高考数学复习 角的概念的推广与弧度制

角的概念的推广与弧度制
A 组
1．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向
运动π
3
弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．
运动
π3解析：由于点P 从(－1,0)出发，顺时针方向弧长到达Q 点，如图，因此Q 点的坐标为(cos 2π3，sin 2π3)，即Q (－12，3
2
)．答案：(－12，3
2
)
2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．
①tan
α2
②sin
α2
③cos
α2
④cos2α
解析：α为第四象限角，则
α2
为第二、四象限角，因此tan
α2
<0恒成立，
应填①，其余三个符号可正可负．答案：①
3．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角． 答案：三
4．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |
tan x
的值域为________．
解析：当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，tan x >0，y ＝3； 当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，tan x <0，y ＝－1； 当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，tan x >0，y ＝－1；
当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，tan x <0，y ＝－1.答案：{－1,3} 5．(原创题)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α²cos α＝3
4
，则a 的值为________．
解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α²cos α＝
34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－4
3
3.答案：－43
或－43
3
6．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝2
4
y ，求cos α，tan α的值．
解：因为sin α＝
24y ＝y (－3)2＋y
2，所以y 2＝5， 当y ＝5时，cos α＝－64，tan α＝－15
3；
当y ＝－5时，cos α＝－
64，tan α＝15
3
. B 组
1．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．
解析：当a >0时，点P (a ，a )在第一象限，sin α＝2
2
； 当a <0时，点P (a ，－a )在第二象限，sin α＝
22.答案：22
2．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2
，则扇形的圆心角的弧度数是_____．
解析：设扇形的圆心角为α rad ，半径为R ，则
⎩⎨⎧
2R ＋α²R ＝6
12
R 2
²α＝2，解得α＝1或α＝4.答案：1或4
3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．
解析：S ＝12|α|r 2＝12³23π³100＝1003π(cm 2)．答案：100
3π cm 2
4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3
角的终边
相同的角的集合为__________．答案：{56°，176°，296°} 5．若α＝k ²180°＋45°(k ∈Z)，则α是第________象限．
解析：当k ＝2m ＋1(m ∈Z)时，α＝2m ²180°＋225°＝m ²360°＋225°，故α为第三象限角；当k ＝2m (m ∈Z)时，α＝m ²360°＋45°，故α为第一象限角．
答案：一或三
6．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．
解析：∵x ＝－6a ，y ＝－8a ，∴r ＝(－6a )2＋(－8a )2＝10|a |， ∴sin α－cos α＝y r －x r ＝
－8a ＋6a 10|a |＝－a 5|a |＝±15.答案：±1
5
7．(2010年北京东城区质检)若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y
x
的值为________．
解析：y x
＝tan300°＝－tan60°＝－ 3.答案：－ 3 8．(2010年深圳调研)已知点P (sin
3π4，cos 3π
4
)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
解析：由sin 3π4>0，cos 3π
4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos
3π4sin
3π
4
＝－1，
θ∈[0,2π)，∴θ＝
7π4.答案：7π4
9．已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝2
5
，且cos α<0，则k 的值为________．
解析：设α终边上任一点P (x ，y )，且|OP |≠0，∴y ＝kx ， ∴r ＝x 2＋(kx )2＝1＋k 2|x |.又sin α>0，cos α<0.∴x <0，y >0，
∴r ＝－1＋k 2
x ，且k <0.∴sin α＝y r ＝kx －1＋k 2x ＝－k
1＋k 2
，又sin α＝
2
5
. ∴－
k 1＋k
2
＝2
5
，∴k ＝－2.答案：－2 10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．
解：设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝
π3，R ＝10，∴l ＝103π(cm)， S 弓＝S 扇－S △＝1
2²103
π²10－12
²102sin60°＝50(π3
－3
2
)(cm 2)． 11．扇形AOB 的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，
(1)由题意可得⎩⎨⎧
2r ＋l ＝8，
1
2lr ＝3，
解得⎩⎨
⎧
r ＝3，
l ＝2，
或⎩⎨
⎧
r ＝1l ＝6，
∴α＝l r ＝23或α＝l
r
＝6.
(2)∵2r ＋l ＝2r ＋αr ＝8，∴r ＝8
2＋α.∴S 扇
＝12αr 2＝12α²64(2＋α)2
＝32
α＋4α
＋4
≤4， 当且仅当α＝4
α
，即α＝2时，扇形面积取得最大值4.此时，r ＝
8
2＋2
＝2 (cm)，
∴|AB |＝2³2sin1＝4 sin1 (cm)．
12．(1)角α的终边上一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，求2sin α＋cos α的值；
(2)已知角β的终边在直线y ＝3x 上，用三角函数定义求sin β的值． 解：(1)根据题意，有x ＝4t ，y ＝－3t ，所以r ＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |， ①当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝－65＋
45＝－2
5
. ②当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝－3t －5t ＝35，cos α＝4t －5t ＝－4
5
， 所以2sin α＋cos α＝65－45＝2
5
.
(2)设P(a，3a)(a≠0)是角β终边y＝3x上一点，若a＜0，则β是第
三象限角，r＝－2a，此时sinβ＝
3a
－2a
＝－
3
2
；若a＞0，则β是第一象限角，
r＝2a，
此时sinβ＝
3a
2a
＝
3
2
.。