重庆八中高2023级数学高一上国庆作业题一(终版)

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重庆市第八中学校2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题及答案

重庆八中2022-2023学年度高一（上）第一次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若全集，，，则()()UUA B =（）A.B ．C ．D ．2.命题“0R x ∃∈，使得201>-x x ”的否定是（）A ．0R x ∃∈，使得201≤-x x B ．0R x ∃∈，使得201x x <-C ．R x ∀∈，都有21≤-x x D ．R x ∀∈，都有21x x >-3.已知a R ∈，则“2a >”是“21a<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数()22,25,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨+<-⎪⎩则()()1f f =（）A ．0B ．2C ．4D ．85.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．21,1x y x y x=-=-B ．4221,11x y y x x -==-+C．,y x y ==D．y y ==6.函数2()46f x x x =--的定义域为[0,]m ，值域为[10,6]--，则m 的取值范围是（）A.[0，4]B.[4，6]C.[2，6]D.[2，4]7．若对任意的2(,0)10x x x m ∞-∈-+>,恒成立，则m 的取值范围是（）A ．(2,2)-B ．(2,)+∞C ．(2,)-+∞D ．(,2]-∞-8.若集合A 满足x A ∈，必有1A x∈，则称集合A 为自倒关系集合.在集合111,0,,,1,2,3,423M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有自倒关系的集合的个数为（）A.7B.8C.16D.15二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．{}1,2,3,4,5,6,7,8U ={}1,2,3A ={}5,6,7B ={4,8}{}2,4,6,8{}1,3,5,7{}1,2,3,5,6,79.下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，c d >，则a c b d +>+B ．若a b >，c d >，则ac bd >C ．若110a b<<，则2ab b <D ．若0a b <<，0c <，则c ca b<10.下列函数中，值域为[)1,+∞的是（）A ．()f x =B ．()211x f x x +=+C ．()1f x x =+D ．()31f x x =+ 11.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3|x x ≤-或4}x ≥，则下列说法正确的是（）A. 0a >B. 不等式0bx c +>的解集为{}4x x <- C. 不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D. 0a b c ++>12.下列命题正确的是（）A. 若0a b >>，0m >，则a a mb b m+<+； B. 若正数a 、b 满足1a b +=，则114113a b +≥++；C . 若0x >，则423x x--的最大值是2-；D. 若(2),0,0x x y x y =->>，则2x y +的最小值是9；三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置．13．已知函数()2132f x x x +=+-，则()2f = ．14．不等式25601x x x -++≥-的解集是．15．若集合{1,3,}A x =，{}2,1B x =，且{1,3,}A B x =，则=x ．16．已知正实数,a b 满足22a b +=，则ab 的最大值为___________；22a ab a b ab+++-的最大值为___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分，其中第（1）问5分，第（2）问5分）已知集合{}42A x x =-≤≤，{}2340B x x x =+->，{}|22C x m x m =-<<+.（1）求A B ，A B ；（2）若x C ∈是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.设集合()222{|320},{|150}A x x x B x x a x a =-+==+-+-=.（1）若{2}A B =，求实数a 的值；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.19. （本小题满分12分，其中第（1）问5分，第（2）问7分）已知0m >，0n >，关于x 的不等式2200x mx --<的解集为{|2}x x n -<<．（1）求m ，n 的值；（2）正实数a ，b 满足2na mb +=，求115a b+的最小值．20. （本小题满分12分，其中第（1）问5分，第（2）问7分）为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且()210100,040100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，有市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部售完.（1）求出2023年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）；（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？已知二次函数()f x 满足()()122f x f x x +-=-，且()10f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若[]14x ∈，时，函数()f x 的图象恒在2y kx =图象的上方，求实数k 的取值范围.22．（本小题满分12分，其中第（1）问3分，第（2）问4分，第（3）5分）已知函数2()(1)1f x m x mx m =+-+-（R m ∈）．（1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围；（2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[]1,1D -⊆，求m 的取值范围．重庆八中2022-2023学年度高一（上）第一次月考数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要【1】因为,，所以，故选A【2】“0R x ∃∈，使得2001>-x x ”的否定是“R x ∀∈，都有21≤-x x ” .故选：C【3】对于不等式21a <，可解得2a >或0a <.所以2a >可以推出21a <，而21a<不可以推出2a >.所以“2a >”是“21a<”的充分不必要条件.故选A 【4】由()2225,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨+<-⎪⎩，()()()142f ff ==.故选：B 【5】A ：1y x =-的定义域为R ，21x y x=-的定义域为{}0xx ≠，定义域不同，故不是同一函数；B ：4221,11x y y x x -==-+两函数定义域都是R，且()()224222111111x x x y x x x +--===-++，故两函数关系式一样，故是同一函数；C ：,y x y ==两函数定义域都是R ，且y x ==，故两函数关系式不一样，故不是同一函数；D ：y {}1x x ≥，y ={1x x ≥或}1x ≤-，定义域不同，故不是同一函数；故选：B.【6】函数()246f x x x =--的图象是开口朝上，且以直线2x =为对称轴的抛物线，故()()()046,210f f f ==-=-，函数()246f x x x =--的定义域为[]0,m ,值域为[]10,6--，所以24m ≤≤，即m 的取值范围是[]2,4,故选D.【7】解法一：（参数+均值不等式）21(,0)10m x x x m x x∈-∞+>⇒>+-,，因为11=[()]2x x x x +--+≤--，所以2m >-. 解法二：（数形结合，轴动区间定，分类讨论求最值）令2()1f x x x m =-+，对称轴2mx =，(,0)x ∈-∞ ① 02(00)10m m f >=>⎧⎪⇒>⎨⎪⎩；②02(00)10m m f ==>⎧⎪⇒=⎨⎪⎩；③02()0202mm f m ⎧⎪⎪⇒-<<⎨⎪⎪⎩<>；综上：2m >-，故选：C.【8】根据自倒关系集合的定义可知，当1x =-时，11x =-；当0x =时，1x无意义；当1x =时，11x =；当2x =时，112x =；当3x =时，113x =；当4x =时，114x =不存在；所以{}{}111,2,,3,,123⎧⎫⎧⎫-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭必须分别在一起，可以把它们看作一个元素，所以自倒关系集合的个数为42115-=.故选D.{}4,5,6,7,8u C A ={}1,2,3,4,8U C B ={}4,8U U C AC B =【9】A ．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；B. 当1, 2.2,1=-=-==a b c d 时，ac bd =，故错误；C. 由110a b<<，得0b a <<，则2ab b <，故正确；D.()c b a c c a b ab--=，因为0b a ->，0c <，0ab >，所以0c c ab -<，故正确；故选：AD 【10】对于A ，()1f x ，显然符合；对于B ，()2112211x f x x x +==-≠++，显然不符合；对于C ，()1f x x =+210,,2t t x +==∴()2221212311222t t y t t t -++-++-==≥= ，显然符合；对于D ，()31f x x R =+∈，显然不符合；故选：AC 【11】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()()34-∞-+∞,,，所以二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上，即0a >，故A 正确；方程20ax bx c ++=的两根为3-、4，由韦达定理得3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得12b ac a =-⎧⎨=-⎩.对于B ，0120bx c ax a +>⇔-->，由于0a >，所以12x <-，所以不等式0bx c +>的解集为{}12x x <-，故B 不正确；对于C ，由B 的分析过程可知12b a c a=-⎧⎨=-⎩，所以220120cx bx a ax ax a -+<⇔-++<2112104x x x ⇔-->⇔<-或13x >，所以不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭，故C 正确；对于D ，12120a b c a a a a ++=--=-<，故D 不正确. 对于D 解法二2()(1)00f x ax bx c f a b c =++⇒<⇒++<，故选：AC.【12】A 选项：解法一（作差法）()()()()()a b m b a m a b m a a m b b m b b m a b m +-+-+-==+++，又0b a <<，0m >，()()0a b m a a m b b m a b m -+∴-=>++，即a a mb b m+>+，故A 选项错误；解法二（糖水不等式+同号前提下大的数倒数反而小） B 选项：解法一（“1”的代换技巧+均值不等式）由0,0b a >>，1a b +=可得()()113a b +++=，所以()()111111112111131113a b b a a b a b a b +++++⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭41233⎛≥+= ⎝，12a b ==时，取等号，故D 选项正确；解法二（权方和不等式） C 选项：0x，44233222x x x x ⎛⎫∴--=-++≤-=- ⎪⎝⎭，当且仅当43x x =，即3x =时等号成立，所以423x x --的最大值为2-，C 选项正确.D 选项：(2),0,0x x y x y =->>，∴211,0,0x y x y+=>>，∴()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =即4,2x y ==时取等号，D 选项错误；注意：不能简单的令3239x y x x y x =⇒=⇒+==.解法二（权方和不等式）(,1](1,6]-∞-【13】令1x =，()()2111322f f =+=+-=.故答案为：2【14】25601x x x -++≥-2560(1)(1)(6)0(1)(,1](1,6]1x x x x x x x x --⇒≤⇒+--≤≠⇒∈-∞--【15】∵{1,3,}A B x =，{1,3,}A x =，{}2,1B x =，∴23x =或2x x =，解得x =或1x =或0x =，1x =显然不合题意，经检验0x =或【16】①由22a b =+≥12≤ab ，当且仅当21a b ==，即1,12a b ==时取等； ②2221219()(1)224a b a a b a ab a b a b a +++++⎛⎫⎛⎫+++=++≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b a +=+，即1,12a b ==时取等，又由上知12≤ab ，故24ab -≤-，当且仅当1,12a b ==时取等，所以()2297444a ab a b ab +++-≤+-=-，当且仅当1,12a b ==时取等.故答案为：12；74-.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17】（1）{}42A x x =-≤≤，{}2340{|4B x x x x x =+->=<-或1}x >，{|12}AB x x ∴=<≤，=R A B ……………………………………………………………5分（2）x C ∈是“x A ∈”的充分不必要条件知, C ∴ A ……………………………………7分∴2422m m -≥-⎧⎨+≤⎩，得20m -≤≤ ……………………………………………………………10分【18】（1）集合{}2{|320}12A x x x =-+==，，若{2}A B =，则2x =是方程()22150x a x a +-+-=的实数根，可得：2230a a +-=，解得3a =-或1a =， ………………3分当3a =-时，{2}B =满足题意；当1a =时，{2,2}B =-满足题意； ……………………………4分所以实数a 的值为3a =-或1a =； ……………………………………………………………5分（2）∵A B A =，∴B A ⊆，当B =∅时，方程()22150x a x a +-+-=无实数根，即()()221450a a ---<，解得：3a <-或73a >； ……………………………………………7分当B ≠∅时，方程()22150x a x a +-+-=有实数根，若只有一个实数根，2214503a a a ∆=---=⇒=-（）（）或73a =； …………………………8分当3a =-时，{2}B =满足题意；当73a =时，2{}3B =-不满足题意；所以3a =-． …………9分若只有两个实数根，则{}12B =，，故221211250733a aa a a ⎧=-⎪+=-⎧⎪⎪⨯=-⇒=⎨⎨⎪⎪∆>⎩⎪-<<⎩，无解. …………………11分综上可得实数a 的取值范围是：(]7,3,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. …………………………………………12分【19】（1）根据题意，不等式2200x mx --<的解集为{|2}x x n -<<，即方程2200x mx --=的两根为2-和n ，则有()()2220n m n ⎧-+=⎪⎨-⨯=-⎪⎩，，解可得10n =，8m =． ……………………………………5分（2）正实数,a b 满足2na mb +=，即1082a b +=，变形有541a b +=， (6)分则()111145541459555b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， …………………………10分当且仅当115a =，16b =时，取等号．∴115a b+的最小值为9． ……………………………12分【20】（1）因为投入成本()210100,040100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由题意，当040x <<时，()()270010100250W x x x x =-+-210600250x x =-+-；当40x ≥时，()100007007019450250W x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭100009200x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，. ()210600250,040100009200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. …………………………………………………………5分（2）若040x <<，()()210308750W x x =--+，当30x =时，()max 8750W x =万元若40x ≥，()10000920092009000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=，即100x =时，()max 9000W x =万元. ∴2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. ………………12分【21】（1）由于()f x 是二次函数，可设()2f x ax bx c =++，()()122f x f x x +-=-恒成立，()()()221122a x b x c ax bx c x ∴++++-++=-恒成立，222ax a b x ++=-，又()10f =，0,1,22,3,2 2.a b c a a b a b c ++==⎧⎧⎪⎪∴=⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-=⎩⎩()232f x x x ∴=-+； …………………………………………5分（2）由题意可得，[]14x ∈，时，2232x x kx -+>，即2231k x x<-+，令1t x =，则21()231,[,1]4k g t t t t <=-+∈，因为2231()2312()48g t t t t =-+=--，1[,1]4t ∈，当34t =时，min 1()8g t =-，所以18k <-. …………………………………………………………12分【22】（1）① 10m +=，即1m =-时，()20f x x =-<解集不是空集，舍去， ……………1分 ② 10m +≠时，即1m ≠-时，2104(1)(1)0m m m m +>⎧⎨∆=-+-≤⎩，即21340m m >-⎧⎨-≥⎩，∴133m m m >-⎧⎪⎨≤-≥⎪⎩，解得m ≥ ∴m的取值范围是⎫+∞⎪⎭； ………………………………………………………………3分（2）∵()f x m ≥化简得：[(1)1](1)0m x x ++-≥， …………………………………4分 ①10m +=时，即1m =-时，解集为{1}∣≥x x ， …………………………………5分 ②10m +>时，即1m >-时，1(1)01x x m ⎛⎫+-≥ ⎪+⎝⎭， 1011m -<<+，解集为{1|1x x m ≤-+或}1x ≥， …………………………………6分 ③10+<m 时，即1m <-时，解集为1(1)01x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭， ∵21m -<<-，∴110m -<+<，∴111m ->+，∴解集为1|11x x m ⎧⎫≤≤-⎨⎬+⎩⎭. ………………7分（3）因为不等式()0f x ≥的解集为D ，且[1,1]D -⊆，即对任意的[1,1]x ∈-，不等式2(1)10m x mx m +-+-≥恒成立，即22(1)1m x x x -+≥-+恒成立因为22131()024x x x -+=-+>，所以22212111x xm x x x x -+-≥=-+-+-+…………………………9分设2[1,3]t x =-∈，2x t =-，所以222131333x tx x t t t t -==≤==-+-++-当且仅当2t x ==-“=”，所以2211x y x x -=-+-+的最大值为1-=所以m ≥…………………………………………………………………………………………………12分。

重庆市2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题含解析

2023—2024学年度高一上期10月数学试卷（答案在最后）（满分：150分时间：120分钟）难度：0.48区分度：0.46一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,6A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.3 B.{}1,3 C.{}3 D.{}2,3【答案】C 【解析】【分析】利用交集的运算求解即可.【详解】由题知，{}3A B ⋂=.故选：C2.设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）．A.2B.1C.23D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为A B ⊆，则有：若20a -=，解得2a =，此时{}0,2A =-，{}1,0,2B =，不符合题意；若220a -=，解得1a =，此时{}0,1A =-，{}1,1,0B =-，符合题意；综上所述：1a =.故选：B.3.若0a b <<，则下列不等式正确的是（）A.11a b< B.2ab a > C.a b< D.2b a a b+>【答案】D 【解析】【分析】利用不等式的基本性质可判断ABC 选项的正误，利用基本不等式可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由已知条件可得0ab >，故a bab ab<，即11a b >，A 错；对于B 选项，因为0a b <<，由不等式的基本性质可得2a ab >，B 错；对于C 选项，由题意可得0a b ->->，即a b >，C 错；对于D 选项，因为0a b <<，则1>a b ，可得01b a<<，故a bb a ≠，由基本不等式可得2b a a b +>=，D 选项正确.故选：D.4.设全集U =R ，{}1A xx =≤∣，{}12B x x =-<<，则图中阴影部分对应的集合为（）A.{}12x x << B.{}12x x ≤< C.{}1x x > D.{}1x x ≥【答案】A 【解析】【分析】图中阴影部分表示的集合为()B A B ð，再结合已知条件可得答案.【详解】由图可知，图中阴影部分表示的集合为()B A B ð，∵{}1A x x =≤，{}12B x x =-<<，∴{}11A B x x ⋂=-<≤，∴(){}12B A B x x ⋂=<<ð.故选：A.5.设,a b 为实数，则“0a b >>”的一个充分非必要条件是（）A.>B.22a b >C.11b a> D.a b b a->-【答案】A 【解析】【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与0a b >>推出关系即可.>，则1110a b b ->-⎧⎨-≥⎩，可得1a b >≥，可推出0a b >>，反向推不出，满足；由22a b >，则||||a b >，推不出0a b >>，反向可推出，不满足；由11b a>，则0a b >>或0b a >>或0a b >>，推不出0a b >>，反向可推出，不满足；由a b b a ->-，则a b >，推不出0a b >>，反向可推出，不满足；故选：A6.若1x >，则11x x +-的最小值等于（）A.0B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】将11x x +-变形为1111x x -++-，即可利用均值不等式求最小值.【详解】因为1x >，所以10x ->，因此11111311x x x x +=-++≥=--,当且仅当111x x -=-，即2x =时，等号成立，所以11x x +-的最小值等于3.故选：D.7.已知集合{}{}0,1,|,,A B z z x y x A y A ===+∈∈，则集合B 的子集个数为A.3 B.4C.7D.8【答案】D 【解析】【详解】分析：先求出集合B 中的元素，从而求出其子集的个数．详解：由题意可知，集合B={z|z=x+y ，x ∈A ，y ∈A}={0，1，2}，则B 的子集个数为：23=8个，故选D ．点睛：本题考查了集合的子集个数问题，若集合有n 个元素，其子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个.8.设全集U =R ，集合{1A x x =≤或}3x ≥，集合{|1,}B x k x k k =<<+∈R ，且()C U B A ⋂≠∅，则（）A.0k <或3k >B.23k <<C.03k <<D.13k -<<【答案】C 【解析】【分析】先求出C {|13}U A x x =<<，再求出()C U B A ⋂=∅时，k 的范围，即可得出结果.【详解】∵集合{1A x x =≤或}3x ≥，∴C {|13}U A x x =<<，因为{|1,}B x k x k k =<<+∈R ，若()C U B A ⋂=∅，则11k +≤或3k ≥，即0k ≤或3k ≥；又()C U B A ⋂≠∅，所以03k <<.故选：C.【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数，熟记交集与补集的概念即可，属于常考题型.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知A B ⊆，A C ⊆，{}2,0,1,8B =，{}1,9,8,3C =，则集合A 可以为（）A.{}1 B.{}2,3C.{}8 D.{}1,8【答案】ACD 【解析】【分析】首先求出A B ⋂，即可求出集合A .【详解】因为A B ⊆，A C ⊆，{}2,0,1,8B =，{}1,9,8,3C =，又{}1,8A B = ，所以A =∅或{}1或{}8或{}1,8.故选：ACD10.已知集合{}22,2,1M k k k =-+，若2M ∈，则实数k 的值为（）A.1B.1- C.2 D.4【答案】BD 【解析】【分析】利用元素与集合的关系以及元素特性即可判断.【详解】由题知，22k =或22k -=或212k +=，即1k =或4k =或1k =±.当1k =时，{}2,1,2M =-（舍）；当4k =时，{}8,2,17M =，符合题意；当1k =-时，{}2,3,2M =--，符合题意.故选：BD11.下列选项中说法正确的是（）A.若22ac bc >，则必有a b >B.若a b >与11a b>同时成立，则0ab <C.若a b >，则必有22ac bc > D.若0a b >>，0c d <<，则a bd c<【答案】ABD 【解析】【分析】利用不等式的性质逐个选项判断即可.【详解】若22ac bc >，则20c >，即得a b >，A 正确；若11a b >，则0b a ab->，且a b >即0b a -<，则0ab <，B 正确；若a b >，0c =，则22ac bc >不成立，C 错；若0c d <<，则0c d ->->，110d c ->->，又0a b >>，则0a bd c ->->，a b d c<，D 正确.故选：ABD12.下列关于基本不等式的说法正确的是（）A.若103x <<，则()13x x -的最大值为112B.函数()23311x x y x x ++=>-+的最小值为2C.已知1x y +=，0x >，0y >，则121x x y ++的最小值为54D.若正数x ，y 满足220x xy +-=，则3x y +的最小值是3【答案】AC 【解析】【分析】根据均值不等式求最值，注意验证等号成立的条件.【详解】因为103x <<，所以130x ->，()2113131133(13)33212x x x x x x +-⎛⎫-=-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当313x x =-即16x =时，等号成立，故A 正确；函数2233(1)21112131+11x x x x y x x x x +++++===+++≥+=++，当且仅当111x x +=+，即2x =-时，等号成立，故B 错误；因为1x y +=，0x >，0y >，所以11215212244244x x y x x y x x y x x y x x y +++=+=++≥+++，当且仅当242x y x x x y +=+，即21,33x y ==时，等号成立，故C 正确；由220xxy +-=可得2x y x +=，23224x y x x y x x +=++=+≥，当且仅当22x x =，即1x =时等号成立，故D 错误.故选：AC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.命题x ∃∈Q ，30x x +≠的否定是______.【答案】x ∀∈Q ，30x x +=【解析】【分析】利用存在量词命题的否定定义即可得出答案.【详解】x ∃∈Q ，30x x +≠的否定是x ∀∈Q ，30x x +=.故答案为：x ∀∈Q ，30x x +=14.若0,0,10x y xy >>=，则25x y+的最小值为_____．【答案】2【解析】【分析】化简2521022222xy x x y x y x y x +=+=+=+，结合基本不等式，即可求解.【详解】由0,0,10x y xy >>=，则2521022222xy x x y x y x y x +=+=+=+≥，当且仅当2x =时取“=”，即25x y+的最小值为2．故答案为：2.15.若命题“∃x 0∈R ，使得320x ＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是_______．【答案】[【解析】【分析】先转化为“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，用判别式进行计算即可.【详解】命题“∃x 0∈R ，使得320x ＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0a故答案为：[.【点睛】（1）全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．（2）“恒成立”问题的解决方法：①函数性质法对于一次函数，只须两端满足条件即可；对于二次函数，就要考虑参数和∆的取值范围.②分离参数法思路：将参数移到不等式的一侧，将自变量x 都移到不等式的另一侧.16.已知a ，R b ∈，集合{}210A x ax x =++=，{}210B x b bx =++=，若A B =，则ab =______.【答案】0或14【解析】【分析】分0b =和0b ≠两种情况讨论，分别求出集合B ，根据A B =，求出a 、b 的值（范围）.【详解】当0b =时{}10B x ===∅，又A B =，所以A =∅，则0a ≠且140a ∆=-<，解得14a >，此时0ab =，当0b ≠时{}22110b B x b bx b ⎧⎫--=++==⎨⎬⎩⎭，因为A B =，若0a =，此时{}{}101A x x =+==-，所以211bb--=-，则210b b -+=，显然方程210b b -+=无解，故不符合题意；若0a ≠且140a ∆=-=，即14a =，此时{}211024A x x x ⎧⎫=++==-⎨⎬⎩⎭，所以212b b--=-，解得1b =，经检验符合题意，则14ab =；综上可得14ab =或0ab =.故答案为：14或0.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知{|24}A x x =≤<,{}|3782B x x x =-≥-,求A B ⋃,,()R A B B A ⋂⋂ð【答案】见解析【解析】【分析】求出集合A 的补集，化简集合B ，结合韦恩图，即可求解.【详解】因为{|24}A x x =≤<，所以{|2R A x x =<ð或}4x ≥因为{}{}|3782|3B x x x x x =-≥-=≥所以{}|2x x A B =≥ {|34}A B x x =≤< {}()|4R B A x x ⋂=≥ð【点睛】本题主要考查了集合间的交并补混合运算，属于基础题.18.已知集合{}2560A x x x =-+=，{}10B x mx =+=，且A B A ⋃=.（1）求集合A 的所有非空子集；（2）求实数m 的值组成的集合.【答案】（1）{}2，{}3，{}2,3（2）110,,23⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）直接求出集合A ，列举非空子集；（2）由A B A ⋃=得{}2,3B A ⊆=，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，求出m .【小问1详解】{}{}25602,3A x x x =-+==，所以集合A 的所有非空子集组成的集合{}2，{}3，{}2,3.【小问2详解】由A B A ⋃=得{}2,3B A ⊆=，①若B =∅，则0m =，满足条件.②若B ≠∅，当2B ∈时，得12m =-；当3B ∈时，得13m =-.故所求的集合为110,,23⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.19.已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．（1）当m ＝－1时，求A ∪B ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -<<；（2）{|2}m m ≤-【解析】【分析】（1）1m =-时，可得出{|22}B x x =-<<，然后进行并集的运算即可；（2）根据“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，可得出A B ⊆且A B ≠，然后即可得出2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，然后解出m 的范围即可.【详解】解：（1）1m =-时，{|22}B x x =-<<，且{|13}A x x =<<，{|23}A B x x ∴⋃=-<<；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，A B ∴⊆，且A B≠∴2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-，∴实数m 的取值范围为{|2}m m ≤-.20.（1）若1x >，求41y x x =+-的最小值及对应x 的值；（2）若02x <<，求412x x+-的最小值及对应x 的值．【答案】（1）最小值为5，3x =；（2）最小值为92，43x =．【解析】【分析】（1）化简4111y x x =-++-，再利用基本不等式求解；（2）化简141141(2()[(2)]2222y x x x x x x=+⨯=+⨯+---，再利用基本不等式求解.【详解】（1）因为1x >，所以410,01x x ->>-，411151y x x =-++≥+=-当且仅当41(1)1x x x -=>-即3x =时等号成立，函数取最小值5；（2）14114114(2)(2()[(2)][5222222x x y x x x x x x x x -=+⨯=+⨯+-=++---19(522≥+=当且仅当4(2)(02)2x x x x x -=<<-即43x =时等号成立，函数取最小值92.21.已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{|6B x x =<-或}1x >．（1）若A B ⋂=∅，求a 的取值范围；（2）若A B B ⋃=，求a 的取值范围．【答案】（1）{}|62a a -≤≤-；（2）{|9a a <-或}1a >.【解析】【分析】（1）根据A B ⋂=∅列不等式组，解不等式组即可求解；（2）由已知可得A B ⊆，再根据集合的包含关系列不等式，解不等式组即可求解.【小问1详解】因为A B ⋂=∅，所以631a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得：62a -≤≤-，所以a 的取值范围是{}|62a a -≤≤-.【小问2详解】因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，所以36a +<-或1a >，解得：9a <-或1a >，所以a 的取值范围是{|9a a <-或}1a >．22.已知集合{}2210A x mx x =∈-+=R ，在下列条件下分别求实数m 的取值范围.（1）A ⋃∅=∅；（2）A 中有一个元素；（3）{}1,2A ≠∅ .【答案】（1）()1,+∞（2）{}0,1（3）3,14⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）由并集结果可知A =∅，分别在0m =和0m ≠的情况下，根据方程无实根可求得m 范围；（2）分别在0m =和0m ≠的情况下，根据方程有且仅有一个实根可构造方程求得m ；（3）当A 有且仅有一个元素时，由（2）可得m 的值，并验证交集结果可得m 的值；当A 中有两个元素时，1和2至少有一个为集合A 中的元素，分别在1A ∈，2A ∈和{}1,2A =的情况下求得m 的值；综合可得结果.【小问1详解】A ∅=∅ ，A ∴=∅，则方程2210mx x -+=无实根，当0m =时，210x -+=，解得：12x =，不合题意；当0m ≠时，440m ∆=-<，解得：1m >；综上所述：实数m 的取值范围为()1,+∞.【小问2详解】当0m =时，210x -+=，解得：12x =，即12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意；当0m ≠时，440m ∆=-=，解得：1m =，此时方程2210mx x -+=有且仅有一个实根，满足题意；综上所述：实数m 的取值集合为{}0,1.【小问3详解】①当A 中仅有一个元素时，由（2）知：0m =或1m =；当0m =时，12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，此时{}1,2A =∅ ，不合题意；当1m =时，{}1A =，此时{}{}1,21A = ，符合题意；②当A 中有两个元素时，则1和2至少有一个为集合A 中的元素；当1A ∈时，10m -=，解得：1m =，此时{}1A =，与A 中有两个元素矛盾；当2A ∈时，430m -=，解得：34m =，此时2,23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}{}1,22A ∴= ，满足题意；当{}1,2A =时，212112m m ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，方程组无解；综上所述：实数m 的取值集合为3,14⎧⎫⎨⎬⎩⎭.。

重庆市第八中学2023-2024学年高一上学期九月检测(一)数学试题

重庆八中高2026级高一（上）数学检测试题（一）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题p ：x ∀∈R ，20x +>，则p ¬为（） A.x ∃∈R ，20x +> B.x ∃∈R ，20x +≤ C.x ∃∈R ，20x +<D.x ∀∈R ，20x +≤2.已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}1,2,4B =，则U B A = （） A.{}1,3,5B.{}1,3C.{}1,2,4D.{}1,2,4,53.已知集合{A =，{}1,B m =，且A B A = ，则m 等于（）A.0B.1C.0或3D.1或3或04.下列说法中正确的个数为（）①0.333Q ∈；②0∈∅；③{}0∅⊆；④{}{}0∅⊆；⑤{}0∅=；⑥{}{}11,2,3∈；⑦{}{}22x x m m ≥=≥；⑧{}{}2211x y x y y x =+==+A.2B.3C.4D.55.已知p 是r 的充分条件，q 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，p 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是p 的必要不充分条件；②r 是s 的充分不必要条件；③q 是p 的充分不必要条件；④s 是q 的充要条件.正确的命题序号是（） A.①B.②C.③D.④6.若{}{}2,0,1,,0a a b −=，则20232023a b +的值是（）A.1−B.0C.1D.27.已知全集U =R ，集合{}18,P x x x Z =−<≤∈，{}05M x x x =∈≤>R 或之间关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合中的元素共有（）A.8个B.6个C.5个D.4个 8.对于集合M ，N ，定义{},M N x x M x N −=∈∉，()()M N M N N M ⊕−⊂−，设9,4A x x x =≥−∈R ，{}0,B x x x =<∈R ，则A B ⊕=（） A.9,04 −B.9,04−C.[)9,0,4−∞−+∞D.()9,0,4−∞−+∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（） A.a Q ∈是a ∈R 的充分不必要条件 B.x y =是x y =的必要不充分条件C.21x >是1x >的充分不必要条件 D.0a b +<是0a <，0b <的必要不充分条件10.下列命题正确的是（） A.x ∃∈R ，x x >B.x ∀∈R ，2350x x −−>C.{}x y y ∀∈是无理数，4x 是有理数D.,a b ∃∈R ，()2210a b −++≤11.下列命题为真命题的是（）. A.若0a b >>，则11a b a b+>+ B.若0m n >>，则11m mn n +<+C.如果0c a b >>>，那么a c a −D.1a b ≥>−，则11a ba b ≥++ 12.若非空实数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈，x y M −∈，则称M 为“优集”.已知A ，B 是优集，则下列命题中正确的是（） A.A B 是优集B.A B 是优集C.若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D.若A B 是优集，则A B 是优集三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足12x −≤<，01y <≤，则2x y −的取值范围是______. 14.已知(){},12A x y xy ==，(){},,,B x y x y y x =∈<N ，则A B = ______.15.命题“x ∃∈R ，()()22210a x a x +++−≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______. 16.若集合{}1,2,3,4,5,6,7M ，且M 中至少含有两个奇数，则满足条件的集合M 的个数是______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{},03U A x x ==≤≤R ，{}12B x m x m =−≤≤.（1）3m =，求()U A B ；（2）若B A ，求m 的取值范围.18.新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防消毒工作，开学初购进A ，B 两种消毒液，购买A 种消毒液花费了2500元，购买B 种消毒液花费了2000元，且购买A 种消毒液数量是购买B 种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B 种消毒液比购买一桶A 种消毒液多花30元. （1）求购买一桶A 种、一桶B 种消毒液各需多少元？（2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资.其中A ，B 两种消毒液准备购买共50桶.如果学校此次购买A 、B 两种消毒液的总费用不超过3250元，那么学校此次最多可购买多少桶B 种消毒液？19.现有A ，B ，C ，D 四个长方体容器，A ，B 的底面积均为2x ，高分别为x ，y ；C ，D 的底面积均为2y ，高分别为x ，y （其中x y ≠）.现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定x 与y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 20.设{}1,3A =−，{}230Bx xax b =−+=，已知B ≠∅，且“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，求34a b +的值.21.已知a ，b 是实数，求证：44221a b b −−=成立的充要条件是221a b −=. 22.已知n 为正整数，集合(){}{}122,,,,1,1,1,2,,2ni A x x x x i n αα==⋅⋅⋅∈−=⋅⋅⋅∣具有性质P ：“对于集合A中的任意元素()122,,,n x x x α=⋅⋅⋅，1220n x x x ++⋅⋅⋅+=，且120i x x x ++⋅⋅⋅+ ，其中1,2,,21i n =⋅⋅⋅−”.（1）当3n =时，写出满足条件的集合A ；（2）当9n =时，求129x x x ++⋅⋅⋅+的所有可能的取值.重庆八中高2026级高一（上）数学检测试题（一）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B ACBCBCCABDADBCD ACD13.[)3,2−14.()()(){}12,1,6,2,4,315.62a −<≤−16.871.命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即p ¬：x ∃∈R ，20x +≤，故选B2.由{}3,5U B = ，而{}1,3A =，所以{}1,3,5U B A = .故选：A3.由题意，集合{A =，{}1,B m =，因为A B A = ，可得B A ⊆，则满足3m =或m =1m ≠，解得3m =或0m =.故选：C. 4.①③⑦正确，故选：B.5.因为p 是r 的的充分条件，所以p r ⇒.因为q 是r 的充分不必要条件，所以q r ⇒，r q . 因为s 是r 的必要条件，所以r s ⇒.因为p 是s 的必要条件，所以s p ⇒. 因为r s ⇒，s q ⇒，所以r p ⇒，r 是p 的充分条件，命题①错误；因为s p ⇒，p r ⇒，所以s r ⇒，又r s ⇒，所以r 是s 的充要条件，命题②错误；因为q r ⇒，r s ⇒，s p ⇒，所以q p ⇒，p q ，故q 是p 的充分不必要条件，命题③正确；因为r q ，r s ⇔，所以s q ，又q s ⇒，所以s 是p 的必要不充分条件，命题④错误，故选：C.6.因为{}{}2,0,1,,0a a b −=，所以①21a a b ==−或②21a b a = =− ，由①得01a b = =− 或11a b = =− ，其中01a b = =− 与元素互异性矛盾，舍去，11a b = =− 符合题意，由②得11b a = =− ，符合题意，两种情况代入202320230a b +=，答案相同.故选：B7.因为{}05M x x x =∈≤>R 或，所以{}05U M x x =<≤ .题图中阴影部分表示的集合为()UP M ，因为{}{}18,0,1,2,3,4,5,6,7,8P x x x Z =−<≤∈=，所以(){}1,2,3,4,5UP M = ，所以该集合中共有5个元素.8.集合9,4A x x x =≥−∈R ，{}0,B x x x =<∈R ，则R9,4A x x x =<−∈R ， {}R 0,B x x x =≥∈R ，由定义可得：{}{}[)R 0,0,A B x x A x B A B x x x −=∈∉==≥∈=+∞R 且，{}R 99,,44B A x x B x A B A x x x−=∈∉==<−∈=−∞−R 且，所以()()[)9,0,4A B A B B A⊕=−−=−∞−+∞，选项ABD 错误，选项C 正确.故选：C.9.对于A ，a Q ∈是a R ∈的充分不必要条件，正确；对于B ，x y =等价于x y =±是x y =的必要不充分条件，正确；对于C ，21x >等价于1x >或1x <−是1x >的必要不充分条件，错误；对于D ，0a b +<是0a <，0b <的必要不充分条件，正确；故选：ABD 10.对于A ：当0x <时，0x x x =−>>，故A 正确；对于B ：当1x =时，23570x x −−=−<，故B 错误；对于C ：当x π=时，4x 是无理数，故C 错误；对于D ：2a =，1b =−时，()()22210a b −++=，A 正确；故选：AD. 11.对于A ，令2a =，12b =，则11a b a b+=+，A 错误；对于B ，()1011m m n m n n n n +−−=<++，11m mn n+<+，B 正确. 对于C ，000a b a b c a c b >>⇒−<−<⇒<−<−，同乘以()()1c a c b −−，得110c b c a<<−−，又0a b >>，∴a bc a c b>−−，C 正确. 对于D ，1a b >− ，则110a b +≥+>，()()11a b a ab b ab b a +=+≥+=+，则11a ba b≥++，D 正确.故选BCD.12.对于A 中，任取x A B ∈ ，y A B ∈ ，因为集合A ，B 是优集，则x y A +∈，x y B +∈，则x y A B +∈ ，x y A −∈，x y B −∈，则x y A B −∈ ，所以A 正确；对于B 中，取{}2,Ax x k k Z ==∈，{}3,Bx x m m Z ==∈，则{}23,A B x x k x k k Z ===∈或，令3x =，2y =，则5x y A B +=∉ ，所以B 不正确；对于C 中，任取x A ∈，y B ∈，可得,x y A B ∈ ，因为A B 是优集，则x y A B +∈ ，x y A B −∈ ，若x y B +∈，则()x x y y B =+−∈，此时A B ⊆；若x y A +∈，则()y x y x A =+−∈，此时B A ⊆，所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A = 为优集；或B A ⊆，则A B B = 为优集，所以A B 是优集，所以D 正确.故选：ACD.13.因为01y <≤，所以220y −≤−<，因为12x −≤<，所以322x y −≤−<，所以2x y −的取值范围是[)3,2−14.由12,xy x y y x=∈ <N 解得121x y == 或62x y = = 或43x y = = ，所以，()()(){}12,1,6,2,4,3A B = . 15.命题“x ∃∈R ，()()22210a x a x +++−≥”的否定为：“x ∀∈R ，()()22210a x a x +++−<”，因为原命题为假命题，所以其否定为真，所以当20a +=即2a =−时，10−<恒成立，满足题意；当20a +≠即2a ≠−时，只需()()220Δ2420a a a +< =+++< ，解得：62a −<<− .综上所述，实数a 的取值范围是62a −<≤−.16.考虑反面的两种情况：若M 中不含有奇数，则集合M 的个数等价于集合{}2,4,6的子集的个数，即328=.若M 中只含有一个奇数，则有4种可能，集合M 的个数等价于集合{}2,4,6的子集的个数的4倍，即32432×=.不考虑奇数条件时集合M 共721127−=，故共有12783287−−=个. 17.解：（1）由题意知当3m =时，{}26B x x =≤≤，故{}26U B x x x =<>或，而{}03A x x =≤≤，故()[)0,2UA B =（2）当B =∅时，12m m −>，∴1m <−，符合题意；当B ≠∅时，需满足012312m m m m≤−≤ −≤，且01m ≤−，23m ≤中等号不能同时取得，解得312m ≤≤，综上所述，m 的取值范围为1m <−或312m ≤≤. 18.解：（1）设购买一桶A 种消毒液x 元，购买一桶B 种消毒液y 元，则有25002000230xy y x =×−=，解得5080x y ==所以，购买一桶A 种消毒液需50元，购买一桶B 种消毒液需80元. （2）设购买A 种消毒液m 桶，购买B 种消毒液n 桶，则有5050803250m n m n +=+≤ ，(),N m n ∈得()5050803250n n −+≤，解得25n ≤，所以最多可以购买25桶B 种消毒液19.解：①当x y >时，则3223x x y xy y >>>，即A B C D >>>；在此种条件下取A ，B 能够稳操胜券 ②当x y <时，则3223y y x yx x >>>，即D C B A >>>；在此种条件下取D ，C 能够稳操胜券.③又()()()()332232322()0x y xy x y x x y y xy x y x y +−+=−+−=−+>.∴在不知道x ，y 的大小的情况下，取A ，D 能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握. 故可能有1种，就是取A ，D . 20.详解：因为B A ⊆，B ≠∅，所以①当{}1B =−时，则222Δ4301(1)303a a b b a b =− −×⇒ =−++=，所以()1143432433a b +=×−+×=−， ②当{}3B =时，则226Δ43033330a a b b a b =−× ⇒ =−+=，所以34364330a b +=×+×=③当{}1,3B =−时，则2Δ4302131133a b a a b b −×>=−+=⇒=− −×=，所以()3432412a b +=×+×−=，综述：①当{}1B =−即213a b =−=时，14343a b +=−， ②当{}3B =即63a b == 时，3430a b +=，③当{}1,3B =−即21a b ==−时，342a b +=. 21.解：先证明充分性：若221a b −=，则()()44222222222222221a b b a b ab b a b b a b −−=−+−=+−=−=成立.所以“221a b −=”是“44221a b b −−=”成立的充分条件；再证明必要性：若44221a b b −−=，则442210a b b −−−=，即()442210a b b −++=， ∴()24210a b −+=，∴()()2222110a b a b ++−−=， ∵2210a b ++≠， ∴2210a b −−=，即221a b −=成立.所以“221a b −=”是“44221a b b −−=”成立的必要条件. 综上：44221a b b −−=成立的充要条件是221a b −=.22.解：（1）3n =时，由题设，在126,,,x x x ⋅⋅⋅中，有3个1+，3个1−集合A 中的元素为()11,1,1,1,1,1α=−−−，()21,1,1,1,1,1α=−−−，()31,1,1,1,1,1α=−−−，()41,1,1,1,1,1α−−−，()51,1,1,1,1,1α=−−−∴()()()()(){}1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1A=−−−−−−−−−−−−−−−（2）9n =时，首先证明11x =，且181x =−，在120i x x x ++⋅⋅⋅+ 中，令1i =，得10x ，从而有11x =，在120i x x x ++⋅⋅⋅+ 中，令17i =，得12170x x x ++⋅⋅⋅+ .又12180x x x ++⋅⋅⋅+=，故)1812170x x x x =−++⋅⋅⋅+ ，从而有181x =−，考虑()1,,1,1,,1α=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−，即1291x x x ==⋅⋅⋅==，1011181x x x ==⋅⋅⋅==−此时1299x x x ++⋅⋅⋅+=为最大值，现交换9x 与10x ，使得91x =−，101x =，此时1297x x x ++⋅⋅⋅+=，现将91x =−逐项前移，直至21x =−，在前移过程中，显然1297x x x ++⋅⋅⋅+=不变，这一过程称为1次“移位”，依此类推，每次“移位”，129x x x ++⋅⋅⋅+的值依次递减2，经过有限次移位，129,,,x x x ⋅⋅⋅一定可以调整为1，1−交替出现.注意到9n =为奇数，所以1291x x x ++⋅⋅⋅+=为最小值，所以129x x x ++⋅⋅⋅+的所有可能取值，1，3，5，7，9.。

重庆八中2020-2021学年高一上学期国庆假期数学作业(二) PDF版含答案

(2)若 A B = ，求实数 a 的取值范围．
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21．(12 分) 已知函数 f (x) = x + 4 ． x
(1)用函数单调性的定义证明 f (x) 在区间[2, +) 上为增函数； (2)解不等式： f (x2 − 2x + 4) f (7) ．
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22．(12 分) 已知二次函数 f (x) = x2 − 2ax + 5 ，其中 a 1 ． (1)若函数 f (x) 的定义域和值域均为[1, a] ，求实数 a 的值；
1．已知全集U = R ，集合 A, B 满足 A B ，则下列选项正确的有( )
A． A B = B
B． A B = B
C． ( U A) B =
D． A ( U B) =
2．已知集合 A, B 均为全集U =1, 2,3, 4 的子集，且 U ( A B) = 4, B = 1, 2 ，则
A U B 等于( )
(2) 若函数 f (x) 在区间 (−, 2] 上单调递减，且对任意的 x1, x2 [1, a +1] ，总有
f (x1) − f (x2 ) 3 成立，求实数 a 的取值范围．
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重庆八中高 2023 级国庆假期数学作业(二)答案
一、选择题
1
2
3
4
a =3 3a 4
，解得 a = 3；
当 a<0 时， B = {x 3a x a} ，应满足：
3a = 2
a
4
，解得 a .
当 a = 0 时， B = ， A B = ，舍去；
a = 3 时， A B = {x 3 x 4} .

重庆市第八中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题

重庆市第八中学校 2023-2024 学年高一上学期期中数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若 P = {(1, 2),(1,3)} ，则集合 P 中元素的个数是（）
A．1
B．2
C．3
2．命题“ "x Î R ， x2 - 2x +12 £ 0”的否定为（）
五、证明题 19．已知 VABC 的三边长为 a, b, c ，其中 a = 2 .求证： VABC 为等边三角形的充要条件
是 b2 + c2 - 2(b + c) = bc - 4 ．
六、解答题 20．如图，现将正方形区域 ABCD 规划为居民休闲广场，八边形 HGTQPMKL 位于正
方形 ABCD 的正中心，计划将正方形 WUZV 设计为湖景，造价为每平方米 20 百元；在四个相同的矩形 EFUW ， IJVW ,VZON,UZRS 上修鹅卵石小道，造价为每平方米 2 百元；
22．若在函数 f ( x) 的定义域内存在区间[a,b] ，使得 f ( x) 在[a,b] 上单调，且函数值的
取值范围是[ma, mb] （ m 是常数），则称函数 f ( x) 具有性质 M ．
(1)当
m
=
1 2
时，函数
f
(
x)
=
x 否具有性质 M ?若具有，求出 a ， b ；若不具有，说明
理由；
(2)若定义在 (0, 2) 上的函数
f
(x) =
x+
4 x
-5
具有性质 M
m ，求的取值范围．
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重庆市2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题解析

重庆2023—2024学年度（上）高2026级国庆学情检测数学试题数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．答卷前，请考生将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上.3．作答时，请将答案写在答题卡指定的区域，超出答题区域或写在试题卷、草稿纸上无效.4．做选考题时，按要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题:p x R ∀∈，2210x +>，命题p 的否定是（）A.x ∀∈R ，2210x +≤B.x ∃∈R ，2210x +>C.x ∃∈R ，2210x +<D.x ∃∈R ，2210x +≤【答案】D 【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．【详解】命题:p x R ∀∈，2210x +>的否定是：x ∃∈R ，2210x +≤故选：D2.函数()11f x x =+-的定义域为（）A.[)2,-+∞B.()1,+∞C.[)()2,11,-⋃+∞ D.()()2,11,-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域列不等式组求解即可.【详解】由题意，得2010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得2x ≥-且1x ≠，即函数()f x 的定义域为[)()2,11,-⋃+∞．故选：C ．3.游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用h 表示游泳池的水深，t 表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】函数图像不过原点，排除AC ；函数值有一段时间不变，排除B ，得到答案.【详解】游泳池原有一定量的水，故函数图像不过原点，排除AC ；再过一段时间打开排水阀排水，故函数值有一段时间不变，排除B .故选：D4.已知函数243,0()3,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩，则((5))f f =（）A.1B.0C.1- D.2-【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数解析式求解即可.【详解】解：由题知()5352f =-=-，所以()((5))24831f f f =-=-+=-.故选：C5.若a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式中一定成立的是（）A.ab ac > B.ac bc> C.a b c b> D.222a b c >>【答案】A 【解析】【分析】题目已知a b c >>，且0a b c ++=，于是可以推出得到最大数0a >和最小数0c <,而b 为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的b ,逐一验证.【详解】解：a b c >> 且0a b c ++=.当0a ≤时,0c b a << ,则0a b c ++<,与已知条件0a b c ++=矛盾,所以必有0a >,同理可得0c <.A 项,()0ab ac a b c -=->，即ab ac >，故A 项正确;B 项,()0ac bc c a b -=-<，即ac bc <，故B 项错误;C 项,0b =时,a b c b =,故C 项错误;D 项,当1a =,0b =,1c =-时,222a c b =>,故D 项错误.故选A【点睛】本题主要考查给定条件判断不等式的性质，注意考虑,,a b c 的正负.6.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ､b ､c ，则三角形的面积S 可由公式S =求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足3a =，5b c +=，则此三角形面积的最大值为（）A.32B.3C.D.【答案】B 【解析】【分析】由公式列出面积的表达式，代入已知3a =，然后由基本不等式求得最大值．【详解】由题意()13542p =+=S =()83b c ==≤-+=，当且仅当44-=-b c ，即b c =时等号成立﹐∴此三角形面积的最大值为3.故选：B ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方7.如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[－1.6]＝－2，那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据高斯函数的定义以及充分必要条件的定义推导即可.【详解】如果[][],Z x y n n ==∈，则有[)1212,,,0,1x n d y n d d d =+=+∈，x y ∴-=121d d -＜，所以[][]=x y 是1x y -＜的充分条件；反之，如果1x y -＜，比如 3.9, 4.1x y ==，则有0.21x y -=＜，根据定义，[][][][]3,4,x y x y==≠，即不是必要条件，故[][]=x y 是1x y -＜的充分不必要条件；故选：A .8.若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式24y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（）A.()1,2- B.()(),21,-∞-+∞ C.()2,1- D.()(),12,-∞-+∞ 【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式求得4yx +的最小值，根据不等式存在性问题，解一元二次不等式求得m 的取值范围.【详解】若不等式24y x m m +<-有解，即2min 4y m m x ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭即可，因为两个正实数x ，y 满足142x y +=，即1212x y+=，则1221124428⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y y x y x x x y y x ，当且仅当28x yy x=，即1,4x y ==时，等号成立，即min24y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得22m m ->，即220m m -->，解得m>2或1m <-，所以实数m 的取值范围是()(),12,-∞-+∞ ．故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，错选不得分.9.下列各组函数表示的是不同函数的是（）A.()f x =()g x x =B.()f x x =与()g x =C.()1f x x =+与()0g x x x =+D.()f x =与()g x =【答案】ACD 【解析】【分析】利用相同函数的定义求解.【详解】A.()f x ={}|0x x ≤，且()f x ==-，()g x x =的定义域为{}|0x x ≤，解析式不同，所以不是同一函数，故错误；B.()f x x =的定义域为R，()g x x ==定义域为R ，且解析式相同，所以是同一函数，故正确；C.()1f x x =+的定义域为R ，()0g x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，所以不是同一函数，故错误；D.，由010x x ≥⎧⎨+≥⎩得0x ≥，所以()f x =的定义域为{}|0x x ≥，由20x x +≥，得0x ≥或1x ≤-，所以函数()g x =的定义域为{|0x x ≥或}1x ≤-，所以不是同一函数，故错误；故选：ACD10.下列不等式，其中正确的是（）A.3322(,R)a b a b ab a b +≥+∈B.()232x x x R +>∈C.222()11f x x x =+≥- D.222(1)a b a b +≥--【答案】BD 【解析】【分析】结合不等式的性质及基本不等式分别检验各选项即可判断．【详解】解：332222222()()()()()()a b a b ab a a b b b a a b a b a b a b +--=-+-=--=-+ ，2()0a b - ，a b +的符号不定，所以33+a b 与22a b ab +的大小不定，A 错误；2223(1)220x x x -+=-+> ，故232x x +>，B 正确；222222()1111f x x x x x =+=-++--，当210x -<时，()0f x <，故C 错误．2222222(1)(1)0a b a b a b +-++=-++ ，故222(1)a b a b +-- ，D 正确；故选：BD ．【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方11.若正实数a ，b 满足2a b +=，则下列说法正确的是（）A.ab 有最大值1B.有最大值2C.11a b+有最小值2 D.22a b +有最大值2【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式，即可判断选项.【详解】对于A 项，因为212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，则ab 的最大值为1，故A 正确；对于B 项，()()224a b a b a b a b =+++++=+=，当且仅当1a b ==时取等号，+的最大值为2，故B 正确；对于C 项，因为()1111111222222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为2，故C 正确；对于D 项，因为()2222424212a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，当且仅当1a b ==时取等号，所以22a b +的最小值为2，故D 错误.故选：ABC12.已知有限集{}()12,,,2,n A a a a n n =⋅⋅⋅≥∈N ，如果A 中元素()1,2,3,,i a i n =⋅⋅⋅满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯，就称A 为“完美集”下列结论中正确的有（）A.集合{11---不是“完美集”B.若1a 、2a 是两个不同的正数，且{}12,a a 是“完美集”，则1a 、2a 至少有一个大于2C.2n =的“完美集”个数无限D.若*i a ∈N ，则“完美集”A 有且只有一个，且3n =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定A 错误，B 和C 正确；设A 中123n a a a a <<<⋅⋅⋅<，得到121n a a a n -⋅⋅⋅<，分2n =和3n =，两种情况分类讨论，可判定D 正确.【详解】对于A 中，((112-+-+=-，(112--+=-，集合{11--+是“完美集”，所以A 错误；对于B 中，若1a 、2a 是两个不同的正数，且{}12,a a 是“完美集”，设12120a a a a t +=⋅=>，根据根和系数的关系1a 和2a 相当于20x tx t -+=的两根，由240t t ∆=->，解得4t >或0t <（舍去），所以124a a ⋅>，所以1a 、2a 至少有一个大于2，所以B 正确；对于C 中，由B 知，一元二次方程20x tx t -+=，当t 取不同的值时，12,a a 的值是不同的，所以二元“完美集”有无穷多个，所以所以C 正确；对于D 中，不妨设A 中123n a a a a <<<⋅⋅⋅<，由1212n n n a a a a a a na ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+<，得121n a a a n -⋅⋅⋅<，当2n =时，即有12a <，所以11a =，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“完美集”；当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“完美集”A 只有一个，为{}1,2,3．当4n ≥时，由()1211231n a a a n -⋅⋅⋅≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，即有()1231n n >⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，事实上，()()()()221231123222n n n n n n n n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-≥--=-+=--+>，矛盾，所以当4n ≥时不存在完美集A ，所以D 正确．故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()y f x =的图象如图所示，那么其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是______.【答案】[)(]1,24,5U【解析】【分析】根据图中数据即可求解.【详解】解：由题中图形可得，只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是：[)(]1,24,5U 故答案为：[)(]1,24,5U .14.已知集合{}2210,A xax x x =++=∈R ∣的子集只有两个，则实数a 的值为______．【答案】0或1【解析】【分析】分类讨论确定集合A 中元素或元素个数后得出其子集个数，从而得结论．【详解】0a =时，1{}2A =-，子集只有两个，满足题意，0a ≠时，若440∆=-<a 即1a >，则A =∅，子集只有1个，不满足题意；若0∆>，即1a <，则集合A 有两个元素，子集有4个，不满足题意，1a =时，Δ0=，{1}A =-，子集只有两个，满足题意，所以0a =或1.故答案为：0或1，15.函数2,02()28,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()(2)f a f a =+，则()2f a =__________.【答案】4【解析】【分析】根据函数2,02()28,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩各段的定义域，分02a <<，2a ≥两种情况，由()(2)f a f a =+求解.【详解】当02a <<时，则22a +>，因为()(2)f a f a =+，所以()2228a a a +=-++，即2340a a +-=，解得1a =或4a =-（舍去），所以()22284f a =-⨯+=.当2a ≥时，则22a +>，因为()(2)f a f a =+，所以()28228a a -+=-++无解.综上：()24f a =故答案为：4【点睛】本题主要考查分段函数求值问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.16.已知a ＞b ＞0，且a ＋b ＝1，则411()a b b a b a b b++---的最小值为______．【答案】12【解析】【分析】两次利用基本不等式求最值即可.【详解】∵a ＞b ＞0，且a ＋b ＝1，∴2424812(22)22a b b b a b a b b a b b -++≥=+=--⋅-+⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当4a b b b a b -=-且2a b b -=，即334a b ==时，等号同时取到，故答案为：12四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合：{}{}2237,560A x x B x x x =-≤=--<：（1）求集合A 、B ；（2）求A B ⋃和()R A B ⋂ð．【答案】（1）{}25A x x =-≤≤，{}16B x x =-<<（2）{}26A B x x ⋃=-≤<，(){}56R A B x x ⋂=<<ð【解析】【分析】（1）解绝对值不等式求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ；（2）利用并集的定义可得A B ⋃，由补集的定义可得R A ð，再根据交集的定义即可求得()R A B ⋂ð．【小问1详解】∵237x -≤，∴7237x -≤-≤，解得25x -≤≤，∴{}25A x x =-≤≤，∵2560x x --<，∴()()610x x -+<，解得16x -<<，∴{}16B x x =-<<【小问2详解】∵{}25A x x =-≤≤，{}16B x x =-<<，∴{}26A B x x ⋃=-≤<，{2R A x x =<-ð或}5x >，∴(){}56R A B x x ⋂=<<ð18.已知定义在R 上的函数满足：()()2223f x f x x x +-=-+．（1）求函数()f x 的表达式；（2）若不等式()21f x ax ≥-在[]1,3上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()21213f x x x =++（2）13a ≤+【解析】【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可；（2）要使()21f x ax ≥-在[]1,3上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可.【小问1详解】将()()2223f x f x x x +-=-+的x 替换为x -得()()2223f x f x x x -+=++，联立()()()()22223223f x f x x x f x f x x x ⎧+-=-+⎪⎨-+=++⎪⎩解得()21213f x x x =++【小问2详解】不等式()21f x ax ≥-为2121213x x ax ++≥-，化简得116x a x≤++，要使其在[]1,3上恒成立，则min 116x a x ⎛⎫≤++⎪⎝⎭，111163x x ++≥+=+，当且仅当x =取等，所以13a ≤+．19.党的二十大报告提出，积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰、碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．在可再生能源发展政策的支持下，今年前8个月，我国光伏新增装机达到4447万千瓦，同比增长2241万千瓦．某公司生产光伏发电机的全年固定成本为1000万元，每生产x （单位：百台）发电机组需增加投入y（单位：万元），其中2240,040180001652250,40100x x x y x x x ⎧+≤<⎪=⎨+-≤≤⎪⎩，该光伏发电机年产量最大为10000台．每台发电机的售价为16000元，全年内生产的发电机当年能全部售完．（1）将利润P （单位：万元）表示为年产量x （单位：百台）的函数；（2）当年产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入＝总成本＋利润）．【答案】（1）221201000,0401800051250,40100x x x P x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨--+≤≤⎪⎩；（2）当年产量为3000台时，公司所获利润最大，最大利润为800万元.【解析】【分析】（1）根据利润、成本、收入之间的关系分类讨论即可；（2）根据二次函数的性质，结合基本不等式进行求解即可.【小问1详解】当040x ≤<时，()22160240100021201000P x x x x x =-+-=-+-；当40100x ≤≤时，18000180001601652250100051250P x x x x x=--+-=--+，即221201000,0401800051250,40100x x x P x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨--+≤≤⎪⎩；【小问2详解】当040x ≤<时，22212010002(30)800P x x x =-+-=--+，所以当30x =时，max 800P =，当40100x ≤≤时，36001250512505650P x x ⎛⎫=-+≤-⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当3600x x=时取等号，即60x =时取等号，∵800650>，∴当年产量为3000台时，公司所获利润最大，最大利润为800万元．20.已知关于x 的不等式2(2)20ax a x -++≤.（1）若a<0，求不等式的解集；（2）若0a >，不等式的解集中恰有3个整数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[)2,1,a ⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦（2）12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；（2）先根据一元二次不等式的解法解含参不等式，再结合不等式的解集中恰有3个整数，即可得解.【小问1详解】当a<0时，令2(2)20ax a x -++=，解得1221,x x a ==，此时21a>，则由2(2)20ax a x -++≤，得2(1)0x x a ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，故不等式解集为[)2,1,a ⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦；【小问2详解】当0a >时，令2(2)20ax a x -++=，解得1221,x x a ==，若21a <，即02a <<时，不等式解集为21,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是1，2，3，所以02234a a <<⎧⎪⎨≤<⎪⎩，解得1223a <≤；若21a=，即2a =时，不等式解集为{}1，此时不符合题意；若若21a >，即2a >时，不等式解集为2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，而201a <<，此时不等式解集2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦只有一个整数解1，故不符合题意，综上所述，实数a 的取值范围为12,23⎛⎤⎥⎝⎦.21.已知集合{}{}222|320,|(2)210A x x x B x x a x a a =-+==-++-+=.（1）当{}1A B ⋂=时，求实数a 的值；（2）若R R A B ⋃=ð时，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a =（2）(]{}8,01,7⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由1B ∈解方程求出a 的值，再检验即可；（2）由R R A B ⋃=ð得出B A ⊆，结合子集的定义得出B 可能为∅，{}1，{}2，{}1,2，分别讨论这四种情况，得出实数a 的取值范围．【小问1详解】{}{}2|3201,2A x x x =-+==，∵{}1A B ⋂=，∴1B ∈，即221(2)210a a a -++-+=，解得0a =或1a =.当0a =时，{}{}2|2101B x x x =-+==，符合题意；当1a =时，{}{}2|3201,2B x x x =-+==，{}1,2A B = ，不合题意，综上，0a =．【小问2详解】∵R R A B ⋃=ð，∴B A ⊆，即B 可能为∅，{}1，{}2，{}1,2.当B =∅时，22(2)4()021a a a ∆-+=+-<，即2780a a ->，解得a<0或87a >，当集合B 中只有一个元素时，22(2)4()021a a a ∆-+=+-=，解得0a =或87a =，当0a =时，{}{}2|2101B x x x =-+==，符合题意；当87a =时，117B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，不符合题意；当{}1,2B =时，由根与系数的关系可知22122112a a a +=+⎧⎨-+=⨯⎩，又22(2)4()021a a a ∆-+=+->，解得1a =，∴所求实数a 的取值范围是(]{}8,01,7⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．22.对于函数32(1)(1)(0)y mx ax b x b a =++-+-≠，若存在0x ∈R ，使得320000(1)(1)mx ax b x b x ++-+-=成立，则称0x 为函数32(1)(1)(0)y mx ax b x b a =++-+-≠的“囧点”．（1）当m ＝2，a ＝－3，b ＝2时，求函数32(1)(1)(0)y mx ax b x b a =++-+-≠的“囧点”；（2）当m ＝0时，对任意实数b ，函数32(1)(1)(0)y mx ax b x b a =++-+-≠恒有“囧点”，求a 的取值范围．【答案】（1）“囧点”1=1x ，212x =-（2）10a -≤<【解析】【分析】（1）利用“囧点”定义布列方程，即可得到结果；（2）函数32(1)(1)(0)y mx ax b x b a =++-+-≠恒有“囧点”，等价于函数2(1)(1)(0)y ax b x b a =+++-≠恒有“囧点”，结合判别式即可得到结果.【小问1详解】当m ＝2，a ＝－3，b ＝2时，32231y x x x =-++，由题意知：∴32231x x x x -++=，∴()()22110x x +-=，解得1=1x ，212x =-，所以当m ＝2，a ＝－3，b ＝2时，函数32(1)(1)(0)y mx ax b x b a =++-+-≠的“囧点”1=1x ，212x =-．【小问2详解】由题知：2(1)(1)(0)ax b x b x a +-+-=≠，所以2(2)(1)0ax b x b +-+-=，由于函数2(1)(1)(0)y ax b x b a =+++-≠恒有“囧点”，所以2(2)4(1)0b a b ∆=---≥，即24(1)4(1)0b a b a -+++≥，又因为b 是任意实数，所以()110a a ∆=+≤，。

重庆八中高2023级数学高一上国庆作业题一含答案

重庆市第八中学校2022-2023学年高一上学期第二次月考数学试题本

重庆市第八中学校2022-2023学年高一上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{03}A x x =<<，{}14B x x =≤≤，则A B ⋂=（）A ．(]0,1B ．[)1,3C ．[)3,4D ．(]0,42．命题“0x ∃>，2e 20x x +-<”的否定为（）A ．0x ∃>，2e 20x x +-≥B ．0x ∃≤，2e 20x x +-≥C ．0x ∀>，2e 20x x +-≥D ．0x ∀≤，2e 20x x +-≥3．在用“二分法”求函数()f x 零点近似值时,若第一次所取区间为[]2,6-,则第二次所取区间可能是（）A ．[]2,1--B ．[]1,1-C ．[]3,4D ．[]22-,4．函数()2lg 68y x x =-+的单调递减区间为（）A ．(),2-∞B ．(),3-∞C ．()3,+∞D ．()4,+∞5．已知0.30.20.20.2log 0.3log 3，，a b c -===，则a b c ，，的大小关系是（）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b c a>>D ．a c b>>6．函数()212xy x =-⋅的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09 和字母A F ~共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表：16进制0123456789A BCD E F10进制123456789101112131415例如：十进制数“28”用十六进制表示就是“1C ”（因为281612=+），同理，用十进制表示的加法“14+13=27”，在十六进制下的加法为“1E D B +=”，那么，在十六进制下，C D ⨯=（）A ．9C B ．84C ．5F D ．6E8．设()211,431042m x m x n ⎛⎫<+-+-≥ ⎪⎝⎭对(),x m n ∀∈恒成立，则n m -的最大值为（）A ．14B ．12C ．34D 二、多选题9．若,,R a b c ∈，则下列说法正确的是（）A ．若0ab >，则2ab b a +≥B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则11b a>10．设函数()2xf x =，对于任意的()1212,x x x x ≠，下列命题正确的是（）A ．()()()1212f x x f x f x +=B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()1212f x f x x x ->-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭11．设正实数,x y ，满足22x y +=，则（）A ．()0,1y ∈B ．22log log x y +的最大值为2-C ．22xy +的最小值为45D ．24x y +的最小值为412．已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则以下结论正确的有（）A ．()01f =-B ．()f x 是偶函数C ．()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()()()1220220f f f +++= 三、填空题13．函数()12f x x =-的定义域是_______.14．已知12a a -=，则221+=a a__________．15．已知函数()e x af x -=（a 为常数）．若()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，则a 的取值范围是__________．16．设函数()21,25,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()()20f x mf x m -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围是__________．四、解答题17．已知集合{}210A xx ax a =-+-≤∣，(1)当5a =，求集合A ；(2)若集合{}2560B xx x =-+=∣，且A B A ⋃=，求a 的取值范围．18．已知幂函数2()(33)a f x a a x =-+为偶函数，(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()213g x f x m x =+--在[]1,3-上的最大值为2，求实数m 的值．19．已知()ln g x x x =+，(1)用定义证明()g x 在()0,∞+单调递增；(2)解不等式()22ln 22ln x x x x --<+-．20．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，那么min t 后物体的温度θ(单位：℃)可由公式()010e ktθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，e 是自然对数的底数.现有85℃的物体，放在5℃的空气中冷却，10min 以后物体的温度是45℃.(1)求k 的值；(2)求该物体的温度由85℃降到30℃所需要的冷却时间.(冷却时间精确到0.1min ，参考数据：2log 5 2.322≈)21．已知()22x xaf x =-，且()()110f x f x ++-=对x ∀∈R 恒成立，(1)求实数a 的值；(2)当()()3233h x f x x x x =+-+，求证：函数()h x 的图象是中心对称图形，并求对称中心．22．已知定义在R 的函数()f x 满足以下条件：①()11f =；②当0x >时，()0f x >；③对,x y ∀∈R ，均有()()()()()f x y f x f y f x f y +=++．(1)求()0f 和()3f 的值；(2)判断并证明()f x 的单调性；(3)求不等式()()()7111f x f f x f x -+⎡⎤≥⎣⎦++的解集．。

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重庆八中高2023级高一(上)国庆假期数学作业(一)
满分：150分测试时间：120分钟
姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 一、选择题（共12题，1~8题为单选题，每题5分，9~12题为多选题，全
部选对得5分，部分选对得3分，错选或不选得0分，共60分）
1．已知集合{}
2|1M x x ==，{}|2N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为( ) A ．{}2 B ．{}2,2- C ．{}2,0-
D ．{}2,2,0-
2．已知集合{}2,0A =，{}|,,B z z x y x A y A ==+∈∈ ，则集合B 的非空子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7
D ．8
3．一元二次方程()2
4005ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( ) A ．0a < B ．0a > C ．2a <-
D ．1a >
4．已知关于x 的不等式22
430(0)x ax a a -+<<的解集为12(,)x x ，则
1212
a
x x x x ++
的最大值是( ) A
B
． C
．3
D
．3
-
5．设集合{}
2|60A x x x =->-，{}0|()(2)B x x k x k =---<，若A B ≠∅，
则实数k 的取值范围是( ) A ．{}21|k k k <->或 B ．{}|21k k -<< C ．{}
43|k k k <->或
D ．{}|43k k -<<
6．下列各式：①2
12a a +>；②1
2x
x +≥2≤；④22111x x +≥+. 其中正确．．的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
7．已知函数()1(1)3(1)
f x x x x x +≤⎧=⎨
-+>⎩，则
52f f ⎡⎤
⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
( ) A ．
12 B ．
32 C ．52
D ．
72
8．设0c <，()f x 是区间[],a b 上的减函数，下列命题中正确．．的是( ) A ．()f x c +在[],a b 上有最小值()f a c + B ．()f x 在[],a b 上有最小值()f a C ．()f x c -在[],a b 上有最小值()f a c - D ．()cf x 在[],a b 上有最小值()cf a
9．【多选题】若01,1a b c <<>>，则下列结论中正确．．的有( ) A ．
11
1a b c
>++ B ．
c a c
b a b
->-
C >
D ．21b a ->-
10．【多选题】设[]x 表示不大于实数x 的最小整数（例如：[2.5]2=，[2.2]3-=-），则满足关于x 的不等式2
[][]120x x +-≤的解可以为( ) A
B
．C ．π-
D ．5-
11．【多选题】下列说法中正确．．
的有( ) A ．命题“3
2
,1x x x ∀∈>+R ”的否定是“3
2
,1x x x ∃∈<+R ”
B ．若不等式2
10ax bx ++>的解集为{}|13x x -<<，则不等式2
3650
ax bx ++<的解集为(,1)
(5,)-∞-+∞
C ．2
2
,421x ax x x ∀∈+≥-R 恒成立，则实数a 的取值范围是[6,)+∞
D ．已知211
:
3,:()10(0)2p x q x a x a a
≤≤-++≤>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是1
(0,][3,)3
+∞
12．【多选题】已知函数2
()(,)f x x mx n m n =++∈R ，不等式()x f x <的解集为
(,1)(1,)-∞+∞，则( )
A ．1,1m n =-=
B ．设()
()f x g x x
=
，则()g x 的最小值为(1)1g = C ．不等式()(())f x f f x <的解集为(,0)(0,1)(1,)-∞+∞
D ．已知31,42
()1
(),2
x h x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若()(22)h x h x <+，则x 的取值范围是3(,)4-+∞
二、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13．函数1
1y x
=-的定义域是________________． 14．已知函数11x f x x -⎛⎫
=
⎪+⎝⎭
，则(3)f 的值为________________． 15．某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名学生，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的车费均为40元．若使每个同学游8次，则购买________________张游泳卡最合算．
16．若不等式2
322x ax a --≤+≤-有唯一解，则实数a 的值为________________．
三、解答题（共6题，共70分）
17．(10分) 设全集为{
}{
}
2
2
,430,0(0)A x x x B x x a a =-+≤=-<>R ． (1)当4a =时，求,A B A B ；
(2)若B A ⊆R
，求实数a 的取值范围．
18．(12分) 已知关于x 的不等式2
430ax x -+<的解集为{}
1x x b <<． (1)求,a b 的值； (2)解关于x 的不等式12
bx a
x -≤+．
19．(12分) 已知函数()23f x x =-． (1)解不等式2
()f x x <；
(2)设函数()()g x x f x =-的最大值为m ，设正实数,a b 满足2a b m +=，求
14
1a b
++的最小值．
20．(12分) 学校里两条相互垂直的道路,AM AN 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求点,B P 在AM 上，点,D Q 在AN 上，且
PQ 过点C ，其中100,30,20AM AN AB AD ====，如图，记三角形花园APQ
的面积为S ．
(1)设(0)DQ x x =>，建立三角形花园APQ 的面积S 关于x 的表达式及S 的最小值； (2)要使三角形花园APQ 的面积不小于1600，请问DQ 的长应该在什么范围内?
21．(12分) 已知命题2
000:[1,1],0p x x x m ∃∈---≥是假命题． (1)求实数m 的取值集合B ；
(2)设不等式(3)(2)0x a x a ---<的解集为A .若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
22．(12分) 已知函数22()(0)6kx
f x k x k
=
>+．
(1)若()f x m >的解集为{}
32x x x <->-或，求不等式2
530mx kx ++>的解集； (2)若存在3x >，使得()1f x >成立，求k 的取值范围．。