深圳乐而思中心高考数学专题提升练习卷：圆锥曲线与圆相结合综合题练习卷

以解析几何中与圆相关的综合问题练习卷1．已知椭圆的焦距与椭圆的短轴长相等，且与的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为，与直线（为坐标原点）垂直的直线l与交于两点，且l与圆相切．（1）求的方程；（2）若，求圆的方程．【解析】（1）由题意可得，∴，故的方程为.（2）联立，得，∴，又在第一象限，∴.故可设l的方程为.联立，得，设，，则，，解得，满足，又到直线l的距离为，则，故圆的方程为. 2．过椭圆的右焦点作x轴的垂线，与椭圆C在第一象限内交于点A，过A作直线的垂线，垂足为B ，．（1）求椭圆C 的方程； （2）设P 为圆上任意一点，过点P 作椭圆C 的两条切线，设分别交圆E 于点，证明：为圆E 的直径． 【解析】（1）； （2）略3．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x -y -4=0相切.（1）求圆O 的方程；（2）直线l:y=kx+3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由. 【解】（1）x 2+y 2=4；（2）±2√24．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为45︒的直线与抛物线C 相交于,P Q 两点，且线段PQ 被直线2y =平分. （1）求p 的值；（2）直线l 是抛物线C 的切线， A 为切点，且l PQ ⊥，求以A 为圆心且与PQ 相切的圆的标准方程. 【解析】 由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 设()11,P x y ， ()22,Q x y ，则124y y +=.（1）由2112222{ 2y px y px ==，得1212122y y px x y y -=-+，∴2tan4514p =︒=，即2p =.（2）设直线l 的方程为y x b =-+，代入24y x =，得()22240x b x b -++=，∴l 为抛物线C 的切线，∴()222440b b ∆=+-=，解得1b =-，∴()1,2A -. ∴A 到直接PQ 的距离12122d +-==，∴所求圆的标准方程为()()22122x y -++=.5．设圆224320x y x +--=的圆心为A ，直线l 过点()2,0B -且与x 轴不重合， l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（1）证明： EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点， O 为坐标原点，求OMN ∆面积的取值范围. 【解析】（1）证明：因为AD AC =， //EB AC 故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以EB ED =， 故EA EB EA ED AD +=+=，又圆A 的标准方程为()22236x y -+=，从而6AD =由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为()221095x y y +=≠.（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为()()20y k x k =+≠， ()()1122,,,M x y N x y由()221{ 952x y y k x +==+得()2222953636450k x k x k +++-=， 则22121222363645,9595k k x x x x k k --+==++，所以2MN x =-=O 到直线MN 距离为d，则d =[来源:学.科.网Z.X.X.K]则()223011295OMNk S MN d k ∆+=⋅==+令295t k =+，则()5,t ∈+∞ 则()()2222222120201118181202095k k t t t t t k +⎡⎤--⎛⎫==-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥+⎣⎦易知()()2222110,8195k k k+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，当l 与x 轴垂直时， 103OMN S ∆=，综上100,3OMN S ∆⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 6.已知P 是圆C ： 224x y +=上的动点， P 在x 轴上的射影为P '，点M 是线段PP '的中点，当P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）经过点()02A ，的直线l 与曲线E 相交于点C ， D ，并且35AC AD =，求直线l 的方程. 【解析】（1）设()M x y ，，则()2P x y ，在圆2244x y +=上，所以2244x y +=，即2214x y += （2）（∴）当直线l 斜率不存在时，经检验，不满足题意；（∴）设直线l 斜率为k ，则其方程为2y kx =+，则()22221{ 141612042x y k x kx y kx +=⇒+++==+ 令()()2216414120k k=-+⋅>，得234k>设()11C x y ，， ()22D x y ， 又由35AC AD =，得1235x x =，将它代入∴，∴，得21k =， 1k =±（满足234k >） 所以直线l 的斜率为1k =±，所以直线l 的方程为2y x =±+.7．已知圆()22:21M x y +-=， Q 是x 轴上的动点， QA ， QB 分别切圆M 于A ， B 两点． （1）当Q 的坐标为()1,0时，求切线QA ， QB 的方程． （2）求四边形QAMB 面积的最小值．（3）若AB =，求直线MQ 的方程． 【解析】（1）当过Q 的直线无斜率时，直线方程为1x =，显然与圆相切，符合题意； 当过Q 的直线有斜率时，设切线方程为()1y k x =-，即0kx y k --=， ∴圆心()0,2到切线的距离1d ，解得34k =-， 综上，切线QA ， QB 的方程分别为1x =， 3430x y +-=．∴当MQ x ⊥轴时， MQ 取得最小值2， ∴四边形QAMB 面积的最小值为3． （3）略 8．已知抛物线，圆，点N 为抛物线E 上的动点，O 为坐标原点，线段的中点P 的轨迹为曲线C.（1）求抛物线C 的方程； （2）点是曲线C 上的点，过点Q 作圆M 的两条切线，分别与x 轴交于两点.求面积的最小值.【解】（∴）设，则点在抛物线上， 所以，即，所以曲线C 的方程为：．（∴）设切线方程为：，令y=0，解得，所以切线与x 轴的交点为，圆心(2，0)到切线的距离为，整理得：，设两条切线的斜率分别为，则，记，则，∴在上单增，∴，∴，∴面积的最小值为．9．在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点12,F F ，交y 轴于点12,B B .以12,B B 为顶点， 12,F F 分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点2⎛⎝. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设经过点()2,0-的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，求2F MN ∆面积的最大值. 【解】（1）（2）由于点()2,0-在椭圆E 外，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则直线():2l y k x =+，设()()1122,,,M x y N x y .由()222{ 12y k x x y =++=消去y 得，222212)8820k x k x k +++-=（. 由0∆>得2102k ≤<，从而22121222882,1212k k x x x x k k --+==++， ∴点()21,0F 到直线l的距离d =，∴2F MN ∆的面积为12S MN d =⋅= 令212k t +=，则[)1,2t ∈， 当134t=即[)441,233t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时， S 有最大值，max S =k =所以，当直线l 的斜率为2F MN ∆ 10．已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=经过椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右焦点F 和上顶点B ．（1）求椭圆Γ的方程；[来源:学§科§网]（2）过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点，求OM OQ ⋅的最大值.【解析】（1）在22:(1)(1)2C x y -+-=中，令0y =得(2,0)F ，即2c =，令0x =，得(0,2)B ，即2b =， 2分由2228a b c =+=，∴椭圆Γ：22184x y +=. 4分 （2）法一：依题意射线l 的斜率存在，设:(0,0)l y kx x k =>>，设1122(,),(,)P x kx Q x kx -5分22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(12)8k x +=，∴2x = 6分22(1)(1)2y kx x y =⎧⎨-+-=⎩得：22(1)(22)0k x k x +-+=，∴1x =， 7分 ∴11(,)22x kx OM OQ ⋅=⋅22212121(,)()0)2x kx x x k x x k =+=>. 9分设2221()12k k k k ϕ++=+，2/22422()(12)k k k k ϕ--+=+，令2/22422()0(12)k k k k ϕ--+=>+，得112k -<<． 又0k >，∴()k ϕ在1(0,)2单调递增，在1(,)2+∞单调递减. 11分∴当12k =时，max 13()()22k ϕϕ==，即OM OQ ⋅的最大值为. 13分 11．已知圆22:4O x y +=，点(F ，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，记点P 的轨迹为C . （1）求曲线C 的方程；（2）若()()1122,,,A x y B x y 为曲线C 上的两点，记11,2y m x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22,2y n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且m n ⊥，试问AOB ∆的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【解析】（1）取(0,F '，连结PF '，设动圆的圆心为M ，∴两圆相内切， ∴122OM FP =-，又12OM PF ='，∴点P 的轨迹是以,F F '为焦点的椭圆，其中24,2a c ==，∴2,a c ==，∴2221b a c =-=，∴C 的轨迹方程为2214y x +=.（2）当AB x ⊥轴时，有12x x =， 12y y =-，由m n ⊥，得112y x =，又221114y x +=，∴1x =， 1y =， 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由22{ 14y kx my x =++=得()2224240k x kmx m +++-=，则12224km x x k -+=+， 212244m x x k -=+，由0m n ⋅=，得121240y y x x +=，∴()()121240kx m kx m x x +++=，整理得()()22121240k x x km x x m ++++=，综上所述， AOB ∆的面积为定值1.12．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,1(2F ，点)3102,2(H 在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222b y x =+上，且M 在第一象限，过M 作222b y x =+的切线交椭圆于Q P ,两点，问：QPF 2∆的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【解析】（1）由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+==-19404122222b ac b a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==9922b a ，∴椭圆的方程为18922=+y x . （2）由题意，设PQ 的方程为)0,0(><+=m k m kx y ， ∵PQ 与圆822=+y x 相切，∴221||2=+k m ，即2122k m +=，⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x mkx y 得072918)98(222=-+++m kmx x k ， 设),(),,(2211y x Q y x P ，则222122198729,9818k m x x k km x x +-=+-=+， ∴222222212212212986987294)9818(14)(1||1||k kmk m k km kx x x x kx x k PQ +-=+--+-+=-++=-+=又212121212122)9(91)91(8)1()1(||-=-+-=+-=x x x y x PF ，∴112313)9(31||x x PF -=-=，同理222313)9(31||x x QF -=-=，∴22129866)(316||||kkmx x QF PF ++=+-=+， ∴69869866||||||222=+-++=++k kmk km PQ QF PF （定值）.13．已知抛物线()2:20C x py p =>，圆22:1O x y +=.（1）若抛物线C 的焦点F 在圆上，且A 为 C 和圆 O 的一个交点，求AF ； （2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点,M N ，求MN 的最小值及相应p 的值. 【解析】（1）由题意得F(1，0)，从而有C ：x 2＝4y.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x 2＋y 2＝1，得y A ＝5－2，所以|AF|＝5－1. …5分（2）设M(x 0，y 0)，则切线l ：y ＝x 0p (x －x 0)＋y 0，整理得x 0x －py －py 0＝0. …6分由|ON|＝1得|py 0|＝x 20＋p 2＝2py 0＋p 2，所以p ＝2y 0y 20－1且y 20－1＞0， …8分 所以|MN|2＝|OM|2－1＝x 20＋y 20－1＝2py 0＋y 20－1＝4y 20y 20－1＋y 20－1＝4＋4y 20－1＋(y 20－1)≥8，当且仅当y 0＝3时等号成立， 所以|MN|的最小值为22，此时p ＝ 3. …12分14．已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；学=科网（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN . 【答案】（I ）4747,33（II ）215．如图；.已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T:2222)(0),x y r r ++=>（设圆T 与椭圆C 交于点M 、N . （1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点. 试问；是否存在使POSPOR S S ∆∆⋅最大的点P ，若存在求出P 点的坐标，若不存在说明理由.【答案】（1）1422=+y x ；（2）22132)25x y ++=（；（3）存在。