二级c公共基础篇树

第14页
6.2
二叉树的概念与性质
6.2.1 二叉树的基本概念 定义：二叉树是n个（n≥0）结点的集合，该集合或者为空、 或者由一个根结点和两个分别称为左子树和右子树的互不相 交的二叉树组成，当集合为空时，称该二叉树为空二叉树。 二叉树具有五种基本形态：空二叉树、仅有根结点的二叉 树、右子树为空的二叉树、左子树为空的二叉树和左右子树 均不为空的二叉树。
第6页
6.1 树的概念与表示
6.1.1 树的定义 树（Tree）是n个（n≥0）个结点组成的有限集合T，当T 为空集时称为空树，否则它满足如下两个条件： (1) 有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点。
(2) 除根结点外的其余结点 可分为 m（m>0）个互不 相交的子集 T1，T2，…， Tm，其中每个子集Ti本身 又是一棵树，并称其为根 的子树。
B E F C
H 8 I 9
J
K L M N O 15 10 11 12 13 14
一棵深度为k且有2 k－1个结点的二叉树称为满二叉树。 当深度为k，含有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点 的编号与相应满二叉树结点顺序编号从1~n互相对应时，则 称此二叉树为完全二叉树。
trees
We have already discussed arrays, stacks, queues
and linked lists which are called linear data structures.
The reason for this is that the elements are arranged in a
i 1
A B E F C H 8 D 4 I
B 2 E 5 J 9 F 6
C 3 G 7
K L M N O 15 10 11 12 13 14
性质3 对于一棵非空的二叉树，如果叶子结点数为n0， 度数为2的结点数为n2，则有: n0＝n2＋1。
第17页
证明：设度为i的结点有ni 个(其中：i=0，1，2)，总结点个 数为 n，总分支数为e，则根据二叉树的定义，有如下的式 子： n = n0 + n1 + n2 e = 2n2 + n1 = n – 1 ?? 除了根节点，其余都有一个分支 A 1 将两式结合有： 2n2 + n1 = n0 + n1 + n2 - 1 C 3 B 2 即有 n0 = n2 + 1 A D 4 E 5 F 6 G 7
第4页
Root A root is a specially designated node in a tree. it is a node which has no parent. there can be only one root node in a tree. Path each node has to be reachable from the root through a unique sequence of arcs or links called a path. length of the path: the number of links in a path is called the length of the path. Leaf nodes Leaf node is a node which does not have any child node. Level The level of a node in the tree is the rank of the hierarchy. Height The height of a non-empty tree is the maximum level of a node in the tree.
linear fashion (i.e., one-dimensional representation) In this chapter, we are going to discuss a very useful
data structure call tree. A tree is called non- linear data
A
叶子结点：度为0的结 点称为叶子结点，或者称 为终端结点。分支结点： 度不为0的结点称为分支 结点或非终端结点。
B E F J
C G K H L
D I
孩子、双亲和兄弟结点：树中结点子树的根称为该 结点的孩子。相应地，该结点称为孩子结点的双亲。
第9页
具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。祖先、子孙：从树中 根结点到某一结点所经过的分支上的所有结点称为该结点的祖 先。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的 子孙。 结点的层数：规定树的根结点的层数为1，其余结点的层数等 于它的双亲结点的层数加1。树的深度：树中所有结点的最大层 数称为树的深度或高度。 A
A B D E H F C G I
C G K H L
D
E
B
D F
C G I
F J
I
H
(A(B(D,E(H),F),C(G(I))) 广义表表示法
第11页

Binary tree A binary tree T is a finite set of nodes such that 1)T is empty (called empty binary tree),or 2)T contains a specially designated node called the root of T, and the remaining nodes of T form two disjoint binary trees which are called left sub-tree and right sub-tree respectively.
第3页
Terminologies used

Node
This is the main component of any tree structure. each individual element of a tree can be called a node. Parent The parent of a node is the immediate predecessor of that node. Child The immediate successors of a node are called child nodes, the left child and the right child. Link( branch and edge) A link is a pointer to a node in the tree. A node can have more than one link.
structure because the elements of this data structure are arranged in a non-linear fashion i.e., they use twodimensional representation.
第1页
Familiar examples of trees are genealogies(家谱) and organization charts .trees are also used to organize information in database system and to represent the syntactic（句法) structure of source programs in compilers. Advantages of this data structure is that insertion. deletion and searching ,etc., are more efficient than linear data structures.
有序树和无序树：如果一 棵树中结点的各子树从左 到右是有次序的——有序 树；反之，——无序树。 森林：m（m≥0）棵互不相交 的树的集合称为森林。
第10页
B E F J
C G K H L
D I
6.1.3 树的表示 树的表示有四种方法，直观表示法、嵌套集合表示法、 凹入表示法、广义表表示法。 A
A
B E
A A B E F K
第7页
C
D
G
H
I
树
非树
树具有下面两个特点： （1）树的根结点没有前驱结点，除根结点之外的 所有结点有且只有一个前驱结点。 （2）树中所有结点可以有零个或多个后继结点。
C:\
DOS
USER
WIN
TEM
WEB
HEL
FONT
COM
TEMP
SYS
第8页
6.1.2 树的相关术语 结点：一个数据元素及若干个指向其子树的分支。 结点的度：结点所拥有的子树的个数称为该结点的度。 树的度：树中结点度的最大值。

第5页


Degree(arity) The maximum number of children that is possible for a node is known as the degree of a node . Siblings(兄弟) Nodes which have the same parent are called siblings .
A B 2 C 3 E 5 J 9 F 6 G 7
B
E F
C
D 4 H 8 I
K L M N O 15 10 11 12 13 14
第16页
性质2 在一棵深度为k的二叉树中，最多具有2 k－1个结点。 证明：由性质1可知，第i层的结点数最多为2 i-1 （1≤i≤k），则深度为k的二叉树的结点数最多为： k A 1 i 1 k 2 2 1