高等数学点积叉积
两向量相乘的计算公式
两向量相乘的计算公式两个向量相乘有两种方式：点积和叉积。
1.点积（内积）：点积是指两个向量相乘后再相加的结果。
如果两个向量为a和b，那么点积的计算公式为：a ·b = ，a，，b，cosθ其中，a·b表示a和b的点积，a，和，b，表示a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角。
点积的计算步骤如下：1)计算向量a和b的长度。
2)计算向量a和b之间的夹角θ。
3)使用上述公式计算a和b的点积。
点积的应用：点积可以用于计算两个向量之间的夹角，判断两个向量是否正交或平行，计算向量在一些方向上的分量等。
2.叉积（外积）：叉积是指两个向量相乘后得到一个新的向量。
如果两个向量为a和b，那么叉积的计算公式为：a ×b = ，a，，b，sinθ n其中，a×b表示a和b的叉积，a，和，b，表示a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角，n表示一个垂直于a和b所在平面的单位向量。
叉积的计算步骤如下：1)计算向量a和b的长度。
2)计算向量a和b之间的夹角θ。
3)计算垂直于a和b所在平面的单位向量n。
4)使用上述公式计算a和b的叉积。
叉积的应用：叉积可以用于计算向量所构成的平行四边形的面积，计算向量的方向，判断两个向量是否共面等。
总结：点积和叉积是两种常用的向量相乘方式。
点积计算得到的是一个标量(数量)，而叉积计算得到的是一个新的向量。
两者的应用并不相同，点积通常用于计算向量之间的夹角、判断正交与平行等，而叉积通常用于计算平行四边形的面积、计算方向等。
根据具体问题的需求，可以选择使用点积还是叉积进行相应的计算。
叉积点积公式
叉积点积公式叉积和点积可是数学中很有趣的概念呢！咱们先来聊聊点积。
点积，也叫数量积，它反映了两个向量在方向上的“重合程度”。
比如说，有两个向量 A = (x₁, y₁) 和 B = (x₂, y₂) ，那它们的点积就是x₁ * x₂ + y₁ * y₂。
我记得有一次在课堂上，为了让同学们更好地理解点积，我给他们举了一个特别好玩的例子。
当时我就说：“假设你和你的小伙伴一起搬东西，你使的力是一个向量，你小伙伴使的力是另一个向量。
那点积呢，就像是你们俩力气往同一个方向使的那部分效果。
如果你们方向一致，点积就大，说明一起干的效果好；要是方向相反，点积就小甚至是负数，这说明你们俩在互相‘捣乱’呢！”同学们听了都哈哈大笑，但是也一下就明白了点积的含义。
再来说说叉积。
叉积的结果是一个向量，而且这个向量和原来的两个向量都垂直。
对于向量 A = (x₁, y₁, z₁) 和 B = (x₂, y₂, z₂) ，它们的叉积是 (y₁ * z₂ - y₂ * z₁, z₁ * x₂ - z₂ * x₁, x₁ * y₂ - x₂ * y₁) 。
想象一下，你在一个三维空间里，有两个向量像是两只交叉的手臂，而叉积得到的向量就像是从它们交叉的地方“长”出来的新家伙，而且还和原来那两只手臂都“不对付”，直直地立在那里。
在实际应用中，点积和叉积都特别有用。
比如在物理学中，计算力做的功就要用到点积；而在计算机图形学里，判断两个向量的相对位置关系可能就得靠叉积。
点积和叉积的公式看起来可能有点复杂，但只要多做几道题，多想想实际的例子，其实也没那么难。
就像学骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但多练几次，掌握了平衡的技巧，就能轻松上路啦！总之，叉积和点积虽然是数学中的概念，但它们和我们的生活、和各种实际的应用都紧密相连。
只要我们用心去理解，就能发现其中的乐趣和用处。
希望大家通过我的讲解，能对叉积点积公式有更清楚的认识，在数学的海洋里畅游得更欢快！。
大一上学期同济版高数第八章点积叉积
i
j
ay
bx by 5(2 j k ) 5c1 ,
a z 3 2 4 10 j 5k , bz 1 1 2
k
i
j
k
c1 0 2 1 c j k . c1 5 5
2 2 | c1 | 2 1 5 ,
(11,7,1) i j k b a 1 2 3 (11,7,1) 2 3 1
25
例3
b 求与 a 3i 2 j 4k ， i j 2k
都垂直的单位向量.
解 c a b ax
a z bz ( k k )
(a y bz a z by ) i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx ) k
k
i
j
20
向量积还可用三阶行列式表示
二阶行列式
a c
b d
ad bc
7 3 4 5
35 (3) 4 47
高等数学
第三十八讲
1
第二节 数量积 向量积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
第八章
2
一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为 W F cos s F s cos 1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
例6. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 为).
的夹角为
求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
数学中的乘积,点积,内积,外积,克罗内克积,括积区别与联系
数学中的乘积,点积,内积,外积,克罗内克积,括积区别与联系乘积、点积、内积、外积、克罗内克积以及括积是数学中常见的几种乘积运算，它们在不同的场景和背景下有着各自的定义和应用。
下面我们将详细地探讨这些乘积的区别与联系。
一、乘积乘积，又称笛卡尔积，是指两个集合之间的元素逐个对应相乘的结果。
设A、B为两个集合，其乘积记为A×B，表示由所有有序对(a,b)组成，其中a∈A，b∈B。
二、点积点积，又称数量积，主要应用于向量空间。
给定两个向量a和b，它们的点积定义为：a·b = |a| * |b| * cosθ，其中θ为向量a和向量b之间的夹角。
点积的结果是一个标量，而非向量。
三、内积内积，又称希尔伯特空间中的数量积，是在向量空间点积的基础上引入了内积空间的概念。
给定一个希尔伯特空间H和两个元素a、b∈H，它们的内积定义为：<a, b> = ∫∫a(x)b(x)dx，其中x为希尔伯特空间H上的变量。
内积结果为一个实数。
四、外积外积，又称外乘积，主要应用于代数领域。
设R是一个环（或域），a、b 是R中的元素，则a与b的外积定义为：a × b = ab + ba。
外积的结果是一个元素，而非向量或标量。
五、克罗内克积克罗内克积，又称克罗内克和，应用于矩阵和向量的乘积。
给定一个m×n 矩阵A和一个n×p向量b，它们的克罗内克积是一个m×p的矩阵C，定义为：C = A×b = (a1b1, a2b2, ..., ambp)。
六、括积括积，又称哈达玛积，应用于矩阵和矩阵的乘积。
给定两个m×n矩阵A 和B，它们的括积是一个m×m矩阵，定义为：A○B = (a1b1, a1b2, ..., anbn)。
七、区别与联系这些乘积运算在数学中有着明确的区别和联系。
乘积、点积、内积和外积主要应用于向量或矩阵的运算，它们的结果可以是向量、标量或矩阵。
点积与叉积的定义和应用
点积与叉积的定义和应用一、什么是点积和叉积在三维空间中，点积和叉积是两个很重要的数学概念。
点积也称为内积，表示两个向量之间的相似程度；而叉积也称为外积，描述了两个向量之间的垂直关系。
点积和叉积可以通过在三维空间图像上画出向量来理解。
点积的定义如下所示：设有两个向量a和b，它们的点积表示为a·b，计算方式为a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|为向量的模长，θ为向量a和向量b之间的夹角。
叉积的定义如下所示：设有两个向量a和b，它们的叉积表示为a×b，计算方式为a×b=|a||b|sinθn，其中|a|和|b|为向量的模长，θ为向量a和向量b之间的夹角，n为垂直于向量a和向量b所在平面的单位法向量。
二、点积和叉积的应用1.点积的应用由于点积表示两个向量之间的相似程度，所以点积的应用场景也较为广泛。
其中，一些常见的应用包括以下几个方面：（1）确定向量之间的夹角和正交性：由于点积可以计算出两个向量之间的夹角，所以可以用点积来判断向量之间是否垂直，即如果a·b=0，则向量a和向量b垂直。
（2）计算向量的投影：点积还可以用来计算向量在另一向量方向上的投影。
具体地说，设有向量a和向量b，它们之间的夹角为θ，向量a在向量b方向上的投影为projb a，那么有projba=|a|cosθ=b·a/|b|。
（3）计算向量之间的距离：设有向量a和向量b，它们之间的夹角为θ，那么两个向量之间的距离可以表示为d=|a-b|=sqrt(|a|^2+|b|^2-2|a||b|cosθ)。
2.叉积的应用叉积的应用相较于点积稍微少一些，但是叉积仍然是很实用的数学工具。
一些常见的应用包括以下几个方面：（1）计算向量的面积和体积：由于叉积的结果是一个向量，在方向上与原向量垂直，大小等于两个向量围成的平行四边形的面积，所以叉积可以用来计算向量围成的三角形或四边形的面积，以及向量围成的平行六面体的体积。
点积与叉积运算
点积与叉积运算向量运算是线性代数中重要的概念，其中点积和叉积运算是两种常见且有广泛应用的向量运算。
本文将详细介绍点积和叉积的定义、性质以及它们在几何、物理等领域的应用。
一、点积的定义与性质点积，又称内积或数量积，是两个向量之间的一种运算。
对于二维向量(a1, a2)和(b1, b2)，点积的定义如下：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2对于三维向量(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，点积的定义如下：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3点积具有以下性质：1. 交换律：a · b = b · a2. 分配律：a · (b + c) = a · b + a · c3. 结合律：k(a · b) = (ka) · b = a · (kb)，其中k是一个标量4. 点积与向量长度的关系：a · b = |a| * |b| * cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角二、点积的应用点积在几何、物理等领域有广泛的应用。
下面分别介绍点积在几何和物理中的应用。
1. 几何应用（1）计算向量的长度：根据点积与向量长度的关系式，可以通过计算点积得到向量的长度。
（2）计算向量之间的夹角：根据点积与向量长度的关系式，可以求解两个向量之间的夹角。
（3）判断两个向量的正交性：如果两个向量的点积为0，则它们垂直或正交。
（4）判断两个向量的夹角关系：根据点积与向量长度的关系式，可以判断两个向量之间的夹角大小与夹角余弦的关系。
2. 物理应用（1）计算力的功：当力F作用在物体上并产生位移s时，力的功定义为W = F · s。
其中，F表示力向量，s表示位移向量，·表示点积运算。
（2）求解力的投影：根据点积与向量长度的关系式，可以将一个向量分解为另一个向量在该向量方向上的投影和垂直于该向量方向上的分量。
高中数学中向量的数量积与叉积的性质与运算讲解
高中数学中向量的数量积与叉积的性质与运算讲解在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅可以用来表示方向和大小，还可以进行数量积和叉积的运算。
数量积和叉积是两种不同的运算方式，它们有着不同的性质和应用。
首先，让我们来看看数量积。
数量积也被称为点积或内积，它是两个向量的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
设有两个向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
数量积的计算公式为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们的夹角。
数量积具有一些重要的性质。
首先，数量积满足交换律，即a·b = b·a。
其次，数量积还满足分配律，即对于任意向量a、b和c，有(a + b)·c = a·c + b·c。
另外，如果两个向量的数量积为0，即a·b = 0，那么它们是垂直的，夹角为90度。
这个性质在解决几何问题中非常有用。
接下来，让我们来介绍另一种运算方式，即叉积。
叉积也被称为向量积或外积，它是两个向量的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
设有两个向量a和b，它们的叉积表示为a×b。
叉积的计算公式为|a×b| = |a||b|sinθ，其中|a×b|表示向量a×b的模长。
叉积也具有一些重要的性质。
首先，叉积满足反交换律，即a×b = -b×a。
其次，叉积还满足分配律，即对于任意向量a、b和c，有a×(b + c) = a×b + a×c。
另外，如果两个向量的叉积为0，即a×b = 0，那么它们是平行的或共线的。
这个性质在解决平面几何问题中非常有用。
除了性质外，数量积和叉积还有一些实际应用。
数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，通过求解cosθ的值来确定夹角的大小。
叉积可以用来计算两个向量所构成的平行四边形的面积，通过求解sinθ的值来确定面积的大小。
数学中的乘积,点积,内积,外积,克罗内克积,括积区别与联系
数学中的乘积,点积,内积,外积,克罗内克积,括积区别与联系乘积、点积、内积、外积、克罗内克积和括积是数学中常见的几种乘积运算，它们在不同的情境和领域中有着广泛的应用。
下面我们将逐一探讨这些乘积的特点和用途，并分析它们之间的区别与联系。
一、乘积乘积指的是两个或多个数的相乘，通常用符号“×”表示。
在数学中，乘积运算是最基本的运算之一，它在线性代数、概率论、组合数学等领域有着广泛的应用。
二、点积点积，又称为数量积，是指向量之间的乘积。
设有两个向量A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)，它们的点积定义为：A·B = a1*b1 + a2*b2 + ...+ an*bn。
点积在向量空间中有着重要的应用，如计算向量的模、计算夹角等。
三、内积内积，又称作希尔伯特空间中的点积，是指两个函数之间的乘积。
设有两个函数f(x)和g(x)，它们的内积定义为：<f, g> = ∫[f(x)g(x)]dx。
内积在函数空间中有着重要的应用，如计算函数的模、计算函数之间的相似度等。
四、外积外积，又称作张量积，是指两个或多个向量的乘积。
设有两个向量A和B，它们的外积定义为：A × B = (a1b2 - a2b1, a1b1 + a2b2, a3b1 -a3b2, ...，an-1bn-1 + annbn)。
外积在向量空间中有着重要的应用，如计算向量的叉乘、计算三维空间的体积等。
五、克罗内克积克罗内克积又称作克罗内克乘积，它是指两个矩阵的乘积。
设有两个矩阵A和B，它们的克罗内克积定义为：A B = C，其中C的元素为A和B对应行（或列）的元素之积。
克罗内克积在矩阵论中有着重要的应用，如计算矩阵的秩、计算矩阵的逆等。
六、括积括积又称作笛卡尔积，它是指两个集合的元素之间的乘积。
设有两个集合A和B，它们的括积定义为：A × B = {(a, b)|a∈A, b∈B}。
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2. 性质
a × b = a b sin θ
(1) a × a = 0 (2) a , b 为非零向量, 则 a × b = 0 证明: 当 a ≠ 0 , b ≠ 0 时, a∥ b
a×b = 0
3. 运算律
a b sin θ = 0 sin θ = 0， 即θ = 0 或 π
a∥ b
(1) a × b = − b × a
记作
θ
M1
s
M2
a⋅ b
W = F⋅s
为a 与b 的数量积 (点积) .
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当 a ≠ 0 时, b 在 a 上的投影为
b
故
同理, 当 b ≠ 0 时,
记作
b Pr ja
θ
a ≠ 0, b ≠ 0
则 a ⋅b = 0
b a ⋅ b = a Pr ja
2. 性质
(1) a ⋅ a = (2) a , b 为两个非零向量, 则有
a
b
c
目录面体的顶点 4 ) , 求该四面体体积 . 解: 已知四面体的体积等于以向量 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 为棱的平行六面体体积的 故
A4 A3 A1 A2
[ A1 A2 A1 A3 A1 A4 ]
1 = 6
x2 − x1 y2 − y1 z 2 − z1 x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 x4 − x1 y4 − y1 z 4 − z1
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos θ
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4. 数量积的坐标表示 设 a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + bz k , 则
( a x i + a y j + a z k ) ⋅ ( bx i + b y j + bz k )
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos θ 证: 如图 . 设
A
C B = a , C A = b , AB = c
则
c
B
b θ
a
C
c
2
=(a − b)⋅(a − b)= a ⋅a + b⋅b − 2a ⋅b = a + b
2 2
− 2 a b cos θ
a = a ,b= b ,c= c
ax a y az = bx b y bz cx c y cz
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cz
3. 性质 (1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
[ a b c ]= 0
(2) 轮换对称性 :
[ a b c ] =[ b c a ] =[ c a b]
(可用三阶行列式推出)
= c ⋅ a ⋅ sin B
B
c a
CB × CA = a ⋅ b ⋅ sin C
所以
A
a b c = = sin A sin B sin C
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b
C
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作业
P22 3, 4, 6, 7, 9(1) ; (2) , 10 , 12
第三节
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备用题
3π 1. 已知向量 a , b 的夹角 θ = , 且 | a | = 2, | b | = 3, 4
( a −b )⋅( a −b )
= a⋅a
2
解：
+ b⋅b
2
= a − 2 a ⋅ b cos θ + b 3π 2 2 = ( 2 ) − 2 2 ⋅ 3 ⋅ cos + 3 4 = 17
∴
a − b = 17
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ω a = ω r sin θ
且 符合右手法则
a
M
l
∴ v=ω × r
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θ
O
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*三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
( a × b )⋅c 为 a , b , c 的混合积 . 几何意义
记作
[a b c ]
a×b
αc
a
b
以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其 底面积 A = a × b , 高 h = c
M
故
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例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 为ρ). 解: 的夹角为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
P=
v
为单位向量
= ρ A v⋅n
θ
A
单位时间内流过的体积:
v
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二、两向量的向量积
a , b , c 共面
( a×b )⋅c = 0
ax a y az bx b y bz = 0 cx c y cz
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思考与练习
1. 设 a = i + 2 j − k , b = −i + j , 计算 a ⋅ b 及 a × b , 并求
a , b 夹角θ 的正弦与余弦 .
第二节 数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
第八章
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一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为 的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为 W = F s cos θ 1. 定义 设向量 a , b 的夹角为θ , 称
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1. 定义 定义 设 a , b 的夹角为 θ ， 向量 c 方向 : c ⊥ a , c ⊥ b 且符合右手规则 模 : c = a b sin θ
称 c 为向量 a 与 b 的向量积 , 记作
b
a c = a×b
c = a×b
引例中的力矩
(叉积)
思考: 右图三角形面积 S＝
a
θ
b
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故平行六面体体积为
V = Ah
= ( a × b )⋅c
= [a b c ]
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2. 混合积的坐标表示 设 a = (a x , a y , a z ) , b = (bx , b y , bz ) , c = (c x , c y , c z )
i j k ax a y ax az a y az a × b = ax a y az = , , − bx b y bx bz b y bz bx b y bz ax a y ax az a y az cy + cx− [ a b c ]= ( a × b ) ⋅ c = bx b y bx bz b y bz
事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c ≠ 0时
a + Pr j b ) ( a + b ) ⋅ c = c Pr jc ( a + b ) = c ( Pr jc c
b = a⋅c + b⋅c a + c Pr jc = c Pr jc
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例1. 证明三角形余弦定理
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k
i
返回
j
结束
向量积的行列式计算法
( a y bz − a z b y ) i + ( a z bx − a x bz ) j + ( a x b y − a y bx ) k
i j = ax a y
k az
a = ax i + a y j + az k b = bx i + b y j + bz k
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例7. 已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、 M ( x , y , z ) 四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程. B 解: A、B、 C、M 四点共面 AM、AB、AC 三向量共面
[ AM AB AC ] = 0 x −1 y − 2 z − 0 1 1 1 =0 0 3 2 2 x + y − 3z − 4 = 0
bx
by
bz
ax − bx
az , bz
( 行列式计算见上册 P355～P358 )
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例4. 已知三点 A(1, 2 , 3 ) , B ( 3 , 4 , 5 ), C ( 2 , 4 , 7 ) , 求三 角形 ABC 的面积 .
B
解: 如图所示, 1 S ∆ ABC = AB AC sin θ θ 2 A 1 = AB × AC 2 i j k 1 1 = 2 2 2 = ( 4, − 6, 2 ) 2 2 4 1 2
答案: a ⋅ b = 1 ,
a × b = (1, 1, 3) 1 11 cos θ = , sin θ = 2 3 12
B
c a
2. 用向量方法证明正弦定理: a b c = = sin A sin B sin C
A
目录
b
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C
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证: 由三角形面积公式 1 S ∆ABC = AC × AB 2 1 1 = BA × BC = CB × CA 2 2 AC × AB = b ⋅ c ⋅ sin A 因
i ⋅ j = j ⋅k = k ⋅i = 0