第五章 第五节 正弦定理、余弦定理
高中数学必修5：正弦定理与余弦定理 知识点及经典例题(含答案)
高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)
正弦定理、余弦定理和射影定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。
其中，正弦定理表达了三角形边长和角度之间的关系，余弦定理则是通过两条边和它们之间的夹角计算第三条边的长度。
射影定理则是利用三角形中某个角的正弦值或余弦值来计算三角形中某条边的长度。
二、面积公式可以用来计算三角形的面积，其中a、b、c 分别为三角形的三条边，而对应的角度则可以通过正弦定理或余弦定理来计算。
三、在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。
同时，需要注意计算过程中的精度和单位。
学前诊断】
1.在△ABC中，若C=90，a=6，B=30，则c-b等于1.
2.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于30或60.
3.在△ABC中，c-a=b-ba，且∠C=90.
经典例题】
例1.在△ABC中，若∠A=45°，a=2，c=6，则∠B=45°，b=4.
例2.已知△ABC满足条件acosA=bcosB，可以判断
△ABC是等腰三角形。
例3.在△ABC中，已知b+c=6，求a的值。
根据余弦定理可得a²=(b+c)²-4bc，代入数据得a=2.
本课总结】
本课介绍了三角形中的正弦定理、余弦定理、射影定理和面积公式，这些定理可以帮助我们计算三角形的边长、角度和面积。
在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。
正弦定理、余弦定理讲义
此为三角函数最为基础的知识，在以后的多学科学习中都能用到，需要学生熟练掌握，并灵活运用。
解三角形【考点及要求】 1. 掌握正弦定理、余弦定理； 2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题． 【基础知识】在C B A c b a ABC ∠∠∠∆、、分别是、、中，所对的边，ABC R ∆为的外接圆半径,则有，1.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin =∠=∠=∠； 2.余弦定理：bca cb A 2cos 222-+=A bc c b a cos 2222-+=⇔ ac b c aB 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+=⇔ abc b a C 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔ 3.常用公式：（1）π=++C B A ；（2）B ac A bc C ab S sin 21cos 21sin 21===知识点一：解直角三角形【典型例题讲练】例1 在ΔABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C 及边c ．【变式训练】 1.在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.知识点二：正、余弦定理的运用【典例精析】 例1、（2010辽宁文数）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.例2、（2010重庆文数）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a =42bc . (Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.例3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且CB cos cos =-ca b +2.（1）求角B 的大小； （2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.例4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin22BA+-cos2C=27.(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积.【变式训练】1.（2010天津文数）在∆ABC中，coscosAC B AB C=。
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解 ）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
正弦定理和余弦定理讲解
正弦定理和余弦定理讲解⼀、学习⽬标1. 掌握正弦定理、余弦定理和三⾓形的⾯积公式，并能应⽤这些公式解斜三⾓形.2. 能正确理解实际问题中仰⾓、俯⾓、视⾓、⽅位⾓及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义.3. 能熟练应⽤正、余弦定理及相关公式解决诸如测量、航海、天体运动、物理、⼏何等⽅⾯的问题.4. 在解决实际问题时，能准确理解题意，分清已知和未知，并能把这些实际问题转化为数学问题，培养分析解决实际问题的能⼒.⼆、重点、难点重点：正、余弦定理及其证明；⽤正弦定理、余弦定理解三⾓形. 难点：定理的推导；从实际问题中抽取出数学模型.三、考点分析本章是在学习了三⾓函数、平⾯向量等知识的基础上，进⼀步学习如何解三⾓形的.正、余弦定理是我们学习三⾓形相关知识的延续和发展，这些定理进⼀步揭⽰了三⾓形边与⾓之间的关系，在⽣产、⽣活中有着⼴泛的应⽤，是我们求⾓三解形的重要⼯具，本章内容经常会与三⾓部分结合起来综合考查，难度中等，各种题型均有可能出现.1. 正弦定理（1）正弦定理在⼀个三⾓形中，各边和它所对⾓的正弦的⽐相等，即在ABC ?中R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ?外接圆半径），上式对任意三⾓形均成⽴.（2）利⽤正弦定理可以解决如下有关三⾓形的问题：①已知三⾓形的两⾓和任⼀边，求三⾓形的其他边与⾓；②已知三⾓形的两边和其中⼀边的对⾓，求三⾓形的其他边和⾓. 2.余弦定理（1）余弦定理：三⾓形任⼀边的平⽅等于其他两边的平⽅和减去这两边与它们夹⾓的余弦的积的两倍.即在ABC ?中，Cab b a c B ca a c b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=余弦定理还有另⼀种形式：若令?=90C ，则222b ac +=，这就是勾股定理.abc b a C ca b a c B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=（2）利⽤余弦定理，可以解决以下两类三⾓形的相关问题：①已知三边，求三个⾓；②已知两边和它们的夹⾓，求第三边和其他两个⾓. 3. 在解三⾓形问题时，须掌握的三⾓关系式在ABC ?中，以下的三⾓关系式，在解答有关的三⾓形问题时经常⽤到，同学们要记准、记熟，并能灵活地加以运⽤.（1）π=++C B A ；（2）C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+；（3）2cos 2sinC B A =+，2sin 2cos CB A =+；（4）C ab S sin 21=?，A bc S sin 21=?，B ac S sin 21=?.4. 实际应⽤问题中的有关名词、术语（1）仰⾓和俯⾓：与⽬标视线在同⼀铅垂平⾯内的⽔平视线和⽬标视线的夹⾓，⽬标视线在⽔平视线上⽅时叫仰⾓，⽬标视线在⽔平视线下⽅时叫俯⾓.（2）⽅向⾓：从指定⽅向线到⽬标⽅向线的⽔平⾓. （3）⽅位⾓：从指定⽅向线顺时针到⽬标⽅向线的⽔平⾓. （4）坡度：坡⾯与⽔平⾯所成的⼆⾯⾓的度数. 5. 须熟悉的三⾓形中的有关公式解斜三⾓形时主要应⽤正弦定理和余弦定理，有时也会⽤到周长公式和⾯积公式，⽐如：c b a P ++=（P 为三⾓形的周长） a ah S 21=（a h 表⽰a 边上的⾼）A bcB acC ab S sin 21sin 21sin 21===R abc S 4=（可⽤正弦定理推得）)(21c b a r S ++=（r 为内切圆半径）此处还须熟悉两⾓和差的正弦、余弦、正切及⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式. 6. 关于已知两边和其中⼀边的对⾓，解三⾓形的讨论已知两边和其中⼀边的对⾓，不能唯⼀确定三⾓形的形状，解这类三⾓形问题的过程中将出现⽆解、⼀解和两解的情况，应分情况予以讨论，图1与图2即表⽰了在ABC ?中，已知a 、b 和A ∠时解三⾓形的各种情况当A ∠为锐⾓时，当A ∠为直⾓或钝⾓时知识点⼀：正弦定理与余弦定理例1：已知ABC 中，A ?=60，，求思路分析：可通过设⼀参数k(k>0)使，证明出即可.解题过程：设()0sin >==k k Cc则有，，从⽽== ⼜k ==?=260sin 3，所以=2解题后反思：ABC 中，等式恒成⽴.（1）定理的表⽰形式：；或，，（2）正弦定理的应⽤范围：①已知三⾓形的两⾓和任⼀边，求其他两边及⼀⾓；②已知三⾓形的两边和其中⼀边的对⾓，求另⼀边及⾓.例2：在ABC 中，已知，，?=45B ，求b 及A 的值. 思路分析：本题的已知条件显然符合余弦定理求解的条件. 解题过程：∵=cos45° == 8 ∴求可以利⽤余弦定理，也可以利⽤正弦定理：解法⼀：∵cos ∴?=60A . 解法⼆：∵??==45sin 2232sin sin B b a A ，⼜∵＞+=，＜∴＜，即?0＜＜?90 ∴?=60A解题后反思：使⽤解法⼆时应注意确定A 的取值范围.例3：在△ABC 中，已知a=，b =，B =45°，求A 、C 及c .思路分析：这是⼀道已知两边及⼀边的对⾓解三⾓形的问题，可⽤正弦定理求解，但先要判定△ABC 是否有解，有⼏个解，亦可⽤余弦定理求解. 解题过程：∵B =45°<90°，且b由正弦定理得：sin A =，∴A =60°或120°.①当A =60°时，C =75°c =. ②当A =120°时，C =15°c =.故A =60°，C =75°，c =或A =120°，C =15°，c =.解题后反思：因sin A =sin(π－A )，故在解三⾓形中要考虑多种情况，灵活使⽤正、余弦定理，关键是将“条件”与情况对应.知识点⼆：三⾓形中的⼏何计算例4：已知△ABC 中，2（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB ，△ABC 外接圆半径为. （1）求∠C ；（2）求△ABC ⾯积的最⼤值.思路分析：利⽤正、余弦定理可以进⾏边⾓互化，解题时要注意有意识地进⾏边⾓关系的统⼀.解题过程：（1）由2（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB 得2（－）=（a －b ）.⼜∵R=，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab.∴cos C==. ⼜∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.（2）ABC S ?=absinC =×ab=2sinAsinB=2sinAsin （120°－A ） =2sinA （sin120°cos A －cos120°sin A）=3sinAcosA+sin 2A =sin2A －cos2A+=sin （2A －30°）+. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =.解题后反思：求最值往往是先建⽴函数关系式，然后借助函数的⽅法去求解.例5：在△ABC 中，a 、b 、c 分别为⾓A 、B 、C 的对边，272cos 2sin 42=-+A C B . （1）求⾓A 的度数；（2）若a =，b +c =3，求b 和c 的值.思路分析：在三⾓形的求解中，会经常⽤到π=++C B A ，显然把B C +转化成A π-可是解题过程更为简便. 解题过程：（1）由272cos 2sin42=-+A C B 及?=++180C B A ，得： ()[]271cos 2cos 122=+-+-A C B ，()5cos 4cos 142=-+A A即01cos 4cos 42=+-A A ，21cos =∴A ， ?<a cb A 2cos 222-+=21cos =A Θ，212222=-+∴bc a c b ，()bc a c b 322=-+∴.3=a ，3=+c b 代⼊上式得：2=bc由??==+23bc c b 得：==2c a b 或==12c b .解题后反思：正弦定理和余弦定理在解斜三⾓形中应⽤得⽐较⼴泛，应熟练掌握这些定理.此外，还须熟悉两⾓和差的正弦、余弦、正切及⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式.知识点三：应⽤性问题例6：如图，A ，B ，C ，D 都在同⼀个与⽔平⾯垂直的平⾯内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于⽔⾯A 处测得B 点和D 点的仰⾓分别为?75，?30，于⽔⾯C 处测得B 点和D 点的仰⾓均为?60，AC=0.1km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，，）思路分析：解斜三⾓形的问题时，通常要根据题意，从实际问题中抽象出⼀个或⼏个三⾓形，然后通过解这些三⾓形，得出所要求的量，从⽽得到实际问题的解. 解题过程：在△ADC 中，∠DAC=30°，∠ADC=60°－∠DAC=?30，所以CD=AC= ⼜∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ，在△ABC 中，即AB=2062315sin 60sin +=??AC ，因此，BD=故B ，D 的距离约为0.33km.解题后反思：利⽤正弦定理和余弦定理解三⾓形的常见问题有：测量距离问题、测量⾼度问题、测量⾓度问题、计算⾯积问题、航海问题、物理问题等.解三⾓形的相关题⽬时应根据已知与未知条件，合理选择使⽤正、余弦定理，使解题过程简洁，并达到算法简炼，算式⼯整、计算准确.解斜三⾓形应⽤题的步骤：①准确理解题意，分清已知和未知条件，准确理解应⽤题中的有关名词、术语，如仰⾓、俯⾓、视⾓、⽅向⾓、⽅位⾓及坡度、经纬度等；②根据题意画出图形；③将要求解的问题归结到⼀个或⼏个三⾓形中，通过合理运⽤正弦定理、余弦定理等有关知识建⽴数学模型，然后正确求解，最后作答.（答题时间：45分钟）⼀、选择题1. 在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（） A. 30°B. 45°C. 60°D. 120° 2. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°，C=45°，则c 等于（） A. 310+B. ()1310-C. 13+D. 3103. 在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A. 30°B. 60°C. 60°或120°D. 30°或150°4. 在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三⾓形的解的情况是（）A. ⽆解B. ⼀解C. 两解D. 不能确定5. 在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则⾓A 为（）A.3π B.6π C. 32π D. 3π或32π6. 在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（）A. 等腰三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 等腰直⾓三⾓形D. 等腰或直⾓三⾓形⼆、填空题7. 在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则=c b a ::________. 8. 在△ABC 中，===B c a ,2,33150°，则b ＝________.9. 在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝______；b ＝________. 10. 已知△ABC 中，===A b a,209,181121°，则此三⾓形解的情况是________. 11. 已知三⾓形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三⾓形的外接圆半径为________.12. 在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最⼤内⾓的度数是________.三、解答题13. 在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应⾓C 的度数.14. 在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是⽅程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A .求：（1）⾓C 的度数；（2）AB 的长度.15. 在△ABC 中，证明：22222211cos cos b a b B a A -=-. 16. 在△ABC 中，10=+b a ，cosC 是⽅程02322=--x x 的⼀个根，求△ABC 周长的最⼩值.17. 在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+. （1）判断△ABC 的形状；（2）在上述△ABC 中，若⾓C 的对边1=c ，求该三⾓形内切圆半径的取值范围.⼀、选择题⼆、填空题7. 2:3:1 8. 7 9. 61236-，24612-10. ⽆解 11. 112. 120°三、解答题13. 解：由正弦定理得BCBC A AB C 10sin sin == （1）当BC ＝20时，sinC ＝21；AB BC >Θ C A >∴ 30=∴C ° （2）当BC ＝3320时， sinC ＝23； AB BC AB <1； C ∴不存在14. 解：（1）()[]()21cos cos cos -=+-=+-=B A B A C π∴C ＝120°（2）由题设：??==+232ab b a-+=-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB()()102322222=-=-+=++=ab b a ab b a10=∴AB15. 证明：---=---=-22222222222222sin sin 211sin 21sin 21cos cos b B a A b a b B a A b B a A , 由正弦定理得：2 222sin sin b Ba A =, 22222211cos cos b a b B a A -=-∴.16. 解：02322=--x x Θ,21,221-==∴x x , ⼜C cos Θ是⽅程02322=--x x 的⼀个根.21cos -=∴C由余弦定理可得：()ab b a ab b a c -+=??--+=2222212 则：()()7551010022+-=--=a a a c当5=a 时，c 最⼩且3575==c 此时3510+=++c b a∴△ABC 周长的最⼩值为3510+17. 解：（1）由()B A C B A cos cos sin sin sin +=+可得12sin22=C0cos =∴C 即C ＝90° ∴△ABC 是以C 为直⾓顶点的直⾓三⾓形（2）内切圆半径 ()c b a r -+=21()1sin sin 21-+=B A 212214sin 22-≤-??+=πA ∴内切圆半径的取值范围是-212,0.。
余弦定理与正弦定理
余弦定理与正弦定理余弦定理和正弦定理是三角函数中重要的定理，它们在解决三角形相关问题时有着广泛的应用。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的数学表达、推导方法以及在实际问题中的应用。
一、余弦定理余弦定理是解决三角形边长和内角之间关系的定理。
它的数学表达式如下：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b和c分别表示三角形的三条边的长度，C表示夹角C的度数，cosC表示夹角C的余弦值。
为了更好地理解余弦定理，我们可以通过一个实例来说明。
假设有一个三角形，其两边分别为a=4，b=6，夹角C=60°，我们可以利用余弦定理计算第三边c的长度。
根据余弦定理，代入a、b和C的值：c² = 4² + 6² - 2×4×6×cos60°= 16 + 36 - 48×0.5= 16 + 36 - 24= 28通过开方运算我们可以得知c的长度为√28≈5.29。
二、正弦定理正弦定理也是解决三角形边长和内角之间关系的定理。
它的数学表达式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C分别表示三角形的三个内角的度数，sinA、sinB、sinC分别表示三个内角的正弦值。
同样以一个实例来说明正弦定理的应用。
假设有一个三角形，两边分别为a=4，b=6，夹角C=60°，我们可以利用正弦定理计算第三边c的长度。
根据正弦定理，代入a、b、C的值：4 / sinA = 6 / sinB = c / sin60°通过推导我们可以得到：c = 4 × sin60° / sinA= 6 × sin60° / sinB接下来，我们需要使用正弦函数的性质求出sinA和sinB的值。
假设A为夹角A的度数，则夹角B的度数为180° - A - C = 180° - A - 60°，根据三角函数关系得到：sinA / sin(180° - A - 60°) = a / b通过求解以上方程可以得到sinA和sinB的值。
初中正弦定理和余弦定理
初中正弦定理和余弦定理
《初中正弦定理和余弦定理》
正弦定理和余弦定理是初中数学中的重要定理，它们与三角函数的概念和几何形状的关系有着密切联系。
通过这两个定理，我们可以解决许多与三角形相关的问题，如计算三角形的边长和角度等。
正弦定理是指在一个任意三角形ABC中，三个角的正弦比例与对应的边长的比例呈正比关系。
即对于三角形ABC的三个角A、B、C和对边a、b、c，有以下关系：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
其中，sinA表示角A的正弦值。
正弦定理的应用十分广泛，可以用来求解未知边长或角度，
推导出其他重要公式，如海伦公式等。
余弦定理则是指在一个任意三角形ABC中，三个角的余弦值与对应边长的平方的比例呈反比
关系。
即对于三角形ABC的三个角A、B、C和对边a、b、c，有以下关系：
c² = a² + b² - 2ab*cosC
其中，cosC表示角C的余弦值。
余弦定理的应用十分广泛，可以用来求解未知边长或角度，
判断三角形的形状，以及解决各种实际问题，如测量不便的三角形的边长等。
正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时起着重要的作用。
它们不仅是数学课堂上的重点内容，也是在实际生活中运用数学解决问题的有效工具。
通过掌握正弦定理和余弦定理，我们可以更好地理解三角形的性质和特点，提高解题的准确性和效率。
因此，对于初中生来说，掌握正弦定理和余弦定理是十分重要的。
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C 变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A为钝角或直角时，a ≤b ，无解．2、三角形常用面积公式1．S ＝a •h a （h a 表示边a 上的高）；2．S ＝ab sin C ＝ac sin B ＝bc sin A ．3．S ＝r （a +b +c ）（r 为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1C．2D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin B =b sin A ，则a =（）A．B ．C ．1D ．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R 是△ABC 外接圆半径）a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C变形形式①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝；③a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ；④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba≥ba ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A 为钝角或直角时，a ≤b ，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且（a +b ）2=c 2+ab ，B =30°，a =4，则△ABC 的面积为（）A ．4B ．3C ．4D ．6例2.设△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A ．B ．C ．或D ．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；的最大值．（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 第五节 正弦定理、余弦定理1.已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝ 75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2 解析：如图所示．在△ABC 中，由正弦定理得bsin30°＝6＋2sin75°＝6＋2sin(45°＋30°)＝4， ∴b ＝2. 答案：A2．(2009·湖南高考)在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC cos A 的值等于________，AC的取值范围为________． 解析：由正弦定理得AC sin2A ＝BCsin A .即AC 2sin A cos A ＝1sin A .∴ACcos A ＝2.∵△ABC 是锐角三角形，∴0＜A ＜π2，0＜2A ＜π2，0＜π－3A ＜π2，解得π6＜A ＜π4.由AC ＝2cos A 得AC 的取值范围为(2，3)． 答案：2；(2，3)3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .解：由余弦定理得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A .又a 2－c 2＝2b ，b ≠0，所以b ＝2c cos A ＋2. ① 又sin A cos C ＝3cos A sin C ， sin A cos C ＋cos A sin C ＝4cos A sin C ， sin(A ＋C )＝4cos A sin C ，sin B ＝4sin C cos A .由正弦定理得sin B ＝bc sin C ，故b ＝4c cos A . ②由①、②解得b ＝4.4.在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形解析：sin 2A2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．答案：B5．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 解析：法一：因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 即C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 由2sin A cos B ＝sin C ，得2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. 又因为－π＜A －B ＜π，所以A －B ＝0，即A ＝B . 所以△ABC 是等腰三角形． 法二：利用正弦定理和余弦定理 2sin A cos B ＝sin C 可化为2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ，即a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2－b 2＝0，即a 2＝b 2，故a ＝b .所以△ABC 是等腰三角形． 答案：B6.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝π6，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.32或34解析：由正弦定理知AB sin C ＝AC sin B ，∴sin C ＝AB sin B AC ＝32，∴C ＝π3或2π3，A ＝π2或π6，∴S ＝32或34.答案：D7．在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝( )A.817B.1517C.1315D.1317解析：S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，∴sin A ＝4(1－cos A )，16(1－cos A )2＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝1517.答案：B8．(文)(2009·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A2＝255，AB·AC ＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若c ＝1，求a 的值． 解：(1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45.又由AB ·AC＝3，得bc cos A ＝3，所以bc ＝5.因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又c ＝1，所以b ＝5，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，所以a ＝2 5.(理)(2010·南通模拟)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，sin(B －A )＝cos C . (1)求A ，C ；(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c .解：(1)因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B ，即sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ，即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ， 得sin(C －A )＝sin(B －C )．所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C )(不成立)． 即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3，所以，B ＋A ＝2π3又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6，或B －A ＝5π6(舍去)得A ＝π4，B ＝5π12(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋3，又a sin A ＝c sin C ，即a 22＝c32，得a ＝22，c ＝2 3.9.若△ABC( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：依题意及面积公式S ＝12bc sin A ，得103＝12bc sin60°，得bc ＝40.又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a ，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos60° ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 故a 2＝(20－a )2－120，解得a ＝7. 答案：C10．(文)在三角形ABC 中，已知∠B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形 的最大角为( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．115°解析：不妨设a 为最大边．由题意，a c ＝sin Asin C ＝3＋12，即sin Asin(120°－A )＝3＋12，∴sin A 32cos A ＋12sin A ＝3＋12， (3－3)sin A ＝(3＋3)cos A ， ∴tan A ＝2＋3，∴A ＝75°. 答案：B(理)锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则ab 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(2，3)解析：∵△ABC 为锐角三角形，且A ＝2B ，∴⎩⎨⎧0＜2B ＜π2，0＜π－3B ＜π2，∴π6＜B ＜π4， ∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ， a b ＝sin Asin B ＝2cos B ∈(2，3)． 答案：D11．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ， sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c cos C ，则角B ＝________. 解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0， ∴tan A ＝3，∴A ＝π3.∵a cos B ＋b cos A ＝c cos C ， ∴sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ， ∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，∴sin C ＝sin 2C ， ∵sin C ≠0，∴sin C ＝1.∴C ＝π2，∴B ＝π6.答案：π612．(文)已知函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0＜φ＜π)在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32， 求角C .解：(1)f (x )＝2sin x 1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ ＝sin(x ＋φ)．因为f (x )在x ＝π时取最小值， 所以sin(π＋φ)＝－1，故sin φ＝1.又0＜φ＜π，所以φ＝π2.(2)由(1)知f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .因为f (A )＝cos A ＝32， 且A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22，又b ＞a ，所以B ＝π4或B ＝3π4.当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12；当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12.综上所述，C ＝7π12或C ＝π12.(理)在△ABC 中，A ，B ，C 分别是三边a ，b ，c 的对角．设m ＝(cos C 2，sin C2)，n ＝(cos C 2，－sin C 2)，m ，n 的夹角为π3.(1)求C 的大小；(2)已知c ＝72，三角形的面积S ＝332，求a ＋b 的值．解：(1)m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C2＝cos C ，又m ·n ＝|m ||n |cos π3＝12，故cos C ＝12，∵0＜C ＜π，∴C ＝π3.(2)S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ，又已知S ＝332，故34ab ＝332，∴ab ＝6.∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝72，∴494＝a 2＋b 2－2ab ×12＝(a ＋b )2－3ab .∴(a ＋b )2＝494＋3ab ＝494＋18＝1214，∴a ＋b ＝112.。