重庆九龙坡区2022年数学高一上期末含解析
2023届重庆九龙坡区高高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析
A. yˆ x 1
B. yˆ x 2
C. yˆ 2x 1
D. yˆ x 1
4．设集合 A={1，3，5}，B={1，2，3}，则 A∪B=（ ）
A.1,3
B. 2, 5
C.{2, 3， 5}
D.{1, 2，3， 5}
5．奇函数 f (x) 在 (0， ) 内单调递减且 f (2) 0 ，则不等式 (x 1) f (x) 0 的解集为（）
A.∃x＞0，x2≠x﹣1
B.∀x≤0，x2＝x﹣1
C.∃x≤0，x2＝x﹣1
D.∀x＞0，x2≠x﹣1
11．袋中装有 5 个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色．现从袋中随机抽取 3 个小球，设每个小球被抽
到的机会均相等，则抽到白球或黑球的概率为
2
3
A.
B.
5
5
2
9
C.
D.
3
10
12．已知函数 f (x) ax2 x 1 在区间 (1, ) 上单调递增，则实数 a 的取值范围为（ ）
的值.
【详解】由题意可知， R 32 3 3 2 6 ，函数 y 6sin t 的最小正周期为T 120 ，
则
2 T
60
，所以，
y
6
sin
60
t
，
点 P 对应 t 0， y 3 3 ，则 6sin 3 3 ，可得 sin 3 ， 2
2
2
，
3
，故
y
6 sin
12
21．已知函数 f (x) a sin(2x ) a b(x R, a 0, 0) 的最小正周期为 ，函数 f (x) 的最大值是 7 ，最小
62
4
重庆市九龙坡区2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)
【小问1详解】
解：不等式 ，化简得 ．
∴
当 时，集合 ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：由（1）知， ，
∵命题“ ， ”是真命题，
∴ ，
∴ ，解得： ．
∴实数a的取值范围是 ．
18.已知角 的终边经过点 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ， ，
解得 ，即 .
故选：C
6.函数 在 上 图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由函数奇偶性定义推得 为奇函数，排除AB；再由 排除C，从而得解.
【详解】因 ， ，
所以 的定义域关于原点对称，
又 ，
所以 为奇函数，则 的图像关于原点对称，排除AB；
又 ，排除C；
因为排除了选项ABC，而选项D的图像满足上述 的性质，故D正确.
【小问2详解】
由题意可得， 对任意 恒成立.
即 ，从而 ，恒成立，
令 ， ，
令 ，任意取 ，设 ，则 ，由 ，则
即 在 上单调递增，故当 时， ，
所以 .
21.已知定义域为 的函数 是奇函数
（1）求 的值；
（2）判断 的单调性，并用定义证明；
（3）若存在 ，使 成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ， ；
A.3B.3.6C.4D.4.8
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出k的值，再将θ＝80℃， ＝100℃， ＝20℃代入 即可求得t的值.
【详解】由题可知： ，
冲泡绿茶时水温为80℃，
故
.
高一上期末数学试卷九龙坡
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(-1, 2)，则a、b、c的取值范围是（）A. a > 0, b < 0, c < 0B. a > 0, b > 0, c > 0C. a < 0, b < 0, c > 0D. a < 0, b > 0, c < 02. 下列各式中，是绝对值不等式的是（）A. |x| < 2B. |x| ≥ 2C. x^2 < 4D. x^2 ≥ 43. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an的值为（）A. 25B. 28C. 31D. 344. 函数y = log2(x - 1)的定义域是（）A. x > 1B. x ≥ 1C. x < 1D. x ≤ 15. 若复数z = 1 + i满足|z - 2i| = √5，则复数z的值为（）A. 1 + 2iC. 3 + 2iD. 3 - 2i6. 已知函数y = (x - 1)^2 - 3，则该函数的对称轴是（）A. x = 1B. y = -3C. x = 2D. y = 07. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y = x^2在定义域内是单调递增的B. 等差数列的前n项和S_n = n(a_1 + a_n)/2C. 对数函数y = log2(x)的图象在y轴上D. 平面向量a = (2, 3)与向量b = (1, 2)的夹角为60°8. 若不等式组\[\begin{cases}x + y < 4 \\x - y > 0\end{cases}\]的解集为（）A. 第一象限B. 第二象限D. 第四象限9. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)10. 已知等比数列{an}的首项为3，公比为2，则第n项an的值为（）A. 3 2^(n-1)B. 3 2^nC. 3 / 2^(n-1)D. 3 / 2^n二、填空题（每题5分，共50分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x = 1处的导数值为______。
2021-2022学年重庆一中高一上学期期末数学复习卷(附答案解析)
2021-2022学年重庆一中高一上学期期末数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=Z，集合A={0,1,3}，B={−1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A. {−1,2}B. {−1,0}C. {0,1}D. {1,2}2.将函数y=√3sin2x+cos2x的图象向右平移π6个单位，所得函数图象的一个对称中心是()A. (0,0)B. (2π3,0) C. x=1 D. (π12,0)3.方程x+log2x=6的根为α，方程x+log3x=6的根为β，则()A. α>βB. α=βC. α<βD. α，β的大小关系无法确定4.已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)sin(π2−θ)−sin(π−θ)=()A. 2B. −2C. 0D. 235.已知函数f(x)=2x−2−x2,g(x)=2x+2−x2，下列结论错误的是()A. 函数f(x)的图象关于原点对称，函数g(x)的图象关于y轴对称B. 在同一坐标系中，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方C. 函数g(x)的值域是[1,+∞)D. g(2x)=2f(x)g(x)在(−∞,+∞)恒成立6.已知f(x)=sin(2x+θ)，f(5π6)=0，f(π)>0，则要得f(x)的图象，只需将函数y=sin2x图象()A. 向右平移π3单位 B. 向右平移π6单位C. 向左平移π3单位 D. 向左平移π6单位7.若函数f(x)=log a(8−ax)满足：对任意x1，x2∈(0,2](x1≠x2)，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，则实数a的取值范围是()A. (0,1)B. (1,4)C. (1,4]D. (4,+∞)8.若函数f(x)= x 2−3 x −4的定义域为[−2,m]，值域为[，6]，则m 的取值范围( )A. [，5]B. (，5]C. [−2,5]D. [，+∞)9.用五点作图法作y =2sin4x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )A. 0，π2，π，3π2，2π B. 0，π4，π2，3π4，π C. 0，π8，π4，3π8，π2D. 0，π6，π3，3π2，23π10. 给出以下命题：(1)∃x ∈R ，x 2≤0；(2)∀a ∈R ，方程x 2−ax −1=0有实根；(3)若F 1(−3,0)，F 2(3,0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=a +9a (a >0且a 为常数)，则P 的轨迹为椭圆；其中正确命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，在区间[0,+∞)上单调递增，且f(13)=0，则不等式f(log 18x)>0的解集为( )A. (12,2)B. (2,+∞)C. (0,12)∪(2,+∞)D. (12,1)∪(2,+∞)12. 若tanθ=2，则2sin 2θ−3sinθcosθ=( )A. 10B. ±25C. 2D. 25二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)为R 上的奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2+x +1；那么y =f(x)在x <0上的解析式为 ．14. 若函数f(x)=lg 1+mx1−2x 是奇函数，则实数m 的值为______ ． 15. 已知函数的部分图象如下图所示，则该函数的解析式f (x )=_________16. 行列式∣∣∣sinx4cosx 35∣∣∣的最大值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=√2cos(x −π12)，x ∈R ． (1)求f(π3)的值；(2)若cosθ=35，θ∈(0,π2)，求f(2θ−π6).18. 如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD =6，BD =3，DC =2． (Ⅰ)若∠ADB =π2，求∠BAC 的大小； (Ⅱ)若∠ADB =2π3，求△ABC 的面积．19. 已知函数f(x)=2x −a2x +a (a >0)在其定义域上为奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并给出证明．(3)求f(x)在(−∞,1]上的最大值．20.某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶．(1)根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶.要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2)为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到x元，并投入12x2万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量t(万瓶)的最小值，以及t取最小值时的每瓶饮料的售价．21.设函数f(x)=cos2ωx+√3sinωxcosωx+a(其中ω>0，a∈R).且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是π3．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)如果f(x)在区间[−π3,5π6]上的最小值为√3，求a的值．22.已知函数f(x)=a−22x+1(a∈R)．(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；(2)判断并用定义证明函数f(x)的单调性．参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查Venn图表达集合的关系及运算，由阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A)，即可得到结论．解：阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A)，∵全集U=Z，集合A={0,1,3}，B={−1,0,1,2}，∴B∩(∁U A)={−1,2}．故选A．2.答案：D解析：解：∵y=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，把它的图象向右平移π6个单位，可得函数y=2sin[2(x−π6)+π6]=2sin(2x−π6)图象，令2x−π6=kπ，k∈z，可得x=kπ2+π12，k∈z，故所得函数的图象的对称中心为(kπ2+π12,0)，k∈z，结合所给的选项，故选：D．由条件利用两角和的正弦公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．本题主要考查两角和的正弦公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．3.答案：C解析：解：∵方程x+log2x=6的根为α，方程x+log3x=6的根为β，∴log2x=6−x，log3x=6−x，log2α=6−α，log3β=6−β，令f(x)=log2x，g(x)=log3x，ℎ(x)=6−x，画出图形：∴α<β， 故选C ．已知方程x +log 2x =6的根为α，方程x +log 3x =6的根为β，可以令f(x)=log 2x ，g(x)=log 3x ，ℎ(x)=6−x ，利用数形结合法进行求解；此题考查函数的零点，此题我用了比较简单的方法：数形结合法，很容易就解出来了，此题是一道好题；4.答案：B解析：本题考查三角函数的诱导公式的应用．直接利用诱导公式进行化简，然后分子、分母同除cosθ，代入tanθ=2即可得到结果． 解：sin(π2+θ)−cos(π−θ)sin(π2−θ)−sin(π−θ)=cosθ−(−cosθ)cosθ−sinθ=2cosθcosθ−sinθ=21−tanθ=21−2=−2．故选：B ．5.答案：D解析：解：对于A ，∵f(−x)=2−x −2x2=−2x −2−x2=−f(x)，∴函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，同理，g(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，∴A 正确； 对于B ，∵f(x)−g(x)=2x −2−x2−2x +2−x2=−2−x <0∴f(x)的图象在g(x)的图象下方，B正确；对于C，∵g(x)=2x+2−x2≥2√2x⋅2−x2=1，当且仅当x=0时取“=”，∴g(x)的值域是[1,+∞)，C正确；对于D，∵g(2x)=22x+2−2x2，2f(x)g(x)=2⋅2x−2−x2⋅2x+2−x2=22x−2−2x2，∴只有当x=0时，g(2x)=2f(x)g(x)，D错误．故选：D．A中，f(x)是奇函数，图象关于原点对称，g(x)是偶函数，图象关于y轴对称；B中，f(x)−g(x)<0，得出f(x)的图象在g(x)的图象下方；C中，利用基本不等式得出g(x)≥1；D中，判断g(2x)=2f(x)g(x)只有在x=0时成立．本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了作差法比较大小，考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．6.答案：D解析：解：∵已知f(x)=sin(2x+θ)，f(5π6)=0=sin(5π3+θ)，f(π)=sinθ>0，∴可取θ=π3，f(x)=sin(2x+π3)，故将函数y=sin2x图象向左平移π6单位，可得f(x)的图象，故选：D．由题意先求得θ，可得f(x)得解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围，考查计算能力，属于中档题．根据导数的定义及导数与函数单调性的关系，可知先将函数f(x)在(0,2]单调递减，f(x)=log a(8−ax)转化为y=log a t，t=8−ax，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．解：由(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，即(x1−x2)和[f(x1)−f(x2)]异号，则f(x1)−f(x2)x1−x2<0，∴根据函数单调性的定义，则f(x)在(0,2]单调递减，当0<a<1时，则函y=log a t，在(0,2]是减函数，由题设知t=8−ax为增函数，则需a<0，故此时无解；若a>1，则y=log a t，在(0,2]是增函数，则t为减函数，则需a>0且8−a×2>0，解得1<a<4，综上可得实数a的取值范围是(1,4)．故实数a的取值范围(1,4)．故选B．8.答案：A解析：本题考查的是函数的定义域和值域中含参数的问题。
重庆市普通高中2022-2023学年高一数学第一学期期末预测试题含解析
2、A
【解析】 log6 15 log5 15 log5 16 2 21.5 0.51.5
b c a
故选 A
3、B
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinx ， tanx 的值，即可得解
A.4 倍
B.3 倍
C. 2 倍
D.2 倍
8．直线 1+a x y 1 0 与圆 x2 y2 2x 0 相切，则 a 的值为（）
A. 1
B. 2
C.1
D. 1
9．已知集合 A 1, 2，则集合 B { x, y | x A, y A}中元素的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
【详解】由题意，知 cosx 3 ，且 π x π ， 52
所以 sinx 1 cos2x 4 ，则 tanx sinx 4 ，
5
cosx 3
tanx sinx 4 4 8 3 5 15
故选 B
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数
（2）三条公路围成的工业园区 ABC 的面积恰为 4km2 ，求公路 BC 所在直线方程.
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1、C
【解析】因为函数 y 1 是奇函数，所以选项 A 不正确；因为函为函数 y ex 既不是奇函数，也不是偶函数，所以选
x
项 B 不正确；函数 y x2 1 图象抛物线开口向下，对称轴是 y 轴，所以此函数是偶函数，且在区间 0, 上单 调递减，所以，选项 C 正确；函数 y lg x 虽然是偶函数，但是此函数在区间 0, 上是增函数，所以选项 D 不正
2022-2023学年重庆市高一上期末考试数学模拟试卷及答案
2022-2023学年重庆市高一上期末考试数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2021•河南模拟）集合21{|0}1x A x x -=+ ，集合{|B x y ==，则集合A B 等于()A ．[0，12B ．(1,)-+∞C ．(1,1)-D ．[1-，)+∞2．（2017•新疆一模）a ，b ，c R +∈且236a b c ==，记2x a =，3y b =，6z c =，则x ，y ，z 的大小关系为()A ．y x z <<B ．x y z <<C ．z x y <<D ．x z y<<3．（2020秋•荔湾区校级期末）已知函数0.5()log (2)af x x a=++在(3,)+∞上单调递减，则a 的取值范围为()A ．(,0)-∞B ．[3-，0)C ．[2-，0)D ．(3,0)-4．（2021•聊城三模）在ABC ∆中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，M 为BC 中点，O 为ABC ∆的内心，且AO AB AM λμ=+，则(λμ+=)A ．712B ．34C ．56D ．15．（2020秋•龙亭区校级月考）若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21{}nx 为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为()AB ．2C．D ．46．（2020秋•开封期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，若6131n n S n T n -=-，则(n nab =)A ．231n n ++B ．10553n n --C ．8342n n --D ．12764n n --7．（2021•上高县校级模拟）在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =，AB =，11AA =，过点B 作直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成角均为70︒，这样的直线l 的条数为()A ．4B ．3C ．2D ．18．（2021•二模拟）已知二项式)n x-展开式中的常数项为第4项，则该二项式的展开式中的常数项为()A ．84-B ．42-C ．42D ．84二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2020秋•湖北月考）下列结论正确的有()A ．若随机变量2~(1,)N ξσ，(4)0.77P ξ= ，则(2)0.23P ξ-=B ．若随机变量1~(10,)3X B ，则(31)19D X -=C ．已知回归直线方程为ˆ10.8y bx=+，且4x =，50y =，则ˆ9.8b =D ．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11．若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为2210．（2021春•黄冈期末）直线:(2)l y k x =-与抛物线2:8C y x =交于A ，B 两点(A 在B 的上方），F 为抛物线的焦点，行O 为坐标原点，AFO ∆的面积是BFO ∆面积的2倍，以AB 为直径的圆与直线(0)x t t =<相切，切点为P ．则下列说法正确的是()A ．||6AF =B ．AOB ∆的面积为C ．t 的值为2-D ．||PF =11．（2020秋•思明区校级月考）设0a >，0b >，1a b +=，则()A ．22a b +的最小值为12B ．41a b+的范围为[9，)+∞C的是小值为D ．若1c >，则2311(2)1a c abc +-⋅+-的最小值为812．（2021•岳麓区校级二模）关于函数1()cos cos f x x x=+有如下四个命题，其中正确的命题有()A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．()f x 的值域为(-∞，2][2- ，)+∞三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021•和平区二模）某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛．已知这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，则所选3人分别来自不同年级的概率为.记所选3人中高一年级学生的人数为X ，则随机变量的数学期望()E X =．14．（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为．15．（2020春•安徽期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是11A C 上的任意一点，点M ，N 分别是AB 和BC 上的点，且AM BN =，若4AB =，则三棱锥P DMN -体积的最大值是．16．（2018•全国三模）函数2015()2017(0x f x a a -=+>且1)a ≠所过的定点坐标为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2021•天津模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足21n n c a -=，2(1)n n n n c a b =-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（3）求11(1)(65)k nk k k k k b a a =+-+∑．18．（2021•江西一模）ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知()cos sin cos b c A A a C +=-．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，求bc的取值范围．19．（2019春•荔湾区校级期中）如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、11A D 的中点，（1）判断MN 与平面11A BC 的位置关系，并证明；（2）若AB =1BC CC ==，求AC 与1C B所成角的余弦值．20．（2021•四川模拟）设函数()1(,)x f x e ax b a b R =--+∈．（1）若1b =，()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若()0f x ，求a b +的最大值．21．（2021•岳麓区校级二模）已知斜率为k 的直线交椭圆223(0)x y λλ+=>于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点，点0(1,)N y 是线段AB 的中点．（1）若03y =，求直线AB 的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，求0y 的取值范围．22．（2018•南平二模）某地区某农产品近五年的产量统计如表：年份20132014201520162017年份代码t 12345年产量y （万吨）5.65.766.26.5（Ⅰ）根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+，并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量；（Ⅱ）若近五年该农产品每千克的价格V （单位：元）与年产量y （单位：万吨）满足的函数关系式为 3.780.3V y =-，且每年该农产品都能售完．求年销售额S 最大时相应的年份代码t 的值，附：对于一组数据(i t ，)i y ，1i =，2，⋯，n ，其回归直线ˆˆˆybt a =+的斜率和截距的计算公式：121()ˆ(nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-．2022-2023学年重庆市高一上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2021•河南模拟）集合21{|0}1x A x x -=+ ，集合{|B x y ==，则集合A B 等于()A ．[0，12B ．(1,)-+∞C ．(1,1)-D ．[1-，)+∞【答案】C【考点】并集及其运算【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．【解答】解： 121{|1},{|(1)0}{|011}{|01}2A x x B x log x x x x x =-<=-=<-=< ，(1,1)A B ∴=- ．故选：C ．【点评】本题考查了描述法和区间的定义，分式不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（2017•新疆一模）a ，b ，c R +∈且236a b c ==，记2x a =，3y b =，6z c =，则x ，y ，z 的大小关系为()A ．y x z <<B ．x y z <<C ．z x y <<D ．x z y<<【考点】4M ：对数值大小的比较【专题】4R ：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用【分析】设2361a b c k ===>，可得02lgk a lg =>，03lgk b lg =>，06lgkc lg =>．可得2x a ==，3y b ==，6z c ==，根据0<<，即可得出关系．【解答】解：设2361a b c k ===>，则02lgk a lg =>，03lgk b lg =>，06lgkc lg =>．可得2x a ==，3y b ==，6z c ==，0<<< ，y x z ∴<<．故选：A ．【点评】本题考查了指数与对数元素性质、指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2020秋•荔湾区校级期末）已知函数0.5()log (2)af x x a=++在(3,)+∞上单调递减，则a 的取值范围为()A ．(,0)-∞B ．[3-，0)C ．[2-，0)D ．(3,0)-【考点】3G ：复合函数的单调性【专题】33：函数思想；4R ：转化法；51：函数的性质及应用；65：数学运算；15：综合题【分析】由外层函数0.5log y t =为减函数，把问题转化为内层函数2at x a=++在(3,)+∞上单调递增且恒大于0，进一步得到关于a 的不等式组求解．【解答】解： 外层函数0.5log y t =为减函数，∴要使0.5()log (2)af x x a=++在(3,)+∞上单调递减，则需要2at x a=++在(3,)+∞上单调递增且恒大于0，即030203a a a a⎧⎪<⎪+>⎨⎪⎪++⎩ ，解得20a -<．a ∴的取值范围为[2-，0)．故选：C ．【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．4．（2021•聊城三模）在ABC ∆中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，M 为BC 中点，O 为ABC ∆的内心，且AO AB AM λμ=+，则(λμ+=)A ．712B ．34C ．56D ．1【答案】A【考点】平面向量的基本定理；向量数乘和线性运算【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【分析】根据三角形是直角三角形，得到它的内心的位置，从而表示出向量AO，根据向量的线性运算，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．【解答】解：M为BC 中点，∴1()2AM AB AC =+ ，∴(22AO AB AM AB AC μμλμλ=+=++，O 为ABC ∆的内心，∴1134AO AB AC =+，∴123124μλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11212λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，712λμ∴+=．故选：A ．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，利用三角形内心的性质是关键，属于中档题．5．（2020秋•龙亭区校级月考）若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21{}nx 为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为()AB ．2C．D ．4【考点】85：等差数列的前n 项和【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；5T ：不等式；62：逻辑推理；65：数学运算【分析】先由题设2{}nx ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得2292010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可．【解答】解：由题设知：2212211111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数），2{}n x ∴是等差数列，2222221201812320182018()40362x x x x x x++++⋯+==，222212018920104x x x x ∴+==+，2292010920102x x x x + （当且仅当92010x x =时取“等号“)，2229201092010()2()8x x x x ∴++=，92010x x ∴+（当且仅当92010x x ==时取“等号“)，92010x x ∴+的最大值为故选：C ．【点评】本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题．6．（2020秋•开封期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，若6131n n S n T n -=-，则(n nab =)A ．231n n ++B ．10553n n --C ．8342n n --D ．12764n n --【答案】D【考点】等差数列的性质；等差数列的前n 项和【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】利用等差数列的性质及等差数列的前n 项和公式可将问题转化为：2121n n n n a S b T --=，即可得到答案．【解答】解： 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，6131n n S n T n -=-，∴1211212112112121(21)()6(21)112722(21)()3(21)16422n n n n n n n n a a n a a a S n n b b n b b b T n n ------+-+---=====+-+---，故选：D ．【点评】本题考查等差数列的前n 项和的应用，突出考查等价转化思想与思维运算能力，属于中档题．7．（2021•上高县校级模拟）在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =，AB =，11AA =，过点B 作直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成角均为70︒，这样的直线l 的条数为()A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算【分析】由向量的数量积公式和夹角公式，可得直线1A D 和直线1AC 所成角为3π，通过平移和讨论三条直线在同一平面、不在同一平面，可得直线l 的条数．【解答】解：11A D AD AA =- ，11AC AB AD AA =++ ，∴1111()()A D AC AD AA AB AD AA ⋅=-⋅++ 2211AB AD AD AB AA AA =⋅+-⋅- 07016=+--=，1||A D = ，1||AC =，111cos ,2A D AC ∴<>==，∴直线1A D 和直线1AC 所成角为3π，设与1A D 平行的直线为1l ，与1AC 平行的直线为2l ，将直线l ，直线1A D 和直线1AC 平移至点P ，则当三条直线在同一平面时，这样的直线l 不存在；若三条直线不在同一平面，3APB π∠=，PD 是APB ∠的角平分线，在PD 上方有一条直线PE 与1l ，2l 所成角为70︒，同理PF ，PG ，PH 也满足条件，如右图．∴过点B 作直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成角均为70︒，这样的直线l 的条数为4．故选：A ．【点评】本题考查满足异面直线所成角的直线的条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．8．（2021•二模拟）已知二项式1()n x x-展开式中的常数项为第4项，则该二项式的展开式中的常数项为()A ．84-B ．42-C ．42D ．84【答案】A【考点】二项式定理【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理；数学运算【分析】二项式展开式的通项公式求出4T ，令x 的指数为0，可求得n ，从而可得常数项．【解答】解：由题意可知93333324()()(1)nn nn T C x C x x--=-=-，令902n-=，解得9n =，所以该二项式的展开式中的常数项为339(1)84C -=-．故选：A ．【点评】本题考查二项式定理，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2020秋•湖北月考）下列结论正确的有()A ．若随机变量2~(1,)N ξσ，(4)0.77P ξ= ，则(2)0.23P ξ-=B ．若随机变量1~(10,)3X B ，则(31)19D X -=C ．已知回归直线方程为ˆ10.8y bx=+，且4x =，50y =，则ˆ9.8b =D ．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11．若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22【答案】AC【考点】命题的真假判断与应用；众数、中位数、平均数；线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；简易逻辑；逻辑推理；数学运算【分析】利用正态分布求解概率，判断A ；二项分布的期望与方差判断B ；回归直线方程求解ˆb，判断C ；通过求解中位数判断D ；【解答】解：对于A ，(2)(4)10.770.23P P ξξ-==-= ，故A 正确；对于B ，1220()10339D X =⨯⨯=，所以220(31)3209D X -=⨯=，故B 不正确；对于C ，回归直线方程经过点()x y ，将4x =，50y =代入求得ˆ9.8b=，故C 正确；对于D ，设丢失的数据为x ，则这组数据的平均数为317x+，众数为3，当3x时，中位数为3，此时31367x++=，解得10x =-；当35x <<时，中位数为x ，此时31327xx ++=，解得4x =；当5x时，中位数为5，此时313107x++=，解得18x =．所以所有可能x 的值和为1041812-++=，故D 不正确．故选：AC ．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查转化思想以及计算能力，是基础题．10．（2021春•黄冈期末）直线:(2)l y k x =-与抛物线2:8C y x =交于A ，B 两点(A 在B 的上方），F 为抛物线的焦点，行O 为坐标原点，AFO ∆的面积是BFO ∆面积的2倍，以AB 为直径的圆与直线(0)x t t =<相切，切点为P ．则下列说法正确的是()A ．||6AF =B ．AOB ∆的面积为C ．t 的值为2-D ．||PF =【答案】ACD 【考点】抛物线的性质【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用三角形的面积关系得到122y y =-，联立直线与抛物线，结合韦达定理求出A ，B ，从而求出||AF ，即可判断选项A ，求出AOB ∆的面积，即可判断选项B ，求出圆心和半径，得到圆的方程，从而求出t 的值，即可判断选项C ，利用两点间距离公式求解||PF ，即可判断选项D ．【解答】解：由题意，(2,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，因为A 在B 的上方，则10y >，20y <，因为2AFO BFO S S ∆∆=，则1211||||2||||22OF y OF y ⋅⋅=⨯⋅⋅，即122y y =-，联立方程组2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩，即2208ky y k --=，所以12128,16y y y y k+==-，又122y y =-，则12y y ==-所以128y y k+==，解得k =，故(1,A B -，则14||4622p AF x =+=+=，故选项A 正确；因为12y y -=所以121||||2OAB S OF y y ∆=⋅⋅-=故选项B 错误；因为AB 的中点5(2，直径为12||549AB x x p =++=+=，故半径为92，所以圆的方程为22581((24x y -+=，故95()222t =--=-，故选项C 正确；因为(P -，所以||PF =，故选项D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查了抛物线标准方程的应用，直线与抛物线位置关系的应用，圆的标准方程的求解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．11．（2020秋•思明区校级月考）设0a >，0b >，1a b +=，则()A ．22a b +的最小值为12B ．41a b+的范围为[9，)+∞C的是小值为D ．若1c >，则2311(2)1a c abc +-⋅+-的最小值为8【考点】基本不等式及其应用【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．【解答】解：对于A 中，由222()122a b a b ++=，当且仅当12a b ==时取等，可得22a b +的最小值为12，所以A 正确；对于B 中，由41414()559b a a b a b a b a b+=++=+++= ，当且仅当2a b =时，即23a =，13b =时，等号成立，取得最小值9，所以B 正确；对于C==，又由102<1219412222++=+= ，所以C 不正确；对于D 中，由222313()4224a a a b a bab ab b a+++-=-=+ ，当且仅当2b a =时，即13a =，23b =时，等号成立，可得23111(2)4(1)4811a c c abc c +-⋅+-++-- ，当且仅当32c =时取等，所以D 正确．故选：ABD ．【点评】本题主考查了基本不等式及相关结论的应用，解题的关键是结论的灵活应用．12．（2021•岳麓区校级二模）关于函数1()cos cos f x x x=+有如下四个命题，其中正确的命题有()A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．()f x 的值域为(-∞，2][2- ，)+∞【答案】AD【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；简易逻辑；逻辑推理；数学运算【分析】求解函数的定义域，判断函数的奇偶性与对称性，判断A ，B 的正误；利用特殊值判断对称性，判断C 的正误；求解函数的值域判断D ．【解答】解：由题意知()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，且关于原点对称．又11()cos()cos ()cos()cos f x x x f x x x-=-+=+=-，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以A 正确，B 错误．因为11()cos()sin 22sin cos()2f x x x x x πππ-=-+=+-，11()cos()sin 22sin cos()2f x x x x x πππ+=++=--+，所以()()22f x f x ππ+≠-，所以函数()f x 的图象不关于直线2x π=对称，C 错误．当cos 0x <时，()2f x - ，当cos 0x >时，()2f x ，所以D 正确．故选：AD ．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查三角函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021•和平区二模）某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛．已知这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，则所选3人分别来自不同年级的概率为25.记所选3人中高一年级学生的人数为X ，则随机变量的数学期望()E X =．【答案】25，65．【考点】离散型随机变量的期望与方差【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑推理；数学运算【分析】基本事件总数3510n C ==，所选3人分别来自不同年级包含的基本事件个数1112214m C C C ==，由此能求出所选3人分别来自不同年级的概率；X 可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的数学期望．【解答】解：某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛．这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，基本事件总数3510n C ==，所选3人分别来自不同年级包含的基本事件个数1112214m C C C ==，∴所选3人分别来自不同年级的概率为42105m P n ===．记所选3人中高一年级学生的人数为X ，则X 可能取值为0，1，2，33351(0)10C P X C ===，1223356(1)10C C P X C ===，2123353(2)10C C P X C ===，∴随机变量的数学期望1636()0121010105E X =⨯+⨯+⨯=．故答案为：25，65．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合、超几何分布等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．14．（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为32x =-．【答案】32x =-．【考点】抛物线的性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】法一：求出点P 的坐标，推出PQ 方程，然后求解Q 的坐标，利用||6FQ =，求解p ，然后求解准线方程．法二：利用射影定理，转化求解p ，然后求解准线方程．【解答】解：法一：由题意，不妨设P 在第一象限，则(2pP ，)p ，2OP k =，PQ OP ⊥．所以12PQ k =-，所以PQ 的方程为：1(22py p x -=--，0y =时，52px =，||6FQ =，所以5622p p-=，解得3p =，所以抛物线的准线方程为：32x =-．法二：根据射影定理，可得2||||||PF FO FQ =，可得262pp =⨯，解得3p =，因此，抛物线的准线方程为：32x =-．故答案为：32x =-．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15．（2020春•安徽期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是11A C 上的任意一点，点M ，N 分别是AB 和BC 上的点，且AM BN =，若4AB =，则三棱锥P DMN -体积的最大值是323．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5F ：空间位置关系与距离；64：直观想象；65：数学运算；44：数形结合法；4R ：转化法【分析】设AM BN x ==，则4BM CN x ==-，求出DMN ∆的面积S 的表达式，然后推出三棱锥P MND =的体积V 的表达式，利用二次函数的性质，求体积的最大值即可．【解答】解：设AM BN x ==，则4BM CN x ==-，故DMN ∆的面积21111444(4)4(4)282222S x x x x x x =⨯-⨯---⨯-=-+，因为点P 是11A C 的任意一点，所以点P 到平面DMN 的距离为4，所以三棱锥P MND =的体积为221112(28)4(2)83323V Sh x x x ==⨯-+⨯=-+，因为04x ，所以20(2)4x - ，故832833V += ．故答案为：323．【点评】本题考查三棱锥体积的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．16．（2018•全国三模）函数2015()2017(0x f x a a -=+>且1)a ≠所过的定点坐标为(2015,2018)．【考点】4A ：指数型复合函数的性质及应用【专题】35：转化思想；4R ：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据指数函数的性质，令20150x -=，可得2015x =，带入求解2018y =，可得定点坐标．【解答】解：由题意，根据指数函数的性质，令20150x -=，可得2015x =，带入求解2018y =，∴函数()f x 过的定点坐标为(2015,2018)故答案为：(2015,2018)．【点评】本题考查指数函数的性质运用，定点的求法，考查运算能力，属于基础题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2021•天津模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足21n n c a -=，2(1)n n n n c a b =-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（3）求11(1)(65)k nk k k k k b a a =+-+∑．【答案】（1）21n a n =+，12n n b -=；（2）2125652(2)918n n n T n n ++=+--⋅-；（3）11(1)2323n n n +---+．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d ，q ，进而得到所求；（2）求得2121n n c a n -==+，21(1)(21)(2)2n n n n n c a b n =-=+⋅-，由数列的分组求和、错位相减法求和，计算可得所求和；（3）求得1111(1)(65)(1)(65)2(1)2(1)2(21)(23)2123n n n n n n nn n n n b n a a n n n n --++-+-+--==-++++，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=，可得610q d ++=，34232d q d +-=+，解得2d q ==，则32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=；（2）2121n n c a n -==+，21(1)(21)(2)2n n n n n c a b n =-=+⋅-，021*********()()()[3252(21)(2)]2n n n n n T c c c c c c a a a n -=++⋯++++⋯+=++⋯++-⋅+⋅+⋯++⋅-，由21(321)22n S n n n n =++=+，设121113(2)5(2)(21)(2)222n n B n =⋅⋅-+⋅⋅-+⋯++⋅-，23111123(2)5(2)(21)(2)222n n B n +-=⋅⋅-+⋅⋅-+⋯++⋅-，两式相减可得23111133[2(2)2(2)2(2)](21)(2)222n n n B n +=-+⋅-+⋅-+⋯+⋅⋅--+⋅-114[1(2)]13(21)(2)1(2)2n n n -+--=-+-+⋅---，化简可得1565(2)918n n n B ++=--⋅-，所以2125652(2)918n n n T n n ++=+--⋅-；（3）1111(1)(65)(1)(65)2(1)2(1)2(21)(23)2123n n n n n n nn n n n b n a a n n n n --++-+-+--==-++++，所以1111(1)(65)122448(1)2(1)2(()()[]3557792123k n n n nnk k k k k b a a n n -+=+-+-----=-+-+-+⋯+-++∑11(1)2323n nn +-=--+．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和、分组求和和裂项相消求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．18．（2021•江西一模）ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知()cos sin cos b c A A a C +=-．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，求bc的取值范围．【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）1(2，2)．【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；转化法；解三角形；数学运算【分析】（Ⅰ）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可求出角A 的大小；（Ⅱ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得12b c =+C 的取值范围即可求得bc的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理的(sin sin )cos sin sin cos B C A B A A C +=-，所以sin cos sin cos cos sin sin B A C A C A B A ++=，即sin cos sin()sin B A A C B A ++=，因为sin()sin A C B +=，所以sin cos sin sin B A B B A +=，因为sin 0B >，所以cos 1A A +=，所以1sin(62A π-=，因为(66A ππ-∈-，56π，所以66A ππ-=，所以3A π=．（Ⅱ）13sin cos sin sin()1322sin sin sin 22tan C Cb B A Cc C C C C++====+，因为ABC ∆为锐角三角形，所以02C π<<，232B C ππ=-<，所以62C ππ<<，所以tan C >，所以1132222tan C <+<，即b c 的取值范围是1(2，2)．【点评】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、三角函数的单调性应用问题，是中档题．19．（2019春•荔湾区校级期中）如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、11A D 的中点，（1）判断MN 与平面11A BC 的位置关系，并证明；（2）若AB =1BC CC ==，求AC 与1C B 所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；数学运算【分析】（1）取1AA 的中点K ，连接KM ，KN ，1AD ，通过面面平行的判定定理证明平面//KMN 平面11A BC ，再由面面平行的性质定理可得//MN 平面11A BC ；（2）由异面直线所成角的定义，结合11//AC A C ，可得11A C B ∠为异面直线AC 与1C B 所成角，结合条件，运用余弦定理，可得所求值．【解答】解：（1）//MN 平面11A BC ，证明：取1AA 的中点K ，连接KM ，KN ，1AD ，由KM 为1ABA ∆的中位线，可得1//KM A B ，KM ⊂/平面11A C B ，可得//KM 平面11A BC ；同样1//KN AD ，11//AD BC ，即1//KN BC ，KN ⊂/平面11A C B ，可得//KN 平面11A BC ；由KM ，KN 为平面KMN 的两条相交直线，可得平面//KMN 平面11A BC ，又MN ⊂平面KMN ，可得//MN 平面11A BC ；（2）由于11//AC A C ，可得11A C B ∠为异面直线AC 与1C B 所成角，由7AB =12BC CC ==，可得1723A B =+=，1222BC =+=，11723A C =+，在△11A C B 中，可得222113231cos 2323AC B +-∠==⨯⨯，则AC 与1C B 所成角的余弦值为13．【点评】本题考查空间线面的位置关系和异面直线所成角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20．（2021•四川模拟）设函数()1(,)x f x e ax b a b R =--+∈．（1）若1b =，()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若()0f x ，求a b +的最大值．【答案】（1）(,)e +∞；（2）1e +．【考点】利用导数研究函数的最值【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【分析】（1）求出导数，分类讨论a 的正负即可求解；（2）结合（1）可知0a >，由()0f x ，等价于()()10min f x f lna a alna b ==--+ ，可得21a b a alna +-+ ，令g （a ）21a alna =-+，利用导数求得g （a ）1max e <+，即可求解．【解答】解：（1）1b =时，()x f x e ax =-，()x f x e a '=-，①当0a时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，不满足题意；②当0a >时，令()0f x '=，解得x lna =，则()f x 在(,)lna -∞上单调递减，在(,)lna +∞上单调递增，要使()f x 有两个零点，只需()0f lna <，即0a alna -<，解得a e >，即a 的取值范围是(,)e +∞．（2）函数()1x f x e ax b =--+，()x f x e a '=-，由（1）知，当0a时，()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，与()0f x 矛盾，所以0a >，由（1）知，()()10min f x f lna a alna b ==--+ ，所以1b a alna -+，21a b a alna +-+ ，令g （a ）21a alna =-+，g '（a ）211lna lna =--=-，令g '（a ）0>，可得0a e <<，令()0g x '<，可得a e >，所以g （a ）在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以g （a ）max g =（e ）1e =+，所以1a b e ++，所以a b +的最大值为1e +．【点评】本题主要考查利用导数的应用，考查函数零点个数问题以及最值的求解问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．21．（2021•岳麓区校级二模）已知斜率为k 的直线交椭圆223(0)x y λλ+=>于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点，点0(1,)N y 是线段AB 的中点．（1）若03y =，求直线AB 的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，求0y 的取值范围．【答案】（1）12λ>．（2）0y 的取值范围为{3-，3}．【考点】直线与椭圆的综合【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．当03y =时，直线AB 的方程为(1)3y k x =-+，将AB 方程代入223x y λ+=求出直线的斜率1k =-，得到AB 的方程为40x y +-=然后求解λ的范围即可．（2）设直线AB 的方程为0(1)y k x y =-+，将方程代入223x y λ+=通过弦长公式，点到直线的距离，利用四点共圆的条件，推出0y 的取值范围即可．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．（1）当03y =时，直线AB 的方程为(1)3y k x =-+，将AB 方程代入223x y λ+=得：222(3)2(3)(3)0k x k k x k λ++-+--=．①由122(3)123x x k k k +-==+，解得1k =-，此时AB 的方程为40x y +-=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）将1k =-代入①，得248160x x λ-+-=．由△6416(16)0λ=-->，解得12λ>．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（2）设直线AB 的方程为0(1)y k x y =-+，将方程代入223x y λ+=得：22200(3)2()()0k x k y k x y k λ++-+--=．②由题意0122()123k k y x x k -+==+，即03ky -=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）12|||AB x x -==，||CD =，⋯⋯（7分）所以CD 中点P 的横坐标00322211()12131313y ky k k x k k k---+-===+++，点P 到AB 的距离d221|31k --=+，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）由A ，B ，C ，D 四点共圆222||||()()22CD AB d ⇔=+，即22222222119[12(13)]()(3(13)3k k k k k k λλ++-++=--+++，③不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，即上式恒成立，所以222211313k k k k ++=++，解得21k =，此时③式成立．代入②，由△0>得此时12λ>．所以0y 的取值范围为{3-，3}．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力的数学素养，是难题．22．（2018•南平二模）某地区某农产品近五年的产量统计如表：年份20132014201520162017年份代码t 12345年产量y （万吨）5.65.766.26.5（Ⅰ）根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+，并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量；（Ⅱ）若近五年该农产品每千克的价格V （单位：元）与年产量y （单位：万吨）满足的函数关系式为 3.780.3V y =-，且每年该农产品都能售完．求年销售额S 最大时相应的年份代码t 的值，附：对于一组数据(i t ，)i y ，1i =，2，⋯，n ，其回归直线ˆˆˆybt a =+的斜率和截距的计算公式：121()ˆ(nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-．【考点】BK ：线性回归方程【专题】5I ：概率与统计；12：应用题；11：计算题【分析】（Ⅰ）求得样本中心点(t ，)y ，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；将6t =代入线性回归方程，即可求得该地区2018年该农产品的产量估计值为6.69万吨（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当年产量为y 时，年销售额32(3.780.3)10300(12.6)S y y y y =-⨯=-（万元），结合二次函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：1(12345)35t =++++=，1(5.6 5.76 6.2 6.5)65y =++++=，51() 2.3ii i tt y y =--=∑521()10ii tt =-=∑51521()()ˆ0.23()ii i ii tt y y btt ==--==-∑∑，ˆˆ 5.31ay bt =-=，y ∴关于t 的线性回归方程为ˆ0.23 5.31y t =+；当6t =时，ˆ0.236 5.31 6.69y=⨯+=，即2018年该农产品的产量为6.69万吨（Ⅱ）当年产量为y 时，年销售额32(3.780.3)10300(12.6)S y y y y =-⨯=-（万元），因为二次函数图象的对称轴为 6.3y =，又因为{5.6y ∈，5.7，6，6.2，6.5}，所以当 6.2y =时，即2016年销售额最大，于是4t =．【点评】本题考查利用最小二乘法求线性回归方程及线性回归方程的应用，考查转化思想，属于中档题。
2021-2022学年重庆市高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市高一上学期期末数学试题一、单选题 1．780︒=（ ） A ．116πB ．136πC ．113πD ．133π【答案】D【分析】根据给定条件利用角度与弧度互化关系直接转化计算作答. 【详解】因1180π=，所以137********3ππ︒=⨯=. 故选：D2．命题“0x ∃>，21x <”的否定是（ ） A ．0x ∃>，21x ≥ B ．0x ∀<，21x ≥ C ．0x ∀>，21x ≥ D ．0x ∃<，21x <【答案】C【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法写出结论作答. 【详解】命题“0x ∃>，21x <”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 命题“0x ∃>，21x <”的否定是0x ∀>，21x ≥. 故选：C3．已知集合()(){}230A x x x =-+<，(){}2log 11B x x =-<，则A B =（ ） A ．()1,2 B ．()1,3C ．()3,2-D ．()3,3-【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合A ，解对数不等式化简集合B ，再用交集的定义直接计算作答.【详解】解不等式()()230x x -+<得：32x -<<，则有(3,2)A =-， 解不等式()2log 11x -<得：012x <-<，即13x <<，则有(1,3)B =， 所以(1,2)A B ⋂=. 故选：A4．“0x >且0y >”是“x y +≥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由0x >且0y >，可得x y +≥由x y +≥0x =，0y ≥，即由x y +≥0x >且0y >.故“0x >且0y >”是“x y +≥的充分不必要条件. 故选：A.5．已知函数()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[]1,3C ．[)3,+∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【分析】由题可得21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解之即得.【详解】∵()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，∴21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解得13a ≤≤.故选：B.6．已知0.32=a ，0.43b =，0.2log 0.3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>【答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数0,1进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小【详解】0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a =>0.431b =>则有：,a c b c >>0.30.30.4233a =<<故有：b a c >> 故选：D7．已知1sin()33πα-=，则sin(2)6πα-=（ ）A ．79-B ．19-C ．19D ．79【答案】D【分析】利用诱导公式变形，再借助二倍角的余弦公式计算作答.【详解】依题意，1cos()cos[()]sin()62333ππππααα+=+-=--=-，所以27sin(2)sin[(2)]cos 2()[2cos ()1]632669πππππαααα-=+-=-+=-+-=.故选：D8．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，3BC =，7AD =，则该玉佩的面积为（ ）A ．49936πB ．49933πC ．496πD ．493π【答案】A【分析】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，根据相似三角形的性质求出3BO =，7AO =，进而得出OAD △为等边三角形，利用扇形的面积和三角形的面积公式即可求出结果.【详解】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，由//BC AD ， 得OBC OAD ，所以BC BOAD AO=，又43AB CD BC ===，，7AD =, 所以374BO BO BO AB BO ==++，解得3BO =，所以7AO =， 所以OAD △为等边三角形，则3AOB π∠=，故22114972236S r παπ==⨯⨯=扇形，11393sin 33232BOCSOB OC π=⨯⨯=⨯⨯=所以玉佩的面积为49936π故选：A二、多选题 9．函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象是由函数sin y x =的图象经过变换得到，则这个变换可以是（ ）A ．先将图象向左平移34π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍 B ．先将图象向右平移54π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍 C ．先将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，再将图象向左平移38π个单位 D ．先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移34π个单位【答案】ABC【分析】利用三角函数图象变换逐项判断即得. 【详解】对于A ，先将图象向左平移34π个单位得到函数3sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故A 正确； 对于B ，先将图象向右平移54π个单位函数53sin sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故B 正确； 对于C ，先将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数sin 2y x =的图象，再将图象向左平移38π个单位得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故C 正确；对于D ，先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数1sin 2y x =的图象，再将图象向左平移34π个单位得到函数13sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故D 错误.故选：ABC.10．已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则下列关系一定正确的是（ ）A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈ B ．x A ∀∈，x B ∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈【答案】AB【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答. 【详解】全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，x U ∃∈，x A ∉且x B ∈，A 正确； 因A B =∅，必有x A ∀∈，x B ∉，B 正确； 若AUB ，则()()U U A B ⋂≠∅，此时x U ∃∈，[()()]U U x A B ∈⋂，即x A ∉且x B ∉，C 不正确；因A B =∅，则不存在x U ∈满足x A ∈且x B ∈，D 不正确. 故选：AB11．下列说法正确的是（ ） A ．若0a b >>，则22ln ln c a c b > B ．若0x >，则44x x+≥ C ．不等式2232x x-≥的解集为)3,⎡+∞⎣ D ．若2a b +=，则224a b +≥【答案】BD【分析】根据0c 判断选项A 的不等式即可； 根据基本不等式的应用判断选项B 、D ；根据分式不等式和一元二次不等式的解法解出不等式，即可判断选项C. 【详解】A ：当0c 时，不等式不成立，故A 错误； B ：当0x >时，444x x x x +≥⨯=，当且仅当2x =时等号成立，故B 正确； C ：由题意知，0x ≠且20x >，不等式24222322303x x x x x-≥⇒--≥⇒≥或21x ≤-(舍去)， 解得3x ≥3x ≤-C 错误；D ：由2020a b >>，得2222=22=4a b a b a b ++≥⨯， 当且仅当2=2a b 即1a b ==时等号成立，故D 正确. 故选：BD12．已知α，β是一锐角三角形的内角，则下列不等关系一定正确的是（ ）A ．1sin sin 2αβ<B ．1cos cos 2αβ≤C ．sin sin 1αβ+>D ．cos cos 2αβ+<【答案】BD【分析】令3παβ==可判断A ；由2παβ>-及110sin 222β<≤cos cos sin cos αβββ<可判断B ；由sin sin cos sin 2cos 4παββββ⎛⎫+>+=+ ⎪⎝⎭，可判断C ；由cos cos sin cos 2sin 4παββββ⎛⎫+<+=+ ⎪⎝⎭，可判断D.【详解】因为α，β是一锐角三角形的内角，所以0,2παβ<<，令3παβ==，所以31sin sin sinsin3342ππαβ==>，故A 错误； 可得2παβ+>，2παβ>-，022ππβ<-<，因为022βπ<<，所以0sin 21β<≤， 110sin 222β<≤，11cos cos sin cos sin 222αββββ<=≤，故B 正确；sin sin cos sin 2cos 4παββββ⎛⎫+>+=+ ⎪⎝⎭，由02βπ<<得3444πππβ<+<，所以12cos 14πβ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，故C 错误；cos cos sin cos 2sin 4παββββ⎛⎫+<+=+ ⎪⎝⎭，因为12sin 24πβ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BD. 三、填空题13．已知幂函数()f x 的图象如图所示，则()f x =______．（写出一个正确结果即可）【答案】2x -（答案不唯一）【分析】根据给定图象可得幂函数的性质，再结合性质写出函数式即可作答. 【详解】由幂函数图象知，函数()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，且在(0,)+∞单调递减，于是得幂函数的幂指数为负数，而函数()f x 的图象关于y 轴对称，即幂函数()f x 是偶函数，则幂函数()f x 的幂指数为偶数，综上得：2()f x x -=. 故答案为：2x -14．将函数()f x 的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 为奇函数，则()()02f f +=______． 【答案】-2【分析】根据题意可得知()f x 与()g x 之间的关系式，然后利用函数的奇函数性质，计算可得答案.【详解】由函数()f x 的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数()g x 的图象，可得：()(1)1g x f x =++ ， 故()(1)1f x g x =--，所以()()02(1)1(1)1(1)(1)22f f g g g g +=--+-=-+-=-, 故答案为：-2.15．已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 【答案】4【分析】先利用基本不等式实现积与和的转化，而后解一元二次不等式即可.【详解】解：由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭， 令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立， 所以x y +的最小值为4. 故答案为：4.16．设{},? ,max ,,? .a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数(){}1max 2,42xf x x -=--，若关于x 的方程()f x t=有三个不相等的实数解，则实数t 的取值范围是______． 【答案】24t <<【分析】根据函数新定义求出函数()f x 解析式，画出函数()f x 的图象，利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t 的范围.【详解】由题意知，令1242xx-=--，解得20x x x ==，，根据{}max a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，，，，得121220()4202x x x f x x x x x x--⎧≤⎪=--<<⎨⎪≥⎩，，，， 作出函数()f x 的图象如图所示，由方程()0f x t -=有3个不等的根，得函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点，由图象可得，当24t <<时函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点， 所以t 的取值范围为24t <<. 故答案为：24t << 四、解答题17．（1）求值：223log 34138log 27log 2427⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭； （2）已知角α的终边经过点()2,3P ，求()3cos sin sin 22παπαα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)52；(2)2113.【分析】(1)根据给定条件利用指数、对数运算法则，对数换底公式计算作答.(2)利用三角函数的定义求出tan α，再结合诱导公式、二倍角的正弦公式化简计算作答. 【详解】(1)22223log 3log 3322334121223log 3812log 27log 2()4[()](2)27log 2log 33-⋅+⋅=⋅+⋅2223log 314532log 392=⨯+⨯=-. (2)因角α的终边经过点()2,3P ，则由三角函数的定义得：3tan 2α=， 所以()2223sin 2sin cos cos()sin sin 2sin (sin )2sin cos 2sin cos αααπαπαααααααα+-++=--+=+222233()2tan 2tan 21223tan 113()12ααα+⨯+===++. 18．已知函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的单调递增区间； (2)求不等式()12f x >在()0,π上的解集． 【答案】(1)2[,](Z)63k k k ππππ++∈； (2)511,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数()f x 即可求解；(2)由题可得sin(2)06x π+<，再利用正弦函数性质即可求解.(1)∵()2sin cos f x x x x =∴11()(1cos2)2sin(2)226f x x x x π=-=-+， 由3222,Z 262k x k k πππππ+≤+≤+∈，得2,Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈， 即()f x 在2[,](Z)63k k k ππππ++∈上单调递增， 所以函数()f x 单调递增区间是2[,](Z)63k k k ππππ++∈； (2) 由()12f x >得，11sin(2)262x π-+>，即sin(2)06x π+<，又()0,x π∈，()132,666x πππ+∈，∴()2,26x πππ+∈，即511,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴不等式()12f x >在()0,π上的解集为511,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 19．已知函数()()10af x x x x=++>． (1)若()f x 的最小值为5，求正实数a 的值；(2)求证：“()f x 在()2,+∞上单调递增”的充要条件是“4a ≤”． 【答案】(1)a =4； (2)证明见解析.【分析】(1)利用基本不等式求出()f x 的最小值为1，令其值为5，解方程即可； (2)先证充分性，再证必要性；对a 的取值分类讨论，利用复合函数和对勾函数的单调性分别讨论函数()f x 的单调性即可. (1)因为00x a >>，，所以()111a f x x x =++≥=，当且仅当ax x=即x =所以15=，解得4a =； (2)先证充分性：若4a ≤， 当0a <时，()1af x x x=++， 因为y x =在(2)+∞，上单调递增，ay x=在(2)+∞，上单调递增， 所以()f x 在(2)+∞，上单调递增. 当0a =时，()1f x x =+，显然()f x 在(2)+∞，上单调递增. 当04a <≤时，()1af x x x=++由对勾函数的性质可知函数()f x 在)+∞上单调递增，由04a <≤，得02<，所以()f x 在(2)+∞，上单调递增. 再证必要性：若()f x 在(2)+∞，上单调递增， 当0a <时，()1af x x x=++， 因为y x =在(2)+∞，上单调递增，ay x=在(2)+∞，上单调递增， 所以()f x 在(2)+∞，上单调递增，所以0a <符合题意. 当0a =时，()1f x x =+，显然()f x 在(2)+∞，上单调递增，所以0a =符合题意. 当0a >时，()1af x x x=++由对勾函数的性质可知函数()f x 在)+∞上单调递增，2，得04a <≤， 综上所述，a 的取值范围为4a ≤.所以“()f x 在(2)+∞，上单调递增”的充要条件是“4a ≤”.20．已知0a >且1a ≠，函数()()2log a f x x x a =-+的定义域为R ．(1)求a 的取值范围；(2)讨论关于x 的不等式()1log a f x x >+的解集．【答案】(1)1(,1)(1,)4⋃+∞； (2)分类求解，答案见解析.【分析】(1)利用对数函数定域可得20x x a -+>恒成立，再用判别式列式计算作答.(2)由(1)的结论结合对数函数单调性分类讨论，求解关于x 的一元二次不等式作答.(1)因函数()()2log a f x x x a =-+的定义域为R ，则R x ∀∈，20x x a -+>成立，即有：140a ∆=-<，解得14a >，又0a >且1a ≠，因此，114a <<或1a >， 所以a 的取值范围是1(,1)(1,)4⋃+∞. (2)由(1)知，114a <<或1a >，不等式2()1log log ()log a a a f x x x x a ax >+⇔-+>， 当114a <<时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，于是得20x x a ax <-+<，即(1)()0x x a --<，解得1<<a x ，当1a >时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，于是得20x x a ax -+>>，即(1)()0x x a -->，且0x >，解得01x <<或x a >，所以，当114a <<时，原不等式的解集为(,1)a ， 当1a >时，原不等式的解集为()()0,1,a ∞⋃+.21．如图有一块半径为4，圆心角为2π的扇形铁皮AOB ，P 是圆弧AB 上一点（不包括A ，B ），点M ，N 分别半径OA ，OB 上．(1)若四边形PMON 为矩形，求其面积最大值；(2)若PBN 和PMA △均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．【答案】(1)8； (2)[828,8)-.【分析】(1)连接OP ，令(0)2AOP πθθ∠=<<，用θ表示出矩形PMON 的面积，再借助三角函数计算作答.(2)利用(1)中信息，用θ表示出PBN 和PMA △的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答.(1)连接OP ，如图，令(0)2AOP πθθ∠=<<，因四边形PMON 为矩形，则cos 4cos ,sin 4sin OM OP PM OP θθθθ====， 于是得矩形PMON 的面积4cos 4sin 8sin 2PMON S OM PM θθθ=⋅=⋅=，而02θπ<<， 则当22=πθ，即4πθ=时，sin 2θ取最大值1，即有max ()8PMON S =，所以矩形PMON 面积最大值为8.(2)由(1)知，4cos ,4sin PN OM ON PM θθ====，则44sin BN θ=-，44cos AM θ=-，Rt PBN 和Rt PMA △的面积和：11114cos (44sin )4sin (44cos )2222PBN PMA S SS PN BN PM AM θθθθ=+=⋅+⋅=⨯⨯-+⨯⨯- 8(sin cos )16sin cos θθθθ=+-，令sin cos t θθ+=，即2)4t πθ=+，而3444πππθ<+<，则12t < 22222sin cos (sin cos )(sin cos )1t θθθθθθ=+-+=-， 则2221()88(1)8888()102S f t t t t t t ==--=-++=--+，显然()f t 在2]上单调递减， 当2t ，即4πθ=时，min ()(2)828f t f ==，而(1)8f =，因此，8288S ≤<，所以Rt PBN 和Rt PMA △的面积和的取值范围是：[828,8).【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.22．已知函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈．(1)若()f x 在[]0,1上的值域为[]4,6，求a 的值；(2)若关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，求a 的取值范围．【答案】(1)3a =． (2)13932⎛⎤ ⎥⎝⎦，． 【分析】（1）二次函数()29f x x ax a =-+-的对称轴2a x =，讨论02a <， >12a ，012a ≤≤，分析二次函数的单调性，最值，建立方程组，求解即可；（2）将问题等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，利用基本不等式求得最小值，并得出取等号的条件，由此可得答案.(1)解：因为函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈，对称轴2a x =，且()09f a =-，()1102f a =-，21924a f a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 当02a <时，函数()f x 在0,1上单调递增，所以 ()()0416f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即941026a a -=⎧⎨-=⎩，此时无解； 当>12a 时，函数()f x 在0,1上单调递减，所以 ()()0614f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即961024a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =； 当012a ≤≤，即02a ≤≤时，函数()f x 在2a x =取得最小值，所以42a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21944a a --+=，方程在02a ≤≤上无解， 综上得：3a =；(2)解：关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，则()()2+910+1+222+1+1g x x x x x ==-≥=，当且仅当10+1+1x x =，即1x =，()2+9+1x g x x =在(1⎤-⎦上递减，在)1,+∞递增，而213<<，()21+9151+1g ==，()29g =，()2+913222+13g ==，()2+999133,5>>3+12233g ==，当a 13932⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不等式只有一个正整数解2x =， 所以a 的取值范围为13932⎛⎤ ⎥⎝⎦，．。
重庆市2021-2022学年高一上学期期末考试(一)数学试卷
重庆2021-2022学年（上）年度考试高一数学注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.命题“，”的否定为A. ，B. ，C. ，D. ，2.已知，则A. B. C. D.3.某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为的线段，并作等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，得到的螺线如图所示．当螺线与直线有个交点不含点时，则螺线长度最小值为A.B.C.D.4.幂函数的图象不过原点，则A. B.C. 或D.5.若，则A. B. C. D.6.锐角三角形的内角、满足：，则有A. B.C. D.7.若函数的定义域为，则为偶函数的一个充要条件是A. 对任意，都有成立B. 函数的图像关于原点成中心对称C. 存在某个，使得D. 对任意给定的，都有8.已知函数，下列关于该函数结论错误的是A. 的最大值为B. 的一个周期是C. 的图象关于直线对称D. 是区间上的增函数二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列命题中正确的是A. 存在实数，使B. 函数是偶函数C. 若是第一象限角，则是第一象限或第三象限角D. 若，是第一象限角，且，则10.已知函数，且，的图像如图所示，则下列结论正确的是A.B.C.D.11.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有A.B. 的取值范围为C. 的取值范围为D. 的取值范围为12.已知函数，下列说法正确的有A. 函数在上单调递减B. 函数是最小正周期为的周期函数C. 函数的最大值与最小值之和为D. 函数在区间内，共有个零点三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.设集合，，则______．14.在中，，，则面积的最大值为______．15.已知定义域为的函数，满足，则实数的取值范围是______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知正实数，满足，则当时，的最小值是．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知角终边与单位圆交于点．求的值；若，求的值．18.已知函数．Ⅰ判断的奇偶性；Ⅱ若当时，恒成立，求实数的取值范围．19.已知函数其中的图象过点，且其相邻两条对称轴之间的距离为，求实数的值及的单调递增区间；若，求的值域．20.已知二次函数．若在的最大值为，求的值；当时，若对任意实数，总存在，，使得，求的取值范围．答案1-8 BCABB CDA 9.BC 10.CD 11.AD 12.CD13.【答案】，14.【答案】15.【答案】16.【答案】 617.【答案】解：由题可得，，，则，所以；因为，所以，所以，当时，上式；当时，上式；综上：或．18.【答案】解：Ⅰ函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数；Ⅱ因为在上单调递增，故函数在上单调递减，所以，因为当时，恒成立，故，则实数的取值范围为．19.【答案】解：由图知，，，所以最小正周期，所以，因为经过点，所以，即，因为，所以，所以的解析式为，令，，则，，故的单调增区间为，．因为，所以，因为，所以，因为，是方程的两个实数根，即，所以不妨取，，由余弦定理知，，所以，所以的周长为，由，得，所以外接圆的半径．20.【答案】解：，，解得，，由已知得，即在上单调递减，解得，的取值范围为．，对于任意恒成立等价于．，令，，则，，当，即，即时，，实数的取值范围是．即．21.【答案】解：由题意可知，，．把点代入函数的解析式可得，所以，．解，求得：，所以的单调递增区间为．因为，所以，所以，所以，所以的值域为．22.【答案】解：当时，，分因为，故，解得；分当时，对称轴，在上单调递减，所以，不合题意，舍去；综上可得，；分依题意得：，即，，分当时，对恒成立，所以，即；分当时，对恒成立，所以，即；分当时，对恒成立，所以，即；分时，对恒成立，所以，即，分综上所述，的取值范围为分。
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【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定结论，属于基础题.
16、8
【解析】由图像可得： 过点 和 ，代入解得a、b
【详解】由图像可得： 过点 和 ，则有： ，解得
∴
故答案为：８
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
18、（1）最小正周期为 ，最大值 .
（2）单调减区间为 ，单调增区间为
【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为 ，利用正弦型函数的周期公式以及正弦函数的有界性可求得结果；
（2）求得 ，利用余弦型函数的基本性质可求得函数 的增区间和减区间.
小问1详解】
解： .
所以， 的最小正周期 .
当 时， 取得最大值
【详解】因为 是 上的偶函数，在 上单调递增，
所以 在 上单调递减， .
又因为 ，
因为 ， 在 上单调递减,
所以 ，
即 .
故选：B.
12、D
【解析】利用垂径定理可求弦长.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
故弦长为： ，
故选：D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．如果函数 是定义在 上的奇函数，当 时，函数 的图象如图所示，那么不等式 的解集是
A. B.
【解析】（1）根据距离为 时，测算宿舍建造费用为20万元，可求 的值，由此，可得 的表达式；
（2） ，利用基本不等式，即可求出函数的最小值
【详解】解：（1）由题意可知，距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元，则 ，解得k=900，所以 ，则 ；
（2）因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，此时总费用最小
15．命题“ ”的否定是______.
16．已知函数 的图象如图，则 ________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．函数 的定义域 ，且满足对于任意 ,有
(1) 求 的值
(2) 判断 的奇偶性，并证明
(3)如果 ， 且 在 上是增函数，求 的取值范围
11．已知 是 上的偶函数，在 上单调递增，且 ，则下列不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
12．圆 与直线 相交所得弦长为（）
A.1B.
C.2D.2
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知 ＝－5，那么tanα＝________.
14．已知定义域为R的函数 ，满足 ，则实数a的取值范围是______
【小问2详解】
解：由（1）知 ，
又 ，
由 ，解得 ，
所以，函数 的单调增区间为 .
由 ，解得 .
所以，函数 的单调减区间为 .
19、（1）1（2）
【解析】（1）利用对数的运算性质直接计算可得；
（2）先进行切化弦，再通分后利用和差角公式和诱导公式即可求得.
【小问1详解】
原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5
A. B.
C. D.
6．若 ，则 的大小关系是（）
A. B.
C. D.
7．已知 ，则 的值为（）
A B.1
C. D.
8．不等式 的解集为（）
A. B.
C. D.
9．已知向量 ，则锐角 等于
A.30°B.45°
C.60°D.75°
10．已知函数 在 上有两个零点，则 的取值范围为（）
A. B.
C. D.
22、（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）由函数 是定义在 上的奇函数，则 ，解得 的值，再根据 ，解得 的值从而求得 的解析式；
（2）设 ，化简可得 ，然后再利用函数的单调性定义即可得到结果
【详解】解：（1）依题意得 ∴
∴ ∴
（2）证明：任取 ，∴
∵ ，∴ ， ， ，
由 知， ，∴ .
∴ .∴ 在 上单调递增.
答：宿舍应建在离工厂 km处，可使总费用最小， 最小值为65万元
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
【详解】∵两直线2x+3y-k=0和x+ky-12=0的交点在y轴上，
令x=0，可得 ，解得k=±6
故选C
【点睛】本题考查了两条直线的交点坐标，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
3、C
【解析】指数函数 可知 ， 同号且不相等，再根据二次函数常数项为零经过原点即可得出结论
【详解】根据指数函数 可知 ， 同号且不相等，则二次函数 的对称轴 在 轴左侧，又 过坐标原点，
17、（1）0；（2）偶函数；（3）见解析
【解析】(1)令 ，代入 ，即可求出结果；
(2)先求出 ，再由 ，即可判断出结果；
(3)先由 ，求出 ，将不等式 化为 ，根据函数 在 上是增函数，分 和 两种情况讨论，即可得出结果.
【详解】(1)因为对于任意 ,有 ，令 ，
则 ，所以 ；
(2)令 ，则 ，所以 ，
1、B
【解析】 图1 图2
如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx图象，要求得 的解集，只需转化为在 寻找满足如下两个关系的区间即可： ，结合图象易知当 时， ，当 时， ，当 时， ，故选B.
考点：奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.
2、C
【解析】两直线2x+3y-k=0和x+ky-12=0的交点在y轴上，令x=0，可得 ，解得k即可
13、－
【解析】由已知得 ＝－5，化简即得解.
【详解】易知cosα≠0，由 ＝－5，
得 ＝－5，
解得tanα＝－ .
故答案为：－
【点睛】本题主要考查同角的商数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14、
【解析】先判断函数 奇偶性，再判断函数的单调性，从而把条件不等式转化为简单不等式.
【详解】由函数 定义域为R，
故选：C
【点睛】本题主要考查二次函数与指数函数的图象与性质，属于基础题
4、D
【解析】设出 点的坐标，根据 列式，根据向量的坐标运算，求得 点的坐标.
【详解】设 ，依题意得 ，即 ，故 ，解得 ，所以 .
故选D.
【点睛】本小题主要考查平面向量共线的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.
5、D
【解析】利用平行线间距离公式即得.
【详解】由题可设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为 ，
则 ，
∴ ，
∴与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为 .
故选：D.
6、C
【解析】利用指数函数与对数函数的单调性，把各数与中间值0，1比较即得
【详解】利用指数函数 的单调性知： ，即 ；
利用指数函数 的单调性知： ，即 ；
利用对数函数 的单调性知： ，即 ；
且 ，
可知函数 为奇函数.
，令
则 ，令
则 即 在定义域R上单调递增，
又 ，
由此可知，当 时， 即 ，函数 即 为减函数；
当 时， 即 ，函数 即 为增函数，
故函数 在R上的最小值为 ，
可知函数 在定义域为R上为增函数.
根据以上两个性质，不等
15、
【解析】根据全称命题的否定是特称命题，写出结论.
所以
故选：C
7、A
【解析】知切求弦，利用商的关系 ，即可得解.
【详解】 ，
故选：A
8、D
【解析】化简不等式并求解即可．
【详解】将不等式 变形为 ，解此不等式得 或 .
因此，不等式 解集为
故选：D
【点睛】本题考查一元二次不等式 解法，考查学生计算能力，属于基础题．
9、B
【解析】因为向量共线，则有 ，得 ,锐角 等于45°，选B
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
18．已知函数 ， .
（1）求 的最小正周期和最大值；
（2）设 ，求函数 的单调区间.
19．计算下列各式的值：
（1） ；
（2）
20．已知函数 的定义域是A，不等式 的解集是集合B，求集合A和 .
21．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为 （0≤x≤15），若距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设 为建造宿舍与修路费用之和
10、B
【解析】先化简 ，再令 ，求出 范围，根据 在 上有两个零点，作图分析，求得 的取值范围.