数理统计
数理统计法
数理统计法
数理统计法（mathematical statistics）是统计学的一个分支，研究如何利用数学方法来分析和解释统计数据的规律和性质。
它主要涉及概率论、数理分析、线性代数和统计推断等数学工具。
数理统计法的目标是通过收集和分析数据来推断总体的特征和参数，并对统计结果进行合理的推断和解释。
它包括描述统计学和推断统计学两个方面。
描述统计学主要关注收集和整理数据，通过统计指标如均值、方差、频数分布等来描述数据的特征和分布。
推断统计学则通过对样本数据的分析来推断总体的特征和参数，包括点估计、区间估计和假设检验等。
数理统计法使用概率论的概念和方法，研究随机变量和概率分布的性质，建立统计模型和假设，利用统计推断方法
来对总体参数做出估计和推断。
它还通过数理分析和数值
计算等方法进行统计推断的演绎和计算。
数理统计法在科学研究、经济预测、社会调查等领域有广
泛应用。
它的理论和方法为决策科学和数据科学提供了重
要工具和技术，对推动科学发展和社会进步起着重要作用。
数理统计的意义
数理统计的意义数理统计是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
它在各个领域都有着广泛的应用，如自然科学、社会科学、医学、经济学等。
数理统计的意义在于帮助我们理解和解释数据背后的规律和趋势，为决策和预测提供科学依据。
数理统计的意义在于帮助我们收集和整理数据。
在实际应用中，我们往往需要大量的数据来支持我们的研究和决策。
数理统计提供了一系列的方法和技术，可以帮助我们有效地收集和整理数据，从而使数据更具有可用性和可分析性。
数理统计的意义在于帮助我们分析和解释数据。
通过数理统计的方法，我们可以对数据进行各种统计分析，如描述统计、推断统计等。
这些分析可以帮助我们揭示数据中的规律和趋势，进而对现象进行解释和预测。
例如，在医学研究中，数理统计可以帮助我们分析患者的病情和治疗效果，从而指导临床治疗和决策。
数理统计的意义还在于帮助我们进行决策和预测。
在现实生活中，我们往往面临各种决策问题，如投资决策、市场营销决策等。
数理统计可以通过对历史数据的分析和建模，提供决策支持和预测结果，帮助我们做出更加科学和准确的决策。
例如，在金融领域，数理统计可以帮助我们分析和预测股票市场的走势，从而指导投资决策。
数理统计还可以帮助我们验证和推翻科学假设。
科学研究往往需要通过实验来验证假设的有效性。
数理统计可以提供一系列的假设检验方法，帮助我们评估实验结果的可靠性和显著性。
通过数理统计的分析，我们可以得出结论，判断假设是否成立，进而推进科学研究的进展。
数理统计在现代社会中具有重要的意义。
它帮助我们收集和整理数据，分析和解释数据，进行决策和预测，验证和推翻假设。
数理统计的应用范围广泛，涉及各个领域。
它不仅是科学研究和决策的重要工具，也是推动社会发展和进步的重要手段。
只有通过科学的数据分析和解释，我们才能更好地认识和理解世界，做出更加准确和科学的决策。
因此，数理统计的意义不可忽视，它对我们的生活和社会具有重要影响。
数理统计公式
数理统计是研究数据收集、整理、分析和解释的一门学科，其中涉及到许多公式和方法。
以下是一些常用的数理统计公式：
1. 均值公式：
均值（平均值）是一组数据的总和除以数据的个数。
均值= (x1 + x2 + ... + xn) / n
2. 方差公式：
方差是一组数据与其均值之差的平方和的平均值。
方差= ((x1 - 平均值)^2 + (x2 - 平均值)^2 + ... + (xn - 平均值)^2) / n
3. 标准差公式：
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
标准差= 方差的平方根
4. 相关系数公式：
相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系的强度和方向。
相关系数= 协方差/ (x的标准差* y的标准差)
5. 正态分布公式：
正态分布是一种常见的概率分布，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))
6. 估计公式：
估计公式用于根据样本数据估计总体参数。
例如，样本均值可以用来估计总体均值，样本方差可以用来估计总体方差。
这只是数理统计中的一小部分公式，还有许多其他公式和方法，如假设检验、置信区间等。
具体使用哪些公式取决于具体的问题和数据类型。
数理统计基本概念
P{6.262 χ 2 24.996}
2 2
P{χ 6.262} P{χ 24.996}
0.975 0.05 0.925
注意 应注意分布表的定义与查法！
#
数理统计基本概念
3.自由度为 n的 t 分布 作笔名发表文章.
T～t(n)
又称学生氏分布--第一个研究者以Student
( X 1 , X 2 , , X n ) ~ ( 2 ) e
n 2 2
i 1
( xi )2 2 2
n
数理统计基本概念
四、统计量 定义6.1.2 设X1 , X2 , ·, Xn是总体X的样本， · · T为n元实值函数，若样本的函数 T=T(X1 , X2 , ·, Xn) · · 是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量. 对相应的样本值( x1 , x2 , … , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , … , xn )
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中 抽取10件产品装箱。 概
1）没有次品的概率 2）平均有几件次品
率
3）为以 0.95的概率保证箱中 有10件正品，箱中至少要装多 少件产品。
数
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
所有这些问题的关键是 p 是已知的！ 如何获取 p ? 这就是数理统计的任务了！
定的α(0<α<1)，数uα满足
P{ X u } ，
(C ) u1 ;
数理统计
数理统计数理统计(Mathematics Statistics)什么是数理统计数理统计是以概率论为基础，研究社会和自然界中大量随机现象数量变化基本规律的一种方法。
其主要内容有参数估计、假设检验、相关分析、试验设计、非参数统计、过程统计等。
数理统计的特点它以随机现象的观察试验取得资料作为出发点,以概率论为理论基础来研究随机现象.根据资料为随机现象选择数学模型,且利用数学资料来验证数学模型是否合适,在合适的基础上再研究它的特点,性质和规律性.例如灯泡厂生产灯泡,将某天的产品中抽出几个进行试验.试验前不知道该天灯泡的寿命有多长,概率和其分布情况.试验后得到这几个灯泡的寿命作为资料,从中推测整批生产灯泡的使用寿命.合格率等.为了研究它的分布,利用概率论提供的数学模型进行指数分布,求出值,再利用几天的抽样试验来确定指数分布的合适性.数理统计的起源与发展数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的由集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，为采取某种决策和行动提供依据或建议.数理统计起源于人口统计、社会调查等各种描述性统计活动.公元前2250年，大禹治水，根据山川土质，人力和物力的多寡，分全国为九州；殷周时代实行井田制，按人口分地，进行了土地与户口的统计；春秋时代常以兵车多寡论诸侯实力，可见已进行了军事调查和比较；汉代全国户口与年龄的统计数字有据可查；明初编制了黄册与鱼鳞册，黄册乃全国户口名册，鱼鳞册系全国土地图籍，绘有地形，完全具有现代统计图表的性质.可见，我国历代对统计工作非常重视，只是缺少系统研究，未形成专门的著作.在西方各国，统计工作开始于公元前3050年，埃及建造金字塔，为征收建筑费用，对全国人口进行普查和统计.到了亚里土多德时代，统计工作开始往理性演变.这时，统计在卫生、保险、国内外贸易、军事和行政管理方面的应用，都有详细的记载.统计一词，就是从意大利一词逐步演变而成的.数理统计的发展大致可分为古典时期、近代时期和现代时期三个阶段.古典时期(19世纪以前).这是描述性的统计学形成和发展阶段，是数理统计的萌芽时期.在这一时期里，瑞土数学家贝努里(1654-1795年)较早地系统论证了大数定律.1763年，英国数学家贝叶斯提出了一种归纳推理的理论，后被发展为一种统计推断方法――贝叶斯方法，开创了数理统计的先河.法国数学家棣莫佛(1667-1754)于1733年首次发现了正态分布的密度函数.并计算出该曲线在各种不同区间内的概率，为整个大样本理论奠定了基础.1809年，德国数学家高斯(1777-1855)和法国数学家勒让德(1752-1833)各自独立地发现了最小二乘法，并应用于观测数据的误差分析.在数理统计的理论与应用方面都作出了重要贡献，他不仅将数理统计应用到生物学，而且还应用到教育学和心理学的研究.并且详细地论证了数理统计应用的广泛性，他曾预言："统计方法，可应用于各种学科的各个部门."近代时期(19世纪末至1845年)数理统计的主要分支建立，是数理统计的形成时期.上一世纪初，由于概率论的发展从理论上接近完备，加之工农业生产迫切需要，推动着这门学科的蓬勃发展.1889年，英国数学家皮尔逊(1857-1936)提出了矩估计法，次年又提出了频率曲线的理论.并于1900年在德国数学家赫尔梅特在发现 c 2分布的基础上提出了c 2 检验，这是数理统计发展史上出现的第一个小样本分布.1908年，英国的统计学家戈塞特(1876-1937)创立了小样本检验代替了大样本检验的理论和方法(即t分布和t检验法)，这为数理统计的另一分支――多元分析奠定理论基础.1912年，英国统计学家费歇(1890-1962)推广了t检验法，同时发展了显著性检验及估计和方差分析等数理统计新分支.这样，数理统计的一些重要分支如假设检验、回归分析、方差分析、正交设计等有了其决定其面貌的内容和理论.数理统计成为应用广泛、方法独特的一门数学学科.现代时期(1945年以后)美籍罗马尼亚数理统计学家瓦你德(1902-1950)致力于用数学方法使统计学精确化、严密化，取得了很多重要成果.他发展了决策理论，提出了一般的判别问题.创立了序贯分析理论，提出著名的序贯概率比检法.瓦尔德的两本著作《序贯分析》和《统计决策函数论》，被认为是数理发展史上的经典之作.由于计算机的应用，推动了数理统计在理论研究和应用方面不断地向纵深发展，并产生一些新的分支和边缘性的新学科，如最优设计和非参数统计推断等.当前，数理统计的应用范围愈来愈广泛，已渗透到许多科学领域，应用到国民经济各个部门，成为科学研究不可缺少的工具.。
数理统计的基本概念
样本k阶原点矩 样本 阶原点矩 样本k阶中心矩 样本 阶中心矩
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1 Ak = n 1 Bk = n
∑ ∑
n
n
i =1
X ik ( k = 1, 2 , L )
i =1
( X i − X ) k ( k = 1, 2 , L )
概率论与数理统计
说明 (修正 样本方差还可表示为 修正)样本方差还可表示为 修正
n 1 S2 = [ ∑ X i2 − n X 2 ] n − 1 i =1
1 n 推导】 【推导】 S 2 = ( X i − X )2 ∑ n − 1 i =1 = = = =
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1 n ( X i2 − 2 X i X + X 2 ) ∑ n − 1 i =1 n n n 1 [ ∑ X i2 − 2 X ∑ X i + ∑ X 2 ] n − 1 i =1 i =1 i =1 n 1 [ ∑ X i2 − 2 n X 2 + n X 2 ] n − 1 i =1 n 1 [ ∑ X i2 −n X 2 ] n − 1 i =1
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
做法
从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、 从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、工大男
生),测试其所需数据(寿命、身高),最后对所得数据通过 ),测试其所需数据 寿命、身高), 测试其所需数据( ),最后对所得数据通过 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、工大男生身 高)的分布情况,从而了解整体情况. 的分布情况,从而了解整体情况. 一般,我们所研究的总体的某项数量指标X 一般,我们所研究的总体的某项数量指标X是一个随 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此, 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此,对总体的研 究,就是对相应的随机变量X的研究。 就是对相应的随机变量X的研究。 今后,我们称X 今后,我们称X的分布函数和数字特征分别为总体的 分布函数和数字特征, 分布函数和数字特征,并不再区分总体与相应的随机变量 X.对总体的称呼 总体,总体X 总体F X.对总体的称呼:总体,总体X与总体F. 对总体的称呼:
数理统计学(基础性学科理论)
与社会经济学关系
相同点
历史
不同点
历史
社会经济统计学在原始社会末期，奴隶社会早期就已经开始萌芽，主要是对人口数量与土地的丈量进行统计， 伴随着社会和经济的发展，社会经济统计学在封建社会就已经初具规模，在资本主义时期，其发展更是到了上升 时期。社会经济统计学的发展离不开人类的实践活动，在实践中逐渐成熟。直到在统计学中引入了概率论以后， 才使统计学诞生出新的学科，即数理统计学。
从数学上对生物统计进行研究的第一人是英国统计学家皮尔逊，他曾在伦敦大学学院学习，然后去德国学物 理，1881年在剑桥大学获得学士学位，1882年任伦敦大学应用数学力学教授。
具体地说与人们生活有关的如某种食品营养价值高低的调查；通过用户对家用电器性能指标及使用情况的调 查，得到全国某种家用电器的上榜品牌排名情况；一种药品对某种疾病的治疗效果的观察评价等都是利用数理统 计方法来实现的。
相同点
社会经济统计学和数理统计学都是对事物的统计规律进行研究，并且在研究方法论方面具有共通性，两者都 是利用归纳推理的研究方法而不是演绎推理的研究方法。在许多教材中，在对数理统计学的学科性质进行阐述时 都明确表示数理统计学是对随机现象的数据进行统计，并对其规律性进行研究与揭示。而关于社会经济统计学的 研究对象，在统计学术界还存在一些争议，一部分学者认为，社会经济统计学属于独立的社会科学类，主要是对 具体时间、具体地点条件下的社会经济现象中的数量表现进行研究和统计，并揭示其数量规律，认为其数量表现 和规律就是社会经济统计学需要研究的对象。还有一部分学者则认为社会经济统计学属于统计方法论科学类，重 在对社会经济现象下的数据进行收集、整理、统计与分析，认为其统计方法论就是需要研究的对象。而经过长期 的实践来看，社会经济统计学和数理统计学两者在研究对象上其实具有同一性，这两门学科都是在对事物的统计 规律进行研究和揭示。
数理统计公式
数理统计公式数理统计公式是数理统计学中的重要内容，通过公式的运用可以对数据进行分析和推断。
本文将介绍几个常用的数理统计公式，包括概率密度函数、期望值、方差和标准差等。
一、概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是描述连续随机变量的概率分布的函数。
对于一个连续随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下两个条件：1) f(x)≥0，对于所有的x∈R；2) ∫f(x)dx=1，即概率密度函数在整个实数轴上的积分等于1。
概率密度函数可以用来求解连续随机变量的概率。
二、期望值（Expectation）是用来描述随机变量平均取值的一个数学概念。
对于离散随机变量X，其期望值E(X)定义为E(X)=∑xP(X=x)，即随机变量X取值的加权平均值，其中P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
对于连续随机变量X，其期望值E(X)定义为E(X)=∫xf(x)dx，其中f(x)为X的概率密度函数。
三、方差（Variance）是用来描述随机变量离散程度的一个数学概念。
对于随机变量X，其方差Var(X)定义为Var(X)=E[(X-E(X))^2]，即随机变量X与其期望值之差的平方的期望值。
方差可以衡量数据的离散程度，方差越大表示数据越分散，方差越小表示数据越集中。
四、标准差（Standard Deviation）是方差的平方根，用来度量随机变量的离散程度。
对于随机变量X，其标准差σ定义为σ=sqrt(Var(X))。
标准差是方差的一种常见的度量方式，它具有与原始数据相同的单位，可以直观地表示数据的离散程度。
除了以上介绍的几个常用的数理统计公式外，数理统计学还有许多其他重要的公式，如协方差、相关系数、似然函数等。
这些公式在实际数据分析和统计推断中起到了重要的作用，帮助我们理解和解释数据背后的规律和特征。
数理统计公式是数理统计学的重要工具，它们可以帮助我们对数据进行分析和推断。
概率密度函数、期望值、方差和标准差是数理统计中常用的公式，通过它们的运用，我们可以更好地理解和解释数据的特征和规律。
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6
由给定数据算得
2 6
x 14.95
1 2 2 s ( xi 6 x ) 0.051. s 0.226 5 i 1
ch7-89
由公式 (4) 得 的置信区间为 S S (X t 0.025 (5), X t 0.025 (5) ) 6 6 (14.71, 15.187 )
2 1 2 2 2
2 2
X Y ~ N ( 1 2 , ) n m 2 (m 1)S 2 2 ~ (m 1) ( X Y ) ( 1 2 ) 2 ~ N (0,1) 1 1 (n 1)S12 (m 1)S 22 ~ 2 (n m 2) n m 2 2
它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参 数 (常由 的点估计出发考虑 ). 例如 X～N ( , 1 / 5) 取枢轴量
X g ( X 1 , X 2 , , X n , ) ~ N (0, 1) 1/ 5
ch7-78
给定置信度 1 ,定出常数 a , b ,使得 P(a g ( X 1 , X 2 , X n , ) b) 1 ( 引例中 a 1.96, b 1.96 ) 由 a g ( X 1 , X 2 , X n , ) b 解出 1 , 2
0.3069 )
ch7-90
(二) 两个正态母体的情形
( X 1 , X 2 , , X n )为取自母体 N ( 1 12 ) 的子样,
( Y1 , Y2 ,, Ym )为取自母体 N ( 2 22 ) 的子样,
X , S ; Y , S 分别表示两子样的均值与方差
2 1
2 2
P(
2 1 2
(n 1)S 2 ) 1 2 2
2
得 2 的置信区间为
(n 1) S 2 (n 1) S 2 , 2 2 (n 1) (n 1) 1 2 2
2
-2
(5)
2
1
ch7-68
§2.3
区间估计
引例 已知 X ~ N ( ,1), 的无偏、有效点估计为 X
常数
随机变量
不同样本算得的 的估计值不同， 因此除了给出 的点估计外, 还希望根据 所给的子样确定一个随机区间, 使其包含 参数真值的概率达到指定的要求.
ch7-69
如引例中，要找一个区间,使其包含 的 真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )
P(1 2 ) 1
置信区间或区间估计. 1 置信下限 2 置信上限
则称 (1 , 2 )为 的置信概率为1 - 的
ch7-75
几点说明
置信区间的长度 2 1 反映了估计精度 2 1越小, 估计精度越高.
反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
2
置信下限 X u
2
S n S n
75.8 1.96 75.8 1.96
12.03 50 12.03 50
72.465 , 79.135 ,
置信上限 X u
2
所求置信区间为 ( 72.465 , 79.135 )
ch7-81
若母体 X ~ B(1, p ) , 容量为 n 的子样中 恰有 m 个1，试对 p 作区间估计.
• 2
2
4
6
8
• 2
2
10
ch7-87
例3 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从 正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机 抽取 6 件, 测得直径为 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1
(1) 若 2=0.06, 求 的置信区间 置信概率 2未知,求 的置信区间 (2) 若 均为0.95 (3) 求方差 2的置信区间.
u u1 1.96 (1.96)
2 2
1
-2 u1
-1
0.4 0.3 0.2 0.1
u 2
2
3.92
2
u 2 u1 1.84 (2.13)
3 3
3.97
1
-2 u1
-1
u 22
3
3
ch7-74
置信区间的定义
设 为待估参数, 是一给定的数, ( 0<<1). 若能找到统计量 1 , 2 , 使
这时, 2 1 往往增大, 因而估计精度降低.
确定后, 置信区间 的选取方法不唯一,
常选最小的一个.
ch7-76
处理“可靠性与精度关系”的原 则 先
求参数 置信区间 保 证 可靠性
再
提 高 精 度
ch7-77
求置信区间的步骤
寻找一个子样பைடு நூலகம்函数
g ( X x , X 2 , , X n , ) — 称为枢轴量
ch7-82
例2 自一大批产品中抽取100个样品, 其中 有60个一级品, 求这批产品的一级品率 p 的 置信度为0.95的置信区间.
解 将 n 100 , m 60 , u 1.96 代入(2)式得
2
m 1 m m m 1 m m u 1 , u 1 n 2 n n n n 2 n n n
(n 1) S12 ~ 2 (n 1) 2
( X Y ) ( 1 2 ) 1 1 (n 1) S (m 1) S n m nm2
2 1 2 2
~ t (n m 2)
ch7-93
P
( X Y ) ( 1 2 ) 1 1 (n 1) S (m 1) S n m nm2
~
( X u
2
S n
, X u
2
S n
) (1)
ch7-80
例1 从学校新生中随机地选50名,进行田径 项目测试, 由测试成绩得子样均值 x 75.8 , 子样方差 s 2 144 . 72 . 求全校新生平均田径 成绩的置信区间, 置信概率为95%. 解 u u 0.05 1.96 , s 12.03 . 由(1)式得
1 U X ~ N 0 , 1 X ~ N , 1 5 5
取 查表得
0.05
u / 2 1.96
ch7-70
X 这说明 P 1.96 0.05 1 5
即 P X 1.96 15 X 1.96 15 0.95
1 m X Xi n i 1 n
n
1 m m 2 2 m m S X i X 1 n i 1 n n n n
n
2
2
代入(1)式得
m u 1 m 1 m , m u 1 m 1 m n 2 2 n n n n n n n (2)
置信概率为 1
2 12 , 2 已知, 考虑 1 2的置信区间 ① 2 2 1 2 X ~ N (1 , ), Y ~ N ( 2 , ) X , Y 相互独立, n m
ch7-91
( X Y ) ( 1 2 )
2 1
n
2 2
~ N (0,1)
S S X t (n 1) , X t (n 1) (4) 2 2 n n
ch7-85
推导
选取枢轴量 T
X S / n
~ t (n 1)
X 由 P t (n 1) 确定 t (n 1) 2 2 S / n
m
1 2 的置信区间为
2 2 2 2 ( X Y ) u 1 2 , ( X Y ) u 1 2 2 2 n m n m
(6)
ch7-92
② ,
2 1
2 2 未知(
但 ) 1 2的置信区间
( 0.504, 0.696 )
注 另一解法见后面附录
ch7-83
二. 正态母体的情形 (一) 一个正态总体的情形 (1) 方差 2已知, 的置信区间 0 0
( X u
2
n
, X u
2 0
2
n
) (3)
推导 由 X ~ N ( , ) 选取枢轴量 n X g ( X 1 , X 2 , , X n , ) ~ N (0,1) 0 / n
解 (1) X ~ N ( , 0.06 / 6) 即 N ( ,0.01) X ~ N (0,1) u u 0.025 1.96 2 0.1
ch7-88
1 由给定数据算得 x xi 14.95 6 i 1 由公式 (3) 得 的置信区间为 ( 14.95 1.96 0.1 , 14.95 1.96 0.1 ) ( 14.75 , 15.15 )
5S 2 (3) 选取枢轴量 2 2 ~ 2 (5) ,
S
2
0.051.
查表得
5S
2
2 0.025
(5) 12.833 ,
5S
2
2 0975
(5) 0.831
由公式 (5) 得 2 的置信区间为
(
2 0.025