111角的概念的推广
任意角
Y
| 90
2k 180 , k Z
O
X
S2 | 270 k 360 , k Z
| 90 180 k 360 , k Z
| 90 180 2k 180 , k Z
B
-300
C
900 600
AOC = AOB + BOC
= 900 + (-300)
=
A 600
O
各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
为进一步研究角的需要，常在直角坐标系内讨论角： 我们使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合， 2.象限角：
角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负 (1)概念: 半轴重合，角的终边在第几象限，则这个角 就是第几象限的角
0
注：终边相同的角不一定相等，终边相等的角有无数 多个，它们相差3600的整数倍.
1．角的分类 （一起口答） • (1)正角：按 逆时针 方向旋转形成的角； • (2)负角：按 顺时针 方向旋转形成的角； • (3) 零角：射线没有作任何旋转，称为形 成一个零角． 2．终边相同的角：所有与角α终边相同的 角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝ ． {β|β＝k·360°＋α， k ∈Z}
③第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
☆象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
思考4:在直角坐标系中，与135°角的终边相同的角有多 少个呢？这些角之间存在什么内在联系？
， 585， 225， 135， 495， 855，
这些角与135°在数量上相差多少度？
→终边相同的角，度数相差360°的整数倍
问题驱动法在中职数学教学中的实践
问题驱动法在中职数学教学中的实践作者：朱友德来源：《教育界·下旬》2014年第01期【摘要】目前中职数学课堂教学效果较差，必须采取合适的、实用的教学方法，启发学生的学习兴趣。
问题驱动法在数学教学中的实践，对于达到我们的教学目标，有一定的推动作用。
【关键词】中职数学创设问题驱动专业一、中职数学教学的现状（一）现状1.学生数学基础差，教师照本宣科中职学校的学生大多基础较差，认为学一门技术即可，对数学等基础学科不感兴趣，主动学习性不强，因而很多教师感觉教学压力不大，放松了对数学课堂管理，教学只是按部就班，照本宣科。
2.数学教学内容与专业脱节中职数学课缺乏与专业相结合的应用性内容，与专业课教学相互脱节、课程安排不合理等现象。
如我校的汽修专业、机电专业，机械制图课安排在一年级第一学期，学好它必须有立体几何知识，立体几何课程却安排在数学教材第二册的最后一章，这时学校已经没有数学课。
二、对策（一）结合职业教育的特性，主动而有计划地进行课程整合对现有的中等职业学校通用教材，我们可以根据不同专业的需要，合理改编，联系生活实际，结合专业特点，使之适合中职学生的学习。
（二）尝试不同的教学方法，启发学生的学习兴趣教师不要一成不变的将讲授法放到首位，要采取各种教学方法，如：问题驱动法、讨论法、谈话法、实验法等有利于引导学生的教学方法，都将有助于提高课堂教学效果。
三、问题驱动法的含义针对以上分析，现在就教学方法方面谈谈问题驱动法。
（一）含义问题驱动是指用问题驱动学生学习，驱动学生深入思考，理解数学本质。
（二）基本模式五个环节环环相扣，层层递进。
（三）关键设计有效的驱动问题，即在特定的学习内容之前能够刺激学生产生学习心向、引入学习欲望或学习进行中引起学生深入思考的提问和问题。
1.从生活实践中提出问题。
选取学生身边的例子现身说法，不仅能极大地调动学生的学习积极性，更能使知识得到较持久的记忆，为进一步建构知识奠定基础。
高考数学考点大全总结概括
高考数学考点大全总结概括高考数学必考知识点一一、集合、简易逻辑(14课时，8个)1.集合;2.子集;3.补集;4.交集;5.并集;6.逻辑连结词;7.四种命题;8.充要条件。
二、函数(30课时，12个)1.映射;2.函数;3.函数的单调性;4.反函数;5.互为反函数的函数图象间的关系;6.指数概念的扩充;7.有理指数幂的运算;8.指数函数;9.对数;10.对数的运算性质;11.对数函数.12.函数的应用举例。
三、数列(12课时，5个)1.数列;2.等差数列及其通项公式;3.等差数列前n项和公式;4.等比数列及其通顶公式;5.等比数列前n项和公式。
四、三角函数(46课时，17个)1.角的概念的推广;2.弧度制;3.任意角的三角函数;4.单位圆中的三角函数线;5.同角三角函数的基本关系式;6.正弦、余弦的诱导公式;7.两角和与差的正弦、余弦、正切;8.二倍角的正弦、余弦、正切;9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;10.周期函数;11.函数的奇偶性;12.函数的图象;13.正切函数的图象和性质;14.已知三角函数值求角;15.正弦定理;16.余弦定理;17.斜三角形解法举例。
五、平面向量(12课时，8个)1.向量;2.向量的加法与减法;3.实数与向量的积;4.平面向量的坐标表示;5.线段的定比分点;6.平面向量的数量积;7.平面两点间的距离;8.平移。
六、不等式(22课时，5个)1.不等式;2.不等式的基本性质;3.不等式的证明;4.不等式的解法;5.含绝对值的不等式。
七、直线和圆的方程(22课时，12个)1.直线的倾斜角和斜率;2.直线方程的点斜式和两点式;3.直线方程的一般式;4.两条直线平行与垂直的条件;5.两条直线的交角;6.点到直线的距离;7.用二元一次不等式表示平面区域;8.简单线性规划问题;9.曲线与方程的概念;10.由已知条件列出曲线方程;11.圆的标准方程和一般方程;12.圆的参数方程。
高中数学第一章三角函数11任意角和弧度制111任意角知识巧解学案
1。
1.1 任意角疱工巧解牛知识•巧学一、正角、负角、零角1.一条射线的端点是O，它从初始位置OA旋转到终止位置OB,形成一个角α，点O是角α的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边、终边。
我们规定,按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，这样就把角的概念推广到了任意角。
旋转一周角的大小记为360°，如图1—1-1.图1—1-12.由于图1-1-1（1）中的α、β分别是按逆时针、顺时针方向旋转的，所以α=45°，β=—315°；图1—1-1(2)中的α=30°,β=390°，γ=-60°。
显然角的大小与旋转的周数有关，角的正负与旋转的方向有关.图1—1—2如图1-1-2，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置,接着再旋转-30°到OC的位置，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°）=60°。
学法一得引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化α—β为α+(-β)，也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和。
3。
在画图表示角时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向,旋转的周数及角的绝对值的大小,旋转生成的角,又常称为转角。
显然,如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.二、象限角1。
若把角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除顶点外）在第几象限，我们说这个角是第几象限角.图1—1—3例如：由于图1—1-3甲中的角45°、405°、-315°都是始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角;同理图1-1-3乙中的角480°是第二象限的角，—70°、290°都是第四象限的角.2。
高中数学教师资格证面试真题
高中数学教师资格证面试真题高中数学《圆的一般方程》一、考题回顾1.题目：阅的一股方程2. 内容方程r+y⁷=2r+4y+1=0表示什么图形?方程r+y-2r-4y+6=0表示什么图形?对方程r+y-2r+4y+1=0配方，可得(x-1)÷+(y+2)=4,此方程表示以(1,-2)为圆心，2为半径长的圆.同样，对方程r+y-2r-4y+6=0配方，得(z-1)²+(y-2)1=- 1,由于不存在点的坐标(x,y)满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形，方程r+y+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示面?我们来研究方程z²+y+Dr+Ey+F=9,(2)将方程(2)的左边配方。
并把常数项移到右边，得①(I)当D+E-4F>0时，比较方程①和圆的标准方程。
可以看出方程(2)表示以为圆心，为半径长的圆：(Ⅱ)当D+E'-4F=0时，方程(2)只有实数解，—-,它表示一个(Ⅲ)当D+E-4F<0时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.因此，当D+E-4F>-0时，方程(2)表示一个腮，方程《2)叫做圆的一毅方程(zeneral couation of cirele).3.基本要求：(1)体现出重难点；(2)试讲十分钟；(3)合理设计板书；(4)学生能探究出方程在什么条件下表示厕。
答辩题目二、考题解析为),半径答辩题目解析1.方程x²+y¹+Dx+Ey+F=0在什么条件表示一个圆?【数学专业知识】【参考答案】当D²+E²4F>0时，x²+y²+Dx+Ey+F=0,表示以圆心为〔- ),半径为2.本节课的教学目标是什么?【教学设计】【参考答案】知识与技能：掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出园心的坐标和半径；过程与方法：通过分析、归纳等数学活动，发现圆的一般方程的特点，同时渗透数形结合的思想。
111角的概念的推广
角的概念推广以后，它包括任意大小的正
角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好
象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋
转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点. （2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根 据以往的经验，我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解 决了；
y
O
注：角的终边落在坐标轴 上，则此角不属于任何一 x 个象限。
是第一象限角, 是第二象限角, 不是象限角.
4．终边相同的角 ⑴ 观察：390，750 , 330角，它们
的终边都与30角的终边相同.
y
B
O
y
B
O
A
x
Ax
y
B
O
Ax
⑵探究：终边相同的角都可以表 示成一个0到360的角与k(k∈Z) 个周角的和： 390=30+360(k=1) 750 =30 +2×360 (k=2) 330=30360 (k=－1) 30=30+0×360 (k=0) 1770=305×360 (k=－5)
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360º ， 角度的绝对值可大于360º .于是就会出现 720º － 540º ， 等角度.
3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系内 来讨论角： 使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴 的非负半轴重合，角的终边在第几象限，我们 就说这个角是第几象限的角。
课堂练习
三角函数A概念与基本公式及运算(烟台市芝罘区数学精品一轮)
第三章 三角函数概念及性质A【知识导读】【方法点拨】三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数任意角 的概念角度制与 弧度制任意角的 三角函数弧长与扇形 面积公式 三角函数的 图象和性质 和 角 公 式 差 角 公 式几个三角 恒等式倍 角 公 式 同角三角函数关系 诱 导公 式 正弦定理与余弦定理解斜三角形及其应用化简、计算、求值 与证明值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.第1课 三角函数的概念【考点导读】1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．角的概念推广后，有正角、负角和零角；与α终边相同的角连同角α本身，可构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360 αββ；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式r l α=及扇形的面积公式S ＝lr 21（l 为弧长）解决问题.2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点(,)P x y （不同于坐标原点），设OP r =（220r x y =+>），则α的三个三角函数值定义为：sin ,cos ,tan y x yr r xααα===．从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R ；正切函数的定义域为{|,,}2R k k Z παααπ∈≠+∈．3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值． 由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、6π、4π、3π、2π的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处. 4． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题． 【基础练习】1． 885- 化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是 ． 2．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 ．3．已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α=， tan α= ． 4．tan(3)sin 5cos8-的符号为 ．5．已知角θ的终边上一点(,1)P a -（0≠a ），且a -=θtan ，求θs i n ，θcos 的值． 解：由三角函数定义知，1a =±，当1a =时，2sin 2θ=-，2cos 2θ=； 当1a =-时，2sin 2θ=-，2cos 2θ=-． 【范例解析】例1.（1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值； （2）已知角α的终边在一条直线3y x =上，求sin α，tan α的值．13612ππ-+第二或第四象限 513-125- 正分析：利用三角函数定义求解．解：（1）由已知4x a =，5r a =．当0a >时，5r a =，3sin 5α=-，4cos 5α=，则22sin cos 5αα+=-；当0a <时，5r a =-，3sin 5α=，4cos 5α=-，则22sin cos 5αα+=．（2）设点(,3)(0)P a a a ≠是角α的终边3y x =上一点，则tan 3α=； 当0a >时，角α是第一象限角，则3sin 2α=； 当0a <时，角α是第三象限角，则3sin 2α=-． 点评：要注意对参数进行分类讨论．例2.（1）若sin cos 0θθ⋅>，则θ在第_____________象限． （2）若角α是第二象限角，则sin 2α，cos 2α，sin 2α，cos2α，tan2α中能确定是正值的有____个．解：（1）由sin cos 0θθ⋅>，得sin θ，cos θ同号，故θ在第一，三象限． （2）由角α是第二象限角，即222k k ππαππ+<<+，得422k k παπππ+<<+，4224k k ππαππ+<<+，故仅有tan2α为正值．点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．例3. 一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？分析：选取变量，建立目标函数求最值．解：设扇形的半径为x ㎝，则弧长为(202)l x =-㎝，故面积为21(202)(5)252y x x x =-=--+，当5x =时，面积最大，此时5x =，10l =，2lxα==，所以当2α=弧度时，扇形面积最大252cm ．点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．【反馈演练】1．若sin cos θθ>且sin cos 0θθ⋅<则θ在第_______象限． 2．已知6α=，则点(sin ,tan )A αα在第________象限．3．已知角θ是第二象限，且(,5)P m 为其终边上一点，若2cos 4m θ=，则m 的值为_______．4．将时钟的分针拨快30min ，则时针转过的弧度为 ．5．若46παπ<<，且α与23π-终边相同，则α= ．6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是___11sin2____，这个圆心角所在的扇形的面积是_____11cos1-______． 7．（1）已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积． （2）若扇形的面积为82cm ，当扇形的中心角α(0)α>为多少弧度时，该扇形周长最小．简解：（1）该扇形面积22cm ；（2）2182r l yrl +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得16282y r r =+≥，当且仅当22r =时取等号．此时，42l =，2lrα==． 二三 3-12π-163π第2课 同角三角函数关系及诱导公式【考点导读】1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系．2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用． 【基础练习】1. tan600°=______．2. 已知α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=______．3.已知3cos 22πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ＝______． 4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___． 【范例解析】 例1.已知8cos()17πα-=，求sin(5)απ-，tan(3)πα+的值． 分析：利用诱导公式结合同角关系，求值．解：由8cos()17πα-=，得8cos 017α=-<，α∴是第二，三象限角． 若α是第二象限角，则15sin(5)sin 17απα-=-=-，15tan(3)tan 8παα+==-；若α是第三象限角，则15sin(5)sin 17απα-=-=，15tan(3)tan 8παα+==．点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复．例2.已知α是三角形的内角，若1sin cos 5αα+=，求tan α的值．3513-－3分析：先求出sin cos αα-的值，联立方程组求解．解：由1s i nc o s 5αα+=两边平方，得112sin cos 25αα+⋅=，即242sin cos 025αα∴⋅=-<． 又α是三角形的内角，cos 0α∴<，2παπ∴<<．由249(sin cos )25αα-=，又sin cos 0αα->，得7sin cos 5αα-=． 联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得4tan 3α=-． 点评：由于2(sin cos )12sin cos αααα±=±⋅，因此式子sin cos αα-，sin cos αα+，sin cos αα⋅三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二．【反馈演练】1．已知5sin 5α=,则44sin cos αα-的值为_____． 2．“21s i n=A ”是“A =30º”的必要而不充分条件． 3．设02x π≤≤,且1sin 2sin cos x x x -=-，则x 的取值范围是544x ππ≤≤4．已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos 2θ的值是 ．5．（1）已知1cos 3α=-，且02πα-<<，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值．（2）已知1sin()64x π+=，求25sin()sin ()63x x ππ-+-的值．解：（1）由1cos 3α=-，得tan 22α=-．原式=2cos 3sin 23tan 4cos sin 4tan αααααα-+-+=--5222=-． （2）1sin()64x π+= ，225sin()sin ()sin[()]sin [()]63626x x x x ππππππ∴-+-=-++-+53- 725-219sin()cos ()6616x x ππ=+++=．6．已知4tan 3α=-，求（I ）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值；（II ）212sin cos cos ααα+的值．解：（I ）∵ 4tan 3α=-；所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--． （II ）由4tan 3α=-，于是212sin cos cos ααα+2222sin cos tan 152sin cos cos 2tan 13ααααααα++===-++．第3课 两角和与差及倍角公式（一）【考点导读】1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”． 【基础练习】1.sin163sin 223sin 253sin313+= ___________．2. 化简2cos 6sin x x -=_____________．3. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝___________ ．4.化简：sin sin 21cos cos 2αααα+=++___________ ． 【范例解析】例 .化简：（1）42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+； （2）(1sin cos )(sincos )22(0)22cos θθθθθπθ++-<<+．（1）分析一：降次，切化弦．123＋cos2x22cos()3x π+tan α解法一：原式=2221(2cos 1)22sin()4cos ()4cos()4x x x x πππ----22(2cos 1)4sin()cos()44x x x ππ-=--2cos 22sin(2)2x x π=-1cos 22x =． 分析二：变“复角”为“单角”．解法二：原式221(2cos 1)21tan 222(sin cos )1tan 22x x x x x -=-⋅++22cos 2cos sin 2(sin cos )cos sin xx x x x x x =-⋅++ 1cos 22x =． （2）原式=22(2sin cos 2cos )(sin cos )222224cos 2θθθθθθ+-22cos (sin cos )cos cos 2222cos cos22θθθθθθθ--⋅== 0θπ<< ，022θπ∴<<，cos02θ>，∴原式=cos θ-． 点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等． 【反馈演练】1．化简22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααtan 2α． 2．若sin tan 0x x ⋅<，化简1cos 2x +=_________．2cos x - a b <3．若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则a 与b 的大小关系是_________． 4．若sin cos tan (0)2παααα+=<<，则α的取值范围是___________． 5．已知α、β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α= 1 .6．化简：222cos 12tan()sin ()44αππαα--⋅+．解：原式=222cos 12sin()4cos ()4cos()4απαπαπα--⋅--cos 22sin()cos()44αππαα=-⋅-cos 21cos 2αα==． 7．求证：222sin 22cos cos 22cos x x x x +=．证明：左边=2224sin cos 2cos cos 2x x x x +22222cos (2sin 12cos )2cos x x x x =+-==右边．8．化简：22sin sin 2sin sin cos()αβαβαβ+++．解：原式=22sin sin 2sin sin (cos cos sin sin )αβαβαβαβ++-2222sin sin 2sin sin cos cos 2sin sin αβαβαβαβ=++-2222sin (1sin )sin (1sin )2sin sin cos cos αββααβαβ=-+-+2222sin cos sin cos 2sin sin cos cos αββααβαβ=++2(sin cos sin cos )αββα=+2sin ()αβ=+．)3,4(ππ第4课 两角和与差及倍角公式（二）【考点导读】1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” ．【基础练习】1．写出下列各式的值： （1）2sin15cos15︒︒=_________； （2）22cos 15sin 15︒-︒=_________；（3）22sin 151︒-=_________； （4）22sin 15cos 15︒+︒=____1_____． 2．已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+=_________． 3．求值：（1）1tan151tan15-︒=+︒_______；（2）5cos cos 1212ππ=_________． 4．求值：tan10tan 203(tan10tan 20)︒⋅︒+︒+︒=____1____． 5．已知tan 32α=，则cos α=________． 6．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+=_________． 【范例解析】例1.求值：（1）sin 40(tan103)︒︒-；（2）2sin50sin80(13tan10)1cos10︒+︒+︒+︒． 分析：切化弦，通分．解：（1）原式=sin10sin 40(3)cos10︒︒-︒=sin103cos10sin 40cos10︒-︒︒⋅︒2sin(1060)sin 40cos10︒-︒=︒⋅︒ 12 23 32- 17 14 33 －54 122cos 40sin 40cos10︒=-︒⋅︒sin 801cos10-︒==-︒． （2）sin10cos103sin102sin 4013tan1013cos10cos10cos10︒︒+︒︒+︒=+==︒︒︒ ， 又1cos102cos5+︒=︒．原式=2sin 402sin 50sin 802(sin 50sin 40)cos102cos52cos5︒︒+︒⋅︒+︒︒=︒︒22cos522cos5︒==︒． 点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换．例2.设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈，求cos 2α，cos 2β．分析：2()()ααβαβ=-++， 2()()βαβαβ=+--．解：由4c o s()5αβ-=-，(,)2παβπ-∈，得3s i n ()5αβ-=，同理，可得5sin()13αβ+=- 33cos 2cos[()()]65ααβαβ∴=-++=-，同理，得63cos 265β=-． 点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：2()()ααβαβ=-++，2()()βαβαβ=+--等．例3.若3cos()45x π+=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 分析一：()44x x ππ=+-． 解法一：177124x ππ<< ，5234x πππ∴<+<， 又3cos()45x π+=，4sin()45x π∴+=-，4tan()43x π+=-． 2cos cos[()]4410x x ππ=+-=- ，72sin 10x ∴=-，tan 7x =．所以，原式=2722722()()2()281010101775⨯-⨯-+⨯-=--． 分析二：22()42x x ππ=+-． 解法二：原式=sin 2sin 2tan 1tan x x x x +⋅-sin 2(1tan )sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==⋅+- 又27sin 2sin[2()]cos 2()[2cos ()1]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+-=， 所以，原式7428()25375=⋅-=-． 点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路．【反馈演练】 1．设)2,0(πα∈，若3sin 5α=，则)4cos(2πα+=__________． 2．已知tan 2α=2，则tan α的值为_______，tan ()4πα+的值为___________ ． 3．若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =___________． 4．若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ= ． 5．求值：11sin 20tan 40-=︒︒_________． 6．已知232,534cos παππα<≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛+．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值 解：().2sin 2cos 224sin 2sin 4cos 2cos 42cos ααπαπαπα-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 又3cos 0,224πππαα⎛⎫≤<+> ⎪⎝⎭且,47443ππαπ<+≤ 544cos 14sin 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴παπα 从而25244cos 4sin 222sin 2cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=παπαπαα， 51 43- 17- 97- 12 32574cos 2122cos 2sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=παπαα 5023125725242242cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πα。
高一数学第一课：你准备好了吗？
有意识培养自己的各方面能力
高中数学课程标准提出了六个具体的目标： 4.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵 的一些数学模式进行思考和做出判断。 5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而 不舍的钻研精神和科学态度。 6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的应用价值、科学 价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理 性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物 主义和历史唯物主义世界观。
思维习惯上的差异
初中学生由于学习数学知识的范围小，知识层次 低，知识面窄，对实际问题的思维受到了局限。
就几何来说，我们都接触的是现实生活中三维 空间，但初中只学了平面几何，那么就不能对三维 空间进行严格的逻辑思维和判断。
代数中数的范围只限定在实数中思维，就不能 深刻的解决方程根的类型等。
高中数学知识的多元化和广泛性，将会使学生 全面、细致、深刻、严密的分析和解决问题。也将 培养学生高素质思维。提高学生的思维递进性。
有意识培养自己的各方面能力
高中数学课程标准提出了六个具体的目标： 1.获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学 概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、 应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后 续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动体 验数学发现和创造的历程。 2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据 处理等基本能力。 3.提高数学地提出、分析和解决问题（包括实际应用问题） 的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识 的能力。
二.如何学好高中数学
有良好的学习兴趣 建立良好的学习数学习惯 有意识培养自己的各方面能力
有良好的学习兴趣
（1） 课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。 （2） 听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决
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你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？
? 1.始边固定，只考虑终边； ? 2.在同一参照系中，讨论更加简化； ? 3.能表现角的终边“周而复始”的现象； ? 4.有利于以后研究三角函数，建立角与实数
的一一对应关系。
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; ② 角可以任意大; ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为 逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，
?课堂小结：
正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
2.象限角
1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
? ＋K·3600，K∈Z
今天你对学习的态度， 决定未来人生的高度；
（3）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过360o，角度的绝对
值可大于360o .于是就会出现720o ，－ 540o等角度.
3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合 于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几
象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的 终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象 限）
人教版必修四第一章
1.1.1 任意角的概念
湖北省来凤县第一中学 主讲：张东林
2017.11
学习目标：
1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的 角的定义。 2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边 相同的角的集合判断任意角所在的象限。
1、角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理
解，它是从图形形状来定义角，因此角的范
围是[0o, 360o)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于 “狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。 课本思考：钟表校对问题？ 体操运动员转体1080o，跳水运动员向内、 向外转体720o；
如何画出720o，1080o角？两个角有什么 区别？如何刻画钟表顺时针和逆时针旋转方 向？
这些例子不仅不在范围[0o, 360o) ，而且方向不
有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，
绕着它的端点O按逆时针方向
旋转到另一位置OB，就形成角B
α．
旋转开始时的射线OA叫做
角α的始边，旋转终止的射线
例1. 在0o到360o范围内，找出－950o12′. 角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
解： ∵－950o12′=－2×360o+230o12′， ∴230o12′ 的角与－ 950o12′ 的角终边相同， 它是第二象限角．
ห้องสมุดไป่ตู้
变式训练： 在0o到360o范围内，找出2017o角 终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
4．终边相同的角
⑴ 探究：328?，?392?角，它们的终边都
与-32?角的终边有关系吗？ 观察得出：328?=-32?+360?(k=1),
? 392?=-32??360? (k=－1) -32?=-32?+0×360? (k=0), ⑵结论：与-32?终边相同的角都可以表示成： -32?+k×360?(k∈Z)
O
A
OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
正角：把按逆时针方向旋转所形成的角叫 做正角，
负角：把按顺时针方向旋转所形成的角叫 做负角
如图，以OA为始边的角α=210°，β=－ 150°，γ=660°，
2100
-1500
6600
特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零度角（0o）．
今天我与一中共同奋斗， 明天一中以我为骄傲！
课程结束 感谢指导！
⑶ 终边相同的角： 所有与? 终边相同的角连同? 在内可以构
成一个集合：{β| β=α+k·360o}(k∈Z)
即：任何一个与角? 终边相同的角，都可 以表示成角? 与整数个周角的和
⑷注意以下四点： ① k∈Z； ② ? 是任意角； ③ k·360o与? 之间是“+”号，如k·360o－30o,应 看成k·360o+(－30o)； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360o的整数倍.