江浦数值分析复习题

一、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数 ，绝对误差为 ， 相对误差为 。

2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为 。

3.对f(x)=x 3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。

4.设f(x)可微，求方程x=f(x)根的牛顿迭代法格式是 。

5.设方程x=ϕ(x)有根x *,且设ϕ(x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=ϕ(x k )收敛的充要条件为 。

6.求解线性方程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为 。

7.⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011001001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。

8.n 次Legendre 多项式的最高次项系数为 。

9.中矩形公式：)()2()(a b ba f dx x f ba-+=⎰的代数精度为 。

10.求积公式：)1(21)0()(10f f dx x f '+≈⎰的代数精度为 。

11.在区间[1，2]上满足插值条件⎩⎨⎧==3)2(1)1(P P 的一次多项式P(x)= 。

12.设∑==nk k kn x f Af I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则∑=nk kA= 。

13.已知x *1=x 1±0.5×10－3，x *2=x 2±0.5×10－2，那么近似值x 1，x 2之差的误差限是14 用列主元消去法解线性方程组A X ＝b 时，在第k －1步消元时，在增广矩阵的第k 列取主元)1(-k rk a ，使得=-)1(k rk a .15. 已知函数f (0.4)=0.411, f (0.5)=0.578 , f (0.6)=0.697，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式x 2的系数是 .16. 牛顿－科茨求积公式中的科茨系数),...,1,0()(n k C n k=满足的两条性质是 .17.用牛顿法求方程f (x )=0在[a ,b ]内的根，已知f '(x )在[a ,b ]内不为0，f "(x )在[a ,b ]内不变号，那么选择初始值x 0满足 ，则它的迭代解数列一定收敛到方程f (x )=0的根.18．梯形公式和改进的Euler 公式都是 阶精度的。

19.对于一元二次方程01402=+-x x ,如果975.19399≈具有5位有效数字,求其具有5位有效数字的根 .20.用二分法求解方程010423=-+x x 在区间]5.1,1[上的根，要求得到具有3位有效数字的近似根，需作 次二分。

二、选择题1. 已知准确值x *与其有t 位有效数字的近似值x ＝0.0a 1a 2…a n ×10s (a 1≠0)的绝对误差∣x *－x ∣≤( )．(A) 0.5×10 s －1－t (B) 0.5×10 s －t (C) 0.5×10s ＋1－t (D) 0.5×10 s ＋t2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )．(A) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------2100121001210012， (B)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2100141101410125 (C) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21141212410125 (D) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-5131141201411124 3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P (x )=( )(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+3210320123x x x x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32103201232x x x x(C) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤-3210320123x x x x (D) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32420123x x x x4. 等距二点的求导公式是( )(A) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f(B) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f(C) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f(D)5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是)(211c p k y y y +=+ 那么y p ,y c 分别为( )．(A) ⎩⎨⎧+=+=+),(),(1k k k c k k k p y x hf y y y x hf y y (B) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+),(),(1p k k c k k k p y x hf y y y x hf y y(C) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=),(),(p k k ck k k p y x f y y y x f y y(D) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+),(),(1p k k ck k k p y x hf y y y x hf y y6. 若误差限为0.5×10－5，那么近似数0.003400有( )位有效数字.(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 67. 当线性方程组A X ＝b 的系数矩阵A 是( )时，用列主元消去法解A X ＝b ，A 的主对角线的元素一定是主元.(A) 上三角形矩阵 (B) 主对角线元素不为0的矩阵 (C)对称且严格对角占优矩阵 (D)正定对称矩阵8. 下列条件中，不是分段线性插值函数P (x )必须满足的条件为( ) (A) P (x k )=y k ,(k =0,1,…,n ) (B) P (x )在[a ,b ]上连续 (C) P (x )在各子区间上是线性函数 (D) P (x )在各节点处可导 9. 有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是( )次的. (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 310. 解微分方程初值问题的方法，( )的局部截断误差为O (h 3).(A) 欧拉法 (B)改进欧拉法 (C)三阶龙格－库塔法 (D) 四阶龙格－库塔法 11.数值x *的近似值x =0.1215×10－2，若满足≤-*x x ( )，则称x 有4位有效数字.(A)21×10－3 (B) 21×10－4 (C) 21×10－5 (D) 21×10－612. 设矩阵A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------52111021210，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡04.02.01.002.01.02.00 (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡14.02.01.012.01.02.01(C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------04.02.01.002.01.02.00 (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021102120 13. 已知y =f (x )的均差f (x 0,x 1,x 2)=314，f (x 1,x 2,x 3)=315，f (x 2,x 3,x 4)=1591，f (x 0,x 2,x 3)=318,那么均差f (x 4,x 2,x 3)=( )(A)315 (B) 318 (C) 1591 (D) 31414. 已知n =4时牛顿－科茨求积公式的科茨系数,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C 那么)4(3C ＝( )9039152********)D (152)C (4516)B (907)A (=--- 15.用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是( )(A) e x－x －1＝0，[1,1.5]，令x k +1=1e -k x(B) x 3－x 2－1=0，[1.4,1.5], 令2111kk x x +=+(C) x 3－x 2－1=0，[1.4,1.5], 令3211k k x x +=+(D) 4－2x=x ，[1,2], 令)4(log 21x x k -=+三、计算题1.利用矩阵的高斯消元法，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2053182521432321321321x x x x x x x x x2.设有函数值表试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。

3.求解超定方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛43231211121x x 的最小二乘解。

求3次自然样条插值函数 5.给定x x f =)(在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建立f(x)的二次（抛物）插值公式，利用插值公式求115的近似值并估计误差。

6.试分别写出用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--212112121121x x 的第k 次迭代公式，并讨论它们的收敛性。

7.利用积分4ln 182=⎰dx x计算ln4时，若采用复化梯形公式，问应取多少节点才能使其误差绝对值不超过41021-⨯。

8.建立计算dx x f ⎰82)(的Gauss 求积公式，使其具有3次代数精度。

9.应用Newton 法导出方程f(x)=x 2-a=0的根a 的迭代格式，并求21)/()(lim k k k x a x a --+→∞。

10.设f(x)=e x,x ∈[0,1]。

求f(x)的二次最佳平方逼近多项式22102)(x c x c c x p ++=11.求拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线方程。

12．用Euler 预测-校正格式求解初值问题⎩⎨⎧=+='0)0(12y y y 在0.3，0.4处的数值解。

要求写出格式，步长h=0.3，小数点后至少保留5位数字。

13．利用Euler 公式计算积分⎰=xt dt e x y 02)(在点x=0.5,1,1.5,2的近似值。

14．试分别写出用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--320121032241125321x x x 的第k 次迭代公式，并讨论它们的收敛性。

15．用简单迭代法求解02.03=--x x 的所有实根，精确至3位有效数。

16．试用Gauss 消元法解下列方程组，计算过程按5位小数进行：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---08.255.190.05.11.40.10.15.26.15.05.12.3321x x x （写出详细过程！） 例17 求积公式⎰1)(dx x f ≈)0(0f A +)1(1f A +)0(0f B '已知其余项的表达式为)(f R =)(ξf k '''，)1,0(∈ξ.试确定系数0A ，1A ，0B 使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出该求积公式的余项和代数精度的次数. 解：当)(x f =1时，⎰10)(dx x f =1 ⇒0A +1A =1 当)(x f =x 时，⎰1)(dx x f =21 ⇒1A +0B =21当)(x f =2x 时，⎰10)(dx x f =31 ⇒1A =31代入求得：0A =32，1A =31，0B =61，从而 ⎰10)(dx x f ≈)0(32f +)1(31f +)0(61f '，且求积公式的代数精度至少为2，能否更高有待验证.为此取 当)(x f =3x 时，⎰10)(dx x f =⎰103dx x =41，而 )0(32f +)1(31f +)0(61f '=31 说明当)(x f =3x 时不能使求积公式准确成立，因而该公式只有2次代数精度. 下面考虑余项，设⎰1)(dx x f =)0(32f +)1(31f +)0(61f '+)(ξf k ''' 将)(x f =3x 代入，得到41=31+3！k ⇒ k =721-，即余项为 )(f R =)(721ξf '''-，)1,0(∈ξ.例18 设给定数据(1) 作出函数f (x )的均差表；(2) 写出牛顿3次插值多项式)(3x N .（2）)(3x N =1+2)0(-x +)1)(0(--x x +2)2)(1)(0(---x x x =1+21x +)1(-x x +23)23)(1(--x x x19、计算积分dx xx⎰10sin ，若用复化梯形公式，问区间应分成多少等份，才能使其截断误差不超过410-20、已知方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111211*********x x x ，验证Jacobi 方法和Gauss-Seidel 方法的敛散性。