2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题及参考答案

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2006年全国初中数学竞赛试题(含答案)-

全国初中数学竞赛试题（一）一、选择题1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）90 答：C ．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处． 2．已知21+=m ，21-=n ，且)763)(147(22--+-n n a m m =8，则a 的值等于（）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 答：C ．解：由已知可得122=-m m ，122=-n n ．又)763)(147(22--+-n n a m m =8，所以 8)73)(7(=-+a 解得a=－93．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（）（A ）h<1 （B ）h=1 （C ）1<h<2 （D ）h>2 答：B ．解：设点A 的坐标为（a ，a 2），点C 的坐标为（c ，c 2）（|c|<|a|），则点B 的坐标为（－a ，a 2），由勾股定理，得22222)()(a c a c AC -+-=，22222)()(a c a c BC -++=， 222AB BC AC =+ 所以 22222)(c a c a -=-．由于22c a >，所以a 2－c 2=1，故斜边AB 上高h= a 2－c 2=14．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007 答：B ．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得(k ＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k ＋1)×360°．因为这(k ＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k ＋1)－34= k －33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k －33) ×180°．所以(k ＋1)×360°≥34×60×180°＋(k －33)×180°，解得k ≥2005．当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58=2005（刀）．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（）（A ）132-;（B ）32（C ）23+;（D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ，QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ．即 (r －m)(r ＋m)=m ·QD ，所以 QD=mm r 22-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2＋QO 2，即 22222m r mm r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得r m 33= 所以， 231313+=-+=-+=m r m r QA QC二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2006，c －a=2005．若a<b ，则a ＋b ＋c 的最大值为．答：5013．解：由2006=+b a ，2005=-a c ，得 4011+=++a c b a ．因为2006=+b a ，a<b ，a 为整数，所以，a 的最大值为1002．于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013． 7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bca -的值等于．答：320-．解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则342=m ，由△ADG ∽△ABC ，可得m xm m x2323-=，解得m x )332(-=于是48328)332(222-=-=m x ，由题意，28=a ，3=b ，48=c ，所以320-=-b c a ． 8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．答：104．解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了46×40050x=368x 米．于是368(x －1)＋800－400(x －1)>400，所以，12.5≤x<13.5．故x=13，此时4001310450t ⨯==． 9．已知0<a<1，且满足122918303030a a a ++++++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则[]10a 的值等于．([]x 表示不超过x 的最大整数) 答：6．解：因为0<12292303030a a a +<+<<+< ，所以130a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，230a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，2930a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以1211303030a a a +=+==+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ =0，121329303030a a a +=+==+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=1，所以 110130a <+<，1≤1230a +＜2．故18≤30a ＜19，于是6≤10 a ＜193，所以[]10a =6．10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．答：282500．解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为28a bcdef ．根据题意，有81×abcdef =28a bcdef ．记43210101010x b c d e f =⨯+⨯+⨯+⨯+，于是 5568110812081010a x a x ⨯⨯+=⨯+⨯+，解得x=1250×(208－71a ) ．因为0≤x ＜510，所以0≤1250×(208－71a )＜510，故12871a <≤20871．因为a 为整数，所以a=2．于是x=1250×(208－71×2)=82500．所以，小明家原来的电话号码为282500．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知abx =，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312-<<-x ．（1）试写出一个满足条件的x ；（2）求所有满足条件的x ．解：（1）12x =满足条件． ……………5分（2）因为abx =，a ，为互质的正整数，且a ≤8，所以11b a<<，即 1)31)a b a <-．当a=1时，1)11)1b ⨯<<⨯，这样的正整数b 不存在．当a=2时，1)21)2b ⨯<<⨯，故b =1，此时12x =．当a=3时，1)31)3b ⨯<<⨯，故b =2，此时23x =．当a=4时，1)41)4b ⨯<<⨯，与a 互质的正整数b 不存在．当a=5时，1)51)5b ⨯<<⨯，故b =3，此时35x =．当a=6时，1)61)6b ⨯<<⨯，与a 互质的正整数b 不存在．当a=7时，1)71)7b ⨯<<⨯，故b =3，4，5此时37x =，47，57．当a=8时，1)81)8b ⨯<<⨯，故b =5，此时58x =所以，满足条件的所有分数为12，23，35，37，47，57，58．………………15分12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b ① 245bc a a =-- ②求a 的取值范围．解法一：由①－2×②得2()24(1)0b c a -=+>，所以a>－1．当a>－1时， 14162222++=+a a c b =2(1)(7)0a a ++>．……………10分又当b a =时，由①，②得 221614c a a =++， ③245ac a a =-- ④将④两边平方，结合③得2222(1614)(45)a a a a a ++=--化简得 3224840250a a a +--=，故 2(65)(425)0a a a +--=，解得56a =-，或14a ±=．所以，a 的取值范围为a>－1且56a ≠-，14a ≠．………………………15分解法二：因为14162222++=+a a c b ，245bc a a =--，所以22222()216142(45)4844(1)b c a a a a a a a +=+++--=++=+，所以 2(1)b c a +=±+．又245bc a a =--，所以b ，c 为一元二次方程222(1)450x a x a a ±++--= ⑤的两个不相等实数根，故224(1)4(45)0a a a ∆=+--->，所以a>－1．当a>－1时， 14162222++=+a a c b =2(1)(7)0a a ++>．……………10分另外，当b a =时，由⑤式有 222(1)450a a a a a ±++--=，即 24250a a --= 或 650a --=，解得，4a =或56a =-．当c a =时，同理可得56a =-或4a =．所以，a的取值范围为a>－1且56a ≠-，14a ±≠．………………………15分13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE=∠ACE ．又PA 是⊙ O 的切线，所以∠KAP=∠ACE ，故∠KPE=∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ，所以KPKE KA KP =，即 KA KE KP ⋅=2．由切割线定理得 KA KE KB ⋅=2所以 KB KP =． ………………10分因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是AC KP CE PE = 故 ACKBCE PE =，即 PE ·AC=CE ·KB ． ………………15分14．10个学生参加n 个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n 的最小值．解：设10个学生为1S ，2S ，…，10S ，n 个课外小组1G ，2G ，…，n G ．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为1S ，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾． ………………5分若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设1S 恰好参加1G ，2G ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与1S 没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组1G ，2G ，…，n G 的人数之和不小于3×10=30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n 个课外小组1G ，2G ，…，n G 的人数不超过5n ，故 5n ≥30，所以n ≥6． ………………………10分下面构造一个例子说明n=6是可以的．}{543211S S S S S G ,,,,=，}{876212S S S S S G ,,,,=，}{1096313S S S S S G ,,,,=，}{1097424S S S S S G ,,,,=，}{987535S S S S S G ,,,,=，}{1086546S S S S S G ,,,,=．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n 的最小值为6． ……………………………15分。

2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题

３ｏ＜关一函）＋（当≤ ２的大是．＜１于的次数＝ ÷１）１ ≤时最值设后，，一，
（）图１
Ａ．
Ｂ２ —１．ｋＴ
ｃ
．
１
Ｄｋ
．
１
４钟面上的１２这１． —１２个数字把圆周１２等分，以其中任意４个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是
Ｐ
张，营业收入合计１０元．８则该商店３月份售出的ｃ种
贺卡至少有— — 张．
Ｏ
Ｂ
ｌ．２有一个英文单词由５个字母组成，如果将２６个英文字母ｎｂｃ …，按顺序依次对应０到２，，，）ｚ，５这２６个整数，那么这个单词中的５个字母对应的整数按从左到图２图３
／，９５４（）２２２４ｃ１４，６２：４－６．ｓ
５欧几里得，原本［．几何Ｍ］兰纪正，朱恩宽．西安：
陕西科学技术出版社，９０１９．
试题选登・・试题选璺・・试题选璺・・试题选璺・・试题选登・・试置选登・・试置选登・・试题选登・・试置选璺・・试置选璺・・试置遗璺・・置选璺试
码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有
Ａ１．５种Ｂ２．３种Ｃ２．８种Ｄ３．３种
（
）
二、空题（６填共小题，每小题６，分满分３分）６
７三个实数按从小到大排列为。：，．，，把其中每两个数作和得到三个数分别是１，７３，４１，３则２ — ＝

含绝对值的函数

含绝对值的函数知识定位灵活的掌握含有绝对值的函数，主要包括图像画法、函数解析式、与分段函数之间的联系。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用知识梳理1、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象：)0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。

所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。

所以可用三点定其型。

三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。

2.用“两点定形法”作双绝对值差式函数b x a x x f ---=)(的图象（1）当a<b 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+<-=---=)()(2)()(b x a b b x a ba x a x ba b x a x x f ，可见其图象是由两端为两条平行的射线，中间为连接两射线的端点构成的图形，而图象总是在两个绝对值代数式的零点处转折。

（2）当a>b 时同理。

据此，可以点))(,()),(,(b f b a f a 确定函数b x a x x f ---=)(的图象3.用“多点定形法”作多绝对值函数)()(212211i i i a a a a x m a x m a x m x f <<<-++-+-= 的图象因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+++-++++<≤+++-+---+<++++----=)()()()()()()()()()(221121212211211221121i i i i i i i i i i a x a m a m a m x m m m a x a a m a m a m x m m m a x a m a m a m x m m m x f可知其图象是由i 个顶点i A A A 21、、、决定的折线图，各顶点横坐标由各绝对值代数式的零点决定，中间由1-i 条顺次连接相邻两点的线段组成，两端为两条射线。

2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题(含答案)

2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1． 5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）24 2．如图，长方形ABCD 恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是（）（A ）17 （B ）18 （C ）19 （D ）317 3．设0＜k ＜1，关于x 的一次函数)1(1x kkx y -+=，当1≤x ≤2时的最大值是（）（A ）k（B ）kk 12-（C ）k1 （D ）kk 1+4．钟面上的1~12这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是（）（A ）10个（B ）14个（C ）15个（D ）30个 5．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1212-+=x x y 的图象上整点的个数是（）（A ）2个（B ）4个（C ）6个（D ）8个A DBC（第2题）6．用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（）（A ）15种（B ）23种（C ）28种（D ）33种二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．三个实数按从小到大排列为1x ，2x ，3x ，把其中每两个数作和得到三个数分别是14，17，33，则2x = ．8．如图，AB 为半⊙O 的直径，C 为半圆弧的三等分点，过B ，C 两点的半⊙O 的切线交于点P ，若AB 的长是2a ，则P A 的长是．9．函数1422-+=x x y 的最小值是．10．在正方形ABCD 中，点E 是BC 上的一定点，且BE =10，EC =14，点P 是BD 上的一动点，则PE +PC 的最小值是．11．某商店出售A 、B 、C 三种生日贺卡，已知A 种贺卡每张0.5元，B 种贺卡每张1元，C 种贺卡每张2.5元．营业员统计3月份的经营情况如下：三种贺卡共售出150张，营业收入合计180元．则该商店3月份售出的C 种贺卡至少有张．12．有一个英文单词由5个字母组成，如果将26个英文字母a ，b ，c ，…，y ，z 按顺序依次对应0到25这26个整数，那么这个单词中的5个字母对应的整数按从左到右的顺序分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5．已知x 1+3x 2，4x 2，x 3+2x 4,，5x 4，6x 4+x 5 除以26所得的余数分别为15，6，20，9，9．则该英文单词是．DE（第10题）三、解答题（共4小题，满分54分）某列从上海到温州的火车，包括起始和终点在内共有6个停靠站，将这6个站按火车到达的先后次序，依次记为A，B，C，D，E，F．小张乘坐这趟列车从上海出发去温州，火车驶离上海时，小张发现他乘坐的车厢里连他自己在内共19名旅客，这些旅客小张都认识，其中有些是浙江人，其他的都是上海人．一路上小张观测到下列情况：①除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢里浙江人的人数与下车旅客的人数相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢；②当火车离开车站B时，车厢里有12名旅客；当火车离开车站D时，还有7名旅客在这一车厢里；在F站下车的旅客包括小张在内共5人．（1）火车驶离上海时，小张乘坐的这节车厢里共有多少浙江人？多少上海人？（2）在B到C、C到D、D到E的旅途中，分别有多少浙江人？多少上海人？BP与MN、AN分别交于E、F，（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．BAC MNPEF15．（本题满分15分）设,,,321x x x …2006,x 是整数，且满足下列条件： ① -1≤n x ≤2，n =1，2，3，…，2006； ②+++321x x x …2002006=+x ； ③+++232221x x x (20062)2006=+x ．求 +++333231x x x (3)2006x + 的最小值和最大值．一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；②对于点（a，b），如果a＞b，则能从（a，b）跳到（a－b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b－a）．例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．（１）（3,5）；（２）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：D解：设这5个自然数从小到大排列依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 3=17．当这5个自然数中最大一个x 5的可能值最大时，其他3个自然数必取最小的可能值，x 1=0，x 2=1，x 4=18，此时x 5=24． 2．答案：C解：设小长方形的长、宽分别为x ，y ，则3 x = 4 y ，y x 34=．∴334=⋅y y ．23=y ，x =2．∴ 长方形ABCD 的周长为19．3．答案：A 解：kx k k y 1)1(+-=，∵ 0＜k ＜1，∴ k k k kk )1)(1(1-+=-＜0，该一次函数的值随x 的增大而减小，当1≤x ≤2时，最大值为k kk k =+-11．4．答案：C解：连结圆周上12个等分点，得6条直径，以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形，共15个矩形． 5．答案：C解：将函数表达式变形，得122+=-x y xy ，24224=--x y xy ，25)12)(12(=--x y ．∵ x ，y 都是整数，∴ )12(),12(--x y 也是整数．∴ ⎩⎨⎧=-=-2512,112x y 或 ⎩⎨⎧-=--=-2512,112x y 或 ⎩⎨⎧=-=-112,2512x y 或 ⎩⎨⎧-=--=-112,2512x y或 ⎩⎨⎧=-=-512,512x y 或 ⎩⎨⎧-=--=-.512,512x y解得整点为（13，1），（-12，0），（1，13），（0，-12），（3，3），（-2，-2）． 6．答案：C解：（1）当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，6克，26克；（2）当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克，7克，8克，27克， 28克，32克；（3）当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有9克，29克，33克，34克；（4）当天平的一端放4个砝码时，可以称量重物的克数有35克．（5）当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1克，4克，5克，20克，24克，25克；（6）当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3克，5克，7克，18克，19克，21克，22克，23克，25克，27克，30克，31克；（7）当天平的一端放1个砝码，另一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有17 克，23克，31克，33克；（8）当天平的一端放2个砝码，另一端也放2个砝码时，可以称量重物的克数有19克，21克，29克．去掉重复的克数后，共有28种．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：15解： 1421=+x x ，1731=+x x ，3332=+x x ， ∴ 32321=++x x x ，152=x ．8．答案：a 7解：连结OC ，OP ，则∠OCP =90°，∠COP =60°，OC = a∴ PC =a 3，PB =PC =a 3，P A =a 7． 9．答案：1-解：y =3)1(22-+x =⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+.0,3)1(2,0,3)1(222x x x x其图象如图，由图象可知，当x = 0时，y 最小为 -1． 10．答案：26解：连结AP ，则PE +PC =PE +P A ，当点P 在AE 上时，其值最小，最小值为26102422=+．11．答案：20解：设A 、B 、C 三种贺卡售出的张数分别为x ，y ，z ，则 ⎩⎨⎧=++=++.1805.25.0,150z y x z y x消去y 得，305.15.0-=z x ．由0305.1≥-z ，得20≥z ．12．答案：right ，evght解：由题意得，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=+=++=+=+.9266,9265,20262,6264,152635544434322121k x x k x k x x k x k x x （54321,,,,k k k k k 为非负整数）．（第9题）由0≤54321,,,,x x x x x ≤25，可分析得出，123454,17,8,216,7,19.x x x x x =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩或或，三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)解：（1）由条件得，在B 站有7人下车，∴ 19名旅客中有7位浙江人，即火车驶离上海时，车厢里有7个浙江人，12个上海人． ……………2分（2）在E 站有2人下车，即在D —E 途中有2个浙江人，5个上海人， ……………2分从而C —D 途中至少有2位浙江人，在D 站至少有2人下车， ……………2分 ∴ C 站后车厢里至少有9个人． ∵ 火车离开B 站时车厢里有12人，离开D 站时有7人， ∴ 在C 站至少有3人下车，即经过C 站后车厢里至多9人，故经过C 站后车厢里有9人，即在C 站有3人下车． ……………2分 ∴ B —C 途中车厢里还有3个浙江人，9个上海人． ……………2分在D 站有2人下车，C —D 途中车厢里还有2个浙江人，7个上海人．……………2分14．(12分)解：（1）如图1，连结PN ，则PN ∥AB ，且 AB PN 21=． ……………………2分∴ △ABF ∽△NPF ，2===PNAB FNAF FPBF ．∴ BF =2FP ． ……………………2分（2）如图2，取AF 的中点G ，连结MG ，则MG ∥EF ，AG =GF =FN ． ……………………2分∴ S △NEF =41S △MNG ……………………2分 =41×32S △AMN ……………………2分 =41×32×41S △ABC =241S ． ……………2分BACM N PE F（图1） BA CM N PE F（图2）G15．(15分)解：设,,,321x x x …2006,x 中有r 个－1、s 个1、t 个2，则⎩⎨⎧=++=++-.20064,2002t s r t s r ………………5分两式相加，得s ＋3t ＝1103，故t ≤≤． ………………2分∵ +++333231x x x …t s r x 832006++-=+ ………………2分=2006+t ． ………………2分∴ 200≤+++333231x x x (3)2006x +≤6×367+200=2402．当0,1103,903t s r ===时，+++333231x x x (3)2006x +取最小值200，………2分当367,2,536t s r ===时，+++333231x x x (3)2006x +取最大值2402．………2分 16．(15分)解：（1）能到达点（3，5）和点（200，6）． ………………2分从（1，1）出发到（3，5）的路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）→（3，4）→（3，8）→（3，5）． ………………3分从（1，1）出发到（200，6）的路径为：（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6） →（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6） →（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）．……3分（2）不能到达点（12，60）和（200，5）． ………………2分理由如下：∵ a 和b 的公共奇约数=a 和2b 的公共奇约数=2a 和b 的公共奇约数， ∴ 由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．∵ 如果a ＞b ，a 和b 的最大公约数=（a －b ）和b 的最大公约数，如果a ＜b ，a 和b 的最大公约数=（b －a ）和b 的最大公约数， ∴ 由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．…………3分 ∵ 1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5．………………2分∴ 从（1,1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．。

2006年全国初中数学竞赛试题(含答案)

选择题1.C具体方法：19+4*9=552.C具体方法：不明3.B具体方法：因为平行，且左右对称，所以原点到三角形斜边与y轴的交点就是高h，所以有y=x, 又因为题目有y=x的平方，解方程组有x=1,x=o（舍去），所以斜边是2，h=1。

4.B具体方法：把4边形剪成62边形，要剪58次，而且剪出来的都是3角形，3角形要剪成62边形要59次，所以总共要剪58+59*33=20055.D具体方法：不明，不过可自己画一幅精确的图去量出来（迫不得已啊……）6. 5013具体方法：把已知的两式相加得b+c=4011,因此只需讨论a的最大值，因为a＜b ，所以容易知道a=1002所以最大值为1002+4011=50137.—20/3具体方法：因为正三角形面积为1，可求出3边的值，根据正三角形底边的正方形的边与底边的比值可以求出正方形的一边，接着求出正方形面积为28×根号3—48，因此可求出a=28,b=3,c=48,接着把它们分别代入就求得了8.104具体方法：先求出他们相隔400米时的时间，因为在这之前，他们不可能走在同一条线上，接着当他们相隔400时再向前拐弯，就一定是走在同一条线上，所以求出当他们相隔400米时，甲刚好走了12.5圈所以甲走了13圈时，就跟乙走在同一条线上，所以可求出时间为13×（400÷50）=104 9.6具体方法：根据题意得（1—11/30）＜a＜（1—12/30），求得0.6 ＜a＜0.633……，所以[10a]=610.282500具体方法：比较抽象麻烦，就不具体说明了，方法是用像根号的那个除法，就是小学2年级学的那种做除法的那种方法，一个个推出a,b,c,d,e,f.三` 11 (1)1/2 2/3 3/5 5/7 4/7 3/7 5/8。

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）.（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）90 答：C ．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.故选C ．2．已知21+=m ，21-=n ，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于（）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 答：C ．解：由已知可得 122=-m m ，122=-n n ．又8)763)(147(22=--+-n n a m m ，所以 ()()8737=-+a ，解得 9-=a ．故选C ．3．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（）（A ）1<h （B ）1=h （C ）21<<h （D ）2>h 答：B ．解：设点A 的坐标为),(2a a ，点C 的坐标为),(2c c （c a <），则点B 的坐标为),(2a a -，由勾股定理，得22222)()(a c a c AC-+-=，22222)()(a c a c BC-++=，222ABBCAC =+，所以 22222)(c a c a -=-．由于22a c >，所以221a c -=，故斜边AB 上高=h 221a c -=．故选B ．4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007答：B ．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得（k ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（k ＋1）×360°．因为这（k ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（k ＋1）－34＝k －33（个），而这些多边形的内角和不少于（k －33）×180°．所以（k ＋1）×360°≥34×60×180°＋（k －33）×180°，解得k ≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）．故选B ．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO QP =，则QAQC 的值为（）（A ）132- （B ）32 （C ）23+ （D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，m QO =，则m QP =，mr QC +=，m r QA -=．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QD QP QC QA ⋅=⋅．即 QDm m r m r ⋅=+-))((，所以 mm r QD 22-=．连结DO ，由勾股定理，得222QODOQD+=，即22222m r m m r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得rm 33=．所以，231313+=-+=-+=mr m r QAQC ．故选D ．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，a c -＝2005．若a ＜b ，则a ＋b＋c 的最大值为．答：5013．解：由a ＋b ＝2006，a c -＝2005，得 a ＋b ＋c ＝a ＋4011．因为a ＋b ＝2006，a ＜b ，a 为整数，所以，a 的最大值为1002．于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于 .答：320-．解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则342=m ．由△ADG ∽ △ABC ，可得mx m m x 2323-=，解得m x )332(-=．于是48328)332(222-=-=m x ，由题意，a ＝28，b ＝3,c ＝48，所以320-=-bc a .8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．答：104．解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了x x 3685040046=⨯米．于是400)1(400800)1(368>--+-x x ，且 x x 400)800368(-+≤400，所以，5.12≤x ＜5.13．故x =13，此时1045013400=⨯=t ．9．已知<01a <，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于．答：6．解：因为 122902303030a a a <+<+<<+< ，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，…，2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝…＝1130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝0，1230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝1330a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝…＝2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝1，所以 130110<+<a ，1≤3012+a ＜2．故18≤a 30＜19，于是6≤a 10＜319，所以[]10a =6．10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．答：282500．解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为bcdef a 82．根据题意，有81×abcdef ＝bcdef a 82．记43210101010x b c d e f =⨯+⨯+⨯+⨯+，于是5568110812081010a x a x ⨯⨯+=⨯+⨯+，解得)71208(1250a x -⨯=．因为0≤x ≤510，所以≤)71208(1250a -⨯＜510，故71128＜a ≤71208．因为a 为整数，所以a ＝2．于是82500)271208(1250=⨯-⨯=x ．所以，小明家原来的电话号码为282500．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知△ABC 中，B ∠是锐角．从顶点A 向BC 边或其延长线作垂线，垂足为D ；从顶点C 向AB 边或其延长线作垂线，垂足为E ．当BCBD 2和ABBE 2均为正整数时，△ABC 是什么三角形？并证明你的结论．解：设,2m BCBD =nABBE =2，,m n 均为正整数，则244cos 4B D B E m n B A BB C=⋅⋅=<，所以，mn ＝1，2，3．…………………5分（1）当mn ＝1时，1cos 2B =，60B ∠=︒，此时1==n m ．所以AD 垂直平分BC ，CE 垂直平分AB ，于是△ABC 是等边三角形．（2）当mn ＝2时，cos 2B =，45B ∠=︒，此时2,1==n m ，或1,2==n m ，所以点E 与点A 重合，或点D 与点C 重合．故90B A C ∠=︒，或90B C A ∠=︒，于是△ABC 是等腰直角三角形．（3）mn ＝3时，cos 2B =，30B ∠=︒，此时3,1==n m ，或1,3==n m ．于是AD 垂直平分BC ，或CE 垂直平分AB ．故30A C B ∠=︒，或30B A C ∠=︒，于是△ABC 是顶角为120 的等腰三角形．…………………15分12．证明：存在无穷多对正整数(),m n ，满足方程2225107()m n m n m n +=++．证法1：原方程可以写为22(107)2570m n m n n -++-=，于是 ()221074(257)16849n n n n ∆=+--=+是完全平方数．…………………5分设21684949(121)n k +=+，其中k 是任意一个正整数，则2427n k k =+．…………………10分于是210710(427)77(121)22n k k k m +±++±+==22107k k=-，或2210777k k ++．所以，存在无穷多对正整数(),m n ()222107,427k k k k =-+（其中k 是正整数）满足题设方程．…………………15分证法2：原方程可写为()()257m n m n -=+，所以可设27m n x+=（x 是正整数）， ①取 57m n x -=． ②…………………5分① －②得67(1)n x x =-．令6x y =（y 是任意正整数），则2427n y y =-．…………………10分于是()2227364272107m y y y y y=⋅--=+．所以，存在无穷多对正整数(),m n ()222107,427y y y y =+-（其中y 是任意正整数）满足题设方程．…………………15分13．如图，已知锐角△ABC 及其外接圆⊙O ，AM 是BC 边的中线．分别过点B ，C 作⊙O 的切线，两条切线相交于点X ，连结AX ．求证：BACAXAM ∠=cos ．证明：设AX 与⊙O 相交于点1A ，连结OB ，OC ，1O A ．又M 为BC 的中点，所以，连结OX ，它过点M ．因为,OB BX OX BC ⊥⊥，所以2XB XM XO=⋅． ①又由切割线定理得21XB XA XA =⋅．②…………………5分由①，②得1X A X M X AX O=，于是△XMA ∽△1X A O ，所以1OA AM OB AXOXOX==．…………………10分又2B O C B A C ∠=∠，所以B O X B A C ∠=∠，于是BACOXOB AXAM ∠==cos ．…………………15分14．10个学生参加n 个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n 的最小值为6．证明：设10个学生为1210,,,S S S ，n 个课外小组为12,,,n G G G ．（第13（B ）题图）首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为1S ，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．…………………5分若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设1S 恰好参加12,G G ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与1S 没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组12,,,n G G G 的人数之和不小于310⨯＝30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n 个课外小组12,,,n G G G 的人数不超过5n ，故n5≥30，所以n ≥6．…………………10分下面构造一个例子说明6n =是可以的．{}112345,,,,G S S S S S =， {}212678,,,,G S S S S S =，{}3136910,,,,G S S S S S =，{}4247910,,,,G S S S S S =，{}535789,,,,G S S S S S =，{}6456810,,,,G S S S S S =．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n 的最小值为6．…………………15分。

2006年全国初中数学竞赛

B C （第2题） N2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．答案：D解：解方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.526,543a y a x 只需⎩⎨⎧>-<-;026,043a a 或⎩⎨⎧<->-.026,043a a 即a ＜34或a ＞3． 2．答案：B解：连结BE ，分别过E ，F 作A C 的平行线交BC 于点M 和N ，则EM =1，BM =3，MN =33134-=--．∴ 小三角形的周长是632=++MN MN MN cm ．3．答案：C解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种．4．答案：D解：将抛物线C 再变回到抛物线A ：即将抛物线1)1(22-+=x y 向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线2)1(22--=x y ，而抛物线2)1(22--=x y 关于x 轴对称的抛物线是2)1(22+--=x y ．5．答案：A解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法，故所求概率是3264=． 6．答案：A解：经实验或按下述方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是()121321+=++++k k k ，应停在第()p k k 7121-+格，这里p 是整数，且使0≤()p k k 7121-+≤6，分别取k =1，2，3，4，5，6，7，时，()p k k 7121-+=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋．若7＜k ≤10，设t k +=7（t =1，2，3）代入可得，()p k k 7121-+=()1217++t t m ，由此可知，停棋的情形与t k =时相同．故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．7．答案：B解：假设有整数根，不妨设它的根是2k 或2k +1（k 为整数），分别代入原方程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A ；若a ，b ，c 分别取4，8，3则排除C ，D ．8．答案：C解：每个2×2小方格图形有4种不同的画法，而位置不同的2×2 小方格图形共有12个，故画出不同位置的L 形图案个数是12×4=48．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．答案：512 解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高(设为h )，则5h =3×4，h =512． 10．答案：35％或65％（答对一个给3分）解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35％或65％．11．答案：10解：不难验证，a 2=b 2+c 2．所以△ABC 是直角三角形，其中a 是斜边．b sin B +c sin C =a b b ⋅+ac c ⋅=a b c 22+=a a 2=a =10． 12．答案：00720031 解：方程组()⎩⎨⎧++=-+=k x k y k kx y 1,1的解为⎩⎨⎧-=-=.1,1y x 直线的交点是()1,1--．直线1y kx k =+-，1y k x k =++（）与x 轴的交点分别是（kk -1，0）、（1+-k k ，0）．11121+---⨯-⨯=k k k k S k =11121+-k k ．所以 1232006S S S S ++++ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-+-00721006214131312121121 =0072003100721121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯． 13．答案：22 解：连结DM 并延长交EF 于N ，则△ADM ≌△ENM ，∴FN =1，则FM 是等腰直角△DFN 的底边上的E (第8题)高，所以FM =22． 14．答案：463 解：设这个等腰三角形的腰为x ，底为y ，分为的两部分边长分别为n 和2n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+;22,2n y x n x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.2,22n y x n x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==;35,32n y n x 或⎪⎩⎪⎨⎧==.3,34n y n x ∵ 35322n n <⨯(此时不能构成三角形，舍去)，∴ 取⎪⎩⎪⎨⎧==,3,34n y n x 其中n 是3的倍数．三角形的面积2223663)6()34(321n n n n S =-⨯⨯=∆．对于23663n S =∆，当n ≥0时，∆S 随着n 的增大而增大，故当n =3时，463=∆S 取最小．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．(12分)解：将b a 24+=代入210ab c +-=，得2b 2+4b +c 21-=0， ……………2分 ∴ 22622c b -±-=． …………………………………2分 ∵ b ，c 都是整数，∴ 只能取⎩⎨⎧==;1,011c b ⎩⎨⎧-==;1,022c b ⎩⎨⎧=-=;1,233c b ⎩⎨⎧-=-=1,244c b ，…4分相对应a 1=4，a 2=4，a 3=０，a 4=0．故所求a b c ++的值有4个：5，3，1-，3-． ……………………………4分16．(12分)解：设分配给甲店铺A 款式服装x 件(x 取整数，且5≤x ≤30)，则分配给甲店铺B 款式服装(30x -)件，分配给乙店铺A 款式服装(35－x )件，分配给乙店铺B 款式服装[25－(30x -)]= (x 5-)件，总毛利润(设为y 总)为：y 总=30x +40(30x -)+27(35x -)+36(x 5-)= x -+1 965．………………………4分乙店铺的毛利润(设为y 乙)应满足：y 乙=27(35x -)+36(x 5-)≥950，得x ≥9520．…………………………………3分对于y 总=x -+1 965，y 总随着x 的增大而减小，要使y 总最大，x 必须取最小值，又x ≥9520，故取x =21．即分配给甲店铺A ，B 两种款式服装分别为21件和9件，分配给乙店铺A ，B 两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙店铺获毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取的总毛利润最大， ………………………………………3分其最大的总毛利润为：y 总最大=21-+1 965=1 944(元)．…………………………2分n -1 （第17题）17．(12分)解：(1) 一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数=(线段的长度÷圆的周长)圈．因此若不考虑⊙O 滚动经过n 个顶点的情况，则⊙O 自身恰好转动了一圈． ……………………………………………3分现证明，当⊙O 在某边的一端，滚动经过该端点(即顶点)时，⊙O 自身转动的角度恰好等于n 边形在这个顶点的一个外角．如图所示，设∠A 2 A 1 A n 为钝角，已知A n A 1是⊙O 的切线，⊙O 滚动经过端点A 1后到⊙O '的位置，此时A 1A 2是⊙O '的切线，因此OA 1⊥A n A 1，O 'A 1⊥A 1 A 2．当⊙O 转动至⊙O '时，则∠γ 就是⊙O 自身转动的角度．∵∠γ +∠β =90º，∠α+∠β =90º，∴∠γ =∠α ．即⊙O 滚动经过顶点A 1自身转动的角度恰好等于顶点A 1的一个外角． ………………………3分对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证．（注：只证明直角的情况，只给2分） ∵ 凸n 边形的外角和为360º，∴ ⊙O 滚动经过n 个顶点自身又转动了一圈．………………………………3分 ∴ ⊙O 自身转动了两圈．(2) ⊙O 自身转动的圈数是)1(+ab 圈． …………………………………………3分 18．(14分)解：(1) 该二次函数图象的顶点P 是在某条抛物线上． ……………………2分求该抛物线的函数表达式如下：利用配方，得y =(x +m +1)2m m 32--，顶点坐标是P (1--m ，m m 32--)．……………………2分方法一：分别取m =0，1-，1，得到三个顶点坐标是P 1(1-，0)、P 2(0，2)、 P 3(2-，4-)，过这三个顶点的二次函数的表达式是y =2x -+x +2． …………3分将顶点坐标P (1--m ，m m 32--)代入y =－x 2+x +2的左右两边，左边=m m 32--，右边=(-1--m )2+(1--m )+2=m m 32--，∴ 左边=右边．即无论m 取何值，顶点P 都在抛物线y =2x -+x +2上．即所求抛物线的函数表达式是y =2x -+x +2．…3分（注：如果没有“左边=右边”的证明，那么解法一最多只能得4分）方法二：令1--m =x ，将m =1--x 代入m m 32--，得(-1--x )2－3(1--x )=2x -+x +2．………………………………………………3分即所求抛物线的函数表达式是y =2x -+x +2上． ………………………………3分(2) 如果顶点P (1--m ，m m 32--)在直线y =x +1上，则m m 32--=1--m +1， …………………………………2分即m m 22-=． ∴ m =0或 m =2-．∴当直线y =x +1经过二次函数y =x 2+2(m +1)x m -+1图象的顶点P 时，m 的值是2-或0． ………………2分。

2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题参考答案

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2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2006年4月2日下午1：00—3：00）一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分） 1． 5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）242．如图，长方形ABCD 恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是（）（A ）17 （B ）18 （C ）19 （D ）317 3．设0＜k ＜1，关于x 的一次函数)1(1x kkx y -+=，当1≤x ≤2时的最大值是（）（A ）k （B ）kk 12-（C ）k1 （D ）kk 1+4．钟面上的1~12这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是（）（A ）10个（B ）14个（C ）15个（D ）30个 5．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1212-+=x x y 的图象上整点的个数是（）（A ）2个（B ）4个（C ）6个（D ）8个6．用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（）（A ）15种（B ）23种（C ）28种（D ）33种二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．三个实数按从小到大排列为1x ，2x ，3x ，把其中每两个数作和得到，则2x = ．8．如图，AB 为半⊙O 的直径，C 为半圆弧的三等分点，过B ，C 两点的半⊙O 的切线交于点P ，若AB 的长是2a ，则P A 的长是． 9．函数1422-+=x x y 的最小值是．10．在正方形ABCD 中，点E 是BC 上的一定点，且BE =10，EC =14，点P 是的一动点，则PE +PC 的最小值是．11．某商店出售A 、B 、C 三种生日贺卡，已知A 种贺卡每张0.5元，B 种贺卡每张1元，C 种贺卡每张2.5元．营业员统计3月份的经营情况如下：三种贺卡共售出150张，营业收入合计180元．则该商店3月份售出的C 种贺卡至少有张．12．有一个英文单词由5个字母组成，如果将26个英文字母a ，b ，c ，…，y ，z 按顺序依次对应0到25这26ADB C（第2题）CDE（第10题）个整数，那么这个单词中的5个字母对应的整数按从左到右的顺序分别为x1，x2，x3，x4，x5．已知x1+3x2，4x2，x3+2x4,，5x4，6x4+x5 除以26所得的余数分别为15，6，20，9，9．则该英文单词是．三、解答题（共4小题，满分54分）13．（本题满分12分）某列从上海到温州的火车，包括起始和终点在内共有6个停靠站，将这6个站按火车到达的先后次序，依次记为A，B，C，D，E，F．小张乘坐这趟列车从上海出发去温州，火车驶离上海时，小张发现他乘坐的车厢里连他自己在内共19名旅客，这些旅客小张都认识，其中有些是浙江人，其他的都是上海人．一路上小张观测到下列情况：①除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢里浙江人的人数与下车旅客的人数相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢；②当火车离开车站B时，车厢里有12名旅客；当火车离开车站D时，还有7名旅客在这一车厢里；在F站下车的旅客包括小张在内共5人．（1）火车驶离上海时，小张乘坐的这节车厢里共有多少浙江人？多少上海人？（2）在B到C、C到D、D到E的旅途中，分别有多少浙江人？多少上海人？14．（本题满分12分）如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F，（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．BAC MNPEF15．（本题满分15分）设,,,321x x x …2006,x 是整数，且满足下列条件： ① -1≤n x ≤2，n =1，2，3，…，2006； ②+++321x x x …2002006=+x ；③+++232221x x x (20062)2006=+x ．求 +++333231x x x …32006x + 的最小值和最大值．16．（本题满分15分）一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃： ①能从任意一点（a ，b ），跳到点（2a ，b ）或（a ，2b ）；②对于点（a ，b ），如果a ＞b ，则能从（a ，b ）跳到（a －b ，b ）；如果a ＜b ，则能从（a ，b ）跳到（a ，b －a ）．例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．（１）（3, 5）；（２）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：D解：设这5个自然数从小到大排列依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 3=17．当这5个自然数中最大一个x 5的可能值最大时，其他3个自然数必取最小的可能值，x 1=0，x 2=1，x 4=18，此时x 5=24．2．答案：C解：设小长方形的长、宽分别为x ，y ，则3 x = 4 y ，y x 34=．∴334=⋅y y ．23=y ，x =2．∴ 长方形ABCD 的周长为19．3．答案：A 解：kx k k y 1)1(+-=，∵ 0＜k ＜1，∴ kk k kk )1)(1(1-+=-＜0，该一次函数的值随x 的增大而减小，当1≤x ≤2时，最大值为k k k k =+-11．4．答案：C解：连结圆周上12个等分点，得6条直径，以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形，共15个矩形． 5．答案：C解：将函数表达式变形，得122+=-x y xy ，24224=--x y xy ，25)12)(12(=--x y ．∵ x ，y 都是整数，∴ )12(),12(--x y 也是整数． ∴ ⎩⎨⎧=-=-2512,112x y 或 ⎩⎨⎧-=--=-2512,112x y 或 ⎩⎨⎧=-=-112,2512x y 或 ⎩⎨⎧-=--=-112,2512x y或 ⎩⎨⎧=-=-512,512x y 或 ⎩⎨⎧-=--=-.512,512x y解得整点为（13，1），（-12，0），（1，13），（0，-12），（3，3），（-2，-2）． 6．答案：C解：（1）当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，6克，26克；（2）当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克，7克，8克，27克， 28克，32克；（3）当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有9克，29克，33克，34克；（4）当天平的一端放4个砝码时，可以称量重物的克数有35克．（5）当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1克，4克，5克，20克，24克，25克；（6）当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3克，5克，7克，18克，19克，21克，22克，23克，25克，27克，30克，31克；（7）当天平的一端放1个砝码，另一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有17 克，23克，31克，33克；（8）当天平的一端放2个砝码，另一端也放2个砝码时，可以称量重物的克数有19克，21克，29克．去掉重复的克数后，共有28种．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：15解： 1421=+x x ，1731=+x x ，3332=+x x ， ∴ 32321=++x x x ，152=x ． 8．答案：a 7解：连结OC ，OP ，则∠OCP =90°，∠COP =60°，OC = a∴ PC =a 3，PB =PC =a 3，PA =a 7． 9．答案：1-解：y =3)1(22-+x =⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+.0,3)1(2,0,3)1(222x x x x其图象如图，由图象可知，当x = 0时，y 最小为 -1． 10．答案：26解：连结AP ，则PE +PC =PE +PA ，当点P 在AE 26102422=+．11．答案：20解：设A 、B 、C 三种贺卡售出的张数分别为x ，y ，z ，则 ⎩⎨⎧=++=++.1805.25.0,150z y x z y x消去y 得，305.15.0-=z x ．由0305.1≥-z ，得20≥z ．12．答案：right ，evght（第9题）解：由题意得，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=+=++=+=+.9266,9265,20262,6264,152635544434322121k x x k x k x x k x k x x （54321,,,,k k k k k 为非负整数）．由0≤54321,,,,x x x x x ≤25，可分析得出，123454,17,8,216,7,19.x x x x x =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩或或，三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)解：（1）由条件得，在B 站有7人下车，∴ 19名旅客中有7位浙江人，即火车驶离上海时，车厢里有7个浙江人，12个上海人． ……………2分（2）在E 站有2人下车，即在D —E 途中有2个浙江人，5个上海人， ……………2分从而C —D 途中至少有2位浙江人，在D 站至少有2人下车， ……………2分 ∴ C 站后车厢里至少有9个人． ∵ 火车离开B 站时车厢里有12人，离开D 站时有7人， ∴ 在C 站至少有3人下车，即经过C 站后车厢里至多9人，故经过C 站后车厢里有9人，即在C 站有3人下车． ……………2分 ∴ B —C 途中车厢里还有3个浙江人，9个上海人． ……………2分在D 站有2人下车，C —D 途中车厢里还有2个浙江人，7个上海人．……………2分14．(12分)解：（1）如图1，连结PN ，则PN ∥AB ，且 AB PN 21=． ……………………2分∴ △ABF ∽△NPF ，2===PNAB FNAF FPBF ．∴ BF =2FP ． ……………………2分（2）如图2，取AF 的中点G ，连结MG ，则 MG ∥EF ，AG =GF =FN ． ……………………2分∴ S △NEF =41S △MNG ……………………2分 =41×32S △AMN ……………………2分 =41×32×41S △ABC =241S ． ……………2分BACMN PE F（图1） BA CMN PE F（图2）G15．(15分)解：设,,,321x x x …2006,x 中有r 个－1、s 个1、t 个2，则⎩⎨⎧=++=++-.20064,2002t s r t s r ………………5分两式相加，得s ＋3t ＝1103，故t ≤≤． ………………2分∵ +++333231x x x …t s r x 832006++-=+ ………………2分=2006+t ． ………………2分∴ 200≤+++333231x x x …32006x +≤6×367+200=2402．当0,1103,903t s r ===时，+++333231x x x …32006x +取最小值200，………2分当367,2,536t s r ===时，+++333231x x x …32006x +取最大值2402．………2分16．(15分)解：（1）能到达点（3，5）和点（200，6）． ………………2分从（1，1）出发到（3，5）的路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）→（3，4）→（3，8）→（3，5）． ………………3分从（1，1）出发到（200，6）的路径为：（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6） →（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6） →（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）．……3分（2）不能到达点（12，60）和（200，5）． ………………2分理由如下：∵ a 和b 的公共奇约数=a 和2b 的公共奇约数=2a 和b 的公共奇约数， ∴ 由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．∵ 如果a ＞b ，a 和b 的最大公约数=（a －b ）和b 的最大公约数，如果a ＜b ，a 和b 的最大公约数=（b －a ）和b 的最大公约数， ∴ 由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．…………3分 ∵ 1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5．………………2分∴ 从（1,1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．。