=30°，进而求得B，则三个角的比可求．解答：解：令a=1，b=，c=2∴c2=a2+b2，三角形为直角三角形∴C=90°a= c∴A=30°，∴B=90°﹣30°=60°∴A：B：C=1：2：3故选A点评：本题主要考查了解三角的问题．应熟练记忆三角形中的常用结论如勾股定理，边边关系，角与角的关系，正弦定理，余弦定理等．7．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：把已知等式的左边利用同角三角函数间的基本关系切化弦，右边利用正弦定理变形，然后根据二倍角的正弦函数公式化简，由A和B为三角形的内角，根据正弦函数图象与性质得到A与B角度之间的关系，根据角度之间的关系即可得到三角形ABC的形状．解答：解：由正弦定理得：==2R，（R为三角形外接圆的半径）∴a=2RsinA，b=2RsinB，∴变形为：=，化简得：2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2B=sin2A，由A和B为三角形的内角，得到2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．故选B点评：此题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换及正弦函数图象与性质．根据正弦定理及同角三角函数公式化简已知的等式是本题的突破点．8．若△ABC的周长等于20，面积是10，A=60°，则BC边的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8考点：余弦定理．专题：计算题．分析：先设A、B、C所对的边分别为a、b、c，然后利用面积公式S=bcsinA得到bc的值，因为周长为a+b+c=20，再根据余弦定理列出关于a的方程，求出a的值即为BC的值．解答：解：依题意及面积公式S=bcsinA，得10=bcsin60°，得bc=40．又周长为20，故a+b+c=20，b+c=20﹣a，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2bccos60°=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，故a2=2﹣120，解得a=7．故选C点评：考查学生利用余弦定理解决数学问题的能力，以及会用三角形的面积公式，掌握整体代换的数学思想．9．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8D．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得，再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案．解答：解：由题得，又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3∴b2（a2﹣a1）=﹣8．故选 B．点评：本题是对等差数列以及等比数列性质的综合考查．在做关于等差数列以及等比数列的题目时，其常用性质一定要熟练掌握．10．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可解答：解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D点评：本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．11．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=10，则S6等于（）A．12 B．18 C．24 D．42考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质s2，s4﹣s2，s6﹣s4成等差数列进行求解．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列，即2，8，S6﹣10成等差数列，∴2+S6﹣10=8×2，∴S6=24，故选C．点评：本题使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为s n，则s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n，…成等差数列．12．已知数列{a n}，a1=1，前n项和为S n，且点P（a n，a n+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上，则=（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：计算题；转化思想．分析：由“P（a n，a n+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上”可得到数列的类型，再求其通项，求其前n项和，进而得到新数列的规律，选择合适的方法求新数列的和．解答：解：∵点P（a n，a n+1）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上∴a n﹣a n+1+1=0∴数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列．∴a n=n∴∴==故选C点评：本题主要是通过转化思想将解析几何问题转化为数列问题，来考查数列的通项公式及前n项和的求法．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=4，d=﹣，当S n取得最大值，n=6．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列{a n}的首项a1=13，公差d=﹣2写出通项公式，由通项大于等于0求出等差数列前5项大于0，从第6项起小于0，则答案可求．解答：解：在等差数列{a n}中，由首项a1=4，公差d=﹣，得a n=a1+（n﹣1）d=4﹣（n﹣1）=﹣n．由a n=﹣n≥0，得n≤．∴等差数列{a n}中，a6＞0，a7＜0，∴当n=6时，前n项和S n取得最大值．故答案为：6．点评：本题考查了数列的函数特性，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础的计算题．14．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=1．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的等差中项的性质，把2a5=a1+a9和2a3=a1+a5代入即可求得答案．解答：解：===1故答案为1点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题中巧妙的利用了等差中项的性质，简便了解题的过程．15．△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，S△ABC=，那么b=．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由三边成等差数列得2b=a+c，两边平方待用，由三角形面积用正弦定理得到ac=6，用余弦定理写出b2的表示式，代入前面得到的两个等式，题目变化为关于b2方程，解出变量开方即得．解答：解：∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c，∴4b2=a2+c2+2ac，①∵S△ABC=，∴ac=6②∵b2=a2+c2﹣2accosB③由①②③得，∴．故答案为：．点评：本题解题过程有点麻烦，在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c=，且C=60°，又△AB C的面积为，则a+b=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：根据题意和三角形的面积公式求出ab的值，再由余弦定理求出a2+b2的值，利用完全平方公式求出a+b的值．解答：解：∵C=60°，△ABC的面积为，∴，得ab=6，又c=，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，解得a2+b2=，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=+12=，则a+b=，故答案为：．点评：本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及整体代换求值，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．考点：解三角形．专题：计算题．分析：（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，∴，∴，∴，又sinA＞0，∴（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴点评：本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力．18．在△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）求2cos2A+cos（A﹣C）的取值X围．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：综合题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）利用正弦定理与两角和的正弦即可由（2a﹣c）cosB=bcosC求得cosB=，从而可求△ABC中角B的大小；（2）利用二倍角的余弦与三角函数中的恒等变换可将2cos2A+cos（A﹣C）转化为1+sin （2A+），再由0＜A＜与正弦函数的单调性即可求2cos2A+cos（A﹣C）的取值X围．解答：解：（1）∵在△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC，∴由正弦定理==得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，整理得：2sinAcosB=sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA，∵sinA＞0，∴cosB=，B∈（0，π），∴B=；（2）∵B=，故A+C=，∴C=﹣A，∴2cos2A+cos（A﹣C）=1+cos2A+cos（2A﹣）=1+cos2A﹣cos2A+sin2A=1+cos2A+sin2A=1+sin（2A+），∵0＜A＜，∴＜2A+＜，∴﹣1＜sin（2A+）≤1，∴0＜1+sin（2A+）≤2．即2cos2A+cos（A﹣C）的取值X围是（0，2]．点评：本题考查正弦定理的应用，突出考查二倍角的余弦与三角函数中的恒等变换，求得2cos2A+cos（A﹣C）=1+sin（2A+）是关键，也是难点，考查转化与运算能力，属于难题．19．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：连接A1B2，依题意可知A2B2，求得A1A2的值，推断出△A1A2B2是等边三角形，进而求得∠B1A1B2，在△A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，进而求得乙船的速度．解答：解：如图，连接A1B2，，，△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos45°=，．因此乙船的速度的大小为．答：乙船每小时航行海里．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．要能综合运用余弦定理，正弦定理等基础知识，考查了综合分析问题和解决实际问题的能力．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=S n（n∈N*），求证：数列{}是等比数列．考点：等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：根据数列的递推关系，结合等比数列的定义进行判断即可．解答：证明：∵a n+1=S n=S n+1﹣S n，∴（1+）S n=S n=S n+1，即=，即=2•，则数列{}是公比q=2的等比数列．点评：本题主要考查等比数列的判断，根据等比数列的定义，结合数列的递推关系是解决本题的关键．21．已知{a n}是等差数列，其中a1=25，a4=16（1）求{a n}的通项；（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的值．考点：数列的求和．专题：分类讨论；转化思想．分析：（1）求{a n}的通项，由题设条件{a n}是等差数列，其中a1=25，a4=16故通项易求，（2）求数列各项的绝对值的和，需要研究清楚数列中哪些项为正，哪些项为负，用正项的和减去负项的和即可．解答：解：（1）∵a4=a1+3d∴d=﹣3∴a n=28﹣3n（2）∵∴数列{a n}从第10项开始小于0∴|a n|=|28﹣3n|=当n≤9时，|a1|+|a2|+…+|a n|=，当n≥10时，|a1|+|a2|+…+|a n|=（|a1|+|a2|+…+|a9|）+（|a10|+|a11|+…+|a n|）====∴|a1|+|a2|+…+|a n|=点评：本题考查了数列求和，利用数列{a n}的通项，注意a n的符号变化，推出数列{|a n|}的通项，进而求解．求绝对值的和易因项确定不准而出错，做题时要注意！22．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n﹣a1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n≥2时再令n=n﹣1得到2a n ﹣1﹣1=S n﹣1，两个式子相减得a n=2a n﹣1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出na n=n•2n﹣1，再由错位相减法求出此数列的前n项和．解答：解：（Ⅰ）令n=1，得2a1﹣a1=，即，∵a1≠0，∴a1=1，令n=2，得2a2﹣1=1•（1+a2），解得a2=2，当n≥2时，由2a n﹣1=S n得，2a n﹣1﹣1=S n﹣1，两式相减得2a n﹣2a n﹣1=a n，即a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n﹣1，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，na n=n•2n﹣1，设数列{na n}的前n项和为T n，则T n=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，①2T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②①﹣②得，﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=2n﹣1﹣n•2n，∴T n=1+（n﹣1）2n．点评：本题考查了数列a n与S n之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应用．。
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2015-2016高一年级下学期期末考试数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页，第Ⅱ卷第2页。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题5分，共60分.） （1）等差数列{}n a 中，2589a a a ++=，那么方程246()100x a a x +++=的根的情况（ ）A.没有实根B.两个相等实根C.两个不等实根D.无法判断 （2）已知x y z >>，0x y z ++=，则下列不等式中成立的是（ ）A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．||||x y z y > （3）抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子点数为3或6时，则两颗骰子点数之和大于8的概率为（ ）A.13 B.12 C.536D.512 （4）已知在ABC ∆中，2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角（5）高三某班有学生60人，现将所有同学从0160-随机编号，然后用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为17的同学在样本中，则以下会被抽到的编号为（ ）A ．08B ．25C ．41D ．54 （6）等比数列{a n }的前n 项和S n ，已知S 4＝a 2＋a 3＋9a 1，a 5＝32，则a 1＝ （ ）A. － 1 2 B 12 C. 2 D.—2（7）已知实数[][]1,1,0,2x y ∈-∈，则点(),P x y 落在区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，内的概率为（ ） A ．34 B ．14C ．18D ．38（8）在2013年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：3.2y x a =-+，那么a 的值为 （ ）A ．－24B ．35.6C ．40.5D ．40（9）如图所示的程序框图描述的算法，若输入2010,1541m n ==，则输出的m 的值为（ ）A ．2010B ．67C ．134D ．1541 (10) 已知{}n a 是等差数列，395,17a a ==，数列{}n b 的前n 项和31n n S =-，若41m a b +=，则正整数m 等于（ ） A ．29 B ．28 C ．27 D ．26 （11）ABC ∆的三内角,,A B C 所对边长分别是c b a ,,，若sin sin sin B A C -=，则角B 的大小为（ ） A ．6π B ．65π C ．3π D ．32π （12）若对任意20,31xx a x x >≤++恒成立，则a 的最小值是（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． （13）在ABC ∆中，已知5=a ，15=b ，030=A ，则c 等于 . （14）将八进制53转化为二进制的数结果是：（15）已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a 的取值范围是 ．（16）数列{}n a 满足：1132,51++⋅=-=n n n n a a a a a ，则数列{}1+⋅n n a a 前10项的和为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,,cos 4210CAD AC ADB π∠==∠=-.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.18．(本小题满分12分) 已知函数()()()2212f x x m x m m R =-++∈.（1）当1m =时，解关于x 的不等式()0xf x ≤； （2）解关于x 的不等式()0f x >.19. (本小题满分12分)在正项等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，且满足32a =，132435225a a a a a a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当nS S S n +⋅⋅⋅++2121取最大值时，求n 的值.20.（本小题满分12分）去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估．将各连锁店的评估分数按[)[)[)[]60,70,70,8080,90,90,100分成4组，其频率分布直方图如下图所示．集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为A B C D 、、、四个等级，等级评定标准如下表所示． ⑴估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；⑵从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A 等级的概率．21．（本小题满分12分）在ABC ∆中，三边c b a ,,所对应的角分别是C B A ,,，已知c b a ,,成等比数列.（1）若332tan 1tan 1=+C A ，求角B 的值； （2）若ABC ∆外接圆的面积为π4，求ABC ∆面积的取值范围.22．在等比数列{}n a 中，21=a ，5423,,a a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足)(221*∈=+⋅⋅⋅++N n a nb b b n n ，{}n b 的前n 项和为n S ，求使06≥+-n n na S 成立的正整数n 的最大值.2015-2016高一下学期期末数学答案 一.A C D A C C D D B C B C二.13.（2） 15.2∞（-，-） 16. 102117. （1）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=. 又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.4sin sin sin cos cos sin 4445C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠⋅-∠⋅==⎪⎝⎭（2）在ACD ∆中，由sin sin AD ACC ADC=∠∠，得74sin sin AC C AD ADC ⨯⋅∠===∠所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=. 18.( 1）当1m =时，()2320x x x -+≤，即0)2)(1(≤--x x x方程0)2)(1(=--x x x 的三根为2,1,0321===x x x ； 所以不等式的解集为{}210≤≤≤x x x 或 （2）不等式可化为则()()210x m x -->， 当121,2m m <<时，解集为{}|2,1x x m x <>或；当12m =时，解集为{}|1x x ≠；当12m >时，则不等式的解集为{}|1,2x x x m <>或 19.（1）252534231=++a a a a a a ，()252242244222=+=++∴a a a a a a ，{}n a 是正项等比数列，542=+∴a a ，23=a ，21,10,522=∴<<=+∴q q q q .n n n a a --=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∴413221.（2）,27,2)7(,4log 2nn S n n S n a b n n n n -=-=-== 1112n n S S n n --=-- 12n S n ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭数列是公差为首项为3的等差数列，且为递减数列当,76,0,7或=∴==n n S n n 当nS SS n +⋅⋅⋅++2121取最大值时，76或=n 20. （1）众数是75，平均数是75.4；（2）35． 21.（1）又∵c b a ,,成等比数列，得ac b =2，由正弦定理有C A B sin sin sin 2=， ∵B C A -=+π，∴B C A sin )sin(=+，得332sin sin 2=B B ，即23sin =B ， 由ac b =2知，b 不是最大边，∴3π=B .（2）∵ABC ∆外接圆的面积为π4，∴ABC ∆的外接圆的半径2=R ，由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得acb c a B 2cos 222-+=，又ac b =2，∴21cos ≥B .当且仅当c a =时取等号，又∵B 为ABC ∆的内角，∴30π≤<B ， 由正弦定理R Bb2sin =，得B b sin 4=. ∴ABC ∆的面积B B b B ac S ABC 32sin 8sin 21sin 21===∆，∵30π≤<B ，∴23sin 0≤<B ，∴]33,0(∈∆ABC S . 22.（1）设数列{}n a 的公比为q ，∴25342)(a a a a +=+，∴4121311)(2q a q a q a q a +=+， ∴)1()1(2222q q q q +=+，∴2=q ，∴n n n n q a a 222111=⋅==--.（2）n n a n b b b =+⋅⋅⋅++221①，112112--=-+⋅⋅⋅++n n a n b bb )2(≥n ②， ①-②得，111222---=-=-=n n n n n n a a nb ，∴)2(21≥⋅=-n n b n n .①中令1=n ，∴211==a b 不符合上式.∴⎩⎨⎧≥⋅==-2,2,1,21n n n b n n . ∴当2≥n 时，12223222-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=n n n S ③，n n n S 223224232⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=④，③-④得nn n n S 22222132⋅-+⋅⋅⋅+++=--n n n 212)12(21⋅---=-n n n 222⋅--=， ∴22)1(+-=n n n S .当1=n 时，211==b S ，符合上式，∴22)1(+-=n n n S )(*∈N n .826222)1(6+-=+⋅-+-=+-n n n n n n n na S ,∴082≥+-n ，即82≤n ，∴3≤n ，∴n 的最大值为3.。