数据结构 特殊二叉树

7 7 7
5 2 4
9
2 4 5 7 9 7 5 2 4 9
WPL(T1)=7×4+9×4+5×3+4×2+2×1=89 × × × × × WPL(T2) =7×2+5×2+ × × 2×3+4×3+9×2=60 × × ×
6.3.2 构造哈夫曼树
(1) 根据与n个权值{w1,w2,…,wn} 根据与n 对应的n个结点构成具有n 对应的n个结点构成具有n棵 二叉树的森林 F={T1,T2,…,Tn}， 其中每棵二叉树T 其中每棵二叉树Ti(1≤i≤n) 都只有一个权值为w 的根结点， 都只有一个权值为wi的根结点， 其左、右子树均为空； 其左、右子树均为空； 5 6 2 9 7
其双亲结点的相应指针域改为“ 其双亲结点的相应指针域改为“指向 被删除结点的左子树或右子树” 被删除结点的左子树或右子树”。
右子树为空只需重接它的左子树 q = p; p = p->left; delete(q);
p p
左子树为空只需重接它的右子树 q = p; p = p->right; delete(q);
两个问题: 两个问题:
如何“建堆” 如何“建堆”？ 完全二叉树 如何“筛选” 如何“筛选”？ 调整为堆
“筛选”指的是，对一棵左/右子树均 筛选”指的是，对一棵左/ 为堆的完全二叉树， 调整” 为堆的完全二叉树，“调整”根结点 使整个二叉树也成为一个堆。 使整个二叉树也成为一个堆。 筛 选 堆 堆
第六章 特殊二叉树
二叉搜索树 堆 哈夫曼树
6.1 二叉搜索树
6.1.1 二叉搜索树的定义
1．定义 2．查找算法 4．删除算法 5．查找性能的分析 3．插入算法
6.1.1 二叉搜索树的定义
30
20 二叉搜索树(Binany 二叉搜索树(Binany Searching Tree)40 又称二叉排序树(Binary 又称二叉排序树(Binary SortingTree) 10 25 35 或者是一棵空树； 或者是一棵空树；或者是具有如下特性 的二叉树： 的二叉树： 23 不空， （3）它的左、右子树本身分别是一棵 1）它的左、 若它的左子树不空， 则左子树 不空， （2）若它的右子树不空，则右子树 （ 均小于根结 上所有结点的关键字均大于根结 所有结点的关键字 均小于根结 上所有结点的关键字均大于根结 二叉搜索树。 二叉搜索树。 的关键字； 点的关键字； 的关键字； 点的关键字；
40 , 55 , 49 , 73, 12, 27, 98, 81, 64, 36
向堆中插入一个元素
1、按完全二叉树排列 、 2、筛选 、
18 26 73 48 2 3 4 5 60 6 7 8 9 35 30
0 1
18 26 30 73 48 60 35
35 30
void InsertHeap(Heap& T, ElemType item) { T.heap[T.size]=item; heap[T.size]=item; T.size++; size++; //向堆尾添加新元素 //向堆尾添加新元素 ElemType x=item; //将新元素暂存x中 x=item; //将新元素暂存 将新元素暂存x int i=T.size-1; i=T.size//用i指向待调元素位置 //用 while(i!=0 while(i!=0) { int j=(i-1)/2; j=(i- )/2 //j指向i元素的双亲 //j指向 指向i if(x>=T. if(x>=T.heap[j]) break; //调整结束 break; //调整结束 T.heap[i]=T.heap[j]; //双亲下移 heap[i]=T.heap[j]; //双亲下移 i=j; } i=j; //调整元素改为双亲 //调整元素改为双亲 T.heap[i]=x; } //把新元素调到最终位置 heap[i]=x; //把新元素调到最终位置
q p s
（3）被删除的结点有左右子树 ）被删除的结点有左右子树 被删关键字 = 50 50 30 80 20 40 60 90 35 32 85 88
以其后继替代之， 以其后继替代之，然后再删除 后继结点
6.2 堆
36 65 40
81 73 55 49 6.2.1 堆的定义 堆(Heap) 是具有如下特性的一棵 完全二叉树： 完全二叉树： 若根结点存在左 孩子， (1)若根结点存在左、右孩子，则根 结点的值小于等于 或大于等于) 小于等于( 结点的值小于等于(或大于等于)左 孩子结点的值； 、右孩子结点的值； 以左、 (2)以左、右孩子为根的子树又各 是一个堆。 是一个堆。
二叉搜索树 的插入算法
38 26 35 28 50 55 62 94
依次插入: 依次插入 (38，26，62，94，35，50，28，55) ， ， ， ， ， ， ，
4．二叉搜索树的删除算法
可分三种情况讨论： 可分三种情况讨论： 三种情况讨论 （1）被删除的结点是叶子； 被删除的结点是叶子 是叶子； （2）被删除的结点只有左子树 被删除的结点只有左子树 或者只有右子树 只有右子树； 或者只有右子树； 被删除的结点既有左子树 既有左子树， （3）被删除的结点既有左子树， 也有右子树。 也有右子树。
堆是满足下列性质的数列{r 堆是满足下列性质的数列{r1, r2, …，rn}： …，
ri ≤ r2i ri ≤ r2i+1
(小顶堆) 小顶堆)
或
ri ≥ r2i ri ≥ r2i+1
(大顶堆) 大顶堆)
i= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 12, 36, 27, 65, 40, 34, 98, 81, 73, 55, 49
是小顶堆
12, 36, 27, 65, 40, 14, 98, 81, 73, 55, 49 14,
不是堆
对于完全二叉树 r2i 是 ri 的左孩子 r2i+1 是 ri 的右孩子
12 36 65 81 73 55 40 49
ri r2i r2i+1
27 34 14 98
不 是堆
堆的顺序存储类型 struct Heap { ElemType heap[HeapMaxSize] ; int size; }; // HeapMaxSize为已经事先 为已经事先 定义的全局常量
3．二叉搜索树的插入算法
若二叉搜索树为空树， 若二叉搜索树为空树，则新插入的结 点为根结点；否则，新插入的结点 否则， 必为一个叶子结点，其插入位置由 查找过程得到。 查找过程得到。?????
二叉搜索树的插入算法
void Insert(BTreeNode *&BST,const ElemType &item) { if(BST==NULL) { BTreeNode *p=new BTreeNode; p->data=item; p->left=p->right=NULL; >left=pBST=p; } else if(item<BST->data)Insert(BST->left,item); if(item<BST->data)Insert(BST Insert(BSTelse Insert(BST->right,item); Insert(BST-
6.3 哈夫曼树
最优树的定义 如何构造最优树
结点的权和带权路径长 权 度 给结点赋上一个有某 种意义的实数， 种意义的实数，我们称 为权。 带权路径长度 5 9 7 从树根结点到该结点 2 4 之间的路径长度与该结 点上权的乘积。 点上权的乘积。
树的带权路径长度 树中所有叶子结点的带权路径 长度之和 WPL=
6.1.3 二叉搜索树的运算 1. 查找 若二叉搜索树为空，则查找 否则， 不成功；否则，若给定值 1）等于根结点的关键字，则查找成功； 等于根结点的关键字，则查找成功； 根结点的关键字 2）小于根结点的关键字，则继续在左 根结点的关键字， 子树上查找； 子树上查找； 3）大于根结点的关键字，则继续在右 根结点的关键字， 子树上查找。 子树上查找。
p p
以其前驱替代之， 以其前驱替代之，然 （3）被删除的结点有左右子树 ）被删除的结点有左右子树 后再删除该前驱结点 被删关键字 = 50 40 50 30 80 20 40 90
35 32 85 88
前驱结点 被删结点
如何查找前驱
30 20 35 32
p
50 80 40 45 85 88 90
筛选
12 73 81 64 73 55 12 64 98 12 是大顶堆 36 81 12 98
比较
49 40
27
建堆是一个从下往上进行“筛选” 建堆是一个从下往上进行“筛选” 的过程。 的过程。
98 40 81 55 81 73 55 73 81 64 12 36 36 12 27 98 49 40 49 98
23 设 key = 48
T 20 10 T 23 T 25
T T 30 T 40 35 T
bool Find(BTreeNode* T, ElemType& item) while(T!=NULL) = { if(item==T->data) { item=T->data; return true } true; else if(item<T->data) < T=T->left; //向左子树继续查找 向左子树继续查找 else T=T->right; //向右子树继续查找 向右子树继续查找 return false;}
45 85
90
88
p->data = s->data; q->rchild = s->lchild;