第15章_维纳滤波器
维纳滤波(最小均方滤波)
（3-11）
如果噪声时各态历经的，可以用一幅噪声图像进行计算从而求得 ，图像功率谱 则可利用与原始图像统计性质相同的一类图像来确定。如果不知道有关随机场的统计性质，也常用下式近似计算转移函数：
（3-6）
式中 为维纳滤波器的点扩散函数。按照均方误差最小准则， 应该满足
（3-7）
为最小。我们把 称为已知 时 的线性最小均方估计。将(2.2)带人(2.1)式，得到
（3-8）
可以证明当
（3-9）
时，式（3-7）取最小值。
经过证明可以得到维纳滤波的转移函数为
（3-10）
其中 为噪声功率谱， 为图像功率谱。由式(2.5)可以看出，当没有噪声时，有 ，维纳滤波器就可以简化的看成是逆滤波器。在有噪声的情况下，维纳滤波也用信噪功率比作为修正函数对逆滤波器进行了修正，但它在均方误差最小的意义上提供最佳恢复。
（3-12）
K是根据信噪比的某种先验知识来确定的常数。
下面是维纳滤波的复原效果：
（a）原图（b）退化
（c）复原
图3-3维纳滤波复原实验
维纳滤波（最小均方滤波）
避免逆滤波固有的弊端的另一种方法就是寻找图像 的一种估值 ，使得 和 之间的均方误差最小。均方误差最小准则是由维纳（Wiener）在1949年首先提出并用来对一维平稳时间序列进行估值。因此这种方法被称为维纳滤波，也被称为最小均方误差滤波。
设 、 、 分别为退化图像、原始图像和噪声，并设他们都是均匀随机的，且噪声的均值为零，并与图像不相关。可以得到
维纳滤波 时域
维纳滤波时域
维纳滤波是一种常用的信号处理方法，用于降噪和恢复受噪声干扰的信号。
在时域上，维纳滤波器将输入信号和干扰噪声分别看作是两个随机过程，并利用它们的统计特性进行滤波。
维纳滤波器的时域实现步骤如下：
1. 分析输入信号的统计特性：首先，需要对输入信号进行统计分析，了解其均值和功率谱密度等统计特性。
2. 估计噪声统计特性：通过采集一段只包含噪声的信号，可以对噪声的统计特性进行估计，如噪声的均值和功率谱密度。
3. 根据统计特性估计信号和噪声的功率谱密度：利用信号和噪声的功率谱密度估计，可以求得输入信号和噪声的混合功率谱密度。
4. 设计维纳滤波器：基于估计的信号和噪声功率谱密度，可以设计维纳滤波器的传递函数。
通常情况下，维纳滤波器是一个有理函数形式，可以通过求解最小均方误差(LMS)准则来获得最优的滤波器参数。
5. 滤波处理：将输入信号输入到设计好的维纳滤波器中，通过卷积运算得到滤波后的输出信号。
维纳滤波的时域实现需要对信号和噪声的统计特性有一定的了解，且通常需要进行对信号和噪声的功率谱密度估计。
基于这
些统计特性的估计，可以设计出合适的维纳滤波器，从而实现信号的降噪和恢复。
维纳滤波滤除同频的原理
维纳滤波滤除同频的原理1.引言1.1 概述维纳滤波是一种广泛应用于信号处理领域的滤波算法，其主要用途是去除同频干扰。
在实际应用中，我们经常会遇到不同信号混杂在一起的情况，即使这些信号具有相同的频率，但它们可能具有不同的相位和幅度。
这些干扰信号会对我们所关注的信号产生干扰，影响我们对信号的分析和处理。
维纳滤波通过对输入信号进行加权求和的方式，将干扰信号的影响最小化，使我们能够更准确地恢复出所关注的信号。
其基本原理是通过对干扰信号和所关注信号进行统计特性的估计，然后通过最小均方误差准则确定滤波器的加权系数，最终实现对干扰信号的抑制。
同频干扰是指具有相同频率的干扰信号对所关注的信号产生的干扰作用。
由于干扰信号与我们所关注的信号相同频率，传统的滤波器往往难以区分它们并准确滤除。
而维纳滤波通过对信号的统计特性进行建模，可以较好地区分干扰信号和所关注信号，并实现对同频干扰的有效抑制。
维纳滤波在通信领域、图像处理领域等都有广泛的应用。
在通信系统中，维纳滤波可以用于抑制同频干扰信号，提高系统的抗干扰性能，从而提高通信质量。
在图像处理领域，维纳滤波可以用于去除同频干扰造成的图像噪声，提高图像的清晰度和质量。
总之，维纳滤波是一种重要的信号处理技术，能够有效地滤除同频干扰。
通过对信号的统计特性进行建模和优化滤波器的参数，维纳滤波能够在干扰较严重的情况下提供较好的抑制效果。
在实际应用中，我们可以根据具体的信号特点和要求选择合适的维纳滤波算法，以达到更好的滤波效果。
1.2文章结构文章结构部分应描述整篇文章的组织结构和各个部分的内容。
在这篇文章中，可以按照以下方式来编写文章结构的内容：文章结构:本篇长文将按照以下结构组织内容:1. 引言1.1 概述1.2 文章结构: 本节将介绍文章的结构和各个部分的内容安排。
1.3 目的2. 正文2.1 维纳滤波的基本原理: 本节将介绍维纳滤波的基本原理，包括维纳滤波的数学模型和算法。
2.2 同频干扰的特点: 本节将探讨同频干扰的特点，包括其在信号处理中的影响和表现形式。
维纳滤波器
w
* 1
m in
w
* 0
w
0
w
1
记 为 w w , w w
* T N 1
( w ) 若 使最 ( w )小 ， 须 0 w 即
( w ) ( w ) ( w ) ( w ) ， ,, 2 R w 2 p 0 w w w w 0 1 N 1
E dn () 2 w () n E d () n xn () N
2
T
期 望 响 应 的 平 均 功 率
2 d
( n ) 是 w 的 函 数 , 即 ( n ) ( w )
T w () n E xn () xn () w () n N N T
——维纳-霍甫夫(Wiener-Hopf)方程
它反映了相关函数与最佳单位脉冲响应之间的关系。
Wiener-Hopf方程的矩阵形式
R hR s x x x
自相关矩阵 故最佳单位脉冲响应 其中
s () n 与的 x () n互 相 关
h RR s x o p t
R 0, N1 R 1, N1 RN1,N1
xn 观察/测量数据
s n 真实信号
vn 加性噪声/干扰
ˆ s n x n h n h i x n i 线性估计问题 i
ˆ e n s n s n
2
估计误差
n E en m i n h n 最小均方误差(MMSE)估计
得到：
E [] e x 0 i 0 , 1 ,, N 1 i
或
N 1 E h x sx 0 i j j j 0
维纳滤波器的应用
3. 结论
Summary
Wiener Filter
Multi-WF
MMSE Beamformer
GSC
MWF-GSC
直接形式
间接形式
2013.6.8
X 0 (k )
WX0
ˆ (k ) d 0
Wiener-Hopf方程： RX0WX0 rX0d0
最小均方误差（MMSE）
rX0d0 E[ X0 (k )d *0 (k )], RX0 E[ X0 (k ) X H 0 (k )]
Wiener解：
X 0 (k )
WX0 RX0 1rX0d0
M 1 sin i
T M 1
阵列流型： 相位延迟
空域滤波
SD(k) S1(k)
x (k ) a (i ) si (k ) n(k )
i 1
x1(k)
w1
D
x2(k)
w2
xM-1(k)
wM1
xM(k)
wM
y w x (k )
H
波束形成器权重， e.g：滤波器参数
r ( ) wi e jkd sin (i 1) w H a ( )
i 1
M
Applications of Arrays
2. 维纳滤波应用分析
维纳滤波应用分析
最小均方误差（MMSE）波束形成器 广义旁瓣相消器（GSC） 多级维纳滤波器（MWF）
维纳滤波应用分析
发送端信号
M 1
y(k)
x( k ), n( k ) T x k x1 (k ), x2 (k ), , xM (k ) T n k n1 (k ), n2 (k ), , nM (k )
维纳滤波器
西安电子科技大学统计与自适应信号处理仿真学院：班级：学号：姓名：2013年12月FIR 维纳滤波器1维纳滤波原理概述维纳（Wiener ）是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤（或滤波）方法。
这种线性滤波问题，可以看做是一种估计问题或一种线性估计问题。
一个线性系统，如果它的单位样本响应为)(n h ，当输入一个随机信号)(n x ，且)()()(n v n s n x += （1） 其中)(n x 表示信号，)(n v )表示噪声，则输出)(n y 为∑-=mm n x m h n y )()()( （2）我们希望)(n x 通过线性系统)(n h 后得到的)(n y 尽量接近于)(n s ，因此称)(n y 为)(n s 的估计值，用^)(n s 表示，即^)()(n s n y = （3） 则维纳滤波器的输入—输出关系可用下面图1表示。
图1 维纳滤波器的输入—输出关系实际上，式（2）所示的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值)(n x ，)1(-n x ，)2(-n x …)(m n x -，…来估计信号的当前值^)(n s 。
因此，用)(n h 进行过滤问题实际上是一种统计估计问题。
一般地，从当前的和过去的观察值)(n x ，)1(-n x ，)2(-n x …估计当前的信号值^)()(n s n y =成为过滤或滤波；从过去的观察值，估计当前的或者将来的信号值)0)(()(^≥+=N N n s n y 称为外推或预测；从过去的观察值，估计过去的信号值)1)(()(^>-=N N n s n y 称为平滑或内插。
因此维纳滤波器又常常被称为最佳线性过滤与预测或线性最优估计。
这里所谓的最佳与最优是以最小均方误差为准则的。
如果我们分别以)(n s 与^)(n s 表示信号的真实值与估计值，而用)(n e 表示他们之间的误差，即)()()(^n s n s n e -= （4）显然)(n e 可能是正值，也可能是负值，并且它是一个随机变量。
维纳滤波流程
维纳滤波流程维纳滤波是一种基于图像处理的滤波算法，用于减少图像中的噪声和增强图像的细节。
Wiener filtering is a filtering algorithm based on image processing, used to reduce noise in the image and enhance the details of the image.该算法基于对信号和噪声之间的统计特性进行建模，并利用这些特性来恢复原始的信号。
The algorithm is based on modeling the statistical characteristics between the signal and the noise, and using these characteristics to restore the original signal.维纳滤波常用于医学影像处理、通信系统中的信号处理、雷达系统等领域。
Wiener filtering is commonly used in medical image processing, signal processing in communication systems, radar systems, etc.该滤波器利用信号的功率谱和噪声的功率谱来恢复原始信号，并根据这些谱进行滤波处理。
The filter uses the power spectrum of the signal and the power spectrum of the noise to restore the original signal, and performs filtering based on these spectra.维纳滤波器的主要思想是使信号和噪声之间的功率谱比尽可能保持不变。
The main idea of Wiener filtering is to keep the power spectrum ratio between the signal and the noise as unchanged as possible.理想情况下，维纳滤波器可以最大程度地减少噪声，同时尽可能地保留原始图像的细节。
维纳滤波基本概念
Wiener 滤波概述Wiener 滤波器是从统计意义上的最优滤波,它要求输入信号是宽平稳随机序列,本章主要集中在FIR 结构的Wiener 滤波器的讨论。
由信号当前值与它的各阶延迟({n x )n ，§3.1从估计理论观点导出Wiener 滤波FIR 结构(也称为横向)的Wiener 滤波器的核心结构如图4所示. 图4.横向Wiener 滤波器FIR 结构的Wiener 是一个线性Beyesian 估计问题.为了与第2讲中估计理论一致，假设信号，滤波器权值均为实数由输入)(n x 和它的1至（M-1）阶延迟，估计期望信号)(n d ，确定权系数}1,0,{-=M i w i 使估计误差均方值最小，均方误差定义为：xx R 这里线性0w或a1) 波可能会达到更好结果。
2) 在联合高斯条件下，Wiener 滤波也是总体最优的（①从Bayesian 估计意义上讲是这样，②要满足平稳条件） 3) 从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非最优的w 时，其误差性能表示：它是w 的二次曲面，只有一个最小点，0w w =时，m in )(J w J =§3.2维纳滤波：从正交原理和线性滤波观点分析Wiener 滤波器 Wiener 滤波器是一个最优线性滤波器，滤波器核是IIR 或FIR 的。
导出最优滤波器的正交原理,并从正交原理出发重新导出一般IIR 。
=∑∞=--0*)(][k kk n x w n d均方误差是：{}][*][n e n e E J ={}2|][|n e E = 设权系数:k k k jb a w +=定义递度算子Tk ],,[10 ∇∇∇=∇.其中k k k k b ja w ∂∂+∂∂=∂∂=∇符号J ∇是递度算子作用于J ，其中第k 项为：k k k b Jja J J ∂∂+∂∂=∇要求由J 得∇[nje J k由[e a k∂k 代入J k ∇表达式整理得：]][*][[2n e k n x E J k --=∇当0=∇Jk ,1,0=k 时，J 达到最小。
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令： hopt (n),
记为
n ,
, 1,0,1,
, 非因果
hoptun (n)
可得：
m
h
optun
(m)rx (k m) rdx (k ), k 0, 1,
Pdx ( z ) Px ( z )
,
Hoptun ( z )
Pdx ( z ) Ps ( z ) Pw ( z)
H ( z) y (n)
e(n)
噪声中信号的估计
x(n) s(n) w(n)
s( n )
w( n ) y (n) e(n) y(n) d (n) d (n) d (n ) 的选择：
输入信号模型
真实信号 输入信号中的噪声 输出信号 误差信号 期望信号
尽可能的接近于真实信号 s(n)
Q( z )
1
dv 2 v k 0
r
(k ) z
k
Q( z )
1
dv 2 v k 0
r
(k ) z
k
Pdv ( z )
记
k
r
只用了单 边，但实 际上是双 边。如何 解决？
dv
(k ) z
k
Pdv ( z ) rdv (k ) z
k 0
k
Q( z )
P ( z ) dv
2 v
1
Pdv ( z) ?
v(n) g (k ) x(n k ), g (k ) 1 G( z )
k 0
1 g (n ) z n G ( z ) n 0
rdv (m) E d (n)v(n m) g (k )E d (n) x(n m k )
15.3 FIR维纳滤波器
令： 则：
hopt (m), m 0,1,
M 1 m 0
, M 1
h
opt
(m)rx (k m) rdx (k ) k 0, 1, , M 1
1 x dx
Rx hopt rdx hopt R r
min rd (0) r R r
, , 1,0,1, , 1,0,1,
, ,
双边 序列
对上式无法同时进行单边和双边Z 变换。如何求解出 hopt (k ) ？
如果维纳滤波器的输入信号 x ( n ) 是一白 噪声过程，即
2 x , rx (k m) 0,
mk 其他
h 则
m 0
opt
第15章 维纳滤波器
15.1 前言 15.2 平稳信号的最小均方滤波
15.3 FIR 维纳滤波器
15.4 IIR 维纳滤波器 15.5 非因果维纳滤波器
15.1 前言
去噪是信号处理中永恒的话题！信号处 理的一个重要任务就是去处所采集到的信号 中的噪声，提取出信号或信号的特征。 去噪的基本方法是滤波。 经典滤波器： 信号和噪声的频谱在频率轴上可以分开， 利用低通、高通、带通、带阻或多通带滤波 器可以实现信号和噪声的分离，去噪。理论 基础：LSI系统的输入输出关系。
平滑
0
一步 预测 预测 滤波
t
t
t
t
目标 函数：
E e 2 (n ) E [d (n ) y (n )]2
均方 误差
y(n) x(n) h(n)
E d 2 (n ) 2 E d (n ) y (n ) E y 2 (n )
几种 情况
（1）如果 d (n) s(n) ， 滤波问题； （2）如果 d (n) s(n )，纯预测问题； （3）如果 d (n) x(n )，预测问题。 （4）如果 d (n) s(n ) ，平滑问题；
0 ：表示一段时间
d (n) s(n 1) d (n) x(n 1)
解：
x(n) s(n) w(n) s(n) 0.6s(n 1) u(n)
0.64
2 u 2 w 1
Px ( z ) Ps ( z ) Pw ( z ) Ps ( z ) 1 Pu ( z ) H AR ( z ) H AR ( z 1 ) 1
解：
j
H AR ( z) 1 (1 0.6 z )
2 u j 2
1
0.64 Ps (e ) H AR ( e ) 1.36 1.2 cos
平稳信号 通过线性 系统关系
rs (m) 0.6
m
令所希望的输出 ：d (n) s(n)
rd x (m) E d (n ) x (n m) E s(n )[ s(n m) w(n m ) rs (m )
optun
min
un
rd (0)
k
h
(k )rdx (k )
例：对上例的 x(n) ，求对 s(n) 最优估计的非 因果维纳滤波器。
解： P ( z ) P ( z ) 0.64 dx s
1 1 1 0.6 z 1 1 0.6 z
1.8(1 z 1 3)(1 z 3) Px ( z ) 1 (1 0.6 z )(1 0.6 z )
对应右 边序列
对应左 边序列
因此：
1 Pd x ( z ) 1 0.6 z 1 0.8 H opt ( z ) 2 1 v G ( z ) G ( z ) 1.8(1 1 z 1 ) 1 0.6 z 1 3
最后： Hopt ( z )
得：
m 0
h
opt
( m) rx ( k m ) rdx (k ),
k 0, 1,
,
hopt ：维纳滤
min rd (0) hopt (k )rdx (k )
k 0
波器，或 “维纳解”
Wiener-Hopf方程
FIR维纳滤波器； 由上式 IIR维纳滤波器； 可得到： 非因果维纳滤波器。
白化滤波器输 入、出关系
Px ( z) G( z)G( z )
2 v 1
可求出： 1.8
2 v
及
1 1 1 z 3 G( z ) 1 1 0.6 z
又因为：
rdx (m) rs (m)
1 1 Pd x ( z ) Ps ( z ) 0.64 1 1 0.6 z 1 0.6 z
维纳滤波 后的信号
滤波前信 号的谱图
f
维纳滤波 后信号的 谱图
t
15.4 IIR维纳滤波器
m 0
h
opt
(m)rx (k m) rdx (k ), k 0, 1, ,
单边序列
hopt (k ) : k 0,1, rx (k ) : k , rdx (k ) : k ,
语音是宽带信号，频谱在20Hz～8KHz之间， 噪声也是宽带信号，它们的频谱在频率轴上往 往是重叠的，经典滤波器很难将二者分开，无 法达到去噪的目的。语音信号又是非平稳的， 其频谱是随时间变化的，经典滤波器对非平稳 信号无法取得满意结果。现使用维纳滤波器。
含噪语音，噪声在基 线上明显。初始的 0.2s只包含噪声。按 20ms的长度对该语 音信号分段，对每一 小段实施维纳滤波。
2 r (0) E d 令： d (n)
rdx (k ) E d (n) x(n k
k 0 m 0
于是： rd (0) 2 h(k )rdx (k ) h(k )h(m)rx (k m)
k 0
令：
2rdx (k ) 2 h(m)rx (k m) 0 h(k ) m 0 k 0, 1, ,
k 0
g (k )rdx (m k )
k 0
m Pdv ( z ) g (k )rd x (m k ) z m k 0
g (k )z
k 0
k
m
r
dx
(m k )z
( mk )
Pd x ( z ) G ( z ) 0.64 G ( z 1 ) 1 1 (1 0.6 z )(1 z ) 3 0.8 0.266 z 0.8 1 1 1 1 0.6 z 1 0.6 z 1 z 3
x(n) s(n) w(n)
1 G( z)
v(n )
Q( z) y (n)
按照前面维纳滤波器推导的过程，有
m 0
q( m ) r ( k m ) r
v
dv
(k ), k 0, 1,
mk 其他
2 v
,
2 v , rv (k m) 0,
rdv (k ) , k 0, , q(k )＝ k 0 0,
49 4 1 n hopt ( n ) ( ) 及 1 1 9 3 1 z 3
k 0
min rd (0) hopt (k )rdx (k )
4 0.6 1 0.444 9 k 0 3
k
15.5 非因果维纳滤波器
一个LSI系统应该是稳定的、因果的， 因果性是系统实时实现的要求，即系统当 前时刻的输出只能取决于当前时刻和过去 时刻的输入，而和将来时刻的输入无关。 非因果系统又称为非物理可实现系统。但 是，在非实时实现的情况下，即当输入数 据已采集完毕（又称“block data”），非因 果系统仍然是可利用的。