5.1任意角和弧度制-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修一同步讲义
5.1.2弧度制-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
为r， l n 2 r , l n 2
360 r
360
可以看出，等式右端不含半径，表示 弧长与半径的比值跟半径无关，只与 α的大小有关。
3．弧度
弧长等于半径长（l=r)的圆弧所对的圆心角叫做1弧度
的角，弧度记作rad.角 的弧度数的绝对值规定等于 l .
的正负由 的终边的旋转方向决定。
π
3π 2
2π
5．扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0＜α＜2π)为其圆
5．扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：
(1)弧长公式：l＝ αR ．
1 (2)扇形面积公式：S＝ 2lR
＝12αR2
．
3．弧度
设α=nº,AB弧长为l，半径OA
终边在y轴上的角:S={α|α=90°+k·180° ,k∈Z}
复习回顾:角度制
1.用“度”作单位来度量角的单位制称作 “角度 制”，规定：圆周1/360的圆心角称作1°角.
2.角度制的单位有:度、分、秒.
3.角度制采用六十进制. 4.扇形弧长l＝ nπr/180， 扇形面积公式为S＝nπr2/360.
人教A版高中数学必修第一册
第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
复习回顾 任意角
1.角的定义：顶点、始边、终边 2.角的分类(旋转方向)：正角、负角和零角
(终边在坐标轴上的位置)象限角和轴线角 3.终边相同的角:{β|β=α+k·360°,k∈Z} 4.终边在x轴上的角:S={α|α=0°+k·180° ,k∈Z}
课堂小结： 1.任意角
角的不同分类：正角、负角和零角象限角和坐标轴上的角
弧度制(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
当堂达标
1.圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是(
)
2 A.3 rad
B．32 rad
2π C. 3 rad
D．32π rad
3 B 解析：由弧度数公式 α＝rl，得 α＝2rr＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.
显然1π2＜1π0＜1＜71π2. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
(2)－1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π， 其中 0≤169π<2π， 因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
跟踪训练2
用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角 θ 的集合.
解：终边落在射线 OA 上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝34π＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线 OB 上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝－6π＋2kπ，k∈Z，
1.角度制：
(1)定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
1
(2)1 度的角：周角的 360 . 2.弧度制：
(1)定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
(2)1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
自主学习
3.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的
弧度数是 0 . 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝 l
任意角和弧度制(任意角) 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
五、典型例题
即S＝ {β|β ＝45°+n·180°，n∈Z}． 经计算，当n分别取 – 2、 ﹣ 1 、 0 、 1 、 2 、 3时， 可得S中满足不等式﹣360°≤β<720°的元素β： ﹣315°、 ﹣135°、45°、 225°、405°、585°．
六、变式
变式．若α是第一象限角，则α / 2是第几象限角？ 分析： 先用含不等式的集合来表示角， 再根据不等式的性质，求出α / 2的范围， 最后根据范围，判断α / 2的终边的位置．
七、总结
1. 通过本节课的学习，我们体会到了引入任意角的必要性； 2. 学习了正角、负角、零角、终边相同的角、轴线角、象限角等 概念；
3. 通过三个例题，学会了用集合语言来研究角．
八、作业
完成配套的目标检测题．
谢谢收看，同学们再见！
二、角的概念
7．相反角与角的减法：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的 量所成的两个角叫做互为相反角(如下图)．角α的相反角记为﹣ α．我们有α－β ＝ α+(﹣β) ．
三、象限角
1．思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角， 并使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一 个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
二、角的概念
1．引入 由初中知识可知，射线OA绕端点O按 逆时针方向旋转一周回到起始位置，在 这个过程中可以得到0°~360°范围内 的角；如果继续旋转，那么所得到的角 就超出这个范围了．
二、角的概念
1．引入 例如，体操中有 “前空翻转体540 °”“后 空翻转体720 °”这样的动作名称，这里不仅 有超出0°~360°范围的角，而且旋转的方向 也不相同． 为了准确描述这些现象，有必要将角的概念 推广到任意角．
5.任意角-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
二、探究新知
• 想一想？
手表慢了5分钟，如何校准？ 手表快了1.25小时，又如何将 它校准？校准后，分针旋转了 多少度？旋转的方向一样吗？
实例引入 现实中其它角
体操上有转体720o（转体2 周），转体1080o （转体3 周）这样的动作名称，而 旋转的方向也有顺时针与 逆时针的不同
被动轮
主动轮
规定：
5.任意角-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学必 修第一 册课件
例3 写出终边在直线y=x上的角的 集合S，并把S中适合不等式
－360°≤ ＜720°的元素写出
来．
S {| 4 5 。 + k1 8 0 。 ,k Z }
3 1 5 。 ， 1 3 5 。 ， 4 5 。 ， 2 2 5 。 ， 4 0 5 。 , 5 8 5 。
二、探究新知
在同一个坐标系中画出下面一组角. 30°么发现？
y
这些角的终边相同
39 030136
o -3300
390°
30º x
330 30 360 30 (1)360
30°，390° ，-330°
这些角之间有怎样的数量关系？
一般地，我们有： 所有与角α终边相同的角，连同角 α在内，可构成一个集合
5.任意角-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学必 修第一 册课件
5.任意角-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学必 修第一 册课件
区域角
终边落在坐标系的某个区域的角， 称为区域角.
三步： （1）先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
（2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角 ，写出所有与 ， 终边相同的角；
（2）∵-9500=1300-3×3600 ∴在00~3600范围内，与 -9500终边相 同的角是 1300，它是第二象限的角
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)弧度制(解析版)
第22讲弧度制模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换；2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系；3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.知识点1角度制与弧度制的概念1、角度制：规定周角的1360为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2、弧度制的有关概念为了使用方便，数学上采用另一种度量角的单位制——弧度制．（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．（2）弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②记法：用符号rad表示，读作弧度．如图，在单位圆O中， AB的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角．3、弧度制与角度制的区别与联系区别（1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同．联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．【注意】用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢．知识点2角度制与弧度制之间的互化1、角度制与弧度制的换算2度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度6π4π3π2π32π43π65ππ23ππ23、角的集合与实数集R 的关系角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系，如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应．知识点3弧长与扇形面积公式1、弧长与扇形面积公式的两种表示类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长180n R l π=l R α=扇形的面积2360n R S π=21122S lR R α==【注】扇形的半径为R ，弧长为l ，)20(παα<<或n °为其圆心角．2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项（1）在应用公式时，要注意α的单位是“弧度”；（2）在弧度制下的扇形面积公式12S lR =，与三角形面积公式12S ah =的形式相似，可类比记忆．考点一：角度制与弧度制概念辨析例1．（23-24高一下·陕西·月考）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（）A．4π5B．5π4C．π5D．5π【答案】A【解析】小齿轮转动一周时，大齿轮转动202 505=周，故其转动的弧度数是24π2π55⨯=.故选：A.【变式1-1】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列各说法，正确的是（）A．半圆所对的圆心角是πradB．圆周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【答案】ABC【解析】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误，根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确．故选：ABC【变式1-2】（22-23高一上·上海松江·期末）下列命题中，正确的是（）A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．若α是第一象限的角，则π2α-也是第一象限的角C ．若两个角的终边重合，则这两个角相等D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【答案】B【解析】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A 选项错误；若α是第一象限的角，则α-是第四象限的角，所以π2α-+是第一象限的角，B 选项正确；当30α= ，390β= 时，α与β终边重合，但两个角不相等，C 选项错误；不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D 选项错误.故选：B【变式1-3】（22-23高一下·江西萍乡·期中）（多选）下列说法中正确的是（）A ．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关【答案】ABC【解析】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确；由圆周角的定义知，1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，所以B 正确；根据弧度的定义知，180一定等于π弧度，所以C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D 不正确.故选：ABC.考点二：角度制化为弧度制例2.（23-24高一下·北京房山·期中）300o 化成弧度是（）A ．5π3B ．π611C ．7π6D ．7π4【答案】A【解析】因为180π= ，所以3π5π300300180=⨯=.故选：A 【变式2-1】（23-24高一上·安徽亳州·期末）将315- 化为弧度制，正确的是（）A ．3π4-B ．7π4-C ．45π-D ．5π3-【答案】B【解析】7π3153151804π-=-⨯=-.故选：B 【变式2-2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（多选）把495- 表示成2πk θ+，Z k ∈的形式，则θ值可以是（）A ．5π4B ．5π4-C ．3π4D ．3π4-【答案】AD【解析】根据角度制与弧度制的互化公式，可得11π4954-=-，再由终边相同角的表示，可得11π3π5π2π4π444-=--=-，所以11π4-与3π4-和5π4的终边相同.故选：AD.【变式2-3】（23-24高一上·广东·月考）（多选）下列各角中，与角495︒终边相同的角为（）A ．3π4B ．5π4-C ．9π4-D ．13π4【答案】AB【解析】对于A ，495360135︒=︒+︒，3π1354︒=，故A 正确；对于B ，与3π4终边相同的角为324k παπ=+，k ∈Z ，当1k =-时，5π4α=-，故B 正确；对于C ，令3π9π2π44k +=-，解得32k =-∉Z ，故C 错误；对于D ，令3π13π2π44k +=，解得54k =∉Z ，故D 错误．故选：AB.考点三：弧度制化为角度制例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）把5π4化成角度是（）A ．45︒B ．225︒C ．300︒D ．135︒【答案】B【解析】5π5π18022544π︒=⨯=︒.故选：B 【变式3-1】（23-24高一上·广东汕头·月考）5π12化为角度是（）A ．60︒B ．75︒C ．115︒D ．135︒【答案】B 【解析】5π5180751212=⨯︒=︒.故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·广东汕头·月考）3rad 是第（）象限角A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】π180rad = ，540903180πrad ⎛⎫∴<=< ⎪⎝⎭为第二象限角.故选：B【变式3-3】（22-23高一上·北京·期末）下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．()2π315Z k k +∈B ．()36045Z k k ⋅-∈C ．()7π360Z 4k k ⋅+∈D ．()5π2πZ 4k k +∈【答案】B【解析】因为7πrad 3154=，终边落在第四象限，且与45- 角终边相同，故与7π4的终边相同的角的集合{}{}31536045360S k k αααα==+⋅==-+⋅ 即选项B 正确；选项AC 书写不规范，选项D 表示角终边在第三象限.故选：B.考点四：扇形弧长的相关计算例4.（23-24高一上·云南曲靖·月考）半径为3cm ，圆心角为210°的扇形的弧长为（）A ．630cmB ．7cm6C ．7πcm 6D ．7πcm 2【答案】D【解析】圆心角210︒化为弧度为7π6，则弧长为7π7π3cm 62⨯=.故选：D 【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·期末）若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，圆心角为α，则弧长2l r r α==，所以2α=，扇形的面积22112S r r α===，解得1r =或1r =-（舍去），所以2l r α==，则该扇形的周长为24r l +=.故选：C【变式4-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为89cm ，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm ，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的外弧长为（）A ．63cmB ．65cmC ．67cmD ．69cm【答案】C【解析】设该扇环的内弧的半径为r cm ，则外弧的半径为()18cm r +，圆心角 2.5α=，所以()1889r r αα++=，即()2.5 2.51889r r ++=，解得8.8r =，所以该扇环的外弧长()()2.518 2.58.81867cm l r =+=+=.故选：C【变式4-3】（23-24高一下·山东烟台·月考）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把郑铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，郑铁饼者的手臂长约为π4米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则郑铁饼者双手之间的距离约为)1.41≈（）A．1.01米B．1.76米C．2.04米D．2.94米【答案】B【解析】由题意可知，“弓”所在圆的弧长为 ππ5π2488BC=⨯+=，由弧度数公式得5ππ81.252lBOCr∠===，即BOC为等腰直角三角形，所以π4OBC∠=，则掷铁饼者双手之间的距离()5 1.41 1.76mπ44sin4rBC==≈⨯≈.故选：B.考点五：扇形面积的相关计算例5.（23-24高一下·广东韶关·月考）已知扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m，则该扇形的面积为（）A．28m B．212m C．216m D．232m【答案】C【解析】由扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m，得扇形所在圆半径4m=r，所以该扇形的面积148162S=⨯⨯=(2m).故选：C【变式5-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是3π8，半径为4，则该扇形的面积为．【答案】3π【解析】由扇形的圆心角是3π8，半径为4，则该扇形的面积为23π43π812S ⨯⨯==.故答案为：3π.【变式5-2】（22-23高一下·河南南阳·期中）圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环ABCD 的内圆弧AB 的长为2π3，外圆弧CD 的长为4π3，圆心角2π3AOB ∠=，则该扇环的面积为（）A ．πB ．π2C ．4π3D ．2π3【答案】A【解析】由扇形面积公式2122l S lr α==（其中l 为扇形弧长，α为扇形圆心角，r 为扇形半径）可得，扇环面积22214π2π34ππ2334π3S α⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=-=⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选：A 【变式5-3】（23-24高一下·河南驻马店·月考）如图，在菱形ABCD 中，45A ∠=︒，1A ，1B ，1C ，1D 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，以点A 为圆心，以1AA ，2AA 为半径作出两段圆弧，与AD 分别交于点1D ，3A ，分别以B ，C ，D 为圆心，用同样方法作出如图阴影部分的扇环，其中121212121A A B B C C D D ====.若扇环1231A A A D 的周长为7π24+，则扇环1231B B B A 的面积为（）A ．3πB ．21π8C ．7π8D ．3π4【答案】B【解析】设2AA r =，则11AA r =+，因为扇环1231A A A D 的周长为7π24+，所以：()ππ7π122444r r +++=+⇒3r =.所以扇环1231B B B A 的面积为：2213π13π432424⋅⋅-⋅⋅21π8=.故选：B考点六：扇形周长、面积的最值例6.（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（）A ．28B ．36C ．42D ．50【答案】B【解析】设扇形的弧长为l ，半径为r ，则224l r +=，所以扇形的面积22111212123624424l r S lr l r +⎛⎫==⋅≤=⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当2l r =，即12,6l r ==时取等号，所以该扇形的面积的最大值是36，故选：B【变式6-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）（多选）已知扇形的半径为r ，弧长为l .若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（）A ．该扇形面积的最小值为8B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2C ．2r l +的最小值为9D ．2214r l+的最小值为12【答案】BCD【解析】由题意，知2r l rl +=，则(),22lr l l =>-，所以扇形面积22111(2)4(2)422222l l l S rl l l -+-+==⋅=⋅--1411[(2)4]4)(44)42222l l =-++≥⨯=⨯+=-，当且仅当422l l -=-，即4l =时，等号成立，选项A 错误；扇形周长为()()22242422222l l l l r l l l l l -+-++=+==---4(2)44482l l =-++≥+=-，当且仅当422l l -=-，即4l =时，等号成立，此时，圆心角为422l r==，选项B 正确；()()()222522222522222l l l l l l r l l l -+-+=-+=+=--++-5459≥=+=当且仅当()2222l l -=-，即3l =时，等号成立，选项C 正确；()22222222144841118421l r l l l l l l -⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭,当114l =时，上式取得最小值为12，选项D 正确.故选：BCD.【变式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为α（α为正角），周长为C ，面积为S ，所在圆的半径为r ．(1)若36α=︒，10cm r =，求扇形的弧长；(2)若4cm C =，求S 的最大值及此时扇形的半径和圆心角．【答案】(1)()2πcm ；(2)S 的最大值为1，此时扇形的半径是1cm ，圆心角2rad ．【解析】（1）π13636rad πrad 1805α=⨯=︒=，扇形的弧长()1π102πcm 5l r α==⨯=；（2）设扇形的弧长为l ，半径为r ，则24r l +=，()4202l r r ∴=-<<，则()()22114221122S lr r r r r r ==-=-+=--+，当1r =时，2max 1cm S =，此时4212cm l =-⨯=，2lrα==，S ∴的最大值是21cm ，此时扇形的半径是1cm ，圆心角2rad α=．【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）已知一扇形的圆心角为()0αα>，半径为R ，面积为S ，周长为L ．(1)若24cm S =，则扇形圆心角α为多少弧度时，L 最小？并求出L 的最小值；(2)若10cm L =，则扇形圆心角α为多少弧度时，S 最大？并求出S 的最大值．【答案】(1)2rad α=，最小值为8cm ；(2)2rad α=，最大值为225cm 4．【解析】（1）2214cm 2S R α== ，28Rα∴=则288222L R R R R R R Rα=+=+⋅=+．由基本不等式可得828R R +≥=，当且仅当82R R =，即2R =时等号成立，此时2822α==．∴当2rad α=时，L 最小，最小值为8cm ．（2）210cm L R R α=+= ，102RRα-∴=．22221110252552224R S R R R R R R α-⎛⎫==⋅⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭．当52R =，即2α=时，max 254S =．∴当2rad α=时，S 最大，最大值为225cm 4．一、单选题1．（23-24高一上·贵州黔南·315︒化为弧度是（）A ．π4-B ．7π4C ．11π6D ．5π3【答案】B 【解析】3157315ππ1804︒==.故选：B 2．（23-24高一上·江苏徐州·月考）把2π3弧度化成角度是（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】D【解析】因为π180=︒，所以22π18012033=⨯︒=︒.故选：D.3．（22-23高一上·广东深圳·期末）在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为（）A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．180︒【答案】B【解析】弧长为π的弧所对的圆心角为πrad 902︒=，故选：B 4．（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知扇形的弧长为2π，半径为3，则扇形的面积为（）A ．πB ．3π2C ．3πD ．6π【答案】C【解析】由扇形的面积可得，112π33π22S lr ==⨯⨯=.故选：C 5．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】因为半径2r =，圆心角=2α，所以根据弧长公式l r α=得4l =.故选：A.6．（23-24高一上·陕西铜川·月考）已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于（）A ．2B ．3C ．1D ．4【答案】A【解析】设扇形所在圆半径为r ，则该扇形弧长402l r =-，020r <<，于是该扇形的面积21(20)(10)1001002S rl r r r ==-=--+≤，当且仅当10r =时取等号，所以当10r =时，扇形的面积最大，此时扇形的圆心角等于2lr=.故选：A 二、多选题7．（23-24高一下·安徽淮北·）A ．120-︒化成弧度是2πrad3-B ．πrad 10化成角度是18°C ．1 化成弧度是180rad D ．10πrad 3-化成角度是60-︒【答案】AB【解析】对于A 项，因π2120120πrad 1803-︒=-⨯=-，故A 项正确；对于B 项，因ππ180rad=(181010π⨯=，故B 项正确；对于C 项，因ππ11rad rad 180180=⨯=，故C 项错误；对于D 项，因1010180πrad π(60033π-=-⨯=-，故D 项错误.故选：AB.8．（23-24高一下·湖南·期中）已知某扇形的周长和面积均为18，则扇形的圆心角的弧度数可能为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】AD【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，根据扇形的周长和面积均为18，则2181182l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得312r l =⎧⎨=⎩或66r l =⎧⎨=⎩，则4lrα==或1.故选：AD .三、填空题9．（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知某扇形的半径为42，周长为122，则该扇形的面积为.【答案】16【解析】设扇形的弧长为l ，依题意，242122l ⨯+=，解得42l =.故该扇形的面积为14242162⨯⨯=.故答案为：16.10．（23-24高一下·河南南阳·月考）以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫作角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数之间画一条短线，如5密位写成“005-”，235密位写成“235-”，1246密位写成“1246-”.1周角等于6000密位，写成“6000-”.已知某扇形中的弧的中点到弧所对的弦的距离等于弦长的36，则该扇形的圆心角用密位制表示为.【答案】2000-【解析】如图，C 是弧AB 的中点，由题意可得3363CD AB BD ==，即3=BD CD .因为AB CD ⊥，所以π6CBD ∠=，所以同弧所对圆心角π3AOC ∠=，所以2π2π60002000332πAOB ∠==⨯=，即该扇形的圆心角用密位制表示为2000-.故答案为：2000-11．（23-24高一下·江西乙醇·dm ，宽为1dm 的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为π6，求点A 走过的路程为．()dm【解析】第一次是以B 为旋转中心，以2BA ==为半径旋转90︒，此次点A 走过的路径是π2π2⨯=，第二次是以C 为旋转中心，以11CA =为半径旋转90︒，此次点A 走过的路径是ππ122⨯=，第三次是以D 为旋转中心，以2DA =60︒，此次点A 走过的路径是π3=∴点A 三次共走过的路径是()3π9πdm 236++=，()dm ．四、解答题12．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形OCD 挖去扇形OAB 后构成）展台，4=AD 米．(1)若2π3COD ∠=，2OA =米，求该扇形环面展台的周长；(2)若该扇形环面展台的周长为14米，布置该展台的平均费用为500元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用．【答案】(1)16π83+米；(2)6000元【解析】（1）弧AB 的长度14π3l =，弧CD 的长度212π3l =，所以扇形环面展台周长为：1216π2483l l ++⨯=+米；（2）设COD θ∠=，OA r =米，则弧AB 的长度1l r θ=，弧CD 的长度()244l r r θθθ=+=+，因为该扇形环面的周长为14米，所以124214l l ++⨯=，即4814r r θθθ+++=，整理得23r θθ+=，则该扇形环面展台的面积：()2211(4)48421222S r r r r θθθθθθ=+-=+=+=平方米，所以布置该扇形环面展台的总费用为：125006000⨯=元.13．（23-24高一上·安徽淮北·月考）已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若3πα=，10cm R =，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长是20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若,2cm 3R πα==，求扇形的弧所在的弓形的面积.【答案】(1)10cm 3π；(2)2α=时，面积最大；(3)23π⎛⎝cm 2.【解析】（1）由,10cm 3R πα==，则扇形的弧长101033l R ππα==⨯=(cm).（2）由已知得，220l R +=，则202l R =-，∴()()22022111202252242R R S lR R R -+⎡⎤==-⋅≤=⎢⎥⎣⎦当且仅当2022R R -=，即5R =时扇形的面积最大，此时圆心角1025α===l R .（3）设弓形面积为S 弓形，由,2cm 3R πα==，得()2cm 3l R πα==，所以22121222sin cm 23233S πππ⎛=⨯⨯-⨯⨯= ⎝弓形.。
任意角和弧度制(弧度制)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第五章三角函数5.1.2 弧度制（1 课时）【教学内容】弧度与角度的互化；特殊角的弧度制；弧长公式、扇形面积公式.【教学目标】（说明：不要写成三维目标的形式，点列，可以从知识技能、过程方法、数学核心素养等角度写目标）1.理解弧度制的定义，体会引入弧度制的必要性.(数学抽象)2.能进行弧度与角度的互化,熟悉特殊角的弧度制.(逻辑推理、数学运算)3.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式，体会弧度制下公式形式的简洁性,会应用公式解决简单的问题.(数学运算、数学模型)【教学重难点】教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题.【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）一、复习回顾，温故知新1.在平面几何里，度量角的大小用什么单位？【答案】角度制的单位有：度、分、秒。
2.1 的角是如何定义的？【答案】规定：圆周1/360 的圆心角称作1 角.这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制.日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80 厘米，也可以说长0.8 米，显然两种结果出现了不同的数值. 在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？二、探索新知探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？角度为60的圆心角，半径r 1，2，3 时，(1)分别计算相对应的弧长l ；(2)分别计算对应弧长与半径之比.思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？【答案】①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关；②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关；1.弧度的概念把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度(radian)的角.弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是 rad. 约定： 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为 0.思考 1:圆的半径为 r,弧长分别为 2r 、πr,则它们所对圆心角的弧度 数是多少?【答案】2rad, πrad.思考 2：如果半径为 r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？l【答案】|α| =r2. 角度与弧度的换算思考 3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？【答案】360º， 2π. 360︒= 2πrad，180︒ = πrad思考 4：根据上述关系，1°等于多少弧度， 1 rad 等于多少度？ 【答案】1︒ =π180︒≈ 0.01745rad 1rad = 180）︒≈ 57.30︒（π三、典型例题例 1． 把下列各角的度数化为弧度。
弧度制课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
r
约定：正角的弧度数为正数，
追问 为什么要加绝对值？
l
1、弧长半径永远是正的， 也是正的
r
2、角度有正负号，正负由旋转方向决定。
负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为0.
新知探究
问题3 角度制、弧度制都是度量角的度量制，它们之间应该可以相互换算.
如何换算呢？
2 r
o
圆心角为 360 的角所对弧长为 2 r,应为 r 2 弧度
（１）cos0.75°和cos0.75； （２）tan1.2°和tan1.2．
（1） cos 0.750 1.000, cos 0.75 0.732, cos 0.750＞cos0.75
(2)
tan1.20 0.021, tan1.2 2.572, tan1.20 ＜ tan1.2
心角对对弧的长度。
n R 60
( mm )
简析： 角度制下： 60 n 60, l
180
180
3
弧度制下： 60
3
, l R
3
1
3
( mm )
6.已知半径为120mm的圆上，有一条弧长为144mm,求该弧所对圆心的弧
度数和角度数。
简析：
144 6
l
,
120 5
r
96
6 180
(
) ( )
5
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
知识点:(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系.
(4)扇形的弧长与面积的计算.
511任意角-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)
设 = {| = −° + ∙ °, ∈ }，则328°， −392°角都是
的元素，−32°角也是的元素(此时 = 0).因此，所有与−32°角
终边相同的角，连同−32°角在内，都是集合的元素；反过来，
集合的任一元素显然与−32°角的终边相同.
概念生成
一般地，我们有:
5.1 任意角和弧度制
5.1.1任意角
情境导入
圆周运动是一种常见的周期性变化现象.如图，⊙ 上的点以为起点做逆时
针方向的旋转.如何刻画点的位置变化呢？
我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.在图中，射线
的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一
个角，射线，分别就是角的始边和终边.当角确定时，终边的位置
概念生成
轴线角的集合：
角终边的位置
角的集合表示
在轴的非负半轴上
{| = ∙ °， ∈ }
在轴的非正半轴上
{| = ° + ∙ °， ∈ }
在轴的非负半轴上
{| = ° + ∙ °， ∈ }
在轴的非正半轴上
{| = ° + ∙ °， ∈ }
该图中的角是一个正角，
它等于750°.
该图中，正角 =210°，负角 =
− 150°， = −660°.正常情况下，
如果以零时为起始位置，那么钟表
的时针或分针在旋转时所形成的的
角总是负角.
概念生成
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.设角由射
线绕端点旋转而成，角由射线’ ’ 绕端点’ 旋转而成.如果它们的旋转方
解：(1)终边落在位置上的角的集合为{| = 90° + 45° + ∙ 360°， ∈ } =
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5.1 任意角和弧度制1、角的概念的推广（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．（2）分类：⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合},|{Z k k S ∈+==360αββ。
终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2、弧度制的定义和公式（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. （2）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是０． （3）公式：角α的弧度数公式 |α|＝lr(l 表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝ )(π180弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23、有关角度与弧度的两个注意点（1）角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． （2）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．知识梳理题型一 终边相同的角例 1 下列各角中，与27︒角终边相同的是（ ） A ．63︒ B ．153︒C ．207︒D ．387︒【答案】D 【分析】写出与27︒终边相同角的集合，取k 值得答案. 【详解】与27︒角终边相同的角的集合为{}27360,k k Z αα=︒+⋅︒∈， 取1k =，可得387α=︒. ∴与27︒角终边相同的是387︒. 故选：D下列各角中，与2019°终边相同的角为（ ） A ．41° B ．129°C ．219°D ．﹣231°【答案】C 【分析】根据20195360219=⨯+可得答案. 【详解】因为20195360219=⨯+， 所以219与2019°终边相同. 故选：C. 巩固练习知识典例题型二 角度制与弧度制例2 （多选）下列转化结果正确的是（ ） A ．6730'化成弧度是38π B ．103π-化成角度是600- C ．150-化成弧度是76π- D ．12π化成角度是5【答案】ABD 【分析】根据弧度与角度的转化,化简即可判断选项. 【详解】对于A,3673067.51808ππ'=⨯=,正确; 对于B,101018060033πππ-=-⨯=-,正确; 对于C,51501501806ππ⨯-=-=-,错误; 对于D,180151212πππ=⨯=,正确.故选ABD24︒=_________弧度；49π弧度=________.【答案】215π 80° 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，即可求解. 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式1801,1180rad ππ==，可得2180241245ππ︒==⨯，441808099π=⨯=. 故答案为：215π，80. 巩固练习题型三 角的表示例 3 将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ） A ．3π B ．3π-C ．6π D ．6π-【答案】C 【解析】分析：利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案． 详解：分针转一周为60分钟，转过的角度为2π 将分针拨慢是逆时针旋转∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为1 2.126ππ⨯=故选C ．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( ) A ．3π B ．6π C ．3π-D ．6π-【答案】A 【解析】将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针转过60°，即分针转过的角的弧度数是3π. 本题选择A 选项.题型四 象限角例 4 给出下列四个命题： ①34π-是第二象限角；②43π是第三象限角；③400-︒是第四象限角；④315-︒是第一象限角．其中正确的命题有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】利用象限角的定义逐一判断每一个选项的正误. 【详解】 －是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，所以②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 巩固练习（多选）下列四个选项正确的有（ ） A ．75-︒角是第四象限角 B ．225︒角是第三象限角 C ．475︒角是第二象限角 D ．315-︒是第一象限角【答案】ABCD 【分析】直接找出各对应角的终边所在象限得答案. 【详解】对于A 如图1所示，75-︒角是第四象限角； 对于B 如图2所示，225︒角是第三象限角；对于C 如图3所示，475︒角是第二象限角； 对于D 如图4所示，315-︒角是第一象限角. 故选：ABCD .题型五 轴线角例 5 设终边在y 轴的负半轴上的角的集合为M 则（ ） A ．3|,2M k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭B ．3|,22k M k Z ππαα⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭C ．|,2M k k Z πααπ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭D ．|2,2M k k Z πααπ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D 【分析】根据角的表示方法及终边在y 轴的负半轴上,即可得解. 【详解】巩固练习根据角的表示方法可知,终边在y 轴的负半轴上的角可以表示为22k παπ=-+,k ∈Z ,故选:D集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：分k 为偶数和k 为奇数讨论，即可得到答案. 详解：由集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈，当k 为偶数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第一象限；当k 为奇数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{53|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第三象限； 所以集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中表示的角的范围为选项C ，故选C.题型六 扇形面积求解例 6 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积.【解析】 由已知得α＝π3，R ＝10，∴S 扇形＝12α·R 2＝12×π3×102＝50π3(cm 2).已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ． 【答案】32π 巩固练习巩固练习先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果. 【详解】因为一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π， 所以其所在圆的半径为33r ππ==，因此该扇形的面积是1133222S lr ππ==⨯⨯=. 故答案为：32π.1、2020是第______象限角. 【答案】三 【分析】把2020︒写成360k α+︒,)0,360,k Z α⎡∈∈⎣，然后判断α所在的象限，则答案可求． 【详解】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒与220︒角的终边相同，为第三象限角．故答案为三．2、在区间[]4,2ππ--上，与角76π终边相同的角为__________． 【答案】176π- 【分析】根据与α终边相同的角可以表示为{}360,k k Z ββα=⋅+∈这一方法，即可得出结论． 【详解】 因为[]71744,266πππππ-=-∈--，所以与角76π终边相同的角为176π-. 3、已知：①1240︒，②300-︒，③420︒，④1420-︒，其中是第一象限角的为_________(填序号). 巩固提升利用终边相同的角转化到0360︒︒判断.【详解】因为12401080160︒=︒+︒，30036060-︒=-︒+︒，42036060︒=︒+︒，1420436020-=-⨯+︒︒︒.所以②300-︒，③420︒，④1420-︒是第一象限角， 故答案为：②③④4、已知扇形AOB 的圆心3AOB π∠=，弧长为2π，则该扇形的面积为______.【答案】6π 【分析】用弧长公式求出扇形半径，再用扇形面积公式得解. 【详解】因为扇形AOB 的圆心3AOB π∠=，弧长为2πl r θ=，23r ππ∴=，6r ∴=1126622S lr ππ∴==⨯⨯=故答案为：6π5、若扇形的弧长为4，圆心角为2，则其半径为______. 【答案】2 【分析】利用扇形的弧长公式即可得出． 【详解】解：由弧长公式l r α=可得42r =，解得2r ．故答案为：2．6、已知扇形的圆心角为60°，其弧长为π，则此扇形的面积为_______；该弧所在的弓形面积为________.【答案】32π 64π- 【分析】设扇形的半径为r ，则60180r ππ=，解得：3r =，∴扇形的面积26033602r S ππ==.∴该弧所在的弓形面积31692224S ππ-'=-⨯⨯=.故答案为：32π. 7、（1）给出下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上) （2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________. 【答案】② 120-︒ 【分析】（1）利用锐角、象限角、终边相同角的概念逐一判断即可得解．（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120︒，根据任意角的定义即可得解； 【详解】解：（1）①锐角的范围为()0,90︒︒是第一象限的角，命题①正确；②第一象限角的范围为()()360,90360k k k Z ⋅︒︒+⋅︒∈，故第一象限角可以为负角，故②错误； ③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误； 故答案为：②（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120︒，即转过的度数为120-︒ 故答案为：120-︒8、已知圆的半径为2，则5π的圆心角所对的弧长为______. 【答案】25π 【分析】由已知结合弧长公式即可直接求解. 【详解】由弧长公式可得2255l r ππα==⨯=. 故答案为：25π9、若角α的终边与85π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与4α的终边相同的角有________． 【答案】29719,,,510510ππππ10、在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． (2)所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z)， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z)， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z)，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.11、写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来． 【答案】{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }；元素β见解析 【分析】把α＝－1 910°加上360k ⋅︒可得与α＝－1 910°终边相同的角的集合，分别取k ＝4，5，6，求得适合不等式－720°≤β＜360°的元素β. 【详解】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴1111363636k ≤< (k ∈Z )，故取k ＝4,5,6. k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.12、已知扇形的圆心角是α，半径是R,弧长是l. （1）若60=α，R=10cm,求扇形的弧长l.（2）若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解析】（1）因为R=10cm,所以l=10=. （2）由已知得，l+2R=20,所以S=当R=5时，S取得最大值，此时l=10,（3）设弓形面积为，由题意知l=。