泰勒公式及其应用
泰勒公式其应用
泰勒公式其应用一、一阶泰勒公式１.带有Lagrange 型余项的Taylor 公式定理1（泰勒） 若函数f 在(a,b)上存在直到n 阶的连续导函数,在(a,b)内存在n ＋1阶导函数,则对任意给定的),(,0b a x x ∈,至少存在一点ξ使得：()(1)1000000()()()()()()()()1!!(1)!n n nn f x f x f f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+ξ在0,x x 之间。
2.带有皮亚诺余项的泰勒公式定理2若函数f 在(a,b)上存在直到n 阶的连续导函数,则对任意给定的),(,0b a x x ∈()000000()()()()()()0(())1!!n n n f x f x f x f x x x x x x x n '=+-++-+- （1）称为泰勒公式的余项.3、 函数的Maclaurin 公式210()2!!nxn x x e x x n =+++++352112sin (1)0()3!5!(21)!m m m x x x x x x m --=-+++-+-24221cos 1(1)0()2!4!(2)!m m m x x x x x m +=-+++-+ 231ln(1)(1)0()23nn n x x x x x x n -+=-+++-+ 2(1)(1)(1)(1)10()2!!n n x x x x n ααααααα---++=+++++2110()1n n x x x x x=+++++- 二、应用1.把函数)(x f 展开成n 阶Maclaurin 公式例１： 把函数22sin )(x x x f =展开成含16x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .【解】 ) (!7!5!3sin 7753x x x x x x +-+-=,) (!7!5!3sin 141410622x x x x x x +-+-=. ) (!7!5!3sin 1616128422x x x x x x x +-+-=例２： 把函数x x f 2cos )(=展开成含6x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .【解】 ) (!6!4!21cos 6642x x x x x +-+-=, ), (!62!34212cos 66642x x x x x +-+-= ∴ ) (!62!321)2cos 1(21cos 665422x x x x x x +-+-=+=. 2.求)(x f 的n 阶导数例３： )1ln()(2x x x f +=，求)3)(0()(≥n fn .【解】))(022()1ln()(22222--+-++-=+=n n x n x x x x x x x f 又)(0!)0(!1)0()0()()(n nn x x n f x f f x f +++'+= )(02243n n x n x x x +-++-=所以，21!)0()(-=n n f n ，2!)0()(-=n n f n3.利用Taylor 公式求极限 例4 求极限(1) )]1ln([cos lim2202x x x e x x x -+--→ (2)011lim (cot )x x x x →-. 【分析】用泰勒公式求极限把函数展开到x 多少次方呢？对于分子和分母有一个能确定次数的，把另一个展开到相同次数即可，例如：3sin limxx x x -→333))(61(limx x o x x x x +--=→=6161lim 330=→xx x但是对于分子和分母都不能确定次数的，要以具体情况而定。
大一高数知识点总结泰勒公式
大一高数知识点总结泰勒公式泰勒公式是大一高等数学中的一个重要知识点，它是利用函数在某一点的展开式来逼近函数在该点附近的近似值。
这个公式可以用于计算函数的导数、极限以及函数的近似值等。
下面将对泰勒公式的原理和应用进行详细的总结。
一、泰勒公式的原理泰勒公式是基于泰勒级数展开原理而得出的。
泰勒级数是将一个函数表示为无穷级数的形式，可用来逼近函数在某一点附近的值。
设函数f(x)在$x=x_0$处具有$n+1$阶连续导数，则函数f(x)在$x=x_0$处的泰勒展开式为：$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n$$其中，$R_n$为余项，表示泰勒展开式近似于原函数的误差。
泰勒展开式中的每一项都是函数在$x=x_0$处的导数与$(x-x_0)$的幂的乘积，这样的展开式可以用来计算函数在$x=x_0$处的近似值。
二、泰勒公式的应用1. 求函数的导数利用泰勒公式的展开式，可以计算函数在某一点处的导数。
例如，要求函数$f(x)$在$x=x_0$处的导数，可以根据泰勒公式展开$f(x)$，然后对展开式中的每一项求导。
最后，将$x=x_0$代入求得的导数表达式，即可得到函数在该点的导数值。
2. 计算函数的极限通过泰勒公式展开函数，可以用泰勒展开式逼近函数在某一点附近的近似值。
利用这个性质，可以计算一些复杂函数在某一点的极限。
将函数在该点处的展开式进行整理，并去除余项，可以得到函数在该点的近似极限。
3. 近似计算函数的值利用泰勒公式，可以通过计算泰勒展开式的有限项来逼近函数在某一点的值。
该方法在数值计算中经常使用。
通过增加泰勒展开式中的项数，可以提高逼近的精度。
4. 研究函数的性质泰勒公式可以用来研究函数的性质，例如函数的极值、拐点等。
通过分析泰勒展开式的各项系数，可以得到函数的一些重要信息。
泰勒公式大全
泰勒公式大全泰勒公式是微积分中的重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无限项的多项式，从而方便我们进行计算和研究。
本文将按照不同的类别介绍泰勒公式的各种形式和应用。
一、泰勒公式的基本形式泰勒公式的基本形式是：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f(x)$是要展开的函数，$a$是展开点，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
二、泰勒公式的常用形式1. 麦克劳林公式当$a=0$时，泰勒公式就变成了麦克劳林公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$这个公式在计算中非常常用，因为它可以将很多函数展开成简单的多项式形式。
2. 带余项的泰勒公式在实际计算中，我们往往只需要保留泰勒公式的前几项，而不需要展开到无穷项。
这时，我们可以使用带余项的泰勒公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{m}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_m(x)$$其中，$m$表示展开的项数，$R_m(x)$表示余项，它的表达式为：$$R_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$$其中，$\xi$是$a$和$x$之间的某个值，$m+1$阶导数的值在$a$和$\xi$之间取值。
三、泰勒公式的应用1. 近似计算泰勒公式可以将一个复杂的函数近似成一个简单的多项式，从而方便我们进行计算。
比如，我们可以使用麦克劳林公式将$\sin x$和$\cos x$展开成多项式形式，从而计算它们的值。
2. 函数的性质研究泰勒公式可以帮助我们研究函数的性质，比如函数的最值、极值、拐点等。
通过对泰勒公式的各项系数进行分析，我们可以得到函数在展开点附近的一些性质。
3. 数值逼近泰勒公式可以用来进行数值逼近，比如我们可以使用带余项的泰勒公式来逼近函数的值。
初数数学公式解析泰勒公式
初数数学公式解析泰勒公式泰勒公式是数学中常用的公式之一，它可以将一个函数在某一点附近展开成一个无穷级数，从而更加方便地进行计算和近似。
在初等数学中，我们经常会遇到需要使用泰勒公式的情况，下面我们就来详细解析泰勒公式及其应用。
一、泰勒公式的形式泰勒公式是根据函数在某点附近的函数值和其各阶导数的值来进行展开的。
对于一个光滑的函数f(x)，在某一点a处，我们可以将其泰勒展开为以下形式：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，以此类推。
二、泰勒公式的应用1. 近似计算通过泰勒公式展开，我们可以将一个复杂的函数转化为一个无穷级数，从而实现对该函数的近似计算。
在实际应用中，我们通常只取前几项，即保留到某个阶数的导数，从而得到一个近似值。
这种方法在数值计算和工程问题中具有重要的意义。
2. 函数图像的分析通过泰勒公式展开，我们可以更好地理解函数在某一点附近的性质。
例如，通过计算函数的导数可以确定函数在某点的增减性、凹凸性以及极值点的位置等。
3. 解析函数的求导对于一些复杂的函数，直接对其进行求导可能比较困难。
但通过使用泰勒公式展开后，我们可以较为方便地求出函数的导数。
这对于解析函数的微积分问题有很大的帮助。
三、泰勒公式的局限性需要注意的是，泰勒公式只能在某一点的附近作近似，其近似程度与展开阶数相关。
当阶数较低时，近似效果可能并不理想。
另外，对于非光滑函数或者在某一点处不光滑的函数，泰勒公式无法应用。
四、例题分析我们通过一个例题来进一步说明泰勒公式的应用。
例题：计算函数f(x) = sin(x)在x=0处的泰勒展开式，保留到二阶导数。
解：首先，我们计算出函数f(x) = sin(x)的一、二阶导数：f'(x) = cos(x)f''(x) = -sin(x)然后，根据泰勒公式的形式，展开式为：f(x) ≈ f(0) + f'(0)(x-0) + f''(0)(x-0)^2/2!化简后得到：f(x) ≈ 0 + 1(x) + (-sin(0))(x^2)/2即：f(x) ≈ x - (1/2)x^2这样，我们就得到了f(x) = sin(x)在x=0处的二阶泰勒展开式。
考研泰勒公式大全
考研泰勒公式大全泰勒公式是指对于可导函数在一些点附近进行近似展开的一种方法，泰勒公式包括一阶泰勒公式、二阶泰勒公式、高阶泰勒公式等。
下面将详细介绍泰勒公式的各种形式以及应用。
1.一阶泰勒公式：一阶泰勒公式也称为线性近似公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)其中，f(x)表示可导函数在点x处的函数值，f(a)表示可导函数在点a处的函数值，f'(a)表示可导函数在点a处的导数的值。
一阶泰勒公式的应用：一阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的直线近似，特别是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过一阶泰勒公式进行近似计算。
同时，一阶泰勒公式也可以用来求函数在一些点处的导数值。
2.二阶泰勒公式：二阶泰勒公式也称为二次近似公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)^2/2!*f''(a)其中，f(x)表示可导函数在点x处的函数值，f(a)表示可导函数在点a处的函数值，f'(a)表示可导函数在点a处的导数的值，f''(a)表示可导函数在点a处的二阶导数的值。
二阶泰勒公式的应用：二阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的二次近似，尤其是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过二阶泰勒公式进行近似计算。
二阶泰勒公式还可以用来求函数在一些点处的导数值和二阶导数值。
3.高阶泰勒公式：高阶泰勒公式是指泰勒公式的更一般形式，其表达式为：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2!*f''(a)+...+(x-a)^n/n!*f^n(a)其中，n为正整数，f^n(a)表示可导函数在点a处的n阶导数，n!表示n的阶乘。
高阶泰勒公式的应用：高阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的更高阶近似，特别是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过高阶泰勒公式进行近似计算。
高阶泰勒公式还可以用来求函数在一些点处的导数值和各阶导数值。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用泰勒公式是微积分中的一个基础公式，用于将一个函数在某个点处展开成幂级数的形式。
泰勒公式在物理，工程和数学等领域中至关重要，因为它提供了一个计算一些复杂函数的函数值的便捷方法。
本文将介绍泰勒公式的基本原理及其在各个领域中的应用。
泰勒公式的基本原理在数学中，泰勒公式是利用函数在某一点的导数展开成无限级数的公式。
假设给定一个函数 $f(x)$，我们希望将其在 $x=a$ 处展开成幂级数的形式。
此时，根据泰勒公式，我们可以得到:$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f^{(n)}(a)$ 表示函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的 $n$ 阶导数。
公式中展开成无限级数的所有$n$ 阶导数都被合并到一个系数中，即 $(x-a)^n$ 剩下的就是阶乘算法。
一般来说$=\frac{d^{n} f}{dx^{n}}$，就是将$f$求导$n$次例如，如果我们要将函数 $y=\sin x$ 在 $x=0$ 处展开为幂级数的形式，我们可以使用泰勒公式:$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots $$这个级数的每一项都根据 $n$ 的变化而变化，这确定了它的无限和。
通过泰勒公式，我们得到了一个幂级数的形式，使我们能够计算不同的 $x$ 值的函数值。
泰勒公式的应用范围泰勒公式的应用范围非常广泛。
下面我们将重点介绍泰勒公式在物理，工程和数学等领域中的应用。
1. 物理学应用泰勒公式在物理学中的应用非常广泛。
例如，当我们研究两个物体之间的吸引力时，我们可以使用牛顿万有引力定律：$$F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$$其中，$F$ 是物体之间的引力，$m_1$ 和 $m_2$ 是两个物体的质量，$r$ 是两个物体之间的距离，$G$ 是宇宙引力常数。
泰勒公式及其应用
第一章 绪论近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.第二章 泰勒公式1.1泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数f .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()[()]n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们. 当n =1时，有1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.1.2泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项0(())n o x x -，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+（ξ也可以写成00()x x x θ+-）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究. 1.3泰勒公式的定义（1）带有佩亚诺(Peano )型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数, 则对此邻域内的点x ,有()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-当00x =时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin )公式.即()(1)21(0)(0)(0)()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n n f f f f x f f x x x x n n θθ++'''=+++++<<+（2）带有拉格朗日(Lagrange )型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有1n +阶导数, 则对此邻域内的点x , 有()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!!(1)!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-++-+-+(ξ介于0x 与x 之间）第三章 泰勒公式的实际应用2.1利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限. 例1 求224cos limx x x ex -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单. 解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+- 441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112lim lim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x e x-→-.解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可.24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x→-+= 112=- 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单. 2.2利用泰勒公式进行近似计算例1 用x e 的10次泰勒多项式求e 的近似值i ，并估计误差. 解：在x e 的泰勒公式中取1,10x n ==,则有111112!3!10!e ≈+++++2.718281801=由于e 的精确度值e 2.718281801=，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计11813()6.81011!11!x e d x ξ==<≈⨯. 必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果.如在ln(1)x +的泰勒多项式中令x =1，取它的前10项计算ln 2的近似值，得到111111111ln 212345678910≈-+-+-+-+-=0.645 634 92…而ln 2=0.693 147 28…，误差相当大，但如改用其他泰勒多项式，如1lnln(1)ln(1)1xx x x+=+--- 23223221()232232n n nx x x x x x x x o x n n ⎡⎤⎡⎤=-+--------+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦352122()3521n nx x x x o x n -⎡⎤=+++++⎢⎥-⎣⎦， 令1,3x =只取前两项便有3111ln 22()333⎡⎤≈+=⎢⎥⎣⎦0.69135…,取前四项则可达到3571111111ln 22()()()3335373⎡⎤≈+++⎢⎥⎣⎦=0.693 124 75…,效果比前面好得多.例2 当x 很小时，推出331111x x x x +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的简单的近似公式. 解： 当x 很小时，111133331122111111x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2224[1][1]3(1)3(1)3(1)x x xx x x ≈+--=--- 43x≈2.3在不等式证明中的应用关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例1 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+- 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.2.4泰勒公式在外推上的应用外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下. 若对于某个值a ，按参数h 算出的近似值1()a h 可以展开成231123()a h a c h c h c h =++++（*）（这里先不管i c 的具体形式），那么按参数2h 算出的近似值1()2h a 就是231123111()2248h a a c h c h c h =++++ (**)1()a h 和1()2ha 与准确值a 的误差都是()o h 阶的.现在，将后(**)式乘2减去（*）式，便得到11232232()()2()21ha a h a h a d h d h -==+++-也就是说，对两个()o h 阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却得到了具有2()o h 阶的近似值2()a h .这样的过程就称为外推.若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从2()a h 出发再次外推，22343344()()2()41ha a h a h a e h e h -==+++-，得到3()o h 阶的近似值3()a h .这样的过程可以进行1k -步，直到11112()()2()()21k k k k k k ha a h a h a o h -----==+-， 满足预先给定的精度.外推方法能以较小的待解获得高精度的结果，因此是一种非常重要的近似计算技术.例 1 单位圆的内接正n 边形的面积可以表示为1()sin(2)2S h h hπ=， 这里1h n=,按照泰勒公式351(2)(2)()223!5!h h S h h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦246123c h c h c h π=++++因此，其内接正2n 边形的面积可以表示为351()()()23!5!h h h S h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦24612314c h c h c h π=++++，用它们作为π的近似值，误差都是()o h 量级的.现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合：4()()()()22()()4123h hS S h S S h h S h S --==+- 那么通过简单的计算就可以知道4623()S h d h d h π=+++2h 项被消掉了！也就是说，用()S h 近似表示π，其精度可以大大提高.2.5求曲线的渐近线方程若曲线()y f x =上的点(,())x f x 到直线y ax b =+的距离在x →+∞或x →-∞时趋于零，则称直线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线.当0a =时称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.显然，直线y ax b =+是曲线()y f x =的渐近线的充分必要条件为lim [()()]0x f x ax b →+∞-+=或lim [()()]0x f x ax b →-∞-+=如果y ax b =+是曲线()y f x =的渐近线，则()()lim 0x f x ax b x →+∞-+=（或()()lim 0x f x ax b x→-∞-+=）. 因此首先有()lim x f x a x →+∞=（或()lim x f x a x→-∞=）. 其次，再由lim [()()]0x f x ax b →+∞-+=（或lim [()()]0x f x ax b →-∞-+=）可得 lim [()]x b f x ax →+∞=-（或lim [()]x b f x ax →-∞=-） 反之，如果由以上两式确定了a 和b ，那么y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线.中至少有一个成立，则称直线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线，当0a =时，称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.而如果()f x 在x 趋于某个定值a 时趋于+∞或-∞，即成立lim ()x f x →∞=±∞则称直线x a =是()f x 的一条垂直渐近线.注意，如果上面的极限对于x →∞成立，则说明直线y ax b =+关于曲线()y f x =在x →+∞和x →-∞两个方向上都是渐近线.除上述情况外，如果当x a +→或a -时，()f x 趋于+∞或-∞，即lim ()x a f x +→=±∞或lim ()x a f x -→=±∞，则称直线x a =是曲线()y f x =的一条垂直渐近线.例1 求 2(1)3(1)x y x -=+的渐近线方程. 解： 设 2(1)3(1)x y x -=+的渐近线方程为y ax b =+，则由定义 2(1)1lim lim 3(1)3x x y x a x x x →∞→∞-===+ 2(1)lim[]3(1)x x b ax x →∞-=-+ 2(1)1l i m []3(1)3x x x x →∞-=-+ =131lim 131x x x →∞-+=-+ 由此13x y =-为曲线y =2(1)3(1)x x -+的渐近线方程。
泰勒公式在微分学中的应用
泰勒公式在微分学中的应用泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它可以用来近似计算函数的值。
它是由英国数学家布鲁克·泰勒在18世纪首次提出的，被广泛应用于物理、工程、经济学等领域。
泰勒公式的一般形式是：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中，f(x)是待求的函数，在点x=a处展开近似；f'(x)表示f(x)的一阶导数，f''(x)表示二阶导数，f'''(x)表示三阶导数，以此类推；n是展开的阶数；Rn(x)表示余项，用于衡量展开式的误差。
泰勒公式的应用主要有以下几个方面：1.近似计算函数值：通过泰勒公式，我们可以将一个函数在其中一点附近展开为一个多项式。
这样，当我们需要计算函数在其中一点的值时，可以用展开的多项式替代原函数计算，从而简化计算过程。
2.函数图像的研究：通过泰勒公式，我们可以近似地了解一个函数的图像特征。
例如，在其中一点的一阶导数为0，二阶导数大于0时，说明该点是一个极小值点，函数图像在该点附近呈现凹向上的形状。
3.函数的极限计算：泰勒公式可以用于计算函数的极限。
当函数在其中一点附近展开为一个多项式时，我们可以通过计算多项式在该点的值来求得函数在该点的极限。
4.数值方法的改进：在数值计算中，泰勒公式可以用于改进数值方法的精度。
例如，通过将函数在其中一点展开为一个多项式，我们可以替代原始的逼近函数，从而提高计算的准确度。
总之，泰勒公式在微分学中有广泛的应用。
它不仅可以用于近似计算函数的值，还可以用于研究函数的图像特征、计算函数的极限以及改进数值方法的精度。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的展开阶数，并注意余项的大小对近似结果的影响。
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泰勒公式及其应用摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要知识点，其在分析和研究数学问题方面有着重要的作用.它被广泛应用于一些重要问题的计算和证明中.本篇文章主要选取了在高等数学中泰勒公式几个常用的问题，归纳总结了在高等数学中解决实际问题的若干应用. 关键词: 泰勒公式 极限 不等式 收敛T aylor Formula and Its ApplicationAbstract: Taylor ’s formula is a very important konwledge in Mathematical analysis. Taylor formula hasmany imporant applications in mathematical analysis. It is widely used in the calculation and proof with respect to some important problems. This paper lists several applications of Taylor formula which exist in using Taylor formula in higher mathematics, and generalizes Taylor formula ’s application in higher mathematics.Key words: Taylor Formula limit inequality convergence0 引言众所周知泰勒公式在高等数学中占有很大的地位.利用它可以很方便的解决一些复杂问题，并能满足很高的精确度要求.比如利用泰勒公式进行函数值的近似计算，证明不等式，判别拐点，而且还可以求极限等.下面简单介绍一下泰勒公式的一些应用.1 预备知识定义1[1]：设函数)(x f 在0x 的某开区间内有直到1 n 阶的导数，则当x 在这个开区间内时，)(x f 就可表示为的一个多项式)(x P n 和一个余项)(x R n 之和.)()(!)()(!2)())(()()(00200''00'0x R x x n x f x x x f x x x x f x f n nnf+-++-+-+=其中)()()!1()()(0101之间与在x x x x n f x R n n n ξξ++-+=上式就是函数)(x f 关于)(0x x -的n 阶泰勒公式，其中101)()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ称为拉格朗日余项.当0=n 时，上式就化为))()(()()(00'0之间与在x x x x f x f x f ξξ-=-.这正是我们熟悉的拉格朗日公式. 若取,00=x 则上式就化为)(!)0(!2)0()0()0()()(2'''x R x n fx f f f x f n nn +++++=这里)0()!1()()(11之间与在x xn fx R n n n ξξ+++=. 这是函数)(x f 的n 阶麦克劳林公式.定义2[2]：若函数)(x f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有))(()()(0nn x x o x P x f -+= 即).)(()(!)())(()()(000)(00'0nn n x x o x x n x fx x x f x f x f -+-++-+=其中))(()(0n n x x o x R -=称为佩亚诺（Peano ）型余项,上式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.以后用的较多的是上式在00=x 时的特殊形式：)(!)(!2)()0()0()()(2'''nn n x o x n x fx x f x f f x f +++++=它也称为（带有佩亚诺型余项）的麦克劳林（Maclaurin ）公式. 下面是几个常用的公式：)1( )(!!212nnxx o n xxx e+++++=)2( )()!12()1(!5!3sin 212153mm m xo m xxxx x +--+++-=--)3( )()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=m mmxo m xxxx)4( )()1(32)1ln(132nnn x o nxxxx x +-+++-=+-)5( )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnx o x n n x x x ++--++-++=+ααααααα)6()(1112nnx o x x x x+++++=-2.泰勒公式的应用在解决实际问题中，我们基本上可以有以下几种应用 2.1计算极限我们在解决一些求不定式极限问题时，有时会发现若用洛必达法则求极限，其过程会比较麻烦，这时我们不妨考虑用泰勒公式来求解. 例1 )3(211ln3)76(sin 6lim222x x xx x x x exx +--+---→分析:本题可直接用洛必达法则进行计算，但过程极其繁琐且易出错，可是用泰勒公式就会很容易.一般我们取0=x 作为其基点.然后我们要考虑要展开几阶，一般我们可尝试逐阶展开，然后根据展开结果进行合理的消去，直到消不去为止. 解：)(0!2115422x x x e x ++-=-)(52322)1ln()1ln(11ln )(51413121)1ln()(51413121)1ln()(402767sin )(!51!31sin 55355432554325536532x o x x x x x xx x o x x x x x x x o x x x x x x x o x x x x ex o x x x x x+++=--+=-++-----=-++-+-=+++-=++-=-则原式=169)(56)(4027lim 55550=++→x o x x o x x例2 求极限2222221cos2212)11(limxx x xx x x x +---+++∞→分析:本题与上题一样，如用洛必达法则计算会非常麻烦，因此我们可用泰勒公式进行计算，可令xt 1=解：原式=tt ttt cos 22211lim222+---+++→=)](!41!211[222)](81211[)](81211[lim4422442442t o t t t t o t t t o t t t ++-+--+--++-++→=3)(121)(41lim44440-=++-+→t o t t o t t2.2计算近似值和估计误差泰勒公式对)1ln(,cos ,sin ,x x x e x +等几个常用的初等函数已给出其在点0=x 的展开式，因此，我们可以对其在一定误差范围内进行近似计算和误差估计. 例3 计算65解：由于6411864165+=+=知其关键在计算6411+因此，函数x x f +=1)(的展开式必须求出来，如果展开到x 的一次项：2''22'!2)()(),()0()0()(x f x R x R x f f x f ξ=++=其中（之间和介于x 0ξ）由 x x f +=1)( 可得 21)0(,1)0(,)1(41)(,121)('32'''==+-=+=-f f x x f xx f则 21)0()0()('1x x f f x P +=+=所以 xx P x 211)(11+=≈+，0078125.16412116411=⋅+≈+根据上式我们来估算误差)0()1(81!2)()(2322''2之间与介于x x xf x R ξξξ-+-==422322100001.064181641)1(81)641(--=≤⋅≤⋅+=ξR由此可得，如果要求误差不超过410-，则上述近似公式已达到了要求，若误差要求不超过0.001，则上述公式不可用，还仍需把x 多展开几项，如展开到含x 的二次项，这样)(1x P 的近似值的8倍就是65的近似值. 例4 计算[]1,0,82112∈-+≈+x xx x 的绝对误差解：由题意可得：33212)1(!3)221)(121(218211x x x x x -+--=+--+θ=3253)1(!3231xx -+⋅⋅θ所以 161)1(161)(3252≤+=-xx x R θ，即其绝对误差不超过161.2.3 不等式证明例5 证明：当0>x 时，恒有x x e x cos 11->--成立.解 因为泰勒公式是将函数多项式和泰勒余项表出，而欲证的不等式可变形为2cos +>+x x e x设 x e x f x cos )(+= 又 x e x f x sin )('-=，在00=x 处将)(x f 展为二阶泰勒公式：,sin )(,0)0(,1)0(,2)0(''''''ξξξ+====e f f f f3)sin (!3102cos xe x x e x ξξ++++=+， x <<ξ0.又 令 x e x g x sin )(+=， 则 x e x g x cos )('+= 因为 0>x 时，1cos ,1≤>x e x ，所以 0>x 时，0)('>x g ，即)(x g 单调增加， 又 1)0(=g ，故0)(>x g . 则 当0>ξ时，0sin >+ξξe ，又因为 0>x ，故03>x ，于是0)sin (3>+x e ξξ，即2cos +>+x x e x从而，不等式x x e x cos 11->-- )0(>x 成立.例6 )(x f 在[0,1]上二阶连续可微，)(''x f M ≤，0)21(=f .证明24)(1M dx x f ≤⎰.分析:所给的条件涉及到二阶导数，应该运用泰勒定理.又由条件0)21(=f ，须用)(x f 在210=x 点的泰勒展开式来证明.证 由泰勒定理知2''')21(!2)()21)(21()21()(-+-+=x f x f f x f ξ，其中ξ在21与x 之间又 M x f f ≤=)(,0)21(''.⎰⎰⎰-+-≤1210'1)21(2)21()21()(dxx M dx x f dx x f .又⎰=-=-1120)21(21)21(x dx x121)21(31)21(10132=-=-⎰x dx x .代入上式得24)(1M dx x f ≤⎰2.4 求函数解析式例7 已知22632)1(23-+-=-x x x x f 求函数)(x f 解：令 ),1()(-=x f x g则由泰勒公式可得3'''2''')1)(1(!31)1(!2)1()1)(1()1()(-+-+-+=x g x g x g g x g由于 12)1(,6)1(,6)1(,17)1(''''''===-=g g g g ， 则32)1(!312)1(621)1(617)()1(-+-⋅+-+-==-x x x x g x f32)1(2)1(3)1(617-+-+-+-=x x x 于是 17632)(23-++=x x x x f2.5证明函数有界例8 设函数)(x g 在),(+∞-∞上三阶可导，且)(),('''x g x g 有界，则)(),('''x g x g 是否有界？分析:由题可知函数是三阶可导函数，因此要想到利用泰勒公式求解本题 解：根据题意知可将函数)(x g 用泰勒展式在点0x 处展开30'''200''00'0)(!3)()(!2)())(()()(x x g x x x g x x x g x g x g -+-+-+=η（η在0x 和x 之间），则令 1,1,0+-==t t x t x 时，有)1(!3)(!2)()()()1()1(!3)(!2)()()()1(22''''''11''''''之间和介于之间与介于++++=+--+-=-t t g t g t g t g t g t t g t g t g t g t g ηηηη则由上可得：)](!31)(!31)1()1([21)())()((!31)(2)1()1()(2'''1''''2'''1'''''ηηηηg g t g t g t g g g t g t g t g t g +---+=++--++=则由)(t g 和)('''t g 有界)(),('''t g t g ⇒有界，则)(),('''x g x g 有界2.6 讨论级数和积分的敛散性例9 研究级数∑∞=1cos1n pnnπ的敛散性解：由 )()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=m mmxo m xxxx ，则 )(1)](1[1cos11++=+==p pppn no nno nnna πππ，则11lim=∞→pn n na ，则 ∑∞=1n n a 与∑∞=11n pn有相同的敛散性，于是可得当1>p 时，∑∞=1cos1n pnnπ收敛， 当1≤p 时，∑∞=1cos1n pnnπ发散.例10 讨论积分dxxx x x ⎰-1sin sin 的敛散性解： )(!31sin 43x o x x x +-=xx o x x x o x x x xx x x x f -+-+-=-=))(!31())(!31(sin sin )(4343)(61))(611(43322x o x x o x x +-+-=)(61)(611232x o x x o x +-+-=))(1(6))(611(32x o xx o x ++--=由于16)(lim=-+→xx f x ，故)(x f 是)0(1+→x x的一阶无穷大量，而⎰11dx x发散，故 dxxx x x ⎰-1sin sin 也发散.2.7 判定极值点与拐点求极值的关键是找到极值点0x .定理1[3]:设点0x 是函数f 的驻点，且f 在点0x 处具有二阶导数)(0''x f ,则取极小值在则若取极大值在则若00''00'',0)()2(,0)()1(x f x f x f x f ><注意：若定理1的条件改为0)(0''=x f ，则不能判定函数在0x 处是否取得极值.如函数3)(x x f =在0=x 处有0)0()0('''==f f ，但0=x 不是函数的极值点；而函数4)(xx g =在0=x 处也有0)0()0('''==g g ，这个函数却在0=x 取得极小值0)0(=g .例11 求2432)(xxx f +=的极值解： 当0≠x 时，232'43224322)(xx xx x f -=-=令 0)('=x f 求得驻点6=x 又 06)864()6(63''>=+==x xx f依据定理1,6=x 为f 的极小值点，极小值为108)6(=f .定理2[4]：设函数f 在点0x 可导，在某邻域)(00x U 内三阶可导，若在)(00x U +和)(00x U -上)(''x f 符号相反，则))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点.推论[5]：这个定理可推广到n 阶的情形.设函数f 在点0x 的邻域内有直至n 阶的导数，且)1,,2,1(0)(0)(-==n k x fk 而)2(0)(0)(>≠n x fn ，则当n 是奇数时))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点.例12 设)(0'''x f 存在且0)(,0)(0''0'''=≠x f x f .则 ))(,(00x f x 是否为曲线)(x f y =的拐点.分析:本题有3阶导数，因此可用上述定理2来做. 解 由题意可知对)(0''x f 运用泰勒公式展开，可得)())(()(000'''0''x x o x x x f x f -+-=因 ,0)(0'''≠x f 则可设,0)(0'''>x f 于是有0>δ, 使得当 δ+<<00x x x 时，0))((00'''>-x x x f ， 从而 0)(''>x f .但当 00x x x <<-δ时，0))((00'''<-x x x f 从而 0)(''<x f . 由此知)(''x f 在0x 两侧异号，又0)(0''=x f ， 故由定理2得))(,(00x f x 是为曲线)(x f y =的拐点.由上可知:运用定理2可以求得结果，但比较麻烦，我们用推论的话就比较简单且易操作.解 因0)(,0)(0''0'''=≠x f x f 且)(0'''x f 存在，则知此时3=n ，运用推广可知))(,(00x f x 是为曲线)(x f y =的拐点.但上述方法只能用于这种特殊情形，下面来讨论一种新情况.例13 讨论曲线31x y =在),(+∞-∞的拐点.解 令31)(x x f =.)0('f 不存在，)0(''f 也不存在. 当0≠x 时，35''32'92)(,31)(---==xx f xx f .因而当0<x 时有0)(''>x f ，当0>x 时有0)(''<x f .11 由此可知：曲线31x y =在)0,(-∞内下凸[6]，在),0(+∞内上凸，而点（0，0）是此函数的拐点.上例说明：虽然)(),(0''0'x f x f 不存在，但相应点))(,(00x f x 仍可能是曲线的拐点.3 小结本文介绍了泰勒公式的一些简单应用.由此可见，泰勒公式的应用非常广泛，它在理论和实际运算中都有很大的作用.另外，在解决实际问题中，大家要学会变通，做到一题多解，灵活应用，这样对于我们解决一些具体问题有更大的帮助.参考文献：[1] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版设，2001.134-139[2] 陈益民.驻点与拐点的泰勒定理判别法[J].丽水学院学报，2005，10,27(5)：8-9[3] 严振祥，沈家骅.泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用[J].重庆交通大学学报，2007，8，26(4):160-161[4] 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