常用数理统计公式
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式：1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。
4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式：1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
三、概率论与数理统计定理：1.大数定律：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n，当n趋向于无穷大时，X̄趋向于X的期望E(X)。
数理统计定理及公式
3、贝叶斯风险
风险函数(, ) = ,(, )- = ∫ (, )(|)关于 再求期望，得
() = ∫ (, ) π() = ∬ (, )(|)π()
= ∬ (, )() (|) = ∫ () ∫ (, ) (|)
1、假设检验的基本概念
（1）拒绝域： = {: ∈ Ω，使0 否定}
1, ∈
（2）检验函数δ() = {
0, ∉
（3）两类错误的概率及检验水平
①第一类错误（弃真）②第二类错误（存伪）
③检验水平：检验犯第一类错误的概率
（4）势函数()
{
() = , ∈ 0
（1）矩估计法（以样本 k 阶矩估计总体 k 阶矩）
= ∫ () = ̅
1
2 = ∫ 2 () = ∑ 2 = 2 + ̅ 2
=1
{
⋮
（2）极大似然估计法
似然函数（联合密度）() = ∏=1 ( ; )
()
= 0，解得̂即为最大似然估计量，当求导无解时，结合次序统计量的概念及的
4、有效估计（方差达到罗-克拉默下界的估计）
（1）信息不等式
2
ln(; )
2 ln(; )
() = E *
+ = −E *
+
2
（2）罗-克拉默下界
D(()) ≥
1
()
（3）有效估计⇒最小方差无偏估计；但最小方差无偏估计⇏有效估计
5、区间估计
（1）置信度：1 −
①~(0,1)，Y~ 2 ()且独立，则 =
√/
~()
② = 0, = −2
数理统计定理及公式
数理统计定理及公式数理统计是应用数学的一个分支，研究收集、整理、分析和解释数据的方法和技术。
在数理统计中，有一些重要的定理和公式，用于描述和计算概率、分布、样本统计量和假设检验。
1. 大数定理（Law of Large Numbers）：在重复多次独立实验的情况下，随着实验次数的增多，样本均值会趋近于总体均值。
大数定理是数理统计的基础之一，它是对样本均值的收敛性质的描述。
数学表达式为：其中，X1、X2、..、Xn是来自总体的独立同分布的随机变量，μ是总体的均值，n是样本大小。
2. 中心极限定理（Central Limit Theorem）：在若干相互独立的随机变量的和的情况下，随着随机变量数量的增大，和的分布趋向于服从正态分布。
中心极限定理是数理统计中非常重要的一个定理，它不仅在理论上解释了为什么正态分布在自然界中具有如此重要的地位，而且提供了许多统计学中方法的理论基础。
数学表达式为：其中，X1、X2、..、Xn是独立同分布的随机变量，μ是总体的均值，σ是总体的标准差，n是样本大小。
3. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：又称为两点分布，是最简单的概率分布之一、伯努利分布描述了只有两个可能结果的离散随机试验，如抛硬币的结果。
数学表达式为：其中，p表示事件出现的概率，1-p表示事件不出现的概率，X为随机变量。
4. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，是统计学中最常见的连续型概率分布之一、正态分布具有钟形曲线，均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
它在自然界中广泛存在，并且许多现实世界中的随机变量都可以近似地服从正态分布。
数学表达式为：其中，μ是均值，σ是标准差，x是随机变量。
5. t分布（Student's t-distribution）：t分布是用于小样本情况下对总体均值进行假设检验的重要工具。
它形状类似于正态分布，但是更扁平，并且具有更重的尾部，以补偿小样本情况下对总体均值的估计不准确性。
数理统计公式
数理统计是研究数据收集、整理、分析和解释的一门学科，其中涉及到许多公式和方法。
以下是一些常用的数理统计公式：
1. 均值公式：
均值（平均值）是一组数据的总和除以数据的个数。
均值= (x1 + x2 + ... + xn) / n
2. 方差公式：
方差是一组数据与其均值之差的平方和的平均值。
方差= ((x1 - 平均值)^2 + (x2 - 平均值)^2 + ... + (xn - 平均值)^2) / n
3. 标准差公式：
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
标准差= 方差的平方根
4. 相关系数公式：
相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系的强度和方向。
相关系数= 协方差/ (x的标准差* y的标准差)
5. 正态分布公式：
正态分布是一种常见的概率分布，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))
6. 估计公式：
估计公式用于根据样本数据估计总体参数。
例如，样本均值可以用来估计总体均值，样本方差可以用来估计总体方差。
这只是数理统计中的一小部分公式，还有许多其他公式和方法，如假设检验、置信区间等。
具体使用哪些公式取决于具体的问题和数据类型。
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式概率论是一门研究随机现象规律的数学学科，是现代数学的基础之一、而数理统计则是利用概率论的工具和方法，分析和处理统计数据，从而得出推断、估计、决策等信息的科学。
在概率论与数理统计的学习过程中，掌握一些重要的公式是非常关键的。
下面是一些概率论与数理统计中常用的公式：1.概率公式：-加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)-乘法公式：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)-条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)2.期望与方差公式：-期望：E(X)=∑(x*P(X=x))- 方差：Var(X) = E((X-μ)^2) = ∑((x-μ)^2 * P(X=x))3.常用概率分布及其特征：-二项分布：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)-泊松分布：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!-正态分布：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2)/(2*σ^2))4.样本与总体统计量公式：-样本均值：x̄=(∑x)/n-样本方差：s^2=(∑(x-x̄)^2)/(n-1)-样本标准差：s=√(s^2)5.参数估计公式：-点估计：-总体均值估计：μ的点估计为x̄-总体方差估计：σ^2的点估计为s^2-区间估计：-总体均值的置信区间：x̄±Z*(σ/√n)-总体比例的置信区间：p±Z*√((p*(1-p))/n)6.假设检验公式：-均值检验：-单样本均值检验：t=(x̄-μ0)/(s/√n)-双样本均值检验：t=(x̄1-x̄2)/√((s1^2/n1)+(s2^2/n2))-比例检验：-单样本比例检验：z=(p-p0)/√((p0*(1-p0))/n)-双样本比例检验：z=(p1-p2)/√((p*(1-p))*((1/n1)+(1/n2)))以上是概率论与数理统计中一些常用的公式，这些公式为解决问题提供了有力的工具和方法。
数理统计公式大全
第二章随机变量及其分布
(1
设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件
)离
散
(X=Xk)的概率为
型
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
随
则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式
机 变
给出：
量
。
的 分
显然分布律应满足下列条件：
布 律
(1)，，(2)o
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发 生）:
如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B
A B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
A B同时发生：AB,或者AB A B=?则表示A与B不可能同时发生， 称事件A与事件B互不相谷或者互斥。基本事件疋互不相谷的。
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生 的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C AU(BUC)=(AUB)UC
分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)AC=(AC)U(BC)
德摩根率：，
设为样本空间，为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P( Q /B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
(13)乘法 公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1,A,…An,若P(AA…An-”>0，则有
♦ ♦♦ ♦♦♦♦♦♦ ♦♦♦
数理统计常用公式
数理统计常用公式1.样本均值的公式：样本均值（x̄）是在一组样本数据中，所有数据的总和除以样本数量的结果。
即：x̄=(x₁+x₂+x₃+...+x̄)/n其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，n为样本数量。
2.总体均值的公式：总体均值（μ）是在一个总体中，所有数据的总和除以总体数量的结果。
在样本数据无法覆盖总体数据的情况下，可以通过样本均值来估计总体均值。
即：μ=(x₁+x₂+x₃+...+x̄)/N其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，N为总体数量。
3.样本方差的公式：样本方差（s²）是一组样本数据与其均值之差的平方和除以样本数量减一的结果。
即：s²=((x₁-x̄)²+(x₂-x̄)²+(x₃-x̄)²+...+(x̄-x̄)²)/(n-1)其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，x̄为样本均值，n为样本数量。
4.总体方差的公式：总体方差（σ²）是一组数据与其均值之差的平方和除以总体数量的结果。
在样本数据无法覆盖总体数据的情况下，可以通过样本方差来估计总体方差。
即：σ²=((x₁-μ)²+(x₂-μ)²+(x₃-μ)²+...+(x̄-μ)²)/N其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，μ为总体均值，N为总体数量。
5.样本标准差的公式：样本标准差（s）是样本方差的平方根。
即：s=√(s²)其中，s²为样本方差。
6.总体标准差的公式：总体标准差（σ）是总体方差的平方根。
即：σ=√(σ²)其中，σ²为总体方差。
7.相关系数的公式：相关系数（r）衡量了两个变量之间线性关系的强度和方向。
其计算公式为：r=Σ((x-x̄)*(y-ȳ))/(√(Σ(x-x̄)²)*√(Σ(y-ȳ)²))其中，x、y为两个变量的取值，x̄、ȳ分别为两个变量的均值，Σ表示求和。
数理统计中的关键公式速查
数理统计中的关键公式速查统计学作为一门重要的学科，充斥着大量的数学运算和公式。
掌握统计学中的关键公式对于学习和应用统计学都具有重要的意义。
本文将为大家提供数理统计中的关键公式速查，帮助读者快速准确地找到所需公式。
1. 描述统计学公式1.1 样本均值（Sample Mean）样本均值是评估样本集中趋势的常用方式。
公式：$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$1.2 样本方差（Sample Variance）样本方差用于衡量样本数据的离散程度。
公式：$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$1.3 样本标准差（Sample Standard Deviation）样本标准差是样本方差的平方根。
公式：$s=\sqrt{s^2}$1.4 总体均值（Population Mean）总体均值是指整个总体中的变量的平均值。
公式：$\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i$1.5 总体方差（Population Variance）总体方差是指整个总体中的变量的离散程度。
公式：$\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$1.6 总体标准差（Population Standard Deviation）总体标准差是总体方差的平方根。
公式：$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$2. 概率论公式2.1 条件概率（Conditional Probability）条件概率是指事件 A 在事件 B 已经发生的前提下发生的概率。
公式：$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$2.2 乘法定理（Multiplication Rule）乘法定理适用于计算多个事件同时发生的概率。
公式：$P(A\cap B)=P(A|B)P(B)$2.3 加法定理（Addition Rule）加法定理适用于计算多个事件至少有一个发生的概率。
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1.
∑
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n
i i
x n
x 1
1 y n
2
1
2
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1
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∑
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y
x n y x y y x x L i n
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i i xy -=
--=
∑
∑
==1
1
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x b y a ˆˆ-= xx
xy L L b /ˆ= )(ˆˆˆˆx x b y x b a y
-+=+= 2.b 的显著性检验
0:,0:10≠=b H b H
拒
)2(-≥=
n r L L L r a yy
xx xy
3. b 的区间估计
)
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L t e
xx σ
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2
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n b L yy e
σ 4. 预测y 0
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(11ˆˆ2/12
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y xx
e ασ
5. 控制
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x e -+'=
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x e --''=''-ασ
6. 点估计
2
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其他：))1(
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L x b a
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y r i n 求i x ，2
i s ，x
方差来源（A, e, S T ） 平方和（S A , S e , S T ） 自由度（r-1, n-r ） 方差（e A S S ,）F 值（e A S S /）
),1(1r n r F ---α大否小接受
区间估计（单） 1.1 μ
σ已知，求2
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1,0(/U N n
x →-=
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±
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σ未知，求2
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μ已知，求
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i i
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∑∑=-=--∈
2.2
2
σ
μ未知，求
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n n χ
σ
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*
2
2/12
*2----∈-n x n n x n αασ）（）（ 区间估计（双） 3.1 212221,u -μσσ已知，求
)
1,0()
()(U 2
2
21
2
1
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)
)(()(2
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n n y x u
3.2
212
22
12
u -=μσσσ，求未知
)
2(11)()(U 212
1
21-+→+---=
n n t n n S u y x W
μ
2
212
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12
1
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±-∈--
n n t
n n S y x u W
α
μ
0-1分布 B （1，p ） EX=P DX= p(1-p)
{}()k n k p p k X P --==1 it x pe p -1(t)+=ϕ 二项分布B （n ，p ） EX=nP DX=n p(1-p)
{}()k n k
k
n p p
C k X P --==1 n
)pe p -1((t)
it x +=ϕ
几何分布（n 重伯努利分布） EX=1/p DX= (1-p)/p 2
{}()
1
1--==n p p n X P
泊松分布p(λ)(k=0,1,2…) EX=λ DX=λ
{}λ
λ
-=
=e
k k X P k
!
))1e (exp((t)it x -=λϕ
均匀分布U （a,b ） EX=（b+a ）/2 DX=(b-a)2/12
{}a
b X
P -=
1 )
()
e
e
((t)ait
bit
x
a b it --=ϕ
指数分布 EX=1/λ DX=1/λ2
{}x e X
P λλ-= 1
x )
1((t)
--
=λ
ϕit
正态分布N ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-=2exp (t)2
2x
t iut σϕ 伽玛分布Γ分布
{}x
e
x
X P βαα
αβ
--Γ=
1
)
( αβ
ϕ--=)1((t )x it
β
α=
EX 2
β
α=DX
2
χ分布 EX=n DX=2n
{}2
2
1
2
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(
x n
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n x X P -
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2
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F 分布
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21212
2>---+=
n n n n n n n DX。