2016版高考数学大一轮复习课时限时检测(二十三)正弦定理和余弦定理

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新课标2016届高考数学大一轮复习课时跟踪检测二十三正弦定理和余弦定理文含解析

课时跟踪检测(二十三) 正弦定理和余弦定理(分A 、B 卷，共2页)A 卷：夯基保分一、选择题1．(2015·昆明调研)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34 C.36D.382．(2015·贵州安顺二模)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定4．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 35．(2015·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3B.π3C.3π4D.5π66．(2015·东北三校联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －bc －a＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.3π4二、填空题7．(2014·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝ ________.8．(2015·苏北四市联考)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．9．(2015·云南第一次检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋a sin A的值等于________．10．(2015·广东重点中学联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A的值为________．三、解答题11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0. (1)求C ；(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．12．(2015·江西七校联考)已知在△ABC 中，C ＝2A ，cos A ＝34，且2BA ·CB ＝－27.(1)求cos B 的值； (2)求AC 的长度．B 卷：增分提能1．(2014·陕西高考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．2．(2015·洛阳统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值． 3．(2015·湖北部分重点中学联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对边的边长，且C ＝π3，a ＋b ＝λc (其中λ>1)．(1)若λ＝3时，证明：△ABC 为直角三角形； (2)若AC ·BC ＝98λ2，且c ＝3，求λ的值．答案A 卷：夯基保分1．选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34. 2．选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x >0)．则cos C ＝5x2＋11x 2－13x 22·5x ·11x＝－23x 2110x2<0， ∴C 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形． 3．选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 4．选C 由c 2＝(a －b )2＋6，可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6.① 由余弦定理及C ＝π3，可得a 2＋b 2－c 2＝ab .②所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.5．选A 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3.6．选C 根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.7．解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32，又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，且b >a ，所以B ＝π3或2π3.答案：π3或2π38．解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7.答案：79．解析：依题可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.答案：16 210．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin Asin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )·cos B ，化简可得，sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )，又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin C sin A ＝3.答案：311．解：(1)由已知及正弦定理得： (sin B －2sin A )cos C ＋sin C cos B ＝0， sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos C ， sin(B ＋C )＝2sin A cos C ， ∴sin A ＝2sin A cos C . 又sin A ≠0，得cos C ＝12.又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝7，b ＝3a ，解得a ＝1，b ＝3.故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.12．解：(1)∵C ＝2A ，∴cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝18，∴sin C ＝378，sin A ＝74.∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A ·cos C ＝916.(2)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB ＝32BC .∵2BA ·CB ＝－27，cos B ＝916，∴|BA ||CB |＝24， ∴BC ＝4，AB ＝6，∴AC ＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB ·cos B＝16＋36－2×4×6×916＝5.B 卷：增分提能1．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac2ac≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12.2．解：(1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0， ∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0，∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ， ∴absin A sin Bsin C ＝2，由正弦定理得：⎝⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1.3．解：(1)证明：∵λ＝3，∴a ＋b ＝3c ，由正弦定理得sin A ＋sin B ＝3sin C ， ∵C ＝π3，∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32，sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝32， ∴32sin B ＋32cos B ＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32，从而B ＋π6＝π3或B ＋π6＝2π3，B ＝π6或B ＝π2.若B ＝π6，则A ＝π2，△ABC 为直角三角形；若B ＝π2，△ABC 亦为直角三角形．(2)若AC ·BC ＝98λ2，则12a ·b ＝98λ2，∴ab ＝94λ2.又a ＋b ＝3λ，由余弦定理知a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，即a 2＋b 2－ab ＝c 2＝9，即(a ＋b )2－3ab ＝9，故9λ2－274λ2＝9，94λ2＝9，λ2＝4，即λ＝2.。

高考讲坛高考数学一轮复习第3章第6节正弦定理和余弦定理课后限时自测理苏教版-苏教版高三全册

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第3章第6节正弦定理和余弦定理课后限时自测理苏教版[A 级基础达标练]一、填空题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________.[解析] 由正弦定理得3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32，∴A ＝60°或120°.[答案] 60°或120°2．、(2014·某某高考)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．[解析] 如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得23sin 60°＝4sin B ，解得sin B ＝1，所以B ＝90°，所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12×42－232×23＝2 3.[答案] 2 33．(2014·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________． [解析] 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b －c ＝14a ，∴12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c23c 2＝－14.[答案] －144．(2013·某某高考改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cosC ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝________.[解析] 由正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C ·sin B cos A ＝12sin B ，又因为 sinB ≠0，所以 sin A cosC ＋sin C cos A ＝12，所以sin(A ＋C )＝sin B ＝12.因为a >b ，所以∠B＝π6. [答案]π65．(2013·某某高考改编)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________三角形．[解析] ∵b cos C ＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．[答案] 直角6．如图361，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝________.图361[解析] 在Rt △EAD 和Rt △EBC 中，易知ED ＝2，EC ＝5，在△DEC 中，由余弦定理得cos ∠CED ＝ED 2＋EC 2－CD 22ED ·EC ＝2＋5－12×2×5＝31010.∴sin ∠CED ＝1010. [答案]10107．(2013·某某高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝________.[解析] 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.[答案]2π38．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值X 围是________．[解析] 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12＋22－c 22×1×2＝5－c 24.∵角C 是钝角，∴－1<cos C <0. ∴－1<5－c24<0，∴5<c <3.[答案]5<c <3 二、解答题9．(2014·大纲全国卷)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .[解] 由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A . 故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1.即B ＝135°.10．(2014·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．[解] (1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ，即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.由a ≠b ，得A ≠B .又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85.由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.[B 级能力提升练]一、填空题1．(2014·某某高考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．[解析] 已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sin π6＝12×23×12＝16.[答案]162．(2013·某某高考) 如图362，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图362[解析] ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223， ∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3. [答案] 3 二、解答题3．(2014·某某高考) 如图363，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. (1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．图363[解] (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714.所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2772＝217， sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD ·cos∠CAD －cos ∠BAD ·sin∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，BC sin α＝ACsin ∠CBA.故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA＝7×32216＝3.。

2016届高考数学理科一轮复习(北师大版)题库第4章第6讲正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边长，若a2＋b2－c22ab<0，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或钝角三角形解析由已知及余弦定理得cos C<0，C是钝角，故选C.答案 C2．在△ABC中，a＋b＋10c＝2(sin A＋sin B＋10sin C)，A＝60°，则a＝()A. 3 B．2 3C．4 D．不确定解析由已知及正弦定理得asin A＝2，a＝2sin A＝2sin 60°＝3，故选A.答案 A3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝()．A. 2B. 3C.32D．2解析∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.又a＝1，b＝3，∴asin A＝bsin B，∴sin A＝a sin Bb＝32×13＝12，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC ＝12×1×3＝32.答案 C4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()．A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋394解析设AB＝c，BC边上的高为h.由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·c cos 60°，即7＝c2＋4－4c cos 60°，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．又h＝c·sin 60°＝3×32＝332，故选B.答案 B5．已知△ABC的面积为32，AC＝3，∠ABC＝π3，则△ABC的周长等于()．A．3＋ 3 B．3 3C．2＋ 3 D.33 2解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面积为12ac sinπ3＝32，即ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝3＋3，故选A.答案 A6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析由bsin B＝csin C及sin C＝23sin B，得c＝23b，∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32.∵A为△ABC的内角，∴A＝30°.答案 A二、填空题7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)·tan B＝3ac，则角B的值为________．解析由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得 cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 答案 π3或2π38．已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析依题意得，△ABC 的三边长分别为a ，2a,2a (a >0)，则最大边2a 所对的角的余弦值为：a 2＋(2a )2－(2a )22a ·2a ＝－24.答案－249．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4<A＋π4<3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，即x ∈(1，2]．答案 (1，2]10．已知△ABC 中，a ＝8，b ＝7，B ＝60°，则c ＝________，S △ABC ＝________.解析解法一：由正弦定理得8sin A ＝7sin 60°， ∴sin A ＝87sin 60°＝47 3. ∴cos A ＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4372＝±17. ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5314或3314. 由7sin 60°＝csin C ，得c 1＝5，c 2＝3.∴S △ABC ＝12ac 1sin B ＝103或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝6 3. 解法二：由余弦定理得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， ∴72＝c 2＋82－2×8×c cos 60°.整理得：c 2－8c ＋15＝0，解得：c 1＝3，c 2＝5， ∴S △ABC ＝12ac 1sin B ＝63，或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝10 3. 答案 3或5 63或10 3. 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．解 (1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C . 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝ 2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3. 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.12．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b 2＋c 2－a 2＋bc ＝0，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求bc 的最大值；(3)求a sin (30°－C )b －c的值．解 (1)∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝120°.(2)由a ＝3，得b 2＋c 2＝3－bc ，又∵b 2＋c 2≥2bc (当且仅当c ＝b 时取等号)． ∴3－bc ≥2bc (当且仅当c ＝b 时取等号)．即当且仅当c ＝b ＝1时，bc 取得最大值为1. (3)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴a sin (30°－C )b －c ＝2R sin A sin (30°－C )2R sin B －2R sin C＝sin A sin (30°－C )sin B －sin C ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C －32sin C sin (60°－C )－sin C＝34cos C －34sin C 34cos C －32sin C＝12.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．(1)证明由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sinC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1. 由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝ 2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8 ＝ 2cos π8sin π8＝12.14．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC→.(1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．解 (1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B .即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A . 从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0，所以tan B ＝3tan A .(2)因为cos C ＝55，0＜C ＜π，所以sin C ＝1－cos 2 C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A 1－3tan 2 A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.。

高考数学(理)一轮规范练【23】正弦定理、余弦定理(含答案)

课时规范练23 正弦定理、余弦定理课时规范练第40页一、选择题1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a,b,c.若a=c=,且A=75°,则b等于( )A.2B.4+2C.4-2D.答案:A解析:如图所示.在△ABC中,由正弦定理得=4,∴b=2.故选A.2.在△AB C中,角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,若,则△ABC一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案:A解析:方法一:由正弦定理得,[:∴sin Acos B=cos Asin B,即sin(A-B)=0,∴A=B.方法二:由余弦定理将角化为边,可得a=b,故选A.3.在△ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为( )A. B. C. D.答案:D解析:由(a2+c2-b2)tan B=ac及余弦定理得2accos Btan B=ac,∴sin B=.又0<B<π,∴B=或B=.故选D.4.若△ABC的内角A,B,C满足6sin A=4sin B=3sin C,则cos B=( )A. B. C. D.答案:D解析:∵6sin A=4sin B=3sin C,∴6a=4b=3c.不妨令a=1,则b=,c=2.由余弦定理可知cos B=.故选D.5.在△ABC中,内角A,B,C的对边边长分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则角A等于( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案:A解析:利用正弦定理,sin C=2sin B可化为c=2b.又∵a2-b2=bc,∴a2-b2=b×2b=6b2,即a2=7b2,a=b.在△ABC中,cos A=,∴A=30°.故选A.6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C=0,则tan A的值是( )A. B.- C. D.-答案:D解析:依题意及正弦定理可得b2+c2-a2=-bc,则由余弦定理得cos A==-.又0<A<π,所以A=,tan A=tan=-,选D.二、填空题7.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=,B=,tan C=2,则c= .答案:2解析:⇒sin2C=⇒sin C=.由正弦定理,得,∴c=×b=2.8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2bcos B=acos C+ccos A,且b2=3ac,则角A的大小为.答案:解析:由题意根据正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B>0,则cos B=, 故B=,sin B=.又∵3sin Asin C=sin2B=,[:∴4sin Asin C=1,即2[cos(A-C)-cos(A+C)]=1,2[cos(A-C)+cos B]=1.∴cos(A-C)=0.又∵-π<A-C<π,∴A-C=±.又∵A+C=,∴A=或A=.9.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,给出下列结论:①由已知条件,这个三角形被唯一确定;②△ABC一定是钝角三角形;③sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3;④若b+c=8,则△ABC的面积为.其中正确结论的序号是.答案:②③解析:由条件可设故①不正确;由余弦定理可得cos A=-,即A=120°,故②正确;由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=7∶5∶3,故③正确;当b+c=4k=8时,则k=2,故三角形三边分别为7,5,3,所以S△ABC=bcsin A=×5×3×sin120°=,故④不正确.三、解答题10.已知△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=,BC=,求的值.解:因为AB2+AC2=BC2,所以△ABC为直角三角形,∠A=90°.如图所示,外接圆的圆心为BC的中点,则cos∠AOB==-.所以·=||||·cos∠AOB==-.11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=2+2cos(A+B).(1)求证:b=2a;(2)若c=a,求角C的大小.解：(1)证明:由已知得sin(2A+B)=2sin A+2cos(A+B)sin A,即sin(A+π-C)=2sin A-2sin Acos C,sin(C-A)=2sin A-2sin Acos C,sin Ccos A+cos Csin A=2sin A,sin(A+C)=2sin A,sin B=2sin A,由正弦定理知b=2a.(2)解由余弦定理知cos C==-,所以C=120°.12.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=1,b=2,B=.(1)求sin A的值;(2)求cos2C的值.解:(1)a=1,b=2,B=,依据正弦定理得,[:即,解得sin A=.(2)∵a<b,∴0<A<B<.∴cos A=.∴sin2A=2sin Acos A=,cos2A=1-2sin2A=.∵A+B+C=π,∴C=-A.∴cos2C=cos=coscos2A+sinsin2A=-[:=-.∴cos2C=-.[:数理化]。

2016届高考数学(理)一轮复习作业手册第22讲正弦定理和余弦定理

课时作业(二十二) [第22讲正弦定理和余弦定理](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2014·安顺二模] 若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2．[2014·日照模拟] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A .π6B .π3C .π6或5π6D .π3或2π33．在△ABC 中，内角A ，B 的对边分别是a ，b ，且A ＝30°，a ＝2 2，b ＝4，那么满足条件的△ABC( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a 的值为( )A . 3B . 6C .13D ．2 135．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A .π3B .2π3C .3π4D .5π66．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．能力提升7．△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，且B ＝30°，△ABC 的面积为12，那么b 为( ) A ．1＋ 3 B ．3＋ 3C .3＋33D ．2＋ 3 8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定9．[2014·广州二模] 在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝1，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A .314B .3 314C .2114D .3 211410．[2014·武汉模拟] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝2 3sin B ，则A ＝( )A .π6B .π4C .π3D .5π1211．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin (A －B ＋C)＝sin (C －A －B)＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc(b ＋c)>8B ．ab(a ＋b)>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤2412．在△ABC 中，若C ＝60°，则a b ＋c ＋b c ＋a＝________． 13．[2014·江西师大附中模拟] 在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3，且c sin A ＝3a cos C ，则△ABC 的面积为________． 14．(10分)已知锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝6，sin 2C ＝－3cos 2C.(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝13，求△ABC 的面积． 15．(13分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝2 6，B ＝2A.(1)求cos A 的值；(2)求c 的值．难点突破16．(12分)[2014·昆明调研] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b. (1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．课时作业(二十二)1．C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.30°或150°7．C 8.C 9.D 10.A 11.A 12.1 13. 314．(1)C ＝π3(2)S △ABC ＝2 3＋12 2315．(1)cos A ＝63 (2)c 的值为516．解：(1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ，∴由正弦定理得sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ，∴sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴由正弦定理，得a ＋c ＝2b ，故a ，b ，c 成等差数列．(2)由B ＝60°，b ＝4及余弦定理得，42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16.又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16，解得ac ＝16，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.。

2016届高考数学一轮复习3.7正弦定理和余弦定理课时作业文(含解析)

第七节正弦定理和余弦定理题号 1 2 3 4 5 6 7 答案1.△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C＝( )A.π6B.π4C.3π4 D.π4或3π4答案：B2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24 D.23解析：△ABC 中，a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则b ＝2a ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a2＝34.故选B. 答案：B3. (2013·广西模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3bsin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1 D.34解析：∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选A.答案：A4．在△ABC 中，已知sin Bsin C ＝cos 2A2，则三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：∵sin B sin C ＝cos 2A2，∴sin B sin C ＝1＋cos A2.∴2sin B sin C ＝1＋cos[π－(B ＋C )]．将cos(B ＋C )＝cos B cos C －sin B sin C 代入上式得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1. ∴cos(B －C )＝1.又0＜B ＜π，0＜C ＜π，∴－π＜B －C ＜π， ∴B －C ＝0.∴B ＝C .故此三角形是等腰三角形．故选D. 答案：D5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若acos B ＋bcos A ＝csin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：由余弦定理可知：a cos B ＋b cos A ＝a a 2＋c 2－b 22ac ＋b c 2＋b 2－a 22bc ＝c sin C ，于是sinC ＝1，C ＝π2，从而S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝14(b 2＋b 2)，解得a ＝b ，∴B ＝45°.故选C.答案：C6．(2013·皖南八校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，则c ＝( )A.135 B.125 C ．3 D.134 解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋（c ＋b ）（c －b ）2ac，∵a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，∴cos B ＝3＋4（c －b ）23c ＝32，即3＋4(c －b )＝3c ，3＋c ＝4b ，结合b ＋c ＝4解得c ＝135.故选A.答案：A7．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝25cos 2A －1＝0. 所以cos A ＝15，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得：72＝b 2＋62－12b ×15，解之得：b ＝5，b ＝－135(舍去)．故选D.答案：D8．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________．解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac . 所以a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. 答案：09．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，A ＝π3，则该三角形面积的最大值是________．解析：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，所以bc ≤16，所以S ＝12bc sinA ≤12×16×sin π3＝4 3.答案：4310．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：sin A sin C ＝BC AB ＝75，而sin A ＝32，可得sin C ＝5314，因为BC >AB ，所以C 为锐角，cos C ＝1－sin 2C ＝1114，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝3314，所以sin B sin C ＝35.答案：3511．(2013·重庆卷)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc.(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos Bcos C 的最大值，并指出此时B 的值．解析：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得 S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A·a sin C ＝3sin B sin C ，因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取得最大值3.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足csin A ＝3acos C. (1)求角C 的大小；(2)求3sin A －sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．解析：(1)由c sin A ＝3a cos C ，结合正弦定理得，a sin A ＝c 3cos C ＝csin C ，∴sin C ＝3cos C ，即tan C ＝3，∵0＜C ＜π，∴C ＝π3.(2)由(1)知B ＝2π3－A ，∴3sin A －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝3sin A －cos B ＝3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3sin A －cos2π3cos A －sin 2π3sin A ＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，当A ＋π6＝π2时，3sin A －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2取得最大值1，此时A ＝π3，B ＝π3.。

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课时达

课时达标检测(二十三）正弦定理和余弦定理[练基础小题——强化运算能力]1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为________．解析：由正弦定理知，sin A sin A ＝cos B sin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案：45°2．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC ＝________.解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7.答案：73．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是________．解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，故C 是钝角．即△ABC 是钝角三角形．答案：钝角三角形4．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大小为________．解析：由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，最大的角为C .由余弦定理得cos C ＝－12，∴C ＝120°.答案：120°5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：在△ABC 中，由cos A ＝－14可得sin A ＝154，所以有⎩⎪⎨⎪⎧12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.答案：8[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为________．解析：由题意知，c ＝3a ，b 2－a 2＝52ac ＝c 2－2ac cos B ，所以cos B ＝c 2－52ac 2ac ＝9a 2－152a 26a2＝14. 答案：142．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2，则cos A ＝________.解析：由S ＋a 2＝(b ＋c )2，得a 2＝b 2＋c 2－2bc 14sin A －1，由余弦定理可得14sin A －1＝cos A ，结合sin 2A ＋cos 2A ＝1，可得cos A ＝－1517或cos A ＝－1(舍去)．答案：－15173．(2018·苏州实验中学模拟)在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是________．(填“有一解”、“有两解”、“无解”)解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．答案：无解4．(2018·南京模拟)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3＝B ，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案：345．(2018·昆山模拟)在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin A ＋B sin B＝23，则A ＝________.解析：因为sin A ＋B sin B ＝23，故sin C sin B ＝23，即c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝12b 2－3bc 43b 2＝6b 243b2＝32，所以A ＝π6. 答案：π66．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝________.解析：根据正弦定理asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3.答案：π37．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b ＝________.解析：因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，所以sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.答案：578．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连结CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154，所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝ cos ∠ABC ＋12＝104. 答案：1521049．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.解析：由正弦定理得sin A sin C ＝a c ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×a c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1. 答案：110．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 解析：如图，在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B ＝ABsin ∠ADB ，∴sin ∠ADB ＝22. 由题意知0°＜∠ADB ＜60°，∴∠ADB ＝45°，∴∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°. ∴∠BAC ＝30°，C ＝30°，∴BC ＝AB ＝ 2. 在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin ∠BAC，∴AC ＝ 6.答案： 6 二、解答题11．(2018·苏南三市联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sinB ＝－b sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值．解：(1)∵a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，∴由正弦定理得sin A sin B ＝－sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，则sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝5π6.(2)∵A ＝5π6，∴sin A ＝12，由S ＝12bc sin A ＝14bc ＝34c 2，得b ＝3c ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ，由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714. 12．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＞b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．解：(1)在△ABC 中，因为a ＞b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin A ＝a sin B b ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a ＜c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－513＝7226.。

高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形课时跟踪检测(二十二)正弦定理和余弦定理练习文

课时跟踪检测 (二十二) 正弦定理和余弦定理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos B sin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°．2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cosB ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6C ．14D ． 6解析：选D b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，b ＝6，故选D ．3．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3解析：选B 由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， ∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，因为sin B ≠0，所以sin A ＝12，所以A ＝30°或150°．答案：30°或150°5．(2015·安徽高考)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________．解析：∠C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2．答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：选C 由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝0，即2a cos A ＋a＝0，∴cos A ＝－12，A ＝2π3．故选C ．2．(2017·重庆适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A ．34 B ．34 C ．32D ．32解析：选B 依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sinC ＝12×3×32＝34，选B ． 3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1．∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．4．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选 A 由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B ＝30°．5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c＝1，则△ABC 的面积等于( )A ．32B ．34C ．36D ．38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3．故A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34．6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________．解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b ．又a ＝2，∴b ＝3．由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，∴c ＝4．答案：47．(2015·北京高考)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________．解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin Asin C·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1．答案：18．(2017·云南统检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________．解析：∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝2c ＝8，∴c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B＝65，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝5654．答案：56549．(2017·海口调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )cosC ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ，即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A ＝3．(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C2＋2c cos2A2＝52b ． (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b ．解：(1)证明：由条件得a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b ，由于a cos C ＋c cos A ＝b ，所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b ．(2)在△ABC 中，因为cos B ＝14，所以sin B ＝154．由S ＝12ac sin B ＝1815ac ＝15，得ac ＝8，又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 2(a ＋c )＝3b ，所以5b 24＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14，所以b ＝4．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·衡水中学模拟)已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2aC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a解析：选C ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos 2A ＝－12．∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝2π3，∴A ＝π3，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－34(b ＋c )2＝b ＋c 24，∴4a 2≥(b ＋c )2，∴2a ≥b ＋c ．2．(2016·贵阳监测)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos ∠B ＝33． (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos ∠B ＝33，所以cos ∠D ＝cos 2∠B ＝2cos 2B －1＝－13．因为∠D ∈(0，π)，所以sin ∠D ＝1－cos 2D ＝223．因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin∠D ＝12×1×3×223＝2． (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos∠D ＝12，所以AC ＝23．因为BC ＝23，ACsin ∠B ＝ABsin ∠ACB，所以23sin ∠B＝AB π－2∠B ＝AB sin 2∠B ＝AB 2sin∠B cos ∠B ＝AB233sin ∠B ，所以AB ＝4．。

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课时限时检测(二十三) 正弦定理和余弦定理
(时间：60分钟满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .
若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )
A ．－12
B.12 C ．－1
D.1
【答案】 D
2．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π C.⎝
⎛⎦⎥⎤0，π3 D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π3，π 【答案】 C 3．若△ABC 中，6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154 B.34 C.31516 D.1116
【答案】 D
4.(2013·课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4
，则△ABC 的面积为( ) A ．23＋2
B.3＋1 C ．23－2
D ．3－1
【答案】 B
5．在△ABC 中，内角A 、B 的对边分别是a 、b ，若cos A cos B ＝b a
，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】 C
6．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3
，则∠C 的大小为．【答案】 π2
8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝ .
【答案】 2π3
9．(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝ .
【答案】 2π3
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2
＋bc .
(1)求角A 的大小；
(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．【解】 (1)由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12
，又∠A 是△ABC 的内角，∴A ＝π3
. (2)由正弦定理，得bc ＝a 2，又b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴b 2＋c 2
＝2bc .
∴(b －c )2＝0，即b ＝c .又A ＝π3
，∴△ABC 是等边三角形． 11．(12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.
(1)求A ；
(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .
【解】 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.
因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.
由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12.
又0<A <π，故A ＝π3
. (2)△ABC 的面积S ＝12
bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.
解得b ＝c ＝2.
12．(13分)(2013·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.
(1)求b 的值；
(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3的值．
【解】 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝b
sin B ，可得b sin A ＝a sin B .
又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.
由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.
(2)由cos B ＝23，得sin B ＝5
3，进而得
cos 2B ＝2cos 2B －1＝－1
9，
sin 2B ＝2sin B cos B ＝45
9，所以sin(2B －π3)＝sin 2B cos π3－cos 2B sin π
3 ＝45＋3
18.。