吉林省东北师范大学附属中学高考数学一轮复习 三角函数的图象及性质学案 理
吉林省东北师范大学附属中学高考数学第一轮复习 函数的图象(1)学案 理
导数与定积分应用（尖刀班）（1）一、 知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页）1、 导数及有关概念：函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义： 导数0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 即0()k f x ='， 要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x ' 4.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.5.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ()2求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=xy x ∆∆→∆0lim 6.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=7.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭8.复合函数的导数：（1）.（理科）设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'(2).复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数(3).复合函数求导的基本步骤：分解——求导——相乘——回代9.函数的单调性与导数的关系：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是减函数①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）.②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.10.极值：极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值0()f x =，0x 是极大值点.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值0()f x =，0x 是极小值点. 极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.求可导函数()f x 的极值的步骤:()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '()2求方程()0f x '=的根()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()f x 在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .11.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：()1在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值12．定积分(理科)（1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f 1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰ba dx x f )(，即⎰b a dx x f )(＝∑=∞→n i n f 1lim (ξi )△x 。
高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象与性质教学案 理
4.3 三角函数的图象与性质考纲要求1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．周期函数及最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f (x )为周期函数，T 为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期．x ∈Rx ∈Rx ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z ______ ______ ______在______上递增，1．函数y ＝cos ⎝⎭⎪x ＋3，x ∈R ()．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数_D ．既是奇函数又是偶函数2．下列函数中，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数的是( )．A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象的一条对称轴方程是( )．A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )．A ．0B ．1C ．－1D ．π45．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )．A ．π3B ．2π3C ．π D．4π3一、三角函数的定义域与值域【例1】(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域．(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．方法提炼1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x ，cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．请做演练巩固提升2二、三角函数的单调性【例2－1】已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )．A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数【例2－2】设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值和最小值．方法提炼1．熟记y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间即可，注意A 的正负以及要先把ω化为正数．求y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 和y ＝A tan(ωx ＋φ)＋k 的单调区间类似．请做演练巩固提升3三、三角函数的周期性和奇偶性及对称性【例3－1】设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；③它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称图形；④在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________(用序号表示即可)．【例3－2】(2012湖北高考)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域．方法提炼1．求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；(3)利用图象．2．三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．请做演练巩固提升1不注意A ，ω的符号，易把单调性弄反或把区间左右的值弄反【典例】设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5③f (x )既不是奇函数也不是偶函数④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是__________(写出正确结论的编号)．解析：由f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立知，直线x ＝π6是f (x )的对称轴，又f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 的周期为π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3π4可看作x ＝π6的值加了34个周期．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝0，故①正确．∵7π10－2π3＝π30，π5－π6＝π30，∴7π10和π5与对称轴的距离相等．∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，故②不正确． ∵x ＝π6是对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1.∴π3＋φ＝±π2＋2k π，k ∈Z .∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π，k ∈Z .∵tan φ＝b a ＝13，∴a ＝3b .∴f (x )＝2|b |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6或f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6.∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．由以上知，f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ，f (x )＝2|b |sin⎝⎛⎭⎪⎫2x －56π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z ，由于f (x )的解析式不确定，∴单调递增区间也不确定，故④不正确．∵f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，∴－a 2＋b 2≤f (x )≤a 2＋b 2.又∵ab ≠0，∴a ≠0，b ≠0.∴－a 2＋b 2＜b ＜a 2＋b 2.∴过点(a ，b )的直线必与函数f (x )的图象相交，故⑤不正确． 答案：①③答题指导：1．在解答本题时易犯以下两点错误：(1)在求④中f (x )的单调递增区间时，运算化简不准确，而使判断错误；(2)对于⑤的判断不是根据推导，而是凭借印象想当然做出判断，而使解答错误．2．解决三角函数性质的问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：(1)化简时公式应用要准确；(2)有的题目涉及到角的范围时要考虑全面； (3)和其他内容结合时要注意三角函数的值域．1．(2012大纲全国高考)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )．A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π32．函数y ＝ln(sin x －cos x )的定义域为__________．3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调递增区间为__________．4．已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．5．已知函数f (x )＝sin x (cos x －3sin x )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a ⎝⎛⎭⎪⎫0＜a ＜π2个单位，向下平移b 个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，求a ，b 的值；(3)求函数f (x )的单调增区间．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．f (x ＋T )＝f (x )2．{y |－1≤y ≤1} {y |－1≤y ≤1} R ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π π2＋2k π－π2＋2k π 2k π π＋2k π 奇 偶 奇 (k π，0)，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z x ＝k π＋π2，k ∈Z x ＝k π，k ∈Z 2π 2π π基础自测1．C 解析：∵f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R 既不是奇函数，也不是偶函数．2．D 解析：y ＝sin x 和y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数，y＝sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上不单调，y ＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数．3．B 解析：令2x ＋π2＝k π(k ∈Z )．即x ＝k π2－π4(k ∈Z )，检验知，x ＝－π4，故选B.4．A 解析：由题意，周期T ＝π4，∴ω＝πT ＝4.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫4×π4＝tan π＝0.故选A.5．A 解析：画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，故选A.考点探究突破 【例1】解：(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，即函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3≤x <－π2，或0<x <π2.(2)设sin x ＝t ，则t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，22. ∴y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，22. 故当t ＝12，即x ＝π6时，y max ＝54，当t ＝－22，即x ＝－π4时，y min ＝1－22. 【例2－1】A 解析：∵函数f (x )的最小正周期为6π， ∴2πω＝6π，得ω＝13，在x ＝π2时，函数f (x )取得最大值，∴13×π2＋φ＝2k π＋π2. 又∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π3.由2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k π－52π≤x ≤6k π＋12π(k ∈Z )．∴f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k π－52π，6k π＋π2(k ∈Z )．取k ＝0，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52π，π2是f (x )的一个增区间，∴函数f (x )在区间[－2π，0]上是增函数．【例2－2】解：f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin 2x－cos 2x .由f ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3.因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x )为增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4，f (x )为减函数， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2. 又因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π24＝2， 故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝ 2. 【例3－1】①②⇒③④(答案不唯一，也可填①③⇒②④) 解析：若把①②作条件可知ω＝2ππ＝2，ωx ＋φ＝2×π12＋φ＝k π＋π2，取φ＝π3.因此f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 可验证③④都是正确的，因此①②⇒③④，同理可验证①③⇒②④.【例3－2】解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．演练巩固提升1．C 解析：∵f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，∴f (0)＝±1.∴sin φ3＝±1.∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π2.故选C.2．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π4＋2k π<x <54π＋2k π，k ∈Z解析：由已知得sin x －cos x ＞0，即sin x ＞cos x .在[0,2π]内满足sin x ＞cos x 的x 的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π.又正弦、余弦函数的周期为2π，∴所求定义域为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ π4＋2k π<x <⎭⎬⎫54π＋2k π，k ∈Z . 3．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z ) 解析：由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )．4．解：(1)f (x )＝sin x 2＋3cos x2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，又g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2＝2cos x 2.∴g (－x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝2cos x2＝g (x )，∴函数g (x )是偶函数．5．解：f (x )＝sin x (cos x －3sin x )＝sin x cos x －3sin 2x＝12sin 2x －3×1－cos 2x 2＝12sin 2x ＋32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32.(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a 个单位得y ＝sin 2(x ＋a )的图象，再向下平移b 个单位，得函数y ＝sin(2x ＋2a )－b 的图象，依题意得a ＝π6，b ＝32.(3)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得，k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．。
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系(1)学案 理 新人教A版必修4
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 4-1.2.2同角三角函数的基本关系（1）学案 理 新人教A 版必修4一、复习：倒数关系：sin αcsc α=cos αsec α=tan αcot α=二、自主学习：利用学过的知识推导：1。
平方关系：sin 2x+cos 2x= 2。
商数关系；=xxcos sin 三、典型例题：1。
求值问题：（1）自学22P 例1、例2、例3完成25P 练习A 。
1（2） 思考：若把例1中“α是第二象限的角”去掉，该题如何求解？ 练习：25P 练习B 。
1 （3）“1”的妙用：例：已知3tan =α，求下列各式的值。
（1）ααααcos 3sin 2cos sin 3++；（2）sin 2α-2sin αcos α+1.练习：25P 练习B 。
22。
化简：自学23P 例4、例5注意：化简时尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化为同角、同名，尽量化成最简形式等。
练习：25P 练习A 。
2、4 B 。
33.证明：自学23P 例6。
完成25P 练习A 。
3，练习B 4、5 四、小结： 五、作业； 1.已知cos α=-53,α∈（0，π），则tan α等于（ ） A.34B.-34 C.±34 D.±43 2.若β∈（0，2π），且ββββcos sin sin 1cos 122-=-+-，则β的取值范围是（ ） A.[0，2π） B.[2π，π] C.[π，23π） D.[23π，2π） 3。
函数y=xx xx xx 222tan tan cos 1sin sin 1cos +-+-的值域是（ ）A.｛3，－1｝B.｛1，3｝C.｛－3，－1，1｝D.｛－1，1，3｝4。
5.已知sin θ=53+-m m ，cos θ=524+-m m，则m （ ）A.可取[31，9]中的一切值 B.等于0 C.等于8D.等于0或85. tan θ=2，那么，1+sin θcos θ=（ ） A.35 B.45C.57D.37 6. sin θ+cos θ=－1 则(sin θ)2020+(cos θ)2020＝.7.已知sin α=54且tan α＜0，则cos α=. 8.化简sin 2α+sin 2β－sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β=.9。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学一轮复习 三角函
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习三角函数的图象及性质（2）导学案文一、方法提升1、求三角函数的定义域常用的方法：通过解不等式最后化成一个三角函数值的范围，再利用三角函数的图象或三角函数线求解，若需要解三角不等式组，要注意运用数轴取交集；2、求三角函数的值域或最值常用方法：（1）将三角函数关系式化成一角一函数的形式，利用三角函数的有界性或三角函数的单调性来解；（2）将三角函数关系式化成一个角的三角函数式的二次函数式，利用配方或二次函数的图象求解，要注意变量的范围；（3）数形结合法、换元法。
3、三角函数的奇偶怀的判定与代数函数的奇偶性的判断方法步骤一致：（1）先看定义域是否关于原点对称，（2）在满足（1）后，再看的关系。
4、求函数的值域和最值、求函数的单调区间、判断函数的奇偶性、求函数的最小正周期都要通过恒等变形将函数转化为基本三角函数类型，因此，要注意化归思想的应用，但要注意变形前后的等价性，值得强调的是，要牢记各基本三角函数的性质，这是解决问题的关键。
二、反思感悟五、课时作业1、函数的图象的对称轴方程是（）A、x=B、x=C、x=D、x=2、若点P（sin,tan）在第一象限内，则在[0,2内的取值范围是（）A、 B、C 、D 、3、已知函数下面的结论错误的是（ ）A 、函数的最小正周期为2B 、函数在区间 上是增函数C 、函数的图象关于直线x=0对称。
D 、函数是奇函数 4、已知函数（>0）,在[0,2上的图象如下，那么=2π11oyxA 、1B 、2C 、D 、5、若动直线x=a 与函数和 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值为（ ） A 、1 B 、C 、D 、26、（2009湖北卷文）函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于A.)2,6(-π B.)2,6(π C.)2,6(--π D.)2,6(π-7．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z8．(2009年高考四川卷)已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数9．若函数y ＝2cos(2x ＋φ)是偶函数，且在(0，π4)上是增函数，则实数φ可能是( )A ．－π2 B ．0C.π2D ．π10.函数y ＝|sin x |－2sin x 的值域是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[0,3]D ．[－3,0]11.函数y ＝12sin(π4－23x )的单调递增区间为________．12．(原创题)若f (x )是以5为周期的函数，f (3)＝4，且cos α＝12，则f (4cos2α)＝________.13．已知函数f (x )＝sin2x －2cos 2x (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及相应的x 值．补 充 练 习1.f(x)=sinx-x 的零点个数为:A.1 B.2 C.3 D.42．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π43．(2009年高考重庆卷)下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°4．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D.π45．已知函数y ＝2sin 2(x ＋π4)－cos2x ，则它的周期T 和图象的一条对称轴方程是( )A ．T ＝2π，x ＝π8B ．T ＝2π，x ＝3π8C ．T ＝π，x ＝π8D ．T ＝π，x ＝3π86．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数．令a ＝f (sin 2π7)，b ＝f (cos 5π7)，c ＝f (tan 5π7)，则( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c7．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为________．8．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．9．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos xcos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)10.已知函数f (x )＝log 2[2sin(2x －π3)]．(1)求函数的定义域；(2)求满足f (x )＝0的x 的取值范围．11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在区间[0，2π3]上的取值范围．。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学一轮复习 函数与
"吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 函数与定积分应用（1）学案 理 "知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页）1、 导数及有关概念：000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义：3.导函数(导数):xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00 导数与导函数4.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.5.求函数()y f x =的导数的一般步骤：6.几种常见函数的导数：7.求导法则：8.复合函数的导数：9.函数的单调性与导数的关系：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤: ()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是减函数①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）.②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.10.极值：（1）判别0()f x 是极大、极小值的方法:（2）求可导函数()f x 的极值的步骤:()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.利用导数求函数的最值步骤:12．定积分(理科)（1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑n i f1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰ba dx x f )(，即⎰ba dx x f )(＝∑=∞→ni n f 1lim (ξi )△x 。
高三数学一轮复习第3篇三角函数的图象和性质(一)学案理
第二十九 课时 三角函数的图象和性质(一)课前预习案1.了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法；2.会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图；3.理解,,A ωϕ的物理意义；4.掌握由函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的变换原理．分别等于 、 、 、 、 . 3.三角函数图象的变化：（1）平移变换：sin y x =sin()y x ϕ=+；sin y x =sin y b x =+； 特别提示：sin y x ω=sin()y x ωϕ=+.（2）伸缩变换：sin y x=sin y x ω=；sin y x=sin y A x =.（3）三角变换：sin y x = sin()y A x ωϕ=+1．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( )． A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 2．(2012·安徽)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )． A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位3．(2013·武汉质检)将函数sin(6)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是( )． A.(,0)2πB. (,0)4πC. (,0)9πD. (,0)16π4.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，它的解析式为( )．A ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4C ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3D ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π35．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________．课堂探究案考点1：三角函数的最值问题 【典例1】已知函数()sin(2)4f x x π=-.①求f (x )的最小正周期； ②求f (x )在区间π[,]44π-上的最大值和最小值.【变式1】函数2()cos sin f x x x =+在区间π[,]44π-上的最小值是 . 2、函数()sin cos f x x x =最小值是 .考点2： 三角函数的单调性与奇偶性 【典例2】设函数()sin(2),2f x x x R π=-∈，则()f x 是（ ）A.最小周期为的奇函数B. 最小周期为的偶函数C. 最小周期为2π的奇函数 D. 最小周期为2π的偶函数 【变式2】函数2sin()4y x π=-的单调区间为 .考点2 三角函数的图象识别【典例3】已知函数2()sin ()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）． （1）求；（2）计算(1)(2)(2014)f f f +++．【变式3】函数sin(2)3y x π=-在区间[,]3ππ-上的简图是( )考点4 三角函数的图象变换【典例4】函数sin 2y x =的图象向右平移（0ϕ>）个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则的最小值为（ ） A ．512π B ．116π C ．1112π D ． 以上都不对【变式4】为得到函数cos()3y x π=+的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）.A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位1..y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是 ( ) A.(－π，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 2.函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-xC.D3. 将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移6π个单位后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A ．sin()6y x π=+B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-课后拓展案组全员必做题1. 若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<），的最小正周期是，且(0)f =（ ）A ．126ωϕπ==， B.123ωϕπ==， C ．26ωϕπ==， D ．23ωϕπ==， 2. ]4,3[sin 2)(ππωω-=在区间是正实数，函数x x f 上递增，那么 ( )A ．230≤<ω B ．20≤<ωC ．7240≤<ω D ．2≥ω 3. 如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，则a = ．4．已知()sin tan 5,(0)(9)27f x a x b x ab f =++≠=且，则(9)f -= ．5. 已知函数)42sin()(π-=x x f ，在下列四个命题中：①)(x f 的最小正周期是π4；②)(x f 的图象可由()sin 2g x x =的图象向右平移4π个单位得到； ③若21x x ≠，且1)()(21-==x f x f ，则)0(21≠∈=-k Z k k x x 且π；④直线8π-=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴，其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）．组提高选做题设函数()cos cos ),02f x x x x ωωωω=+<<其中. （1）若)(x f 的周期为，求当)(36x f x 时ππ≤≤-的值域；（2）若函数)(x f 图象的一条对称轴为,3π=x 求的值.参考答案1．【答案】B【解析】y ＝2sin x cos x ＋2＝sin 2x ＋2.∴T ＝2π2＝π.2．【答案】C【解析】将y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位后，可得到y ＝cos(2x ＋1)的图象．3．【答案】A【解析】函数图像平移之后所得函数解析式为sin 2y x =，故其对称中心为A. 4．【答案】D【解析】由T 2＝－π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12＝π2，得T ＝π，∴ω＝2πT＝2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，23代入y ＝23sin(2x ＋φ)，得：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝1，解得φ＝2π3.5. 【答案】2【解析】将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，因为所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0，则sin ω2π＝0，所以ω2π＝k π(k ∈Z )，即ω＝2k (k ∈Z )，又ω>0，所以ωmin ＝2.【典例1】（1）；（2；最小值为1-.【变式1】（1（2）12-.【典例2】B【变式2】减区间为3(2,2)()44k k k Z ππππ-+∈；增区间为37(2,2)()44k k k Z ππππ++∈.【典例3】（1）4π；（2）. 【变式3】A 【典例4】A 【变式4】C1.B2.D3.C组全员必做题1.D2.A3.-14.-175. ○3④组提高选做题212cos 212sin 23)(++=x x x f ωω.21)62sin(++=πωx（1）因为1,,==ωπ所以T ，]65,6[62,36πππππ-∈+≤≤-x x 时当，所以，)(x f 的值域为]23,0[.（2）因为)(x f 的一条对称轴为),(26)3(2,,3z k k x ∈+=+=ππππωπ所以2123+=k ω()k z ∈,21,0,131,,20==<<-<<ωωk k 所以所以又.。
高考数学一轮复习 专题18 三角函数的图象和性质教学案
专题18 三角函数的图象和性质1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )高频考点一三角函数的定义域及简单的三角不等式 【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z）(2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________.(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8 【方法规律】(1)三角函数定义域的求法①以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域. ②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数线求解. ②利用三角函数的图象求解.【变式探究】 (1)函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z(2)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. 解析 (1)由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z . (2)法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π(k ∈Z)，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z).所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z高频考点二 三角函数的值域(最值)【例2】 (1)函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π的值域是( )A.[－3，1]B.[－2，1]C.(－3，1]D.(－2，1](2)(2016·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4B.5C.6D.7(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.(3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)D (2)B (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【方法规律】求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【变式探究】 (1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2－ 3B.0C.－1D.－1－ 3(2)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.选A. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.∵x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.答案 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 高频考点三 三角函数的性质例3、(1)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3解析 (1)y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ， 则函数为最小正周期为π的奇函数.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z )，∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.故选A.答案 (1)A (2)A【方法规律】(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A ，ω≠0)，则 ①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.【变式探究】(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. (2)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________.解析 (1)由已知可得函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).(2)法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω(k ∈Z ).因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34.法三 因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，故原点到－π2，2π3的距离不超过T 4，即⎩⎪⎨⎪⎧π2≤T4，2π3≤T 4，得T ≥8π3，即2πω≥8π3，又ω>0，得0<ω≤34. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34【方法规律】(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【举一反三】(1)若函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)(φ<0)的图象关于直线x ＝π24对称，则φ的最大值为( )A.－5π3B.－2π3C.－π6D.－5π6(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5解析 (1)由题可得，4×π24＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋k π，k ∈Z ，∵φ<0，∴φmax＝－2π3.(2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N ＋)，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B. 答案 (1)B (2)B【方法规律】(1)对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝k π(k ∈Z)，求x 即可.(2)对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，求x 即可.高频考点四、由对称性求参数例4、若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 B解析 由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.【感悟提升】(1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．(2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.【变式探究】(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( ) A ．－ 3B ．－33C. 2D.22 答案 (1)2或－2 (2)B 解析 (1)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2. (2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，解得a ＝－33.1.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x=的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 2.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.3.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移（0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，的最小值为6πB.2t = ，的最小值为6πC.12t =，的最小值为3πD.t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A.4.【2016高考新课标3理数】函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π5.【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B 【解析】21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．6.【2016高考山东理数】函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（ ）（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移12π个单位.故选B. 【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Zπππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.（2014·辽宁卷）将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 【答案】B【解析】由题可知，将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －23π的图像，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z，可知当k ＝0时，函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增．（2014·全国卷）设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b【答案】C 【解析】因为b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b ＞a .因为cos 35°<1，所以1cos 35°>1，所以sin 35°cos 35°>sin 35°.又c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°，所以c >b ，所以c >b >a .（2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为( )图11A BC D 【答案】C（2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．【答案】1【解析】函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin x ，故其最大值为1.（2014·重庆卷）已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．【解析】(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin(2×α2－π6)＝34， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2 ＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α－π6）＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12 ＝3＋158. （2013·北京卷）“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】∵曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点， ∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k∈Z，故选A.（2013·江苏卷）函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 【答案】π 【解析】周期为T ＝2π2＝π.（2013·山东卷）函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )1－2【答案】D 【解析】∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y＝xcos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x ＝π2时，y ＝1>0，排除选项C ；x ＝π，y ＝－π<0，排除选项A ；故选D.1.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. 答案 A2.函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.答案 B3.函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1 D.2，－2 解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 所以y max ＝2，y min ＝－2. 答案 D4.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )， 故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0. 答案 A5.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32C.2D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B6.若函数f (x )＝4sin 5ax －43cos 5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________.解析 因为f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3.又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35.答案 ±357.若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 解析 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.答案5π68.函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________.9.若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案 3210.已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值.解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ).(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. (ⅰ)当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。
高考数学理科一轮复习三角函数的图象与性质学案(含答案)
高考数学理科一轮复习三角函数的图象与性质学案(含答案)本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案19 三角函数的图象与性质导学目标：1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．自主梳理．三角函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域值域周期性奇偶性单调性在______________________上增，在__________________________________上减在__________________________上增，在______________________________上减在定义域的每一个区间________________________________内是增函数2.正弦函数y＝sinx当x＝____________________________________时，取最大值1；当x＝____________________________________时，取最小值－1.3．余弦函数y＝cosx当x＝__________________________时，取最大值1；当x＝__________________________时，取最小值－1.4．y＝sinx、y＝cosx、y＝tanx的对称中心分别为____________、___________、______________.5．y＝sinx、y＝cosx的对称轴分别为______________和____________，y＝tanx没有对称轴．自我检测．函数y＝Asin在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω为B．2c．3D．42．函数y＝sin2x＋π3图象的对称轴方程可能是A．x＝－π6B．x＝－π12c．x＝π6D．x＝π123．函数f＝3sinx2－π4，x∈R的最小正周期为A.π2B．πc．2πD．4π4．函数f＝2＋cos2x的最小正周期为A．4πB．3πc．2π5．如果函数y＝3cos的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为A.π6B.π4c.π3D.π2探究点一求三角函数的定义域例1 求函数y＝2＋log12x＋tanx的定义域．变式迁移1函数y＝1－2cosx＋lg的定义域为________________________．探究点二三角函数的单调性例2 求函数y＝2sinπ4－x的单调区间．变式迁移2 求函数y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间；求函数y＝3tanπ6－x4的周期及单调区间．探究点三三角函数的值域与最值例3 已知函数f＝2asin＋b的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．变式迁移3 设函数f＝acosx＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g＝bsin的周期．转化与化归思想的应用例求下列函数的值域：y＝－2sin2x＋2cosx＋2；y＝3cosx－3sinx，x∈[0，π2]；y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.【答题模板】解y＝－2sin2x＋2cosx＋2＝2cos2x＋2cosx＝22－12，cosx∈[－1,1]．当cosx＝1时，ymax＝4，当cosx＝－12时，ymin＝－12，故函数值域为[－12，4]．[4分]y＝3cosx－3sinx＝23cos∵x∈[0，π2]，∴π6≤x＋π6≤2π3，∵y＝cosx在[π6，2π3]上单调递减，∴－12≤cos≤32∴－3≤y≤3，故函数值域为[－3，3]．[8分]令t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝t2－12，且|t|≤2.∴y＝t＋t2－12＝122－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1；当t＝2时，ymax＝12＋2.∴函数值域为[－1，12＋2]．[12分]【突破思维障碍】．对于形如f＝Asin，x∈[a，b]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y＝asinωx＋bcosωx＋c的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y＝a2＋b2sin＋c的形式，从而求得函数的最值．2．关于y＝acos2x＋bcosx＋c型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．提醒：不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式．2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．3．函数y＝Asin的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，利用y＝sinx的单调区间来求．一、选择题．已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，12]，则b－a的值不可能是A.π3B.2π3c．πD.4π32．已知函数y＝tanωx与直线y＝a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数f＝3sinωx－cosωx的单调增区间是A.2kπ－π6，2kπ＋π6B.2kπ－π3，2kπ＋2π3c.2kπ－2π3，2kπ＋π3D.2kπ－π6，2kπ＋5π63．函数f＝tanωx的图象的相邻的两支截直线y＝π4所得线段长为π4，则fπ4的值是A．0B．1c．－1D.π44．函数y＝－xcosx的部分图象是图中5．若函数y＝sinx＋f在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f可以是A．1B．cosxc．sinxD．－cosx题号2345答案二、填空题6．设点P是函数f＝sinωx的图象c的一个对称中心，若点P到图象c的对称轴的距离的最小值是π8，则f的最小正周期是________．7．函数f＝2sinx4对于任意的x∈R，都有f≤f≤f，则|x1－x2|的最小值为________．8．定义在区间0，π2上的函数y＝6cosx的图象与y ＝5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．三、解答题9．已知函数f＝2cos4x－3cos2x＋1cos2x，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．0．已知函数f＝2sin＋a与g＝2cos＋1的图象的对称轴完全相同．求函数f的最小正周期；求函数f的单调递减区间；当x∈[0，π2]时，f的最小值为－2，求a的值．1．已知向量a＝，b＝，定义f＝a•b－3.求函数y＝f，x∈R的单调递减区间；若函数y＝f为偶函数，求θ的值．答案自主梳理．R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z} [－1,1] [－1,1] R 2π2ππ奇函数偶函数奇函数[2kπ－π2，2kπ＋π2] [2kπ＋π2，2kπ＋32π] [2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π]2．2kπ＋π2 2kπ－π2 3.2kπ2kπ＋π 4. k π＋π2，0 kπ2，0 5.x＝kπ＋π2 x＝kπ自我检测．c 2.D 3.D 4.D 5.A课堂活动区例1 解题导引求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．解要使函数有意义，则2＋log12x≥0，x>0，tanx≥0，x≠kπ＋π2k∈Z，得0<x≤4，kπ≤x<kπ＋π2k∈Z.所以函数的定义域为x|0<x<π2或π≤x≤4.变式迁移1 π3＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈Z解析由题意得－2cosx≥02sinx－1>0⇒cosx≤12sinx>12，解得π3＋2kπ≤x≤5π3＋2kπ，k∈Zπ6＋2kπ<x<5π6＋2kπ，k∈Z，即x∈π3＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈Z.例2 解题导引求形如y＝Asin或y＝Acos的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ”视为一个“整体”；②A>0时，所列不等式的方向与y＝sinx，y＝cosx的单调区间对应的不等式方向相同．解y＝2sinπ4－x可看作是由y＝2sinu与u＝π4－x 复合而成的．又∵u＝π4－x为减函数，∴由2kπ－π2≤u≤2kπ＋π2，即2kπ－π2≤π4－x≤2kπ＋π2，得－2kπ－π4≤x≤－2kπ＋3π4，即－2kπ－π4，－2kπ＋3π4为y＝2sinπ4－x的递减区间．由2kπ＋π2≤u≤2kπ＋3π2，即2kπ＋π2≤π4－x≤2kπ＋3π2，得－2kπ－5π4≤x≤－2kπ－π4，即－2kπ－5π4，－2kπ－π4为y＝2sinπ4－x的递增区间．综上可知，y＝2sinπ4－x的递增区间为－2kπ－5π4，－2kπ－π4；递减区间为－2kπ－π4，－2kπ＋3π4．变式迁移2 解由y＝sinπ3－2x，得y＝－sin2x－π3，由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，又x∈[－π，π]，∴－π≤x≤－712π，－π12≤x≤512π，1112π≤x ≤π.∴函数y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间为－π，－712π，－π12，512π，1112π，π.函数y＝3tanπ6－x4的周期T＝π－14＝4π.由y＝3tanπ6－x4得y＝－3tanx4－π6，由－π2＋kπ<x4－π6<π2＋kπ得－43π＋4kπ<x<83π＋4kπ，k∈Z，∴函数y＝3tanπ6－x4的单调递减区间为－43π＋4k π，83π＋4kπ．例3 解题导引解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y＝Asin或y＝Acos的最值，再由方程的思想解决问题．解∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤23π，∴－32≤sin≤1，若a>0，则2a＋b＝1－3a＋b＝－5，解得a＝12－63b ＝－23＋123；若a<0，则2a＋b＝－5－3a＋b＝1，解得a＝－12＋63b＝19－123.综上可知，a＝12－63，b＝－23＋123或a＝－12＋63，b＝19－123.变式迁移3 解∵x∈R，∴cosx∈[－1,1]，若a>0，则a＋b＝1－a＋b＝－3，解得a＝2b＝－1；若a<0，则a＋b＝－3－a＋b＝1，解得a＝－2b＝－1.所以g＝－sin或g＝－sin，周期为π.课后练习区．A [画出函数y＝sinx的草图，分析知b－a的取值范围为[2π3，4π3]，故选A.]2．B [由题意知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f＝3sinωx－cosωx＝2sinx－π6的单调增区间满足：2kπ－π2≤x－π6≤2kπ＋π2解得2kπ－π3≤x≤2kπ＋2π3.]3．A4．D5．D [因为y＝sinx－cosx＝2sin，－π2≤x－π4≤π2，即－π4≤x≤3π4，满足题意，所以函数f可以是－cosx．]6.π2解析依题意得T4＝π8，所以最小正周期T＝π2.7．4π解析由f≤f≤f知，f、f分别为f的最小值和最大值，而当x4＝2kπ－π2，即x＝8kπ－2π时，f取最小值；而x4＝2kπ＋π2，即x＝8kπ＋2π时，f取最大值，∴|x1－x2|的最小值为4π.8.23解析线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx＝5tanx，x∈0，π2，解得sinx＝23.所以线段P1P2的长为23.9．解由题意知cos2x≠0，得2x≠kπ＋π2，解得x≠kπ2＋π4．∴f的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ2＋π4，k∈Z}．……………………………………………………………………………………………又f＝2cos4x－3cos2x＋1cos2x＝2cos2x－1cos2x－12cos2x－1＝cos2x－1＝－sin2x，……………………………………………………………………又∵定义域关于原点对称，∴f是偶函数．…………………………………………………………………………显然－sin2x∈[－1,0]，又∵x≠kπ2＋π4，k∈Z，∴－sin2x≠－12.∴原函数的值域为y|－1≤y<－12或－12<y≤0.……………………………………………………………0．解∵f和g的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f＝2sin＋a∴f的最小正周期T＝2π2＝π.…………………………………………………………当2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，即kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3时，函数f单调递减，故函数f的单调递减区间为[kπ＋π6，kπ＋2π3]．…………………………………………………………………当x∈[0，π2]时，2x＋π6∈[π6，7π6]，…………………………………………………∴2sin＋a＝－2，∴a＝－1.………………………………………………………………………………1．解f＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋23•1－cos2x2－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.………………………………………………………令2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，解得单调递减区间是kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈Z.……………………………………………………………………………………………f＝2sin2x＋2θ－π3.根据三角函数图象性质可知，y＝f0<θ<π2在x＝0处取最值，∴sin2θ－π3＝±1，∴2θ－π3＝kπ＋π2，θ＝kπ2＋5π12，k∈Z.……………………………………………………又0<θ<π2，解得θ＝5π12.…………………………………………………………………。
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吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习三角函数的图象及性质学案理知识梳理： (阅读教材必修4第30页—第72页)1、三角函数的图象及性质函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域值域单调性奇偶性周期性对称中心对称轴2、周期函数：对于函数如果存在一个非零常数T，使得当x取定义内的每一个值时，都有=，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做函数的周期；最小正周期：对于周期函数，如果在它的所有周期中，存在一个最小正数，那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期，常把最小正周期叫做函数的周期。
3、三角函数的图象的画法：（1）、利用三角函数线的几何画法；（2）、利用变换法（3）、五点法作图4、三角函数方程与三角不等式的解法主要根据三角函数的图象，先找出在一个周期内的方程或不等式的解，再写出和它们终边相同的角的集合。
探究一：三角函数的定义域问题 例1：（1）、求函数 的定义域；（2）、求函数 的定义域；（3）、求函数的定义域。
探究二：三角函数的最值问题例2：(2014天津)（本小题满分13分） 已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（Ⅰ）解：由已知，有cosx(sinxcos +cosxsin )-= sinxcosx-cos 2x+=+=(1+cos2) +==所以，()f x 的最小正周期T==（Ⅱ）解：因为()f x 在区间 ()上是减函数，在区间()上是增函数.所以，函数()f x 在闭区间上,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为14，最小值为12-.例3：（2014新课标2 理科）.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.探究三：三角函数的图象与性质例4：设函数f(x)的图角的一条对称轴是(1): 求；(2): 求函数的单调区增区间例5：函数在区间[]上的最大值为1，求探究四：三角函数的值域例6：+)例7：sinx+cosx+sinxcosx+1 ，x]例8：1、三角函数的奇偶怀的判定与代数函数的奇偶性的判断方法步骤一致：（1）先看定义域是否关于原点对称，（2）在满足（1）后，再看的关系。
2、求函数的值域和最值、求函数的单调区间、判断函数的奇偶性、求函数的最小正周期都要通过恒等变形将函数转化为基本三角函数类型，因此，要注意化归思想的应用，但要注意变形前后的等价性，值得强调的是，要牢记各基本三角函数的性质，这是解决问题的关键。
一、反思感悟五、课时作业1、函数的图象的对称轴方程是（）A、x=B、x=C、x=D、x=2、若点P（sin,tan）在第一象限内，则在[0,2内的取值范围是（）A、 B、C、 D、3、已知函数下面的结论错误的是（）A、函数的最小正周期为2B、函数在区间上是增函数C、函数的图象关于直线x=0对称。
D、函数是奇函数4、已知函数（>0）,在[0,2上的图象如下，那么=2π11oyxA 、1B 、2C 、D 、5、若动直线x=a 与函数和 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值为（ ） A 、1 B 、C 、D 、26、（2009湖北卷文）函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于A.)2,6(-π B.)2,6(π C.)2,6(--π D.)2,6(π-7．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z解析：选C.由k π－π2<x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z )，得单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z . 8．(2009年高考四川卷)已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数9．若函数y ＝2cos(2x ＋φ)是偶函数，且在(0，π4)上是增函数，则实数φ可能是( )A ．－π2 B ．0C.π2 D ．π10.函数y ＝|sin x |－2sin x 的值域是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[0,3]D ．[－3,0]11.函数y ＝12sin(π4－23x )的单调递增区间为________．12．(原创题)若f (x )是以5为周期的函数，f (3)＝4，且cos α＝12，则f (4cos2α)＝________.13．已知函数f (x )＝sin2x －2cos 2x (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及相应的x 值．补充练习1.f(x)=sinx-x 的零点个数为（ ）:A.1 B.2 C.3 D.42．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π41.A2.解析：选A.由题意知T ＝π4 ，由πω＝π4得ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tanπ＝0.3．(2009年高考重庆卷)下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°4．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D.π45．已知函数y ＝2sin 2(x ＋π4)－cos2x ，则它的周期T 和图象的一条对称轴方程是( )A ．T ＝2π，x ＝π8B ．T ＝2π，x ＝3π8C ．T ＝π，x ＝π8D ．T ＝π，x ＝3π86．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数．令a ＝f (sin 2π7)，b ＝f (cos 5π7)，c ＝f (tan 5π7)，则( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c7．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为________．8．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．9．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos xcos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)10.已知函数f (x )＝log 2[2sin(2x －π3)]．(1)求函数的定义域；(2)求满足f (x )＝0的x 的取值范围．11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[0，2π3]上的取值范围．12．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．补充练习答案提示：3.解析：选C.∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°， cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.又∵g (x )＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数，∴sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.4.解析：选A.依题意得T 4＝π8，所以最小正周期为T ＝π2.5.解析：选D.∵y ＝2sin 2(x ＋π4)－cos2x ＝1－cos(2x ＋π2)－cos2x ＝1＋sin2x－cos2x ＝1＋2sin(2x －π4)，所以其周期T ＝π，对称轴方程的表达式可由2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，故当k ＝0时的一条对称轴方程为x ＝3π8，故答案为D.6.解析：选A.sin 27π＝sin(π－57π)＝sin 57π.又π2＜57π＜34π.由三角函数线tan 57π＜cos 57π＜sin 57π且cos 57π＜0，sin 57π＞0.如图． ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 57π＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 57π＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan 57π. 又f (x )在[0，＋∞)上递增且为偶函数，∴f (⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 57π)＜f (⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 57π)＜f (⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan 57π)， 即b ＜a ＜c ，故选A.7.解析：(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }．答案：{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }8.解析：由题意知T 4≤π3，T ＝2πω，∴2ω≥3，ω≥32，∴ω的最小值等于32.9.解析：画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象．答案：③④10.解：(1)令2sin(2x －π3)>0⇒sin(2x －π3)>0⇒2k π<2x －π3<2k π＋π，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋23π，k ∈Z .故函数的定义域为(k π＋π6，k π＋23π)，k ∈Z .(2)∵f (x )＝0，∴sin(2x －π3)＝22⇒2x －π3＝2k π＋π4或2k π＋34π，k ∈Z ⇒x ＝k π＋724π或x ＝k π＋1324π，k ∈Z ，故x 的取值范围是{x |x ＝k π＋724π或x ＝k π＋1324π，k ∈Z }． 11.解：(1)f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12. 因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，所以0≤sin(2x －π6)＋12≤32，即f (x )的取值范围为[0，32]．12.解：(1)∵x ∈[0，π2]， ∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又－5≤f (x )≤1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－53a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－5. (2)f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin(2x ＋π6)－1>1，∴sin(2x ＋π6)>12，∴π6＋2k π<2x ＋π6<56π＋2k π，k ∈Z ，由π6＋2k π<2x ＋π6≤2k π＋π2，得k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x ＋π6<56π＋2k π得π6＋k π≤x <π3＋k π，k ∈Z .∴函数g (x )的单调递增区间为(k π，π6＋k π](k ∈Z )，单调递减区间为[π6＋k π，π3＋k π)(k ∈Z )。