1.1.1角的概念的推广
角的概念的推广
第三象限角的集合：
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第四象限角的集合：
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
例1. 在 - 720到720之间，写 出与60角终边相同的角的集合M.
例1. 在 - 720到720之间，写 出与60角终边相同的角的集合M. 例2. 求终边为直线y x的角的集合.
例3. 已知 是第二象限角，
问：12 是第几象限角？ 2 是第几象限角？
2
3 是第几象限角？
3
课堂练习
1. A {小于90的角}，B {第一象限
的角}，则A B （ ）
A.{锐角}
B.{小于90的角}
C.{第一象限的角} D.以上都不对
2. 若90 135, 则 的范围是______, 的范围是_______ .
3. 与- 457角终边相同的角的集合是：
A.{ | k 360 457, k Z} B.{ | k 360 97, k Z} C.{ | k 360 263, k Z} D.{ | k 360 263, k Z}
角的概念的推广
一、复习
1.初中是如何定义角的？
二、角的概念的推广：
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
教的概念习题
1.1.1 角的概念的推广知识点回顾1、角可以看成平面内一条 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 。
2、按逆时针方向旋转形成的角叫做 ，按顺时针方向旋转形成的角叫做 。
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个 ，它的 和重合。
这样，我们就把角的概念推广到了 ，包括 、 和 。
3、我们常在 内讨论角。
为了讨论问题的方便，使角的 与重合，角的 与 重合。
那么，角的 落在第几象限，我们就说这个角是 。
如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角 。
4、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个 ，，即任一与角α终边相同的角，都可以表成 。
5、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°6、－1120°角所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°8、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．9、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C11、下列结论正确的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα 12、若α是第四象限的角，则α-180是 ．(89上海)A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角13、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．14、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．15、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．16、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1） 210-； （2）731484'- ．17、下列说法中，正确的是（ ）A ．第一象限的角是锐角B ．锐角是第一象限的角C ．小于90°的角是锐角D ．0°到90°的角是第一象限的角18、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）（1） （2） （3）19、已知角α是第二象限角，求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。
角的概念的推广和换算
1.1.1 角的概念的推广一、选择题1．与610°角终边相同的角表示为( )A ．k ·360°＋230°(k ∈Z )B ．k ·360°＋250°(k ∈Z )C ．k ·360°＋70°(k ∈Z )D ．k ·360°＋270°(k ∈Z )2．时针经过1小时，时针转动的角的大小为( )A ．30°B ．60°C ．－30°D ．－60°3．已知集合M ＝{第一象限角}，N ＝{锐角}，P ＝{小于90°的角}，则下列关系式中正确的是( )A ．M ＝N ＝PB ．M PC ．M ∩P ＝ND ．N ∪P ⊆P4．终边在直线y ＝－x 上的角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·180°＋225°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }5．下列四个命题中正确的是( )A ．α是第一象限的角，则α2必为第一象限的角 B ．α＋k ·360°(k ∈Z )表示与α终边相同的角，则α是锐角C ．终边相同的角不一定相等D ．2α与α的终边不可能相同6．若角α与β的终边互为反向延长线，则有( )A ．α＝β＋180°B ．α＝β－180°C ．α＝－βD ．α＝β＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z二、填空题7．若锐角α的终边与7α的终边相同，则α＝________.8．若β的终边与60°角的终边相同，则在[0°，360°)内，终边与β3角的终边相同的角为______． 9．把－1 488°转化为α＋k ·360°(0≤α<360°，k ∈Z )的形式是________.三、解答题10．已知角α的终边在右图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界)，写出角α的集合．11．写出与下列各角的终边相同的角的集合S ，并把S 中满足不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．(1)1 303°18′；(2)－225°.12．已知A ＝{α|k ·360°＜α＜120°＋k ·360°，k ∈Z }，B ＝{β|－45°＋k ·360°＜β＜45°＋k ·360°，k ∈Z }，求A ∩B ；A ∪B .详解答案1．B ∵610°＝360°＋250°，∴与610°终边相同的角可以表示为k ·360°＋250°(k ∈Z )，故选B.2．C ∵时针顺时针旋转，故旋转的角度为－360°12＝－30°. 3.D ∵M ＝{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }，N ＝{α|0°<α<90°}，P＝{α|α<90°}．∴M 、N 、P 的关系如右图所示，即N ∪P ⊆P .故选D.4．D 当x <0时，α＝k ·360°＋135°(k ∈Z )，当x >0时，α＝k ·360°＋315°＝(2k ＋1)·180°＋135°(k ∈Z )，∴终边落在直线y ＝－x 上的角的集合为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z }＝{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }．5．C6．D7．60°解析：由题意得7α＝k ·360°＋α，(k ∈Z )，∴α＝60°·k (k ∈Z )，又α为锐角，∴α＝60°.8．20°，140°，260°解析：∵β＝k ·360°＋60°(k ∈Z )，∴β3＝k ·120°＋20°(k ∈Z )． 又β3∈[0°，360°)，∴0°≤k ·120°＋20°<360°(k ∈Z )， ∴－16≤k <176，∴k ＝0,1,2， 此时分别得β3为20°，140°，260°. 故与β3终边相同的角为20°，140°，260°. 9．－5×360°＋312°解析：－1 488°＝－5×360°＋312°.10.解：在0°～360°的范围内，终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°，∴所有满足题意的角α的集合为{α|k ·360°＋30°<α<k ·360°＋150°，k ∈Z }∪{α|k ·360°＋210°<α<k ·360°＋330°，k ∈Z }＝{α|n ·180° ＋30°<α<n ·180°＋150°，n ∈Z }．11．解：(1)S ＝{β|β＝1 303°18′＋k ·360°，k ∈Z }．分别令k ＝－5，－4，－3得，S 中满足不等式－720°≤β<360°的元素为－496°42′，－136°42′，223°18′.(2)S ＝{β|β＝－225°＋k ·360°，k ∈Z }．分别令k ＝－1，0,1得，S 中满足不等式－720°≤β<360°的元素为－585°，－225°，135°.12．解：集合A 、B 表示的角如图中阴影部分所示，故A ∩B ＝{α|k ·360°＜α＜45°＋k ·360°，k ∈Z }，A ∪B ＝{α|－45°＋k ·360°＜α＜120°＋k ·360°，k ∈Z }．1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算一、选择题1．－29π12的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．把56°15′化为弧度是( )A.58πB.54πC.56πD.516π 3．下列各命题中，假命题是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关4．(2016·山东济南一中检测)圆的一条弦的长度恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数为( )A.π3B.π6C ．1D ．π 5．下列各组角中终边相同的是( )A ．2k π＋π与(4k ±1)π(k ∈Z ) B.k π2与k π＋π2(k ∈Z ) C ．k π＋π6与2k π±π6(k ∈Z ) D ．k π±π3与k π3(k ∈Z ) 6．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其圆心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或5二、填空题7．下列各角中，终边相同的是________．①3π2和15π2；②π5和26π5；③－7π8和25π8；④20π3和－17π3. 8.已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．9．已知一扇形的圆心角为π3rad ，半径为R ，则该扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为__________．三、解答题10．将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π. 11．已知扇形的周长为30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？12．如下图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角(虚线表示不包括边界)．详解答案1．D －29π12＝－2π－5π12，∵－5π12是第四象限的角， ∴－29π12的终边在第四象限．故选D. 2．D 56°15′＝56.25°＝56.25×π180＝516π.故选D. 3．D 根据角度与弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，故选D.4．A 圆的弦与半径组成等边三角形，所以圆心角的弧度数为π3，故选A. 5．A 对k 取不同值验证可知A 正确．6．A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，得α＝1或α＝4. 7．①③解析：15π2＝6π＋3π2，故3π2与15π2终边相同， 26π5＝4π＋6π5，π5与26π5终边不相同，25π8＝4π－7π8，－7π8和25π8终边相同． 20π3＝6π＋2π3，－17π3＝－6π＋π3， ∴20π3与－17π3终边不相同． 8.32解析：圆心角α＝1812＝32. 9．2∶3解析：如右图，设内切圆的半径为r ，则∠DOE ＝60°.在Rt △OME 中，ME ＝r ， ∴OM ＝2r ， ∴3r ＝R ， ∴r ＝R 3， ∴S 圆∶S 扇＝⎣⎡⎦⎤π·⎝⎛⎭⎫R 32∶⎣⎡⎦⎤12·π3·R 2＝ 2∶3. 10．解：(1)20°＝20π180＝π9. (2)－15°＝－15π180＝－π12. (3)7π12＝7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫7π12×180π°＝105°. (4)－11π5＝－11π5×⎝⎛⎭⎫180π°＝－⎝⎛⎭⎫11π5×180π°＝－396°. 11．解：设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝30，l ＝30－2r (0＜r ＜15)，∴S ＝12lr ＝12(30－2r )r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254.∴当r ＝152 cm 时，扇形面积的最大值是2254cm 2， 此时α＝l r ＝30－2×152152＝2. 12．解：(1)如题中图(1)，在[0,2π)内满足条件的集合为⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎣⎡⎦⎤2π3，π. 则所求角的集合为α2k π≤α≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤α≤π＋2k π，k ∈Z . (2)如题中图(2)，在[0,2π)内满足条件的集合为⎝⎛⎭⎫π6，π4∪⎝⎛⎭⎫7π6，5π4，则所求角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ π6＋2k π<α<π4＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪7π6＋2k π<α<5π4＋2k π，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ π6＋2k π<α<π4＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ π6＋(2k ＋1)π<α<π4＋(2k ＋1)π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪π6＋k π<α<π4＋k π，k ∈Z .。
人教B版 角的概念的推广
1.1.1 角的概念的推广一、学习目标1、 理解任意角的概念，并会用“旋转”定义角的概念；2、 理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
二、复习引入：初中角的定义是什么？三、概念形成角的概念的推广⑴一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按 旋转到另一个位置OB ，就形成角α。
旋转开始时的射线OA 叫做 ，旋转终止的射线OB 叫做 ，射线的端点O 叫做 。
⑵正角是 ，负角是 ， 零角是 ，转角是 。
注：引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即，αβ-可以转化为 。
这就是说 。
即学即练：经过2个小时，分针转过的角度是多少？时针呢？⑶象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）即学即练：30︒是第几象限角？390︒是第几象限角？330︒-，300︒，60︒-，585︒，2000︒-又分别是第几象限角？⑷终边相同的角① 观察390,330︒︒-的角，它们的终边与30︒角有什么关系？② 终边与30︒相同的角都可以表示成 。
③所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 ， 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成 。
四、典型例题1、已知30AOC ︒∠=，若终边OA 绕端点顺时针旋转60︒，则AOC ∠是多少？顺时针旋转90,120,180,300︒︒︒︒呢？并找出它们分别在第几象限。
（若逆时针旋转呢？）2、在0~360︒︒范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限的角：(1)120︒-； (2)750︒； (3) 270︒-； (4)72115'︒-3、写出终边落在x 轴，y 轴上，直线0x y +=以及直线0x y -=上的角的集合。
4、 分别写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中满足不等式360720β︒︒-≤<的元素β写出来；(1) 30︒； (2) 90︒-； (3) 720︒五、快乐体验1、设集合A ={锐角}，B ={小于90︒}，C ={第一象限的角}，D ={小于90︒的正角}，则下列等式成立的是( )(A) A =B (B) B =C (C) A =C (D) A =D2、角α的终边经过点M （0，-3），则α（ ）A 是第三象限的角B 是第四象限的角C 既是第三象限的角又是第四象限的角D 不是任何象限的角3、若α为锐角，180()k k Z α︒∙+∈所在的象限是（ ）A 第一象限B 第二象限C 第一、二象限D 第一、四象限4、集合{30,}A k k Z αα==∙︒∈与{6030,}B n n Z ββ==∙︒+︒∈的关系是 A A B ⊂ B A B ⊃ C A=B D A B ⊆。
1.1.1角的概念扩展
角的概念推广以后，它包括任意大小的正
角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好
象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋
转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点. （2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根 据以往的经验，我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解 决了；
1770=305×360 (k=－5)
⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合：{β| β=α+k· 360º }(k∈Z) 即：任何一个与角终边相同的角，都可 以表示成角与整数个周角的和
⑷注意以下四点：
① k∈Z；
② 是任意角；
③ k· 360º 与之间是“+”号，如k· 360º －30º ,应
6、若α是第四象限角，则180º －α是（ C ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，
那么α与β之间的关系是（ D ）
A. β=α+90o
B β=α±90o
C β=k· 360o+90o+α,k∈Z
D β=k· 360o±90o+α, k∈Z
它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，
并把S中在－360º ~720º 间的角写出来：
(1) 60º ；(2) －21º ；(3) 363º 14′.
解：(1) S={β| β=k· 360º +60º (k∈Z) }, S中在－360º ～720º 间的角是 －1×360º +60º =－300º ； 0×360º +60º =60º ； 1×360º +60º =420º ．
1.1.1角的概念的推广
第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1.1角的概念的推广课前自主学习学习目标1.知道用运动变化的官邸啊了解角的概念和推广，能正确区分正角、负角和零角.2.学会正确区分象限角与终边在坐标轴上的角，知道终边相同的角的表示方法，并能判断角的终边的位置.知识梳理知识点1：任意角的概念正角、负角、零角是怎样定义的？思考1零角的终边和始边重合，如果一个叫得终边和始边重合，那么这个角一定是零角吗？知识点2：终边相同的角对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？思考2终边相同的角有什么特点?知识点3：象限角象限角是如何定义的？思考3任意一个角都是象限角吗？课前体验1.下列角中终边与330°相同的角是（）A．30° B．-30° C．630° D．-630°2.－1120°角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°4.写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．课堂互动探究问题探究1. 锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？2. 对于直角坐标系中任意一条射线OB ，以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?3.若α是第二象限的角，那么2α是第几象限的角？典例剖析例1. 在0360︒︒~范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）解题反思：终边相同的角如何表示？如何找出与95012'︒－终边相同的角？例2. 写出终边在y 轴上的角的集合.解题反思：1.在0360︒︒~范围内，终边在y 轴上的角有几个？与这几个个角终边相同的角的集合可以合并吗？2.你能写出终边在x 轴上，终边坐标轴上的角的集合吗？第一、二、三、四象限角的集合呢？例3.若α是第二象限角，则α2，2α分别是第几象限的角？ 解题反思：α是第二象限角，如何表示？由α的取值范围，来确定2α，2α的取值范围？规律方法总结（1）判断一个角是第几象限角，只要把改写成，，那么在第几象限，就是第几象限角，若角与角适合关系：，，则、终边相同；若角与适合关系：，，则、终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：，这种模式（），然后只要考查的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．（2）要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如θ=a+k×1200（k∈Z）所表示的角所在的象限。
高一数学角的概念的推广1
所以
终边落在ｙ轴上的角的集合为
={β| β=900+1800 的偶数倍}
2700+k∙3600
S=S1∪S2
∪{β| β=900+1800 的奇数倍}
={β| β=900+1800 的整数倍}
={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
练习
写出终边落在ｘ轴上的角的集合
• 小结：
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
与ａ终边相同的角的一般形式为
ａ＋Kｘ3600，K ∈ Za S={ β| β= a+kx3600 , K∈ Z}
300+2x3600 ,
300+3x3600 ,
…,
300－2x3600
300－3x3600
…,
与300终边相同的角的一般形 式为300＋KX3600，K ∈ Z
例1 把下列各角写成ａ＋ｋ.3600（00≤ａ＜3600， ｋ∈ｚ）的形式，并判定它们分别是第几象限角：
1.任意角的概念
负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角
1)置角的顶点于原点
2.象限角
2)始边重合于X轴的正半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
ａ＋Kｘ3600，K ∈
Z
x 例2 写出终边落在 y 轴上的角的集合。 • 解：终边落在 x 轴正半轴上的角的集合为 y
1.在初中角是如何定义的？ 角的范围是多少？
定义1：有公共端点的两条射线组成 的几何图形叫做角。
顶 点 边 边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。
B 终边
角与角的概念
1．1．1 角的概念的推广1．角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)图示，称它形成了一个零角2．象限角:是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．1．与405°角终边相同的角是( )A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( )A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限3．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝C D ．A ＝D4．若α是第四象限角，则180°－α是( )A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角 D ．第四象限角5．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M P D ．M ∩P ＝∅6．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在______．8．经过10分钟，分针转了________度．9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是_____________________．10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________．11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′．12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．13．如图所示，写出终边落在直线y ＝3x 上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．14．设α是第二象限角，问α3是第几象限角？弧度制和弧度制与角度制的换算1．角的单位制(1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．2．角度制与弧度制的换算31集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是()A ．A ＝B B ．A ⊆B C ．B ⊆A D 以上都不2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2 B ．sin 2 C ．2sin 1D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．π4 B ．－π4 C ．34π D ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶97．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α的终边与－7π6角的终边垂直，则α＝______． 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝__________． 11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500° (2)236π (3)－4 12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1.2.1 三角函数的定义1．任意角三角函数的定义2．六种三角函数值在各象限的符号3．三角函数的定义域1．若α的终边与y 轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是( )A ．sin α与cos αB ．tan α与cot αC ．tan α与sec αD ．cot α与csc α2．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x 的值为( )A ． 3 B ．－ 3 C ．33 D ．－333．若sin α<0且tan α>0，则α是( )A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角 D ．第四象限角4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．5 5．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是( ) A ．{－3，－1,1,3} B ．{－3，－1}C ．{1,3} D ．{－1,3}6．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A ．π4 B ．3π4 C ．5π4 D ．7π47．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝______．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________．9．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________．11．判断下列各式的符号：(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan(－23π4)． 12．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2 B ．cos θ2 C ．tan θ2D ．cos 2θ 14．已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．1.2.22．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4或7π43．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )A ．sin α＋cos α>1B ．sin α＋cos α＝1C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定4．利用正弦线比较sin 1，sin 1．2，sin 1．5的大小关系是( )A ．sin 1>sin 1．2>sin 1．5B ．sin 1>sin 1．5>sin 1．2C ．sin 1．5>sin 1．2>sin 1D ．sin 1．2>sin 1>sin 1．55若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－π3，π3B ．⎝⎛⎭⎫0，π3C ．⎝⎛⎭⎫5π3，2π D ．⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 6．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan α B ．tan α<sin α<cos α C ．sin α<cos α<tan α D ．cos α<tan α<sin α7．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围为____________8．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝__ 9．不等式tan α＋33>0的解集是______________．10．求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12． 12．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小． 13．求下列函数的定义域．f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22． 14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α．1．2．1 三角函数的定义1．C 2．B3．C 4．A5．D 6．D 7．－7138．－2<a ≤3 9．负号10．2 11．解 (1sin α·cos α<0．(2)sin 285°·cos(－105°)>0．(3)sin 3·cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0． 12．解 sin α＝y 3＋y 2＝34y ．当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0． 当y ≠0时，由y 3＋y 2＝3y 4，解得y ＝±213．当y ＝213时，P ⎝⎛⎭⎫－3，213，r ＝433． ∴cos α＝－34，tan α＝－73．当y ＝－213时，P (－3，－213)，r ＝433∴cos α＝－34，tan α＝73． 13．C 14．解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a ，∴r ＝(－15a )2＋(8a )2＝17|a | (a ≠0)．(1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815． (2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815． 弧度制和弧度制与角度制的换算1．A2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．－10π＋74π 8．25 9．73π或103π 10．－11π3，－5π3，π3，7π311．解 (1)是第四象限角．2)是第四象限角．(3)第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ．∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100． ∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad ． 13．42 设圆半径为r ，圆心角为θ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r ．∴|θ|＝42r r＝42． 14(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216．当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216． 角的概念的推广1．C 2．A 3．D 4．C 5．B 6．D 7．x 轴的正半轴8．－609．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }10．－110°或250°11．(1)是第三象限角．(2)是第四象限角．(3)是第二象限角．12．①{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }．②{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }．13．{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．14．第一、二、四象限角。