3.4基本不等式(2,3)
福建省人教版高二数学第三单元教案：3.4基本不等式1
第一课时 3.4基本不等式2a b +≤（一）教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；教学重点：2a b +≤的证明过程；教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵教学过程：一、复习准备：1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。
2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、讲授新课：1. 教学：基本不等式2a b +≤①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
（教师提问→学生思考→师生总结）②思考：证明一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b +≤2a b +≤：用分析法证明：要证 2a b +≥(1)， 只要证 a+b ≥ (2)， 要证（2），只要证 a+b- ≥0（3）要证（3）， 只要证（ - ）2（4）， 显然，（4）是成立的。
当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。
⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)yx x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.⑥探究：课本第110页的“探究”：（结论：如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.）2. 小结：①两正数a 、b 的算术平均数与几何平均数成立的条件。
3.4基本不等式(三)ppt课件
ab ab 2
复习引入
基本不等式：
a b 2ab ;
2 2
ab ab (a 0, b 0) . 2
讲授新课
例1. a, b 是正数且 a b 4，求 ab 的最值 .
讲授新课
例1. a, b 是正数且 a b 4，求 ab 的最值 . 变式1. a, b 是正数且 2a b 4，求 ab 的最值 .
1 1 1 求证 : ( 1)( 1)( 1) 8. a b c
练习2：下面解法正确吗？为什么？
1 2 (1)、已知x 时, 求x 1的最小值; 2 解 : x 1 2 x 1 2 x, 当且仅当x 1
2 2 2 2
即x 1时, x 1有最小值2 x 2. 4 (2)、已知x 3, 求x 的最小值. x 4 4 解 : x 2 x 4, 原式有最小值4. x x 4 当且仅当x , 即x 2时, 等号成立. x
例1. a, b 是正数且 a b 4，求 ab 的最值 . 变式1. a, b 是正数且 2a b 4，求 ab 的最值 .
b 变式2. a, b 是正数且a 4，求 ab 的最值 . 2
变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和 此时a、b的值.
讲授新课
例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b) 的最值和此时a、b的值. (2) a, b是正数, a 2b 2, a (1 2b )
d2 积最大的是正方形，这个正方形的面积等于 . 2
(4)、求以下问题中的最值 :
4 (a)设x 1, x 1 的最小值是 4 ____; x 1
3.4 基本不等式(教案)
3．4基本不等式（第一课时）来宾高中数学组：卢红兰教学目标一、知识目标1、探索并了解基本不等式的证明过程；2、了解基本不等式的几何背景；3、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
二、能力目标通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
三、情感目标通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。
教学重、难点重点：1、数形结合的思想理解基本不等式；2、基本不等式成立的条件及应用。
难点：基本不等式成立的条件及应用。
教学过程一、创设情境，引入课题探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计；将右图中的“风车”抽象成下图，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，大正方形的面积为222b a S +=。
由图可知12S S >，即ab b a 222>+．思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？（当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=）2、以上结论能否推广到任意实数a ,b ?总结：重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
你能给出证明吗？思考二：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？ 引导：为什么可以替换？a ,b 要满足什么条件？结论：a b +≥)0,0(>>b a ，当且仅当b a =时取等号. 你能给出证明吗？二、数形结合，深化认识展示课题内容:重要不等式．．．．．：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 基本不等式．．．．．：若,0a b >，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）此环节学生提出疑惑，小组解答三、辨析质疑（小组活动）例1. 若0x >，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？练1：把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？小结1：当ab 为定值P 时，a b +有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？变式1：若0x <，1x x+有最值吗？如果有，请你求出最值. 变式2：你会求1x x +的最值吗？试一试.例2. 若02x <<，当x 取什么值？(2)x x -值最大？最小值是多少？练2：把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最小？小结2：当a b + 为定值S 时，ab 有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？四、小结：1、222a b ab +≥当且仅当a b =时“=”成立2、2a b +≥0,0a b >>）当且仅当a b =时“=”成立 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想五、作业设计1、基本作业：（1）判断下列推理是否正确：① 函数22(0)y x x x=+>的最小值是（ ）② 函数y =的最大值是5. （ ）③ 函数1sin sin y x x=+的最小值是2. （ ）（2）完成同步课时作业2、拓展作业：到阅览室或网上查找基本不等式的几何解释，整理并相互交流．六、板书设计3．4基本不等式1、重要不等式：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）2、基本不等式：若,0a b >，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想。
3.4基本不等式
基本不等式的几何解释： 基本不等式的几何解释： D
A
a
C
b
B
E
几何意义：半弦 不大于半径 几何意义：半弦CD不大于半径
例1.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园， 1.用篱笆围一个面积为100m 矩形菜园， 用篱笆围一个面积为 问这个矩形的长、宽各为多少时， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所 用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 结论1 两个正数积为定值， 结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 已知直角三角形的面积等于50 50， Ex1: 已知直角三角形的面积等于50， 两条直角边各为多少时， 两条直角边各为多少时，两条直 角边的和最小，最小值是多少？ 角边的和最小，最小值是多少？
高二数学
§3.4基本不等式: 3.4基本不等式 基本不等式:
a+b ab ≤ 2
ICM2002会标 会标
D
a2 + b2
D
a G A H F b E C A
a E(FGH) b C
B
B
不等式： 一般地，对于任意实数a 不等式： 一般地，对于任意实数 、b，我们有 ， 当且仅当a=b时，等号成立。 时 等号成立。 当且仅当
基本不等式： 基本不等式：
a +b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。 时 等号成立。 当且仅当
注意： 注意： （1）两个不等式的适用范围不同。 ）两个不等式的适用范围不同。 （2） ）
ab
a +b 2
称为正数a、 的几何平均数 称为正数 、b的几何平均数
称为它们的算术平均数。 称为它们的算术平均数。
例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 用一段长为36m 菜园， 菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少 菜园的面积最大，最大面积是多少？ 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 结论2 两个正数和为定值， 结论2：两个正数和为定值，则积有最大值 Ex:用20cm长的铁丝折成一个面积最大 Ex:用20cm长的铁丝折成一个面积最大 的矩形,应当怎样折? 的矩形,应当怎样折?
高三数学基本不等式
早、午、晚分三次到额娘の房里来请安，给额娘沏茶倒水、捶脚捏腿。假如服侍得好呢，小爷就不计较咯；假如服侍不好呢，可得就扣罚你の 月银，还要罚你去跪佛堂，到时候可不要怪小爷不讲情面呀。待众人给额娘请过安，德妃立即就注意到两年多不见の年氏：“水清，过来，到 额娘跟前来，让额娘看看，这两年怎么就不见咯人影儿咯呢？每次都是病咯，怎么两年前在塞外の时候也没见你三天两头地病倒呢？”“回额 娘，媳妇不孝，每次生病都那么恰巧遇到请安或是宫宴の日子，媳妇也是心有惭愧。这壹回终于养好咯身子，还好，没有错过皇阿玛の寿 宴。”“噢，你这生病和病好，都是挺会捡时候の。”“不是，媳妇只是……” “行咯，行咯，额娘也就是那么壹说，你也别解释咯。不过呢， 这身子是要抓紧养好咯，这人呢，也得看紧咯。要是没本事看得紧呢，也就别拦着拉着，爷不可能就你壹各诸人，既然你又生不出来各壹男半 女，就不要霸着爷。”这都已经过去两年の事情，德妃还记着呢！要不是现在娘娘提起这件事情，水清早就忘得壹干二净咯。可是眼看着德妃 の语气如此严厉，又当着其它妯娌们の面，她年龄再小，可怎么着也是众人の小四嫂，也是长辈，总不好在弟妹们面前再掰扯这些陈芝麻烂谷 子，更何况这又是很丢脸面の事情。因此水清只好装作悉心听从额娘教诲の样子，低眉垂首，老老实实、壹言不发地听着娘娘の训诫。她希望 用自己の恭顺表现尽快躲过德妃の喋喋不休。第壹卷 第333章 插曲弘时虚岁才十岁，半明白半不明白地听着太太和年姨娘说着话。他明白の 是太太对年姨娘比对额娘好得太多咯！众人才刚壹落座，太太就跟年姨娘说各不停，把额娘都冷落到咯壹边。他不明白の是太太口中所说の “看紧啥啊，别拦着啥啊”。不管太太说の是啥啊事情，反正太太对年姨娘好得不行，以前太太可是对额娘好着呢，可是今天太太怎么被年姨 娘给抢走咯？越想他越是不高兴，越想他越是为自己の额娘鸣不平，越想他越是看那年姨娘不顺眼。年姨娘真坏，霸占着太太，太太不但不理 额娘，连小爷我都没机会跟太太说上壹句话。年姨娘，小爷特别地讨厌你，再也不想见到你！弘时因为心中气恨难平，就开始在淑清の怀里扭 来扭去。开始の时候淑清还没有理会他，只当他是想出去玩，不喜欢在太太面前立规矩，于是两只手上加咯些力气，希望吓唬吓唬之后，她の 时儿能老老实实地呆壹会儿，反正马上就要去乾清宫参加寿宴咯。可是弘时哪里能理会额娘这番无声の吓唬，只要没有他の阿玛在，他可是天 不怕地不怕の小霸王！于是他更加使劲儿地拱来拱去，嘴里居然开始哼叽上咯，企图挣脱淑清の怀抱。其实他只有壹各想法，他想让德妃娘娘 注意到他，跟他好好说壹会儿话，他今天带咯好多小玩意儿来，还没有来得极给太太展示显摆呢。这么大の动作外加上弘时の哼哼叽叽，德妃 终于注意到咯在淑清怀里快要反咯天の三小格。唉，真是老糊涂咯，怎么这么半天光顾着跟年氏发泄不满，忘记照顾这各孙子咯，于是赶快开 口说道：“时儿，快，过来，到太太这里来。”弘时壹听德妃喊自己，高兴得壹哧溜地就从淑清の怀里滑脱，着急忙慌地朝着娘娘跑过去。结 果还没跑到呢，就听房外传来咯永和宫首领太监王长有の声音：“启禀娘娘，乾清宫の梁公公传话来咯，请娘娘赴宴呢。”弘时壹下子傻咯眼， 猛地扑到太太の怀里，委屈得眼泪珠子吧嗒吧嗒地直往下掉。德妃急着去赴宴，根本就没有注意到三小格居然哭上咯。淑清见娘娘起咯身，知 道她是急着出发，就赶快上前将弘时接回咯自己の怀里。在淑清连哄带吓唬之下，弘时小格总算是不再掉眼泪，但仍然壹直撅着小嘴，万分不 满、极为无奈地跟在自己の额娘身旁，可是没走两步，他就开始耍赖，愣是抱着淑清の大腿不肯自己再走。淑清没办法，十来岁の小格，她就 是想抱也抱不动，只好又是许诺明天不用去书房读书，又是保证回府后可以玩平时不让他玩の玩意儿，总算是把弘时暂时安抚下来。好不容易 拉着这各小魔王到咯宴席上，原以为见到咯许多同龄の皇叔、皇兄、皇弟们，他早就像往常那样兴奋地和大家玩上咯，谁知道他壹言不发、闷 闷不乐地坐在椅子上，任谁找、任谁请，他就是哪儿都不去玩。第壹卷 第334章 重逢今天の宴席，排字琦坐到咯嫡福晋席上，和各位嫡妯娌 们同坐壹桌。水清和淑清与三、五、七、九这四位爷の侧福晋、小福晋们坐在壹起。八小格既没有侧福晋也没有小福晋，只有几各侍妾，因此 八小格只带咯那木泰壹各女眷，直接坐到咯排字琦她们那壹桌上。水清自然是与淑清并肩而坐。以前她被王爷下达咯禁行令，连永和宫の请安 都被免掉，她更是没有任何机会与那些亲の，半亲の，堂の妯娌们认识、交往。她只认识萨苏，但是萨苏在嫡福晋の那壹桌；她只认识塔娜， 但是塔娜在年幼小福晋那壹桌。由于没有认识の其它府上の女眷们，水清只能是象往常那样，静静地端坐壹隅，冷眼旁观各位嫂子弟妹们之间 熟络の打招呼、聊闲天。小格们也是按着长幼顺序纷纷落座。即使男宾与女眷の桌子相隔甚远，可是二十三小格仍是在人头攒动の乾清宫，在 远隔千山万水の女宾席上，准确地找到咯水清の身影。由于是皇上の六十大寿，今天所有の小格们都各司其职，身负重任地在前面忙着寿宴の 诸项事宜，二十三本小格也与众兄长们壹道紧张地忙
(部编版)2020年高中数学第三章不等式3.4基本不等式新人教A版必修24
3.4 基本不等式： ab ≤a ＋b2[新知初探]1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．[点睛] 基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b2，即只能有ab ＜a ＋b2.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立( )(2)若a ≠0，则a ＋4a≥2a ·4a＝4( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22( )解析：(1)错误．任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立． (2)错误．只有当a >0时，根据基本不等式，才有不等式a ＋4a≥2a ·4a＝4成立． (3)正确．因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.答案：(1)× (2)× (3)√2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞a ＋b2＞abB ．a ＞a ＋b2＞ab ＞b C ．a ＞a ＋b2＞b ＞abD ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b 解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此B 项正确．3．若x >0，则x ＋9x＋2有( )A ．最小值6B ．最小值8C ．最大值8D ．最大值3解析：选B 由x ＋9x＋2≥2x ·9x ＋2＝8(当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，取等号)，故选B. 4．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是( ) A ．y ＝|x |2＋4|x |≥2|x |2·4|x |＝4|x |≥0B ．y ＝sin x ＋4sin x ≥2sin x ·4sin x＝4(x 为锐角)C ．已知ab ≠0，a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2 D ．y ＝3x＋43x ≥23x·43x ＝4解析：选D 在A 中，4|x |不是常数，故A 选项错误；在B 中，sin x ＝4sin x时无解，y 取不到最小值4，故B 选项错误；在C 中，a b ，b a 未必为正，故C 选项错误；在D 中，3x ，43x 均为正，且3x＝43x 时，y 取最小值4，故D 选项正确．[典例] (1)已知m ＝a ＋a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定(2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．[解析] (1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2a －1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知m >n .(2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0， 所以Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ；Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab <lg a ＋b 2＝R . 所以P <Q <R .[答案] (1)A (2)P <Q <R已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小． 解：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， 所以 a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 同理 b 2＋c 2≥22(b ＋c ), c 2＋a 2≥22(c ＋a )， 所以 a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]， 即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.[典例] 已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.[证明] ∵a ，b ，c 均为正实数， ∴2b a ＋a2b ≥2(当且仅当a ＝2b 时等号成立)， 3ca＋a3c≥2(当且仅当a ＝3c 时等号成立)， 3c 2b ＋2b3c≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)， 将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a.同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.[典例] (1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． (3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[解] (1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. (2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.(3)∵1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x＋9xy＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x＋9xy ＋10≥2y x ·9xy＋10＝16， 当且仅当y x＝9xy，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.[活学活用]1．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 由已知，可得6⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2ba时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.2．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 因为a >b >0，所以a －b >0， 所以a 2＋1ab ＋1a a－b＝a (a －b )＋1aa －b ＋ab ＋1ab≥2a a －b1a a －b＋2ab ·1ab＝4，当且仅当a (a －b )＝1aa －b 且ab ＝1ab， 即a ＝2，b ＝22时等号成立.[典例] 每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200， 由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少．解：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．层级一 学业水平达标1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1B.1a ＋1b ≥1C.1a ＋1b<2D.1a ＋1b≥2解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab≥214＝1. 4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bc解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为________．解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2ab3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.答案：4 27．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________．解析：由题意得，y ＝3－x22x，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 答案：38．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞9．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x＋－x ＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. 证明：因为a >0，b >0，c >0， 所以b a ＋ab ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋c b≥2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b ≥6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝b c， 即a ＝b ＝c 时，等号成立． 所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. 层级二 应试能力达标1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |解析：选A ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)． 2．已知实数a ，b ，c 满足条件a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正负不确定解析：选B 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，所以a >0，b <0，c <0，且a ＝－(b ＋c )， 所以1a ＋1b ＋1c ＝－1b ＋c ＋1b ＋1c ，因为b <0，c <0，所以b ＋c ≤－2bc ， 所以－1b ＋c ≤12bc ，又1b ＋1c ≤－21bc，所以－1b ＋c ＋1b ＋1c ≤12bc－21bc ＝－32bc<0，故选B. 3．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b2cd的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以a ＋b2cd＝x ＋y 2xy＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立．4．若实数x ，y 满足xy >0，则xx ＋y ＋2y x ＋2y 的最大值为( ) A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4－2 2 解析：选D xx ＋y ＋2y x ＋2y ＝11＋y x ＋2·y x 1＋2·y x， 设t ＝y x >0，∴原式＝11＋t ＋2t 2t ＋1＝1t ＋1＋2t ＋1－12t ＋1＝1＋t t ＋1t ＋＝1＋12t ＋1 t ＋3. ∵2t ＋1t ≥22， ∴最大值为1＋122＋3＝4－2 2. 5．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，因为x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，所以x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y 4x ＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y 4x ，即x ＝2，y ＝8时，等号是成立的，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝4，所以m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4.答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)6．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________． 解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2a ＋b ＋＝79ab ＋10，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47. 答案：477．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2016年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数；(2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x元， ∴y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2016年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．8．已知k >16，若对任意正数x ，y ，不等式⎝⎛⎭⎪⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立，求实数k 的最小值． 解：∵x >0，y >0，∴不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立等价于⎝⎛⎭⎪⎫3k －12x y ＋k y x ≥2恒成立． 又k >16， ∴⎝⎛⎭⎪⎫3k －12x y ＋k y x ≥2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12， ∴2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12≥2，解得k ≤－13(舍去)或k ≥12， ∴k min ＝12.。
3.4基本不等式2
(a＞0，b＞0)中，如果a· b＝P为定值， 能得到什么原理？ 原理一：若两个正数的积为定值，则当 这两个正数相等时它们的和取最小值.
思考2：在基本不等式 a b 2
ab
(a＞0，b＞0)中，如果a＋b＝S为定值， 又能得到什么原理？
原理二：若两个正数的和为定值，则当 这两个正数相等时它们的积取最大值 .
作业：
补充：
1 并求取得最小值时x的值. 1.求y 2 x ( x 2)的最小值， x2 1 并求取得最大值时x的值. 2.求y x(1 3x)(0 x )的最大值， 3
3：已知正数 a、b 满足 a＋b＝1，求证：
1 (1)ab≤4； 1 1 1 ( 2) 2 (2)aa＋b2≥4 ； b 2 1 1 (3)( a ) (b ) 9 a b
2y x 2 y 时，即x 2 1, y 1 当且仅当 x 时取到等号. 2 x 2 y 1
“1”的代换
1 9 (1)已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小值； 变式： x y
(2)设 x>0，y>0，且 2x＋8y＝xy，求 x＋y 的最小值．
1 9 (1)已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小值； x y
1 9 解：(1)∵x>0，y>0， ＋ ＝1， x y 1 9 y 9x ∴x＋y＝( ＋ )(x＋y)＝ ＋ ＋10≥6＋10＝16. x y x y y 9x 当且仅当 ＝ ， x y 1 9 又 ＋ ＝1， x y 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号． 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
证明：∵a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1， 1－a b＋c 2 bc 1 ∴ －1＝ ＝ ≥ ， a a a a 1 2 ac 1 2 ab 同理 －1≥ ， －1≥ . b b c c 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘 1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ( －1)( －1)( －1)≥ · · ＝8. a b c a b c 1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时，等号成立． 3
3.4基本不等式(二)
二定
三相等
反思:由例1例2我们可 以得到什么启示呢？
已知x，y∈R＋，则有： (1)若和x＋y＝S为定值，则当且仅当x＝y时， 积xy有最大值则有
S 4
2
(2)若积xy＝P为定值，则当且仅当x＝y时，和 x+y有最小值2 P
极值定理：
（1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点： 一正
二定
三相等
练习(1)求函数 y
1
(3)已知 2 x 3 y 2( x 0, y 0) 求x y 的最大值. (4)已知直角三角形的面积等于50,两条直角 边各为多少时,两条直角边的和最小,最小值 是多少? (5)做一个体积为32m3,高为2m的长方体纸 盒,底面的长与宽取什么值时用纸最少?
小结
2
1.常用结论: 1
a
1 b
ab
a b 2
a
2
b 2
2
2.极值定理:积定和最小，和定积最大。 已知x，y∈R＋，则有： (1)若和x＋y＝S为定值，则当且仅当x＝y时， 积xy有最大值则有
S 4
2
(2)若积xy＝P为定值，则当且仅当x＝y时，和 x+y有最小值2 P
应用要点：一正
2
b 2
2
a b 2
应用二 ：解决最大（小）值问题
例1、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜 园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短。最短篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大。最大面积是多少？
例题讲解
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考点五：分离法
2 x 2 x 3 例4．求函数 f ( x) ( x 0) x
的最大
值，及此时x的值。
3 解： f ( x) 1 (2 x ) ，因为x>0， x
3 3 所以 2 x ≥ 2 2 x 2 6 x x 3 得 (2 x )≤ -2 6 x
1.凑项 ：使积成为定值 2.凑系数 ：使和成为定值
考点二：基本不等式与对数相结合
5 2 例：已知lgx+lgy＝1， 的最小值是______. 2 x y
2 练习：正数x, y满足x y 20, lg x lg y的最大值 ____;
考点三：基本不等式与指数相结合
变式：已知点（x,y）在直线x+2y=x＋ 1 ＝(x＋1)＋
4 ＋5 x＋ 1
≥2
4 x＋1· ＋5＝9， x＋1
4 当且仅当(x＋1)＝ ，即 x＝1 时，ymin＝9. x＋ 1
考点六：与一元二次不等式结合 例：已知正数x,y满足xy=x+y+3，试求xy,x+y的范围
变式：已知正数x,y满足x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值
（2）应用口诀：“一正，二定，三相等”
注意:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等” . 当条件不 完全具备时，应创造条件.
一正：两项必须都是正数； 二定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
三相等 ： 等号成立的条件必须存在.
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 号成立。
3 2x x
3 ，即 x 2
2
时，式中等
由于x>0，所以
6 x 2
，式中等号成立，
6 ，此时 x 2
因此 f ( x)max 1 2 6
。
变式：已知 x>－1，求函数 y＝ x＋5x＋2的最小值为多少？
解析： x＋5x＋2 y＝ x＋ 1
考点四：“1”的代换
y
2 时取到等号 . 2
1 9 (1)已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小值； 变式： x y
1 9 (1)已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小值； x y
1 9 解：(1)∵x>0，y>0， ＋ ＝1， x y 1 9 y 9x ∴x＋y＝( ＋ )(x＋y)＝ ＋ ＋10≥6＋10＝16. x y x y y 9x 当且仅当 ＝ ， x y 1 9 又 ＋ ＝1， x y 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号． 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
3.4《基本不等式》
(第二课时)
复习
1.重要不 如果a，b∈R， 那么a2+b2≥2ab 等式： （当且仅当a=b 时取“=”） ab + 如果a, b∈R ，那么 ab 2.基本不
2
注： （1）常用变形：①
等式： （当且仅当a=b 时，式中等号成立）
a b 2 ab
2
( a b) ② ab 4
2 ( x 1) x 1 1 3
(1)x=2 (2)x=1/2
思考：取到最值时x的值呢？
构造法
变式：（1）已知x>-2,求
1 x 的最小值； x2
（2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值.
1 变式：（1）已知x>-2,求 x 的最小值；0 x2 （2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值. 1 8
求 2x+4y的最小值;
例2 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求u 1 1
的最小值．
x
1 1 x 2y x 2y 2y x u 3 3 2 2 解析： x y x y x y
2y x 当且仅当 x y 时，即x x 2y 1 2 1,y 1
ab a 2 b2 ab 已知a，b为正数，试 1 1 2 2 a b 2
调和 平均 数 几何 平均 数 算术平 均数 平方 平均 数
考点一：基本不等式的主要应用——求最值
例1：（1）已知x>1,求
1 x x 1
的最小值；
（2）已知0<x<1,求x(1-x)的最大值. (1) x 1 x 1 0 (2) 0 x 11 x 0 解析： 1 1 2 ( x 1 x ) 1 x ( x 1) 1 x(1 x) x 1 x 1 4 4 1
小结:
在利用基本不等式求最值时要注意三点：
一是各项为正； 二是寻求定值， （1）求和式最小值时应使积为定值， （2）求积式最大值时应使和为定值 (恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式、 “1”的代换是常用的解题技巧)； 三是考虑等号成立的条件．